Standardowy widok wyjaśnienia jednomianowego. Definicja jednomianu: powiązane pojęcia, przykłady
W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu, rozważymy różne przykłady z podręcznika. Przypomnijmy zasady mnożenia stopni o tych samych podstawach. Podajmy definicję standardowej postaci jednomianu, współczynnika jednomianu i jego części literowej. Rozważmy dwa podstawowe typowe działania na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości jego zmiennych alfabetycznych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczymy się rozwiązywać typowe problemy z dowolnymi jednomianami.
Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach
Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowy typ jednomianu
Rozważ kilka przykładów:
3. 
;
Znajdźmy wspólne cechy dla podanych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianowa : Jednomian to wyrażenie algebraiczne składające się z iloczynu stopni i liczb.
Teraz podamy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:
Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega ona na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, podczas gdy w przykładach 1-3, które są jednomianami, operacje te nie występują.
Oto kilka przykładów:
Wyrażenie 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi przez liczbę, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.
Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .
1. Uproszczenie. Rozważ przykład nr 3. ; i przykład nr 2 /
W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik - każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ a"Jest prezentowany w jednym egzemplarzu, jako" ", podobnie zmienne " "i" "występują tylko raz.
W przykładzie nr 3 przeciwnie, są dwa różne współczynniki - i widzimy zmienną "" dwukrotnie - jako "" i jako "", podobnie zmienna "" występuje dwa razy. Oznacza to, że to wyrażenie powinno być uproszczone, więc dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest doprowadzenie jednomianu do postaci standardowej ... Aby to zrobić, przenieśmy wyrażenie z przykładu 3 do postaci standardowej, a następnie zdefiniujmy tę operację i nauczmy się sprowadzać dowolny jednomian do postaci standardowej.
Rozważmy więc przykład:
Pierwszym krokiem w operacji konwersji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:
;
Wynik tej akcji zostanie nazwany współczynnik jednomianowy .
Następnie musisz pomnożyć stopnie. Mnożymy potęgi zmiennej " x„Zgodnie z zasadą mnożenia stopni o tych samych podstawach, która mówi, że mnożąc wykładniki sumują się:
teraz mnożymy potęgi ” w»:
;
Oto uproszczone wyrażenie:
;
Każdy jednomian można zredukować do postaci standardowej. Sformułujmy reguła standaryzacji :
Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;
Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;
Pomnóż wszystkie stopnie, czyli zdobądź część literową;
Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.
Teraz musisz poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej ... Rozważ przykłady z samouczka:
Zadanie: wprowadź jednomian do standardowego formularza, nazwij współczynnik i część literową.
Do wykonania zadania posłużymy się regułą redukcji jednomianu do postaci standardowej oraz własności stopni.
1. 
;
3. 
;
Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw określimy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem, w tym celu sprawdzimy, czy zawiera operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianowe, ponieważ powyższy warunek jest spełniony. Dalej, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy współczynniki liczbowe:
- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;
; ; ; oznacza to, że otrzymuje się dosłowną część wyrażenia :;
zapisz odpowiedź:;
Komentarze do drugiego przykładu: Zgodnie z zasadą wykonujemy:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
2) pomnożyć uprawnienia:
Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, tzn. nie można ich niczym mnożyć, przepisuje się je bez zmian, mnoży stopień:
Zapiszmy odpowiedź:
;
W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część alfabetyczna jest równa.
Komentarze do trzeciego przykładu: a Podatkowo do poprzednich przykładów wykonujemy czynności:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
;
2) pomnożyć uprawnienia:
;
napisz odpowiedź:;
W tym przypadku współczynnik jednomianu wynosi „”, a część literowa 
.
Teraz rozważ druga standardowa operacja na jednomianach ... Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych dosłownych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy arytmetyczne wyrażenie liczbowe, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczanie ich określonej wartości liczbowej .
Spójrzmy na przykład. Jednomian jest podany:
ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa
Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenie algebraiczne nie zawsze może być obliczone, to znaczy zmienne, które są w nim zawarte, nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zmienne w nim zawarte mogą być dowolne, jest to cecha jednomianu.
Tak więc w podanym przykładzie wymagane jest obliczenie wartości jednomianu w ,,,.
Stopień jednomianowy
Dla jednomianu istnieje pojęcie jego stopnia. Dowiedzmy się, co to jest.
Definicja.
Stopień jednomianowy standardową postacią jest suma wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej zapisie; jeśli nie ma zmiennych w rekordzie jednomianu, a jest on niezerowy, to jego stopień jest uważany za równy zero; liczba zero jest uważana za jednomian, którego stopień nie jest określony.
Określenie stopnia jednomianu pozwala podać przykłady. Stopień jednomianu a jest równy jeden, ponieważ a jest 1. Stopień jednomianu 5 wynosi zero, ponieważ jest niezerowy, a jego zapis nie zawiera zmiennych. Iloczyn 7 a 2 x y 3 a 2 jest jednomianem ósmego stopnia, ponieważ suma wykładników wszystkich zmiennych a, x i y wynosi 2 + 1 + 3 + 2 = 8.
Nawiasem mówiąc, stopień jednomianu nie zapisanego w formie standardowej jest równy stopniowi odpowiedniego jednomianu w formie standardowej. Aby zilustrować to, co zostało powiedziane, obliczamy stopień jednomianu 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y... Jednomian ten w postaci standardowej ma postać -6 x 8 y 4, jego stopień to 8 + 4 = 12. Tak więc stopień pierwotnego jednomianu wynosi 12.
Współczynnik jednomianowy
Jednomian w postaci standardowej, który ma w zapisie przynajmniej jedną zmienną, to iloczyn z jednym czynnikiem liczbowym - współczynnikiem liczbowym. Współczynnik ten nazywa się współczynnikiem jednomianu. Sformułujmy powyższe rozumowanie w formie definicji.
Definicja.
Współczynnik jednomianowy Jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zapisanego w formie standardowej.
Teraz możemy podać przykłady współczynników różnych jednomianów. Liczba 5 jest współczynnikiem jednomianu 5 · a 3 z definicji, podobnie jednomian (−2.3) · x · y · z ma współczynnik -2,3.
Na szczególną uwagę zasługują współczynniki jednomianów równe 1 i -1. Chodzi o to, że zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie. Uważa się, że współczynnik jednomianów postaci standardowej, które nie mają w swoim zapisie współczynnika liczbowego, jest równy jeden. Na przykład jednomiany a, x z 3, a t x itd. mają współczynnik 1, ponieważ a można uznać za 1 a, x z 3 za 1 x z 3 itd.
Podobnie współczynnik jednomianów, których zapisy w standardowej formie nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, są uważane za minus jeden. Na przykład jednomiany -x, -x 3 y z 3 itd. mieć współczynnik -1, ponieważ -x = (- 1) x, −x 3 y z 3 = (- 1) x 3 y z 3 itp.
Nawiasem mówiąc, pojęcie współczynnika jednomianu jest często określane jako standardowe jednomiany, które są liczbami bez współczynników alfabetycznych. Liczby te uważa się za współczynniki takich liczb jednomianowych. Na przykład współczynnik jednomianu 7 jest uważany za równy 7.
Bibliografia.
- Algebra: badanie. za 7 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M.: Edukacja, 2008 .-- 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- A. G. Mordkovich Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich. - 17. ed., Dodaj. - M .: Mnemozina, 2013 .-- 175 p .: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Podręcznik. instrukcja - M .; Wyższy. shk., 1984.-351 s., il.
Jednomiany są jednym z głównych typów wyrażeń badanych na szkolnym kursie algebry. W tym materiale opowiemy, czym są te wyrażenia, określimy ich standardową formę i pokażemy przykłady, a także zajmiemy się pojęciami pokrewnymi, takimi jak stopień jednomianu i jego współczynnik.
Co to jest jednomian
W podręcznikach szkolnych zwykle podaje się następującą definicję tego pojęcia:
Definicja 1
Jednomiany obejmują liczby, zmienne, a także ich stopnie z naturalnym wskaźnikiem oraz różnego rodzaju dzieła z nich złożone.
Na podstawie tej definicji możemy podać przykłady takich wyrażeń. Tak więc wszystkie liczby 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 będą odnosić się do jednomianów. Wszystkie zmienne, na przykład x, a, b, p, q, t, y, z, również będą z definicji jednomianami. Obejmuje to również stopnie zmiennych i liczb, na przykład 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 i t 15, a także wyrażenia postaci 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z itd. Należy zauważyć, że jednomian może zawierać jedną liczbę lub zmienną lub kilka i mogą być wymieniane kilka razy jako część jednego wielomianu.
Takie typy liczb jak całkowite, wymierne, naturalne również odnoszą się do jednomianów. Może również zawierać liczby rzeczywiste i zespolone. Zatem wyrażenia postaci 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 również będą jednomianami.
Jaka jest standardowa forma jednomianu i jak przekonwertować na nią wyrażenie?
Dla wygody pracy wszystkie jednomiany najpierw prowadzą do specjalnej formy zwanej standardem. Sformułujmy konkretnie, co to oznacza.
Definicja 2
Standardowy rodzaj jednomianu nazwijmy to taką formą, w której jest iloczynem czynnika liczbowego i naturalnych sił różnych zmiennych. Współczynnik liczbowy, zwany także współczynnikiem jednomianu, jest zwykle zapisywany jako pierwszy po lewej stronie.
Dla jasności wybieramy kilka jednomianów postaci standardowej: 6 (jest to jednomian bez zmiennych), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Obejmuje to również wyrażenie x y(tu współczynnik będzie równy 1), -x 3(tu współczynnik wynosi - 1).
Teraz podamy przykłady jednomianów, które należy sprowadzić do postaci standardowej: 4 za 2 za 3(tu trzeba połączyć te same zmienne), 5 x (- 1) 3 lata 2(tutaj musisz połączyć czynniki liczbowe po lewej stronie).
Zwykle, gdy jednomian ma kilka zmiennych zapisanych literami, współczynniki literowe są zapisywane w kolejności alfabetycznej. Na przykład lepiej jest napisać 6 a b 4 c z 2, w jaki sposób b 4 6 a z 2 c... Jednak kolejność może być inna, jeśli wymaga tego cel kalkulacji.
Każdy jednomian można zredukować do postaci standardowej. Aby to zrobić, musisz wykonać wszystkie niezbędne identyczne przekształcenia.
Pojęcie stopnia jednomianu
Bardzo ważna jest towarzysząca koncepcja stopnia jednomianu. Zapiszmy definicję tego pojęcia.
Definicja 3
Stopień jednomianowy, napisany w postaci standardowej, jest sumą wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jego rekordzie. Jeśli nie ma w nim zmiennej, a sam jednomian jest różny od 0, to jego stopień będzie wynosił zero.
Podajmy przykłady stopni jednomianu.
Przykład 1
Zatem jednomian a ma stopień 1, ponieważ a = a 1. Jeśli mamy jednomian 7, to będzie miał stopień zero, ponieważ nie ma w nim zmiennych i jest różny od 0. A oto wpis 7 za 2 x r 3 za 2 będzie jednomianem 8 stopnia, ponieważ suma wykładników wszystkich stopni zawartych w nim zmiennych będzie równa 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Jednomian zredukowany do postaci standardowej i pierwotny wielomian będą miały ten sam stopień.
Przykład 2
Pokażmy, jak obliczyć stopień jednomianu 3 x 2 lata 3 x (- 2) x 5 lat... W swojej standardowej formie można go zapisać jako - 6x8 i 4... Obliczamy stopień: 8 + 4 = 12 ... Stąd stopień oryginalnego wielomianu również wynosi 12.
Pojęcie współczynnika jednomianu
Jeśli mamy jednomian sprowadzony do postaci standardowej, która zawiera przynajmniej jedną zmienną, to mówimy o nim jako o iloczynie o jednym współczynniku liczbowym. Czynnik ten nazywa się współczynnikiem liczbowym lub współczynnikiem jednomianu. Zapiszmy definicję.
Definicja 4
Współczynnik jednomianu jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zredukowanego do postaci standardowej.
Weźmy na przykład współczynniki różnych jednomianów.
Przykład 3
Tak więc w wyrażeniu 8 a 3 współczynnik będzie liczbą 8, a in (- 2, 3) x y z oni będą − 2 , 3 .
Szczególną uwagę należy zwrócić na współczynniki równe jeden i minus jeden. Z reguły nie są one wyraźnie wskazane. Uważa się, że w jednomianu postaci standardowej, w której nie ma współczynnika liczbowego, współczynnik jest równy 1, na przykład w wyrażeniach a, xz 3, atx, ponieważ można je uznać za 1 a, xz 3 - jak? 1 x z 3 itp.
Podobnie w przypadku jednomianów, które nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, możemy rozważyć współczynnik - 1.
Przykład 4
Na przykład wyrażenia - x, - x 3 y z 3 będą miały taki współczynnik, ponieważ można je przedstawić jako - x = (- 1) x, - x 3 y z 3 = (- 1) x 3 yz 3 itd. .
Jeśli jednomian nie ma w ogóle współczynnika jednoliterowego, to w tym przypadku również możemy mówić o współczynniku. Współczynnikami takich liczb jednomianowych są same liczby. Na przykład współczynnik jednomianu 9 wyniesie 9.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter
Ładowanie...