Układ ortogonalny. Zobacz strony, na których wspomniany jest termin układ ortogonalny

Definicja. WektoryA IB nazywane są względem siebie ortogonalnymi (prostopadłymi), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tj.A × B = 0.

Dla niezerowych wektorów A I B równość iloczynu skalarnego do zera oznacza, że cos J= 0, tj. . Wektor zerowy jest ortogonalny do dowolnego wektora, ponieważ A × 0 = 0.

Ćwiczenia. Niech i będą wektorami ortogonalnymi. Wtedy naturalne jest rozważenie przekątnej prostokąta o bokach i . Udowodnij to

te. kwadrat długości przekątnej prostokąta jest równy sumie kwadratów długości jego dwóch nierównoległych boków(Twierdzenie Pitagorasa).

Definicja. System wektorowyA 1 ,…, A m nazywa się ortogonalnym, jeśli dowolne dwa wektory tego układu są ortogonalne.

Zatem dla ortogonalnego układu wektorów A 1 ,…,A M równość jest prawdziwa: A I × A J= 0 o godz I¹ J, I= 1,…, M; J= 1,…,M.

Twierdzenie 1.5. Układ ortogonalny składający się z niezerowych wektorów jest liniowo niezależny. .

□ Dowód przeprowadzamy przez sprzeczność. Załóżmy, że ortogonalny układ niezerowych wektorów A 1 , …, A M liniowo zależne. Następnie

l 1 A 1 + …+ l MA M= 0 , w której . (1,15)

Niech na przykład l 1 ¹ 0. Pomnóż przez A 1 obie strony równości (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+ l M A M × A 1 = 0.

Wszystkie wyrazy z wyjątkiem pierwszego są równe zeru ze względu na ortogonalność układu A 1 , …, A M. Następnie l 1 A 1× A 1 = 0, co następuje A 1 = 0 , co jest sprzeczne z warunkiem. Nasze założenie okazało się błędne. Oznacza to, że układ ortogonalny niezerowych wektorów jest liniowo niezależny. ■

Zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.6. W przestrzeni Rn zawsze istnieje baza złożona z wektorów ortogonalnych (baza ortogonalna)
(brak dowodów).

Podstawy ortogonalne są wygodne przede wszystkim dlatego, że po prostu określa się współczynniki rozszerzalności dowolnego wektora nad takimi podstawami.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozkład dowolnego wektora B na zasadzie ortogonalnej mi 1 ,…,mi N. Skomponujmy rozwinięcie tego wektora z wciąż nieznanymi współczynnikami rozwinięcia dla tej podstawy:

Pomnóżmy obie strony tej równości skalarnie przez wektor mi 1. Na mocy aksjomatów 2° i 3° iloczynu skalarnego wektorów otrzymujemy

Ponieważ wektory bazowe mi 1 ,…,mi N są wzajemnie ortogonalne, to wszystkie iloczyny skalarne wektorów bazowych, z wyjątkiem pierwszego, są równe zeru, tj. współczynnik jest określony przez wzór

Mnożąc równość (1.16) jeden po drugim wektory bazowe, otrzymujemy proste wzory na obliczenie współczynników rozszerzalności wektorów B :

Formuły (1.17) mają sens, ponieważ .

Definicja. WektorA nazywa się znormalizowanym (lub jednostką), jeśli jego długość jest równa 1, tj. (A , A )= 1.

Dowolny niezerowy wektor można znormalizować. Pozwalać A ¹ 0 . Wtedy , i wektor jest wektorem znormalizowanym.

Definicja. System wektorowy mi 1 ,…,mi n nazywa się ortonormalnym, jeśli jest ortogonalne, a długość każdego wektora układu jest równa 1, tj.

Ponieważ w przestrzeni Rn zawsze istnieje baza ortogonalna i wektory tej bazy można znormalizować, to w Rn zawsze istnieje baza ortogonalna.

Przykładem bazy ortonormalnej przestrzeni Rn jest układ wektorów mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi N=(0,0,…,1) z iloczynem skalarnym zdefiniowanym przez równość (1.9). W bazie ortonormalnej mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi N=(0,0,…,1) wzór (1.17) na wyznaczenie współrzędnych rozkładu wektora B mają najprostszą postać:

Pozwalać A I B – dwa dowolne wektory przestrzeni R n o bazie ortonormalnej mi 1 ,=(1,0,…,0),…, mi N=(0,0,…,1). Oznaczmy współrzędne wektorów A I B w podstawie mi 1 ,…,mi N odpowiednio przez A 1 ,…,A N I B 1 ,…, B N i znajdź wyrażenie na iloczyn skalarny tych wektorów poprzez ich współrzędne w tej podstawie, tj. Udawajmy, że tak

Z ostatniej równości, na mocy aksjomatów i relacji iloczynu skalarnego (1.18), otrzymujemy

Wreszcie mamy

Zatem, w bazie ortonormalnej iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych tych wektorów.

Rozważmy teraz całkowicie dowolną (ogólnie rzecz biorąc, nie ortonormalną) bazę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej R n i znajdźmy wyrażenie na iloczyn skalarny dwóch dowolnych wektorów A I B poprzez współrzędne tych wektorów w określonej bazie. F 1 ,…,F N Przestrzeń euklidesowa R n iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych tych wektorów, konieczne i wystarczające jest, aby podstawa F 1 ,…,F N był ortonormalny.

Faktycznie wyrażenie (1.20) przechodzi w (1.19) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są relacje ustalające ortonormalność bazy F 1 ,…,F N.

O czym gadamy?

Pojawienie się na Habré wpisu o filtrze Majvik było na swój sposób wydarzeniem symbolicznym. Najwyraźniej ogólna fascynacja dronami ożywiła zainteresowanie problematyką szacowania orientacji ciała na podstawie pomiarów inercyjnych. Jednocześnie tradycyjne metody oparte na filtrze Kalmana przestały zadowalać społeczeństwo, albo ze względu na wysokie wymagania obliczeniowe, nieakceptowalne dla dronów, albo ze względu na skomplikowane i nieintuicyjne ustawienia parametrów.

Postowi towarzyszyła bardzo zwarta i wydajna implementacja filtra w C. Jednak sądząc po komentarzach, fizyczne znaczenie tego kodu, jak i całego artykułu, pozostało dla niektórych niejasne. Cóż, spójrzmy prawdzie w oczy: filtr Majwicka jest najbardziej skomplikowanym z grupy filtrów opartych na ogólnie bardzo prostych i eleganckich zasadach. Omówię te zasady w moim poście. Tutaj nie będzie żadnego kodu. Mój post nie jest opowieścią o jakiejś konkretnej implementacji algorytmu szacowania orientacji, a raczej zaproszeniem do wymyślania własnych wariacji na dany temat, a jest ich naprawdę dużo.

Widok orientacyjny

Pamiętajmy o podstawach. Aby ocenić orientację ciała w przestrzeni, należy najpierw wybrać pewne parametry, które łącznie jednoznacznie określają tę orientację, tj. zasadniczo orientacja powiązanego układu współrzędnych względem układu warunkowo ustalonego - na przykład układu geograficznego NED (północ, wschód, dół). Następnie należy utworzyć równania kinematyczne, tj. wyrazić szybkość zmian tych parametrów poprzez prędkość kątową z żyroskopów. Na koniec w obliczeniach należy uwzględnić pomiary wektorów z akcelerometrów, magnetometrów itp. Oto najczęstsze sposoby przedstawiania orientacji:

Kąty Eulera- przewrót (przewrót, ), skok (skok, ), kurs (nagłówek, ). Jest to najbardziej wizualny i najbardziej zwięzły zestaw parametrów orientacji: liczba parametrów jest dokładnie równa liczbie obrotowych stopni swobody. Dla tych kątów możemy pisać Równania kinematyczne Eulera. Są bardzo popularne w mechanice teoretycznej, ale są mało przydatne w problemach nawigacyjnych. Po pierwsze, znajomość kątów nie pozwala na bezpośrednie przekształcenie składowych dowolnego wektora z pokrewnego na układ współrzędnych geograficznych i odwrotnie. Po drugie, przy nachyleniu ±90 stopni równania kinematyczne ulegają degeneracji, a przechylenie i kurs stają się niepewne.

Macierz rotacyjna- macierz 3x3, przez którą należy pomnożyć dowolny wektor w powiązanym układzie współrzędnych, aby otrzymać ten sam wektor w układzie geograficznym: . Macierz jest zawsze ortogonalna, tj. . Równanie kinematyczne ma postać .
Oto macierz składowych prędkości kątowej mierzonych za pomocą żyroskopów w sprzężonym układzie współrzędnych:

Macierz rotacji jest nieco mniej wizualna niż kąty Eulera, ale w przeciwieństwie do nich pozwala na bezpośrednie przekształcanie wektorów i nie staje się bez znaczenia w żadnym położeniu kątowym. Z obliczeniowego punktu widzenia jego główną wadą jest redundancja: ze względu na trzy stopnie swobody wprowadza się jednocześnie dziewięć parametrów i wszystkie wymagają aktualizacji zgodnie z równaniem kinematycznym. Problem można nieco uprościć wykorzystując ortogonalność macierzy.

Kwaternion rotacji- radykalne, ale bardzo nieintuicyjne lekarstwo na redundancję i degenerację. Jest to obiekt czteroskładnikowy – nie liczba, nie wektor, nie macierz. Na kwaternion można patrzeć pod dwoma kątami. Po pierwsze, jako formalna suma skalara i wektora, gdzie są wektory jednostkowe osi (co oczywiście brzmi absurdalnie). Po drugie, jako uogólnienie liczb zespolonych, gdzie teraz używa się nie jednego, ale trzech różny jednostki urojone (co brzmi nie mniej absurdalnie). Jak kwaternion jest powiązany z rotacją? Poprzez twierdzenie Eulera: ciało zawsze można przenieść z jednej orientacji do drugiej poprzez jeden końcowy obrót o określony kąt wokół określonej osi z wektorem kierunkowym. Te kąty i osie można połączyć w kwaternion: . Podobnie jak macierz, kwaternionu można użyć do bezpośredniego przekształcenia dowolnego wektora z jednego układu współrzędnych na inny: . Jak widać, kwaternionowa reprezentacja orientacji również cierpi na nadmiarowość, ale w znacznie mniejszym stopniu niż reprezentacja macierzowa: jest tylko jeden dodatkowy parametr. Szczegółowy przegląd kwaternionów został już opublikowany na Habré. Mówiono o geometrii i grafice 3D. Interesuje nas także kinematyka, ponieważ szybkość zmian kwaternionu musi być powiązana ze zmierzoną prędkością kątową. Odpowiednie równanie kinematyczne ma postać , gdzie wektor jest również uważany za kwaternion z zerową częścią skalarną.

Obwody filtrów

Najbardziej naiwnym podejściem do obliczania orientacji jest uzbrojenie się w równanie kinematyczne i aktualizację zgodnie z nim dowolnego zestawu parametrów, które nam się podobają. Na przykład, jeśli wybierzemy macierz rotacji, moglibyśmy napisać pętlę z czymś w rodzaju C += C * Omega * dt . Wynik będzie rozczarowujący. Żyroskopy, zwłaszcza MEMS, mają duże i niestabilne przesunięcie zera - w rezultacie nawet w całkowitym spoczynku obliczona orientacja będzie obarczona narastającym w nieskończoność błędem (dryfem). Wszystkie sztuczki wymyślone przez Mahoneya, Majwicka i wielu innych, w tym także mnie, miały na celu kompensację tego dryfu poprzez pomiary z akcelerometrów, magnetometrów, odbiorników GNSS, logów itp. W ten sposób narodziła się cała rodzina filtrów orientacyjnych, oparta na prostej, podstawowej zasadzie.

Podstawowa zasada. Aby skompensować dryf orientacji, należy do prędkości kątowej mierzonej żyroskopami dodać dodatkową sterującą prędkość kątową, skonstruowaną na podstawie pomiarów wektorowych innych czujników. Kontrolny wektor prędkości kątowej musi dążyć do połączenia kierunków mierzonych wektorów z ich znanymi kierunkami rzeczywistymi.

Wiąże się to z zupełnie innym podejściem niż konstrukcja składnika korekcyjnego filtru Kalmana. Główna różnica polega na tym, że sterowana jest prędkość kątowa nie termin, ale mnożnik przy oszacowanej wartości (matryca lub kwaternion). Prowadzi to do ważnych korzyści:

Filtr szacunkowy można zbudować dla samej orientacji, a nie dla małych odchyleń orientacji od tej podawanej przez żyroskopy. W tym przypadku oszacowane wielkości automatycznie spełnią wszystkie wymagania stawiane przez problem: macierz będzie ortogonalna, kwaternion zostanie znormalizowany.
Fizyczne znaczenie sterującej prędkości kątowej jest znacznie jaśniejsze niż składnik korekcyjny w filtrze Kalmana. Wszystkie manipulacje są wykonywane za pomocą wektorów i macierzy w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni fizycznej, a nie w abstrakcyjnej wielowymiarowej przestrzeni stanów. Znacząco upraszcza to udoskonalenie i konfigurację filtra, a jako bonus pozwala pozbyć się wielowymiarowych macierzy i ciężkich bibliotek macierzowych.

Zobaczmy teraz, jak ten pomysł jest realizowany w określonych opcjach filtrów.

Filtr Mahoneya. Cała zadziwiająca matematyka zawarta w oryginalnej pracy Mahoneya została napisana w celu uzasadnienia prostych równań (32). Przepiszmy je w naszym zapisie. Jeśli odejmiemy się od szacowania przemieszczeń zera żyroskopu, to pozostaną dwa kluczowe równania - rzeczywiste równanie kinematyczne dla macierzy obrotu (z kontrolującą prędkością kątową w postaci macierzy) oraz prawo kształtowania się tej właśnie prędkości w postać wektora. Załóżmy dla uproszczenia, że nie ma przyspieszeń ani zakłóceń magnetycznych i dzięki temu mamy dostęp do pomiarów przyspieszenia grawitacyjnego z akcelerometrów i natężenia pola magnetycznego Ziemi z magnetometrów. Oba wektory mierzone są przez czujniki w odpowiednim układzie współrzędnych, a w układzie geograficznym znane jest ich położenie: skierowane w górę, w stronę północy magnetycznej. Wtedy równania filtra Mahoneya będą wyglądać następująco:

Przyjrzyjmy się bliżej drugiemu równaniu. Pierwszy wyraz po prawej stronie to iloczyn krzyżowy. Pierwszym czynnikiem jest zmierzone przyspieszenie grawitacyjne, drugim jest prawdziwe. Ponieważ mnożniki muszą znajdować się w tym samym układzie współrzędnych, drugi mnożnik jest konwertowany na powiązany układ poprzez pomnożenie przez . Prędkość kątowa, skonstruowana jako iloczyn poprzeczny, jest prostopadła do płaszczyzny wektorów czynnikowych. Umożliwia obracanie obliczonej pozycji powiązanego układu współrzędnych do momentu, aż wektory mnożników zbiegną się w kierunku – wówczas iloczyn wektorowy zostanie wyzerowany i obrót zostanie zatrzymany. Współczynnik określa wagę takiego sprzężenia zwrotnego. Drugi człon wykonuje podobną operację z wektorem magnetycznym. W istocie filtr Mahoneya realizuje dobrze znaną tezę: znajomość dwóch niewspółliniowych wektorów w dwóch różnych układach współrzędnych pozwala jednoznacznie przywrócić wzajemną orientację tych układów. Jeśli istnieje więcej niż dwa wektory, zapewni to użyteczną redundancję pomiaru. Jeżeli istnieje tylko jeden wektor, to nie można ustalić jednego obrotowego stopnia swobody (ruchu wokół tego wektora). Na przykład, jeśli podany jest tylko wektor, można skorygować przechylenie i przechylenie, ale nie zmianę kursu.

Oczywiście w filtrze Mahoneya nie jest konieczne stosowanie macierzy rotacji. Istnieją również niekanoniczne warianty kwaternionów.

Wirtualna platforma żyroskopowa. W filtrze Mahoneya zastosowaliśmy sterującą prędkość kątową do powiązanego układu współrzędnych. Można go jednak zastosować także do obliczonej pozycji układu współrzędnych geograficznych. Równanie kinematyczne przyjmie wówczas postać

Okazuje się, że takie podejście otwiera drogę do bardzo owocnych analogii fizycznych. Wystarczy przypomnieć sobie, gdzie zaczęła się technologia żyroskopowa – systemy nawigacji kursowej i inercyjnej oparte na platformie stabilizowanej żyroskopowo w gimbalu.

www.theairlinepilots.com

Zadaniem tamtejszej platformy była materializacja układu współrzędnych geograficznych. Orientację nośnika względem tej platformy mierzono za pomocą czujników kąta umieszczonych na ramach przegubu Cardana. Jeżeli żyroskopy dryfowały, wówczas platforma dryfowała wraz z nimi, a w odczytach czujników kąta kumulowały się błędy. Aby wyeliminować te błędy, wprowadzono informację zwrotną z akcelerometrów zainstalowanych na platformie. Przykładowo odchylenie platformy od horyzontu wokół osi północnej zostało dostrzeżone przez akcelerometr osi wschodniej. Sygnał ten umożliwiał ustawienie sterującej prędkości kątowej, przywracając platformę do horyzontu.

W naszym zadaniu możemy wykorzystać te same koncepcje wizualne. Zapisane równanie kinematyczne należy wówczas czytać następująco: szybkość zmiany orientacji jest różnicą pomiędzy dwoma ruchami obrotowymi – ruchem bezwzględnym nośnika (pierwszy człon) i ruchem bezwzględnym wirtualnej platformy wiatrakowej (drugi człon). Analogię można rozszerzyć na prawo kształtowania sterującej prędkości kątowej. Wektor reprezentuje odczyty akcelerometrów rzekomo umieszczonych na platformie żyroskopowej. Następnie na podstawie rozważań fizycznych możemy napisać:

Dokładnie ten sam wynik można uzyskać formalnie, dokonując mnożenia wektorów w duchu filtra Mahony'ego, ale teraz nie w połączonym, ale w układzie współrzędnych geograficznych. Czy to naprawdę konieczne?

Pierwsza wskazówka dotycząca użytecznej analogii między nawigacją inercyjną platformową a nawigacją bezwładnościową pojawia się w starożytnym patencie Boeinga. Następnie pomysł ten był aktywnie rozwijany przez Salycheva, a ostatnio także przeze mnie. Oczywiste zalety tego podejścia:

Sterowanie prędkością kątową można wygenerować w oparciu o zrozumiałe zasady fizyczne.
Naturalnie kanały poziome i kursowe są oddzielone, bardzo różniące się właściwościami i metodami korekcji. W filtrze Mahoneya są one mieszane.
Wygodnie jest kompensować wpływ przyspieszeń, korzystając z danych GNSS, które są podawane dokładnie w osiach geograficznych, a nie powiązanych.
Algorytm można łatwo uogólnić na przypadek precyzyjnej nawigacji inercyjnej, gdzie należy uwzględnić kształt i obrót Ziemi. Nie mam pojęcia jak to zrobić w schemacie Mahoney’a.

Filtr Majvika. Majwick wybrał trudną ścieżkę. Jeśli Mahoney najwyraźniej doszedł do swojej decyzji intuicyjnie, a następnie uzasadnił ją matematycznie, to Majwick od początku dał się poznać jako formalista. Zajął się problemem optymalizacji. Rozumował w ten sposób. Ustalmy orientację za pomocą kwaternionu obrotu. W idealnym przypadku obliczony kierunek jakiegoś mierzonego wektora (przyjmijmy taki) pokrywa się z rzeczywistym. Wtedy to będzie. W rzeczywistości nie zawsze jest to osiągalne (zwłaszcza jeśli wektorów jest więcej niż dwa), ale można spróbować zminimalizować odchylenie od dokładnej równości. W tym celu wprowadzamy kryterium minimalizacji

Minimalizacja wymaga zjazdu gradientowego – ruchu małymi krokami w kierunku przeciwnym do gradientu, tj. przeciwnym do najszybszego wzrostu funkcji. Swoją drogą Majvik popełnia błąd: we wszystkich swoich pracach w ogóle się nie wpisuje i uparcie pisze zamiast , choć w rzeczywistości dokładnie liczy .

Zejście gradientowe ostatecznie prowadzi do następującego warunku: aby skompensować dryf orientacji, należy dodać nowy składnik ujemny, proporcjonalny do szybkości zmiany kwaternionu z równania kinematycznego:

Tutaj Majwick odbiega nieco od naszej „podstawowej zasady”: dodaje składnik korygujący nie do prędkości kątowej, ale do szybkości zmian kwaternionu, a to nie jest dokładnie to samo. W rezultacie może się okazać, że zaktualizowany kwaternion nie będzie już jednostką i odpowiednio straci zdolność do reprezentowania orientacji. Dlatego w przypadku filtra Majwicka sztuczna normalizacja kwaternionu jest operacją istotną, podczas gdy w przypadku innych filtrów jest to pożądane, a nie opcjonalne.

Wpływ przyspieszeń

Do tej pory zakładano, że rzeczywiste przyspieszenia nie istnieją, a akcelerometry mierzą jedynie przyspieszenie ziemskie. Umożliwiło to uzyskanie odniesienia pionowego i wykorzystanie go do kompensacji dryfu przechyłu i pochylenia. Generalnie jednak akcelerometry, niezależnie od zasady działania, mierzą pozorne przyspieszenie- różnica wektorów pomiędzy przyspieszeniem rzeczywistym a przyspieszeniem swobodnego spadania. Kierunek pozornego przyspieszenia nie pokrywa się z pionem, a w szacunkach przechyłu i pochylenia pojawiają się błędy spowodowane przyspieszeniami.

Można to łatwo zilustrować za pomocą analogii do wirtualnego żyroskopu. Jej system korekcji jest tak zaprojektowany, że platforma zatrzymuje się w pozycji kątowej, w której resetują się sygnały rzekomo zainstalowanych na niej akcelerometrów, tj. gdy mierzony wektor staje się prostopadły do osi czułości akcelerometrów. Jeśli nie ma przyspieszeń, pozycja ta pokrywa się z horyzontem. Kiedy występują przyspieszenia poziome, platforma żyroskopowa ugina się. Można powiedzieć, że platforma żyroskopowa przypomina mocno wytłumione wahadło lub pion.

W komentarzach do wpisu o filtrze Majwicka pojawiło się pytanie, czy można mieć nadzieję, że filtr ten będzie mniej podatny na przyspieszenia niż np. filtr Mahoneya. Niestety, wszystkie opisane tutaj filtry wykorzystują te same zasady fizyczne i dlatego borykają się z tymi samymi problemami. Fizyki nie da się oszukać matematyką. Co wtedy zrobić?

Najprostsza i najbardziej prymitywna metoda została wynaleziona w połowie ubiegłego wieku dla żyrometrów lotniczych: zmniejszenie lub całkowite zresetowanie sterującej prędkości kątowej w obecności przyspieszeń lub prędkości kątowej kursu (co wskazuje na wejście w zakręt). Tę samą metodę można przenieść na obecne systemy bezplatformowe. W tym przypadku przyspieszenia należy oceniać na podstawie wartości , a nie , które same w sobie z kolei wynoszą zero. Jednak pod względem wielkości nie zawsze można odróżnić rzeczywiste przyspieszenia od rzutów przyspieszenia grawitacyjnego, spowodowanego samym nachyleniem platformy wiatrowej, które należy wyeliminować. Dlatego metoda nie działa niezawodnie, ale nie wymaga żadnych dodatkowych czujników.

Bardziej dokładna metoda opiera się na wykorzystaniu zewnętrznych pomiarów prędkości z odbiornika GNSS. Jeśli prędkość jest znana, można ją numerycznie różniczkować i uzyskać rzeczywiste przyspieszenie. Wtedy różnica będzie dokładnie równa niezależnie od ruchu nośnika. Można go używać jako stojaka pionowego. Można na przykład ustawić w formularzu sterujące prędkości kątowe platformy wiatrakowej

Przesunięcia zera czujnika

Smutną cechą żyroskopów i akcelerometrów klasy konsumenckiej jest duża niestabilność przesunięcia zera w czasie i temperaturze. Aby je wyeliminować, nie wystarczy sama kalibracja fabryczna lub laboratoryjna – wymagana jest dodatkowa ocena w trakcie eksploatacji.

Żyroskopy. Zajmijmy się przesunięciem zera żyroskopów. Obliczone położenie powiązanego układu współrzędnych oddala się od swojego prawdziwego położenia z prędkością kątową określoną przez dwa przeciwstawne czynniki – zerowe przemieszczenia żyroskopów i sterującą prędkość kątową: . Jeżeli system korekcji (np. w filtrze Mahoneya) zdołał zatrzymać dryft, to stan ustalony będzie wynosił . Innymi słowy, sterowana prędkość kątowa zawiera informację o nieznanym działającym zakłóceniu. Dlatego możesz aplikować ocena kompensacyjna: Nie znamy bezpośrednio wielkości zakłócenia, ale wiemy, jakie działania naprawcze są potrzebne, aby je zrównoważyć. Jest to podstawa do oszacowania przesunięć zera żyroskopów. Na przykład wynik Mahoneya jest aktualizowany przez prawo

Jednak jego wyniki są dziwne: szacunki sięgają 0,04 rad/s. Taka niestabilność przesunięć zerowych nie występuje nawet w najgorszych żyroskopach. Podejrzewam, że problem wynika z tego, że Mahoney nie korzysta z GNSS ani innych czujników zewnętrznych – i w pełni odczuwa skutki przyspieszeń. Jedynie na osi pionowej, gdzie przyspieszenia nie szkodzą, oszacowanie wygląda mniej więcej rozsądnie:

Mahony i in., 2008

Akcelerometry. Oszacowanie przesunięć zera akcelerometru jest znacznie trudniejsze. Informacje o nich należy wydobyć z tej samej sterującej prędkości kątowej. Jednak w ruchu prostoliniowym efekt przesunięć zera akcelerometrów jest nie do odróżnienia od nachylenia nośnika lub przekrzywienia instalacji na nim modułu czujnika. Do akcelerometrów nie są tworzone żadne dodatki. Dodatek pojawia się tylko podczas skręcania, co umożliwia oddzielenie i niezależną ocenę błędów żyroskopów i akcelerometrów. Przykład tego, jak można to zrobić, znajduje się w moim artykule. Oto zdjęcia stamtąd:

Zamiast konkluzji: co z filtrem Kalmana?

Nie mam wątpliwości, że opisane tutaj filtry niemal zawsze będą miały przewagę nad tradycyjnym filtrem Kalmana pod względem szybkości, zwartości kodu i łatwości konfiguracji - po to zostały stworzone. Jeśli chodzi o dokładność oceny, tutaj nie wszystko jest takie jasne. Spotkałem się ze słabo zaprojektowanymi filtrami Kalmana, które były zauważalnie gorsze pod względem dokładności od filtra z wirtualną platformą żyroskopową. Majwick udowodnił także zalety swojego filtra w odniesieniu do Niektóre Szacunki Kalmana. Jednakże dla tego samego problemu oszacowania orientacji można skonstruować co najmniej kilkanaście różnych obwodów filtrów Kalmana, a każdy będzie miał nieskończoną liczbę możliwości konfiguracji. Nie mam podstaw sądzić, że filtr Mahoneya lub Majwicka będzie dokładniejszy najlepsze z możliwych Filtry Kalmana. I oczywiście podejście Kalmana zawsze będzie miało tę zaletę, że jest uniwersalne: nie nakłada żadnych ścisłych ograniczeń na specyficzne właściwości dynamiczne ocenianego systemu.

Taki podzbiór wektorów $\left$\varphi_i \right$\subset H$ że dowolne dwa z nich są ortogonalne, to znaczy ich iloczyn skalarny jest równy zero:

$(\varphi_i, \varphi_j) = 0$ .

Układ ortogonalny, jeśli jest kompletny, może służyć jako podstawa przestrzeni. Ponadto rozkład dowolnego elementu $\vec a$ można obliczyć korzystając ze wzorów: $\vec a = \sum_(k) \alpha_i \varphi_i$ , Gdzie $\alpha_i = \frac((\vec a, \varphi_i))((\varphi_i, \varphi_i))$ .

Przypadek, gdy norma wszystkich elementów $||\varphi_i||=1$ , nazywany jest układem ortonormalnym.

Ortogonalizacja

Podstawą jest dowolny kompletny, liniowo niezależny układ w przestrzeni skończenie wymiarowej. Z prostej bazy można zatem przejść do bazy ortonormalnej.

Rozkład ortogonalny

Rozkładając wektory przestrzeni wektorowej według podstawy ortonormalnej, obliczenie iloczynu skalarnego jest uproszczone: $(\vec a, \vec b) = \sum_(k) \alpha_k\beta_k$ , Gdzie $\vec a = \sum_(k) \alpha_k \varphi_k$ I $\vec b = \sum_(k) \beta_k \varphi_k$ .

Zobacz też

Napisz recenzję o artykule "Układ ortogonalny"

Fragment charakteryzujący układ ortogonalny

- No cóż, czego chcesz? Wszyscy jesteście dziś zakochani. Cóż, jesteś zakochana, więc wyjdź za niego! – powiedziała hrabina, śmiejąc się gniewnie. - Z Bożym błogosławieństwem!
- Nie, mamo, nie jestem w nim zakochana, nie wolno mi się w nim zakochać.
- No cóż, powiedz mu to.
- Mamo, jesteś zła? Nie jesteś zły, kochanie. Jaka jest moja wina?
- Nie, i co z tego, przyjacielu? Jeśli chcesz, pójdę i mu powiem – powiedziała hrabina z uśmiechem.
- Nie, zrobię to sam, po prostu mnie naucz. Wszystko jest dla ciebie łatwe – dodała, odpowiadając na jej uśmiech. - Gdybyś tylko widział, jak mi to powiedział! Przecież wiem, że nie chciał tego powiedzieć, ale powiedział to przez przypadek.
- Cóż, nadal musisz odmówić.
- Nie, nie. Bardzo mi go szkoda! On jest taki słodki.
- Cóż, w takim razie przyjmij ofertę. „A potem czas wyjść za mąż” – powiedziała matka ze złością i drwiną.
- Nie, mamo, bardzo mi go szkoda. Nie wiem jak to powiem.
„Nie masz nic do powiedzenia, sama to powiem” – powiedziała hrabina, oburzona, że odważyli się patrzeć na tę małą Nataszę, jakby była duża.
„Nie, nie ma mowy, ja sam, a ty słuchasz przy drzwiach”, a Natasza pobiegła przez salon do przedpokoju, gdzie Denisow siedział na tym samym krześle, przy klawikordzie, zakrywając twarz rękami. Podskoczył na dźwięk jej lekkich kroków.
„Natalie” – powiedział, podchodząc do niej szybkimi krokami – „zdecyduj o moim losie”. To jest w Twoich rękach!
- Wasilij Dmitrycz, bardzo mi cię szkoda!... Nie, ale jesteś taki miły... ale nie... tego... bo inaczej zawsze będę cię kochał.

1) O. taki, że (x a , X ab)=0 w . Jeżeli norma każdego wektora jest równa jeden, wówczas wywoływany jest układ (x a). ortonormalny. Pełne O.s. (xa) zadzwonił baza ortogonalna (ortonormalna). M. I. Voitsekhovsky.

2) O.s. współrzędne - układ współrzędnych, w którym linie współrzędnych (lub powierzchnie) przecinają się pod kątem prostym. O. s. współrzędne istnieją w dowolnej przestrzeni euklidesowej, ale ogólnie rzecz biorąc, nie istnieją w żadnej przestrzeni. W dwuwymiarowej gładkiej przestrzeni afinicznej O. s. zawsze można wprowadzić przynajmniej w dostatecznie małym sąsiedztwie każdego punktu. Czasami możliwe jest wprowadzenie O. s. współrzędne w akcji. W O.s. metryczny napinacz g ij przekątne; elementy diagonalne gi akceptowane imię Współczynniki Lamego. Słaby współczynnik O. s. w przestrzeni wyraża się za pomocą wzorów

Gdzie x, y I z- Współrzędne prostokątne kartezjańskie. Element długości wyraża się za pomocą współczynników Lamégo:

element powierzchniowy:

element objętościowy:

operacje różniczkowe na wektorach:

Najczęściej używane O. s. współrzędne: na płaszczyźnie - kartezjańskie, biegunowe, eliptyczne, paraboliczne; w przestrzeni - sferyczny, cylindryczny, paraboloidalny, bicylindryczny, bipolarny. D. D. Sokołow.

3) O.s. funkcje - układ skończony lub przeliczalny (j I(x)) funkcje należące do przestrzeni

L 2(X, S, m) i spełniające warunki

Jeśli l I=1 dla wszystkich I, następnie wywoływany jest system ortonormalny. Zakłada się, że miara m(x), określona na s-algebrze S podzbiorów zbioru X, jest przeliczalnie addytywna, zupełna i ma przeliczalną podstawę. To jest definicja O.s. obejmuje wszystkie strony O. uwzględnione we współczesnej analizie; uzyskuje się je dla różnych konkretnych realizacji przestrzeni miar ( X, S, M).

Najbardziej interesujące są kompletne układy ortonormalne (j N(x)), które mają tę właściwość, że dla dowolnej funkcji istnieje unikalny szereg zbieżny do f(x) w metryce przestrzeni L 2(X, S, M) , natomiast współczynniki s wyznaczane są za pomocą wzorów Fouriera

Układy takie istnieją dzięki separacji przestrzeni L 2(X, S, M). Uniwersalnym sposobem konstruowania kompletnych układów ortonormalnych jest metoda ortogonalizacji Schmidta. Aby to zrobić, wystarczy zastosować go do pewnego roju kompletnego L 2(S, X, m) układ funkcji liniowo niezależnych.

W teorii szereg ortogonalny w rozważano głównie O. s. przestrzeńLva L 2[a, b](ten szczególny przypadek, kiedy X=[a, b], S- system mierzalnych zbiorów Lebesgue’a, a m jest miarą Lebesgue’a). Wiele twierdzeń o zbieżności lub sumowalności szeregów, zgodnie z ogólnymi systemami matematycznymi. (J N(x)) spacje L 2[a, b] są również prawdziwe dla szeregów w ortonormalnych układach przestrzennych L 2(X, S, M). Jednocześnie w tym konkretnym przypadku zbudowano ciekawe betonowe systemy O., które mają pewne dobre właściwości. Są to na przykład systemy Haara, Rademachera, Walsha-Paleya i Franklina.

1) System Haara

gdzie m=2 N+k, , t=2, 3, ... . Seria Haar stanowi typowy przykład martyngały i dla nich prawdziwe są ogólne twierdzenia teorii martyngałów. Ponadto system jest podstawą Lp, , a szereg Fouriera w układzie Haara dowolnej funkcji całkowalnej jest zbieżny niemal wszędzie.

2) System Rademachera

stanowi ważny przykład O. s. niezależnych funkcji i ma zastosowanie zarówno w teorii prawdopodobieństwa, jak i w teorii ortogonalnych i ogólnych szeregów funkcyjnych.

3) Układ Walsha-Paleya wyznacza się za pomocą funkcji Rademachera:

gdzie są liczby ti q k wyznaczane są z binarnego rozwinięcia liczby n:

4) Układ Franklina otrzymuje się poprzez ortogonalizację ciągu funkcji metodą Schmidta

Jest to przykład bazy ortogonalnej przestrzeni C funkcji ciągłych.

W teorii wielokrotnych szeregów ortogonalnych rozważa się układy funkcji postaci

gdzie znajduje się układ ortonormalny L 2[a, b]. Takie układy są ortonormalne na m-wymiarowym sześcianie J m =[a, b]X . . .X[ a, b] i są kompletne, jeśli system (j N(X))

Oświetlony.:[l] Kaczmarz S., Shteingauz G., Teoria szeregów ortogonalnych, przeł. z języka niemieckiego, M., 1958; Wyniki nauki. Analiza matematyczna, 1970, M., 1971, s. 25. 109-46; jest. 147-202; Dub J., Procesy probabilistyczne, przeł. z języka angielskiego, M., 1956; Loeve M., Teoria prawdopodobieństwa, przeł. z języka angielskiego, M., 1962; Zygmund A., Szereg trygonometryczny, przeł. z języka angielskiego, t. 1-2, M., 1965. AA Talalyan.

- skończony lub przeliczalny układ funkcji należących do przestrzeni Hilberta L2 i spełniający warunki funkcji gnaz. ważenie O. s. f.,* oznacza złożoną koniugację...
Encyklopedia fizyczna
- grupa wszystkich przekształceń liniowych n-wymiarowej przestrzeni wektorowej V nad ciałem k, zachowująca stałą niezdegenerowaną postać kwadratową Q na V)=Q dla dowolnego)...
Encyklopedia matematyczna
- macierz nad pierścieniem przemiennym R z jednostką 1, dla której macierz transponowana pokrywa się z odwrotnością. Wyznacznik O. m. jest równy +1...
Encyklopedia matematyczna
- sieć, w której styczne w pewnym punkcie do linii różnych rodzin są ortogonalne. Przykłady układów operacyjnych: sieć asymptotyczna na minimalnej powierzchni, sieć o krzywiźnie liniowej. AV Iwanow...
Encyklopedia matematyczna
- tablica ortogonalna, OA - macierz o rozmiarze kx N, której elementami są liczby 1, 2, .....
Encyklopedia matematyczna
- patrz Trajektoria izogonalna...
Encyklopedia matematyczna
- angielski: Układ „generator - silnik” Regulowany napęd elektryczny, którego urządzeniem przetworniczym jest zespół przekształtnikowy maszyny elektrycznej Źródło: Terminy i definicje stosowane w elektroenergetyce...
Słownik konstrukcyjny
- patrz Projekcja...
Wielki encyklopedyczny słownik politechniczny
- tryb ustalania wyników wyborów, w którym mandaty rozdzielane są pomiędzy partie, które zgłosiły swoich kandydatów do organu przedstawicielskiego, zgodnie z liczbą uzyskanych przez nie głosów...
Słownik terminów prawniczych
- rodzaj proporcjonalnego systemu wyborczego. Wyniki końcowe przypominają system proporcjonalny z panoramowaniem i głosowaniem preferencyjnym…
Słownik terminów prawniczych
- narządy organizmu ludzkiego biorące udział w procesie rozrodu...
Terminy medyczne
- seria czterech typów genów kodujących białka polimorficzne występujące na powierzchni większości komórek jądrzastych...
Terminy medyczne
- porządek n Matryca...
- szczególny przypadek rzutowania równoległego, gdy oś lub płaszczyzna rzutów jest prostopadła do kierunku rzutu...
Wielka encyklopedia radziecka
- układ funkcji (), n = 1, 2,..., ortogonalny o wadze ρ na odcinku, tj. taki, jak np. Układ trygonometryczny 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. F. z wagą 1 na segmencie...
Wielka encyklopedia radziecka
- ORTOGONALNY UKŁAD FUNKCJI - układ funkcji n?, n=1, 2,.....
Duży słownik encyklopedyczny

„UKŁAD ORTOGONALNY” w książkach

Paragraf XXIV Stary system wojny w okopach i nowoczesny system marszów

Z książki Strategia i taktyka w sztuce wojny autor Zhomini Genrikh Veniaminovich

Paragraf XXIV Stary system wojny pozycyjnej i nowoczesny system marszów Przez system pozycji rozumie się starą metodę prowadzenia metodycznej wojny, w której armie śpią w namiotach, mają pod ręką zapasy i zajęte są wzajemną obserwacją; jedna armia

19. Pojęcie „systemu podatkowego Federacji Rosyjskiej”. Związek pomiędzy pojęciami „system podatkowy” i „system podatkowy”

Z książki Prawo podatkowe autor Mikidze S.G

19. Pojęcie „systemu podatkowego Federacji Rosyjskiej”. Związek między pojęciami „system podatkowy” i „system podatkowy” System podatkowy to zbiór podatków federalnych, podatków regionalnych i lokalnych ustanowionych w Federacji Rosyjskiej. Jego konstrukcję zawarto w art. 13–15 Ordynacja podatkowa Federacji Rosyjskiej Zgodnie z

Z książki Jak to naprawdę się stało. Rekonstrukcja prawdziwej historii autor Nosowski Gleb Władimirowicz

23. Układ geocentryczny Ptolemeusza i układ heliocentryczny Tycho Brahe (i Kopernika) Układ świata według Tycho Brahe przedstawiono na ryc. 90. W centrum świata znajduje się Ziemia, wokół której kręci się Słońce. Jednak wszystkie inne planety krążą już wokół Słońca. Dokładnie

23. System geocentryczny Ptolemeusza i system heliocentryczny Tycho Brahe (i Kopernika)

Z książki autora

Macierz ortogonalna

TSB

Rzut ortograficzny

Z książki Wielka radziecka encyklopedia (OR) autora TSB

Układ funkcji ortogonalnych

Z książki Wielka radziecka encyklopedia (OR) autora TSB

49. System sądownictwa i system organów ścigania według „Podstaw ustawodawstwa ZSRR i republik związkowych” 1958

Z książki Historia państwa i prawa Rosji autor Paszkiewicz Dmitrij

49. System sądownictwa i ustrój organów ścigania według „Podstaw ustawodawstwa ZSRR i republik związkowych” z 1958 r. Podstawy ustawodawstwa dotyczącego wymiaru sprawiedliwości ustaliły zasady konstrukcji sądownictwa ZSRR, zasady kolegialnego rozpatrywania

System prawa obiektywnego (pozytywnego) a system ustawodawstwa: relacja pojęć

Z książki Orzecznictwo autor Mardaliev R. T.

System prawa obiektywnego (pozytywnego) a system prawodawstwa: związek pojęć System prawa obiektywnego (pozytywnego) to wewnętrzna struktura prawa, dzieląca je na gałęzie, podsektory i instytucje zgodnie z przedmiotem i metodą prawnego

29. Obowiązkowy system zarządzania i system samorządu lokalnego w okresie monarchii stanowo-przedstawicielskiej

autor

29. System zarządzania zamówieniami i system samorządu lokalnego w okresie monarchii przedstawicielskiej Zakony są organami scentralizowanego systemu zarządzania, który początkowo rozwinął się z wydanych indywidualnych i tymczasowych zarządzeń rządowych

86. System sądownictwa i system organów ścigania według „Podstaw ustawodawstwa ZSRR i republik związkowych” 1958

Z książki Ściągawka z historii państwa i prawa Rosji autor Dudkina Ludmiła Władimirowna

86. System sądownictwa i system organów ścigania zgodnie z „Podstawami ustawodawstwa ZSRR i republik związkowych” 1958 Już od 1948 r. ustawodawstwo procesowe ZSRR i republik uległo znaczącym zmianom: 1) sądy ludowe zostali wybrani; 2) sądy stały się liczniejsze

31. Francuski system rządów, prawo wyborcze i system wyborczy

Z książki Prawo konstytucyjne obcych krajów autor Imaszewa E. G

31. Francuski system rządów, prawo wyborcze i system wyborczy We Francji panuje mieszany (lub półprezydencki) rząd republikański. System rządów we Francji zbudowany jest na zasadzie podziału władzy.Nowoczesna Francja

44. Francuski system rządów, prawo wyborcze i system wyborczy

Z książki Prawo konstytucyjne obcych krajów. Kołyska autor Biełousow Michaił Siergiejewicz

44. System organów rządowych Francji, prawo wyborcze i system wyborczy Francja jest republiką mieszaną (półprezydencką), której ustrój organów rządowych opiera się na zasadzie podziału władzy.Francja jest dziś republiką o silnym

Rozdział IV. System dopasowania podwójnej głowicy. System „owad”. Minisystem

Z książki Su Jok dla każdego przez Woo Park Jae

Rozdział IV. System dopasowania podwójnej głowicy. System „owad”. Minisystem Podwójny system korespondencji z głową Na palcach rąk i nóg istnieją dwa systemy korespondencji z głową: system „typu ludzkiego” i system „typu zwierzęcego”. System „typu ludzkiego”. Granica

Pierwszy ośrodek emocjonalny – układ kostny, stawy, krążenie krwi, układ odpornościowy, skóra

Z książki Wszystko będzie dobrze! przez Hay Louise

Pierwszy ośrodek emocjonalny - układ kostny, stawy, krążenie krwi, układ odpornościowy, skóra.Zdrowy stan narządów związanych z pierwszym ośrodkiem emocjonalnym zależy od poczucia bezpieczeństwa w tym świecie. Jeśli jesteś pozbawiony wsparcia rodziny i przyjaciół to Ty

Konstrukcja PLM to LSI, wykonany w postaci układu szyn ortogonalnych, w węzłach których umieszczone są podstawowe elementy półprzewodnikowe – tranzystory lub diody. Przygotowanie PLM do wymaganej transformacji logicznej (programowanie PLM) polega na odpowiedniej organizacji połączeń pomiędzy podstawowymi elementami logicznymi. Programowanie PLM odbywa się albo w trakcie jego produkcji, albo przez użytkownika za pomocą urządzenia programującego. Dzięki takim właściwościom PLM jak prostota organizacji strukturalnej i duża szybkość przekształceń logicznych, a także stosunkowo niski koszt, determinowany możliwościami produkcyjnymi i produkcją masową, PLM znajdują szerokie zastosowanie jako baza elementowa w projektowaniu systemów komputerowych i systemów automatyzacji produkcji .

Nawet na tym poziomie nie ma dobrych „systemów mechanicznych”, które można zastosować. Moim zdaniem nigdy nie było udanego układu „mechanicznego”, który można by opisać modelem liniowym. Nie ma go teraz i prawdopodobnie nigdy nie będzie, nawet przy wykorzystaniu sztucznej inteligencji, procesorów analogowych, algorytmów genetycznych, regresji ortogonalnych i sieci neuronowych.

Wyjaśnijmy znaczenie normy - G. W przestrzeni (n+1)-wymiarowej wprowadza się ukośny układ współrzędnych, którego jedną osią jest prosta Xe, a drugą osią jest n-wymiarowa hiperpłaszczyzna G , ortogonalny do g. Dowolny wektor x można przedstawić w postaci

Regresja paraboliczna i układ ortogonalny

Dla określoności ograniczmy się do przypadku m = 2 (przejście do przypadku ogólnego m > 2 odbywa się w sposób oczywisty i bez trudności) i przedstawimy funkcję regresji w układzie funkcji bazowych jeśli > 0 (n ), (x), ip2 to), które są ortogonalne (na całości obserwowanych

Wzajemna ortogonalność wielomianów (7- (JK) (w układzie obserwacji xlt k..., xn) oznacza, że

Przy takim planowaniu, zwanym ortogonalnym, macierz X X stanie się diagonalna, tj. układ równań normalnych dzieli się na k+l niezależnych równań

Układ punktów spełniający warunek ortogonalności (plan I rzędu)

Jest oczywiste, że tensor deformacji w ruchu sztywnym zanika. Można wykazać, że jest też odwrotnie: jeśli we wszystkich punktach ośrodka tensor odkształcenia jest równy zeru, to prawo ruchu w pewnym prostokątnym układzie współrzędnych obserwatora ma postać (3.31) z macierzą ortogonalną a A. Zatem ruch sztywny można zdefiniować jako ruch ośrodka ciągłego, w którym odległość między dowolnymi dwoma punktami ośrodka nie zmienia się podczas ruchu.

Mówi się, że dwa wektory są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Układ wektorów nazywamy ortogonalnym, jeśli wektory tego układu są ortogonalne parami.

O Przykład. Układ wektorów = (, O,..., 0), e% = = (O, 1,..., 0), . .., e = (0, 0,..., 1) jest ortogonalne.

Operator Fredholma z jądrem k (to - TI, 4 - 12) ma kompletny układ ortogonalny wektorów własnych w przestrzeni Hilberta (zgodnie z twierdzeniem Hilberta). Oznacza to, że φ(t) stanowi pełną bazę w Lz(to, T). Dlatego jestem ze mną.

Ortogonalny układ n-zero wektorów jest liniowo niezależny.

Podany sposób konstruowania układu ortogonalnego wektorów t/i, yb,. ..> ym+t dla danej liniowo niezależnej

W przypadku biotechnicznego systemu wierceń odwiertów, w którym ilość pracy fizycznej pozostaje znaczna, szczególnie interesujące są badania obszarów aktywności biomechanicznej i motorycznej. Skład i strukturę ruchów roboczych, ilość, obciążenia dynamiczne i statyczne oraz siły rozwinięte badaliśmy na wiertnicach Uralmash-ZD przy użyciu filmowania stereoskopowego (z dwiema synchronicznie działającymi kamerami przy użyciu specjalnej techniki z częstotliwością 24 klatek na 1 s) oraz metoda ganiograficzna z wykorzystaniem trójkanałowego oscyloskopu medycznego. Sztywne unieruchomienie osi optycznych, równoległych do siebie i prostopadłych do linii bazowej (obiektu filmowania), umożliwiło ilościowe badanie (na podstawie rzutów perspektywiczno-ortogonalnych na klatki filmu, jak pokazano na ryc. 48) póz roboczych, trajektorie ruchu środków ciężkości pracowników podczas wykonywania poszczególnych operacji, technik, działań i określania wysiłków, kosztów energii itp.

Obiecującym podejściem do identyfikacji niezależnych alternatyw musi być identyfikacja niezależnych wskaźników czynników syntetycznych. Pierwotny system wskaźników czynnikowych Xi zostaje przekształcony w system nowych syntetycznych niezależnych wskaźników czynnikowych FJ, które są ortogonalnymi składowymi układu wskaźników Xg. Transformację przeprowadza się wykorzystując metody analizy składowej 1. Matematycznej

Jednym z komponentów ADAD jest moduł do trójwymiarowego projektowania złożonych systemów rurociągów. Graficzna baza danych modułu zawiera elementy objętościowe rurociągów (przyłącza, krany, kołnierze, rury). Element wybrany z biblioteki jest automatycznie dopasowywany do charakterystyki układu rurociągów projektowanego modelu. Moduł przetwarza rysunki i tworzy obrazy dwu- i trójwymiarowe, w tym konstruuje modele izometryczne i rzuty ortogonalne obiektów. Istnieje możliwość wyboru części do rurociągów, rodzajów powłok i rodzajów izolacji według zadanej specyfikacji.

Z relacji (2.49) wynika, jak należy skonstruować rozwiązanie równań (2.47). Najpierw konstruuje się rozkład polarny tensora i wyznacza tensory p"b. Ponieważ tensory a"b i pI są równe, macierz s ma postać (2.44), (2.45) w głównym układzie współrzędnych tensor str. Naprawiamy macierz Su. Następnie aad = lp labsd. Według aad au oblicza się z równania aad = = biljд x ad. „Część ortogonalną” zniekształcenia można znaleźć na podstawie (2.49) id = nib sd.

Pozostałe gałęzie nie spełniają warunku (2,5 1). Udowodnijmy to stwierdzenie. Macierz x = A 5, f = X Mfs jest ortogonalna. Oznaczmy przez X j macierz odpowiadającą pierwszej macierzy s” (2.44), a przez X j macierz odpowiadającą dowolnemu innemu wyborowi macierzy sa (2.44). Suma „a + Aza według konstrukcji s” jest równa albo podwójna wartość jednej z przekątnych