Definicja i właściwości. Logarytm zespolony Podstawowe wzory na logarytmy

Plan:

Wstęp

• 1 Prawdziwy logarytm
  • 1.1 Właściwości
  • 1.2 Funkcja logarytmiczna
  • 1.3 Logarytmy naturalne
  • 1.4 Logarytmy dziesiętne
• 2 Logarytm złożony
  • 2.1 Definicja i właściwości
  • 2.2 Przykłady
  • 2.3 Analityczny ciąg dalszy
  • 2.4 Powierzchnia Riemanna
• 3 Szkic historyczny
  • 3.1 Prawdziwy logarytm
  • 3.2 Logarytm złożony
• 4 Tablice logarytmiczne
• 5 aplikacji
Literatura
Notatki

Wstęp

Ryż. 1. Wykresy funkcji logarytmicznych

Logarytm liczby B oparte na A (z greckiego λόγος - „słowo”, „postawa” i ἀριθμός - „liczba”) definiuje się jako wskaźnik mocy, do której należy podnieść bazę A aby uzyskać numer B. Przeznaczenie: . Z definicji wynika, że ​​rekordy i są równoważne.

Na przykład, ponieważ.

1. Logarytm rzeczywisty

Logarytm dziennika liczb rzeczywistych A B ma sens, kiedy. Jak wiadomo, funkcja wykładnicza y = A X jest monotoniczny i każda wartość przyjmuje tylko raz, a zakres jej wartości zawiera wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste. Wynika z tego, że wartość logarytmu rzeczywistego liczby dodatniej zawsze istnieje i jest jednoznacznie określona.

Najpopularniejsze typy logarytmów to:

1.1. Nieruchomości

Dowód

Udowodnijmy to.

(ponieważ według warunku bc > 0). ■

Dowód

Udowodnijmy to

(ponieważ według warunku ■

Dowód

Aby to udowodnić, używamy tożsamości. Logarytmujemy obie strony tożsamości na podstawie c. Otrzymujemy:

Dowód

Udowodnijmy to.

(ponieważ B P> 0 według warunku). ■

Dowód

Udowodnijmy to

Dowód

Logarytm lewej i prawej strony do podstawy C :

Lewa strona: Prawa strona:

Równość wyrażeń jest oczywista. Ponieważ logarytmy są równe, to ze względu na monotoniczność funkcji logarytmicznej same wyrażenia są równe. ■

1.2. Funkcja logarytmiczna

Jeśli uznamy liczbę logarytmiczną za zmienną, otrzymamy funkcja logarytmiczna y=log A X (patrz ryc. 1). Jest ona zdefiniowana na godz. Zakres wartości: .

Funkcja jest ściśle rosnąca w A> 1 i ściśle malejące przy 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Prosty X= 0 jest lewą asymptotą pionową, ponieważ w A> 1 i przy 0< A < 1 .

Pochodna funkcji logarytmicznej jest równa:

Dowód

I. Udowodnijmy to

Zapiszmy tożsamość mi ln X = X i rozróżnij jego lewą i prawą stronę

Dostajemy to, z czego wynika to

II. Udowodnijmy to

Funkcja logarytmiczna wykonuje izomorfizm między multiplikatywną grupą dodatnich liczb rzeczywistych a grupą addytywną wszystkich liczb rzeczywistych.

1.3. Logarytmy naturalne

Związek z logarytmem dziesiętnym: .

Jak wspomniano powyżej, pochodna logarytmu naturalnego ma prosty wzór:

Z tego powodu w badaniach matematycznych wykorzystuje się głównie logarytmy naturalne. Często pojawiają się podczas rozwiązywania równań różniczkowych, badania zależności statystycznych (na przykład rozkładu liczb pierwszych) itp.

Całkę nieoznaczoną logarytmu naturalnego można łatwo znaleźć całkując przez części:

Rozwinięcie w szereg Taylora można przedstawić w następujący sposób:
gdy równość jest prawdziwa

(1)

W szczególności,

Szereg ten zbiega się szybciej, a ponadto lewa strona wzoru może teraz wyrazić logarytm dowolnej liczby dodatniej.

1.4. Logarytmy dziesiętne

Ryż. 2a. Skala logarytmiczna

Ryż. 2b. Skala logarytmiczna z symbolami

Logarytmy o podstawie 10 (symbol: lg A) przed wynalezieniem kalkulatorów były powszechnie stosowane do obliczeń. W przypadku suwaków logarytmicznych zwykle stosowana jest nierówna skala logarytmów dziesiętnych. Podobną skalę stosuje się w wielu dziedzinach nauki, np.:

• Fizyka - natężenie dźwięku (decybele).
• Astronomia - skala jasności gwiazd.
• Chemia - aktywność jonów wodorowych (pH).
• Sejsmologia - skala Richtera.
• Teoria muzyki - skala nut w odniesieniu do częstotliwości nut.
• Historia to logarytmiczna skala czasu.

Skala logarytmiczna jest również szeroko stosowana do identyfikacji wykładnika w relacjach potęgowych i współczynnika wykładnika. W tym przypadku wykres zbudowany w skali logarytmicznej wzdłuż jednej lub dwóch osi przyjmuje postać linii prostej, która jest łatwiejsza do zbadania.

2. Logarytm zespolony

2.1. Definicja i właściwości

W przypadku liczb zespolonych logarytm definiuje się w taki sam sposób, jak logarytm rzeczywisty. W praktyce stosuje się prawie wyłącznie naturalny logarytm zespolony, który oznaczamy i definiujemy jako zbiór wszystkich liczb zespolonych z takie, że mi z = w . Logarytm zespolony istnieje dla dowolnego , a jego część rzeczywista jest określona jednoznacznie, natomiast część urojona ma nieskończoną liczbę wartości. Z tego powodu nazywa się ją funkcją wielowartościową. Jeśli sobie wyobrażasz w w formie poglądowej:

,

następnie logarytm znajduje się według wzoru:

Oto prawdziwy logarytm, R = | w | , k- dowolna liczba całkowita. Wartość uzyskana, gdy k= 0, tzw główne znaczenie złożony logarytm naturalny; zwyczajowo przyjmuje się wartość zawartego w nim argumentu w przedziale (− π, π). Odpowiednia (już jednowartościowa) funkcja nazywa się główna gałąź logarytm i jest oznaczony przez . Czasami oznaczają również wartość logarytmu, która nie znajduje się na głównej gałęzi.

Ze wzoru wynika:

• Część rzeczywistą logarytmu określa się według wzoru:

• Logarytm liczby ujemnej oblicza się ze wzoru:

Ponieważ złożone funkcje trygonometryczne są powiązane z wykładnikiem (wzór Eulera), logarytm zespolony, jako funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, jest powiązany z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi. Przykład takiego połączenia:

2.2. Przykłady

Dla niektórych argumentów podajmy główną wartość logarytmu:

Należy zachować ostrożność przy konwersji logarytmów złożonych, biorąc pod uwagę, że są one wielowartościowe, dlatego równość logarytmów jakichkolwiek wyrażeń nie implikuje równości tych wyrażeń. Przykład błędnego rozumowania:

Iπ = ln(− 1) = ln((− I) 2) = 2ln(− I) = 2(− Iπ / 2) = − Iπ – czysty absurd.

Zauważ, że po lewej stronie znajduje się główna wartość logarytmu, a po prawej wartość z gałęzi bazowej ( k= - 1 ). Przyczyną błędu jest nieostrożne użycie własności, co, ogólnie rzecz biorąc, implikuje w przypadku złożonym cały nieskończony zbiór wartości logarytmów, a nie tylko wartość główną.

2.3. Analityczny ciąg dalszy

Ryż. 3. Logarytm zespolony (część urojona)

Logarytm liczby zespolonej można również zdefiniować jako analityczne rozszerzenie logarytmu rzeczywistego na całą płaszczyznę zespoloną. Niech krzywa Γ zaczyna się od jedności, nie przechodzi przez zero i nie przecina ujemnej części osi rzeczywistej. Następnie wartość główna logarytmu w punkcie końcowym w krzywą Γ można wyznaczyć ze wzoru:

Jeżeli Γ jest krzywą prostą (bez samoprzecięć), to dla leżących na niej liczb można bez obaw zastosować tożsamości logarytmiczne, np.

Jeżeli krzywa Γ może przeciąć ujemną część osi rzeczywistej, to pierwsze takie przecięcie przenosi wynik z gałęzi wartości głównej na gałąź sąsiednią, a każde kolejne przecięcie powoduje podobne przesunięcie wzdłuż gałęzi funkcji logarytmicznej ( patrz rysunek).

Z analitycznego wzoru kontynuacji wynika, że ​​na dowolnej gałęzi logarytmu

Dla dowolnego kręgu S, obejmujący punkt 0:

Całkę przyjmuje się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Tożsamość ta leży u podstaw teorii reszt.

Można także zdefiniować analityczną kontynuację logarytmu zespolonego, korzystając z powyższego szeregu (1), uogólnionego na przypadek złożonego argumentu. Jednak z rodzaju rozwinięcia wynika, że ​​przy jedności jest ona równa zeru, to znaczy szereg odnosi się tylko do głównej gałęzi wielowartościowej funkcji logarytmu zespolonego.

2.4. Powierzchnia Riemanna

Przykładem powierzchni Riemanna jest złożona funkcja logarytmiczna; jego wyimaginowana część (ryc. 3) składa się z nieskończonej liczby gałęzi skręconych w kształcie spirali. Ta powierzchnia jest po prostu połączona; jego jedyne zero (pierwszego rzędu) uzyskuje się w z= 1, punkty osobliwe: z= 0 i (punkty rozgałęzień nieskończonego rzędu).

Powierzchnia Riemanna logarytmu jest uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej bez punktu 0.

3. Szkic historyczny

3.1. Prawdziwy logarytm

W XVI wieku zapotrzebowanie na złożone obliczenia gwałtownie wzrosło, a większość trudności polegała na mnożeniu i dzieleniu liczb wielocyfrowych oraz pierwiastkowaniu. Pod koniec stulecia kilku matematyków niemal jednocześnie wpadło na pomysł: zastąpić pracochłonne mnożenie prostym dodawaniem, wykorzystując specjalne tablice do porównywania postępów geometrycznych i arytmetycznych, przy czym pierwotnym był postęp geometryczny. Wtedy dzielenie zostaje automatycznie zastąpione przez nieporównywalnie prostsze i pewniejsze odejmowanie i wyciągnięcie pierwiastka stopnia N sprowadza się do podzielenia logarytmu wyrażenia radykalnego przez N. Jako pierwszy opublikował tę myśl w swojej książce „ Całka arytmetyczna„Michael Stiefel, który jednak nie podjął żadnych poważnych wysiłków, aby zrealizować swój pomysł.

W 1614 roku szkocki matematyk-amator John Napier opublikował po łacinie esej zatytułowany „ Opis niesamowitej tabeli logarytmów„(łac. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Zawierał krótki opis logarytmów i ich własności, a także 8-cyfrowe tablice logarytmów sinusów, cosinusów i stycznych, z krokiem 1”. logarytm, zaproponowany przez Napiera, ugruntował się w nauce. Napier przedstawił teorię logarytmów w swojej drugiej książce „ Budowanie niesamowitej tablicy logarytmicznej„(łac. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), wydanej pośmiertnie w 1619 r. przez jego syna.

Pojęcie funkcji jeszcze nie istniało, a Napier zdefiniował logarytm kinematycznie, porównując ruch jednostajny i logarytmicznie zwolniony; na przykład zdefiniował logarytm sinusa w następujący sposób:

Logarytm danego sinusa to liczba, która zawsze wzrasta arytmetycznie w tym samym tempie, w jakim całkowity sinus zaczął się geometrycznie zmniejszać.

We współczesnej notacji model kinematyczny Napiera można przedstawić za pomocą równania różniczkowego: dx/x = -dy/M, gdzie M jest współczynnikiem skali wprowadzonym w celu zapewnienia, że ​​wartość okaże się liczbą całkowitą z wymaganą liczbą cyfr (ułamki dziesiętne nie były jeszcze powszechnie stosowane). Napier przyjął M = 10000000.

Ściśle mówiąc, Napier umieścił w tabeli błędną funkcję, która obecnie nazywa się logarytmem. Jeśli oznaczymy jej funkcję LogNap(x), to wiąże się ją z logarytmem naturalnym w następujący sposób:

Oczywiście LogNap(M) = 0, czyli logarytm „pełnego sinusa” wynosi zero – to właśnie osiągnął Napier swoją definicją. .

Główna właściwość logarytmu Napiera: jeśli ilości tworzą postęp geometryczny, to ich logarytmy tworzą postęp arytmetyczny. Jednak zasady logarytmu dla funkcji Nepera różniły się od zasad współczesnego logarytmu.

Na przykład, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Niestety, wszystkie wartości w tabeli Napiera zawierały błąd obliczeniowy po szóstej cyfrze. Nie przeszkodziło to jednak nowej metodzie obliczeń zyskać dużą popularność i wielu europejskich matematyków, w tym Kepler, zaczęło kompilować tablice logarytmiczne. Zaledwie 5 lat później, w 1619 r., londyński nauczyciel matematyki John Spidell ( Johna Speidell'a) ponownie wydał tablice Napiera, przekształcone tak, że faktycznie stały się tablicami logarytmów naturalnych (chociaż Spidell zachował skalowanie do liczb całkowitych). Termin „logarytm naturalny” zaproponował włoski matematyk Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) w połowie XVI wieku.

W latach dwudziestych XVII wieku Edmund Wingate i William Oughtred wynaleźli pierwszy suwak logarytmiczny, jeszcze przed pojawieniem się kalkulatorów kieszonkowych – niezastąpionego narzędzia inżyniera.

Zbliżone do współczesnego rozumienie logarytmizacji – jako odwrotnej operacji podnoszenia do potęgi – pojawiło się po raz pierwszy u Wallisa i Johanna Bernoulliego, a ostatecznie zostało legitymizowane przez Eulera w XVIII wieku. W książce „Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) Euler podał nowoczesne definicje zarówno funkcji wykładniczych, jak i logarytmicznych, rozszerzył je na szeregi potęgowe, a szczególnie zwrócił uwagę na rolę logarytmu naturalnego.

Eulerowi przypisuje się również rozszerzenie funkcji logarytmicznej na dziedzinę zespoloną.

3.2. Logarytm złożony

Pierwsze próby rozszerzenia logarytmów na liczby zespolone podejmowali na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz i Johann Bernoulli, nie udało im się jednak stworzyć teorii holistycznej, przede wszystkim dlatego, że samo pojęcie logarytmu nie było jeszcze jasno zdefiniowane. Dyskusja na ten temat toczyła się najpierw pomiędzy Leibnizem i Bernoullim, a w połowie XVIII w. – pomiędzy d'Alembertem i Eulerem. Bernoulli i d'Alembert uważali, że należy to ustalić log(-x) = log(x). Pełna teoria logarytmów liczb ujemnych i zespolonych została opublikowana przez Eulera w latach 1747–1751 i zasadniczo nie różni się od współczesnej.

Choć spór trwał nadal (D'Alembert bronił swojego punktu widzenia i szczegółowo go uzasadniał w artykule w swojej Encyklopedii oraz w innych pracach), punkt widzenia Eulera szybko zyskał powszechne uznanie.

4. Tablice logarytmiczne

Tablice logarytmiczne

Z własności logarytmu wynika, że ​​zamiast pracochłonnego mnożenia liczb wielocyfrowych wystarczy znaleźć (z tablic) i dodać ich logarytmy, a następnie korzystając z tych samych tablic przeprowadzić potencję, czyli znaleźć wartość wyniku z logarytmu. Dzielenie różni się tylko tym, że odejmuje się logarytmy. Laplace stwierdził, że wynalezienie logarytmów „przedłużyło życie astronomów”, znacznie przyspieszając proces obliczeń.

Podczas przesuwania przecinka dziesiętnego w liczbie do N cyfr, wartość logarytmu dziesiętnego tej liczby zmienia się na N. Na przykład log8314.63 = log8.31463 + 3. Wynika z tego, że wystarczy sporządzić tabelę logarytmów dziesiętnych dla liczb z zakresu od 1 do 10.

Pierwsze tablice logarytmów opublikował John Napier (1614) i zawierały one wyłącznie logarytmy funkcji trygonometrycznych i to z błędami. Niezależnie od niego jego tablice opublikował Joost Burgi, przyjaciel Keplera (1620). W 1617 roku profesor matematyki w Oksfordzie Henry Briggs opublikował tabele, które zawierały już logarytmy dziesiętne samych liczb, od 1 do 1000, z 8 (później 14) cyframi. Ale w tabelach Briggsa były też błędy. Pierwsze bezbłędne wydanie oparte na tablicach Vega (1783) ukazało się dopiero w 1857 roku w Berlinie (tablice Bremiwera).

W Rosji pierwsze tablice logarytmów opublikowano w 1703 r. przy udziale L. F. Magnitskiego. W ZSRR opublikowano kilka zbiorów tablic logarytmicznych.

• Bradis V. M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. Wydanie 44., M., 1973.

Tablice Bradisa (1921) były wykorzystywane w placówkach oświatowych oraz w obliczeniach inżynierskich, które nie wymagały dużej dokładności. Zawierały mantysy logarytmów dziesiętnych liczb i funkcji trygonometrycznych, logarytmy naturalne i inne przydatne narzędzia obliczeniowe.

• Vega G. Tablice logarytmów siedmiocyfrowych, wydanie 4, M., 1971.

Profesjonalna kolekcja do precyzyjnych obliczeń.

• Pięciocyfrowe tablice wartości naturalnych wielkości trygonometrycznych, ich logarytmów i logarytmów liczb, wyd. 6, M.: Nauka, 1972.
• Tablice logarytmów naturalnych, wyd. II, w 2 tomach, M.: Nauka, 1971.

Obecnie wraz z upowszechnieniem się kalkulatorów zniknęła potrzeba korzystania z tablic logarytmicznych.

M, Cecha (analiza kompleksowa).

Definicja i właściwości

Zero zespolone nie ma logarytmu, ponieważ wykładnik zespolony nie przyjmuje wartości zero. Niezerowe texvc można przedstawić w formie poglądowej:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Gdzie Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): k- dowolna liczba całkowita

Następnie Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \mathrm(Ln)\,z znajduje się według wzoru:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Tutaj Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \ln\,r= \ln\,|z|- logarytm rzeczywisty. Wynika z tego:

Ze wzoru jasno wynika, że ​​​​jedna i tylko jedna z wartości ma część urojoną w przedziale Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc . Wartość ta nazywa się główne znaczenie złożony logarytm naturalny. Wywoływana jest odpowiednia (już jednoznaczna) funkcja główna gałąź logarytm i jest oznaczony Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \ln\,z. Czasem przez Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \ln\, z oznaczają także wartość logarytmu, który nie leży na głównej gałęzi. Jeśli Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): z jest liczbą rzeczywistą, wówczas wartość główna jej logarytmu pokrywa się ze zwykłym logarytmem rzeczywistym.

Z powyższego wzoru wynika również, że część rzeczywistą logarytmu wyznacza się w następujący sposób poprzez składniki argumentu:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Rysunek pokazuje, że część rzeczywista jako funkcja składników jest centralnie symetryczna i zależy tylko od odległości od początku. Uzyskuje się to poprzez obrót wykresu logarytmu rzeczywistego wokół osi pionowej. Gdy zbliża się do zera, funkcja dąży do tego Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): -\infty.

Logarytm liczby ujemnej oblicza się ze wzoru:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\kropki)

Przykłady złożonych wartości logarytmicznych

Przedstawmy główną wartość logarytmu ( Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \ln) i jego ogólne wyrażenie ( Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \mathrm(Ln)) dla niektórych argumentów:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Należy zachować ostrożność przy konwersji logarytmów złożonych, biorąc pod uwagę, że są one wielowartościowe, dlatego równość logarytmów jakichkolwiek wyrażeń nie implikuje równości tych wyrażeń. Przykład błędny rozumowanie:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- oczywisty błąd.

Zauważ, że po lewej stronie znajduje się główna wartość logarytmu, a po prawej wartość z gałęzi bazowej ( Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): k=-1). Przyczyną błędu jest nieostrożne użytkowanie nieruchomości Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, co ogólnie rzecz biorąc oznacza w złożonym przypadku cały nieskończony zbiór wartości logarytmu, a nie tylko wartość główną.

Złożona funkcja logarytmiczna i powierzchnia Riemanna

Ze względu na swoje proste powiązanie powierzchnia logarytmu Riemanna jest uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej bez punktu Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc .

Analityczny ciąg dalszy

Logarytm liczby zespolonej można również zdefiniować jako analityczną kontynuację logarytmu rzeczywistego na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech krzywa Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc zaczyna się od jedności, nie przechodzi przez zero i nie przecina ujemnej części osi rzeczywistej. Następnie wartość główna logarytmu w punkcie końcowym Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): w krzywy Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \Gamma można określić ze wzoru:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Jeśli Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \Gamma- prosta krzywa (bez samoprzecięć), to dla liczb na niej leżących można bez obaw stosować tożsamości logarytmiczne, np.:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Główna gałąź funkcji logarytmicznej jest ciągła i różniczkowalna na całej płaszczyźnie zespolonej, z wyjątkiem ujemnej części osi rzeczywistej, na której część urojona zmienia się gwałtownie w Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): 2\pi. Ale fakt ten jest konsekwencją sztucznego ograniczenia urojonej części wartości głównej przez przedział Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): (-\pi, \pi]. Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie gałęzie funkcji, to ciągłość występuje we wszystkich punktach z wyjątkiem zera, gdzie funkcja nie jest zdefiniowana. Jeśli rozwiążesz krzywą Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz math/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \Gamma przecinają ujemną część osi rzeczywistej, wówczas pierwsze takie przecięcie przenosi wynik z gałęzi wartości głównej na gałąź sąsiednią, a każde kolejne przecięcie powoduje podobne przesunięcie wzdłuż gałęzi funkcji logarytmicznej (patrz rysunek).

Ze wzoru kontynuacji analitycznej wynika, że ​​na dowolnej gałęzi logarytmu:

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Dla dowolnego kręgu Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): S, obejmujący ten punkt Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): 0 :

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Całkę przyjmuje się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Tożsamość ta leży u podstaw teorii reszt.

Analityczną kontynuację logarytmu zespolonego można również zdefiniować za pomocą szeregów znanych dla przypadku rzeczywistego:

Jednak z postaci tych szeregów wynika, że ​​w jednym suma szeregów jest równa zeru, to znaczy szereg odnosi się tylko do głównej gałęzi wielowartościowej funkcji logarytmu zespolonego. Promień zbieżności obu szeregów wynosi 1.

Związek z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi

Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- odwrotny sinus hiperboliczny Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README - pomoc w konfiguracji.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- odwrotny cosinus hiperboliczny Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- odwrotny tangens hiperboliczny Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc dotyczącą konfiguracji.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- odwrotny kotangens hiperboliczny

Szkic historyczny

Pierwsze próby rozszerzenia logarytmów na liczby zespolone podejmowali na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz i Johann Bernoulli, nie udało im się jednak stworzyć teorii holistycznej, przede wszystkim dlatego, że samo pojęcie logarytmu nie było jeszcze jasno zdefiniowane. Dyskusja na ten temat toczyła się najpierw pomiędzy Leibnizem i Bernoullim, a w połowie XVIII w. pomiędzy D’Alembertem i Eulerem. Bernoulli i D'Alembert uważali, że należy to ustalić Nie można przeanalizować wyrażenia (plik wykonywalny texvc nie znaleziono; Zobacz matematykę/README, aby uzyskać pomoc w konfiguracji.): \log(-x) = \log(x), podczas gdy Leibniz udowodnił, że logarytm liczby ujemnej jest liczbą urojoną. Pełna teoria logarytmów liczb ujemnych i zespolonych została opublikowana przez Eulera w latach 1747–1751 i zasadniczo nie różni się od współczesnej. Choć debata trwała nadal (D'Alembert bronił swojego punktu widzenia i szczegółowo go uzasadniał w artykule w swojej Encyklopedii oraz w innych pracach), podejście Eulera zyskało powszechne uznanie już pod koniec XVIII wieku.

Napisz recenzję o artykule „Logarytm złożony”

Literatura

Teoria logarytmów

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tichonow A. N. Teoria funkcji zmiennej zespolonej. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G. M. Przebieg rachunku różniczkowego i całkowego. - wyd. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Historia logarytmów

• Matematyka XVIII wieku // / Pod redakcją A. P. Juszkiewicza, w trzech tomach. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kołmogorow A. N., Juszkiewicz A. P. (red.). Matematyka XIX wieku. Geometria. Teoria funkcji analitycznych. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Notatki

1. Funkcja logarytmiczna. // . - M .: Encyklopedia radziecka, 1982. - T. 3.
2. , tom II, s. 520-522..
3. , Z. 623..
4. , Z. 92-94..
5. , Z. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - s. 112. - (Kvant Library, nr 21).
7. , tom II, s. 522-526..
8. , Z. 624..
9. , Z. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Historia matematyki. W dwóch tomach. - M.: Wydawnictwo. Moskiewski Uniwersytet Państwowy, 1963. - T. II. - s. 27, 230-231..
11. , Z. 122-123..
12. Kleina F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - s. 159-161. - 416 s.

Fragment charakteryzujący logarytm zespolony

Z dzikiej grozy, która nas ogarnęła, pędziliśmy jak kule przez szeroką dolinę, nawet nie myśląc, że szybko uda nam się zejść na kolejne „piętro”… Po prostu nie mieliśmy czasu o tym myśleć – za bardzo się baliśmy.
Stworzenie przeleciało tuż nad nami, głośno klikając swoim rozdziawionym, zębatym dziobem, a my pędziliśmy tak szybko, jak tylko mogliśmy, rozpryskując na boki obrzydliwe, śluzowate plamy i w myślach modląc się, aby coś innego nagle zainteresowało tego przerażającego „cudownego ptaka”… To czuło się, że jest dużo szybsza i po prostu nie mamy szans się od niej oderwać. Szczęśliwie, w pobliżu nie rosło ani jedno drzewo, nie było krzaków, ani nawet kamieni, za którymi można by się schować, w oddali widać było jedynie złowrogą czarną skałę.
- Tam! – krzyknęła Stella, wskazując palcem na tę samą skałę.
Ale nagle, niespodziewanie, tuż przed nami, skądś wyłoniła się istota, której widok dosłownie zmroził nam krew w żyłach... Pojawił się „jakby znikąd” i był naprawdę przerażający... ogromne czarne zwłoki były całkowicie pokryte długimi, szorstkimi włosami, przez co wyglądał jak niedźwiedź grubobrzuchaty, tyle że ten „niedźwiedź” był tak wysoki jak trzypiętrowy dom… Guzowatą głowę potwora „ukoronowano” dwoma ogromnymi zakrzywionymi rogi, a upiorne usta ozdobiła para niewiarygodnie długich, ostrych jak noże kłów, od samego patrzenia, którym ze strachu ustąpiły nogi... A potem, co nas niesamowicie zaskoczyło, potwór z łatwością podskoczył i. ..podniósł latające „błoto” na jeden z jego ogromnych kłów… Zamarliśmy w szoku.
- Biegnijmy!!! – pisnęła Stella. – Uciekajmy, póki jest „zajęty”!..
I już byliśmy gotowi do ponownego biegu, nie oglądając się za siebie, gdy nagle za naszymi plecami rozległ się cienki głos:
- Dziewczyny, czekajcie!!! Nie musisz uciekać!.. Dean cię uratował, nie jest wrogiem!
Odwróciliśmy się gwałtownie - za nami stała drobna, bardzo piękna czarnooka dziewczynka... i spokojnie głaskała potwora, który się do niej zbliżył!.. Oczy nam się rozszerzyły ze zdziwienia... To było niesamowite! Z pewnością - to był dzień niespodzianek!.. Dziewczyna patrząc na nas uśmiechała się serdecznie, wcale nie przestraszona stojącego obok nas futrzanego potwora.
- Proszę, nie bój się go. On jest bardzo miły. Widzieliśmy, że Ovara cię goni i postanowiliśmy pomóc. Dean był świetny, dotarł na czas. Naprawdę moja droga?
„Dobry” zamruczał, co zabrzmiało jak lekkie trzęsienie ziemi, i pochylając głowę, polizał twarz dziewczyny.
– Kim jest Owara i dlaczego nas zaatakowała? - Zapytałam.
„Atakuje wszystkich, jest drapieżnikiem”. I bardzo niebezpieczne – odpowiedziała spokojnie dziewczyna. – Czy mogę zapytać, co tu robisz? Nie jesteście stąd, dziewczyny?
- Nie, nie stąd. Po prostu spacerowaliśmy. Ale to samo pytanie do ciebie: co tu robisz?
„Idę do mamy…” – dziewczynka posmutniała. „Umarliśmy razem, ale z jakiegoś powodu ona znalazła się tutaj”. A teraz tu mieszkam, ale jej tego nie mówię, bo nigdy się z tym nie zgodzi. Myśli, że po prostu przyjdę...
– Czy nie lepiej po prostu przyjść? Tu jest tak strasznie!.. – Stella wzruszyła ramionami.
„Nie mogę jej tu zostawić samej, pilnuję jej, żeby nic jej się nie stało”. A tutaj Dean jest ze mną... Pomaga mi.
Po prostu nie mogłam w to uwierzyć... Ta mała, odważna dziewczynka dobrowolnie opuściła swoją piękną i życzliwą „piętro”, aby żyć w tym zimnym, strasznym i obcym świecie, chroniąc swoją matkę, która w jakiś sposób była bardzo „winna”! Nie sądzę, żeby znalazło się wiele osób tak odważnych i bezinteresownych (nawet dorosłych!), które odważyłyby się dokonać takiego wyczynu… I od razu pomyślałam – może ona po prostu nie rozumiała, na co się skazuje ?!
– Jak długo tu jesteś, dziewczyno, jeśli to nie tajemnica?
„Niedawno…” odpowiedziała smutno czarnooka dziewczynka, ciągnąc palcami za czarny kosmyk jej kręconych włosów. – Znalazłam się w tak pięknym świecie, kiedy umarłam!.. Był taki miły i bystry!.. I wtedy zobaczyłam, że mojej mamy nie ma przy mnie, i pospieszyłam, żeby jej szukać. Na początku było strasznie! Z jakiegoś powodu nigdzie jej nie było... A potem wpadłem w ten straszny świat... I wtedy ją znalazłem. Tak się tu bałam... Taka samotna... Mama kazała mi wyjść, nawet mnie skarciła. Ale nie mogę jej zostawić... Teraz mam przyjaciela, mojego dobrego Dziekana i już mogę tu jakoś istnieć.
Jej „dobra przyjaciółka” znów warknęła, co wywołało u mnie i Stelli ogromną „niższą astralną” gęsią skórkę… Pozbierawszy się, próbowałam się trochę uspokoić i zaczęłam bliżej przyglądać się temu futrzanemu cudowi… A on, od razu czując, że został zauważony, strasznie obnażył swoje kłowe usta... Odskoczyłem.
- Och, nie bój się, proszę! „Uśmiecha się do ciebie” – „pocieszyła” dziewczyna.
Tak... Z takiego uśmiechu nauczysz się szybko biegać... - pomyślałem.
- Jak to się stało, że się z nim zaprzyjaźniłeś? – zapytała Stella.
– Kiedy tu pierwszy raz przyjechałem, bardzo się przestraszyłem, zwłaszcza, że ​​dzisiaj atakowały takie potwory jak ty. A potem pewnego dnia, kiedy prawie umarłem, Dean uratował mnie przed całą bandą przerażających latających „ptaków”. Na początku też się go bałam, ale potem uświadomiłam sobie, jakie ma złote serce... Jest najlepszym przyjacielem! Nigdy nie doświadczyłem czegoś takiego, nawet gdy żyłem na Ziemi.
- Jak się do tego tak szybko przyzwyczaiłeś? Jego wygląd nie jest do końca, powiedzmy, znajomy...
– I tu zrozumiałem jedną bardzo prostą prawdę, której z jakiegoś powodu nie zauważyłem na Ziemi – wygląd nie ma znaczenia, jeśli człowiek lub stworzenie ma dobre serce… Moja mama była bardzo piękna, ale czasami była bardzo zła zbyt. A potem całe jej piękno gdzieś zniknęło... A Dean, choć straszny, zawsze jest bardzo miły i zawsze mnie chroni, czuję jego dobroć i niczego się nie boję. Ale do wyglądu można się przyzwyczaić...
– Czy wiesz, że będziesz tu bardzo długo, znacznie dłużej niż ludzie żyją na Ziemi? Czy naprawdę chcesz tu zostać?..
„Moja mama tu jest, więc muszę jej pomóc”. A kiedy ona „odejdzie”, aby znów zamieszkać na Ziemi, ja też odejdę... Tam, gdzie jest więcej dobroci. W tym strasznym świecie ludzie są bardzo dziwni - jakby w ogóle nie żyli. Dlaczego? Wiesz cokolwiek o tym?
– Kto ci powiedział, że twoja matka odejdzie, żeby znowu żyć? – zainteresowała się Stella.
- Dean, oczywiście. On dużo wie, mieszka tu od bardzo dawna. Powiedział też, że kiedy my (moja mama i ja) znów będziemy żyć, nasze rodziny będą inne. A wtedy nie będę już mieć tej matki... Dlatego chcę teraz z nią być.
- Jak z nim rozmawiasz, ze swoim dziekanem? – zapytała Stella. – A dlaczego nie chcesz nam powiedzieć, jak się nazywasz?
Ale to prawda – nadal nie znaliśmy jej imienia! I oni też nie wiedzieli, skąd ona się wzięła…
– Nazywałam się Maria… Ale czy to ma tutaj jakieś znaczenie?
- Pewnie! – Stella zaśmiała się. - Jak mogę się z tobą porozumieć? Kiedy wyjdziesz, nadadzą ci nowe imię, ale póki tu będziesz, będziesz musiał żyć ze starym. Rozmawiałaś z kimś jeszcze, dziewczyno, Maria? – zapytała Stella, z przyzwyczajenia przeskakując z tematu na temat.
„Tak, rozmawiałam…” – powiedziała z wahaniem dziewczynka. – Ale oni są tu tacy dziwni. I tacy nieszczęśliwi... Dlaczego oni są tacy nieszczęśliwi?
– Czy to, co tu widzisz, sprzyja szczęściu? – zdziwiło mnie jej pytanie. – Już sama lokalna „rzeczywistość” z góry zabija wszelkie nadzieje!.. Jak tu być szczęśliwym?
- Nie wiem. Kiedy jestem z mamą, wydaje mi się, że też mogłabym być tu szczęśliwa... To prawda, tutaj jest bardzo strasznie, a jej bardzo się tu nie podoba... Kiedy powiedziałam, że zgodziłam się zostać u ją, nakrzyczała na mnie i powiedziała, że ​​jestem jej „bezmyślnym nieszczęściem”... Ale ja się nie obrażam... Wiem, że ona się po prostu boi. Tak jak ja...
– Być może chciała Cię po prostu uchronić przed „ekstremalną” decyzją, a jedynie, abyś wrócił na swoje „piętro”? – zapytała Stella ostrożnie, żeby nie urazić.
– Nie, oczywiście… Ale dziękuję za dobre słowa. Mama często mnie obrzucała niezbyt dobrymi wyzwiskami, nawet na Ziemi... Ale wiem, że nie było to spowodowane złością. Była po prostu nieszczęśliwa, że ​​się urodziłem i często mi mówiła, że ​​zrujnowałem jej życie. Ale to nie była moja wina, prawda? Zawsze starałem się ją uszczęśliwić, ale z jakiegoś powodu nie bardzo mi to wychodziło... I nigdy nie miałem taty. – Maria była bardzo smutna, a głos jej drżał, jakby miała się zaraz rozpłakać.
Stella i ja spojrzeliśmy na siebie i byłam prawie pewna, że ​​nawiedzały ją podobne myśli... Już naprawdę nie lubiłam tej rozpieszczonej, samolubnej „matki”, która zamiast sama martwić się o swoje dziecko, nie dbała o w ogóle rozumiałem jego heroiczne poświęcenie, a w dodatku też ją boleśnie zraniłem.
„Ale Dean mówi, że jestem dobry i że bardzo go uszczęśliwiam!” – dziewczynka bełkotała radośnie. – I chce się ze mną przyjaźnić. A inni, których tu spotkałem, są bardzo zimni i obojętni, a czasem nawet źli... Szczególnie ci, którzy mają przywiązane potwory...
„Potwory – co?…” Nie rozumieliśmy.
- Cóż, mają straszne potwory, które siedzą im na plecach i mówią im, co mają robić. A jeśli nie posłuchają, potwory strasznie z nich drwią... Próbowałem z nimi rozmawiać, ale te potwory mi nie pozwalają.
Z tego „wyjaśnienia” nie zrozumieliśmy absolutnie nic, ale sam fakt, że jakieś istoty astralne torturują ludzi, nie mógł pozostać przez nas „odkryty”, więc od razu zapytaliśmy ją, jak możemy zobaczyć to niesamowite zjawisko.
- Och, tak, wszędzie! Szczególnie pod „czarną górą”. Tam jest, za drzewami. Czy chcesz, żebyśmy też pojechali z Tobą?
- Oczywiście, że będziemy bardzo szczęśliwi! – odpowiedziała natychmiast zachwycona Stella.
Szczerze mówiąc, niezbyt mi się uśmiechała perspektywa randkowania z kimś innym, „przerażająca i niezrozumiała”, zwłaszcza sama. Ale zainteresowanie zwyciężyło strach i my oczywiście byśmy pojechali, mimo że trochę się baliśmy... Ale kiedy taki obrońca jak Dean szedł z nami, od razu zrobiło się zabawniej...
A potem, po krótkiej chwili, przed naszymi oczami rozpętało się prawdziwe Piekło, szeroko otwarte ze zdumienia... Wizja przypominała obrazy Boscha (lub Bosca, w zależności na jaki język to przetłumaczyć), „szalonego” artysty który kiedyś zaszokował cały świat swoim światem sztuki... Oczywiście nie był szaleńcem, ale był po prostu jasnowidzem, który z jakiegoś powodu widział tylko dolny Astral. Musimy jednak oddać mu to, co się mu należy – przedstawił go znakomicie… Widziałem jego obrazy w książce, która znajdowała się w bibliotece mojego taty, i do dziś pamiętam to niesamowite uczucie, jakie towarzyszyło większości jego obrazów…
„Co za horror!…” szepnęła zszokowana Stella.
Można by chyba powiedzieć, że tu, na „piętrach” widzieliśmy już wiele... Ale nawet my nie potrafiliśmy sobie tego wyobrazić w naszym najstraszniejszym koszmarze!.. Za „czarną skałą” otworzyło się coś zupełnie nie do pomyślenia. .. Wyglądało jak ogromny, płaski „kocioł” wykuty w skale, na dnie którego bulgotała szkarłatna „lawa”… Gorące powietrze „pękało” wszędzie dziwnymi, migającymi czerwonawymi bąbelkami, z których wydobywała się parząca para i spadał dużymi kroplami na ziemię, lub na ludzi, którzy w tej chwili padali pod nią... Słychać było rozdzierające serce krzyki, ale natychmiast ucichło, gdyż najbardziej obrzydliwe stworzenia usiadły na plecach tych samych ludzi, którzy z zadowolone spojrzenia „kontrolowały” swoje ofiary, nie zwracając najmniejszej uwagi na ich cierpienie… Pod gołymi stopami ludzi gorące kamienie zabarwiały się na czerwono, szkarłatna ziemia, pękająca od gorąca, bulgotała i „stopiła się”… Plamy gorącej para przedarła się przez ogromne szczeliny i paląc stopy łkających z bólu ludzi, uniosła się na wyżyny, wyparowując lekkim dymem… A pośrodku „dołu” płynęła jasnoczerwona, szeroka ognista rzeka, w które od czasu do czasu te same obrzydliwe potwory niespodziewanie wrzucały tę czy inną udręczoną istotę, która spadając powodowała jedynie krótki rozprysk pomarańczowych iskier, po czym jednak zamieniając się na chwilę w puszystą białą chmurę, znikała. .. na zawsze... To było prawdziwe piekło, a Stella i ja chcieliśmy stamtąd jak najszybciej „zniknąć”…
„Co zrobimy?” szepnęła Stella w cichym przerażeniu. - Chcesz tam zejść? Czy możemy coś zrobić, aby im pomóc? Zobacz, ile ich jest!..
Staliśmy na czarnobrązowym, wyschniętym od gorąca klifie, obserwując przepełnioną grozą „mieszankę” bólu, beznadziejności i przemocy rozciągającą się poniżej i poczuliśmy się tak dziecinnie bezsilni, że nawet moja wojownicza Stella tym razem kategorycznie złożyła swoje potargane „skrzydła” .” „i już na pierwsze wezwanie była gotowa biec na swoje, tak kochane i niezawodne, górne „piętro”…

Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej (o podstawie dodatniej) jest wyznaczana w kilku krokach. Po pierwsze, dla walorów przyrodniczych – jako iloczyn równych czynników. Definicja następnie rozciąga się na ujemne liczby całkowite i wartości niezerowe według reguł. Następnie rozważamy wykładniki ułamkowe, w których wartość funkcji wykładniczej określa się za pomocą pierwiastków: . W przypadku wartości niewymiernych definicja wiąże się już z podstawowym pojęciem analizy matematycznej – z przejściem do granicy, ze względu na ciągłość. Wszystkie te rozważania w żaden sposób nie mają zastosowania do prób rozszerzenia funkcji wykładniczej na złożone wartości wskaźnika i na przykład nie jest całkowicie jasne, co to jest.

Po raz pierwszy potęgę o wykładniku zespolonym o podstawie naturalnej wprowadził Euler na podstawie analizy szeregu konstrukcji rachunku całkowego. Czasami bardzo podobne wyrażenia algebraiczne po zintegrowaniu dają zupełnie inne odpowiedzi:

Jednocześnie tutaj drugą całkę formalnie uzyskuje się z pierwszej po zastąpieniu przez

Z tego możemy wywnioskować, że przy właściwej definicji funkcji wykładniczej ze złożonym wykładnikiem odwrotne funkcje trygonometryczne są powiązane z logarytmami, a zatem funkcja wykładnicza jest powiązana z funkcjami trygonometrycznymi.

Euler miał odwagę i wyobraźnię, aby podać rozsądną definicję funkcji wykładniczej o podstawie, a mianowicie:

Jest to definicja, zatem tej formuły nie da się udowodnić, można jedynie szukać argumentów przemawiających za zasadnością i celowością takiej definicji. Analiza matematyczna dostarcza wielu tego rodzaju argumentów. Ograniczymy się tylko do jednego.

Wiadomo, że dla rzeczywistości istnieje zależność ograniczająca: . Po prawej stronie znajduje się wielomian, który ma sens również w przypadku wartości złożonych dla . Granica ciągu liczb zespolonych jest wyznaczana w sposób naturalny. Sekwencję uważa się za zbieżną, jeżeli ciągi części rzeczywistych i urojonych są zbieżne i jest ona akceptowana

Znajdźmy to. Aby to zrobić, przejdźmy do formy trygonometrycznej i jako argument wybierzemy wartości z przedziału. Dzięki temu wyborowi jest jasne, że dla . Dalej,

Aby dojść do limitu, należy sprawdzić istnienie limitów i znaleźć te limity. Jest jasne, że

A więc w wyrażeniu

część rzeczywista ma tendencję do , część urojona ma tendencję do tego

Ten prosty argument stanowi jeden z argumentów na rzecz definicji funkcji wykładniczej Eulera.

Ustalmy teraz, że przy mnożeniu wartości funkcji wykładniczej wykładniki sumują się. Naprawdę:

2. Wzory Eulera.

Wprowadźmy definicję funkcji wykładniczej. Otrzymujemy:

Zastępując b przez -b, otrzymujemy

Dodając i odejmując te równości wyraz po wyrazie, znajdujemy wzory

zwane wzorami Eulera. Ustalają powiązanie funkcji trygonometrycznych i funkcji wykładniczych z wykładnikami urojonymi.

3. Logarytm naturalny liczby zespolonej.

Liczbę zespoloną podaną w postaci trygonometrycznej można zapisać w postaci, którą tę formę zapisu liczby zespolonej nazywamy wykładniczą. Zachowuje wszystkie dobre właściwości formy trygonometrycznej, ale jest jeszcze bardziej zwięzły. Ponadto naturalne jest założenie, że rzeczywista część logarytmu liczby zespolonej jest logarytmem jej modułu, a część urojona jest jej argumentem. To w pewnym stopniu wyjaśnia „logarytmiczną” właściwość argumentu - argument iloczynu jest równy sumie argumentów czynników.

Prawdziwy logarytm

Logarytm dziennika liczb rzeczywistych A B ma sens w przypadku style="max-width: 98%; wysokość: auto; szerokość: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Najpopularniejsze typy logarytmów to:

Jeśli uznamy liczbę logarytmiczną za zmienną, otrzymamy funkcja logarytmiczna, Na przykład: . Funkcja ta jest zdefiniowana po prawej stronie osi liczbowej: X> 0, jest tam ciągła i różniczkowalna (patrz rys. 1).

Nieruchomości

Logarytmy naturalne

Kiedy równość jest prawdziwa

(1)

W szczególności,

Szereg ten zbiega się szybciej, a ponadto lewa strona wzoru może teraz wyrazić logarytm dowolnej liczby dodatniej.

Związek z logarytmem dziesiętnym: .

Logarytmy dziesiętne

Ryż. 2. Skala logarytmiczna

Logarytmy o podstawie 10 (symbol: lg A) przed wynalezieniem kalkulatorów były powszechnie stosowane do obliczeń. Nierówna skala logarytmów dziesiętnych jest zwykle zaznaczana również na suwakach logarytmicznych. Podobna skala jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach nauki, na przykład:

• Chemia - aktywność jonów wodorowych ().
• Teoria muzyki - skala nut w odniesieniu do częstotliwości nut.

Skala logarytmiczna jest również szeroko stosowana do identyfikacji wykładnika w relacjach potęgowych i współczynnika wykładnika. W tym przypadku wykres zbudowany w skali logarytmicznej wzdłuż jednej lub dwóch osi przyjmuje postać linii prostej, która jest łatwiejsza do zbadania.

Logarytm złożony

Funkcja wielowartościowa

Powierzchnia Riemanna

Przykładem powierzchni Riemanna jest złożona funkcja logarytmiczna; jego wyimaginowana część (ryc. 3) składa się z nieskończonej liczby gałęzi skręconych jak spirala. Ta powierzchnia jest po prostu połączona; jego jedyne zero (pierwszego rzędu) uzyskuje się w z= 1, punkty osobliwe: z= 0 i (punkty rozgałęzień nieskończonego rzędu).

Powierzchnia Riemanna logarytmu jest uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej bez punktu 0.

Szkic historyczny

Prawdziwy logarytm

W XVI wieku zapotrzebowanie na skomplikowane obliczenia gwałtownie wzrosło, a większość trudności polegała na mnożeniu i dzieleniu liczb wielocyfrowych. Pod koniec stulecia kilku matematyków niemal jednocześnie wpadło na pomysł: zastąpić pracochłonne mnożenie prostym dodawaniem, wykorzystując specjalne tablice do porównywania postępów geometrycznych i arytmetycznych, przy czym pierwotnym był postęp geometryczny. Wtedy dzielenie zostaje automatycznie zastąpione przez nieporównywalnie prostsze i pewniejsze odejmowanie. Jako pierwszy opublikował tę myśl w swojej książce „ Całka arytmetyczna„Michael Stiefel, który jednak nie poczynił poważnych wysiłków, aby wdrożyć swój pomysł.

W latach dwudziestych XVII wieku Edmund Wingate i William Oughtred wynaleźli pierwszy suwak logarytmiczny, jeszcze przed pojawieniem się kalkulatorów kieszonkowych – niezastąpionego narzędzia inżyniera.

Zbliżone do współczesnego rozumienie logarytmu – jako odwrotnej operacji podnoszenia do potęgi – pojawiło się po raz pierwszy u Wallisa i Johanna Bernoulliego, a ostatecznie zostało legitymizowane przez Eulera w XVIII wieku. W książce „Wprowadzenie do analizy nieskończoności” () Euler podał nowoczesne definicje zarówno funkcji wykładniczych, jak i logarytmicznych, rozszerzył je na szeregi potęgowe, a szczególnie zwrócił uwagę na rolę logarytmu naturalnego.

Eulerowi przypisuje się również rozszerzenie funkcji logarytmicznej na dziedzinę zespoloną.

Logarytm złożony

Pierwsze próby rozszerzenia logarytmów na liczby zespolone podejmowali na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz i Johann Bernoulli, nie udało im się jednak stworzyć teorii holistycznej, przede wszystkim dlatego, że samo pojęcie logarytmu nie było jeszcze jasno zdefiniowane. Dyskusja na ten temat toczyła się najpierw pomiędzy Leibnizem i Bernoullim, a w połowie XVIII w. – pomiędzy d'Alembertem i Eulerem. Bernoulli i d'Alembert uważali, że należy to ustalić log(-x) = log(x). Pełna teoria logarytmów liczb ujemnych i zespolonych została opublikowana przez Eulera w latach 1747–1751 i zasadniczo nie różni się od współczesnej.

Choć spór trwał nadal (D'Alembert bronił swojego punktu widzenia i szczegółowo go uzasadniał w artykule w swojej Encyklopedii oraz w innych pracach), punkt widzenia Eulera szybko zyskał powszechne uznanie.

Tablice logarytmiczne

Tablice logarytmiczne

Z właściwości logarytmu wynika, że ​​zamiast pracochłonnego mnożenia liczb wielocyfrowych wystarczy znaleźć (z tablic) i dodać ich logarytmy, a następnie korzystając z tych samych tablic wykonać potencję, czyli znaleźć wartość wyniku z logarytmu. Dzielenie różni się tylko tym, że odejmuje się logarytmy. Laplace stwierdził, że wynalezienie logarytmów „przedłużyło życie astronomów”, znacznie przyspieszając proces obliczeń.

Podczas przesuwania przecinka dziesiętnego w liczbie do N cyfr, wartość logarytmu dziesiętnego tej liczby zmienia się na N. Na przykład log8314.63 = log8.31463 + 3. Wynika z tego, że wystarczy sporządzić tabelę logarytmów dziesiętnych dla liczb z zakresu od 1 do 10.

Pierwsze tablice logarytmów opublikował John Napier () i zawierały one wyłącznie logarytmy funkcji trygonometrycznych i to z błędami. Niezależnie od niego jego tablice publikował Joost Bürgi, przyjaciel Keplera ((). W 1617 roku profesor matematyki w Oksfordzie Henry Briggs opublikował tabele, które zawierały już logarytmy dziesiętne samych liczb, od 1 do 1000, z 8 (później 14) cyframi. Ale w tabelach Briggsa były też błędy. Pierwsze bezbłędne wydanie oparte na tablicach Vega () ukazało się dopiero w 1857 roku w Berlinie (tablice Bremiwera).

W Rosji pierwsze tablice logarytmów opublikowano w 1703 r. przy udziale L. F. Magnitskiego. W ZSRR opublikowano kilka zbiorów tablic logarytmicznych.

• Bradis V. M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. Wydanie 44., M., 1973.

Materiał z Wikipedii – wolnej encyklopedii

Definicja i właściwości

Zero zespolone nie ma logarytmu, ponieważ wykładnik zespolony nie przyjmuje wartości zero. Niezerowe $z$ można przedstawić w formie poglądowej:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Gdzie $k$- dowolna liczba całkowita

Następnie $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ znajduje się według wzoru:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Tutaj $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logarytm rzeczywisty. Wynika z tego:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Przykłady złożonych wartości logarytmicznych

Przedstawmy główną wartość logarytmu ( $\backslash ln$) i jego ogólne wyrażenie ( $\backslash mathrm(Ln)$) dla niektórych argumentów:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Należy zachować ostrożność przy konwersji logarytmów złożonych, biorąc pod uwagę, że są one wielowartościowe, dlatego równość logarytmów jakichkolwiek wyrażeń nie implikuje równości tych wyrażeń. Przykład błędny rozumowanie:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- oczywisty błąd.

Zauważ, że po lewej stronie znajduje się główna wartość logarytmu, a po prawej wartość z gałęzi bazowej ( $k=-1$). Przyczyną błędu jest nieostrożne użytkowanie nieruchomości $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, co ogólnie rzecz biorąc oznacza w złożonym przypadku cały nieskończony zbiór wartości logarytmu, a nie tylko wartość główną.

Złożona funkcja logarytmiczna i powierzchnia Riemanna

Ze względu na swoje proste powiązanie powierzchnia logarytmu Riemanna jest uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej bez punktu $0$.

Analityczny ciąg dalszy

Logarytm liczby zespolonej można również zdefiniować jako analityczną kontynuację logarytmu rzeczywistego na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech krzywa $\backslash Gamma$ zaczyna się od jedności, nie przechodzi przez zero i nie przecina ujemnej części osi rzeczywistej. Następnie wartość główna logarytmu w punkcie końcowym $w$ krzywy $\backslash Gamma$ można określić ze wzoru:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash nad\; tobą)$

Jeśli $\backslash Gamma$- prosta krzywa (bez samoprzecięć), to dla liczb na niej leżących można bez obaw stosować tożsamości logarytmiczne, np.:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Główna gałąź funkcji logarytmicznej jest ciągła i różniczkowalna na całej płaszczyźnie zespolonej, z wyjątkiem ujemnej części osi rzeczywistej, na której część urojona zmienia się gwałtownie w $2\backslash pi$. Ale fakt ten jest konsekwencją sztucznego ograniczenia urojonej części wartości głównej przez przedział $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie gałęzie funkcji, to ciągłość występuje we wszystkich punktach z wyjątkiem zera, gdzie funkcja nie jest zdefiniowana. Jeśli rozwiążesz krzywą $\backslash Gamma$ przecinają ujemną część osi rzeczywistej, wówczas pierwsze takie przecięcie przenosi wynik z gałęzi wartości głównej na gałąź sąsiednią, a każde kolejne przecięcie powoduje podobne przesunięcie wzdłuż gałęzi funkcji logarytmicznej (patrz rysunek).

Ze wzoru kontynuacji analitycznej wynika, że ​​na dowolnej gałęzi logarytmu:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash over\; z)$

Dla dowolnego kręgu $S$, obejmujący ten punkt $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Całkę przyjmuje się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Tożsamość ta leży u podstaw teorii reszt.

Analityczną kontynuację logarytmu zespolonego można również zdefiniować za pomocą szeregów znanych dla przypadku rzeczywistego:

{{{2}}}

(Wiersz 1)

{{{2}}}

(Wiersz 2)

Jednak z postaci tych szeregów wynika, że ​​w jednym suma szeregów jest równa zeru, to znaczy szereg odnosi się tylko do głównej gałęzi wielowartościowej funkcji logarytmu zespolonego. Promień zbieżności obu szeregów wynosi 1.

Związek z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- odwrotny sinus hiperboliczny $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- odwrotny cosinus hiperboliczny $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- odwrotny tangens hiperboliczny $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- odwrotny kotangens hiperboliczny

Szkic historyczny

Pierwsze próby rozszerzenia logarytmów na liczby zespolone podejmowali na przełomie XVII i XVIII w. Leibniz i Johann Bernoulli, nie udało im się jednak stworzyć teorii holistycznej, przede wszystkim dlatego, że samo pojęcie logarytmu nie było jeszcze jasno zdefiniowane. Dyskusja na ten temat toczyła się najpierw pomiędzy Leibnizem i Bernoullim, a w połowie XVIII w. pomiędzy D’Alembertem i Eulerem. Bernoulli i D'Alembert uważali, że należy to ustalić $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, podczas gdy Leibniz udowodnił, że logarytm liczby ujemnej jest liczbą urojoną. Pełna teoria logarytmów liczb ujemnych i zespolonych została opublikowana przez Eulera w latach 1747–1751 i zasadniczo nie różni się od współczesnej. Choć debata trwała nadal (D'Alembert bronił swojego punktu widzenia i szczegółowo go uzasadniał w artykule w swojej Encyklopedii oraz w innych pracach), podejście Eulera zyskało powszechne uznanie już pod koniec XVIII wieku.

Napisz recenzję o artykule „Logarytm złożony”

Literatura

Teoria logarytmów

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tichonow A. N. Teoria funkcji zmiennej zespolonej. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G. M. Przebieg rachunku różniczkowego i całkowego. - wyd. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Historia logarytmów

• Matematyka XVIII wieku // / Pod redakcją A. P. Juszkiewicza, w trzech tomach. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kołmogorow A. N., Juszkiewicz A. P. (red.). Matematyka XIX wieku. Geometria. Teoria funkcji analitycznych. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Notatki

1. Funkcja logarytmiczna. // . - M .: Encyklopedia radziecka, 1982. - T. 3.
2. , tom II, s. 520-522..
3. , Z. 623..
4. , Z. 92-94..
5. , Z. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - s. 112. - (Kvant Library, nr 21).
7. , tom II, s. 522-526..
8. , Z. 624..
9. , Z. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Historia matematyki. W dwóch tomach. - M.: Wydawnictwo. Moskiewski Uniwersytet Państwowy, 1963. - T. II. - s. 27, 230-231..
11. , Z. 122-123..
12. Kleina F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - s. 159-161. - 416 s.

Fragment charakteryzujący logarytm zespolony

Było jasne, że ten silny, dziwny mężczyzna znajdował się pod nieodpartym wpływem, jaki wywierała na niego ta mroczna, pełna wdzięku, kochająca dziewczyna.
Rostow zauważył coś nowego między Dołochowem i Sonią; ale nie zdefiniował sobie, jaki to rodzaj nowego związku. „Wszyscy tam są w kimś zakochani” – pomyślał o Soni i Nataszy. Ale z Sonyą i Dołochowem nie czuł się tak dobrze jak wcześniej i zaczął rzadziej przebywać w domu.
Od jesieni 1806 roku wszystko znów zaczęło mówić o wojnie z Napoleonem, z jeszcze większym zapałem niż w roku ubiegłym. Wyznaczono nie tylko rekrutów, ale także 9 kolejnych wojowników na tysiąc. Wszędzie przeklinali Bonapartego, a w Moskwie mówiono tylko o zbliżającej się wojnie. Dla rodziny Rostowów całe zainteresowanie tymi przygotowaniami do wojny polegało jedynie na tym, że Nikołuszka nigdy nie zgodziłby się pozostać w Moskwie i czekał tylko na koniec urlopu Denisowa, aby po wakacjach udać się z nim do pułku. Zbliżający się wyjazd nie tylko nie przeszkodził mu w dobrej zabawie, ale wręcz ją do tego zachęcił. Większość czasu spędzał poza domem, na obiadach, wieczorach i balach.

XI
Trzeciego dnia Świąt Mikołaj jadł obiad w domu, co ostatnio zdarzało mu się rzadko. Była to oficjalna kolacja pożegnalna, ponieważ on i Denisow wyjeżdżali do pułku po Trzech Króli. Około dwudziestu osób jadło lunch, w tym Dołochow i Denisow.
Nigdy w domu w Rostowie atmosfera miłości, atmosfera miłości nie dawała się odczuć z taką siłą, jak podczas tych świąt. „Chwytaj chwile szczęścia, zmuszaj się do miłości, zakochaj się w sobie! Tylko ta jedna rzecz jest prawdziwa na świecie – cała reszta to nonsens. I to wszystko, co tutaj robimy” – powiedziała atmosfera. Mikołaj jak zwykle po torturowaniu dwóch par koni i braku czasu na odwiedzenie wszystkich miejsc, w których musiał być i gdzie był wzywany, wrócił do domu tuż przed obiadem. Gdy tylko wszedł, zauważył i poczuł napiętą, pełną miłości atmosferę panującą w domu, ale zauważył też dziwne zamieszanie panujące pomiędzy niektórymi członkami towarzystwa. Szczególnie podekscytowane były Sonya, Dołochow, stara hrabina i mała Natasza. Nikołaj zdawał sobie sprawę, że przed obiadem między Sonią a Dołochowem coś się wydarzy i dzięki swojej charakterystycznej wrażliwości serca był podczas kolacji bardzo delikatny i ostrożny w kontaktach z obojgiem. Tego samego wieczoru trzeciego dnia wakacji miał się odbyć jeden z tych balów u Yogla (nauczyciela tańca), który wydał na wakacje dla wszystkich swoich uczniów i studentek.
- Nikolenka, pójdziesz do Jogla? Proszę, idź” – powiedziała mu Natasza – „szczególnie cię poprosił, a Wasilij Dmitricz (to był Denisow) jedzie”.
„Gdziekolwiek pójdę na rozkaz pana Ateny!” - powiedział Denisow, który żartobliwie ustawił się w domu w Rostowie u stóp rycerza Nataszy, „pas de chale [taniec z szalem] jest gotowy do tańca”.
- Jeśli będę miał czas! „Obiecałem Arkharowom, że to ich wieczór” – powiedział Nikołaj.
„A ty?...” zwrócił się do Dołochowa. I właśnie teraz, gdy o to zapytałem, zauważyłem, że nie powinno się o to pytać.
„Tak, może…” Dołochow odpowiedział zimno i ze złością, patrząc na Sonię i marszcząc brwi, dokładnie tym samym spojrzeniem, jakim patrzył na Pierre'a podczas klubowej kolacji, ponownie spojrzał na Nikołaja.
„Coś jest” – pomyślał Mikołaj, a założenie to potwierdził fakt, że Dołochow wyszedł zaraz po obiedzie. Zadzwonił do Nataszy i zapytał, co się stało?
„Szukałam cię” – powiedziała Natasza, podbiegając do niego. „Mówiłam ci, nadal nie chciałaś uwierzyć” – powiedziała triumfalnie – „oświadczył się Soni”.
Nieważne, jak mało Nikołaj robił w tym czasie z Sonią, coś w nim pękło, gdy to usłyszał. Dołochow był przyzwoitym i pod pewnymi względami genialnym partnerem dla pozbawionej posagu sieroty Soni. Z punktu widzenia starej hrabiny i świata nie można było mu odmówić. I dlatego pierwszym uczuciem Mikołaja, gdy to usłyszał, była złość na Sonyę. Przygotowywał się do powiedzenia: „I oczywiście wspaniale, musimy zapomnieć o obietnicach z dzieciństwa i przyjąć ofertę”; ale nie miał jeszcze czasu, żeby to powiedzieć...
- Możesz sobie wyobrazić! Odmówiła, całkowicie odmówiła! – Natasza mówiła. „Powiedziała, że ​​kocha kogoś innego” – dodała po krótkiej chwili milczenia.
„Tak, moja Sonya nie mogłaby zrobić inaczej!” pomyślał Mikołaj.
„Bez względu na to, jak bardzo moja mama ją prosiła, odmawiała i wiem, że nie zmieni tego, co powiedziała…
- I mama ją zapytała! – powiedział z wyrzutem Mikołaj.
„Tak” – powiedziała Natasza. - Wiesz, Nikolenka, nie złość się; ale wiem, że się z nią nie ożenisz. Wiem, Bóg jeden wie dlaczego, wiem na pewno, że się nie ożenisz.
„No cóż, tego nie wiesz” – powiedział Nikołaj; – ale muszę z nią porozmawiać. Jaka piękna ta Sonia! – dodał uśmiechając się.
- To takie urocze! Wyślę to do ciebie. - A Natasza, całując brata, uciekła.
Minutę później weszła Sonya, przestraszona, zdezorientowana i pełna poczucia winy. Nikołaj podszedł do niej i pocałował ją w rękę. Podczas tej wizyty po raz pierwszy rozmawiali twarzą w twarz o swojej miłości.
„Sophie” – powiedział początkowo nieśmiało, a potem coraz śmielej – „jeśli chcesz odmówić nie tylko genialnego, zyskownego meczu; ale to wspaniały, szlachetny człowiek... to mój przyjaciel...
Sonia mu przerwała.
– Już odmówiłam – powiedziała pospiesznie.
- Jeśli odmówisz dla mnie, to obawiam się, że to na mnie...
Sonia znowu mu przerwała. Spojrzała na niego błagalnym, przestraszonym wzrokiem.
„Nicolas, nie mów mi tak” – powiedziała.
- Nie, muszę. Może to wystarczy [arogancja] z mojej strony, ale lepiej powiedzieć. Jeśli odmówisz w moim imieniu, będę musiał wyznać ci całą prawdę. Kocham Cię, myślę, bardziej niż kogokolwiek innego...
„To mi wystarczy” – powiedziała Sonya, rumieniąc się.
- Nie, ale zakochałem się tysiąc razy i będę się zakochiwać nadal, chociaż nie mam takiego uczucia przyjaźni, zaufania, miłości do nikogo, jak do ciebie. Wtedy jestem młody. Mama tego nie chce. No cóż, po prostu niczego nie obiecuję. I proszę o przemyślenie propozycji Dołochowa” – powiedział, mając trudności z wymówieniem nazwiska przyjaciela.
- Nie mów mi tego. Nic nie chcę. Kocham cię jak brata i zawsze będę cię kochać, i nie potrzebuję niczego więcej.
„Jesteś aniołem, nie jestem ciebie godzien, ale boję się tylko, że cię oszukam”. – Nikołaj ponownie pocałował ją w rękę.

Jogel miał najfajniejsze bale w Moskwie. To właśnie mówiły matki, patrząc na swoje nastolatki [dziewczęta] wykonujące nowo wyuczone kroki; tak mówiły nastolatki i same nastolatki, [dziewczęta i chłopcy], którzy tańczyli do upadłego; te dorosłe dziewczyny i młodzi mężczyźni, którzy przychodzili na te bale z myślą o poniżeniu ich i znalezieniu w nich najlepszej zabawy. W tym samym roku na tych balach odbyły się dwa małżeństwa. Dwie ładne księżniczki Gorczakowa znalazły zalotników i pobrały się, a tym bardziej wypuściły te kule w chwałę. Wyjątkowość tych balów polegała na tym, że nie było gospodarza i gospodyni: był dobroduszny Jogel, jak latające pióra, kręcący się zgodnie z zasadami sztuki, który przyjmował bilety na lekcje od wszystkich swoich gości; było tak, że na te bale chciały chodzić tylko te, które chciały tańczyć i dobrze się bawić, jak np. 13-14-latki, które po raz pierwszy założyły długie sukienki. Wszyscy, z nielicznymi wyjątkami, byli lub wydawali się piękni: wszyscy uśmiechali się entuzjastycznie, a ich oczy błyszczały. Czasem pas de chale tańczyli nawet najlepsi uczniowie, z których najlepsza była Natasza, wyróżniająca się wdziękiem; ale na tym ostatnim balu tańczono tylko ekozaje, angielskie i mazurek, który właśnie wchodził w modę. Salę Jogel zabrał do domu Bezuchowa, a bal był wielkim sukcesem, jak wszyscy mówili. Było wiele ładnych dziewcząt, a panie z Rostowa należały do ​​najlepszych. Oboje byli wyjątkowo szczęśliwi i pogodni. Tego wieczoru Sonya, dumna z propozycji Dołochowa, jej odmowy i wyjaśnień z Nikołajem, nadal kręciła się w domu, nie pozwalając dziewczynie dokończyć warkoczy, a teraz promieniowała niepohamowaną radością.
Natasza, nie mniej dumna, że ​​po raz pierwszy na prawdziwym balu założyła długą suknię, była jeszcze szczęśliwsza. Obie miały na sobie białe muślinowe sukienki z różowymi wstążkami.
Natasza zakochała się od chwili, gdy weszła na bal. Nie kochała nikogo konkretnego, ale kochała wszystkich. Ten, na którego patrzyła w tej chwili, był tym, w którym była zakochana.
- Och, jak dobrze! – powtarzała, podbiegając do Soni.
Nikołaj i Denisow spacerowali po salach, patrząc na tancerzy czule i protekcjonalnie.
„Jaka ona będzie słodka” – powiedział Denisov.
- Kto?
„Atena Natasza” – odpowiedział Denisow.
„A jak ona tańczy, co za g”!”, po krótkiej chwili milczenia, powiedział ponownie.
- O kim mówisz?
„O twojej siostrze” – krzyknął ze złością Denisow.
Rostow uśmiechnął się.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez" - powiedział mały Jogel, podchodząc do Mikołaja. "Voyez Combien de jolies demoiselles". [Mój drogi hrabio, jesteś jednym z moich najlepszych uczniów. Musisz tańczyć. Spójrzcie, jakie ładne dziewczyny!] – Z taką samą prośbą zwrócił się do Denisowa, także jego byłego ucznia.
„Non, mon cher, je fe„ai tapisse”ie, [Nie, moja droga, usiądę pod ścianą” – powiedział Denisow. „Nie pamiętasz, jak źle korzystałem z twoich lekcji?”
- O nie! – Jogel powiedział pospiesznie, pocieszając go. – Byłeś po prostu nieuważny, ale miałeś zdolności, tak, miałeś zdolności.
Grano nowo wprowadzonego mazurka; Nikołaj nie mógł odmówić Yogelowi i zaprosił Sonyę. Denisow usiadł obok starszych pań i opierając łokcie na szabli, tupiąc taktem, powiedział coś wesoło i rozśmieszył starsze panie, patrząc na tańczącą młodzież. Yogel w pierwszej parze tańczył z Nataszą, swoją dumą i najlepszą uczennicą. Delikatnie, czule poruszając nogami w butach, Jogel jako pierwszy przeleciał przez salę z Nataszą, która była nieśmiała, ale pilnie stawiała kroki. Denisow nie odrywał od niej wzroku i wystukiwał szablą rytm, z wyrazem twarzy, który wyraźnie mówił, że on sam nie tańczył tylko dlatego, że nie chciał, a nie dlatego, że nie mógł. Pośrodku postaci zawołał do siebie przechodzącego Rostowa.
„To zupełnie nie to samo” – stwierdził. - Czy to jest polski mazur? A ona świetnie tańczy. - Wiedząc, że Denisow słynął nawet w Polsce z umiejętności tańca polskiego mazurka, Mikołaj podbiegł do Nataszy:
- Idź i wybierz Denisova. Oto on tańczy! Cud! - powiedział.
Kiedy znów przyszła kolej na Nataszę, wstała i szybko palcami kokardkami palcami butów, nieśmiało pobiegła samotnie przez korytarz do rogu, gdzie siedział Denisow. Widziała, że ​​wszyscy na nią patrzą i czekają. Nikołaj zobaczył, że Denisow i Natasza kłócą się z uśmiechem, a Denisow odmawia, ale uśmiecha się radośnie. Podbiegł.
„Proszę, Wasilij Dmitrycz” – powiedziała Natasza – „chodźmy, proszę”.
„Tak, to wszystko, g’atena” – powiedział Denisow.
„No cóż, wystarczy, Wasya” – powiedział Nikołaj.
„To tak, jakby próbowali przekonać kota Vaskę” – powiedział żartobliwie Denisow.
„Będę ci śpiewał przez cały wieczór” - powiedziała Natasza.
- Czarodziejka zrobi mi wszystko! - powiedział Denisow i odpiął szablę. Wyszedł zza krzeseł, mocno ujął swą panią za rękę, podniósł głowę i opuścił nogę, czekając na takt. Tylko na koniu i na mazurku nie było widać niskiego wzrostu Denisowa, a wydawał się być tym samym młodzieńcem, za jakiego się czuł. Czekając na uderzenie, zerknął triumfalnie i żartobliwie na swoją panią z boku, nagle tupnął jedną nogą i jak piłka elastycznie odbił się od podłogi i poleciał po okręgu, ciągnąc swoją damę za sobą. Przeleciał bezgłośnie na jednej nodze połowę sali i wydawało się, że nie widzi stojących przed nim krzeseł i rzucił się prosto w ich stronę; lecz nagle trzaskając ostrogami i rozkładając nogi, zatrzymał się na piętach, stał przez chwilę z trzaskiem ostróg, tupał nogami w jednym miejscu, szybko się odwrócił i stukając prawą nogą lewą, znowu poleciał w kółko. Natasza odgadła, co zamierza zrobić, i nie wiedząc jak, poszła za nim - oddając się mu. Teraz okrążał ją, teraz po prawej, teraz po lewej stronie, teraz padając na kolana, okrążył ją wokół siebie, i znowu zerwał się i pobiegł do przodu z taką szybkością, jakby miał zamiar przebiec przez wszystkie pokoje bez oddychania; potem nagle zatrzymał się i znów zrobił nowe i nieoczekiwane kolano. Kiedy on, energicznie obracając damę przed jej mieszkaniem, strzelił ostrogą, kłaniając się przed nią, Natasza nawet nie dygnęła przed nim. Patrzyła na niego ze zdziwieniem i uśmiechała się, jakby go nie poznawała. - Co to jest? - powiedziała.
Mimo że Jogel nie rozpoznał tego mazurka jako prawdziwego, wszyscy byli zachwyceni kunsztem Denisowa, zaczęli go nieustannie wybierać, a starzy ludzie z uśmiechem zaczęli opowiadać o Polsce i starych dobrych czasach. Denisow, zaczerwieniony od mazurka i wycierając się chusteczką, usiadł obok Nataszy i nie odchodził od niej przez cały bal.