Kula wpisana w cylinder Mówi się, że kula jest wpisana w cylinder, jeśli dotyka swojej podstawy i powierzchni bocznej (dotyka każdej tworzącej). Na

Kula i kula Kula to zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, które znajdują się w określonej odległości od danego punktu. Punkt O nazywany jest środkiem kuli. Dowolny odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na kuli nazywamy promieniem kuli (R). Prostą AB nazywamy osią, a punkty A i B jej przecięcia ze kulą są biegunami kula. Cięciwa kuli to odcinek łączący dwa punkty kuli (KN). Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez jej środek (AB) R N K

Piłka Kula o środku w punkcie O i promieniu R to zbiór wszystkich punktów przestrzeni położonych od punktu O w odległości nie większej niż R. Kula to ciało ograniczone kulą. Kulę tworzy się poprzez obrót półkola wokół jego ustalonej średnicy (AB). Średnica ta nazywana jest osią kuli, a oba końce określonej średnicy są biegunami kuli. Powierzchnię kuli nazywa się kulą. RA B

Część kuli (kuli) odcięta od niej przez jakąś płaszczyznę (ABC) nazywa się segmentem kulistym. Okrąg ABC nazywany jest podstawą odcinka kuli. Odcinek prostopadły MN poprowadzony od środka N okręgu ABC do przecięcia z powierzchnią kulistą nazywa się wysokością odcinka kulistego. Punkt M nazywany jest wierzchołkiem odcinka sferycznego. Segment kulowy Wzór: V=1/3P 2 H(3R-H)

Warstwa kulista Część kuli zawarta pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami ABC i DEF przecinającymi powierzchnię kulistą nazywana jest warstwą kulistą. Zakrzywiona powierzchnia warstwy kulistej nazywana jest pasem sferycznym. Okręgi ABC i DEF są podstawami pasa kulistego. Odległość NK pomiędzy podstawami pasa kulistego jest jego wysokością.

Kula wpisana w stożek Mówi się, że kula jest wpisana w stożek, jeśli dotyka wszystkich elementów stożka i jego podstawy. W dowolny stożek można zmieścić kulę. Środek kuli leży na osi stożka i jest środkiem okręgu wpisanego w przekrój osiowy stożka. Wzory na promień kuli wpisanej w stożek: R - promień wpisanej kuli, r - promień podstawy stożka, l - długość tworzącej stożka, H - wysokość stożka, A - kąt nachylenia tworzącej stożka do jego podstawy. l H l r Wzory: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2

Zadanie 1 Zadanie 1. Kula o promieniu r jest wpisana w stożek. Znajdź objętość stożka, jeśli jego wysokość wynosi h. Rozwiązanie: Przekrój osiowy tej kombinacji kuli i stożka to trójkąt równoramienny PAB opisany na okręgu o środku O i promieniu R, PC = h – wysokość stożka, OD PB. Objętość stożka Ponieważ dlatego lub skąd Dlatego odpowiedź:

Zadanie 2 Stożek o wysokości N jest wpisany w kulę o promieniu R. Znajdź kąt pomiędzy tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy. Rozważmy przekrój średnicowy kuli, jak pokazano na rysunku b). Jak wiadomo, kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy tą prostą a jej rzutem na tę płaszczyznę. W naszym przypadku AB jest linią prostą, a AP jest rzutem. OR = BP-OV = H-R (gdzie H jest wysokością stożka, R jest promieniem kuli) Z trójkąta prostokątnego OAR wyznaczamy nogę AR za pomocą twierdzenia Pitagorasa: R H Odpowiedź: O

Konas Konas to bryła uzyskana poprzez połączenie wszystkich promieni wychodzących z jednego punktu (wierzchołka konas) i przechodzących przez płaską powierzchnię. Czasami kona jest częścią takiej bryły powstałą poprzez połączenie wszystkich odcinków łączących wierzchołek i punkty płaskiej powierzchni (ta ostatnia w tym przypadku nazywana jest podstawą kona, a kona nazywana jest spoczywającą na tej podstawie). Jeśli podstawą kona jest wielokąt, kona staje się piramidą. Geometryczne ciało utworzone przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg

Elementy i części kona Wierzchołek to punkt położony pod stałym kątem ostrym obracającego się trójkąta prostokątnego tworzącego kona. Podstawą jest okrąg ograniczający stożek, opisany ruchomą nogą tworzącego trójkąta. Wysokość odcinka prostopadłego do podstawy, przechodzącego przez wierzchołek, stałą nogę tworzącego trójkąta, a także długość tego odcinka. Tworząc odcinek łączący wierzchołek i punkt na okręgu ograniczającym podstawę, przeciwprostokątną opisanego trójkąta. Powierzchnia boczna jest powierzchnią stożkową ograniczającą stożek utworzoną przez przeciwprostokątną trójkąta tworzącego. o p POWIERZCHNIA BOCZNA TWORZĄCA PODSTAWĘ OSI KOŃCA PROMIENIA STOŻKA

Stożek ścięty Stożek ścięty to bryła obrotowa utworzona przez obrót prostokątnego trapezu w pobliżu boku prostopadłego do podstaw. Okręgi O i O1 to jego podstawy, jego składniki AA1 są sobie równe, prosta OO1 to oś, odcinek OO1 to wysokość. Jego przekrój osiowy jest trapezem równoramiennym.

Powiązane definicje Odcinek obniżony prostopadle z góry do płaszczyzny podstawy (oraz długość takiego odcinka) nazywa się wysokością stożka. Linię prostą łączącą górę ze środkiem podstawy nazywamy osią stożka. Okrągłe konas i konas, których podstawą jest okrąg. Stożek spoczywający na elipsie, paraboli lub hiperboli nazywany jest odpowiednio stożkiem eliptycznym, parabolicznym i hiperbolicznym (dwa ostatnie mają nieskończoną objętość). Część stożka leżąca pomiędzy podstawą a płaszczyzną równoległą do podstawy i znajdującą się pomiędzy wierzchołkiem a podstawą nazywa się stożkiem ściętym.

Stożek wpisany w okrąg Kulę opisuje się na wielościanie, a wielościanem wpisano w kulę, jeżeli powierzchnia kuli przechodzi przez wszystkie wierzchołki wielościanu. Kulę nazywamy kulą opisaną na ściętym stożku (stożku), jeśli okręgi podstaw (okrąg podstawowy i wierzchołek) należą do powierzchni kuli. Środek kuli opisanej na wielościanie leży w punkcie przecięcia płaszczyzn prostopadłych do wszystkich krawędzi wielościanu i przechodzących przez ich środki. Może być umiejscowiony wewnątrz, na powierzchni lub na zewnątrz wielościanu. Stożek jest wpisany w kulę (sferę opisuje się wokół stożka), jeśli jej wierzchołek należy do kuli, a jej podstawa jest wycinkiem kuli ograniczonym daną kulą. Sferę zawsze można opisać wokół stożka . Jego środek leży na osi stożka i pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego wokół trójkąta, który jest osiowym przekrojem stożka. A B AC O Wzory: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-promień kuli r-promień podstawy stożka H-wysokość stożka

\[(\Duży(\tekst(Cylinder)))\]

Rozważmy okrąg \(C\) ze środkiem \(O\) promienia \(R\) na płaszczyźnie \(\alpha\) . Przez każdy punkt okręgu \(C\) rysujemy linię prostą prostopadłą do płaszczyzny \(\alpha\) . Powierzchnia utworzona przez te proste linie nazywa się powierzchnia cylindryczna.
Same linie proste nazywane są formowanie tej powierzchni.

Narysujmy teraz płaszczyznę \(\beta\równoległą \alfa\) przechodzącą przez jakiś punkt jakiegoś generatora. Zbiór punktów, wzdłuż których generatory przecinają płaszczyznę \(\beta\) tworzy okrąg \(C"\) równy okręgowi \(C\) .
Część przestrzeni ograniczona dwoma okręgami \(K\) i \(K"\) z granicami odpowiednio \(C\) i \(C"\) oraz część powierzchni cylindrycznej ujętej pomiędzy płaszczyznami \(\alpha\) i \(\beta\) , zwane cylinder.

Okręgi \(K\) i \(K"\) nazywane są podstawami walca; odcinki tworzące zawarte pomiędzy płaszczyznami są generatorami walca; utworzona przez nie część powierzchni cylindrycznej jest powierzchnią boczną Odcinek łączący środki podstaw walca jest równy tworzącej walca i równy wysokości walca (\(l=h\) ).

Twierdzenie

Pole powierzchni bocznej cylindra jest równe \

gdzie \(R\) jest promieniem podstawy walca, \(h\) jest wysokością (generatywną).

Twierdzenie

Całkowita powierzchnia walca jest równa sumie pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw \

Twierdzenie

Objętość cylindra oblicza się ze wzoru \

\[(\Duży(\tekst(Stożek)))\]

Rozważmy płaszczyznę \(\alpha\) i znajdujący się na niej okrąg \(C\) ze środkiem \(O\) i promieniem \(R\) . Przez punkt \(O\) rysujemy linię prostą prostopadłą do płaszczyzny \(\alpha\) . Zaznaczmy jakiś punkt \(P\) na tej prostej. Nazywa się powierzchnię utworzoną przez wszystkie linie przechodzące przez punkt \(P\) i każdy punkt okręgu \(C\). powierzchnia stożkowa, a te linie proste są generatorami powierzchni stożkowej. Część przestrzeni ograniczona okręgiem z granicą \(C\) i odcinkami generatorów zawartymi pomiędzy punktem \(P\) a punktem na okręgu nazywa się stożek. Segmenty \(PA\) , gdzie \(A\in \text(env. ) C\) nazywane są tworząc stożek; punkt \(P\) – wierzchołek stożka; okrąg z granicą \(C\) – podstawa stożka; odcinek \(PO\) – wysokość stożka.

Komentarz

Należy zauważyć, że wysokość i tworząca stożka nie są sobie równe, jak miało to miejsce w przypadku walca.

Twierdzenie

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe \

gdzie \(R\) jest promieniem podstawy stożka, \(l\) jest generatorem.

Twierdzenie

Całkowita powierzchnia stożka jest równa sumie pola powierzchni bocznej i pola podstawy \

Twierdzenie

Objętość stożka oblicza się ze wzoru \

Komentarz

Zauważ, że cylinder w pewnym sensie jest pryzmatem, tylko u podstawy nie ma wielokąta (jak pryzmat), ale okrąg.
Wzór na objętość walca jest taki sam jak wzór na objętość pryzmatu: iloczyn pola podstawy i wysokości.

Podobnie stożek jest w pewnym sensie piramidą. Dlatego wzór na objętość stożka jest taki sam jak w przypadku piramidy: jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

\[(\Duży(\text(Kula i kula)))\]

Rozważmy zbiór punktów w przestrzeni równoodległych od pewnego punktu \(O\) w odległości \(R\) . Zestaw ten nazywa się kula ze środkiem w punkcie \(O\) promienia \(R\) .
Odcinek łączący dwa punkty kuli i przechodzący przez jej środek nazywa się średnicą kuli.

Kula wraz z jej wnętrzem nazywa się piłka.

Twierdzenie

Pole kuli oblicza się ze wzoru \

Twierdzenie

Objętość kuli oblicza się ze wzoru \

Definicja

Odcinek kulisty to część kuli odcięta od niej przez określoną płaszczyznę.
Niech płaszczyzna przetnie piłkę po okręgu \(K\) ze środkiem w punkcie \(Q\) . Połączmy punkty \(O\) (środek kuli) i \(Q\) i przedłużmy ten odcinek aż do przecięcia się ze kulą - otrzymamy promień \(OP\) . Następnie segment \(QP\) nazywany jest wysokością segmentu.

Twierdzenie

Niech \(R\) będzie promieniem kuli, \(h\) będzie wysokością odcinka, wówczas objętość odcinka kulistego będzie równa \

Definicja

Warstwa kulista to część kuli ujęta pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami przecinającymi tę kulę. Okręgi, wzdłuż których płaszczyzny przecinają kulę, nazywane są podstawami warstwy kulistej, odcinek łączący środki podstaw nazywa się wysokością warstwy kulistej.
Dwie pozostałe części kuli są w tym przypadku segmentami kulistymi.

Objętość warstwy kulistej jest równa różnicy między objętością kuli a objętościami odcinków kulistych o wysokościach \(AP\) i \(BT\).

Rozwiązywanie problemów dotyczących stożka wpisanego w kulę (stożek wpisany w kulę) sprowadza się do rozważenia jednego lub większej liczby trójkątów.

W kulę wpisano stożek, jeżeli jego wierzchołek i obwód podstawy leżą na powierzchni kuli, czyli na kuli. Środek kuli leży na osi stożka.

Rozwiązując zadania dotyczące stożka wpisanego w kulę, wygodnie jest uwzględnić przekrój zespołu ciał przez płaszczyznę przechodzącą przez oś stożka i środek kuli. Przekrój to duży okrąg kuli (to znaczy okrąg, którego promień jest równy promieniowi kuli) z wpisanym w niego trójkątem równoramiennym - osiowym przekrojem stożka. Boki tego trójkąta są częściami tworzącymi stożek, podstawą jest średnica stożka.

Jeżeli kąt pomiędzy generatorami jest ostry, środek okręgu opisanego na stożku leży wewnątrz trójkąta (odpowiednio środek kuli opisanej na stożku znajduje się wewnątrz stożka).

Jeśli kąt między generatorami jest odpowiedni, środek okręgu leży na środku podstawy trójkąta (środek kuli pokrywa się ze środkiem podstawy stożka).

Jeżeli kąt pomiędzy generatorami jest rozwarty, środek okręgu leży na zewnątrz trójkąta (środek opisanej kuli znajduje się na zewnątrz stożka).

Jeśli w opisie problemu nie wskazano, gdzie dokładnie znajduje się środek opisanej kuli, zaleca się rozważenie, w jaki sposób różne opcje jej lokalizacji mogą wpłynąć na rozwiązanie.

Rozważmy stożek i kulę otoczoną płaszczyzną przechodzącą przez oś stożka i środek kuli. Tutaj SO=H to wysokość stożka, SB=l to tworząca stożka, SO1=O1B=R to promień kuli, OB=r to promień podstawy stożka, ∠OSB=α jest kątem między wysokością a tworzącą stożka.

Trójkąt SO1B jest równoramienny o podstawie SB (ponieważ SO1=O1B=R). Oznacza to, że jego kąty przy podstawie są równe: ∠OSB=∠O1BS=α, a O1F to mediana, wysokość i dwusieczna. Zatem SF=l/2.

Rozwiązując zadania dotyczące stożka wpisanego w kulę, można wziąć pod uwagę trójkąty prostokątne SFO1 i SOB. Są podobne (według kąta ostrego S). Z podobieństwa trójkątów

W trójkącie prostokątnym SOB ∠OBS=90° - ∠OSB=90°-α. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym O1OB ∠OBO1=90° - ∠O1BS=90° - α - α=90° - 2α.

Kula wpisana w stożek Kulę wpisaną w stożek nazywamy wówczas, gdy dotyka swojej podstawy i powierzchni bocznej (dotyka poszczególnych tworzących). W tym przypadku mówimy, że stożek jest opisany na kuli. W dowolny stożek (prosty, okrągły) można wpisać kulę. Jego środek znajduje się na wysokości stożka, a promień jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt stanowiący przekrój osiowy stożka. Przypomnijmy, że promień r okręgu wpisanego w trójkąt oblicza się ze wzoru r  S p, gdzie S jest polem, p jest półobwodem trójkąta.

Ćwiczenie 3 Promień podstawy stożka wynosi 1. Tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Znajdź promień kuli wpisanej. Rozwiązanie. Wysokość SH stożka 2 jest równa 1. Generator.  1 Półobwód p jest równy 2. Ze wzoru r = S/p mamy  2 1.  2 1.  r  1  1 2 r  Odpowiedź:

Ćwiczenie 4 Wysokość stożka wynosi 8, tworząc 10. Znajdź promień kuli wpisanej. Rozwiązanie. Promień podstawy stożka wynosi 6. Pole trójkąta SFG wynosi 48, półobwód 16. Korzystając ze wzoru r = S/p, mamy r = 3. Odpowiedź: r = 3.

Kula opisana na stożku. Mówi się, że kula jest opisana na stożku, jeśli wierzchołek i obwód podstawy stożka leżą na kuli. W tym przypadku mówimy, że stożek jest wpisany w kulę. Kulę można opisać wokół dowolnego stożka (prostego, okrągłego). Jego środek znajduje się na wysokości stożka, a jego promień jest równy promieniowi okręgu opisanego wokół trójkąta, który jest osiowym przekrojem stożka. Przypomnijmy, że promień R okręgu opisanego na trójkącie abc można obliczyć ze wzoru S 4, gdzie S to powierzchnia, a, b, c to boki trójkąta. R

Ćwiczenie 1 Opisano kulę wokół stożka, którego promień podstawy wynosi 1, a tworząca wynosi 2. Znajdź jego promień. Rozwiązanie. Trójkąt SAB jest równoboczny z bokiem 2. Wysokość SH jest równa Pole S jest równe Korzystając ze wzoru R = abc/4S 3. otrzymujemy 3. R  2 3 3 .

Ćwiczenie 2 Opisano kulę o promieniu 5 wokół stożka, którego promień podstawy wynosi 4. Znajdź wysokość h stożka. Rozwiązanie. Mamy OB = 5, HB = 4. Zatem OH = 3. Biorąc pod uwagę, że SO = OB = 5, otrzymujemy h = 8. Odpowiedź: h = 8.

Wielościany wpisane w kulę Twierdzenie. Kulę można opisać w pobliżu pryzmatu wtedy i tylko wtedy, gdy w pobliżu podstawy tego pryzmatu można opisać okrąg. Jego środkiem będzie środek odcinka łączącego środki okręgów opisanych wokół podstaw pryzmatu. Promień kuli R oblicza się ze wzoru punkt O, gdzie h jest wysokością pryzmatu, r jest promieniem okręgu opisanego na podstawie pryzmatu. R   r 2 , 2 godz   2   

Ćwiczenie 1 Znajdź promień kuli opisanej na sześcianie jednostkowym. Odpowiedź: R  3 2 .

Ćwiczenie 2 Znajdź krawędź sześcianu wpisanego w kulę jednostkową. Odpowiedź: a  2 3 3 .

„Kąt wpisany” - Biorąc pod uwagę: __A. Powtórzenie materiału. Znajdź błąd w sformułowaniu: Wiedza o tym, jak się to wyraża. Wielkość kąta środkowego. Wielkość kąta wpisanego. Zadanie nr 1: Porównaj wielkość kąta zewnętrznego i kąta przy podstawie. W jaki sposób kąty AOB i ACB są podobne i różne? Zgodnie z rysunkiem b). znajdź wielkość kąta zewnętrznego. Konstrukcja prostych prostopadłych.

„Pomiar kątów” - Kąty ostre, proste, rozwarte, proste. Pomiar kątów. Kątomierz służy do konstruowania kątów. Możesz zamocować kątomierz w inny sposób. Prosty kąt. Kąt rozwarty. Do pomiaru kątów służy kątomierz. Ostry róg. Rozłożony narożnik. Jaki kąt tworzą wskazówki godzinowe i minutowe zegara?

„Twierdzenie o kącie wpisanym” - Jak nazywa się kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Pojęcie kąta wpisanego. Znajdź kąt między cięciwami. Odpowiedź. Rozwiązanie. Twierdzenie o kącie wpisanym. Trójkąt. Konsolidacja badanego materiału. Ostry róg. Sprawdź się. Znajdź kąt między nimi. Poprawna odpowiedź. Aktualizowanie wiedzy uczniów. Promień okręgu.

„Kąt i jego pomiar” - Wskazówki godzinowe i minutowe zegara tworzą kąt rozwarty o godzinie 5. Budowa kątów. Na papierze w kratkę. Rozłożony narożnik. Kąt rozwarty. Ostry róg. Do pomiaru kątów służy kątomierz. Kąt prosty to połowa kąta obróconego. Pomiar kątów. Korzystanie z kątomierza. Kąty mierzy się w stopniach.

„Kąt wpisany w okrąg” – wnioski. Wskaż kąty wpisane pokazane na rysunku. Kąt wpisany. Który kąt nazywa się środkowym? Cele Lekcji. Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu. Przypadki lokalizacji belek. Znajdź to. Kąt wpisany mierzy się przez połowę łuku, na którym opiera się. Który z kątów pokazanych na rysunku jest wpisany?