Ogólne równanie prostej i jego warianty. Linia prosta

Krzywa drugiego rzędu— położenie geometryczne punktów na płaszczyźnie, współrzędne prostokątne

które spełniają równanie postaci:

w którym co najmniej jeden ze współczynników 11, 12, 22 nie równe zeru.

Niezmienniki krzywych drugiego rzędu.

Kształt krzywej zależy od 4 niezmienników podanych poniżej:

Niezmienniki ze względu na obrót i przesunięcie układu współrzędnych:

Niezmienny w odniesieniu do obrotu układu współrzędnych ( półniezmiennicze):

Aby zbadać krzywe drugiego rzędu, rozważ produkt JAK.

Ogólny równanie krzywej drugiego rzędu na to wygląda:

Topór 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Jeśli AC*C > 0 typ eliptyczny. Dowolny eliptyczny

równanie jest równaniem zwykłej elipsy, zdegenerowanej elipsy (punktu) lub urojonej

elipsa (w tym przypadku równanie nie definiuje pojedynczego obrazu geometrycznego na płaszczyźnie);

Jeśli klimatyzacja< 0 , wówczas równanie przyjmuje postać równania typ hiperboliczny. Jakakolwiek hiperbola

równanie wyraża albo prostą hiperbolę, albo hiperbolę zdegenerowaną (dwie przecinające się linie);

Jeśli AC*C = 0, to linia drugiego rzędu nie będzie centralna. Równania tego typu nazywane są

równania typ paraboliczny i wyraź na płaszczyźnie albo prostą parabolę, albo 2 równoległe

(albo pokrywające się) linie proste, albo nie wyrażają pojedynczego obrazu geometrycznego na płaszczyźnie;

Jeśli A*C ≠ 0, będzie to krzywa drugiego rzędu

Ustalmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych i rozważmy ogólne równanie drugiego stopnia

w którym
.

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie (8.4.1), nazywa się krzywy (linia) drugie zamówienie.

Dla każdej krzywej drugiego rzędu istnieje prostokątny układ współrzędnych, zwany kanonicznym, w którym równanie tej krzywej ma jedną z następujących postaci:

1)
(elipsa);

2)
(wyimaginowana elipsa);

3)
(para wyimaginowanych przecinających się linii);

4)
(hiperbola);

5)
(para przecinających się linii);

6)
(parabola);

7)
(para równoległych linii);

8)
(para wyimaginowanych linii równoległych);

9)
(para pokrywających się linii).

Równania 1)–9) są wywoływane równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu.

Rozwiązanie problemu sprowadzenia równania krzywej drugiego rzędu do postaci kanonicznej polega na znalezieniu równania kanonicznego krzywej i kanonicznego układu współrzędnych. Sprowadzenie do postaci kanonicznej pozwala obliczyć parametry krzywej i określić jej położenie względem pierwotnego układu współrzędnych. Przejście z pierwotnego prostokątnego układu współrzędnych
do kanonicznego
przeprowadza się poprzez obrót osi pierwotnego układu współrzędnych wokół punktu O pod określonym kątem  i późniejsze równoległe przesunięcie układu współrzędnych.

Niezmienniki krzywej drugiego rzędu(8.4.1) to takie funkcje współczynników jego równania, których wartości nie zmieniają się przy przechodzeniu z jednego prostokątnego układu współrzędnych do drugiego tego samego układu.

Dla krzywej drugiego rzędu (8.4.1): suma współczynników dla kwadratów współrzędnych

,

wyznacznik złożony ze współczynników wyrazów wiodących

i wyznacznik trzeciego rzędu

są niezmiennikami.

Wartość niezmienników s, ,  można wykorzystać do określenia typu i ułożenia równania kanonicznego krzywej drugiego rzędu (tabela 8.1).

Tabela 8.1

Klasyfikacja krzywych drugiego rzędu na podstawie niezmienników

Przyjrzyjmy się bliżej elipsie, hiperboli i paraboli.

Elipsa(Rys. 8.1) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości do dwóch stałych punktów
ten samolot, tzw ogniska elipsy, jest wartością stałą (większą niż odległość pomiędzy ogniskami). W tym przypadku nie wyklucza się zbieżności ognisk elipsy. Jeśli ogniska pokrywają się, wówczas elipsa jest kołem.

Połowa sumy odległości od punktu elipsy do jej ognisk jest oznaczona wzorem A, połowa odległości między ogniskami – Z. Jeśli prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie zostanie wybrany w taki sposób, że ogniska elipsy znajdują się na osi OX symetrycznie względem początku, to w tym układzie współrzędnych elipsę wyznacza równanie

, (8.4.2)

zwany kanoniczne równanie elipsy, Gdzie
.

Ryż. 8.1

Przy określonym wyborze prostokątnego układu współrzędnych elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych i początku. Nazywa się osie symetrii elipsy osie, a środek symetrii to środek elipsy. Jednocześnie osie elipsy często nazywane są liczbami 2 A i 2 B i liczby A I B – duży I oś mała odpowiednio.

Nazywa się punkty przecięcia elipsy z jej osiami wierzchołki elipsy. Wierzchołki elipsy mają współrzędne ( A, 0), (–A, 0), (0, B), (0, –B).

Ekscentryczność elipsy wywołany numer

. (8.4.3)

Od 0  C < A, mimośród elipsy 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

To pokazuje, że mimośrodowość charakteryzuje kształt elipsy: im bliżej  jest zero, tym bardziej elipsa przypomina okrąg; wraz ze wzrostem  elipsa staje się bardziej wydłużona.

Pozwalać
– dowolny punkt elipsy,
I
– odległość od punktu M przed sztuczkami F 1 i F odpowiednio 2. Liczby R 1 i R 2 są tzw promienie ogniskowe punktu M elipsa i oblicza się je za pomocą wzorów

Dyrektorki różni się od koła elipsa za pomocą równania kanonicznego (8.4.2) wywoływane są dwie proste

.

Kierownice elipsy znajdują się na zewnątrz elipsy (ryc. 8.1).

Stosunek promienia ogniskowego zwrotnicaMelipsa na odległość  tej elipsy (ognisko i kierownica są uważane za odpowiadające sobie, jeśli znajdują się po tej samej stronie środka elipsy).

Hiperbola(Rys. 8.2) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów I ten samolot, tzw sztuczki hiperboliczne, jest wartością stałą (nie równą zero i mniejszą niż odległość między ogniskami).

Niech odległość między ogniskami będzie wynosić 2 Z, a określony moduł różnicy odległości jest równy 2 A. Wybierzmy prostokątny układ współrzędnych w taki sam sposób, jak w przypadku elipsy. W tym układzie współrzędnych hiperbola jest określona równaniem

, (8.4.4)

zwany równanie kanoniczne hiperboli, Gdzie
.

Ryż. 8.2

Przy takim wyborze prostokątnego układu współrzędnych osie współrzędnych są osiami symetrii hiperboli, a początek jest jej środkiem symetrii. Nazywa się osie symetrii hiperboli osie, a środek symetrii to środek hiperboli. Prostokąt o bokach 2 A i 2 B, umiejscowiony jak pokazano na rys. 8.2, tzw podstawowy prostokąt hiperboli. Liczby 2 A i 2 B to osie hiperboli i liczby A I B- jej półosie. Tworzą się linie proste będące kontynuacją przekątnych głównego prostokąta asymptoty hiperboli

.

Punkty przecięcia hiperboli z osią Wół są nazywane wierzchołki hiperboli. Wierzchołki hiperboli mają współrzędne ( A, 0), (–A, 0).

Ekscentryczność hiperboli wywołany numer

. (8.4.5)

Ponieważ Z > A, mimośród hiperboli  > 1. Równość (8.4.5) przepiszemy w postaci

.

To pokazuje, że mimośród charakteryzuje kształt głównego prostokąta, a co za tym idzie, kształt samej hiperboli: im mniejsze , tym bardziej rozciąga się główny prostokąt, a po nim sama hiperbola wzdłuż osi Wół.

Pozwalać
– dowolny punkt hiperboli,
I
– odległość od punktu M przed sztuczkami F 1 i F odpowiednio 2. Liczby R 1 i R 2 są tzw promienie ogniskowe punktu M hiperbole i oblicza się je za pomocą wzorów

Dyrektorki hiperbole za pomocą równania kanonicznego (8.4.4) wywoływane są dwie proste

.

Kierownice hiperboli przecinają główny prostokąt i przechodzą między środkiem a odpowiednim wierzchołkiem hiperboli (ryc. 8.2).

O współczynnik promienia ogniskowej zwrotnicaM hiperbole na odległość od tego punktu do punktu odpowiadającego ostrości kierownica równa się ekscentryczności tej hiperboli (ognisko i kierownica uważa się za odpowiadające sobie, jeśli znajdują się po tej samej stronie środka hiperboli).

Parabola(Rys. 8.3) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których odległość do jakiegoś stałego punktu F (ognisko paraboli) tej płaszczyzny jest równa odległości do jakiejś ustalonej linii prostej ( kierownice paraboli), również znajdujący się w rozważanej płaszczyźnie.

Wybierzmy początek O prostokątny układ współrzędnych w środku odcinka [ FD], czyli prostopadłość nieostrości F na kierownicy (zakłada się, że ognisko nie należy do kierownicy) i osiach Wół I Oj Skierujmy to tak, jak pokazano na ryc. 8.3. Niech długość odcinka [ FD] jest równy P. Następnie w wybranym układzie współrzędnych
I kanoniczne równanie paraboli wygląda jak

. (8.4.6)

Ogrom P zwany parametr paraboli.

Parabola ma oś symetrii zwaną oś paraboli. Nazywa się punkt przecięcia paraboli z jej osią wierzchołek paraboli. Jeżeli parabolę podaje jej równanie kanoniczne (8.4.6), to osią paraboli jest oś Wół. Oczywiście wierzchołek paraboli jest początkiem.

Przykład 1. Kropka A= (2, –1) należy do elipsy, punkt F= (1, 0) jest jego ogniskiem, odpowiadającym F kierownica jest określona równaniem
. Napisz równanie tej elipsy.

Rozwiązanie. Rozważymy układ współrzędnych jako prostokątny. Potem dystans z punktu A do dyrektorki
zgodnie z zależnością (8.1.8), w której


, równa się

.

Dystans z punktu A skupiać się F równa się

,

co pozwala nam określić mimośród elipsy

.

Pozwalać M = (X, y) jest dowolnym punktem elipsy. Potem dystans
z punktu M do dyrektorki
według wzoru (8.1.8) równa się

i odległość z punktu M skupiać się F równa się

.

Ponieważ dla dowolnego punktu elipsy relacja jest stałą wielkością równą mimośrodowi elipsy, stąd mamy

,

Przykład 2. Krzywą wyznacza równanie

w prostokątnym układzie współrzędnych. Znajdź kanoniczny układ współrzędnych i równanie kanoniczne tej krzywej. Określ rodzaj krzywej.

Rozwiązanie. Kwadratowy kształt
ma macierz

.

Jego charakterystyczny wielomian

ma pierwiastki  1 = 4 i  2 = 9. Dlatego w bazie ortonormalnej wektorów własnych macierzy A rozważana postać kwadratowa ma postać kanoniczną

.

Przejdźmy do konstrukcji macierzy transformacji ortogonalnej zmiennych, sprowadzając rozważaną formę kwadratową do wskazanej postaci kanonicznej. W tym celu skonstruujemy podstawowe układy rozwiązań jednorodnych układów równań
i ortonormalizować je.

Na
ten system wygląda

Jego ogólne rozwiązanie to
. Jest tu jedna wolna zmienna. Dlatego podstawowy układ rozwiązań składa się z jednego wektora, na przykład wektora
. Normalizując to, otrzymujemy wektor

.

Na
skonstruujmy także wektor

.

Wektory I są już ortogonalne, ponieważ odnoszą się do różnych wartości własnych macierzy symetrycznej A. Stanowią one kanoniczną bazę ortonormalną danej postaci kwadratowej. Wymaganą macierz ortogonalną (macierz rotacji) buduje się z kolumn ich współrzędnych

.

Sprawdźmy, czy macierz została znaleziona poprawnie R według formuły
, Gdzie
– macierz postaci kwadratowej w podstawie
:

Matryca R znalezione poprawnie.

Przekształćmy zmienne

i zapisz równanie tej krzywej w nowym prostokątnym układzie współrzędnych ze starymi wektorami środka i kierunku
:

Gdzie
.

Otrzymaliśmy równanie kanoniczne elipsy

.

Z uwagi na fakt, że wynikową transformację współrzędnych prostokątnych określają wzory

,

,

kanoniczny układ współrzędnych
ma początek
i wektory kierunkowe
.

Przykład 3. Korzystając z teorii niezmienników, określ typ i utwórz równanie kanoniczne krzywej

Rozwiązanie. Ponieważ

,

zgodnie z tabelą. 8.1 wnioskujemy, że jest to hiperbola.

Ponieważ s = 0, charakterystyczny wielomian macierzy ma postać kwadratową

Jego korzenie
I
pozwalają nam napisać równanie kanoniczne krzywej

Gdzie Z można znaleźć na podstawie warunku

,

.

Wymagane równanie kanoniczne krzywej

.

W zadaniach tej sekcji współrzędneX, yprzyjmuje się, że są prostokątne.

8.4.1. Dla elips
I
znajdować:

a) półosie;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania kierownicze.

8.4.2. Napisz równania elipsy, znając jej ognisko
, odpowiadający dyrektorce X= 8 i ekscentryczność . Znajdź drugie ognisko i drugą kierownicę elipsy.

8.4.3. Napisz równanie elipsy, której ogniska mają współrzędne (1, 0) i (0, 1) i której główna oś wynosi dwa.

8.4.4. Biorąc pod uwagę hiperbolę
. Znajdować:

a) półosie A I B;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania asymptot;

e) równania kierownicze.

8.4.5. Biorąc pod uwagę hiperbolę
. Znajdować:

a) półosie A I B;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania asymptot;

e) równania kierownicze.

8.4.6. Kropka
należy do hiperboli, której ogniskiem jest
, a odpowiednia kierownica jest podana przez równanie
. Napisz równanie tej hiperboli.

8.4.7. Napisz równanie paraboli ze względu na jej ostrość
i dyrektorka
.

8.4.8. Biorąc pod uwagę wierzchołek paraboli
oraz równanie kierownicy
. Napisz równanie tej paraboli.

8.4.9. Napisz równanie paraboli, której ognisko znajduje się w punkcie

a kierownica jest określona równaniem
.

8.4.10. Napisz równanie drugiego rzędu dla krzywej, znając jej mimośród
, centrum
i odpowiednia dyrektorka
.

8.4.11. Określ typ krzywej drugiego rzędu, ułóż jej równanie kanoniczne i znajdź kanoniczny układ współrzędnych:

G)
;

8.4.12.

jest elipsą. Znajdź długości półosi i mimośród tej elipsy, współrzędne środka i ognisk, utwórz równania dla osi i kierownic.

8.4.13. Udowodnij, że krzywa drugiego rzędu dana równaniem

jest hiperbolą. Znajdź długości półosi i mimośród tej hiperboli, współrzędne środka i ognisk, utwórz równania na osie, kierownice i asymptoty.

8.4.14. Udowodnij, że krzywa drugiego rzędu dana równaniem

,

jest parabolą. Znajdź parametr tej paraboli, współrzędne wierzchołków i ogniska, napisz równania osi i kierownicy.

8.4.15. Sprowadź każde z poniższych równań do postaci kanonicznej. Narysuj na rysunku odpowiednią krzywą drugiego rzędu względem pierwotnego prostokątnego układu współrzędnych:

8.4.16. Korzystając z teorii niezmienników, określ typ i utwórz równanie kanoniczne krzywej.

Jak pokazano powyżej, równania tej samej prostej można zapisać w co najmniej trzech postaciach: równań ogólnych linii, równań parametrycznych linii i równań kanonicznych prostej. Rozważmy kwestię przejścia od równań prostych jednego rodzaju do równań prostych innej postaci.

Po pierwsze, zauważamy, że jeśli równania linii podane są w postaci parametrycznej, to w ten sposób dany jest punkt, przez który linia przechodzi, oraz wektor kierunkowy linii. Dlatego nie jest trudno zapisać równania prostej w postaci kanonicznej.

Przykład.

Równania prostej podano w postaci parametrycznej

Rozwiązanie.

Linia prosta przechodzi przez punkt
i ma wektor kierunkowy
. W związku z tym równania kanoniczne prostej mają postać

.

W podobny sposób rozwiązuje się problem przejścia od równań kanonicznych prostej do równań parametrycznych prostej.

Przejście od równań kanonicznych prostej do ogólnych równań prostej omówiono poniżej na przykładzie.

Przykład.

Podano równania kanoniczne prostej

.

Zapisz ogólne równania prostej.

Rozwiązanie.

Zapiszmy równania kanoniczne prostej w postaci układu dwóch równań

.

Pozbywając się mianowników, mnożąc obie strony pierwszego równania przez 6, a drugie równanie przez 4, otrzymujemy układ

.

.

Powstały układ równań jest równaniem ogólnym linii prostej.

Rozważmy przejście od ogólnych równań prostej do równań parametrycznych i kanonicznych prostej. Aby napisać równania kanoniczne lub parametryczne linii, musisz znać punkt, przez który linia przechodzi, oraz wektor kierunkowy linii. Jeśli określimy współrzędne dwóch punktów
I
, leżącego na linii prostej, to wektor m można przyjąć jako wektor kierunkowy
. Współrzędne dwóch punktów leżących na prostej można otrzymać jako rozwiązania układu równań wyznaczających ogólne równania prostej. Za punkt, przez który przechodzi linia, możesz przyjąć dowolny z punktów
I
. Zilustrujmy powyższe przykładem.

Przykład.

Podano ogólne równania prostej

.

Rozwiązanie.

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów leżących na linii prostej jako rozwiązania tego układu równań. Wierzyć
, otrzymujemy układ równań

.

Znajdujemy rozwiązanie tego układu
. Dlatego punkt
leży na linii prostej. Wierzyć
, otrzymujemy układ równań

,

rozwiązanie, które znajdziemy
. Zatem linia przechodzi przez punkt
. Następnie możemy przyjąć wektor jako wektor kierunkowy

.

Zatem prosta przechodzi przez punkt
i ma wektor kierunkowy
. W związku z tym równania parametryczne prostej mają postać

.

Następnie równania kanoniczne prostej zostaną zapisane w postaci

.

Inny sposób znalezienia wektora kierunkowego prostej za pomocą ogólnych równań prostej polega na tym, że w tym przypadku dane są równania płaszczyzn, a co za tym idzie normalne do tych płaszczyzn.

Niech ogólne równania prostej mają postać

I - normalne odpowiednio do pierwszej i drugiej płaszczyzny. Następnie wektor
można traktować jako wektor kierujący. W rzeczywistości linia prosta, będąca linią przecięcia tych płaszczyzn, jest jednocześnie prostopadła do wektorów I . Dlatego jest współliniowy z wektorem
a to oznacza, że ​​wektor ten można przyjąć jako wektor kierujący linii prostej. Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Podano ogólne równania prostej

.

Zapisz równania parametryczne i kanoniczne prostej.

Rozwiązanie.

Linia prosta to linia przecięcia płaszczyzn z normalnymi
I
. Jako wektor kierunkowy przyjmujemy wektor prosty

Znajdźmy punkt leżący na prostej. Znajdźmy punkt leżący na prostej. Pozwalać
. Następnie otrzymujemy system

.

Znajdujemy rozwiązanie układu
Dlatego kropka
leży na linii prostej. Wówczas równania parametryczne prostej można zapisać w postaci

.

Równania kanoniczne prostej mają postać

.

Wreszcie można przejść do równań kanonicznych, eliminując jedną ze zmiennych w jednym z równań, a następnie inną zmienną. Spójrzmy na tę metodę na przykładzie.

Przykład.

Podano ogólne równania prostej

.

Zapisz równania kanoniczne prostej.

Rozwiązanie.

Wykluczmy zmienną y z drugiego równania, dodając do niej pierwszą zmienną pomnożoną przez cztery. Dostajemy

.

.

Wykluczmy teraz zmienną z drugiego równania , dodając do tego pierwsze równanie pomnożone przez dwa. Dostajemy

.

.

Stąd otrzymujemy równanie kanoniczne prostej

.

.

.

W tym artykule rozważymy ogólne równanie linii prostej na płaszczyźnie. Podajmy przykłady konstrukcji ogólnego równania prostej, jeśli znane są dwa punkty tej prostej lub jeśli znany jest jeden punkt i wektor normalny tej prostej. Przedstawmy metody transformacji równania w postaci ogólnej do postaci kanonicznej i parametrycznej.

Niech zostanie dany dowolny kartezjański prostokątny układ współrzędnych Oksy. Rozważmy równanie pierwszego stopnia lub równanie liniowe:

Topór+B+C=0,

(1)

Gdzie A, B, C− pewne stałe i przynajmniej jeden z elementów A I B różny od zera.

Pokażemy, że równanie liniowe na płaszczyźnie definiuje linię prostą. Udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. W dowolnym kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie każdą linię prostą można określić za pomocą równania liniowego. I odwrotnie, każde równanie liniowe (1) w dowolnym kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie definiuje linię prostą.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że jest to linia prosta L jest wyznaczany przez równanie liniowe dla dowolnego kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych, ponieważ wtedy będzie wyznaczany przez równanie liniowe dla dowolnego wyboru kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych.

Niech na płaszczyźnie zostanie dana linia prosta L. Wybierzmy układ współrzędnych tak, aby oś Wół pokrywała się z linią prostą L i oś Oj był do niego prostopadły. Następnie równanie prostej L przyjmie następującą postać:

y=0.

(2)

Wszystkie punkty na linii L spełni równanie liniowe (2), a wszystkie punkty poza tą prostą nie będą spełniać równania (2). Pierwsza część twierdzenia została udowodniona.

Niech dany będzie kartezjański prostokątny układ współrzędnych i równanie liniowe (1), w którym co najmniej jeden z elementów A I B różny od zera. Znajdźmy miejsce geometryczne punktów, których współrzędne spełniają równanie (1). Ponieważ co najmniej jeden ze współczynników A I B jest różna od zera, to równanie (1) ma co najmniej jedno rozwiązanie M(X 0 ,y 0). (Na przykład, kiedy A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) należy do zadanego geometrycznego miejsca punktów). Podstawiając te współrzędne do (1) otrzymujemy tożsamość

Topór 0 +Przez 0 +C=0.

(3)

Odejmijmy tożsamość (3) od (1):

A(X−X 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Oczywiście równanie (4) jest równoważne równaniu (1). Wystarczy zatem udowodnić, że (4) wyznacza pewną prostą.

Ponieważ rozważamy prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich, z równości (4) wynika, że ​​wektor ze składowymi ( x-x 0 , y-y 0 ) ortogonalne do wektora N ze współrzędnymi ( A, B}.

Rozważmy pewną linię prostą L, przechodząc przez punkt M 0 (X 0 , y 0) i prostopadle do wektora N(ryc. 1). Niech chodzi M(X,y) należy do linii L. Następnie wektor ze współrzędnymi x-x 0 , y-y 0 prostopadle N i równanie (4) jest spełnione (iloczyn skalarny wektorów N i równe zeru). I odwrotnie, jeśli punkt M(X,y) nie leży na prostej L, następnie wektor ze współrzędnymi x-x 0 , y-y 0 nie jest prostopadłe do wektora N oraz równanie (4) nie jest spełnione. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód. Ponieważ linie (5) i (6) definiują tę samą linię, to wektory normalne N 1 ={A 1 ,B 1) i N 2 ={A 2 ,B 2) współliniowy. Ponieważ wektory N 1 ≠0, N 2 ≠0, to istnieje taka liczba λ , Co N 2 =N 1 λ . Stąd mamy: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Udowodnijmy to C 2 =C 1 λ . Oczywiście zbiegające się linie mają wspólny punkt M 0 (X 0 , y 0). Mnożenie równania (5) przez λ i odejmując od niego równanie (6) otrzymujemy:

Skoro spełnione są dwie pierwsze równości z wyrażeń (7), to zatem C 1 λ −C 2 = 0. Te. C 2 =C 1 λ . Uwaga została udowodniona.

Należy zauważyć, że równanie (4) definiuje równanie prostej przechodzącej przez punkt M 0 (X 0 , y 0) i posiadający wektor normalny N={A, B). Jeśli zatem znany jest wektor normalny prostej i punkt należący do tej prostej, to ogólne równanie prostej można skonstruować za pomocą równania (4).

Przykład 1. Linia prosta przechodzi przez punkt M=(4,−1) i ma wektor normalny N=(3, 5). Skonstruuj ogólne równanie prostej.

Rozwiązanie. Mamy: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Aby skonstruować ogólne równanie prostej, podstawiamy te wartości do równania (4):

Odpowiedź:

Wektor jest równoległy do ​​prostej L a zatem prostopadle do wektora normalnego linii L. Skonstruujmy normalny wektor liniowy L, biorąc pod uwagę, że iloczyn skalarny wektorów N i równe zeru. Możemy napisać np. N={1,−3}.

Aby skonstruować ogólne równanie prostej, korzystamy ze wzoru (4). Podstawmy współrzędne punktu do (4) M 1 (możemy również przyjąć współrzędne punktu M 2) i wektor normalny N:

Podstawienie współrzędnych punktów M 1 i M 2 w (9) możemy się upewnić, że linia prosta określona równaniem (9) przechodzi przez te punkty.

Odpowiedź:

Odejmij (10) od (1):

Otrzymaliśmy równanie kanoniczne prostej. Wektor Q={−B, A) jest wektorem kierunku linii (12).

Zobacz konwersję odwrotną.

Przykład 3. Linię prostą na płaszczyźnie reprezentuje następujące równanie ogólne:

Przesuńmy drugi wyraz w prawo i podzielmy obie strony równania przez 2,5.

Własności prostej w geometrii euklidesowej.

Przez dowolny punkt można poprowadzić nieskończoną liczbę linii prostych.

Przez dowolne dwa nie pokrywające się punkty można poprowadzić pojedynczą linię prostą.

Dwie rozbieżne linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są

równolegle (wynika z poprzedniego).

W przestrzeni trójwymiarowej istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:

• linie przecinają się;

• linie są równoległe;

• linie proste przecinają się.

Prosty linia— krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: linia prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych

jest dana na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równaniem liniowym).

Ogólne równanie prostej.

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

i stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny

równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B I Z Możliwe są następujące szczególne przypadki:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia prosta przechodzi przez początek

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Jednostka organizacyjna

. B = C = 0, A ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Jednostka organizacyjna

. A = C = 0, B ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Oh

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od danego

warunki początkowe.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego.

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B)

prostopadle do prostej określonej równaniem

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).

Rozwiązanie. Mając A = 3 i B = -1, ułóżmy równanie prostej: 3x - y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C

Do powstałego wyrażenia podstawiamy współrzędne danego punktu A. Otrzymujemy zatem: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x - y - 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech w przestrzeni będą dane dwa punkty M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Następnie równanie linii,

przechodząc przez te punkty:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero. NA

płaszczyźnie, równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

Jeśli x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Jeśli x 1 = x 2 .

Frakcja = k zwany nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.

Jeśli ogólne równanie linii Topór + Wu + C = 0 prowadzić do:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się

równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, możesz wprowadzić zadanie

linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), których elementy spełniają warunek

Aα 1 + Ba 2 = 0 zwany wektor kierujący linii prostej.

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej linii będziemy szukać w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją,

współczynniki muszą spełniać następujące warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, Lub x + y + C / A = 0.

Na x = 1, y = 2 dostajemy C/A = -3, tj. wymagane równanie:

x + y - 3 = 0

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez -С, otrzymujemy:

czy gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia

proste z osią Oh, A B- współrzędna punktu przecięcia linii z osią Jednostka organizacyjna.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii.

Jeśli obie strony równania Topór + Wu + C = 0 podzielić przez liczbę który jest nazywany

czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie linii.

Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby: µ*C< 0.

R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do prostej,

A φ - kąt utworzony przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagane do pisania różnych typów równań

tę linię prostą.

Równanie tej prostej w odcinkach:

Równanie tej prostej z nachyleniem: (podziel przez 5)

Równanie prostej:

cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w postaci odcinków, np. linie proste,

równolegle do osi lub przechodząc przez początek układu współrzędnych.

Kąt między prostymi na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podano dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, a następnie kąt ostry między tymi liniami

zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe

Jeśli k 1 = -1/ k 2 .

Twierdzenie.

Bezpośredni Topór + Wu + C = 0 I ZA 1 x + B 1 y + C 1 = 0 równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne

ZA 1 = λA, B 1 = λB. Jeśli także С 1 = λС, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii

znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b

reprezentowane przez równanie:

Odległość punktu od linii.

Twierdzenie. Jeśli zostanie przyznany punkt M(x 0, y 0), następnie odległość do linii prostej Topór + Wu + C = 0 zdefiniowana jako:

Dowód. Niech chodzi M 1 (x 1, y 1)- podstawa prostopadłej rzucona z punktu M dla danego

bezpośredni. Następnie odległość między punktami M I M 1:

(1)

Współrzędne x 1 I o 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle

dana linia prosta. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.