Funkcja liniowa. Funkcja liniowa Narysuj wykres funkcji y x 2

Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W tym przypadku wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętaj o ogólnych zasadach przyjmowania instrumentów pochodnych i dopiero wtedy przejdź do kolejnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Opisano, jak przyjmować najprostsze pochodne, na przykład pochodną równania wykładniczego. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.

Weź pochodną podanej funkcji. Nie ma tu potrzeby budowania wykresu – wystarczy równanie funkcji. W naszym przykładzie weźmy pochodną funkcji fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x). Weź pochodną zgodnie z metodami opisanymi w artykule wspomnianym powyżej:

Zastąp podane współrzędne punktu do znalezionej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f”(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x,f(x)). W naszym przykładzie:

Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenia nie można obliczyć w każdym punkcie. Rachunek różniczkowy zajmuje się złożonymi funkcjami i złożonymi wykresami, gdzie nie można obliczyć nachylenia w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie podanej funkcji jest prawidłowe. W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w podanym punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.

• Styczna będzie miała w pewnym punkcie takie samo nachylenie jak wykres funkcji. Aby narysować styczną w danym punkcie należy przesunąć się w lewo/prawo na osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie o jedną w górę na osi Y. Zaznacz punkt, a następnie połącz go z dany Ci punkt. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).

Pojęcie funkcji numerycznej. Metody określania funkcji. Właściwości funkcji.

Funkcja numeryczna to funkcja, która działa z jednej przestrzeni numerycznej (zbiór) do innej przestrzeni numerycznej (zbiór).

Trzy główne sposoby definiowania funkcji: analityczny, tabelaryczny i graficzny.

1. Analityczny.

Metodę określania funkcji za pomocą wzoru nazywa się analityczną. Ta metoda jest główną metodą w macie. analizy, ale w praktyce nie jest to wygodne.

2. Tabelaryczna metoda określania funkcji.

Funkcję można określić za pomocą tabeli zawierającej wartości argumentów i odpowiadające im wartości funkcji.

3. Graficzna metoda określania funkcji.

Mówi się, że funkcja y=f(x) jest dana graficznie, jeżeli skonstruowano jej wykres. Ten sposób określania funkcji pozwala określić wartości funkcji tylko w przybliżeniu, ponieważ konstruowanie wykresu i znajdowanie na nim wartości funkcji wiąże się z błędami.

Właściwości funkcji, które należy wziąć pod uwagę konstruując jej wykres:

1) Dziedzina definicji funkcji.

Dziedzina funkcji, to znaczy te wartości, które może przyjąć argument x funkcji F =y (x).

2) Przedziały funkcji rosnących i malejących.

Funkcja nazywa się rosnącą na rozpatrywanym przedziale, jeżeli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału zostaną wzięte dwa dowolne argumenty x 1 i x 2 oraz x 1 > x 2, to y(x 1) > y(x 2).

Funkcja nazywa się malejącą na rozpatrywanym przedziale, jeżeli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału zostaną wzięte dwa dowolne argumenty x 1 i x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zera funkcji.

Punkty, w których funkcja F = y (x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je rozwiązując równanie y(x) = 0) nazywane są zerami funkcji.

4) Funkcje parzyste i nieparzyste.

Funkcja nazywa się parzystą, if dla wszystkich wartości argumentów z zakresu

y(-x) = y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem rzędnej.

Funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli dla wszystkich wartości argumentu z dziedziny definicji

y(-x) = -y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem początku.

Wiele funkcji nie jest ani parzystych, ani nieparzystych.

5) Okresowość funkcji.

Funkcja nazywa się okresową, jeśli istnieje liczba P taka, że ​​dla wszystkich wartości argumentu z dziedziny definicji

y(x + P) = y(x).

Funkcja liniowa, jej własności i wykres.

Funkcja liniowa jest funkcją formy y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.

k– nachylenie (liczba rzeczywista)

B– termin fikcyjny (liczba rzeczywista)

X– zmienna niezależna.

· W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, której wykresem jest prosta równoległa do osi Ox przechodząca przez punkt o współrzędnych (0; b).

· Jeżeli b = 0, to otrzymujemy funkcję y = kx, która jest wprost proporcjonalnością.

o Znaczenie geometryczne współczynnika b to długość odcinka, który linia prosta odcina wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

o Geometryczne znaczenie współczynnika k to kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi Ox, liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Własności funkcji liniowej:

1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeżeli k ≠ 0, to zakresem wartości funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista.

Jeżeli k = 0, to zakres wartości funkcji liniowej składa się z liczby b;

3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, zatem y = b – parzysty;

b) b = 0, k ≠ 0, zatem y = kx – nieparzyste;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, zatem y = kx + b jest funkcją postaci ogólnej;

d) b = 0, k = 0, zatem y = 0 jest funkcją parzystą i nieparzystą.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, zatem (-b/k; 0) jest punktem przecięcia z osią x.

Oy: y = 0k + b = b, zatem (0; b) jest punktem przecięcia z rzędną.

Komentarz. Jeżeli b = 0 i k = 0, to funkcja y = 0 znika dla dowolnej wartości zmiennej x. Jeżeli b ≠ 0 i k = 0, to funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej x.

6) Przedziały znaku stałego zależą od współczynnika k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – dodatni przy x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – minus dla x od (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – dodatni przy x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – ujemne dla x z (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b jest dodatnie w całym obszarze definicji,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, zatem y = kx + b rośnie w całym obszarze definicji,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcja y = ax 2 + bx + c, jej własności i wykres.

Funkcja y = ax 2 + bx + c (a, b, c są stałymi, a ≠ 0) nazywa się kwadratowy W najprostszym przypadku y = ax 2 (b = c = 0) wykres jest zakrzywioną linią przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Krzywa służąca jako wykres funkcji y = ax 2 jest parabolą. Każda parabola ma oś symetrii zwaną oś paraboli. Nazywa się punkt O przecięcia paraboli z jej osią wierzchołek paraboli.

Wykres można zbudować według następującego schematu: 1) Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli x 0 = -b/2a; y 0 = y (x 0). 2) Konstruujemy jeszcze kilka punktów należących do paraboli, przy konstruowaniu można wykorzystać symetrie paraboli względem prostej x = -b/2a. 3) Połącz wskazane punkty gładką linią. Przykład. Wykres funkcji b = x 2 + 2x - 3. Rozwiązania. Wykres funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę. Odcięta wierzchołka paraboli x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, jej rzędne y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Zatem wierzchołkiem paraboli jest punkt (-1; -4). Stwórzmy tabelę wartości dla kilku punktów znajdujących się na prawo od osi symetrii paraboli - linia prosta x = -1. Właściwości funkcji.

Temat lekcji: Funkcjonować y =k X 2 , jego właściwości i wykres .

Cel lekcji: uogólniać i systematyzować wiedzę na temat funkcji kwadratowej, jej własności i wykresu

Cele edukacyjne:

utrwalić podstawowe właściwości funkcji kwadratowej y=kx 2 i jej wykres przy wykorzystaniu modelowania komputerowego i tablicy interaktywnej.

rozwiązywanie problemów matematycznych kilkoma metodami i metodami, identyfikowanie zalet i wad każdego z nich.

Zadania rozwojowe

rozwój umiejętności komunikacyjnych uczniów,

rozwój kultury intelektualnej i badawczej studentów,

doskonalenie umiejętności modelowania komputerowego i pracy na tablicy interaktywnej

Zadania edukacyjne:

rozwijać szacunek dla opinii innych ludzi

poważne i odpowiedzialne podejście do pracy wychowawczej.

Typ lekcji: prezentacja lekcji, warsztat.

Metody nauczania: rozmowa, objaśnienie, gra biznesowa, demonstracja, symulacja komputerowa, praca praktyczna.

Formy organizacji pracy ze studentami: indywidualny, czołowy, para (grupa).

Sprzęt: komputer, projektor multimedialny, tablica interaktywna, tablica zwykła, papier milimetrowy, materiały informacyjne: zadania wielopoziomowe, notatka z wymaganiami dotyczącymi wykonania pracy praktycznej.

Oprogramowanie: prezentacja przygotowana V Microsoft PowerPoint; Advanced Grapher 1.62 (Wielofunkcyjny program do badania funkcji matematycznych z wygodnym interfejsem graficznym. Umożliwia budowanie wykresów funkcji i ich pochodnych, znajdowanie ekstremów funkcji i pierwiastków równań, przeprowadzanie całkowania, uzyskiwanie tabeli wartości funkcji​​ zgodnie z jego formułą itp., status: freeware, prawa autorskie: SerpikSoft, strona internetowa: ); oprogramowanie do tablicy interaktywnej.

Plan lekcji.

1. Moment organizacyjny – 1-2 minuty.

2. Wyznaczanie celów i zadań lekcji – 2 min.

3. Sprzęt – ​​1 min.

4. Powtórzenie przestudiowanego wcześniej materiału – 10 min.

zadanie nr 1

zadanie nr 2

5. Praca praktyczna – 25 min.

Zadanie nr 3

Obrona wykonanego zadania nr 3

Zadanie nr 4

Obrona wykonanego zadania nr 4

6. Praca domowa – 2 min.

7. Podsumowanie lekcji. Ocena – 3 min.

Podczas zajęć

Pokazano slajd 1.

Etap I. Organizowanie czasu.

Nauczyciel wita dzieci, zauważa nieobecnych, sprawdza dostępność przyborów do rysowania, materiałów informacyjnych: kart zadań, papieru milimetrowego, przypomnień.

Ustalenie celu i założeń lekcji

Pokazano slajd 2-5

Nauczyciel. Dziś podsumujemy i sprawdzimy zdobytą wiedzę i umiejętności w praktyce, poszerzymy i usystematyzujemy wiedzę na temat funkcji kwadratowej y = kx 2 jako jeden z modeli matematycznych. Kontynuujmy udoskonalanie możliwości tablicy interaktywnej, wykorzystując w pracy komputer i zastanówmy się nad konstruowaniem przy jej pomocy wykresów funkcji kwadratowych.

W prawdziwym życiu zachodzą procesy opisane różnymi modelami matematycznymi postaci y = F ( X ), G de F ( X ) - funkcjonować. W 7. klasie zapoznaliśmy się z funkcją liniową, w 8. klasie zaczęliśmy poznawać inny model matematyczny, po przestudiowaniu F ( X ) – funkcja kwadratowa. Sprawdźmy, jak nauczyłeś się odróżniać jeden model od drugiego w pierwszym zadaniu.

Etap II. Powtórzenie.

Zadanie 1. Oznacz wykres funkcji.

Dla każdego wykresu pokazanego na tablicy interaktywnej znajdź odpowiednią funkcję.

Pokazano slajd 6

Na tablicy interaktywnej uczniowie wzdłuż łańcucha, stosując metodę przenoszenia obiektów (nazw funkcji) z galerii rysunków, przenoszą funkcje na odpowiedni wykres, uzasadniając swój wybór.

Pozostali uczniowie w zeszycie i dwóch na zwykłej tablicy jednocześnie zapisują funkcje w dwóch kolumnach tabeli, wskazując odpowiednią wartość k I B . Praca jest podsumowana. Studenci przeprowadzają wzajemne sprawdziany (na tablicach interaktywnych i zwykłych, w zeszytach).

Klasyfikacja według rodzaju modelu matematycznego

y = kx + b

y = kx 2

y = 3x + 2 ; k = 3 b = 2

y =3x 2 ; k = 3

y =2x ; k =2 b =0

y = - 3x 2 ; k =-3

y =2x ; k =2 b =0

y = x 2 ; k =1

prosty

parabola

Zadanie 2. Wymień właściwości funkcji kwadratowej.

Pokazano slajd 7

Nauczyciel. W matematyce ważne jest rozróżnienie jednego modelu od drugiego, znajomość właściwości każdego z nich i umiejętność posługiwania się różnymi językami (werbalnymi, symbolicznymi, graficznymi) przy opisywaniu tych właściwości. Przygotowując się do lekcji, grupa dzieci usystematyzowała ogólne informacje na temat funkcji kwadratowej w tabeli, używając języka symbolicznego. Na tablicy interaktywnej tabela właściwości funkcji jest zasłonięta zasłoną. Przypomnijmy, co wiemy o właściwościach funkcji kwadratowej.

Po przeglądzie czołowym mającym na celu wypisanie właściwości funkcji kwadratowej przy użyciu techniki kurtyny od lewej do prawej, otwiera się pierwsza kolumna tabeli. Chłopaki sprawdzają w tabeli, czy wszystkie właściwości zostały nazwane. Następnie wyliczane są właściwości funkcji w zależności od współczynnika, podczas rozmowy jednocześnie otwierają się wiersze tabeli – technika opuszczania kurtyny w dół.

Wysłuchuje się odpowiedzi uczniów i podsumowuje wyniki powtórzenia właściwości funkcji kwadratowej. Uczniowie ćwiczą samokontrolę.

Etap III. Zastosowanie wiedzy i umiejętności

Praktyczna praca

Pokazano slajd 8

Zadanie nr 3. „Konstruuj i opisz właściwości funkcji podanej fragmentarycznie

Nauczyciel. Teraz postaramy się zastosować całą wiedzę w praktyce na różne sposoby.

Zostaniecie teraz podzieleni na trzy grupy:

Grupa nr 1 „programiści”» – zbuduj wykres funkcji za pomocą komputera.

Grupa nr 2 „praktyki”– zbuduj wykres funkcji bez użycia komputera na papierze milimetrowym.

Grupa nr 3 „teoretycy” – opisać właściwości danej funkcji.

Dla dzieci z grupy nr 1 (uczestniczących w zajęciach fakultatywnych w IVT) na tablicy interaktywnej wyświetlany jest algorytm pracy do modelowania komputerowego ( Pokazano slajd 9) Grupa nr 2 korzysta z notatki slajd 23, wniosek nr 2) , Grupa nr 3 ma na stole gotowy wykres tej funkcji, uzupełniony wcześniej przez studentów przedmiotu IVT ( slajd 14 ).

Zadanie dla dzieci z grupy nr 2 o zdolnościach poniżej przeciętnej podzielone jest na podzadania. Uczniowie słabsi budują wykres tylko jednej funkcji kwadratowej, uczniowie silniejsi budują wykres funkcji kwadratowej i liniowej, uczniowie zaawansowani realizują całe zadanie w całości.

Nauczyciel sprawdza zadanie dla uczniów, którzy jako pierwsi wykonali zadanie w każdej grupie. Następnie, po zakończeniu pracy praktycznej, uczniowie sprawdzają nawzajem swoje zadania w łańcuchu. W ten sposób praca wszystkich uczniów zostanie sprawdzona. Uczniowie, którzy mają trudności, zwracają się o pomoc do nauczyciela lub kolegów z sąsiedniej pary.

Pokazano slajdy 10-15

Ochrona wykonanej pracy

Każda grupa wyznacza lidera odpowiedzialnego za ochronę dzieła. Studenci analizują etapy konstruowania i opisywania własności funkcji. Uczniowie grupy nr 2 ćwiczą samokontrolę porównując swój wykres z wykresem na tablicy interaktywnej, skonstruowanym przy użyciu modelowania komputerowego przez uczniów grupy nr 1. Uczniowie grupy nr 3 komentują właściwości funkcji, wykres które są prezentowane na tablicy.

Podczas obrony nauczyciel zadaje pytania, które pomagają zidentyfikować zalety i wady poszczególnych metod wykreślania funkcji:

Jaka jest zaleta tej metody wykreślania funkcji?

Jakie wady tej metody możesz wymienić?

Ochrona pracy wykonywanej przy użyciu komputera

Pokazano slajd 16

Zalety metody:

Wizualizacja, szybkość pracy, dokładność konstrukcji, łatwość wykonania, możliwość zautomatyzowania weryfikacji wyniku; harmonogram tworzony jest nie tylko w wersji papierowej, ale także w formie elektronicznej.

Wady tej metody:

Nie doskonali się umiejętności obliczeniowych, nie ma związku z teorią, nie ma dostępu do sprzętu i oprogramowania.

Pokazano slajd 17

Ochrona pracy wykonywanej bez komputera

Zalety metody:

Niezależność od technologii komputerowej, gdy jest używana; rozwój umiejętności obliczeniowych, powiązanie z teorią.

Wady tej metody:

Praca zajmuje dużo czasu, brakuje precyzji konstrukcji, nie da się zautomatyzować weryfikacji wyniku; Wykres tworzony jest wyłącznie na papierze.

Zadanie nr 4 "Rozwiązać równanieX 2 = 4 X - 4"

Pokazano slajd 18

Nauczyciel. Zapraszamy do rozwiązania równania dwiema metodami: graficzną i analityczną.

1. Metoda graficzna - na dwa sposoby (modelowanie komputerowe i bez pomocy komputera).

2. Metoda – analityczna.

Analizując etapy graficznego rozwiązywania równania, uczniowie formułują algorytm wykonania zadania. Pokazano slajd 19

Stosując metodę rozwiązań analitycznych należy pamiętać o wzorze na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Graficzną metodę rozwiązania można przedstawić na dwa sposoby, wykorzystując modelowanie komputerowe i tradycyjnie.

Zadanie wykonują uczniowie grup nr 1-3 według tego samego schematu, jak przy realizacji praktycznej zadania nr 3. Uczniowie realizują zadanie i porównują wynik.

Ochrona wykonanej pracy.

Grupa chłopaków pracujących przy komputerze demonstruje wynik swojej pracy za pomocą projektora multimedialnego na tablicy interaktywnej, wskazując punkt przecięcia wykresów funkcji i podpisując jego współrzędne. Grupa studentów nr 3 – „teoretycy”, decyzja zapada na zwykłym forum. Grupa uczniów nr 3 – „praktycy”, sprawdzają wyniki na tablicy interaktywnej.

Pokazano slajd 20

Nauczyciel daje zadanie porównaj wyniki. Określ, Twoim zdaniem, skuteczniejszą metodę.

Etap IV. Praca domowa.

Pokazano slajd 21

Nauczyciel. Na zajęciach pracowaliście w grupach, w parach, wykonując wspólnie jedno zadanie. W domu będziesz musiał wykonać pracę praktyczną w oparciu o swoje umiejętności. Zadanie jest zróżnicowane ze względu na stopień trudności ( slajd 22 - Załącznik 2, slajd 23 ). Na tablicy pokazany jest slajd z instrukcją wykonania pracy.

Etap V. Podsumowanie lekcji. Cieniowanie.

Pokazano slajd 24

Dziś podsumowaliśmy i usystematyzowaliśmy wiedzę na temat „Funkcja y = x 2, jej właściwości i wykres” za pomocą modelowania komputerowego i tablicy interaktywnej, sprawdziliśmy rozwiązanie problemu matematycznego na kilka sposobów i poznaliśmy zalety i wady każdego z nich metoda. Dla Ciebie bardziej uniwersalną metodą okazało się zastosowanie modelowania matematycznego. Jednak wybór konkretnej metody zależy także od celów, jakie sobie stawiamy przy rozwiązywaniu konkretnego problemu. Różne problemy matematyczne dają nam możliwość zastosowania różnych technik, metod i metod do konkretnych problemów praktycznych. I masz prawo wybrać te, które będą bardziej odpowiednie w danych warunkach. W następnej lekcji przechodzimy do zapoznania się z nowym modelem matematycznym, uzupełniając zbiór badanych funkcji. Cała wiedza i umiejętności zdobyte podczas konstruowania wykresów funkcji na dwa sposoby pomogą Ci w przyszłej pracy. Dziękuję wszystkim za waszą pracę.

Literatura

Magazyn „Matematyka w szkole”, nr 10, 2008

Czasopismo „Informatyka i Edukacja”, nr 10, 2008.

A.G. Mordkovich. Algebra w ósmej klasie. Część 1. Podręcznik. M.: Mnemosyne, 2005.

A.G. Mordkovich. Algebra w ósmej klasie. Część 2. Książka problemowa. M.: Mnemosyne, 2005.

LA Alexandrova. Algebra w ósmej klasie. Prace niezależne / wyd. A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2006.

A.G. Mordkovich. Algebra 7-9. Podręcznik metodyczny dla nauczycieli. M.: Mnemosyne, 2000.

Aneks 1

Notatka

1. Jak wykreślić funkcję.

Utwórz tabelę wartości.

Konstruuj punkty na płaszczyźnie współrzędnych.

Połącz punkty gładką linią.

Oznacz wykres funkcji.

2. Jak znaleźć wartość funkcji F (X ) w harmonogramie.

Znajdź odpowiednią wartość zmiennej na osi x.

Narysuj prostopadłą do wykresu funkcji i zaznacz na niej punkt.

Z tego punktu narysuj prostopadłą do osi rzędnych.

Punkt przecięcia osi Na – i jest wartością funkcji F ( X ).

3. Jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji.

Znajdź wartość funkcji na podstawie odciętej punktu.

Porównaj wynik z rzędną punktu.

Jeśli wartości się pokrywają, punkt należy do wykresu funkcji.

Załącznik 2

Praktyczna praca

Opcja A

1. Wykres funkcji y = 2 X 2

znaczenie Na przy x = -1; 2; 1/2

b) wartość X , jeśli y = -8

V) y maks. I y nazwa na segmencie [-1; 2]

3. Czy punkt A (-5; 50) należy do wykresu funkcji?

Opcja B

1. Wykres funkcji y = - 0,5 X 2

2. Znajdź dla tej funkcji:

znaczenie Na przy x = -2; 0; 3

b) wartość X jeśli y = - 8

V) y maks. I y nazwa na segmencie [- 4; 0]

3. Czy punkt A należy do wykresu funkcji (-10; - 50)

Opcja C

1. Wykres funkcji y = 3/2 X 2

2. Znajdź dla tej funkcji:

znaczenie Na przy x = 2; 1; 2/3

b) wartość X jeśli y = 6

V) y maks. I y nazwa na segmencie [- 2; 1]

3. Czy punkt A (-8;- 96) należy do wykresu funkcji?

Definicja funkcji liniowej

Wprowadźmy definicję funkcji liniowej

Definicja

Funkcję w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywa się funkcją liniową.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem linii.

Gdy $b=0$ funkcję liniową nazywamy funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.

Rozważ rysunek 1.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii

Rozważmy trójkąt ABC. Widzimy, że $ВС=kx_0+b$. Znajdźmy punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:

\ \

Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych boków:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\kąt A$.

Możemy zatem wyciągnąć następujący wniosek:

Wniosek

Znaczenie geometryczne współczynnika $k$. Współczynnik kątowy prostej $k$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykres

Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx+b\prawo))"=k>0$. W konsekwencji funkcja ta rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

1. Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
2. Zakres wartości to wszystkie liczby.
3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Gdy $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Wykres (ryc. 3).

Funkcja liniowa y = kx + m, gdy m = 0, przyjmuje postać y = kx. W tym przypadku można zauważyć, że:

1. Jeśli x = 0, to y = 0. Zatem wykres funkcji liniowej y = kx przechodzi przez początek układu współrzędnych, niezależnie od wartości k.
2. Jeśli x = 1, to y = k.

Rozważmy różne wartości k i zmiany y z tego.

Jeżeli k jest dodatnie (k > 0), to prosta (wykres funkcji) przechodząca przez początek układu współrzędnych będzie leżeć w ćwiartkach współrzędnych I i III. Przecież przy dodatnim k, gdy x jest dodatnie, to y również będzie dodatnie. A kiedy x jest ujemne, y również będzie ujemne. Przykładowo dla funkcji y = 2x, jeśli x = 0,5, to y = 1; jeśli x = –0,5, to y = –1.

Zakładając teraz, że k jest dodatnie, rozważmy trzy różne równania liniowe. Niech będą to: y = 0,5x i y = 2x i y = 3x. Jak zmienia się wartość y dla tego samego x? Oczywiście rośnie wraz z k: im większe k, tym większe y. Oznacza to, że linia prosta (wykres funkcji) o większej wartości k będzie miała większy kąt pomiędzy osią x (oś odciętych) a wykresem funkcji. Zatem kąt, pod którym oś prosta przecina oś x, zależy od k i dlatego o k mówi się jako nachylenie funkcji liniowej.

Przeanalizujmy teraz sytuację, gdy k x jest dodatnie, wówczas y będzie ujemne; i odwrotnie: jeśli x y > 0. Zatem wykres funkcji y = kx dla at k

Załóżmy, że istnieją równania liniowe y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. Dla x = 1 otrzymujemy y = –0,5, y = –2, y = –3. Dla x = 2 otrzymujemy y = –1, y = –2, y = –6. Zatem im większe k, tym większe y, jeśli x jest dodatnie.

Jeśli jednak x = –1, to y = 0,5, y = 2, y = 3. Dla x = –2 otrzymujemy y = 1, y = 4, y = 6. Tutaj, gdy wartość k maleje, y przy x wzrasta

Wykres funkcji w k

Wykresy funkcji typu y = kx + m różnią się od wykresów y = km jedynie przesunięciem równoległym.