Ostatnie twierdzenie Fermata: dowód Wilesa i Perelmana, wzory, zasady obliczeń i pełny dowód twierdzenia. Sensacja wokół twierdzenia Farma okazała się nieporozumieniem. Ścieżka naukowa Sir Andrew

W ostatnim XX wieku miało miejsce wydarzenie, które w całej historii matematyki nie miało takiej skali. 19 września 1994 roku udowodniono twierdzenie sformułowane przez Pierre'a de Fermata (1601-1665) ponad 350 lat temu w 1637 roku. Znane jest również jako „ostatnie twierdzenie Fermata” lub „ostatnie twierdzenie Fermata”, ponieważ istnieje również tak zwane „małe twierdzenie Fermata”. Udowodnił to 41-latek, który do tej pory nie wyróżniał się w środowisku matematycznym i, jak na standardy matematyczne, już w średnim wieku, profesor Uniwersytetu Princeton Andrew Wiles.

Zaskakujące jest, że nie tylko nasi zwykli rosyjscy mieszkańcy, ale także wiele osób zainteresowanych nauką, w tym nawet znaczna liczba naukowców w Rosji, którzy w taki czy inny sposób wykorzystują matematykę, tak naprawdę nie wiedzą o tym wydarzeniu. Świadczą o tym ciągłe „sensacyjne” doniesienia o „elementarnych dowodach” twierdzenia Fermata w popularnych rosyjskich gazetach i telewizji. Najnowsze dowody miały taką moc informacyjną, jak gdyby zeznania Wilesa, które przeszły najbardziej autorytatywne badania i stały się powszechnie znane na całym świecie, nie istniały. Reakcja rosyjskiego środowiska matematycznego na tę wiadomość z pierwszych stron gazet w kontekście rygorystycznego dowodu uzyskanego dawno temu była zaskakująco powolna. Naszym celem jest nakreślenie fascynującej i dramatycznej historii dowodu Wilesa w kontekście urzekającej historii samego wielkiego twierdzenia Fermata i omówienie samego jego dowodu. Interesuje nas tutaj przede wszystkim kwestia możliwości przystępnego przedstawienia dowodu Wilesa, o czym oczywiście wie większość matematyków na świecie, ale tylko bardzo, bardzo niewielu z nich może mówić o zrozumieniu tego dowodu.

Przypomnijmy więc słynne twierdzenie Fermata. Większość z nas słyszała o tym w taki czy inny sposób od czasów szkolnych. Twierdzenie to jest powiązane z bardzo istotnym równaniem. Jest to prawdopodobnie najprostsze sensowne równanie, które można zapisać przy użyciu trzech niewiadomych i jednego bardziej dodatniego parametru całkowitego. Oto ona:

Ostatnie twierdzenie Fermata stwierdza, że dla wartości parametru (stopnia równania) większych niż dwa nie ma rozwiązań całkowitych danego równania (z wyjątkiem oczywiście rozwiązania, w którym wszystkie te zmienne są równe zeru w punkcie o tym samym czasie).

Atrakcyjność twierdzenia Fermata dla ogółu społeczeństwa jest oczywista: nie ma drugiego twierdzenia matematycznego, które charakteryzowałoby się taką prostotą sformułowania, oczywistą dostępnością dowodu, a także atrakcyjnością jego „statusu” w oczach społeczeństwa.

Przed Wilesem dodatkową zachętą dla fermatystów (jak nazywano ludzi maniakalnie atakujących problem Fermata) była ustanowiona prawie sto lat temu niemiecka nagroda za dowód Wolfskehla, choć niewielka w porównaniu z Nagrodą Nobla – zdążyła ona zdeprecjonować się w okresie I Wojna światowa.

Ponadto prawdopodobny elementarny charakter dowodu zawsze przyciągał uwagę, gdyż sam Fermat „udowodnił to” pisząc na marginesie tłumaczenia Arytmetyki Diofantosa: „Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale tutaj marginesy są zbyt wąskie, aby je pomieścić.”

Dlatego też warto w tym miejscu ocenić zasadność popularyzacji dowodu Wilesa na problem Fermata, należącego do słynnego amerykańskiego matematyka R. Murty’ego (cytujemy z mającego się wkrótce ukazać tłumaczenia książki autorstwa Yu. Manin i A. Panchishkin „Wprowadzenie do współczesnej teorii liczb”):

„Ostatnie twierdzenie Fermata zajmuje szczególne miejsce w historii cywilizacji. Swoją zewnętrzną prostotą zawsze przyciągał zarówno amatorów, jak i profesjonalistów... Wszystko wygląda tak, jakby zostało wymyślone przez jakiś wyższy umysł, który na przestrzeni wieków wykształcił różne toki myślenia, by następnie połączyć je ponownie w jedną ekscytującą fuzję, aby rozwiązać Wielkie Twierdzenia Fermata. Nikt nie może uważać się za eksperta we wszystkich koncepcjach użytych w tym „cudownym” dowodzie. W dobie powszechnej specjalizacji, kiedy każdy z nas wie „coraz więcej o coraz mniej”, koniecznie trzeba mieć przegląd tego arcydzieła…”

Zacznijmy od krótkiej wycieczki historycznej, zainspirowanej głównie fascynującą książką Simona Singha Ostatnie twierdzenie Fermata. Wokół podstępnego twierdzenia, urzekającego pozorną prostotą, zawsze kipiały poważne namiętności. Historia jego dowodu jest pełna dramatyzmu, mistycyzmu, a nawet bezpośrednich ofiar. Być może najbardziej charakterystyczną ofiarą jest Yutaka Taniyama (1927–1958). To właśnie ten młody utalentowany japoński matematyk, wyróżniający się wielką ekstrawagancją życiową, stworzył podstawę do ataku Wilesa w 1955 roku. Na podstawie swoich pomysłów Goro Shimura i Andre Weil kilka lat później (60-67) ostatecznie sformułowali słynne założenie, którego udowodniwszy znaczną część, Wiles otrzymał jako wniosek twierdzenie Fermata. Mistycyzm historii śmierci nietrywialnego Yutaki wiąże się z jego burzliwym temperamentem: powiesił się w wieku trzydziestu jeden lat z powodu nieszczęśliwej miłości.

Całej długiej historii tajemniczego twierdzenia towarzyszyły ciągłe zapowiedzi jego dowodu, począwszy od samego Fermata. Ciągłe błędy w niekończącym się strumieniu dowodów spotykają nie tylko matematyków-amatorów, ale także matematyków zawodowych. Doprowadziło to do tego, że termin „Fermatysta”, odnoszący się do tych, którzy udowodnili twierdzenie Fermata, stał się rzeczownikiem pospolitym. Ciągła intryga związana z jej dowodem czasami prowadziła do zabawnych incydentów. Kiedy więc odkryto lukę w pierwszej wersji szeroko już nagłośnionego dowodu Wilesa, na jednej ze stacji metra w Nowym Jorku pojawił się złośliwy napis: „Znalazłem naprawdę wspaniały dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale przyjechał mój pociąg i nie mam czasu, żeby to spisać.

Andrew Wiles, urodzony w Anglii w 1953 r., studiował matematykę w Cambridge; na studiach studiował u profesora Johna Coatesa. Pod jego kierunkiem Andrew zrozumiał teorię japońskiego matematyka Iwasawy, sytuującą się na pograniczu klasycznej teorii liczb i współczesnej geometrii algebraicznej. To połączenie pozornie odległych dyscyplin matematycznych nazywa się arytmetyczną geometrią algebraiczną. Andrew rzucił wyzwanie problemowi Fermata, opierając się właśnie na tej syntetycznej teorii, trudnej nawet dla wielu zawodowych matematyków.

Po ukończeniu studiów wyższych Wiles przyjął stanowisko na Uniwersytecie Princeton, gdzie pracuje do dziś. Jest żonaty i ma trzy córki, z których dwie urodziły się „w trakcie siedmioletniego procesu pierwszej wersji dowodu”. Przez te lata tylko Nada, żona Andrzeja, wiedziała, że sam szturmuje najbardziej niedostępny i najsłynniejszy szczyt matematyki. To im, Nadyi, Claire, Kate i Olivii, dedykowany jest słynny artykuł końcowy Wilesa „Modularne krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata” w centralnym czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”, w którym publikowane są najważniejsze prace matematyczne.

Same wydarzenia wokół dowodu potoczyły się dość dramatycznie. Ten ekscytujący scenariusz można nazwać „fermatystą – zawodowym matematykiem”.

Rzeczywiście, Andrew od młodości marzył o udowodnieniu twierdzenia Fermata. Ale w przeciwieństwie do przeważającej większości fermatystów było dla niego jasne, że w tym celu konieczne jest opanowanie całych warstw najbardziej złożonej matematyki. Zmierzając do celu, Andrew kończy studia na Wydziale Matematyki słynnego Uniwersytetu w Cambridge i zaczyna specjalizować się we współczesnej teorii liczb, która leży na skrzyżowaniu z geometrią algebraiczną.

Idea szturmu na lśniący szczyt jest dość prosta i fundamentalna – najlepsza możliwa amunicja i staranne opracowanie trasy.

Jako potężne narzędzie do osiągnięcia celu wybrano teorię Iwasawy, opracowaną przez samego Wilesa i znaną mu już, mającą głębokie korzenie historyczne. Teoria ta uogólniła teorię Kummera, historycznie pierwszą poważną teorię matematyczną, która zaatakowała problem Fermata, który pojawił się już w XIX wieku. Z kolei korzenie teorii Kummera sięgają słynnej teorii legendarnego i genialnego romantycznego rewolucjonisty Evariste Galois, który w wieku dwudziestu jeden lat zginął w pojedynku w obronie honoru dziewczyny (uważajcie, przypominając sobie historię z Taniyamą , po fatalną rolę pięknych dam w historii matematyki).

Wiles całkowicie pogrążył się w dowodach, zaprzestając nawet udziału w konferencjach naukowych. W wyniku siedmioletniego odosobnienia od społeczności matematycznej w Princeton, w maju 1993 roku, Andrew położył kres swojemu tekstowi – zadanie zostało wykonane.

Właśnie w tym czasie pojawiła się doskonała okazja, aby powiadomić świat naukowy o swoim odkryciu - już w czerwcu w jego rodzinnym Cambridge miała się odbyć konferencja na dokładnie pożądany temat. Trzy wykłady Izaaka Newtona w Instytucie Cambridge ekscytują nie tylko świat matematyki, ale także ogół społeczeństwa. Pod koniec trzeciego wykładu, 23 czerwca 1993, Wiles ogłasza dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. Dowód zawiera całą masę nowych pomysłów, takich jak nowe podejście do hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila, znacznie zaawansowana teoria Iwasawy, nowa „teoria kontroli deformacji” reprezentacji Galois. Społeczność matematyczna z niecierpliwością czeka na recenzję tekstu dowodu przez ekspertów w dziedzinie arytmetycznej geometrii algebraicznej.

I tu następuje dramatyczny zwrot. Sam Wiles w trakcie komunikacji z recenzentami odkrywa lukę w swoich dowodach. Pęknięcie powstało na skutek wymyślonego przez niego mechanizmu „kontroli deformacji” – konstrukcji nośnej próby.

Lukę ujawnia kilka miesięcy później Wiles, linijka po linijce, wyjaśniając swój dowód koledze z wydziału Princeton, Nickowi Katzowi. Nick Katz, od dawna utrzymujący przyjazne stosunki z Andrew, zaleca mu współpracę z młodym, obiecującym angielskim matematykiem Richardem Taylorem.

Mija kolejny rok ciężkiej pracy, związanej z badaniami nad dodatkową bronią do atakowania nierozwiązywalnego problemu - tzw. systemami Eulera, samodzielnie odkrytymi w latach 80. ) i tajski.

A oto nowy test. Nieukończony, ale wciąż imponujący, wynik pracy Wilesa został przez niego zgłoszony na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Zurychu pod koniec sierpnia 1994 roku. Wiles walczy dzielnie. Dosłownie przed raportem, według naocznych świadków, gorączkowo pisał coś innego, starając się maksymalnie poprawić sytuację za pomocą „zapadających się” dowodów.

Po tej intrygującej publiczności złożonej z czołowych matematyków świata, jak wynika z raportu Wilesa, społeczność matematyczna „oddycha radośnie” i ze współczuciem bije brawa: wszystko w porządku, chłopie, nieważne, co się stanie, ale on rozwinął naukę, pokazując, że rozwiązując tak nie do pokonania hipotezę, można pomyślnie awansować, czego nikt wcześniej nie zrobił. Nawet nie myślałem o tym. Inny fermatysta, Andrew Wiles, nie mógł rozwiać sekretnego marzenia wielu matematyków o udowodnieniu twierdzenia Fermata.

Naturalne jest wyobrażenie sobie stanu Wilesa w tamtym czasie. Nawet wsparcie i przyjacielska postawa kolegów nie były w stanie zrekompensować jego stanu psychicznego wyniszczenia.

I tak, zaledwie miesiąc później, kiedy – jak pisze Wiles we wstępie do swojego ostatniego artykułu w Annals zawierającego ostateczny dowód – „postanowiłem rzucić jeszcze raz okiem na systemy Eulera, próbując ożywić ten argument dowodowy”, stało się . Wiles doznał przebłysku 19 września 1994 roku. To właśnie tego dnia luka w dowodzie została zamknięta.

Potem sprawy potoczyły się w szybkim tempie. Już nawiązana współpraca z Richardem Taylorem przy badaniu systemów Eulera Kolyvagina i Thaina pozwoliła na sfinalizowanie dowodu w formie dwóch dużych artykułów w październiku.

Ich publikacja, która wypełniła cały numer Annals of Mathematics, miała miejsce w listopadzie 1994 roku. Wszystko to spowodowało nowy, potężny przypływ informacji. Historia dowodu Wilesa odbiła się entuzjastycznie w prasie w Stanach Zjednoczonych, nakręcono film i wydano książki o autorze fantastycznego przełomu w matematyce. W jednej z ocen własnej pracy Wiles zauważył, że wynalazł matematykę przyszłości.

(Zastanawiam się, czy tak jest? Zauważmy tylko, że przy całej tej burzy informacyjnej istniał ostry kontrast z niemal zerowym rezonansem informacyjnym w Rosji, który trwa do dziś).

Zadajmy sobie pytanie: czym jest „wewnętrzna kuchnia” uzyskiwania znakomitych wyników? Przecież ciekawe jest wiedzieć, jak naukowiec organizuje swoją pracę, na czym się w niej koncentruje i jak wyznacza priorytety swoich działań. Co w tym sensie można powiedzieć o Andrew Wilesie? I nieoczekiwanie okazuje się, że we współczesnej dobie aktywnej komunikacji naukowej i kolektywnego stylu pracy Wiles miał własne spojrzenie na styl pracy nad superproblemami.

Wiles osiągnął swój fantastyczny wynik w oparciu o intensywną, ciągłą, wieloletnią pracę indywidualną. Organizacja jej działalności, posługując się językiem urzędowym, miała charakter skrajnie nieplanowany. Tego kategorycznie nie można nazwać działaniem w ramach dotacji celowej, dla której trzeba regularnie raportować i każdorazowo planować uzyskanie określonych rezultatów w określonym terminie.

Taka działalność poza społeczeństwem, która nie polegała na bezpośredniej komunikacji naukowej z kolegami nawet na konferencjach, zdawała się zaprzeczać wszelkim kanonom pracy współczesnego naukowca.

Ale to indywidualna praca pozwoliła wyjść poza ustalone już standardowe koncepcje i metody. Ten styl pracy, zamknięty w formie, a jednocześnie swobodny w istocie, umożliwił wynalezienie nowych, skutecznych metod i uzyskanie wyników na nowym poziomie.

Problem, przed którym stanął Wiles (przypuszczenie Taniyamy-Shimury-Weila), nie należał nawet do najbliższych szczytów, jakie współczesna matematyka mogła w tamtych latach pokonać. Jednocześnie żaden ze specjalistów nie zaprzeczał jej ogromnemu znaczeniu, a nominalnie znajdowała się ona w „głównym nurcie” współczesnej matematyki.

Działania Wilesa miały zatem charakter wyraźnie niesystemowy, a rezultat został osiągnięty dzięki silnej motywacji, talentowi, swobodzie twórczej, woli, a nie tylko sprzyjającym warunkom materialnym do pracy w Princeton i, co najważniejsze, wzajemnemu zrozumieniu w rodzinie.

Dowód Wilesa, który pojawił się jak grom z jasnego nieba, stał się swego rodzaju sprawdzianem dla międzynarodowej społeczności matematycznej. Reakcja nawet najbardziej postępowej części tego środowiska jako całości okazała się, co dziwne, całkiem neutralna. Gdy emocje i zachwyt po raz pierwszy opadły po ukazaniu się przełomowego dowodu, wszyscy spokojnie kontynuowali swoje sprawy. Specjaliści od arytmetycznej geometrii algebraicznej powoli studiowali „potężny dowód” w swoim wąskim kręgu, podczas gdy reszta przemierzała swoje matematyczne ścieżki, rozchodząc się, jak poprzednio, coraz bardziej od siebie.

Spróbujmy zrozumieć tę sytuację, która ma zarówno przyczyny obiektywne, jak i subiektywne. Co dziwne, obiektywne czynniki braku percepcji mają swoje korzenie w strukturze organizacyjnej współczesnej działalności naukowej. Ta działalność jest jak lodowisko poruszające się po pochyłej drodze i posiadające kolosalną bezwładność: własną szkołę, własne ustalone priorytety, własne źródła finansowania itp. Wszystko to jest dobre z punktu widzenia ustalonego systemu raportowania do grantodawcy, ale utrudnia podniesienie głowy i rozejrzenie się: co tak naprawdę jest ważne i istotne dla nauki i społeczeństwa, a nie dla kolejnej części Dotacja?

Potem – znowu – nie chcesz wyjść ze swojej przytulnej dziury, gdzie wszystko jest tak znajome, i wdrapać się do innej, zupełnie nieznanej dziury. Nie wiadomo, czego się tam spodziewać. Co więcej, oczywiste jest, że nie dają pieniędzy za włamanie.

Jest rzeczą zupełnie naturalną, że żadna ze struktur biurokratycznych organizujących naukę w różnych krajach, w tym w Rosji, nie wyciągnęła wniosków nie tylko ze fenomenu dowodu Andrew Wilesa, ale także z podobnego zjawiska, jakim był sensacyjny dowód Grigorija Perelmana na inny, także słynny matematyczny dowód. problem.

Subiektywne czynniki neutralności reakcji świata matematycznego na „wydarzenie tysiąclecia” mają swoje dość prozaiczne przyczyny. Dowód jest rzeczywiście niezwykle skomplikowany i długi. Dla niespecjalisty w arytmetycznej geometrii algebraicznej wydaje się, że składa się z warstw terminologii i konstrukcji najbardziej abstrakcyjnych dyscyplin matematycznych. Wydaje się, że autor wcale nie postawił sobie za cel, aby został zrozumiany przez jak największą liczbę zainteresowanych matematyków.

Ta złożoność metodologiczna jest niestety nieuniknionym kosztem wielkich dowodów ostatnich czasów (na przykład analiza niedawnego dowodu hipotezy Poincarégo dokonanego przez Grigory'ego Perelmana trwa do dziś).

Złożoność percepcji dodatkowo zwiększa fakt, że arytmetyczna geometria algebraiczna jest bardzo egzotyczną dziedziną matematyki, sprawiającą trudności nawet zawodowym matematykom. Sprawę pogorszył także niezwykły syntetyczny charakter dowodu Wilesa, w którym wykorzystano różnorodne nowoczesne narzędzia stworzone w ostatnich latach przez dużą liczbę matematyków.

Musimy jednak wziąć pod uwagę, że Wiles nie stanął przed metodologicznym zadaniem wyjaśnienia – konstruował nową metodę. W tej metodzie zadziałała właśnie synteza własnych genialnych pomysłów Wilesa i konglomerat najnowszych wyników z różnych kierunków matematycznych. I to właśnie tak potężna konstrukcja stanęła przed problemem nie do pokonania. Dowód nie był przypadkowy. Fakt jej krystalizacji był w pełni zgodny zarówno z logiką rozwoju nauki, jak i logiką wiedzy. Zadanie wyjaśnienia takiego superdowodu wydaje się być problemem całkowicie niezależnym, bardzo trudnym, choć bardzo obiecującym.

Możesz sam sprawdzić opinię publiczną. Spróbuj zadać znajomym matematykom pytania na temat dowodu Wilesa: kto zrozumiał? Kto zrozumiał przynajmniej podstawowe idee? Kto chciał zrozumieć? Kto uważał, że to nowa matematyka? Odpowiedzi na te pytania wydają się retoryczne. I jest mało prawdopodobne, że spotkasz wielu ludzi, którzy chcą przełamać palisadę specjalnych terminów i opanować nowe koncepcje i metody, aby rozwiązać tylko jedno bardzo egzotyczne równanie. I dlaczego konieczne jest studiowanie tego wszystkiego ze względu na to konkretne zadanie?!

Podam zabawny przykład. Kilka lat temu słynny francuski matematyk, laureat Fieldsa, Pierre Deligne, czołowy specjalista w dziedzinie geometrii algebraicznej i teorii liczb, zapytany przez autora o znaczenie jednego z kluczowych obiektów dowodu Wilesa – tzw. pierścień deformacji” – po półgodzinnym namyśle stwierdził, że nie do końca rozumie znaczenie tego obiektu. Od dowodu w tym momencie minęło dziesięć lat.

Teraz możemy odtworzyć reakcję rosyjskich matematyków. Główną reakcją jest jego prawie całkowity brak. Wynika to głównie z „ciężkiej” i „niezwykłej” matematyki Wilesa.

Na przykład w klasycznej teorii liczb nie znajdziesz tak długich dowodów jak dowód Wilesa. Jak mówią teoretycy liczb, „dowód powinien zajmować całą stronę” (dowód Wilesa we współpracy z Taylorem w wersji czasopisma zajmuje 120 stron).

Nie można też wykluczyć czynnika strachu przed nieprofesjonalizmem swojej oceny: reagując, bierzesz na siebie odpowiedzialność za ocenę materiału dowodowego. Jak to zrobić, jeśli nie znasz tej matematyki?

Charakterystyczne jest stanowisko zajmowane przez bezpośrednich specjalistów teorii liczb: „...i zachwyt, i palące zainteresowanie, i ostrożność wobec jednej z największych tajemnic w historii matematyki” (ze wstępu do książki Paulo Ribenboima „Ostatnie twierdzenie Fermata dla amatorów” – jedyne, które dzisiaj jest dostępne dla zwykłego czytelnika bezpośrednio z dowodu Wilesa.

Reakcja jednego z najsłynniejszych współczesnych rosyjskich matematyków, akademika V.I. Arnold jest „aktywnie sceptyczny” co do dowodu: to nie jest prawdziwa matematyka – prawdziwa matematyka jest geometryczna i ma silne powiązania z fizyką. Co więcej, sam problem Fermata ze swej natury nie może generować rozwoju matematyki, ponieważ jest „binarny”, to znaczy sformułowanie problemu wymaga odpowiedzi jedynie na pytanie „tak lub nie”. Jednocześnie prace matematyczne samego V.I. Prace Arnolda okazały się w dużej mierze poświęcone wariacjom na bardzo podobne tematy z teorii liczb. Możliwe, że paradoksalnie Wiles stał się pośrednią przyczyną tej działalności.

Na Wydziale Mechaniki i Matematyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego pojawiają się jednak entuzjaści dowodów. Wybitny matematyk i popularny naukowiec Yu.P. Sołowiew (przedwcześnie od nas odszedł) inicjuje tłumaczenie książki E. Knappa o krzywych eliptycznych z niezbędnym materiałem na temat hipotezy Taniyamy – Shimury – Weila. Alexey Panchishkin, obecnie pracujący we Francji, wykładał na Wydziale Mechaniki i Matematyki w 2001 roku, co stało się podstawą jego odpowiedniej części z Yu.I. Manina z wyżej wspomnianej znakomitej książki o współczesnej teorii liczb (opublikowanej w tłumaczeniu rosyjskim przez Siergieja Gorczyńskiego pod redakcją Aleksieja Parszyna w 2007 r.).

Nieco zaskakujące jest to, że w Moskiewskim Instytucie Matematycznym Stekłowa – centrum rosyjskiego świata matematycznego – dowód Wilesa nie był omawiany na seminariach, lecz był badany jedynie przez indywidualnych wyspecjalizowanych ekspertów. Co więcej, nie zrozumiano dowodu całej hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila (Wiles udowodnił jedynie jej część, wystarczającą do udowodnienia twierdzenia Fermata). Dowód ten przedstawił w 2000 roku cały zespół matematyków zagranicznych, w tym Richard Taylor, współautor Wilesa na ostatnim etapie dowodu twierdzenia Fermata.

Nie było też publicznych oświadczeń, a tym bardziej dyskusji ze strony znanych rosyjskich matematyków na temat dowodu Wilesa. Pomiędzy Rosjaninem V. Arnoldem („sceptykiem metody dowodu”) a Amerykaninem S. Langiem („entuzjastą metody dowodu”) toczy się dość ostra dyskusja, jednak ślady po niej zaginęły na Zachodzie. publikacje. W rosyjskiej centralnej prasie matematycznej w czasie, jaki upłynął od publikacji dowodu Wilesa, nie ukazały się żadne publikacje na temat dowodu. Być może jedyną publikacją na ten temat było tłumaczenie artykułu kanadyjskiego matematyka Henry'ego Darmona, nawet niekompletnej wersji dowodu, w Advances in Mathematical Sciences w 1995 roku (zabawne, że pełny dowód został już opublikowany).

Na tym „sennym” tle matematycznym, pomimo wysoce abstrakcyjnego charakteru dowodu Wilesa, niektórzy nieustraszeni fizycy teoretyczni włączyli go do obszaru swoich potencjalnych zainteresowań i zaczęli go badać, mając nadzieję, że prędzej czy później znajdą zastosowania matematyki Wilesa. Nie można się z tego nie cieszyć, choćby dlatego, że matematyka przez te wszystkie lata znajdowała się praktycznie w samoizolacji.

Niemniej jednak problem adaptacji dowodu, który niezwykle pogarsza jego potencjał użytkowy, pozostał i pozostaje bardzo aktualny. Do tej pory oryginalny, wysoce specjalistyczny tekst artykułu Wilesa oraz wspólny artykuł Wilesa i Taylora został już zaadaptowany, choć tylko dla dość wąskiego kręgu zawodowych matematyków. Dokonano tego we wspomnianej książce Yu. Manina i A. Panchishkina. Udało im się skutecznie załagodzić pewną sztuczność pierwotnego dowodu. Ponadto amerykański matematyk Serge Lang, zagorzały propagator dowodu Wilesa (który niestety zmarł we wrześniu 2005 r.), umieścił niektóre z najważniejszych konstrukcji dowodu w trzecim wydaniu swojego klasycznego już podręcznika uniwersyteckiego Algebra.

Jako przykład sztuczności pierwotnego dowodu możemy zauważyć, że jedną ze szczególnie uderzających cech wywołujących to wrażenie jest szczególna rola poszczególnych liczb pierwszych, takich jak 2, 3, 5, 11, 17, a także poszczególnych liczb naturalnych takich jak 15, 30 i 60. Między innymi jest całkiem oczywiste, że dowód nie jest geometryczny w najzwyklejszym tego słowa znaczeniu. Nie zawiera naturalnych obrazów geometrycznych, do których można by się przyczepić dla lepszego zrozumienia tekstu. Niezwykle potężna „terminologizowana” algebra abstrakcyjna i „zaawansowana” teoria liczb z czysto psychologicznego punktu widzenia podważają zdolność dostrzeżenia dowodu nawet wykwalifikowanego czytelnika matematycznego.

Można się tylko zastanawiać, dlaczego w takiej sytuacji dowódcy, w tym sam Wiles, nie „doszlifowują”, nie promują i nie popularyzują oczywistego „przeboju matematycznego” nawet w swoim rodzimym środowisku matematycznym.

Czyli w skrócie, dzisiaj fakt dowodu Wilesa to po prostu fakt dowodu twierdzenia Fermata ze statusem pierwszego poprawnego dowodu i użytej w nim „jakiejś superpotężnej matematyki”.

Słynny rosyjski matematyk z połowy ubiegłego wieku, były dziekan Wydziału Mechaniki i Matematyki V.V., bardzo wyraźnie mówił o potężnej, ale jeszcze nie stosowanej matematyce. Gołubiew:

„...według dowcipnej uwagi F. Kleina wiele wydziałów matematyki przypomina wystawy najnowszych modeli broni, które istnieją w firmach produkujących broń; przy całym dowcipie wynalazców często zdarza się, że gdy zaczyna się prawdziwa wojna, te nowe produkty okazują się z tego czy innego powodu bezużyteczne... Współczesne nauczanie matematyki przedstawia dokładnie ten sam obraz; studenci otrzymują w swoje ręce bardzo zaawansowane i potężne środki badań matematycznych..., ale wtedy studenci nie mogą znieść pojęcia, gdzie i jak można zastosować te potężne i pomysłowe metody do rozwiązania głównego zadania całej nauki: zrozumienia otaczający nas świat i wpływanie na niego jest twórczą wolą człowieka. W pewnym momencie A. P. Czechow mówił, że jeśli w pierwszym akcie sztuki na scenie wisi pistolet, to przynajmniej w trzecim akcie trzeba z niego wystrzelić. Uwaga ta ma pełne zastosowanie w nauczaniu matematyki: jeśli studentom zostanie przedstawiona jakaś teoria, to prędzej czy później trzeba pokazać, jakie zastosowania można z tej teorii wyciągnąć, przede wszystkim w mechanice, fizyce czy technologii oraz w innych dziedzinach. obszary.”

Kontynuując tę analogię, możemy powiedzieć, że dowód Wilesa stanowi niezwykle korzystny materiał do badania ogromnej warstwy współczesnej matematyki podstawowej. Tutaj studenci mogą pokazać, jak problematyka klasycznej teorii liczb jest ściśle powiązana z takimi gałęziami czystej matematyki, jak współczesna algebraiczna teoria liczb, współczesna teoria Galois, matematyka p-adyczna, arytmetyczna geometria algebraiczna, algebra przemienna i nieprzemienna.

Byłoby sprawiedliwie, gdyby potwierdziło się przekonanie Wilesa, że wymyślona przez niego matematyka – matematyka na nowym poziomie – została potwierdzona. I naprawdę nie chcę, żeby tę naprawdę piękną i syntetyczną matematykę spotkał los „niewystrzelonej broni”.

A jednak zadajmy sobie teraz pytanie: czy da się opisać dowód Wilesa w sposób wystarczająco przystępny dla szerokiego kręgu zainteresowanych?

Z punktu widzenia ekspertów jest to absolutna utopia. Ale mimo to spróbujmy, kierując się prostym założeniem, że twierdzenie Fermata jest stwierdzeniem jedynie o punktach całkowitych naszej zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Będziemy kolejno zastępować punkty współrzędnymi całkowitymi w równaniu Fermata.

Wiles znajduje optymalny mechanizm przeliczania punktów całkowitych i testowania ich tak, aby spełniały równanie twierdzenia Fermata (po wprowadzeniu niezbędnych definicji takie przeliczenie będzie dokładnie odpowiadać tzw. „właściwości modułowości krzywych eliptycznych na polu liczb wymiernych” , opisane hipotezą Taniyamy-Shimury-Weila).

Mechanizm przeliczeń optymalizowany jest za pomocą niezwykłego odkrycia niemieckiego matematyka Gerharda Freya, który połączył potencjalne rozwiązanie równania Fermata z dowolnym wykładnikiem z innym, zupełnie innym równaniem. To nowe równanie jest określone przez specjalną krzywą (zwaną krzywą eliptyczną Freya). Tę krzywą Freya oblicza się za pomocą bardzo prostego równania:

Zaskoczeniem pomysłu Freya było przejście od liczbowo-teoretycznego charakteru problemu do jego „ukrytego” aspektu geometrycznego. Mianowicie: Freya powiązano z każdym rozwiązaniem równania Fermata, czyli liczbami spełniającymi relację

powyższą krzywą. Teraz pozostaje pokazać, że takie krzywe nie istnieją dla . W tym przypadku miałoby zastosowanie ostatnie twierdzenie Fermata. To jest dokładnie strategia, którą Wiles wybrał w 1986 roku, kiedy rozpoczął swój czarujący atak.

Wynalazek Freya w czasach „początku” Wilesa był całkiem świeży (85) i nawiązywał także do stosunkowo niedawnego podejścia francuskiego matematyka Helleguarcha (lata 70.), który proponował wykorzystanie krzywych eliptycznych do znalezienia rozwiązań równań diofantyny, tj. równania podobne do równania Fermata.

Spróbujmy teraz spojrzeć na krzywą Freya z innego punktu widzenia, a mianowicie jako narzędzia do przeliczania punktów całkowitych w przestrzeni euklidesowej. Inaczej mówiąc, nasza krzywa Freya będzie pełnić rolę wzoru wyznaczającego algorytm takiego przeliczenia.

W tym kontekście możemy powiedzieć, że Wiles wynajduje narzędzia (specjalne konstrukcje algebraiczne) umożliwiające kontrolowanie tych przeliczeń. W rzeczywistości ten subtelny zestaw narzędzi Wilesa stanowi centralny rdzeń i główną złożoność dowodu. To właśnie przy produkcji tych instrumentów powstają główne, wyrafinowane odkrycia algebraiczne Wilesa, które są tak trudne do zrozumienia.

Jednak najbardziej nieoczekiwanym efektem dowodu jest to, że wystarczy zastosować tylko jedną krzywą „Freeviana”, reprezentowaną przez całkowicie prostą, niemal „szkolną” zależność. Co zaskakujące, użycie tylko jednej takiej krzywej wystarczy do przetestowania wszystkich punktów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej o współrzędnych całkowitych i sprawdzenia, czy spełniają one Ostatnie Twierdzenie Fermata z dowolnym wykładnikiem.

Innymi słowy, użycie tylko jednej krzywej (choć ma ona specyficzną postać), zrozumiałej dla przeciętnego ucznia szkoły średniej, okazuje się równoznaczne ze zbudowaniem algorytmu (programu) do sekwencyjnego przeliczania całych punktów zwykłej przestrzeni trójwymiarowej. I to nie tylko przeliczenie, ale przeliczenie z jednoczesnym sprawdzeniem całego punktu pod kątem „jego spełnienia” z równaniem Fermata.

To tutaj pojawia się widmo samego Pierre'a de Fermata, gdyż przy takim przeliczeniu ożywa to, co zwykle nazywa się Fermatowskim „zejściem Fermy”, czyli redukcją (lub „metodą nieskończonego zejścia”).

W tym kontekście od razu staje się jasne, dlaczego sam Fermat nie mógł udowodnić swojego twierdzenia z przyczyn obiektywnych, chociaż doskonale „widział” geometryczną ideę jego dowodu.

Faktem jest, że przeliczenie odbywa się pod kontrolą narzędzi matematycznych, które nie mają analogii nie tylko w odległej przeszłości, ale także nieznane przed Wilesem nawet we współczesnej matematyce.

Najważniejsze jest tutaj to, że narzędzia te są „minimalne”, tj. nie można ich uprościć. Chociaż ten „minimalizm” sam w sobie jest bardzo trudny. I to właśnie świadomość Wilesa tej nietrywialnej „minimalności” stała się decydującym ostatnim krokiem dowodu. To był dokładnie ten „wybuch” 19 września 1994 roku.

Wciąż pozostaje pewien problem, który budzi niezadowolenie – Wiles nie opisuje wprost tej minimalnej konstrukcji. Dlatego osoby zainteresowane problemem Fermata mają jeszcze ciekawą pracę do wykonania - konieczna jest jasna interpretacja tej „minimalności”.

Możliwe, że właśnie w tym miejscu należy ukryć geometrię „algebraicznego” dowodu. Możliwe, że właśnie tę geometrię odczuł sam Fermat, dokonując słynnego wpisu na wąskich marginesach swojego traktatu: „Znalazłem naprawdę niezwykły dowód…”.

Przejdźmy teraz bezpośrednio do wirtualnego eksperymentu i spróbujmy „zagłębić się” w myśli matematyka-prawnika Pierre’a de Fermata.

Geometryczny obraz tzw. małego twierdzenia Fermata można przedstawić jako okrąg toczący się „bez poślizgu” po linii prostej i „owijący” wokół siebie całe punkty. Równanie małego twierdzenia Fermata w tej interpretacji zyskuje także znaczenie fizyczne - znaczenie prawa zachowania takiego ruchu w jednowymiarowym czasie dyskretnym.

Można te obrazy geometryczne i fizyczne przenieść na sytuację, gdy wymiar problemu (liczba zmiennych w równaniu) wzrasta i równanie małego twierdzenia Fermata przekształca się w równanie dużego twierdzenia Fermata. Mianowicie: załóżmy, że geometrię ostatniego twierdzenia Fermata reprezentuje kula tocząca się po płaszczyźnie i „owijąca” wokół siebie całe punkty tej płaszczyzny. Ważne jest, aby to walcowanie nie było arbitralne, ale „okresowe” (matematycy mówią też „cyklotomiczne”). Okresowość toczenia oznacza, że wektory prędkości liniowej i kątowej kuli toczącej się w najbardziej ogólny sposób po pewnym ustalonym czasie (okresie) powtarzają się pod względem wielkości i kierunku. Okresowość ta jest podobna do okresowości prędkości liniowej toczenia koła po linii prostej, modelując „małe” równanie Fermata.

W związku z tym „duże” równanie Fermata nabiera znaczenia prawa zachowania wspomnianego ruchu kuli już w dwuwymiarowym czasie dyskretnym. Weźmy teraz przekątną tego dwuwymiarowego czasu (w tym kroku leży cała trudność!). Tą niezwykle trudną i okazującą się jedyną przekątną jest równanie z Ostatniego Twierdzenia Fermata, gdy wykładnik równania wynosi dokładnie dwa.

Należy zauważyć, że w sytuacji jednowymiarowej – w sytuacji małego twierdzenia Fermata – nie ma potrzeby znajdowania takiej przekątnej, ponieważ czas jest jednowymiarowy i nie ma powodu przyjmować przekątnej. Dlatego stopień zmiennej w równaniu małego twierdzenia Fermata może być dowolny.

Zatem całkiem nieoczekiwanie dostajemy pomost do „fizykalizacji” wielkiego twierdzenia Fermata, czyli do pojawienia się jego fizycznego znaczenia. Jak nie pamiętać, że Fermatowi nie była obca fizyka.

Nawiasem mówiąc, doświadczenie fizyki pokazuje również, że prawa zachowania układów mechanicznych powyższego typu są kwadratowe w zmiennych fizycznych problemu. I wreszcie wszystko to jest całkiem zgodne ze znaną ze szkoły kwadratową strukturą praw zachowania energii mechaniki Newtona.

Z punktu widzenia powyższej „fizycznej” interpretacji ostatniego twierdzenia Fermata, właściwość „minimalności” odpowiada minimalności stopnia prawa zachowania (to jest dwa). A redukcja Fermata i Wilesa odpowiada redukcji praw zachowania przeliczania punktów do prawa najprostszej postaci. To najprostsze (o minimalnej złożoności) przeliczenie, zarówno geometryczne, jak i algebraiczne, jest reprezentowane przez toczenie się kuli po płaszczyźnie, ponieważ kula i płaszczyzna są „minimalnymi”, jak całkowicie rozumiemy, dwuwymiarowymi obiektami geometrycznymi.

Cała złożoność, której na pierwszy rzut oka brakuje, polega na tym, że trafny opis tak pozornie „prostego” ruchu kuli wcale nie jest łatwy. Faktem jest, że „okresowe” toczenie się kuli „pochłania” szereg tak zwanych „ukrytych” symetrii naszej trójwymiarowej przestrzeni. Te ukryte symetrie spowodowane są nietrywialnymi kombinacjami (składami) ruchu liniowego i kątowego kuli - patrz rys. 1.

To właśnie do dokładnego opisu tych ukrytych symetrii, zakodowanych geometrycznie przez tak trudne toczenie się kuli (punkty o współrzędnych całkowitych „siedzą” w węzłach narysowanej sieci), potrzebne są konstrukcje algebraiczne Wilesa.

W interpretacji geometrycznej pokazanej na ryc. 1, liniowy ruch środka kuli „zlicza” całe punkty na płaszczyźnie, a jego ruch kątowy (lub obrotowy) stanowi przestrzenną (lub pionową) składową przeliczeń. Ruchu obrotowego kuli nie można od razu „zobaczyć” w dowolnym toczeniu się kuli po płaszczyźnie. To właśnie ruch obrotowy odpowiada wspomnianym wcześniej ukrytym symetriom przestrzeni euklidesowej.

Wprowadzona powyżej krzywa Freya precyzyjnie „koduje” najpiękniejsze estetycznie przeliczenie całych punktów w przestrzeni, przypominające ruch po kręconych schodach. Istotnie, jeśli podążymy za krzywą, którą w jednym okresie zakreśla pewien punkt kuli, przekonamy się, że zaznaczony przez nas punkt przecina krzywą pokazaną na ryc. 2, przypominający „podwójną sinusoidę przestrzenną” - przestrzenny analog wykresu. Tę piękną krzywą można interpretować jako wykres „minimum” (tj.) krzywej Freya. Oto harmonogram naszych przeliczeń testów.

Po połączeniu skojarzeniowego postrzegania tego obrazu, ku naszemu zdziwieniu odkryjemy, że powierzchnia ograniczona naszą krzywą jest uderzająco podobna do powierzchni cząsteczki DNA – „cegły narożnej” biologii! Być może nie jest przypadkiem, że terminologia dotycząca konstruktów kodujących DNA z dowodu Wilesa została użyta w książce Singha Ostatnie twierdzenie Fermata.

Podkreślmy jeszcze raz, że decydującym punktem naszej interpretacji jest fakt, że analogią prawa zachowania dla małego twierdzenia Fermata (jego stopień może być dowolnie duży) okazuje się równanie Wielkiego Twierdzenia Fermata właśnie w tym przypadku . To właśnie ten efekt „minimalnego stopnia prawa zachowania dla toczenia się kuli po płaszczyźnie” odpowiada stwierdzeniu Ostatniego Twierdzenia Fermata.

Jest całkiem możliwe, że sam Fermat widział lub czuł te geometryczne i fizyczne obrazy, ale nie mógł sobie wyobrazić, że były one tak trudne do opisania z matematycznego punktu widzenia. Co więcej, nie wyobrażał sobie, że na opisanie takiej, choć nietrywialnej, ale jednak dość przejrzystej geometrii, potrzeba byłoby kolejnych trzystu pięćdziesięciu lat pracy środowiska matematycznego.

Teraz zbudujmy most do współczesnej fizyki. Zaproponowany tutaj geometryczny obraz dowodu Wilesa jest bardzo zbliżony do geometrii współczesnej fizyki, która stara się dotrzeć do zagadki natury grawitacji - kwantowej ogólnej teorii względności. Aby potwierdzić tę, na pierwszy rzut oka nieoczekiwaną, interakcję pomiędzy Ostatnim Twierdzeniem Fermata a Wielką Fizyką, wyobraźmy sobie, że tocząca się kula jest masywna i „popycha” znajdującą się pod nią płaszczyznę. Interpretacja tego „pchnięcia” na ryc. 3 uderzająco przypomina dobrze znaną interpretację geometryczną ogólnej teorii względności Einsteina, która dokładnie opisuje „geometrię grawitacji”.

A jeśli weźmiemy pod uwagę obecną dyskretyzację naszego obrazu, ucieleśnioną przez dyskretną siatkę liczb całkowitych na płaszczyźnie, to rzeczywiście na własne oczy obserwujemy „grawitację kwantową”!

Na tej głównej „jednoczącej” fizyczno-matematycznej nucie zakończymy naszą „kawaleryjską” próbę przedstawienia wizualnej interpretacji „superabstrakcyjnego” dowodu Wilesa.

Być może należałoby teraz podkreślić, że w każdym przypadku, jakikolwiek byłby poprawny dowód twierdzenia Fermata, musi on w ten czy inny sposób wykorzystywać konstrukcje i logikę dowodu Wilesa. Pominięcie tego wszystkiego jest po prostu niemożliwe ze względu na wspomnianą „właściwość minimalności” narzędzi matematycznych Wilesa użytych w dowodzie. W naszej „geometryczno-dynamicznej” interpretacji tego dowodu, ta „właściwość minimalności” zapewnia „minimalne warunki konieczne” dla poprawnej (tj. „zbieżnej”) konstrukcji algorytmu testującego.

Z jednej strony jest to ogromne rozczarowanie dla rolników-amatorów (jeśli oczywiście się o tym dowiedzą, jak to mówią: „im mniej wiesz, tym lepiej śpisz”). Z drugiej strony naturalne „oduproszczenie” dowodu Wilesa formalnie ułatwia życie zawodowym matematykom – mogą oni nie czytać pojawiających się okresowo „elementarnych” dowodów z matematyki amatorskiej, powołując się na brak zgodności z dowodem Wilesa.

Ogólny wniosek jest taki, że obydwaj muszą „naprężyć się” i zrozumieć ten „dziki” dowód, obejmujący w istocie „całą matematykę”.

Czego jeszcze warto nie pominąć podsumowując całą tę wyjątkową historię, której byliśmy świadkami? Siła dowodu Wilesa polega na tym, że nie jest to po prostu formalny argument logiczny, ale reprezentuje szeroką i potężną metodę. To dzieło nie jest osobnym narzędziem do udowodnienia jednego wyniku, ale doskonałym zestawem dobrze dobranych narzędzi, które pozwalają „rozdzielić” szeroką gamę problemów. Zasadnicze znaczenie ma również to, że kiedy spojrzymy z wysokości drapacza chmur na dowód Wilesa, zobaczymy całą poprzednią matematykę. Patos w tym, że nie będzie to „patchwork”, ale wizja panoramiczna. Wszystko to mówi nie tylko o naukowej, ale także metodologicznej ciągłości tego prawdziwie magicznego dowodu. Pozostaje tylko „po prostu nic” – po prostu zrozum to i naucz się stosować.

Zastanawiam się, co robi dzisiaj nasz współczesny bohater Wiles? Nie ma żadnych specjalnych wiadomości o Andrew. Otrzymał oczywiście różne nagrody i wyróżnienia, w tym słynną niemiecką Nagrodę Wolfskehla, która została amortyzowana podczas pierwszej wojny domowej. Przez cały czas, jaki upłynął od triumfu dowodu problemu Fermata do chwili obecnej, udało mi się zauważyć tylko jeden, choć jak zawsze obszerny, artykuł w tych samych „Rocznikach” (współautorstwo ze Skinnerem). Być może Andrew ponownie ukrywa się w oczekiwaniu na nowy przełom matematyczny, na przykład tzw. hipotezę „abc” – niedawno sformułowaną (przez Massera i Oesterle w 1986 r.) i uważaną za najważniejszy problem współczesnej teorii liczb (jest to „ problem stulecia” według słów Serge’a Langa).

Znacznie więcej informacji o współautorze Wilesa w końcowej części dowodu, Richardzie Taylorze. Był jednym z czterech autorów dowodu pełnej hipotezy Taniyamy-Shmury-Weila i zdecydowanym pretendentem do medalu Fieldsa na Chińskim Kongresie Matematycznym w 2002 roku. Jednak go nie otrzymał (wtedy otrzymało go tylko dwóch matematyków - rosyjski matematyk z Princeton Vladimir Voevodsky „za teorię motywów” i Francuz Laurent Laforgue „za ważną część programu Langlands”). Taylor opublikował w tym czasie znaczną liczbę niezwykłych dzieł. A ostatnio Richard odniósł nowy wielki sukces - udowodnił bardzo słynną hipotezę - hipotezę Tate-Saito, związaną także z arytmetyczną geometrią algebraiczną i uogólnianiem wyników języka niemieckiego. XIX-wieczny matematyk G. Frobenius i XX-wieczny matematyk rosyjski N. Czebotariew.

Pomarzmy wreszcie trochę. Być może nadejdzie czas, gdy zajęcia z matematyki na uniwersytetach, a nawet w szkołach, zostaną dostosowane do metod dowodowych Wilesa. Oznacza to, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanie się nie tylko modelowym problemem matematycznym, ale także metodologicznym modelem nauczania matematyki. Na jej przykładzie możliwe będzie studiowanie wszystkich głównych gałęzi matematyki. Co więcej, przyszła fizyka, a może nawet biologia i ekonomia, zaczną opierać się na tym aparacie matematycznym. Ale co gdyby?

Wydaje się, że pierwsze kroki w tym kierunku zostały już podjęte. Świadczy o tym chociażby fakt, że amerykański matematyk Serge Lang umieścił główne konstrukcje dowodu Wilesa w trzecim wydaniu swojego klasycznego podręcznika algebry. Rosjanie Jurij Manin i Aleksiej Panczyszkin idą jeszcze dalej we wspomnianym nowym wydaniu swojej „Nowoczesnej teorii liczb”, szczegółowo opisując sam dowód w kontekście współczesnej matematyki.

I jak tu nie zawołać: wielkie twierdzenie Fermata jest „martwe” – niech żyje metoda Wilesa!

Nadeszła sensacyjna wiadomość, że omski naukowiec Aleksander Iljin znalazł prosty dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. Wiadomość na ten temat trafiła nawet do telewizji. Profesjonalna analiza materiału dowodowego wykazała jednak rażący błąd.

Twierdzenie to sformułował słynny XVII-wieczny matematyk Pierre Fermat. To jest to równanie

x rz + y n = z n

Nie ma rozwiązań całkowitych dla N> 2. Na marginesie książki Fermat zostawił notatkę, że rzekomo znalazł zaskakująco elegancki dowód tego twierdzenia. Jednak przez ponad trzy stulecia nikt nie był w stanie znaleźć tego dowodu. Dopiero w 1994 roku Wielkie Twierdzenie zostało udowodnione przez angielskiego matematyka Andrew Wilesa, a dowód zajął ponad sto stron obliczeń matematycznych.

Dowód Wilesa wykorzystuje aparat matematyczny opracowany dopiero w XX wieku. Dlatego wielu miłośników matematyki nadal poszukuje legendarnego prostego dowodu, korzystając z matematyki ze szkoły podstawowej. Z godną pozazdroszczenia regularnością takie dowody otrzymują różne organizacje naukowe. Czasami autorzy tych dzieł nie są zaznajomieni nawet z podstawami kultury matematycznej i łączą obliczenia matematyczne z długim rozumowaniem filozoficznym. Eksperci żartobliwie nazywają takich niedoszłych matematyków „farmatystami”. Istnieje nawet wiersz poświęcony próbom udowodnienia ostatniego twierdzenia Fermata.

Czym bieżąca sprawa różni się od wszystkich poprzednich? Fakt, że tym razem elementarny dowód twierdzenia Fermata opublikował wybitny naukowiec, akademik Iljin, były główny projektant stowarzyszenia lotniczego Polet. Według doniesień mediów jego dowód został sprawdzony przez kilku znanych naukowców, w szczególności akademika Leonida Gorynina i profesora Siergieja Czukanow *) i doszedł do wniosku, że nie znaleźli żadnych błędów w argumentacji Ilyina. I chociaż ani autor, ani recenzenci nie są ekspertami w teorii liczb, status ten pozwolił akademikowi Iljinowi zwoływać konferencje prasowe w Omsku i Moskwie, na których prezentował dziennikarzom swój dowód.

22 sierpnia w „Nowej Gazecie” ukazał się sensacyjny materiał dowodowy. Poinformowano o tym także w telewizji. Niektóre media (m.in. „Nowaja Gazieta”) uznały te dowody za fakt niezmienny. Inni, jak agencja analityczna Glavred, wypowiadali się z pewną ostrożnością. Jednak dopiero Radio Liberty zwróciło się do matematyków z Moskiewskiego Centrum Ustawicznego Kształcenia Matematycznego z prośbą o przestudiowanie opublikowanego rozwiązania twierdzenia Fermata. Oto cytat z otrzymanej odpowiedzi:

„Każdy dziesiąty uczeń z oceną z matematyki powyżej C natychmiast odtworzy ci wzór na stosunek boków trójkąta z 2 = X 2 + y 2 — 2xy sałata( B). Spójrzmy na wyrażenie. Przy 60° b b) nie jest liczbą całkowitą. I to oznacza, że z jest tak nieuchronnie w przypadku wartości całkowitych X I y».

Jednak z faktu, że cos( B) nie jest liczbą całkowitą, wcale nie wynika z tego, że iloczyn 2 jest taki xy sałata( B). Powiedzmy kiedy B= arccos(1/4) (co jest w przybliżeniu równe 75 stopni, czyli mieści się w wymaganym zakresie od 60 do 90 stopni) cos( B) = 1/4, a jeśli co najmniej jedna z liczb X I y nawet, to 2 xy sałata( B) będzie liczbą całkowitą.

Po odkryciu błąd ten staje się dość oczywisty na poziomie szkolnego kursu matematyki. Zdaniem zawodowych matematyków, przypadek ten może stanowić dobitną ilustrację tego, że sensacyjne odkrycia publikowane z pominięciem przyjętego w nauce systemu obowiązkowej recenzji naukowej najczęściej okazują się nieporozumieniami.

*) Rankiem 26 sierpnia do redakcji wpłynął list od prof. Siergieja Nikołajewicza Chukanova z prośbą o opublikowanie go na stronie internetowej. Redakcja chętnie spełnia tę prośbę.

Drodzy redaktorzy projektu Elementy!

Uważam za konieczne skomentowanie przesłania Aleksandra Siergiejewa „Wrażenie wokół twierdzenia Fermata okazało się nieporozumieniem” z dnia 25 sierpnia 2005 r. na Państwa stronie internetowej: „Jak donoszą media, jego dowód został sprawdzony przez kilku znanych naukowców: Profesor Siergiej Czukanow i wyciągnęli wnioski dotyczące tego, czego nie można znaleźć w argumentacji o wadach Iljina. To nieporozumienie pogłębia fakt, że po raz pierwszy zetknąłem się z „dowodami” z artykułu Anny Melekhovej na stronie internetowej Narodowej Agencji Informacyjnej.

W artykule „dowód” opiera się na twierdzeniu: „ponieważ cos A na przedziale (11) przyjmuje jedynie wartości niewymierne”, co wskazuje, że autorowi tego „dowodu” brakuje elementarnej wiedzy matematycznej. Nie znalazłem żadnych dowodów na Ostatnie Twierdzenie Fermata Aleksandra Iljina opublikowanych w recenzowanych publikacjach.

Z poważaniem,
Siergiej Nikołajewicz Czukanow

Żałujemy, że reputacja prof. Chukanova mogła ucierpieć z powodu nieprawidłowych publikacji w mediach i podzielamy jego zdziwienie.

Dokładnie taką kwotę otrzyma brytyjski matematyk Andrew Wiles, który w 1994 roku przedstawił dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. Decyzję Międzynarodowej Unii Matematycznej i Europejskiego Towarzystwa Matematycznego o przyznaniu mu Nagrody Abela, zwanej czasem Nagrodą Nobla dla matematyków, ogłosił prezes Norweskiej Akademii Nauk i Literatury Ole Sejersted. zgłoszonena oficjalnej stronie nagrody.

„Nowe idee wprowadzone przez Wilesa otworzyły drzwi do kolejnych przełomów” – powiedział Jon Rognes, szef Komitetu Abela. „Niewiele problemów matematycznych ma tak bogatą historię naukową i tak spektakularne dowody, jak Ostatnie Twierdzenie Fermata”.

Wielki francuski matematyk Pierre Fermat zawsze robił notatki na marginesach czytanych traktatów matematycznych i formułował problemy i twierdzenia, które tam przychodziły mu na myśl. Zapisał swoje Wielkie Twierdzenie, zwane czasem Ostatnim Twierdzeniem, z adnotacją, że znaleziony przez niego genialny dowód tego twierdzenia był zbyt długi, aby umieścić go na marginesie książki:

„Wręcz przeciwnie, nie można rozłożyć sześcianu na dwa sześciany, dwukwadratu na dwa dwukwadraty i w ogóle żadnej potęgi większej niż kwadrat na dwie potęgi o tym samym wykładniku. Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale marginesy książki są na to za wąskie.”

Tekst oryginalny (łaciński)

Cubum autem w duetach cubos, aut quadratoquadratum w duetach quadratoquadratos i generaliter nullam w nieskończoności ultra quadratum potestatem w duas eiusdem nominis najszybciej, jak dzielą, cuius rei demonstracją w cudowny sposób. Hanc marginalis exiguitas non caperet.”

Miało to miejsce w roku 1637, kiedy muszkieterowie z całą mocą galopowali po Francji, kradnąc diamentowe wisiorki i mordując się nawzajem w pojedynkach.

Czym jest to twierdzenie i jak jest sformułowane, jak trudno je udowodnić, najlepiej opowie fascynujący film wspaniałego radzieckiego reżysera filmów dokumentalnych Siemiona Wartburga.

Próby udowodnienia WTF rozpoczęły się niemal natychmiast po jego „odkryciu”. Z problemem tym zmagali się Euler, Dirichlet, Legendre oraz inni matematycy zawodowi i amatorzy. Ernst Kummer stworzył także nowoczesną teorię liczb.

David Hilbert w swoim raporcie „Problemy matematyczne” na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków (1900) mówił o WTF:

„Problem udowodnienia tej nierozwiązywalności jest uderzającym przykładem stymulującego wpływu, jaki szczególny i na pierwszy rzut oka nieistotny problem może mieć na naukę. Kummer bowiem pod wpływem problemu Fermata doszedł do wprowadzenia liczb idealnych i do odkrycia twierdzenia o jednoznacznym rozkładzie liczb w polach cyklotomicznych na idealne czynniki pierwsze – twierdzenia, które dzięki uogólnieniom na dowolną otrzymaną dziedzinę liczb algebraicznych Dedekinda i Kroneckera, ma obecnie kluczowe znaczenie dla współczesnej teorii liczb i którego znaczenie wykracza daleko poza teorię liczb i sięga do dziedziny algebry i teorii funkcji.

To właśnie powstanie teorii liczb można nazwać głównym pośmiertnym wkładem Fermata w rozwój matematyki. „Bóg stworzył liczby całkowite, a wszystko inne jest dziełem człowieka” – tak Leopold Kronecker opisał rolę tej teorii. Pitagoras wierzył, że cały Wszechświat składa się z liczb całkowitych. W każdym razie człowiek zgłębia dotychczas tajemnice Wszechświata metodami czysto cyfrowymi, dyskretnymi.

Andrew Wiles, Komandor Rycerski Orderu Imperium Brytyjskiego – angielski i amerykański matematyk, kierownik wydziału matematyki na Uniwersytecie Princeton, członek rady naukowej Clay Institute of Mathematics, o WTF dowiedział się, gdy miał zaledwie dziesięć lat . Uzbrojony w podręcznik szkolny próbował prześcignąć Eulera i Dirichleta, ale oczywiście mu się to nie udało.

Uspokoił się, choć jak pokazały kolejne wydarzenia, nie na długo zdobył wyższe wykształcenie i zajął się innymi problemami. W szczególności tak zwane krzywe eliptyczne. Wkrótce zapoznał się z pracą na tym terenie Japończyka Shimury i Takayamy, a także Francuza Weila. A potem z dowodem amerykańskiego matematyka Kena Ribeta, że prace te są bezpośrednio powiązane z WTF.

Wtedy z głębi podświadomości Wilesa wypłynęła „stara miłość” i przez siedem lat próbował dokończyć „Ostatnie twierdzenie Fermata” – tak nazywa się WTF w jego pracy, za którą faktycznie otrzymał uczciwie zarobił 700 tysięcy dolarów.

Potem zaczęły na niego napływać wszelkiego rodzaju nagrody, łącznie z nadaniem wysokiego rycerstwa.

Ponieważ dowód Wilesa zawiera 130 stron niezwykle złożonego tekstu matematycznego, Norweskiej Akademii Nauk zajęło sporo lat sprawdzenie jego poprawności.

Ale nawet teraz, z WTF i jego dowodem, nie wszystko jest takie proste i jasne.

Armia tysięcy „fermatystów”, czyli fanów niekończących się, ale niezwykle wciągających dowodów jej wierności lub niewierności, jest oburzona i żąda kontynuacji spektaklu.

Tymczasem pasja udowadniania WTF jest niezwykle niebezpieczna dla „romantycznych młodych mężczyzn”. Oto, co pisze na forum internetowym jeden z oburzonych „farmatystów”:

„Wydaje się, że społeczność matematyczna bezwarunkowo zaakceptowała fakt, że rzeczywiście znaleziono długo oczekiwany dowód WTF. Jednakże jako członek społeczności matematycznej znajduję się w niefortunnej sytuacji, w której muszę omawiać lub potwierdzać ważność tego dowodu. Powiedziano mi, że ilość czasu potrzebna do zdobycia wiedzy wystarczającej do krytykowania dowodów mierzona jest w latach. Po krótkim przeglądzie zastosowanego aparatu matematycznego byłem przekonany, że jest to słuszne. Powstała zatem niezręczna sytuacja, gdy rozwiązanie tak klasycznego problemu pojawiło się w formie zrozumiałej tylko dla najbardziej wyrafinowanych ekspertów. Właśnie z tego powodu piszę tę pracę. Mam nadzieję, że praca ta może posłużyć jako punkt odniesienia dla wszystkich zainteresowanych zapoznaniem się z informacjami niezbędnymi do własnej weryfikacji poprawności dowodu WTF.”

Celowo zachowałem styl, błędy gramatyczne i literówki oryginału, aby pokazać typowy poziom takich fanów.

Bardziej doświadczeni miłośnicy matematyki również próbują zrozumieć dowód Wilesa:

„Moim zdaniem dzieje się tak wtedy, gdy zrozumienie dowodu jest trudniejsze niż wykrycie błędu. Dlatego też byłbym ostrożny, aby na razie nie nazywać Wilesa „wielkim Wilesem”. – pisze jeden z nich.

„Nawiasem mówiąc, do tego momentu czytałem również o tym, czym są „przewodniki” i czym są „formy modułowe”, ale w ogóle nic nie rozumiałem na temat metody Kolyvagina-Flacha. A w dowodzie Wilesa to dopiero początek, punkt wyjścia!” - odpowiada mu drugi.

Specjaliści zagłębiają się także w 130-stronicową pracę Wilesa:

„Po zapoznaniu się z tym artykułem znowu widzę: dowód Ribeta-Freya-Wilesa opiera się na fakcie, że rozkładając dyskryminator krzywej Freya... na liczby pierwsze, potęga dwójki nie jest podzielna przez wykładnik Równanie Fermata i pozostałe potęgi są podzielne. Gdyby w mianowniku nie było 256, to dowód nie byłby odpowiedni. Byłoby miło, gdyby ktoś mógł to wyjaśnić: dlaczego jest 256 i czy można uogólnić twierdzenie Fermata na dowód Ribeta? A może liczba 256 w ogóle nie ma z tym nic wspólnego?”

Wielu sceptyków po prostu odmawia Wilesowi jakiegokolwiek znaczącego wkładu w epokowy dowód:

„Taniyama widział (zanotował), sformułował hipotezę, Wiles udowodnił poprawność hipotezy. Również wcześniej wydawało się, że istnieje dowód na to, że z ważności hipotezy Taniyamy wynika, że z ważności twierdzenia Fermata wynika. Z tego wnioskuję, że uzyskany dowód jest czystą grą wzorów i wypadków.

Bliżej prawdy są jednak inni eksperci, którzy w długo oczekiwanym dowodzie WTF widzą możliwość dalszych obiecujących odkryć:

„Ale myślę, że tak nie jest. Nie jest to przypadkowe i jeśli nie ma błędów, to teoria ta odzwierciedla pewne algebraiczne właściwości trójmianów. Twierdzenie Fermata jest sformułowane dla trójek liczb, a funkcje eliptyczne, za pomocą których jest ono udowodnione, pojawiają się podczas rozwiązywania równania różniczkowego. Za tym mogą kryć się niezwykłe właściwości liczb i jedność algebry. Myślę, że byłoby bardzo fajnie, gdyby ktoś mógł wyjaśnić te powiązania.

I na koniec wniosek, pod którym ja, jako inżynier matematyczny, jestem gotowy się zgodzić:

„Nie mogę się zgodzić z Twoimi słowami. Aby „głupio zobaczyć” tę nieruchomość, trzeba było się napracować. Ale masz rację w tym sensie, że wydaje się, że wszystko tutaj zostało zrobione bez zrozumienia prawdziwych powodów. Myślę, że ten, kto zrozumie, dlaczego to wszystko jest tak ułożone i dlaczego funkcje eliptyczne mają takie właściwości, i kto potrafi to wyjaśnić, wniesie do matematyki większy wkład niż na przykład ten sam Wiles. Dlatego poszukiwanie równoległego dowodu twierdzenia Fermata jest niezwykle przydatne: jeśli go znajdziemy, wówczas uda się odkryć przyczyny własności funkcji eliptycznych, a jeśli wynalezione zostaną także nowe metody, to być może będzie to przełom w matematyce najlepszy od 50 lat. Ale oczywiście potrzebne są nowe metody, bez nich będzie to tylko wyjaśnienie, a nie nowe odkrycie.”

Zatem ostatnie twierdzenie Fermata zostało ostatecznie udowodnione. Nie ma jednak powodu, aby zagorzali fermatyści składali swoją matematyczną broń. Społeczność naukowa pragnie prostszego i bardziej ogólnego dowodu.

Być może za to zadanie zostanie wymyślony odpowiedni bonus. Przecież, parafrazując Leopolda Kroneckera, Bóg wymyślił tylko liczby całkowite, a naszym zadaniem jest je poprawnie „posortować”. +

Matematyk Andrew Wiles otrzymał Nagrodę Abela za dowód twierdzenia Fermata

Za dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata w 1994 roku przyznano mu nagrodę honorową, zwaną „Nagrodą Nobla dla matematyków”.

OSŁO, 15 marca. /kor. TASS Jurij Michajłenko/. Brytyjczyk Andrew Wiles został ogłoszony laureatem Nagrody Abela przyznawanej przez Norweską Akademię Nauk. Wyróżnienie, często nazywane „Nagrodą Nobla dla matematyków”, zostało mu przyznane za dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata w 1994 r., który „zapoczątkował nową erę w teorii liczb”.
„Nowe idee wprowadzone przez Wilesa otworzyły możliwość dalszych przełomów” – powiedział przewodniczący Komitetu Abela Jon Rognes. „Niewiele problemów matematycznych ma tak bogatą historię naukową i tak spektakularny dowód jak Ostatnie Twierdzenie Fermata”.
Naukowa podróż Sir Andrew
W komentarzach dla Norweskiego Biura Telegraficznego Rognes wyjaśnił również, że dowód słynnego twierdzenia był tylko jednym z powodów, dla których Wiles został wybrany spośród kandydatów nominowanych do tegorocznej nagrody.
„Aby rozwiązać twierdzenie, którego nie udało się udowodnić przez 350 lat, wykorzystał podejścia dwóch nowoczesnych gałęzi nauk matematycznych, badając w szczególności półstabilne krzywe eliptyczne” – powiedział Rognes reporterom. „Taką matematykę stosuje się na przykład w kryptografia eliptyczna, za pomocą której zabezpieczane są dane dotyczące płatności dokonywanych przy użyciu kart plastikowych.”
Naukowiec, który w przyszłym miesiącu skończy 63 lata, kształcił się na uniwersytetach w Oksfordzie i Cambridge. Jego ojciec był księdzem anglikańskim i przez ponad 20 lat był profesorem teologii w Cambridge. Sam Wiles przez 30 lat pracował w Stanach Zjednoczonych, wykładając na Uniwersytecie Princeton, a od 2005 do 2009 roku kierował tam wydziałem matematyki. Obecnie pracuje w Oksfordzie. Jest laureatem kilkunastu nagród matematycznych, a za swoje osiągnięcia naukowe otrzymał także tytuł szlachecki od królowej Wielkiej Brytanii Elżbiety II.
Zwodnicza prostota
Osobliwość twierdzenia, sformułowanego przez Francuza Pierre'a Fermata (1601 - 1665), polega na zwodniczo prostym sformułowaniu: równanie „A do potęgi n plus B do potęgi n równa się C do potęgi n” ma nie ma rozwiązań naturalnych, jeśli liczba n jest większa niż dwa. Na pierwszy rzut oka sugeruje to dość prosty dowód, ale w rzeczywistości okazuje się zupełnie inaczej.
Sam Wiles w licznych wywiadach przyznał, że twierdzenie to zaintrygowało go już w wieku 10 lat. Już wtedy łatwo było mu zrozumieć uwarunkowania problemu i nie dawało mu spokoju to, że przez trzy stulecia żaden matematyk nie był w stanie go rozwiązać. Hobby z dzieciństwa nie zanikło przez lata. Mając już za sobą karierę naukową, Wiles przez wiele lat w wolnym czasie zmagał się z rozwiązaniem, ale go nie reklamował, ponieważ wśród jego kolegów zamiłowanie do twierdzenia Fermata było uważane za złe maniery. Zaproponował swój dowód, oparty na hipotezie dwóch japońskich naukowców, i opublikował go w 1993 roku, ale kilka miesięcy później w jego obliczeniach odkryto błąd.
Przez ponad rok Wiles wraz ze swoimi uczniami próbował to poprawić, prawie poddając się, ale ostatecznie znalazł dowód, który uznano za prawidłowy. Jednocześnie rzekomo istniejący prosty i elegancki dowód, o którym wspomniał sam Fermat, nie został jeszcze znaleziony.
Kim był Henryk Abel
W 2014 i 2009 roku laureatami Nagrody Abela zostali uczniowie rosyjskiej szkoły matematycznej – odpowiednio Jakow Sinai i Michaił Gromow. Nagroda nosi imię słynnego Norwega Nielsa Henrika Abela. Stał się twórcą teorii funkcji eliptycznych i wniósł znaczący wkład w teorię szeregów.
Na cześć 200. rocznicy urodzin naukowca, który żył zaledwie 26 lat, rząd norweski w 2002 roku przeznaczył 200 milionów koron (około 23,4 miliona dolarów według obecnych kursów wymiany) na utworzenie Fundacji Abela i Nagrody Abela. Ma on nie tylko uhonorować zasługi wybitnych matematyków, ale także przyczynić się do wzrostu popularności tej dyscypliny naukowej wśród młodych ludzi.
Obecnie część pieniężna nagrody wynosi 6 milionów koron (700 tysięcy dolarów). Oficjalna ceremonia wręczenia nagród odbędzie się 24 maja. Nagrodę honorową laureatowi wręczy następca tronu norweskiego, książę Haakon Magnus.