To, co nazywa się transformacją tożsamości wyrażenia. Konwersja wyrażeń
Akcja arytmetyczna, która jest wykonywana jako ostatnia podczas obliczania wartości wyrażenia, jest czynnością „główną”.
To znaczy, jeśli podstawisz dowolne (dowolne) liczby zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią czynnością jest mnożenie, to mamy iloczyn (wyrażenie jest faktoryzowane).
Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (i dlatego nie można go anulować).
Aby samodzielnie naprawić rozwiązanie, weź kilka przykładów:
Przykłady:
Rozwiązania:
1. Mam nadzieję, że nie spieszył się z cięciem i? Nadal nie wystarczyło „wyciąć” jednostek w ten sposób:
Pierwszym krokiem jest faktoryzacja:
4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków to bardzo znana operacja: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki.
Zapamiętajmy:
Odpowiedzi:
1. Mianowniki i są wzajemnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych dzielników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:
2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:
3. Tutaj przede wszystkim zamieniamy frakcje mieszane w niepoprawne, a następnie - zgodnie ze zwykłym schematem:
To zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, na przykład:
Zacznijmy od prostych:
a) Mianowniki nie zawierają liter
Tutaj wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdź wspólny mianownik, pomnóż każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodaj / odejmij liczniki:
teraz w liczniku możesz przynieść podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć na czynniki:
Spróbuj sam:
Odpowiedzi:
b) Mianowniki zawierają litery
Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:
· Przede wszystkim określamy wspólne czynniki;
· Następnie jednorazowo wypisz wszystkie wspólne czynniki;
· I pomnóż je przez wszystkie inne czynniki, które nie są wspólne.
Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze:
Podkreślmy wspólne czynniki:
Teraz wypiszmy raz wspólne czynniki i dodajmy do nich wszystkie nietypowe (niepodkreślone) czynniki:
To jest wspólny mianownik.
Wróćmy do liter. Mianowniki są pokazane dokładnie w ten sam sposób:
· Rozkładamy mianowniki na czynniki;
· Określamy wspólne (identyczne) czynniki;
· Jednorazowo wypisz wszystkie wspólne czynniki;
· Mnożymy je przez wszystkie inne czynniki, nie wspólne.
A więc w kolejności:
1) rozkładamy mianowniki na czynniki:
2) określamy wspólne (identyczne) czynniki:
3) wypisujemy wszystkie wspólne czynniki jeden raz i mnożymy je przez wszystkie inne (nieakcentowane) czynniki:
Więc wspólny mianownik jest tutaj. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi przez:
Nawiasem mówiąc, jest jedna sztuczka:
Na przykład: .
Widzimy te same czynniki w mianownikach, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:
w stopniu
w stopniu
w stopniu
w stopniu.
Skomplikujmy zadanie:
Jak sprawić, by ułamki stały się tym samym mianownikiem?
Zapamiętajmy podstawową właściwość ułamka:
Nigdzie nie jest powiedziane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!
Przekonaj się sam: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj na przykład liczbę do licznika i mianownika. Czego się nauczyłeś?
A więc kolejna niezachwiana zasada:
Doprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko mnożenia!
Ale przez co trzeba pomnożyć, aby otrzymać?
Tutaj dalej i pomnóż. I pomnóż przez:
Wyrażenia, których nie można podzielić na czynniki, będą nazywane „czynnikami elementarnymi”.
Na przykład to elementarny czynnik. - zbyt. Ale - nie: jest faktoryzowany.
Co myślisz o ekspresji? Czy to elementarne?
Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:
(już czytałeś o faktoryzacji w temacie „”).
Tak więc czynniki elementarne, na które rozszerzasz wyrażenie za pomocą liter, są analogiczne do czynników pierwszych, na które rozszerzasz liczby. I zajmiemy się nimi w ten sam sposób.
Widzimy, że w obu mianownikach jest czynnik. Dojdzie do wspólnego mianownika przy władzy (pamiętasz dlaczego?).
Współczynnik jest elementarny i nie jest dla nich wspólny, co oznacza, że pierwszy ułamek trzeba będzie po prostu pomnożyć przez niego:
Inny przykład:
Rozwiązanie:
Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz zastanowić się, jak je rozłożyć? Obaj reprezentują:
W porządku! Następnie:
Inny przykład:
Rozwiązanie:
Jak zwykle rozłóż na czynniki mianowniki. W pierwszym mianowniku po prostu umieszczamy go poza nawiasami; w drugim - różnica kwadratów:
Wydawałoby się, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, to są tak podobne ... A prawda:
Więc napiszemy:
Oznacza to, że wyszło tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Zwróć uwagę, będziesz musiał to robić często.
Teraz dochodzimy do wspólnego mianownika:
Rozumiem? Sprawdźmy to teraz.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Odpowiedzi:
Tutaj musimy pamiętać jeszcze o jednym - różnicy między kostkami:
Zauważ, że mianownik drugiego ułamka nie jest formułą „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy wyglądałby tak:.
A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi wyraz jest w nim iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich iloczynem podwojonym. Niepełny kwadrat sumy jest jednym z czynników rozkładu różnicy sześcianów:
Co jeśli są już trzy ułamki?
To samo! Przede wszystkim postaramy się, aby maksymalna liczba czynników w mianownikach była taka sama:
Zwróć uwagę: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmieniamy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem jest ponownie odwracany. W rezultacie to (znak przed ułamkiem) się nie zmienił.
We wspólnym mianowniku wypisz pierwszy mianownik w całości, a następnie dodaj do niego wszystkie czynniki, które jeszcze nie zostały zapisane, od drugiego, a następnie od trzeciego (i tak dalej, jeśli jest więcej ułamków). Oznacza to, że wygląda to tak:
Hmm… Z ułamkami jasne, co robić. Ale co z dwójką?
To proste: możesz dodawać ułamki, prawda? Oznacza to, że musimy sprawić, by dwójka stała się ułamkiem! Pamiętaj: ułamek to operacja dzielenia (licznik jest dzielony przez mianownik, na wypadek, gdybyś nagle zapomniał). I nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba się nie zmieni, ale zamieni się w ułamek:
Dokładnie to, czego potrzeba!
5. Mnożenie i dzielenie ułamków.
Cóż, najtrudniejsza część już się skończyła. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:
Procedura
Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, licząc znaczenie takiego wyrażenia:
Policzyłeś to?
Powinno działać.
Więc pozwól, że ci przypomnę.
Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.
Drugi to mnożenie i dzielenie. Jeśli jest kilka mnożeń i dzieleń jednocześnie, możesz je wykonać w dowolnej kolejności.
I na koniec robimy dodawanie i odejmowanie. Znowu w dowolnej kolejności.
Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane niewłaściwie!
Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie mnożymy lub dzielimy je.
Co się stanie, jeśli w nawiasach będzie więcej nawiasów? Pomyślmy o tym: w nawiasach jest napisane jakieś wyrażenie. A przy ocenie wyrażenia, co należy najpierw zrobić? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, zorientowaliśmy się: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.
Tak więc procedura dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca akcja jest podświetlona na czerwono, to znaczy akcja, którą wykonuję teraz):
Dobra, to wszystko jest proste.
Ale to nie to samo, co wyrażenie z literami?
Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych trzeba wykonywać operacje algebraiczne, czyli czynności opisane w poprzednim podrozdziale: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą jest efekt faktoryzacji wielomianów (często używamy go podczas pracy z ułamkami). Najczęściej do faktoringu należy użyć i lub po prostu umieścić dzielnik wspólny poza nawiasami.
Zwykle naszym celem jest przedstawienie wypowiedzi w formie dzieła lub konkretu.
Na przykład:
Uprośćmy wyrażenie.
1) Pierwszym jest uproszczenie wyrażenia w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków, a naszym celem jest przedstawienie jej jako produktu lub ilorazu. Tak więc łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem i dodajemy:
Nie da się już uprościć tego wyrażenia, wszystkie czynniki są tu elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).
2) Otrzymujemy:
Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostsze.
3) Teraz możesz skrócić:
OK, już po wszystkim. Nic skomplikowanego, prawda?
Inny przykład:
Uprość wyrażenie.
Najpierw spróbuj sam go rozwiązać, a dopiero potem zobacz rozwiązanie.
Rozwiązanie:
Przede wszystkim zdefiniujmy kolejność działań.
Najpierw dodajemy ułamki w nawiasach, otrzymujemy jeden zamiast dwóch ułamków.
Następnie podzielimy ułamki. Cóż, dodaj wynik z ostatnim ułamkiem.
Schematycznie ponumeruję kroki:
Teraz pokażę cały proces, kolorując bieżącą akcję na czerwono:
1. Jeśli są podobne, należy je niezwłocznie przywieźć. W każdej chwili mamy podobne, warto je od razu zabrać.
2. To samo dotyczy redukcji ułamków: jak tylko pojawi się możliwość redukcji, należy ją wykorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, skrócenie należy zostawić na później.
Oto kilka zadań do samodzielnego rozwiązania:
I obiecał na samym początku:
Odpowiedzi:
Rozwiązania (zwięzłe):
Jeśli poradziłeś sobie z przynajmniej pierwszymi trzema przykładami, to opanowałeś temat.
Teraz czekamy na naukę!
TRANSFORMACJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY
Podstawowe operacje upraszczające:
- Przynosząc podobne: aby dodać (przynieść) takie terminy, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
- Faktoryzacja: wyliczanie wspólnego czynnika, aplikacji itp.
- Redukcja frakcji: licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, co nie zmienia wartości ułamka.
1) licznik i mianownik czynnik
2) jeśli w liczniku i mianowniku występują wspólne czynniki, można je przekreślić.WAŻNE: można zmniejszyć tylko mnożniki!
- Dodawanie i odejmowanie ułamków:
; - Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
;
Identyczne przekształcenia
1. Pojęcie tożsamości. Główne rodzaje identycznych przekształceń i etapy ich badania.
11 nauka różnych przekształceń wyrażeń i formuł zajmuje ubogą część czasu nauki na szkolnym kursie matematyki. Najprostsza edukacja ^ "", oparta na właściwościach operacji arytmetycznych, jest już w szkole podstawowej. Ale główny ładunek kształtowania umiejętności i zdolności do wykonywania transformacji ponosi przebieg szkolnej algebry 1> wtedy jest połączony:
przy gwałtownym wzroście liczby dokonywanych przekształceń, ich zmienności;
z komplikacją działań w celu ich uzasadnienia i wyjaśnienia warunków stosowania;
i) z wyodrębnieniem i badaniem uogólnionych pojęć tożsamości, identycznej transformacji, ekwiwalentnej transformacji, logicznej konsekwencji.
Linia identycznych przekształceń rozwijana jest na zajęciach z algebry w szkole podstawowej:
, 4 b klas - otwieranie nawiasów, przynoszenie podobnych terminów, wyjęcie- M (czynnik Chsho poza nawiasami;
7 Klasa - identyczne przekształcenia wyrażeń całkowitych i ułamkowych;
klasa H - identyczne przekształcenia wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe;
( > klasa - identyczne przekształcenia wyrażeń trygonometrycznych i mmrizhsny, zawierające stopień z wykładnikiem wymiernym.
Linia identycznych przekształceń jest jedną z ważnych linii ideologicznych kursu algebry. Dlatego nauczanie matematyki w klasach 5-6 jest zbudowane w taki sposób, aby uczniowie już w tych klasach nabywali umiejętności wykonywania najprostszych identycznych przekształceń (bez używania terminu „przekształcenia identyczne”). Umiejętności te kształtują się podczas wykonywania ćwiczenia polegającego na wprowadzaniu podobnych terminów, otwieraniu nawiasów i nawiasów, usuwaniu czynnika z nawiasów itp. Rozważane są również najprostsze konwersje wyrażeń liczbowych i dosłownych. Na tym poziomie uczenia się opanowuje się transformacje, które są wykonywane bezpośrednio na podstawie praw i właściwości operacji arytmetycznych.
Główne typy zadań w klasach 5-6, w rozwiązaniu których aktywnie wykorzystywane są właściwości i prawa operacji arytmetycznych i dzięki którym powstają umiejętności identycznych przekształceń, obejmują:
uzasadnienie algorytmów wykonywania działań na liczbach badanych zbiorów liczbowych;
obliczanie wartości wyrażenia liczbowego w najbardziej racjonalny sposób;
porównanie wartości wyrażeń numerycznych bez wykonywania określonych czynności;
uproszczenie wyrażeń dosłownych;
dowód równości wartości wyrażeń dwuliterowych itp.
Przedstaw liczbę 153 jako sumę terminów cyfrowych; jako różnica dwóch liczb, jako iloczyn dwóch liczb.
Wyobraź sobie liczbę 27 jako iloczyn trzech równych czynników.
Te ćwiczenia z reprezentacji tej samej liczby w różnych formach zapisu przyczyniają się do przyswojenia pojęcia identycznych przekształceń. Początkowo te przedstawienia mogą być dowolne, później - celowe. Np. reprezentacja w postaci sumy cyfr terminów służy do wyjaśnienia zasad dodawania liczb naturalnych „w kolumnie”, reprezentacja w postaci sumy lub różnicy „wygodnych” liczb – do wykonywania szybkich obliczeń różnych produkty, reprezentacja w postaci iloczynu czynników - w celu uproszczenia różnych wyrażeń ułamkowych.
Znajdź znaczenie wyrażenia 928 36 + 72 36.
Racjonalny sposób obliczenia wartości tego wyrażenia opiera się na wykorzystaniu rozkładu mnożenia względem dodawania: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
W szkolnym toku matematyki można wyróżnić kolejne etapy opanowywania zastosowań przekształceń wyrażeń i wzorów alfanumerycznych.
scena. Początki algebry. Na tym etapie stosuje się niepodzielny system przekształceń; jest reprezentowany przez zasady wykonywania działań na jednej lub obu częściach formuły.
Przykład. Rozwiąż równania:
a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; v) 6 (2 - 4 lata) + 5 lat = 3 (1 - Zu).
Ogólną ideą rozwiązania jest uproszczenie tych formuł za pomocą kilku zasad. W pierwszym zadaniu uproszczenie osiąga się poprzez zastosowanie tożsamości: 5x- Bx= (5 - 3) x. Transformacja tożsamości oparta na tej tożsamości przekształca dane równanie w ekwiwalentną urshomie 2x - 2.
Drugie równanie wymaga dla swojego rozwiązania nie tylko identycznej, ale prawdziwej transformacji; w tym charakterze, pra-||n jest tutaj używany przez przeniesienie warunków równania z jednej części równania do drugiej ze zmienionym szykiem. Przy rozwiązywaniu już tak prostego zadania jak b) używane są oba mon w przekształceniach - zarówno identyczne, jak i równoważne. Przepis ten dotyczy również bardziej uciążliwych zadań, takich jak trzeci.
Kret pierwszego etapu to nauczenie szybkiego rozwiązywania najprostszych równań, upraszczania formuł definiujących funkcje, racjonalnego wykonywania obliczeń na podstawie właściwości czynności.
cycek. Kształtowanie umiejętności stosowania określonych typów przekształceńII przechylenie Koncepcje tożsamości i identycznej transformacji są wyraźnie wprowadzone w kursie shn „sbry 7 klasa. Na przykład w podręczniku Yu. N. Makarycheva” Algebra 7 „nnp” shle wprowadza się pojęcie identycznie równych wyrażeń: „Dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, posypują identycznie równy ”, następnie pojęcie tożsamości: „Równość sparowana dla dowolnych wartości zmiennych nazywa się tożsamość ".
11 podaje przykłady:
W podręczniku A.G. „Algebra 7” Mordkovicha natychmiast daje wyrafinowaną koncepcję tożsamości: "Tożsamość czy równość jest prawdziwa? za wszelkie dopuszczalne wartości jego zmiennych składowych ”.
Wprowadzając pojęcie przekształceń identycznych, należy przede wszystkim odrzucić celowość badania przekształceń identycznych. Aby to zrobić, możesz rozważyć różne ćwiczenia, aby znaleźć znaczenie wyrażeń.
liiiipiiMep, znajdź wartość wyrażenia 37,1x + 37, ly with x= 0,98, y = 0,02. Korzystając z rozdzielczej własności mnożenia, wyrażenie 37,1l + 37,1 w można wyrazić wyrażeniem 37,1 (x + y), identycznie mu równy. Jeszcze bardziej imponujące rozwiązanie robaka 1 do następującego ćwiczenia: znajdź znaczenie wyrażenia
() - (a-6) _ n p i. a) d = h>^ = 2; b) a = 121, B - 38; c) a = 2,52, B = 1 -.
od 9
11po dokonanych przekształceniach okazuje się, że zbiór wartości tego odbicia składa się z jednej liczby 4.
W podręczniku „Algebra 7” Yu N. Makarycheva wprowadzenie pojęcia identycznej transformacji motywowane jest rozważeniem przykładu: „Aby znaleźć znaczenie wyrażenia xy - tak przy x = 2,3; y = 0,8; z = 0,2, musisz wykonać 3 akcje: tak - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11 należy zwrócić uwagę na jeden typ przekształceń charakterystyczny dla przebiegu algebry i początków analizy. Są to przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia, oraz przekształcenia oparte na zasadach różnicowania i integracji. Główna różnica między tymi „analitycznymi” przekształceniami a „algebraicznymi” przekształceniami polega na charakterze zbioru, który przechodzi przez zmienne w tożsamościach. W tożsamościach algebraicznych zmienne przebiegają przez obszary numeryczne, aw zestawach analitycznych te zestawy ■ kręcą się wokół pewnych wiele funkcji. Na przykład reguła sumy różniczkowej: (Z "+ g)" tutaj / i g są zmiennymi przechodzącymi przez zbiór
ale różniczkowalnych funkcji o wspólnej dziedzinie definicji. Zewnętrznie te przekształcenia są podobne do przekształceń typu algebraicznego, dlatego czasami mówią „algebra granic”, „algebra różniczkowania”.
Tożsamości badane w szkolnym toku algebry i algebraiczny materiał z kursu algebry oraz zasady analizy można podzielić na: dwie klasy.
Pierwsza składa się ze skróconych tożsamości mnożenia, uczciwe w
śr.
pierścień przemienny iiioGom, a tożsamości są = -, * 0, który obowiązuje w każdym
Pole Oom.
Drugą klasę tworzą tożsamości łączące liczby arytmetyczne i podstawowe funkcje elementarne oraz kompozycje elementarnychHhixFunkcje. Większość tożsamości tej klasy ma również wspólną podstawę matematyczną, która polega na tym, że funkcje wykładnicze, wykładnicze i logarytmiczne są izomorfizmami różnych grup liczbowych. Na przykład obowiązuje następujące stwierdzenie: istnieje unikalne ciągłe odwzorowanie izomorficzne / addytywnej grupy liczb rzeczywistych na multiplikatywną grupę dodatnich liczb rzeczywistych, w której jednostka jest odwzorowana na daną liczbę a> 0, a f 1; to odwzorowanie jest podane przez funkcję przyrostową o podstawie a:/(X)= a. Podobne stwierdzenia dotyczą funkcji potęgowych i logarytmicznych.
Metodologia badania tożsamości w obu klasach ma wiele cech wspólnych. Ogólnie rzecz biorąc, identyczne przekształcenia badane na szkolnym kursie matematyki obejmują:
przekształcenia wyrażeń zawierających rodniki i potęgi z wykładnikami ułamkowymi;
przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia graniczne oraz przekształcenia oparte na regułach różniczkowania i całkowania.
Ten wynik można uzyskać wykonując tylko dwa kroki - jeśli użyjesz wyrażenia x (y-z), identycznie równe wyrażeniu xy-xz: x (y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Uprościliśmy obliczenia, zastępując wyrażenie xy-xz identycznie równe wyrażenie x (y - z).
Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym nazywa się identyczna transformacja lub po prostu przekształcając wyrażenie „.
Opanowanie różnych typów przekształceń na tym etapie rozpoczyna się od wprowadzenia skróconych wzorów mnożenia. Następnie rozważamy przekształcenia związane z operacją podnoszenia do potęgi, z różnymi klasami funkcji elementarnych - wykładniczym, wykładniczym, logarytmicznym, trygonometrycznym. Każdy z tych typów przekształceń przechodzi etap badań, w którym uwaga skupia się na przyswajaniu ich charakterystycznych cech.
W miarę nagromadzenia materiału staje się możliwe wyodrębnienie i na tej podstawie wprowadzenie pojęć identycznych i równoważnych przekształceń.
Należy zauważyć, że pojęcie przekształcenia identycznego podane jest w szkolnym kursie algebry nie w pełnej ogólności, a jedynie w zastosowaniu do wyrażeń. Transformacje dzielą się na dwie klasy: identyczne przekształcenia są transformacjami wyrażeń i odpowiednik - konwersja formuł. W przypadku, gdy zachodzi potrzeba uproszczenia jednej części formuły, w tej formule wyróżnione jest wyrażenie, które służy jako argument za zastosowanym identycznym przekształceniem. Na przykład równania 5x - Zx - 2 i 2x = 2 są uważane nie tylko za równorzędne, ale za takie same.
W podręcznikach do algebry Sh.A. Alimova i wsp., Pojęcie tożsamości nie jest wprost wprowadzane w klasach 7-8 i tylko w klasie 9 w temacie „Tożsamości trygonometryczne” przy rozwiązywaniu zadania 1: „Udowodnij, że dla afk, Do < eZ , równość 1 + ctg 2 a = - \ - jest prawdziwa, wprowadzono to pojęcie. Tutaj wyjaśnia się uczniom, że grzeszą a
wskazana równość „jest ważna dla wszystkich dopuszczalnych wartości a, tj. tak, aby jego lewa i prawa część miały sens. Takie równości nazywają się tożsamości, a problemy udowadniania takich równości nazywane są problemami udowadniania tożsamości”.
Etap III. Organizacja integralnego systemu przekształceń (synteza).
Głównym celem tego etapu jest stworzenie elastycznego i potężnego aparatu nadającego się do wykorzystania w rozwiązywaniu różnorodnych zadań edukacyjnych.
Rozmieszczenie drugiego etapu badania przekształceń następuje w całym toku algebry szkoły podstawowej. Przejście do trzeciego etapu odbywa się z ostatecznym powtórzeniem kursu w trakcie rozumienia znanego już materiału, opanowanego w częściach, dla poszczególnych typów przekształceń.
W toku algebry i początkach analizy integralny system przekształceń, w zasadzie już ukształtowany, ulega stopniowej poprawie. Dodawane są do niego także nowe typy przekształceń (np. związane z funkcjami trygonometrycznymi i logarytmicznymi), jednak tylko go wzbogacają, poszerzają jego możliwości, ale nie zmieniają jego struktury.
Metodologia badania tych nowych przekształceń praktycznie nie różni się od stosowanej na kursie algebry.
Należy zwrócić uwagę na jeden typ przekształceń, charakterystyczny dla algebry Kurena i początków analizy. Są to przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia graniczne, oraz przekształcenia oparte na zasadach różnicowania i integracji. Główna różnica między tymi przekształceniami „analitycznymi” a przekształceniami „algebraicznymi” polega na charakterze zestawu, przez który przechodzą zmienne w tożsamościach. W tożsamościach algebraicznych zmienne przebiegają przez obszary numeryczne, a analitycznie te zestawy błyszczą z pewnością wiele funkcji. Na przykład zasada różnicowania kwoty: ( F + g )" = F + g "; tutaj fuga - zmienne przechodzące przez wiele różniczkowalnych funkcji ze wspólną domeną definicji. Zewnętrznie te przekształcenia są podobne do przekształceń typu algebraicznego, dlatego czasami mówią „algebra granic”, „algebra różniczkowania”.
Tożsamości badane na szkolnym kursie algebry oraz materiał algebraiczny z kursu algebry i zasady analizy można podzielić na: dwie klasy.
Pierwsza składa się ze skróconych tożsamości mnożenia, uczciwe w
dowolny pierścień przemienny, a tożsamość - = -, a * 0, ważna w any
as z
Drugą klasę tworzą tożsamości łączące operacje arytmetyczne i podstawowe funkcje elementarne oraz kompozycje funkcji elementarnych. Większość tożsamości tej klasy ma również wspólną podstawę matematyczną, która polega na tym, że funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne są izomorfizmami różnych grup liczbowych. Na przykład obowiązuje następujące stwierdzenie: istnieje unikalne ciągłe odwzorowanie izomorficzne / addytywnej grupy liczb rzeczywistych na multiplikatywną grupę dodatnich liczb rzeczywistych, w którym jednostka jest odwzorowana na daną liczbę a> 0, a f jeden; to odwzorowanie jest podane przez funkcję wykładniczą o podstawie i: / (x) = *. Podobne stwierdzenia dotyczą funkcji potęgowych i logarytmicznych.
Metodologia badania tożsamości obu klas ma wiele cech wspólnych. Ogólnie rzecz biorąc, identyczne przekształcenia badane na szkolnym kursie matematyki obejmują:
przekształcenia wyrażeń algebraicznych;
przekształcanie wyrażeń zawierających rodniki i potęgi z wykładnikami ułamkowymi;
konwersja wyrażeń trygonometrycznych;
konwertowanie wyrażeń zawierających stopnie i logarytmy;
przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia graniczne oraz przekształcenia na podstawie reguł, różniczkowania i całkowania.
2. Cechy organizacji systemu zadań w badaniu identycznych przekształceń
Podstawową zasadą organizowania dowolnego systemu zadań jest ich prezentacja od prostych do złożonych biorąc pod uwagę potrzebę pokonywania przez uczniów możliwych trudności i tworzenia sytuacji problemowych. Ta podstawowa zasada wymaga konkretyzacji w odniesieniu do specyfiki tego materiału edukacyjnego. Oto przykład systemu ćwiczeń na ten temat: „Kwadrat sumy i
różnica dwóch liczb”.
I la ten podstawowy system ćwiczeń się kończy. Taki system powinien zapewniać przyswajanie materiału podstawowego.
Poniższe ćwiczenia (17-19) pozwalają uczniom skoncentrować się na typowych błędach i przyczynić się do rozwoju zainteresowań i ich twórczych 1 pomocy.
W każdym konkretnym przypadku ilość ćwiczeń w systemie może być mniejsza lub większa, ale kolejność ich wykonywania powinna być taka sama.
Aby opisać różne systemy zadań w metodologii matematyki, pojęcie cykl ćwiczeń. Cykl ćwiczeń charakteryzuje się tym, że kilka aspektów nauki i techniki układania materiału łączy się w sekwencję ćwiczeń. W odniesieniu do identycznych przekształceń pojęcie cyklu można podać w następujący sposób.
Cykl 11 ćwiczeń wiąże się z badaniem jednej tożsamości, wokół której grupują się inne tożsamości, które są z nią w naturalny sposób związane. W „zatrzymaniu cyklu wraz z wykonawczy obejmuje zadania wymagające rozpoznawanie< ii w ani zastosowania rozpatrywanej tożsamości. Badana tożsamość służy do wykonywania obliczeń na różnych obszarach numerycznych.
Zadania w każdym cyklu podzielone są na dwie grupy. DO pierwszy obejmuje zadania wykonywane na wstępnym zapoznaniu się z tożsamością. Odbywają się na kilku lekcjach, połączonych jednym tematem. Druga grupa Ćwiczenia łączą badaną tożsamość z różnymi zastosowaniami. Ćwiczenia w tej grupie są zwykle rozproszone na różne tematy.
Opisana struktura cyklu nawiązuje do etapu kształtowania umiejętności stosowania określonych typów przekształceń. Na ostatnim etapie - (synteza Tanya, cykle są modyfikowane. Po pierwsze, obie grupy shdapiy łączą się, tworząc Rozwinięty cykl , a z pierwszej grupy wyklucza się najprostsze pod względem sformułowania lub złożoności wykonania zapisu. Pozostałe rodzaje zadań stają się bardziej skomplikowane. Po drugie, następuje zlanie się cykli związanych z różnymi tożsamościami, dzięki czemu wzrasta rola działań w rozpoznawaniu stosowalności tej czy innej tożsamości.
11RNNS Podajmy konkretny przykład pętli.
Przykład. Cykl zadań dla tożsamości x -y 2 = (x-y) (x + y).
Wykonanie pierwszej grupy zadań tego cyklu przebiega następująco:
warunki. Uczniowie właśnie zapoznali się ze sformułowaniem tożsamości (a raczej z dwoma sformułowaniami: „Różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy i różnicy tych wyrażeń” oraz „Iloczyn suma i różnica dwóch wyrażeń jest równa różnicy kwadratów tych wyrażeń”), jej zapis jako formuła, dowód ... Następnie jest kilka przykładów, jak wykorzystać transformację opartą na tej tożsamości. Na koniec uczniowie zaczynają samodzielnie wykonywać ćwiczenia.
Pierwsza grupa zadań
Druga grupa zadań
(Zadania każdej grupy można zaprezentować uczniom za pomocą rzutnika multimedialnego)
Przeprowadźmy analizę metodologiczną tego systemu typów zadań.
Zadanie a0 ma na celu ustalenie struktury badanej tożsamości. Osiąga się to poprzez zastąpienie liter (x i y) w zapisie tożsamości w innych pismach. Zadania tego typu pozwalają wyjaśnić związek między ekspresją werbalną a symboliczną formą tożsamości.
Zadanie a 2) koncentruje się na ustaleniu związku między tą tożsamością a systemem liczbowym. Wyrażenie, które ma zostać przekonwertowane, nie jest tutaj czysto dosłowne, ale alfanumeryczne. Aby opisać wykonywane czynności, konieczne jest użycie pojęcia substytucje liczba liter w tożsamości. Rozwój umiejętności
zastosowanie operacji substytucji i pogłębienie jej rozumienia realizowane I um przy wykonywaniu zadań typu d 2).
Kolejny krok w opanowaniu tożsamości ilustruje zadanie a). W przypisaniu nominalnym wyrażenie zaproponowane do przekształcenia nie ma postaci zgrzyt n kwadratów; transformacja staje się możliwa tylko wtedy, gdy. h (chp1k zauważy, że liczbę 121 można przedstawić jako kwadrat liczby. Zatem zadanie to wykonuje się nie w jednym kroku, ale w dwóch: na pierwszymIII uznaje się możliwość sprowadzenia tego wyrażenia do MPD różnicy kwadratów, na drugim transformacja jest wykonywana przy użyciu tożsamości.
Na początku rozwoju tożsamości rejestrowany jest każdy krok:
I "I / s 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £) (11 + Do), później niektóre operacje rozpoznawania są wykonywane przez uczniów ustnie.
W przykładzie dd) wymagane jest ustalenie powiązań między tą tożsamością a innymi związanymi z działaniami z jednomianami; w q 3) identyczność dla różnicy kwadratów należy zastosować dwukrotnie; c) studenci będą musieli pokonać pewną barierę psychologiczną, wkraczając w obszar liczb nieracjonalnych.
Zadania typu b) mają na celu rozwijanie umiejętności wymiany produktu (, v - y) (x + y) przez różnicę x 2 - w 2 . Podobną rolę pełnią zadania typu c). W przykładach typu d) należy wybrać jeden z kierunków transformacji.
Generalnie zadania pierwszej grupy skupiają się na opanowaniu struktury tożsamości, operacji substytucji w najprostszych, najważniejszych przypadkach oraz wyobrażeniu o odwracalności dokonanych przez tożsamość przemian,
Główne cechy i cele, ujawnione przez nas przy rozważaniu pierwszego | ruiny zadań rowerowych, odnoszą się do każdego cyklu ćwiczeń, które tworzą bagnet używania tożsamości. W przypadku każdej nowo wprowadzonej tożsamości pierwsza grupa zadań w cyklu musi zachować opisane tutaj cechy; różnice mogą dotyczyć tylko liczby zadań.
1 Druga grupa zadań w cyklu, w przeciwieństwie do pierwszej, ma na celu jak najpełniejsze wykorzystanie i uwzględnienie specyfiki tej konkretnej tożsamości, t i pi. Zadania tej grupy zakładają już ukształtowane umiejętności posługiwania się tożsamością dla różnicy kwadratów (w najprostszych przypadkach); chi, zadaniem tej grupy jest pogłębienie rozumienia tożsamości poprzez rozważenie jej różnych zastosowań w różnych sytuacjach, w połączeniu z wykorzystaniem materiału związanego z innymi tematami kursu matematyki.
Rozważ rozwiązanie zadania l):
x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) = 5 (3-x) x = 3 lub \{\ 1-3) = -5. Równanie x (x + 3) = -5 nie ma prawdziwych pierwiastków, dlatego \ 3 jest jedynym pierwiastkiem równania.
Widzimy, że użycie tożsamości dla różnicy kwadratów jest częścią pn i I w rozwiązaniu przykładu, będącą wiodącą ideą przeprowadzenia przekształceń.
Cykle zadań związanych z tożsamościami dla funkcji elementarnych mają swoje własne cechy, które wynikają z tego, że na pierwszym miejscu... odpowiednie tożsamości są badane w związku z badaniem materiału funkcjonalnego oraz, / u> - "toik, pojawiają się później niż tożsamości z pierwszej grupy i są badane z
wykorzystanie już wykształconych umiejętności przeprowadzania identycznych przekształceń. Znaczna część użycia identycznych przekształceń związanych z funkcjami elementarnymi przypada na rozwiązywanie równań irracjonalnych i transcendentalnych. Cykle związane z asymilacją tożsamości obejmują tylko najprostsze równania, ale już tutaj wskazana jest praca nad opanowaniem techniki rozwiązywania takich równań: zredukowanie jej poprzez zastąpienie niewiadomej równaniem algebraicznym.
Kolejność kroków dla tego rozwiązania jest następująca:
a) znajdź funkcję<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
b) dokonać zamiany w= cp (x) i rozwiąż równanie F (y) = 0;
c) rozwiązać każde z równań <р(х) = gdzie (w j) jest zbiorem pierwiastków równania F (y) = 0.
Nową kwestią, którą należy wziąć pod uwagę przy badaniu tożsamości z funkcjami elementarnymi, jest uwzględnienie dziedziny definicji. Oto przykłady trzech zadań:
a) Wykreśl funkcję y = 4 log 2 x.
b) Rozwiąż równanie lg x + lg (x - 3) = 1.
c) Na jakim zestawie znajduje się wzór lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( x 2 - 25) jest tożsamością?
Typowym błędem, jaki popełniają uczniowie przy rozwiązywaniu zadania a) jest stosowanie równości a 1. warunek wykluczenia B> 0. W takim przypadku pożądany wykres okazuje się mieć postać paraboli zamiast prawidłowej odpowiedzi - prawej gałęzi paraboli. W zadaniu b) pokazano jedno ze źródeł uzyskiwania złożonych układów równań i nierówności, gdy konieczne jest uwzględnienie dziedzin definicji funkcji, a w zadaniu c) - ćwiczenie, które może służyć jako ćwiczenie przygotowawcze.
Idea, która łączy te zadania - konieczność zbadania obszaru definicji funkcji, może wyjść na jaw dopiero przy porównaniu takich zadań, różniących się od siebie formą zewnętrzną. Znaczenie tego pomysłu dla matematyki jest bardzo duże. Może służyć jako podstawa do kilku cykli ćwiczeń – dla każdej z klas funkcji elementarnych.
Podsumowując, zauważamy, że badanie identycznych przemian w szkole ma dużą wartość edukacyjna. Umiejętność wykonywania pewnych obliczeń, wykonywania obliczeń, przez długi czas z nieustanną dbałością o podążanie za jakimś przedmiotem, jest niezbędna dla osób o różnych zawodach, niezależnie od tego, czy pracują w dziedzinie pracy umysłowej czy fizycznej. Specyfika sekcji „Identyczne przekształcenia wyrażeń” jest taka, że otwiera przed studentami szerokie możliwości rozwijania tych ważnych zawodowo umiejętności.
Liczby i wyrażenia, z których składa się oryginalne wyrażenie, można zastąpić identycznie równymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia identycznie z nim równego.
Na przykład w wyrażeniu 3 + x liczbę 3 można zastąpić sumą 1 + 2 i otrzymamy wyrażenie (1 + 2) + x, które jest identyczne z wyrażeniem oryginalnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1 + a 5 stopień a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a · a 4. To da nam wyrażenie 1 + a · a 4.
Ta przemiana jest niewątpliwie sztuczna i zwykle przygotowuje do jakiejś dalszej przemiany. Na przykład, w sumie 4 · x 3 + 2 · x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, wyraz 4 · x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 · x 2 · 2 · x. Po tej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny dzielnik 2 x 2, więc możemy wykonać następującą transformację - nawiasy. Następnie dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x + 1).
Dodaj i odejmij tę samą liczbę
Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest jednoczesne dodawanie i odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta konwersja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.
Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 + 2 x. Jeśli dodamy do tego jeden i odejmiemy jeden, to pozwoli nam to w przyszłości wykonać jeszcze jedną identyczną transformację - wybierz kwadrat dwumianu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.
Bibliografia.
- Algebra: badanie. za 7 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M.: Edukacja, 2008 .-- 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: badanie. na 8 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M.: Edukacja, 2008 .-- 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich. - 17. ed., Dodaj. - M .: Mnemozina, 2013 .-- 175 p .: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.
Potęgowanie dwumianu
Dwumian to wielomian składający się z dwóch elementów. Na poprzednich lekcjach podnieśliśmy dwumian do potęgi drugiej i trzeciej, uzyskując w ten sposób skrócone wzory mnożenia:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ale dwumian można podnieść nie tylko do drugiego i trzeciego stopnia, ale także do czwartego, piątego lub wyższego stopnia.
Na przykład zbudujmy dwumian a + b do czwartego stopnia:
(a + b) 4
Reprezentujemy to wyrażenie jako iloczyn dwumianu a + b i sześcian tego samego dwumianu
(a + b)(a+ b) 3
Kofaktor ( a + b) 3 można zastąpić prawą stroną wzoru kostki dla sumy dwóch wyrażeń. Następnie otrzymujemy:
(a + b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)
I to jest zwykłe mnożenie wielomianów. Zróbmy to:
Oznacza to, że podczas konstruowania dwumianu a + b czwarty stopień to wielomian a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Wznoszenie dwumianu a + b do czwartego stopnia możesz również zrobić to: reprezentuj wyrażenie ( a + b) 4 jako iloczyn stopni (a + b) 2 (a + b) 2
(a + b) 2 (a + b) 2
Ale wyrażenie ( a + b) 2 równa się a 2 + 2ab + b 2 ... Zastąp w wyrażeniu (a + b) 2 (a + b) 2 kwadraty sumy przez wielomian a 2 + 2ab + b 2
(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)
I znowu jest to zwykłe mnożenie wielomianów. Zróbmy to. Otrzymamy taki sam wynik jak poprzednio:
Potęgowanie trójmianu
Trójczłonowy jest wielomianem trójczłonowym. Na przykład wyrażenie a + b + c jest trzykadencja.
Czasami może pojawić się zadanie wyniesienia trójki do władzy. Na przykład, podnieśmy do kwadratu trójmian a + b + c
(a + b + c) 2
Dwa terminy w nawiasach można umieścić w nawiasach. Na przykład zakończmy sumę a+ b w nawiasach:
((a + b) + C) 2
W tym przypadku kwota a + b będą traktowane jako jeden członek. Wtedy okazuje się, że nie poddajemy kwadratu trzykadencji, ale dwukadencji. Suma a + b będzie pierwszym członkiem, a członek C- drugi członek. A my już wiemy, jak podnosić do kwadratu dwumian. Aby to zrobić, możesz użyć wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Zastosujmy tę formułę do naszego przykładu:
W ten sam sposób możesz podnieść do kwadratu wielomian składający się z czterech lub więcej wyrazów. Na przykład podnieś do kwadratu wielomian a + b + c + d
(a + b + c + d) 2
Reprezentujemy wielomian jako sumę dwóch wyrażeń: a + b oraz c + d... W tym celu umieszczamy je w nawiasach:
((a + b) + (c + d)) 2
Użyjmy teraz wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
Izolacja pełnego kwadratu z trójmianu kwadratowego
Inną identyczną transformacją, która może być przydatna w rozwiązywaniu problemów, jest wybór pełnego kwadratu z trójmianu kwadratowego.
Trójmian kwadratowy jest trójmianem drugiego stopnia. Na przykład następujące trzy terminy są kwadratowe:
Ideą wyodrębnienia pełnego kwadratu z takich trójmianów jest przedstawienie oryginalnego trójmianu kwadratowego w postaci wyrażenia ( a + b) 2 + C, gdzie ( a + b) 2 jest pełnym kwadratem, a C - jakieś wyrażenie liczbowe lub dosłowne.
Na przykład wybierzmy pełny kwadrat z trójmianu 4x 2 + 16x+ 19 .
Najpierw musisz zbudować ekspresję formy a 2 + 2ab+ b 2 ... Zbudujemy go z trójmianu 4x 2 + 16x+ 19 ... Najpierw określmy, które elementy będą pełnić rolę zmiennych a oraz b
Rola zmiennej a zagra członka 2 x od pierwszej kadencji trójmianu 4x 2 + 16x+ 19 , czyli 4 x 2 jest uzyskiwane, jeśli 2 x kwadrat:
(2x) 2 = 4x 2
Więc zmienna a równa się 2 x
a = 2x
Teraz wracamy do pierwotnego trójskładnika i od razu zwracamy uwagę na wyrażenie 16 x... To wyrażenie jest iloczynem podwójnym pierwszego wyrażenia a(w naszym przypadku jest to 2 x) i drugie wyrażenie wciąż nam nieznane b. Postawmy tymczasowo w jego miejscu znak zapytania:
2 × 2 x × ? = 16x
Jeśli przyjrzysz się uważnie wyrażeniu 2 × 2 x × ? = 16x , wtedy intuicyjnie staje się jasne, że termin b w tej sytuacji liczbą 4 jest to, że wyrażenie 2 × 2 x równa się 4 x i dostać 16 x musisz pomnożyć 4 x o 4.
2 × 2 x × 4 = 16x
Stąd wnioskujemy, że zmienna b równa się 4
b = 4
Oznacza to, że nasz pełny kwadrat będzie wyrażeniem (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Teraz jesteśmy gotowi do wybrania pełnego kwadratu z trójmianu. 4x 2 + 16x+ 19 .
Wróćmy więc do oryginalnego trójmianu 4x 2 + 16x+ 19 i postaramy się dokładnie wprowadzić do niego kompletny kwadrat, który otrzymaliśmy (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
4x 2 + 16x+ 19 =
Zamiast 4 x 2 piszemy (2 x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
I podczas gdy przepisujemy termin 19 tak, jak jest:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19
Zwróćmy teraz uwagę na fakt, że otrzymany wielomian (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 nie identyczne z oryginalnym trójskładnikowym 4x 2 + 16x+ 19 ... Możesz to zweryfikować, przynosząc wielomian (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 do standardowego widoku:
(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19
Widzimy, że otrzymujemy wielomian 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , ale powinno było się okazać 4x 2 + 16x+ 19 ... Wynika to z faktu, że termin 4 2 został sztucznie wszczepiony do oryginalnego terminu trójokresowego w celu zorganizowania pełnego kwadratu terminu trójokresowego 4x 2 + 16x+ 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Teraz wyrażenie (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 można zwinąć, czyli zapisać w postaci ( a + b) 2. W naszym przypadku otrzymujemy wyrażenie (2 x+ 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Pozostałe terminy -4 2 i 19 można dodać. -4 2 to -16, stąd -16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3
Znaczy, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3
Przykład 2... Wybierz cały kwadrat z trójmianu kwadratowego x 2 + 2x+ 2
Najpierw konstruujemy wyraz formy a 2 + 2 ab + b 2. Rola zmiennej a w tym przypadku x gra, ponieważ x 2 = x 2 .
Następny wyraz pierwotnego trójmianu 2 x przepisujemy w postaci iloczynu podwojonego pierwszego wyrażenia (mamy x) i drugie wyrażenie b(to będzie 1).
2 × x× 1 = 2 x
Jeśli b= 1, to wyrażenie x 2 + 2x+ 1 2 .
Wróćmy teraz do pierwotnego trójmianu kwadratowego i osadźmy w nim pełny kwadrat. x 2 + 2x+ 1 2
x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, członek b(w tym przykładzie jest to 1) po dodaniu, zostało ono natychmiast odjęte, aby zachować wartość oryginalnego trójmianu.
Rozważ następujące wyrażenie liczbowe:
9 + 6 + 2
Wartość tego wyrażenia to 17
9 + 6 + 2 = 17
Spróbujmy wybrać cały kwadrat w tym wyrażeniu liczbowym. Aby to zrobić, najpierw konstruujemy wyrażenie formy a 2 + 2ab+ b 2 ... Rola zmiennej a w tym przypadku gra liczba 3, ponieważ pierwszy wyraz wyrażenia 9 + 6 + 2, czyli 9, można przedstawić jako 3 2.
Drugi wyraz 6 jest reprezentowany jako iloczyn podwojony pierwszego wyrazu 3 i drugiego 1
2 × 3 × 1 = 6
Oznacza to, że zmienna b będzie równy jeden. Wtedy wyrażenie 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 będzie kwadratem idealnym. Osadźmy to w oryginalnym wyrażeniu:
− 1 2 + 2
Złóżmy cały kwadrat, a wyrażenia -1 2 i 2 można dodać:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Wynikiem jest wyrażenie (3 + 1) 2 + 2, czyli nadal 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Powiedzmy, że mamy kwadrat i dwa prostokąty. Kwadrat o boku 3 cm, prostokąt o bokach 2 cm i 3 cm oraz prostokąt o bokach 1 cm i 2 cm
Obliczmy obszar każdego kształtu. Powierzchnia kwadratu wyniesie 3 2 = 9 cm 2, powierzchnia różowego prostokąta - 2 × 3 = 6 cm 2, powierzchnia bzu - 1 × 2 = 2 cm 2
Zapiszmy sumę pól tych prostokątów:
9 + 6 + 2
To wyrażenie można rozumieć jako połączenie kwadratu i dwóch prostokątów w jeden kształt:
Następnie uzyskuje się figurę o powierzchni 17 cm2. Rzeczywiście, pokazana figura zawiera 17 kwadratów o boku 1 cm.
Spróbujmy uformować kwadrat z istniejącej figury. Ponadto największy plac. Do tego użyjemy części z różowego i fioletowego prostokąta.
Aby utworzyć największy kwadrat z istniejącej figury, możesz pozostawić żółty kwadrat bez zmian i dołączyć połowę różowego prostokąta do dolnej części żółtego kwadratu:
Widzimy, że brakuje jeszcze jednego centymetra kwadratowego przed utworzeniem pełnego kwadratu. Możemy to wziąć z liliowego prostokąta. Więc weź jeden kwadrat z liliowego prostokąta i przymocuj go do dużego kwadratu, który się utworzy:
Przyjrzyjmy się teraz bliżej, do czego doszliśmy. Mianowicie na żółtej części figury i różowej części, która w rzeczywistości powiększała poprzedni żółty kwadrat. Czy to oznacza, że był bok kwadratu równy 3 cm, a ten bok został powiększony o 1 cm, co ostatecznie doprowadziło do zwiększenia powierzchni?
(3 + 1) 2
Wyrażenie (3 + 1) 2 to 16, ponieważ 3 + 1 = 4 i 4 2 = 16. Ten sam wynik można uzyskać, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Rzeczywiście, wynikowy kwadrat zawiera 16 kwadratów.
Pozostały kwadrat z fioletowego prostokąta można dołączyć do powstałego dużego kwadratu. W końcu pierwotnie chodziło o jedną cyfrę:
(3 + 1) 2 + 1
Dołączanie małego kwadratu do istniejącego dużego kwadratu jest opisane wyrażeniem (3 + 1) 2 + 1. A to jest wybór pełnego kwadratu z wyrażenia 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 - 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Wyrażenie (3 + 1) 2 + 1, podobnie jak wyrażenie 9 + 6 + 2, to 17. Rzeczywiście, powierzchnia uformowanej figury wynosi 17 cm 2.
Przykład 4... Dokonajmy wyboru pełnego kwadratu z trójmianu kwadratowego x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x× 3 + 3 2 - 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1
W niektórych przykładach podczas budowania wyrażenia a 2 + 2ab+ b 2 nie można od razu określić wartości zmiennych a oraz b .
Na przykład wybierzmy cały kwadrat z trójmianu kwadratowego x 2 + 3x+ 2
Zmienny a koresponduje z x... Drugi semestr 3 x nie może być reprezentowana jako iloczyn podwojony pierwszego wyrażenia i drugiego. W takim przypadku drugi wyraz należy pomnożyć przez 2, a żeby wartość oryginalnego wielomianu się nie zmieniła, należy od razu podzielić przez 2. Będzie to wyglądać tak.
Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż sobie konto Google (konto) i zaloguj się do niego: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Tożsamości. Identyczne przekształcenia wyrażeń. 7 klasa.
Znajdź wartość wyrażeń przy x = 5 i y = 4 3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27 3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27 Znajdź wartość wyrażenia przy x = 6 i y = 5 3 (x + y) = 3 (6 + 5) = 3 * 11 = 33 3x + 3y = 3 * 6 + 3 * 5 = 33
WNIOSEK: osiągnęliśmy ten sam wynik. Z właściwości rozkładu wynika, że na ogół dla dowolnych wartości zmiennych wartości wyrażeń 3 (x + y) i 3x + 3y są równe. 3 (x + y) = 3x + 3y
Rozważmy teraz wyrażenia 2x + y i 2xy. dla x = 1 i y = 2 przyjmują równe wartości: 2x + y = 2 * 1 + 2 = 4 2xy = 2 * 1 * 2 = 4 dla x = 3, y = 4 wartości wyrażeń są różne 2x + y = 2 * 3 + 4 = 10 2xy = 2 * 3 * 4 = 24
WNIOSEK: Wyrażenia 3 (x + y) i 3x + 3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x + y i 2xy nie są identycznie równe. Definicja: Dwa wyrażenia, których wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, nazywane są identycznie równymi.
TOŻSAMOŚĆ Równość 3 (x + y) i 3x + 3y jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y. Takie równości nazywamy tożsamościami. Definicja: Równość, prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywana jest tożsamością. Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości. Spotkaliśmy się już z tożsamościami.
Tożsamości to równości, które wyrażają podstawowe właściwości działań na liczbach. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac
Możesz podać inne przykłady tożsamości: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem, nazywa się konwersją tożsamości lub po prostu konwersją wyrażenia.
Aby podać takie terminy, musisz dodać ich współczynniki i pomnożyć wynik przez całkowitą część literową. Przykład 1. Podajmy podobne wyrażenia 5x + 2x-3x = x (5 + 2-3) = 4x
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak plus, to nawiasy można pominąć, zachowując znak każdego terminu w nawiasie. Przykład 2. Rozwińmy nawiasy w wyrażeniu 2а + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus, to nawiasy można pominąć, zmieniając znak każdego terminu zawartego w nawiasach. Przykład 3. Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu a - (4 b - c) = a - 4 b + c
Praca domowa: s. 5, nr 91, 97, 99 Dziękuję za lekcję!
Na temat: opracowania metodologiczne, prezentacje i notatki
Metodologia przygotowania uczniów do egzaminu Unified State w dziale „Wyrażenia i transformacja wyrażeń”
Projekt ten został opracowany w celu przygotowania uczniów do egzaminów państwowych w klasie 9, a następnie do ujednoliconego egzaminu państwowego w klasie 11….
Ładowanie...