Umnožak vektora brojem. Koji se vektor naziva zbroj dvaju vektora Koji se vektor naziva umnoškom zadanog

Za ispravan prikaz zakona prirode u fizici potreban je odgovarajući matematički alat.

U geometriji i fizici postoje veličine koje karakteriziraju i brojčana vrijednost i smjer.

Preporučljivo ih je prikazati usmjerenim segmentima ili vektori.

U kontaktu s

Takve količine imaju početak (označen točkom) i kraj, označen strelicom. Duljina segmenta naziva se (duljina).

ubrzati;
ubrzanje;
puls;
sila;
trenutak;
snaga;
pomicanje;
jačina polja itd.

Koordinate ravnine

Definirajmo segment na ravnini usmjerenu od točke A (x1, y1) do točke B (x2, y2). Njegove koordinate a (a1, a2) su brojevi a1 = x2-x1, a2 = y2-y1.

Modul se izračunava prema Pitagorinom teoremu:

Nulti vektor ima početak i kraj. Koordinate i duljina su 0.

Zbroj vektora

Postoji nekoliko pravila za izračun iznosa

pravilo trokuta;
pravilo poligona;
pravilo paralelograma.

Pravilo zbrajanja vektora može se objasniti problemima iz dinamike i mehanike. Razmotrimo zbrajanje vektora prema pravilu trokuta na primjeru sila koje djeluju na točkasto tijelo i uzastopnih pomaka tijela u prostoru.

Pretpostavimo da se tijelo prvo kretalo od točke A do točke B, a zatim od točke B do točke C. Posljednji potez je odsječak od početne točke A do krajnje točke C.

Rezultat dvaju kretanja ili njihov zbroj s = s1 + s2. Ova metoda se zove pravilo trokuta.

Strelice se poredaju jedna za drugom, po potrebi se provode paralelni prijenos. Zbrojeni segment dovršava niz. Njegov početak podudara se s početkom prvog, kraj - s krajem posljednjeg. U stranim udžbenicima ova metoda se zove "od repa do glave".

Koordinate rezultata c = a + b jednake su zbroju odgovarajućih koordinata članova c (a1 + b1, a2 + b2).

Zbroj paralelnih (kolinearnih) vektora također je određen pravilom trokuta.

Ako su dva izvorna segmenta okomita jedan na drugi, rezultat njihovog zbrajanja je hipotenuza pravokutnog trokuta izgrađenog na njima. Duljina zbroja se izračunava Pitagorinim teoremom.

Primjeri za:

Brzina tijela bačenog vodoravno okomito ubrzanje slobodnog pada.
Kod jednolikog rotacijskog gibanja, linearna brzina tijela okomita je na centripetalno ubrzanje.

Dodavanje tri ili više vektora proizvodi pravilo poligona, "od repa do glave"

Pretpostavimo da se sile F1 i F2 primjenjuju na točkasto tijelo.

Iskustvo dokazuje da je kombinirani učinak tih sila ekvivalentan djelovanju jedne sile usmjerene duž dijagonale paralelograma izgrađenog na njima. Ova rezultantna sila jednaka je njihovom zbroju F = F1 + F 2. Zadana metoda zbrajanja se zove pravilo paralelograma.

Duljina se u ovom slučaju izračunava po formuli

Gdje je θ kut između stranica.

Pravila trokuta i paralelograma su zamjenjiva. U fizici se često koristi pravilo paralelograma, budući da se usmjerene vrijednosti sila, brzina, ubrzanja obično primjenjuju na tijelo jedne točke. U 3D koordinatnom sustavu primjenjuje se pravilo okvira.

Elementi algebre

Zbrajanje je binarna operacija: istovremeno se može dodati samo par.
Komutativnost: zbroj iz permutacije članova ne mijenja a + b = b + a. To je jasno iz pravila paralelograma: dijagonala je uvijek ista.
Asocijativnost: zbroj proizvoljnog broja vektora ne ovisi o redoslijedu njihova zbrajanja (a + b) + c = a + (b + c).
Zbrajanje s nultim vektorom ne mijenja ni smjer ni duljinu: a + 0 = a.
Za svaki vektor postoji suprotan... Njihov zbroj jednak je nuli a + (- a) = 0, a duljine su iste.

Skalarno množenje

Rezultat množenja skalarom je vektor.

Koordinate proizvoda dobivaju se množenjem odgovarajućih koordinata izvornika sa skalarom.

Skalar je brojčana vrijednost sa predznakom plus ili minus, veća ili manja od jedan.

Primjeri skalara u fizici:

težina;
vrijeme;
naplatiti;
duljina;
kvadrat;
volumen;
gustoća;
temperatura;
energije.

Primjer:

Rad je točkasti umnožak sile i pomaka A = Fs.

m-by-n matrica.

Matrica veličine m po n je zbirka od mn realnih brojeva ili elemenata druge strukture (polinoma, funkcija itd.), zapisanih u obliku pravokutne tablice, koja se sastoji od m redaka i n stupaca i uzetih u zagrade ili pravokutne ili u dvostrukim ravnim zagradama. U ovom slučaju, sami brojevi nazivaju se elementima matrice, a svakom elementu se dodijeljuju dva broja - broj retka i broj stupca. Matrica veličine n po n naziva se kvadrat matrica n-tog reda, t.j. broj redaka jednak je broju stupaca. Trokutasti - kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli. Kvadratna matrica se naziva dijagonala ako su svi njegovi izvandijagonalni elementi jednaki nuli. Skalarni matrica - dijagonalna matrica čiji su elementi glavne dijagonale jednaki. Poseban slučaj skalarne matrice je matrica identiteta. dijagonala naziva se matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki 1 singl matrica i označava se simbolom I ili E. Matrica, čiji su svi elementi jednaki nuli, naziva se null matricu i označava se simbolom O.

Množenje matrice A brojem λ (simbol: λ A) je konstruirati matricu B, čiji se elementi dobivaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B jednako je

Svojstva množenja matrice

1,1 * A = A; 2. (Λβ) A = Λ (βA) 3. (Λ + β) A = ΛA + βA

4. Λ (A + B) = ΛA + ΛB

Zbrajanje matrice A + B je operacija pronalaženja matrice C, čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrica A i B, odnosno svaki element matrice C jednako je

Svojstva dodavanja matrice

5.komutativnost) a + b = b + a

6.asocijativnost.

7.zbrajanje s nultom matricom;

8.postojanje suprotne matrice (iste ali svugdje minus ispred svakog broja)

Množenje matrice - postoji operacija za izračunavanje matrice C, čiji su elementi jednaki zbroju umnožaka elemenata u odgovarajućem retku prvog faktora i stupcu drugog.

Broj stupaca u matrici A mora odgovarati broju redaka u matrici B... Ako je matrica A ima dimenziju, B-, zatim dimenziju njihovog proizvoda AB = C tamo je .

Svojstva množenja matrice

1. asocijativnost; (vidi gore)

2. umnožak nije komutativan;

3. umnožak je komutativan u slučaju množenja s matricom identiteta;

4. pravičnost zakona o raspodjeli; A * (B + C) = A * B + A * C.

5. (ΛA) B = Λ (AB) = A (ΛB);

2. Determinanta kvadratne matrice prvog i n-tog reda

Determinanta matrice je polinom u elementima kvadratne matrice (tj. jedan s brojem redaka i stupaca jednakim

Određivanje dekompozicijom u prvom retku

Za matricu prvog reda determinanta sam je jedini element ove matrice:

Za matricu, determinante su definirane kao

Za matricu, determinanta je specificirana rekurzivno:

, gdje je dodatni minor elementu a 1j... Ova formula se zove string decomposition.

Konkretno, formula za izračunavanje determinante matrice je sljedeća:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Determinantna svojstva

Kada se u bilo koji red (stupac) doda linearna kombinacija drugih redaka (stupaca), determinanta se neće promijeniti.

§ Ako se dva reda (stupca) matrice poklapaju, tada je njezina determinanta nula.

§ Ako su dva (ili nekoliko) reda (stupaca) matrice linearno ovisna, tada je njezina determinanta nula.

§ Ako preuredimo dva retka (stupca) matrice, tada se njezina determinanta množi s (-1).

§ Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka determinante može se izvaditi izvan predznaka determinante.

§ Ako je barem jedan red (stupac) matrice jednak nuli, tada je determinanta nula.

§ Zbroj umnožaka svih elemenata bilo kojeg retka njihovim algebarskim dopunama jednak je determinanti.

§ Zbroj umnožaka svih elemenata bilo kojeg niza algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata paralelnog niza jednak je nuli.

§ Determinanta umnoška kvadratnih matrica istog reda jednaka je umnošku njihovih determinanti (vidi i Binet-Cauchyjevu formulu).

§ Koristeći indeksnu notaciju, determinanta matrice 3 × 3 može se odrediti pomoću Levi-Civita simbola iz relacije:

Inverzna matrica.

Inverzna matrica - takva matrica A −1, kada se pomnoži s kojim je izvorna matrica A rezultira matricom identiteta E:

KONV. postojanje:

Kvadratna matrica je inverzibilna ako i samo ako je nedegenerirana, odnosno, njena determinanta nije nula. Za nekvadratne matrice i degenerirane matrice inverzne matrice ne postoje.

Formula za pronalaženje

Ako je matrica invertibilna, možete koristiti jednu od sljedećih metoda da pronađete inverznu matricu:

a) Korištenje matrice algebarskih komplementa

C T- transponirana matrica algebarskih komplementa;

Rezultirajuća matrica A−1 i bit će inverzna. Složenost algoritma ovisi o složenosti algoritma za izračunavanje determinante O det i jednaka je O (n²) · O det.

Drugim riječima, inverzna matrica jednaka je onoj podijeljenoj s determinantom izvorne matrice i pomnoženoj s transponiranom matricom algebarskih komplementa (minor se množi s (-1) u potenciji mjesta koje zauzima) od elemente izvorne matrice.

4. Sustav linearnih jednadžbi. Sustavno rješenje. Kompatibilnost i nekompatibilnost sustava. matrična metoda za rješavanje sustava od n linearnih jednadžbi s n varijabli. Krammerov teorem.

Sustav m linearne jednadžbe s n nepoznato(ili, linearni sustav) u linearnoj algebri je sustav jednadžbi oblika

(1)

Ovdje x 1 , x 2 , …, x n- nepoznanice za utvrđivanje. a 11 , a 12 , …, a mn- koeficijenti sustava - i b 1 , b 2 , … b m- slobodni članovi - trebali bi biti poznati. Indeksi tečajeva ( a ij) sustava označavaju brojeve jednadžbe ( i) i nepoznato ( j), na kojem je ovaj koeficijent, odn.

Sustav (1) se zove homogena ako su svi slobodni članovi jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.

Sustav (1) se zove kvadrat ako je broj m jednadžbe je jednak broju n nepoznanice.

Riješenje sustav (1) - skup n brojevima c 1 , c 2 , …, c n tako da je zamjena svakog c i umjesto x i u sustav (1) pretvara sve svoje jednadžbe u identitete.

Sustav (1) se zove zgloba ako ima barem jedno rješenje, i nedosljedan ako ona nema rješenja.

Zajednički sustav oblika (1) može imati jedno ili više rješenja.

Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) naziva se konzistentan sustav oblika (1). razne ako je barem jedna od jednakosti povrijeđena:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Matrični oblik

Sustav linearnih jednadžbi može se predstaviti u matričnom obliku kao:

Ax = B.

Ako je stupac slobodnih pojmova dodijeljen matrici A s desne strane, tada se rezultirajuća matrica naziva proširena.

Izravne metode

Cramerova metoda (Cramerovo pravilo)- metoda za rješavanje kvadratnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi s determinantom glavne matrice koja nije nula (štoviše, za takve jednadžbe rješenje postoji i jedinstveno je). Ime je dobio po Gabrielu Crameru (1704-1752), koji je izumio metodu.

Opis metode

Za sustav n linearne jednadžbe s n nepoznato (preko proizvoljnog polja)

s nenultom determinantom matrice sustava Δ rješenje se zapisuje u obliku

(i-ti stupac matrice sustava zamjenjuje se stupcem slobodnih članova).
U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za sve koeficijente c 1, c 2, ..., c n vrijedi sljedeća jednakost:

U ovom obliku, Cramerova formula vrijedi bez pretpostavke da je Δ različit od nule, čak nije nužno da koeficijenti sustava budu elementi integralnog prstena (determinanta sustava može biti čak i djelitelj nule u prsten koeficijenata). Također se može pretpostaviti da su ili skupovi b 1 ,b 2 ,...,b n i x 1 ,x 2 ,...,x n, ili skup c 1 ,c 2 ,...,c n ne sastoje se od elemenata koeficijentnog prstena sustava, već od nekog modula nad tim prstenom.

5. Minor k-tog reda. Rang matrice. Elementarne matrične transformacije. Kronecker-Capellijev teorem o uvjetima kompatibilnosti za sustav linearnih jednadžbi. Metoda eliminacije varijable (Gauss) za sustav linearnih jednadžbi.

Manje matrice A- determinanta kvadratne matrice reda k(koji se također naziva redom ovog minora), čiji se elementi nalaze u matrici A na sjecištu numeriranih redaka i numeriranih stupaca.

Po rangu matrični sustavi reda (stupaca). A s m linije i n stupaca je maksimalni broj redaka (stupaca) koji nije nula.

Nekoliko redaka (stupaca) naziva se linearno neovisno ako se nijedan od njih ne može linearno izraziti u odnosu na ostale. Rang sustava redaka uvijek je jednak rangu sustava stupaca, a taj se broj naziva rangom matrice.

Kroonecker - Capellijev teorem (kriterij kompatibilnosti za sustav linearnih algebarskih jednadžbi) -

sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice (sa slobodnim pojmovima), a sustav ima jedinstveno rješenje ako je rang jednak broju nepoznanica i beskonačan skup rješenja ako je rang manji od broja nepoznanica.

Gaussova metoda - klasična metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Ovo je metoda uzastopnog eliminiranja varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stupnjevitog (ili trokutastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze uzastopno, počevši od posljednje (po broj) varijable.

6. Smjerna crta i vektor. Početni pojmovi vektorske algebre. Zbroj vektora i umnožaka vektora brojem. Uvjet za koordinaciju vektora. Svojstva linearnih operacija nad vektorima.

Operacije na vektorima

Dodatak

Operacija zbrajanja geometrijskih vektora može se definirati na različite načine, ovisno o situaciji i vrsti vektora koji se razmatra:

Dva vektora u, v i vektor njihovog zbroja

Pravilo trokuta... Za dodavanje dva vektora i prema pravilu trokuta, oba se ova vektora prenose paralelno sa sobom tako da se početak jednog od njih poklapa s krajem drugog. Tada je vektor zbroja određen trećom stranom rezultirajućeg trokuta, a njegov početak podudara se s početkom prvog vektora, a kraj s krajem drugog vektora.

Pravilo paralelograma... Za dodavanje dva vektora i prema pravilu paralelograma, oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da im se ishodište podudara. Tada je vektor zbroja zadan dijagonalom paralelograma izgrađenog na njima, počevši od njihovog zajedničkog ishodišta.

I modul (duljina) vektora zbroja određeno kosinusnim teoremom gdje je kut između vektora kada se početak jednog poklapa s krajem drugog. Sada se također koristi formula - kut između vektora koji potječu iz jedne točke.

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod vektor po vektor je vektor koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:

Svojstva vektora C

§ duljina vektora jednaka je umnošku duljina vektora i sinusa kuta φ između njih

§ vektor je ortogonan na svaki od vektora i

§ smjer vektora C određen je Gougeovim pravilom

Vektorska svojstva proizvoda:

1. Kad se čimbenici preurede, vektorski produkt mijenja predznak (antikomutativnost), t.j.

2. Vektorski umnožak posjeduje kombinatorno svojstvo s obzirom na skalarni faktor, tj

3. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

Osnova i koordinatni sustav na ravnini iu prostoru. Dekompozicija vektora u bazi. Ortonormirana baza i pravokutni kartezijanski koordinatni sustav u ravnini i prostoru. Koordinate vektora i točke na ravnini iu prostoru. Vektorske projekcije na koordinatnu os.

Osnova (starogrčki βασις, baza) je skup vektora u vektorskom prostoru tako da se bilo koji vektor ovog prostora može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora.

Često je prikladno odabrati duljinu (normu) svakog od vektora jedinične baze, takva se baza naziva normalizirana.

Reprezentacija nekog specifičnog (bilo kojeg) vektora prostora u obliku linearne kombinacije baznih vektora (zbroj baznih vektora brojčanim koeficijentima), npr.

ili, koristeći znak zbroja Σ:

pozvao ekspanzija ovog vektora u ovoj bazi.

Koordinate vektora i točke na ravnini iu prostoru.

Koordinata točke A duž osi x je broj jednak apsolutnoj vrijednosti duljini odsječka OAx: pozitivna ako točka A leži na pozitivnoj poluosi x, a negativna ako leži na negativnoj poluosi.

Jedinični vektor ili jedinični vektor je vektor čija je duljina jednaka jedan i koji je usmjeren duž neke koordinatne osi.

Zatim vektorska projekcija AB na l-osi je razlika x1 - x2 između koordinata projekcije kraja i početka vektora na ovu os.

8.Duljina i kosinus smjera vektora, odnos između kosinusa smjera. Ort vektor. Koordinate su zbroj vektora, umnožak vektora s brojem.

Duljina vektora određena je formulom

Smjer vektora određen je kutovima α, β, γ koje on formira s osovinama koordinata Ox, Oy, Oz. Kosinusi ovih kutova (tzv smjer kosinus vektora ) izračunavaju se po formulama:

Jedan vektor ili ort (jedinični vektor normiranog vektorskog prostora) je vektor čija je norma (dužina) jednaka jedan.

Jedinični vektor kolinearan danom (normaliziranom vektoru) određen je formulom

Jedinični vektori se često biraju kao bazični, jer to pojednostavljuje izračune. Takve baze se nazivaju normalizirana... U slučaju da su i ovi vektori ortogonalni, takva se baza naziva ortonormalna baza.

Koordinate kolinearna

Koordinate jednak

Koordinate vektorski zbroj dva vektora zadovoljavaju relacije:

Koordinate kolinearna vektori zadovoljavaju relaciju:

Koordinate jednak vektori zadovoljavaju relacije:

Vektor zbroja dva vektora:

Zbroj nekoliko vektora:

Umnožak vektora brojem:

Vektorski proizvod vektora. Geometrijske primjene vektorskog proizvoda. Uvjet kolinearnosti za vektore. Algebarska svojstva mješovitog proizvoda. Izraz unakrsnog proizvoda u smislu koordinata faktora.

Vektorski proizvod vektora a vektor b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ima duljinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a i b kao na stranicama (vidi sliku 17), tj.

3. Vektori a, b i c tvore desni triplet.

Geometrijske primjene:

Uspostavljanje kolinearnih vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog proizvoda vektora a i b | a xb | =| a | * | b | sing, to jest, S parova = | a x b |. I, prema tome, DS = 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile u odnosu na točku

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na točku O naziva se vektor M, koji prolazi kroz točku O i:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz točke O, A, B;

2) brojčano jednak umnošku sile po ramenu

3) tvori desni triplet s vektorima OA i A B.

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine vrtnje

Brzina v točke M krutog tijela koje rotira kutnom brzinom w oko fiksne osi određena je Eulerovom formulom v = w hr, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sliku 21. ).

Uvjet kolinearnosti za vektore - nužan i dovoljan uvjet kolinearnosti vektora različitog od nule i vektora je postojanje broja koji zadovoljava jednakost.

Algebarska svojstva mješovitog proizvoda

Mješoviti umnožak vektora se ne mijenja kada su čimbenici kružno permutirani i mijenja predznak u suprotan kada su dva faktora permutirana, zadržavajući svoj modul.

Znak "" vektorskog množenja unutar mješovitog proizvoda može se postaviti između bilo kojeg od njegovih čimbenika.

Mješoviti proizvod je distributivni s obzirom na bilo koji od svojih čimbenika: (na primjer) ako, onda

Izraz križnog proizvoda u koordinatama

koordinatni sustav desno

lijevi koordinatni sustav

12.Mješoviti proizvod vektora. Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda, uvjet koplanarnosti vektora. Algebarska svojstva mješovitog proizvoda. Izraz mješovitog proizvoda u koordinatama faktora.

Miješano umnožak uređene trojke vektora (a, b, c) je skalarni umnožak prvog vektora s križnim umnoškom drugog vektora s trećim.

Algebarska svojstva vektorskog proizvoda

Antikomutativnost

Asocijativnost s obzirom na množenje skalarom

Distribucije zbrajanjem

Jacobijev identitet. Izvršeno u R3 i razbijeno u R7

Vektorski produkti baznih vektora nalaze se po definiciji

Izlaz

gdje su koordinate i vektora smjera ravne linije i koordinate točke koja pripada pravoj liniji.

Normalni vektor ravne linije na ravnini. Jednadžba ravne koja prolazi kroz danu točku okomito na zadani vektor. Opća jednadžba ravne linije. Jednadžbe ravne linije s nagibom. Relativni položaj dviju ravnih linija na ravnini

Normalan vektor pravaca je bilo koji vektor različit od nule okomit na ovaj pravac.

- jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku okomito na dati vektor

Ax + Wu + C = 0- opća jednadžba pravca.

Jednadžba ravne linije oblika y = kx + b

pozvao jednadžba ravne s nagibom, a koeficijent k nazivamo nagibom ove ravne crte.

Teorema... U jednadžbi ravne s nagibom y = kx + b

nagib k jednak je tangenti kuta nagiba ravne na os apscise:

Međusobni dogovor:

- opće jednadžbe dviju ravnih linija na koordinatnoj ravnini Oxy. Zatim

1) ako, onda ravni i poklapaju se;

2) ako, onda ravno i paralelno;

3) ako, tada se prave sijeku.

Dokaz ... Uvjet je ekvivalent kolinearnosti vektora normale zadanih linija:

Stoga, ako, onda ravne linije presijecati.

Ako , zatim, i jednadžba ravne linije ima oblik:

Ili , tj. ravno podudarati... Imajte na umu da bi koeficijent proporcionalnosti, inače bi svi koeficijenti opće jednadžbe bili jednaki nuli, što je nemoguće.

Ako se pravci ne poklapaju i ne sijeku, onda slučaj ostaje, t.j. ravno paralelno.

Jednadžba ravne u segmentima

Ako je u općoj jednadžbi ravne Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, tada, dijeljenjem s –C, dobivamo: ili, gdje je

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata točke presjeka ravne s Ox osi, i b- koordinata točke presjeka ravne s osi Oy.

Normalna jednadžba ravne linije

Ako su obje strane jednadžbe Ax + Vy + C = 0 podijeljene brojem tzv faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

normalna jednadžba ravne linije.

Predznak ± faktora normalizacije treba odabrati tako da μ? S< 0.

p je duljina okomice spuštene s ishodišta na ravnu crtu, a φ je kut koji ta okomica čini s pozitivnim smjerom osi Ox.

Treba napomenuti da se svaki pravac ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, pravci paralelni s osi ili koji prolaze kroz ishodište.

17. Elipsa. Kanonska jednadžba elipse. Geometrijska svojstva i konstrukcija elipse. Posebni uvjeti.

Elipsa - mjesto točaka M Euklidska ravnina, za koju je zbroj udaljenosti do dvije zadane točke F 1 i F 2 (zvana žarišta) je konstantna i veća je od udaljenosti između žarišta, odnosno | F 1 M | + | F 2 M | = 2a, i | F 1 F 2 | < 2a.

Kanonska jednadžba

Za bilo koju elipsu možete pronaći kartezijanski koordinatni sustav tako da je elipsa opisana jednadžbom (kanonska jednadžba elipse):

Opisuje elipsu sa središtem u ishodištu, čije se osi poklapaju s koordinatnim osi.

Zgrada: 1) Korištenje kompasa

2) Dva trika i čvrsta nit

3) Elipsograf (Elipsograf se sastoji od dva klizača koji se mogu kretati duž dva okomita utora ili vodilice. Klizači su pričvršćeni na šipku pomoću šarki i na fiksnoj su udaljenosti jedan od drugog duž šipke. Klizači se kreću naprijed i unatrag - svaki uz svoj utor, - a kraj šipke opisuje elipsu na ravnini. Poluosi elipse a i b su udaljenosti od kraja šipke do šarki na klizačima. Obično udaljenosti a i b se mogu mijenjati, a samim tim mijenjati oblik i veličinu opisane elipse)

Ekscentricitet karakterizira produljenje elipse. Što je ekscentricitet bliži nuli, elipsa više nalikuje kružnici, i obrnuto, što je ekscentricitet bliži jedinici, to je izduženija.

Fokalni parametar

Kanonska jednadžba

18.Hiperbola. Kanonske jednadžbe hiperbole. Geometrijska svojstva i konstrukcija hiperbole. Posebni uvjeti

Hiperbola(starogrčki ὑπερβολή, od starogrčkog βαλειν - "baciti", ὑπερ - "preko") - geometrijsko mjesto točaka M Euklidska ravnina, za koju je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od M do dvije odabrane točke F 1 i F 2 (tzv. fokusi) stalno. Točnije,

Štoviše | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Omjeri

Za karakteristike hiperbola definirane gore, one se pokoravaju sljedećim odnosima

2. Hyperbola direktive su označene linijama dvostruke debljine i označene su sa D 1 i D 2. Ekscentričnost ε jednak je omjeru udaljenosti točke P na hiperbolu za fokus i na odgovarajuću direktriku (prikazano zelenom bojom). Vrhovi hiperbole su označeni sa ± a... Parametri hiperbole znače sljedeće:

a- udaljenost od centra C svakom od vrhova
b- duljina okomice spuštena sa svakog od vrhova asimptotama
c- udaljenost od centra C na bilo koji trik, F 1 i F 2 ,
θ je kut koji čine svaka od asimptota i os povučena između vrhova.

Svojstva

§ Za bilo koju točku koja leži na hiperboli, omjer udaljenosti od ove točke do žarišta i udaljenosti od iste točke do direktrise je konstantna vrijednost.

§ Hiperbola ima zrcalnu simetriju u odnosu na realnu i imaginarnu os, kao i rotirajuću simetriju kada je rotirana za kut od 180° oko središta hiperbole.

§ Svaka hiperbola ima konjugirana hiperbola, za koje su realna i imaginarna os obrnute, ali asimptote ostaju iste. Ovo odgovara zamjeni a i b jedan na drugi u formuli koja opisuje hiperbolu. Konjugirana hiperbola nije rezultat rotacije početne hiperbole za 90°; obje se hiperbole razlikuju po obliku.

19. Parabola. Kanonska jednadžba parabole. Geometrijska svojstva i konstrukcija parabole. Posebni uvjeti.

Parabola - mjesto točaka jednako udaljenih od zadane ravne crte (koja se naziva direktrisa parabole) i zadane točke (koja se naziva fokus parabole).

Kanonska jednadžba parabole u pravokutnom koordinatnom sustavu:

(ili, ako zamijenite osi).

Svojstva

§ 1 Parabola je krivulja drugog reda.

§ 2 Ima os simetrije tzv os parabole... Os prolazi kroz žarište i okomita je na direktrisu.

§ 3 Optičko svojstvo. U svom fokusu skuplja se snop zraka paralelan s osi parabole, reflektiran u paraboli. Obrnuto, svjetlost iz izvora u fokusu reflektira se parabolom u snop zraka paralelnih s njegovom osi.

§ 4 Za parabolu, žarište je u točki (0,25; 0).

Za parabolu, fokus je u točki (0; f).

§ 5 Ako se žarište parabole reflektira u odnosu na tangentu, tada će njezina slika ležati na direktrisi.

§ 6 Parabola je antipodera ravne linije.

§ Sve parabole su slične. Udaljenost između fokusa i direktrise određuje ljestvicu.

§ 7. Kada se parabola okreće oko osi simetrije, dobiva se eliptični paraboloid.

Parabola ravnateljica

Fokalni radijus

20.Normalni vektor ravnine. Jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na dati vektor. Opća jednadžba ravnine, poseban slučaj opće jednadžbe ravnine. Vektorska jednadžba ravnine. Relativni položaj dviju ravnina.

Avion- jedan od osnovnih pojmova geometrije. U sustavnom prikazu geometrije pojam ravnine obično se uzima kao jedan od izvornih pojmova, koji je samo posredno određen aksiomima geometrije.

Jednadžba ravnine po točki i vektor normale
U vektorskom obliku

U koordinatama

Kut između ravnina

Posebni slučajevi opće jednadžbe ravnine.

Pri proučavanju raznih grana fizike, mehanike i tehničkih znanosti postoje veličine koje se u potpunosti određuju navođenjem njihovih brojčanih vrijednosti. Takve količine se nazivaju skalarni ili, ukratko, skalarima.

Skalarne veličine su duljina, površina, volumen, masa, tjelesna temperatura itd. Osim skalarnih veličina, u raznim zadacima postoje veličine, za čije je određivanje, osim brojčane vrijednosti, potrebno znati i njihov smjer. . Takve količine se nazivaju vektor... Fizički primjeri vektorskih veličina su pomak materijalne točke koja se kreće u prostoru, brzina i ubrzanje te točke, kao i sila koja na nju djeluje.

Vektorske količine su prikazane pomoću vektora.

Vektorska definicija... Vektor je usmjereni segment ravne linije koji ima određenu duljinu.

Vektor karakteriziraju dvije točke. Jedna točka je početna točka vektora, druga točka je krajnja točka vektora. Ako početak vektora označimo točkom A , a kraj vektora po točki V , tada se označava sam vektor. Vektor se također može označiti jednim malim latiničnim slovom s crtom iznad njega (na primjer,).

Grafički, vektor je označen segmentom linije sa strelicom na kraju.

Početak vektora naziva se točka njegove primjene. Ako točka A je početak vektora , tada ćemo reći da je vektor primijenjen na točku A.

Vektor karakteriziraju dvije dimenzije: duljina i smjer.

Duljina vektora – udaljenost između početnih točaka A i krajnjih točaka B. Drugi naziv za duljinu vektora je modul vektora a označava se simbolom . Modul vektora je označen Vektor , čija je duljina 1 naziva se jedinični vektor. To jest, uvjet za jedinični vektor

Vektor nulte duljine naziva se nulti vektor (označen). Očito, nulti vektor ima iste početne i krajnje točke. Nulti vektor nema određeni smjer.

Određivanje kolinearnih vektora... Vektori koji se nalaze na jednoj pravoj liniji ili na paralelnim ravnim linijama nazivaju se kolinearni .

Imajte na umu da kolinearni vektori mogu imati različite duljine i različite smjerove.

Određivanje jednakih vektora. Dva vektora i nazivaju se jednakima ako su kolinearni, imaju istu duljinu i isti smjer.

U ovom slučaju pišu:

Komentar... Iz definicije jednakosti vektora proizlazi da se vektor može prenijeti paralelno postavljanjem njegovog ishodišta u bilo koju točku u prostoru (posebno u ravninu).

Svi nulti vektori smatraju se jednakima.

Određivanje suprotnih vektora. Dva vektora i nazivaju se suprotni ako su kolinearni, imaju istu duljinu, ali suprotan smjer.

U ovom slučaju pišu:

Drugim riječima, vektor suprotan vektoru označava se kao.