Karakteristika prikazana na slici 1.5 b je relej s tri položaja, u kojem je dodatni položaj zbog neosjetljivosti. Jednadžba takve karakteristike

Karakteristika prikazana na slici 1.5c je dvopoložajni relej s histerezom. Također se naziva "relej s memorijom". On "pamti" svoje prethodno stanje i unutar x unosa< a сохраняет это своё значение. Уравне-

takva karakteristika

Karakteristika prikazana na slici 1.5 d je tropoložajni relej s histerezom, u kojem je dodatni položaj posljedica mrtve zone. Jednadžba takve karakteristike

Iz gornjih jednadžbi jasno je da u nedostatku petlje histereze, izlazno djelovanje releja ovisi samo o vrijednosti xin ili xout = f (xin).

U prisutnosti petlje histereze, vrijednost x out također ovisi o derivatu u odnosu na x in ili x out = f (x in, x & in), gdje x & in karakterizira prisutnost "memorije" u relej.

1.4. Analiza metoda proučavanja nelinearnih sustava

Da bi se riješili problemi analize i sinteze nelinearnog sustava, prvo je potrebno konstruirati njegov matematički model, koji karakterizira vezu između izlaznih signala sustava i signala koji odražavaju utjecaje koji se primjenjuju na sustav. Kao rezultat, dobivamo nelinearnu diferencijalnu jednadžbu visokog reda, ponekad s nizom logičkih odnosa. Moderna računalna tehnologija omogućuje rješavanje bilo koje nelinearne jednadžbe, a bit će potrebno riješiti nevjerojatno velik broj tih nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Zatim odaberite najbolju. Ali u isto vrijeme ne može se biti siguran da je odabrano rješenje doista optimalno i ne zna se kako poboljšati odabrano rješenje. Stoga je jedan od problema teorije upravljanja sljedeći.

Stvaranje metoda projektiranja sustava upravljanja koje vam omogućuju određivanje najbolje strukture i optimalnih omjera parametara sustava.

Za dovršenje ovog zadatka potrebno vam je sljedeće metode izračuna koje

omogućuju u prilično jednostavnom obliku određivanje matematičkih odnosa parametara nelinearnog sustava s dinamičkim pokazateljima procesa upravljanja

leniya. I to bez pronalaska rješenja nelinearne diferencijalne jednadžbe. Da bi se problem riješio, nelinearne karakteristike stvarnih elemenata sustava zamijenjene su nekim idealiziranim aproksimativnim karakteristikama. Proračun nelinearnih sustava prema takvim karakteristikama daje približne rezultate, ali glavna stvar je da nam dobivene ovisnosti omogućuju povezivanje strukture i parametara sustava s njegovim dinamičkim svojstvima.

U najjednostavnijim slučajevima, a uglavnom za nelinearne sustave drugog reda, koristi se metoda fazne putanje, koji vam omogućuje vizualni prikaz dinamike gibanja nelinearnog sustava za različite vrste nelinearne veze, uzimajući u obzir početne uvjete. Međutim, ovom metodom teško je uzeti u obzir različite vanjske utjecaje.

Za sustav visokog reda koristi se metoda harmonijske linearizacije. S konvencionalnom linearizacijom, nelinearna karakteristika se tretira kao linearna i gubi neka svojstva. Kod harmonijske linearizacije, specifična svojstva nelinearne veze su sačuvana. Ali ova metoda je približna. Koristi se kada je ispunjen niz uvjeta, što će se pokazati prilikom izračuna nelinearnog sustava ovom metodom. Važno svojstvo ove metode je da izravno povezuje parametre sustava s dinamičkim pokazateljima procesa regulacije.

Za određivanje statističke pogreške regulacije pod slučajnim utjecajima, koristite metoda statističke linearizacije. Bit ove metode je da se nelinearni element zamijeni ekvivalentnim linearnim elementom, koji na isti način kao i nelinearni element transformira prva dva statistička momenta slučajne funkcije: matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) i disperziju ( ili standardna devijacija). Postoje i druge metode za analizu nelinearnih sustava. Na primjer, metoda malih parametara u obliku B.V. Bulgakova. Asimptotska metoda N.M. Krylov i N.N. Bogolyubova analizirati proces u vremenu blizu periodičkog rješenja. Grafoanalitički Metoda omogućuje da se nelinearni problem svede na linearni. Metoda harmonijske ravnoteže, koji je koristio L.S. Goldfarba za analizu stabilnosti nelinearnih sustava primjenom Nyquistova kriterija. Grafičko-analitičke metode, među kojima je najraširenija metoda D.A. Baškirov. Od niza istraživačkih metoda u ovom će se udžbeniku razmotriti: metoda faznih trajektorija, metoda transformacija točaka, metoda harmonijske linearizacije E.P. Popov, grafičko-analitička metoda L.S. Goldfarb, kriterij apsolutne stabilnosti V.M. Popov, metoda statističke linearizacije.

Sustav se smatra nelinearnim ako je njegov poredak >2 (n>2).

Proučavanje linearnih sustava visokog reda uključuje prevladavanje značajnih matematičkih poteškoća, budući da ne postoje opće metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi. Pri analizi gibanja nelinearnih sustava koriste se metode numeričke i grafičke integracije, koje omogućuju dobivanje samo jednog pojedinačnog rješenja.

Metode istraživanja dijele se u dvije skupine. Prva skupina su metode koje se temelje na traženju točnih rješenja nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Druga skupina su aproksimativne metode.

Razvoj egzaktnih metoda važan je kako sa stajališta dobivanja izravnih rezultata tako i za proučavanje različitih posebnih načina i oblika dinamičkih procesa nelinearnih sustava koji se ne mogu identificirati i analizirati aproksimativnim metodama. Precizne metode uključuju:

1. Izravna Lyapunovljeva metoda

2. Metode fazne ravnine

3. Metoda montaže

4. Metoda transformacije točke

5. Metoda rezanja prostora parametara

6. Frekvencijska metoda za određivanje apsolutne stabilnosti

Za rješavanje mnogih teorijskih i praktičnih problema koristi se diskretna i analogna računalna tehnologija, koja omogućuje korištenje metoda matematičkog modeliranja u kombinaciji s poluprirodnim i modeliranjem u punoj skali. U ovom slučaju, računalna tehnologija je povezana sa stvarnim elementima upravljačkih sustava, sa svim svojim inherentnim nelinearnostima.

Aproksimativne metode uključuju analitičke i grafo-analitičke metode koje omogućuju zamjenu nelinearnog sustava ekvivalentnim linearnim modelom, a zatim korištenje metoda linearne teorije dinamičkih sustava za njegovo proučavanje.

Postoje dvije skupine aproksimativnih metoda.

Prva skupina temelji se na pretpostavci da je nelinearni sustav koji se proučava po svojim svojstvima blizak linearnom. To su metode malih parametara, kada se gibanje sustava opisuje korištenjem nizova potencije s obzirom na neki mali parametar koji je prisutan u jednadžbama sustava, ili koji je u te jednadžbe uveden umjetno.

Druga skupina metoda usmjerena je na proučavanje prirodnih periodičnih oscilacija sustava. Temelji se na pretpostavci da su željene oscilacije sustava bliske harmoničkim. To su metode harmonijske ravnoteže ili harmonijske linearizacije. Kada ih koristite, nelinearni element pod utjecajem harmonijskog ulaznog signala uvjetno se zamjenjuje ekvivalentnim linearnim elementima. Analitičko opravdanje harmonijske linearizacije temelji se na načelu jednakosti izlaznih varijabli frekvencije, amplitude i faze, ekvivalentnog linearnog elementa i prvog harmonika izlazne varijable realnog nelinearnog elementa.

Najveći učinak postiže se razumnom kombinacijom približnih i egzaktnih metoda.

Postoje egzaktne i aproksimativne metode za proučavanje nelinearnih sustava; egzaktne metode uključuju metode faznih trajektorija, transformacije točaka, Popovljevu metodu frekvencije, metodu odsječaka prostora parametara, metodu fitovanja; aproksimativne metode uključuju metodu harmonijske linearizacije.

Osnove metode fazne putanje

Metoda faznih putanja sastoji se u tome da se ponašanje nelinearnog sustava koji se proučava razmatra i opisuje ne u vremenskoj domeni (u obliku jednadžbi procesa u sustavu), već u faznom prostoru sustava (u obliku fazne putanje).

Stanje nelinearnog sustava automatskog upravljanja karakterizira se faznim koordinatama sustava

definiranje vektora stanja sustava u faznom prostoru sustava

Y (y1, y2, y3,...yn).

Pri uvođenju faznih koordinata u razmatranje, nelinearna diferencijalna jednadžba reda n za slobodni proces u nelinearnom sustavu

transformira u sustav od n diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Tijekom procesa u sustavu mijenjaju se fazne koordinate yi i vektor stanja sustava Y opisuje hodograf u n-dimenzionalnom faznom prostoru sustava (slika 56). Hodograf vektora stanja (putanja gibanja prikazne točke M koja odgovara kraju vektora) je fazna putanja sustava. Tip fazne putanje jedinstveno je povezan s prirodom procesa u sustavu. Stoga se svojstva nelinearnog sustava mogu prosuditi prema njegovim faznim putanjama.

Jednadžba fazne putanje može se dobiti iz gornjeg sustava jednadžbi prvog reda koji povezuju fazne koordinate i uzimaju u obzir svojstva sustava eliminacijom vremena. Fazna putanja ne odražava vrijeme procesa u sustavu.

Veza između fazne trajektorije y(x) i procesa x(t) ilustrirana je na slici. 57. Fazna putanja konstruirana je u faznim koordinatama 0XY, gdje je x izlazna vrijednost sustava, y brzina promjene izlazne vrijednosti (prva derivacija x’). Prijelazni proces x(t) iscrtava se u x–t koordinatama (izlazna vrijednost – vrijeme).

Metoda točkastih transformacija površina omogućuje određivanje svih vrsta gibanja (slobodnih vibracija) nelinearnih dinamičkih sustava nakon bilo kakvih početnih odstupanja. Metoda je razvijena za analizu i sintezu gibanja sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama niskog reda (drugi, treći), kao i za sustav s relejnim upravljanjem uzimajući u obzir kašnjenje.

Zamjena se provodi u dijelovima, od kojih je svaki nelinearni dio karakteristike predstavljen linearnim segmentom. To omogućuje dobivanje integrabilne linearne diferencijalne jednadžbe koja približno odražava proces unutar danog odjeljka. Za sustav opisan diferencijalnom jednadžbom drugog reda, napredak proračuna može se prikazati na faznoj ravnini duž čije su osi ucrtane varijabla koja se proučava l i njezina vremenska derivacija y. Rješenje dinamičkog problema svodi se na proučavanje transformacije točke koordinatne poluosi u samu sebe.

sl.10.7. Metoda transformacije točke

Frekvencijska metoda Rumunjski znanstvenik V.M. Popov, predložen 1960., rješava problem apsolutne stabilnosti sustava s jednom jednoznačnom nelinearnošću, određenom graničnom vrijednošću koeficijenta prijenosa k nelinearnog elementa. Ako sustav upravljanja ima samo jednu jednoznačnu nelinearnost z=f(x), tada se spajanjem svih ostalih karika sustava u linearni dio može dobiti njegova prijenosna funkcija Wlch(p), tj. dobiti dijagram dizajna Slika 7.1.
Nema ograničenja u redoslijedu linearnog dijela, tj. linearni dio može biti bilo što. Obrisi nelinearnosti mogu biti nepoznati, ali moraju biti nedvosmisleni. Potrebno je samo znati unutar kojeg se kuta arctg k (sl. 7.2) nalazi, gdje je k najveći (maksimalni) koeficijent prijenosa nelinearnog elementa.

sl.7.2. Karakteristike nelinearnog elementa

Grafička interpretacija kriterija V. M. Popova povezana je s konstrukcijom a.f.h. modificirani frekvencijski odziv linearnog dijela sustava W*(jω), koji je definiran na sljedeći način:
W*(jω) = Re WLC(jω) + Im WLC(jω),
gdje su Re WLC(jω) i Im WLC(jω) realni i imaginarni dio linearnog sustava.
Popovljev kriterij može se prikazati u algebarskom ili frekvencijskom obliku, kao i za slučajeve stabilnog i nestabilnog linearnog dijela. Najčešće se koristi frekventni oblik.
Formulacija kriterija V. M. Popova u slučaju stabilnog linearnog dijela: da bi se utvrdila apsolutna stabilnost nelinearnog sustava, dovoljno je odabrati takvu ravnu liniju na kompleksnoj ravnini W * (jω) koja prolazi kroz točku (, j0) tako da cijela krivulja W*(jω) leži desno od ove ravnice. Uvjeti za ispunjenje teorema prikazani su na sl. 7.3.

Riža. 7.3. Grafička interpretacija kriterija V.M. Popov za apsolutno stabilan nelinearni sustav

Na sl. 7.3 prikazuje slučaj apsolutne stabilnosti nelinearnog sustava za bilo koji oblik jednovrijedne nelinearnosti. Dakle, za određivanje apsolutne stabilnosti nelinearnog sustava pomoću metode V.M. Popov, potrebno je konstruirati modificirani frekvencijski odziv linearnog dijela sustava W * (jω), odrediti graničnu vrijednost koeficijenta prijenosa k nelinearnog elementa iz uvjeta i nacrtati ravnu liniju kroz točku (- ) na realnoj osi kompleksne ravnine tako da karakteristika W * (jω) leži desno od te ravnice. Ako se takva ravna crta ne može povući, to znači da je apsolutna stabilnost ovog sustava nemoguća. Obrisi nelinearnosti mogu biti nepoznati. Preporučljivo je primijeniti kriterij u slučajevima kada se nelinearnost može promijeniti tijekom rada ACS-a, ili je njegov matematički opis nepoznat.

Metoda ugradnje našla je svoju primjenu u konstrukciji faznih portreta nelinearnih sustava, koji se mogu prikazati kao linearni i nelinearni dijelovi (sl. 11.10), štoviše, linearni dio je sustav drugog reda, a nelinearni dio karakteriziran je po komadima linearna statička karakteristika.

linearni dio

nelinearni dio

Riža. 11.10 Blok dijagram nelinearnog sustava

Prema ovoj metodi, fazna putanja se konstruira u dijelovima, od kojih svaki odgovara linearnom presjeku statičke karakteristike. U takvoj presjeci koja se razmatra sustav je linearan i njegovo se rješenje može pronaći izravnom integracijom jednadžbe za faznu trajektoriju te dionice. Integracija jednadžbe pri konstruiranju fazne trajektorije provodi se sve dok potonja ne dosegne granicu sljedećeg odjeljka. Vrijednosti faznih koordinata na kraju svakog odsječka fazne trajektorije su početni uvjeti za rješavanje jednadžbe u sljedećem odsječku. U ovom slučaju kažu da su početni uvjeti prilagođeni, tj. kraj prethodnog odsječka fazne putanje je početak sljedećeg. Granica između dionica naziva se skretnica.

Dakle, konstrukcija faznog portreta pomoću metode uklapanja provodi se u sljedećem nizu:

odabrani su ili određeni početni uvjeti;

integriran je sustav linearnih jednadžbi za linearnu dionicu gdje početni uvjeti padaju do trenutka dostizanja granice sljedeće dionice;

početni uvjeti se prilagođavaju.

Metoda harmonijske linearizacije

Ne postoje opće univerzalne metode za proučavanje nelinearnih sustava - raznolikost nelinearnosti je prevelika. Međutim, za određene vrste nelinearnih sustava razvijene su učinkovite metode analize i sinteze.

• Metoda harmonijske linearizacije namijenjena je predstavljanju nelinearnog dijela sustava s nekom ekvivalentnom prijenosnom funkcijom ako se signali u sustavu mogu smatrati harmoničkim.

• Ova se metoda može učinkovito koristiti za proučavanje periodičnih oscilacija u automatskim sustavima, uključujući uvjete odsutnosti tih oscilacija kao štetne.

Karakteristika metode harmonijske linearizacije je razmatranje jedan jedini nelinearni element. NE može se podijeliti na statičnost I dinamičan. Dinamički NE opisuju se nelinearnim diferencijalnim jednadžbama i mnogo su složeniji. Statički NE opisani su funkcijom F(x).

Strogo govoreći, linearni sustavi ne postoje u prirodi; svi stvarni sustavi su nelinearni. Razni senzori, detektori, diskriminatori, pojačala, analogno-digitalni i digitalno-analogni pretvarači, upravljački uređaji i aktuatori imaju nelinearna svojstva.

Ne postoji opća teorija za analizu nelinearnih sustava. Znanstvenici su razvili različite metode za analizu nelinearnih sustava koje omogućuju rješavanje problema analize pod određenim uvjetima i ograničenjima.

Obilježimo najčešće metode analize nelinearnih sustava.

Metoda fazne ravnine. Ova metoda se još naziva i metoda faznih portreta ili faznih prostora. Ova metoda omogućuje vizualnu analizu, koristeći grafičke konstrukcije, ponašanje nelinearnih sustava opisanih nelinearnim diferencijalnim jednadžbama ne višeg od drugog (trećeg) reda.

Metoda komadno linearne aproksimacije. Ova metoda koristi linearnu aproksimaciju karakteristike nelinearnog elementa po komadima, analizira sustav kao linearan za različite vrijednosti signala, a zatim povezuje rezultate analize. Metodu karakterizira veliki intenzitet rada analize i niska točnost rezultata, posebno na točkama "umrežavanja".

Metoda harmonijske linearizacije. Ova metoda se koristi u slučajevima kada je nakon nelinearnog elementa priključen linearni niskopropusni filtar, a ulazni učinak je harmonijski.

Metoda statističke linearizacije. Ova metoda se koristi u slučajevima kada stacionarni slučajni proces djeluje kao ulazni signal. U ovoj metodi, stvarni nelinearni element zamijenjen je linearnim elementom čije je izlazno matematičko očekivanje i varijanca procesa isti kao i izlaz stvarnog nelinearnog elementa. Metode za određivanje parametara ekvivalentnog linearnog elementa mogu biti različite.

Metoda Markovljevog procesa. Ova se metoda koristi za nestacionarne slučajne ulazne signale, ali analitičko rješenje može se pronaći samo za sustave ne višeg od drugog reda.

Metoda računalne simulacije. Ova metoda tvrdi da je univerzalna; nema temeljnih ograničenja na prirodu nelinearnosti i poredak sustava. Trenutno je ovo najčešća metoda za analizu nelinearnih sustava, a jedini nedostatak metode je nepostojanje bilo kakvih analitičkih rezultata analize (u obliku formula).

• Metoda harmonijske linearizacije u projektiranju nelinearnih sustava automatskog upravljanja.[Djv-10.7M] Uredio Yu.I. Topčeeva. Tim autora.
  (Moskva: Izdavačka kuća Mashinostroenie, 1970. - Serija “Nelinearni sustavi automatskog upravljanja”)
  Sken: AAW, obrada, Djv format: Ilya Sytnikov, 2014
• SAŽETAK:
  Predgovor (5).
  Poglavlje I. Teorijske osnove metode harmonijske linearizacije (E.P. Popov) (13).
  poglavlje II. Novi oblik harmonijske linearizacije za regulacijske sustave s nelinearnim karakteristikama histereze (E.I. Khlypalo) (58).
  poglavlje III. Metoda harmonijske linearizacije koja se temelji na procjeni osjetljivosti periodičkog rješenja na više harmonike i male parametre (A.A. Vavilov) (88).
  Poglavlje IV. Određivanje amplitudnih i faznih frekvencijskih karakteristika nelinearnih sustava (Yu.I. Topcheev) (117).
  Poglavlje V. Metode približne frekvencije za analizu kvalitete nelinearnih sustava upravljanja (Yu.I. Topcheev) (171).
  Poglavlje VI. Poboljšanje točnosti metode harmonijske linearizacije (V.V. Pavlov) (186).
  Poglavlje VII. Primjena metode harmonijske linearizacije na diskretne nelinearne sustave upravljanja (S.M. Fedorov) (219).
  Poglavlje VIII. Primjena asimptotske metode N.M. Krylov i N.N. Bogolyubov u analizi nelinearnih sustava upravljanja (A.D. Maksimov) (236).
  Poglavlje IX. Primjena harmonijske linearizacije na nelinearne samopodešavajuće sustave upravljanja (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Poglavlje X. Primjena metode harmonijske linearizacije na nelinearne automatske sustave s konačnim automatima (M.V. Starikova) (306).
  Poglavlje XI. Približna metoda proučavanja oscilatornih procesa i kliznih načina u automatskim sustavima s promjenjivom strukturom (M.V. Starikova) (390).
  Poglavlje XII. Približna studija impulsno-relejnog upravljačkog sustava (M.V. Starikova) (419).
  Poglavlje XIII. Određivanje oscilatornih procesa u složenim nelinearnim sustavima s različitim početnim odstupanjima (M.V. Starikova) (419).
  Poglavlje XIV. Primjena metode harmonijske linearizacije na sustave s periodičkim nelinearnostima (L.I. Semenko) (444).
  Poglavlje XV. Primjena metode harmonijske linearizacije na sustave s dvije nelinearnosti (V.M. Khljamov) (467).
  Poglavlje XVI. Amplitudno-fazne karakteristike relejnih mehanizama s istosmjernim i izmjeničnim motorima, dobivene metodom harmonijske linearizacije (V.V. Tsvetkov) (485).
  Prijave (518).
  Književnost (550).
  Abecedno kazalo (565).

Napomena izdavača: Ova je knjiga dio serije monografija posvećenih nelinearnim sustavima automatskog upravljanja.
Sustavno, dosta iscrpno, postavlja teoriju nelinearnih sustava automatskog upravljanja, temeljenu na metodi harmonijske linearizacije. Glavna pozornost posvećena je teorijskim osnovama metode harmonijske linearizacije i njezinoj praktičnoj primjeni na kontinuirane, diskretne, samopodešavajuće sustave, kao i sustave s konačnim automatima i podesivom strukturom. Razmatraju se načini poboljšanja točnosti metode harmonijske linearizacije uzimajući u obzir utjecaj viših harmonika. Predložene metode ilustrirane su brojnim primjerima.
Knjiga je namijenjena znanstvenicima, inženjerima, nastavnicima i studentima diplomskih studija visokih učilišta koji se bave problematikom automatskog upravljanja.