Zadanie polega na narysowaniu koła za pomocą kompasu. Lekcja wideo „Krąg

§ 1 Koło. Podstawowe koncepcje

W matematyce istnieją zdania, które wyjaśniają znaczenie określonej nazwy lub wyrażenia. Takie zdania nazywamy definicjami.

Zdefiniujmy pojęcie koła. Okrąg jest figurą geometryczną składającą się ze wszystkich punktów płaszczyzny znajdujących się w danej odległości od danego punktu.

Ten punkt, nazwijmy go punktem O, nazywany jest środkiem okręgu.

Odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu nazywamy promieniem okręgu. Istnieje wiele takich segmentów, na przykład OA, OB, OS. Wszystkie będą miały taką samą długość.

Odcinek linii łączący dwa punkty na okręgu nazywamy cięciwą. MN to cięciwa koła.

Cięciwa przechodząca przez środek koła nazywana jest średnicą. AB to średnica koła. Średnica składa się z dwóch promieni, co oznacza, że długość średnicy jest dwa razy większa od promienia. Środek koła jest środkiem dowolnej średnicy.

Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Części te nazywane są łukami koła.

ANB i AMB to łuki kołowe.

Część płaszczyzny ograniczona kołem nazywamy kołem.

Kompas służy do przedstawiania koła na rysunku. Koło można również narysować na ziemi. Aby to zrobić, po prostu użyj liny. Przymocuj jeden koniec liny do kołka wbitego w ziemię, a drugim końcem zakreśl okrąg.

§ 2 Konstrukcje z kompasem i linijką

W geometrii wiele konstrukcji można wykonać tylko przy pomocy kompasu i linijki bez podziałek skali.

Używając tylko linijki, możesz narysować dowolną linię, a także dowolną linię przechodzącą przez dany punkt lub linię przechodzącą przez dwa dane punkty.

Kompas umożliwia narysowanie okręgu o dowolnym promieniu, także okręgu ze środkiem w danym punkcie i promieniu równym danemu segmentowi.

Osobno każde z tych narzędzi umożliwia wykonywanie najprostszych konstrukcji, ale za pomocą tych dwóch narzędzi można już wykonywać bardziej złożone operacje, np.

rozwiązywać problemy budowlane, np

Skonstruuj kąt równy danemu,

Skonstruuj trójkąt o danych bokach,

Podziel segment na pół

Przez dany punkt narysuj linię prostopadłą do podanej linii i tak dalej.

Rozważmy zadanie.

Zadanie: Na danym promieniu od początku odłóż odcinek równy podanemu.

Biorąc pod uwagę ray OS i segment AB. Konieczne jest skonstruowanie odcinka OD, równego segmentowi AB.

Za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu równym długości odcinka AB, którego środek znajduje się w punkcie O. Okrąg ten przetnie zadaną promień OS w pewnym punkcie D. Odcinek OD jest żądanym odcinkiem.

Spis wykorzystanej literatury:

Geometria. Klasy 7-9: podręcznik. dla edukacji ogólnej organizacje / LS Atanasyan, V.F. Butuzow, S.B. Kadomtsev i inni - M .: Edukacja, 2013. - 383 s.: chory.
Gavrilova N.F. Rozwój Pourochnye w geometrii Stopień 7. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Aby pomóc nauczycielowi w szkole).
Bielicka O.V. Geometria. 7 klasa. Część 1. Testy. - Saratów: Liceum, 2014. - 64 s.

Okrąg jest zamkniętą zakrzywioną linią, której każdy punkt znajduje się w tej samej odległości od jednego punktu O, zwanego środkiem.

Nazywa się linie proste łączące dowolny punkt koła z jego środkiem promienie R.

Nazywamy prostą AB łączącą dwa punkty koła i przechodzącą przez jego środek O średnica D.

Nazywa się części kół łuki.

Linia CD łącząca dwa punkty na okręgu nazywa się akord.

Nazywamy prostą MN, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem tangens.

Nazywa się część koła ograniczoną cięciwą CD i łukiem człon.

Nazywa się część koła ograniczoną dwoma promieniami i łukiem sektor.

Dwie wzajemnie prostopadłe poziome i pionowe linie przecinające się w środku koła nazywamy osie okręgu.

Kąt utworzony przez dwa promienie KOA nazywa się centralny róg.

Dwa promień wzajemnie prostopadły zrób kąt 90 0 i ogranicz 1/4 koła.

Rysujemy okrąg o osiach poziomej i pionowej, które dzielą go na 4 równe części. Narysowane kompasem lub kwadratem pod kątem 45 0 dwie wzajemnie prostopadłe linie dzielą okrąg na 8 równych części.

Podział koła na 3 i 6 równych części (wielokrotności 3 przez trzy)

Aby podzielić okrąg na 3, 6 i ich wielokrotność, rysujemy okrąg o zadanym promieniu i odpowiadających im osiach. Podział można rozpocząć od punktu przecięcia osi poziomej lub pionowej z okręgiem. Podany promień okręgu jest kolejno odkładany 6 razy. Następnie otrzymane punkty na okręgu są kolejno łączone liniami prostymi i tworzą regularny sześciokąt wpisany. Łączenie punktów przez jeden daje trójkąt równoboczny i podzielenie koła na trzy równe części.

Konstrukcję regularnego pięciokąta wykonuje się w następujący sposób. Rysujemy dwie wzajemnie prostopadłe osie koła równe średnicy koła. Podziel prawą połowę średnicy poziomej na pół za pomocą łuku R1. Z otrzymanego punktu „a” pośrodku tego odcinka o promieniu R2 rysujemy łuk koła, aż przecina się on z poziomą średnicą w punkcie „b”. Promień R3 od punktu „1” poprowadź łuk koła do przecięcia z danym okręgiem (punkt 5) i uzyskaj bok pięciokąta foremnego. Odległość „b-O” daje bok regularnego dziesięciokąta.

Dzielenie koła na N-tą liczbę identycznych części (budowa wielokąta foremnego o N bokach)

Wykonuje się to w następujący sposób. Rysujemy poziome i pionowe wzajemnie prostopadłe osie koła. Z górnego punktu „1” okręgu rysujemy linię prostą pod dowolnym kątem do osi pionowej. Odkładamy na nim równe odcinki o dowolnej długości, których liczba jest równa liczbie części, na jakie dzielimy dany okrąg, np. 9. Łączymy koniec ostatniego odcinka z dolnym punktem średnicy pionowej . Rysujemy linie równoległe do otrzymanej od końców odcinków do przecięcia ze średnicą pionową, dzieląc w ten sposób średnicę pionową danego okręgu na określoną liczbę części. O promieniu równym średnicy koła, od dolnego punktu osi pionowej rysujemy łuk MN, aż przecina się on z kontynuacją poziomej osi koła. Z punktów M i N prowadzimy promienie przez parzyste (lub nieparzyste) punkty podziału średnicy pionowej, aż przecinają się z okręgiem. Powstałe segmenty koła będą tymi pożądanymi, ponieważ punkty 1, 2, …. 9 podziel koło na 9 (N) równych części.

Cele:

utrwalenie koncepcji „koła”, „koła” wśród uczniów; wyprowadzić pojęcie „promienia koła”; nauczyć się budować okręgi o zadanym promieniu; rozwijać umiejętność rozumowania, analizowania.

Osobisty UUD:
kształtowanie pozytywnego nastawienia do lekcji matematyki;
zainteresowanie przedmiotową działalnością badawczą;

Zadania meta-przedmiotowe

UUD regulacyjny:
zaakceptować i zapisać zadanie uczenia się;
znaleźć kilka rozwiązań we współpracy z nauczycielem i klasą;

UUD poznawczy:
ustawianie i rozwiązywanie problemów:
samodzielnie identyfikować i formułować problem;
ogólne wykształcenie:
znaleźć potrzebne informacje w podręczniku;
zbuduj okrąg o zadanym promieniu za pomocą kompasu;
łamigłówka:
uformować pojęcie „promienia”;
klasyfikować, porównywać;
wyciągnąć własne wnioski;

Komunikatywny UUD:
aktywnie uczestniczyć w pracy zespołowej, używając środków mowy;
uzasadnij swój punkt widzenia;

Umiejętności przedmiotu:
identyfikować podstawowe cechy pojęć „promień okręgu”;
budować okręgi o różnych promieniach;
rozpoznawać promienie na rysunku.

Podczas zajęć

Motywacja do działań edukacyjnych

- Sprawdźmy, czy wszyscy są gotowi na lekcję?

„Emocjonalne wejście w lekcję”:

Uśmiechaj się jak słońce.

Marszczę brwi jak chmury

Płacz jak deszcz

Zaskoczony, jakbyś zobaczył tęczę

A teraz powtarzaj za mną

Gra „Przyjazne echo”

2.Aktualizacja wiedzy

Liczenie werbalne

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Rozwiń wzór. Kontynuuj rząd.

Odpowiedź: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Rozwiąż zadanie:

1. Pierwszego dnia sklep sprzedał 42 kg owoców, a drugiego dnia o 2 kg więcej. Ile kilogramów sprzedano drugiego dnia?

Co należy zmienić, aby zadanie zostało rozwiązane w 2 krokach.

Kulki - 16 szt.

Skakanka - 28 szt.

Znajdź rozwiązanie tego problemu.

28-16 28+16

Zmień pytanie tak, aby problem można było rozwiązać przez odejmowanie.

3. Zestawienie zadania uczenia się

1. Nazwij figury geometryczne

Obwód owalnej kuli

Której figury brakuje?

Co łączy figurki? (Koło, obwód, kula mają ten sam kształt)

Jaka jest różnica?

2. W

Jakie punkty leżą na okręgu? Jakie są punkty poza okręgiem?

Co oznacza punkt O? (środek koła)

Jak nazywa się odcinek OB?

Ile promieni można narysować w okręgu?

Który odcinek nie jest promieniem? Czemu?

Jaki może być wniosek?

Wniosek: wszystkie promienie mają tę samą długość .

3. Ile kółek jest na obrazku?

Czym różnią się kręgi? (rozmiar)

Co decyduje o wielkości koła?

Jaki może być wniosek?

Wniosek: im większy okrąg, tym większy jego promień.

Ustal temat lekcji.

Temat: Konstruowanie okręgu o zadanym promieniu za pomocą kompasu.

Jakie zadania możemy sobie wyznaczyć na tę lekcję?

4. Pracuj nad tematem

a) Konstrukcja koła.

Co musisz wiedzieć, aby narysować okrąg o danym rozmiarze?

Narysuj okrąg o promieniu 3 cm.

b) Przygotowanie do działań projektowych

1) Rozważ rysunek

Z jakich kształtów składa się motyl? Okręgi o tym samym promieniu?

2) Pracujcie w parach.

Przywróć kolejność etapów nad projektem.

Prezentacja projektu lub demonstracja

Intencja (zrobić szkic)

Zbuduj figurki, aby zrealizować plan

Zastanów się, jaki promień powinny mieć kształty

c) Praca nad projektem.

Pracuj w grupach zgodnie z opracowanym algorytmem

W produkcji lub obróbce elementów drewnianych w niektórych przypadkach wymagane jest określenie, gdzie znajduje się ich środek geometryczny. Jeśli część ma kwadratowy lub prostokątny kształt, nie jest to trudne. Wystarczy połączyć przeciwległe rogi przekątnymi, które jednocześnie przecinają się dokładnie w środku naszej figury.
W przypadku produktów, które mają kształt koła, to rozwiązanie nie sprawdzi się, ponieważ nie mają one rogów, a co za tym idzie przekątnych. W takim przypadku potrzebne jest inne podejście oparte na innych zasadach.

I istnieją, i to w wielu odmianach. Niektóre z nich są dość złożone i wymagają kilku narzędzi, inne są łatwe do wdrożenia i nie wymagają całego zestawu urządzeń do ich realizacji.
Teraz przyjrzymy się jednemu z najłatwiejszych sposobów znalezienia środka koła za pomocą zwykłej linijki i ołówka.

Sekwencja znajdowania środka okręgu:

1. Po pierwsze, musimy pamiętać, że cięciwa to linia prosta łącząca dwa punkty koła i nieprzechodząca przez środek koła. Wcale nie jest trudno go odtworzyć: wystarczy umieścić linijkę na kole w dowolnym miejscu, tak aby przecinała okrąg w dwóch miejscach, i narysować ołówkiem linię prostą. Segment wewnątrz okręgu będzie akordem.
Zasadniczo można zrezygnować z jednego akordu, ale aby zwiększyć dokładność ustalenia środka koła, narysujemy co najmniej parę, a jeszcze lepiej - 3, 4 lub 5 akordów o różnych długościach. Pozwoli nam to wyrównać błędy naszych konstrukcji i dokładniej poradzić sobie z zadaniem.

2. Następnie za pomocą tej samej linijki znajdujemy środki odtworzonych przez nas akordów. Na przykład, jeśli całkowita długość jednej cięciwy wynosi 28 cm, to jej środek będzie w punkcie, który jest 14 cm w linii prostej od przecięcia cięciwy z okręgiem.
Określiwszy w ten sposób środki wszystkich akordów, rysujemy przez nie prostopadłe linie, używając np. trójkąta prostokątnego.

3. Jeśli teraz będziemy kontynuować te linie prostopadle do cięciw w kierunku do środka koła, to przetną się one mniej więcej w jednym punkcie, który będzie pożądanym środkiem okręgu.

4. Ustaliwszy położenie środka naszego okręgu, możemy ten fakt wykorzystać do różnych celów. Tak więc, jeśli umieścisz w tym miejscu nóżkę kompasu stolarskiego, możesz narysować idealny okrąg, a następnie wyciąć okrąg za pomocą odpowiedniego narzędzia tnącego i wyznaczonego przez nas punktu środka okręgu.

Nazywa się zdanie, które wyjaśnia znaczenie określonego wyrażenia lub nazwy definicja. Spotkaliśmy się już z definicjami, na przykład z definicją kąta, kątów przyległych, trójkąta równoramiennego itp. Podajmy definicję innej figury geometrycznej - koła.

Definicja

Ten punkt nazywa się środek okręgu, a odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu to promień okręgu(ryc. 77). Z definicji koła wynika, że wszystkie promienie mają tę samą długość.

Ryż. 77

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się jego cięciwą. Cięciwa przechodząca przez środek koła nazywa się jego średnica.

Na rycinie 78 odcinki AB i EF to cięciwy koła, odcinek CD to średnica koła. Oczywiście średnica koła jest dwa razy większa od jego promienia. Środek koła jest środkiem dowolnej średnicy.

Ryż. 78

Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywana jest łukiem koła. Na rysunku 79 ALB i AMB są łukami ograniczonymi punktami A i B.

Ryż. 79

Aby przedstawić okrąg na rysunku, użyj kompas(Rys. 80).

Ryż. 80

Aby narysować okrąg na ziemi, możesz użyć liny (ryc. 81).

Ryż. 81

Część płaszczyzny ograniczona kołem nazywa się kołem (ryc. 82).

Ryż. 82

Konstrukcje z kompasem i linijką

Z konstrukcjami geometrycznymi mieliśmy już do czynienia: rysowaliśmy linie proste, odstawialiśmy odcinki równe zadanym, rysowaliśmy kąty, trójkąty i inne figury. W tym samym czasie używaliśmy linijki, kompasu, kątomierza, kwadratu do rysowania.

Okazuje się, że wiele konstrukcji da się wykonać tylko przy pomocy kompasu i liniału bez podziałek skali. Dlatego w geometrii szczególnie wyróżnia się te zadania konstrukcyjne, które rozwiązuje się tylko za pomocą tych dwóch narzędzi.

Co można z nimi zrobić? Oczywiste jest, że linijka pozwala na narysowanie dowolnej linii, jak również na zbudowanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty. Za pomocą kompasu możesz narysować okrąg o dowolnym promieniu, a także okrąg ze środkiem w danym punkcie i promieniem równym danemu segmentowi. Wykonując te proste czynności możemy rozwiązać wiele ciekawych problemów konstrukcyjnych:

skonstruować kąt równy danemu;
przez dany punkt poprowadzić linię prostopadłą do podanej linii;
podziel ten segment na pół i inne zadania.

Zacznijmy od prostego zadania.

Zadanie

Na danym promieniu od jego początku odłóż odcinek równy podanemu.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczby podane w stanie problemu: promień OS i segment AB (ryc. 83, a). Następnie za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu AB ze środkiem O (ryc. 83, b). Okrąg ten przetnie promień OS w pewnym punkcie D. Segment OD jest wymagany.

Ryż. 83

Przykłady zadań budowlanych

Konstruowanie kąta równego danemu

Zadanie

Odsuń od danej półprostej kąt równy podanemu.

Rozwiązanie

Kąt ten z wierzchołkiem A i promieniem OM pokazano na rysunku 84. Należy skonstruować kąt równy kątowi A, tak aby jeden z jego boków pokrywał się z promieniem OM.

Ryż. 84

Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu, którego środek znajduje się w wierzchołku A danego kąta. Ten okrąg przecina boki rogu w punktach B i C (ryc. 85, a). Następnie rysujemy okrąg o tym samym promieniu ze środkiem na początku danego promienia OM. Przecina wiązkę w punkcie D (ryc. 85, b). Następnie konstruujemy okrąg o środku D, którego promień jest równy BC. Okręgi o środkach O i D przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy jeden z tych punktów literą E. Udowodnijmy, że wymagany jest kąt MOE.

Ryż. 85

Rozważmy trójkąty ABC i ODE. Segmenty AB i AC to promienie koła o środku A, a odcinki OD i OE to promienie koła o środku O (patrz ryc. 85, b). Ponieważ z założenia okręgi te mają równe promienie, to AB = OD, AC = OE. Również z konstrukcji BC = DE.

Dlatego Δ ABC = Δ ODE z trzech stron. Zatem ∠DOE = ∠BAC, czyli skonstruowany kąt MOE jest równy danemu kątowi A.

Tę samą konstrukcję można wykonać na ziemi, jeśli zamiast kompasu użyjemy liny.

Konstruowanie dwusiecznej kąta

Zadanie

Skonstruuj dwusieczną podanego kąta.

Rozwiązanie

Ten kąt BAC pokazano na rysunku 86. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A. Przetnie on boki kąta w punktach B i C.

Ryż. 86

Następnie rysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu BC ze środkami w punktach B i C (na rysunku pokazano tylko części tych okręgów). Przecinają się w dwóch punktach, z których przynajmniej jeden leży w rogu. Oznaczamy go literą E. Udowodnijmy, że promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Rozważmy trójkąty ACE i ABE. Są równe z trzech stron. Rzeczywiście, AE jest wspólną stroną; AC i AB są równe promieniom tego samego okręgu; CE = BE według konstrukcji.

Z równości trójkątów ACE i ABE wynika, że ∠CAE = ∠BAE, czyli promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Komentarz

Czy dany kąt można podzielić na dwa równe kąty za pomocą kompasu i liniału? Oczywiste jest, że jest to możliwe - w tym celu musisz narysować dwusieczną tego kąta.

Kąt ten można również podzielić na cztery równe kąty. Aby to zrobić, musisz podzielić go na pół, a następnie ponownie podzielić każdą połowę na pół.

Czy można podzielić dany kąt na trzy równe kąty za pomocą kompasu i liniału? To zadanie, tzw problemy z trysekcją kąta, od wieków przyciąga uwagę matematyków. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że taka konstrukcja jest niemożliwa dla dowolnego kąta.

Budowa linii prostopadłych

Zadanie

Biorąc pod uwagę linię i punkt na niej. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej.

Rozwiązanie

Dana prosta a i dany punkt M należący do tej prostej są pokazane na rysunku 87.

Ryż. 87

Na promieniach prostej a wychodzącej z punktu M odkładamy równe odcinki MA i MB. Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w dwóch punktach: P i Q.

Narysujmy linię przechodzącą przez punkt M i jeden z tych punktów, na przykład linię MP (patrz ryc. 87), i udowodnijmy, że ta prosta jest pożądana, to znaczy, że jest prostopadła do danej prostej a .

Rzeczywiście, ponieważ mediana PM trójkąta równoramiennego PAB jest również wysokością, to PM ⊥ a.

Budowa środka segmentu

Zadanie

Skonstruuj środek tego odcinka.

Rozwiązanie

Niech AB będzie danym odcinkiem. Konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w punktach P i Q. Narysuj prostą PQ. Punkt O przecięcia tej linii z odcinkiem AB jest pożądanym punktem środkowym odcinka AB.

Rzeczywiście, trójkąty APQ i BPQ są równe z trzech boków, więc ∠1 = ∠2 (ryc. 89).

Ryż. 89

W konsekwencji odcinek RO jest dwusieczną trójkąta równoramiennego ARV, a zatem środkową, czyli punktem O jest środkiem odcinka AB.

Zadania

143. Które z odcinków pokazanych na rycinie 90 to: a) cięciwy koła; b) średnice koła; c) promienie okręgu?

Ryż. 90

144. Odcinki AB i CD to średnice koła. Wykazać, że: a) cięciwy BD i AC są równe; b) cięciwy AD i BC są równe; c) ∠ZŁE = ∠BCD.

Zadanie 145. Odcinek MK to średnica koła o środku O, a MR i RK to równe cięciwy tego koła. Znajdź ∠POM.

Zadanie 146. Odcinki AB i CD są średnicami koła o środku O. Znajdź obwód trójkąta AOD, jeśli wiadomo, że CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Na okręgu o środku O zaznaczono punkty A i B tak, że kąt AOB jest prosty. Odcinek BC to średnica koła. Udowodnij, że cięciwy AB i AC są równe.

148. Na linii prostej podane są dwa punkty A i B. Na kontynuacji wiązki BA odłóż odcinek BC tak, aby BC \u003d 2AB.

Zadanie 149. Dana jest prosta a, punkt B, który na niej nie leży, oraz odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na prostej a tak, aby BM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

Zadanie 150. Dany jest okrąg, punkt A, który na nim nie leży, oraz odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na okręgu tak, aby AM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

151. Dany jest kąt ostry BAC i promień XY. Skonstruuj kąt YXZ tak, aby ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Dany jest kąt rozwarty AOB. Skonstruuj promień OX tak, aby kąty XOA i XOB były równymi kątami rozwartymi.

Zadanie 153. Dana jest prosta a i punkt M, który na niej nie leży. Skonstruuj prostą przechodzącą przez punkt M i prostopadłą do prostej a.

Rozwiązanie

Skonstruujmy okrąg o środku w danym punkcie M, przecinający daną prostą a w dwóch punktach, które oznaczamy literami A i B (ryc. 91). Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B przechodzących przez punkt M. Okręgi te przecinają się w punkcie M i jeszcze jednym punkcie, który oznaczamy literą N. Narysujmy prostą MN i udowodnijmy, że ta prosta jest pożądaną jeden, czyli jest prostopadła do prostej a.

Ryż. 91

Rzeczywiście, trójkąty AMN i BMN są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2. Wynika z tego, że odcinek MC (C jest punktem przecięcia prostych a i MN) jest dwusieczną trójkąta równoramiennego AMB, a więc wysokością. Zatem MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.

154. Dany jest trójkąt ABC. Konstrukcje: a) dwusieczna AK; b) mediana VM; c) wysokość CH trójkąta. 155. Za pomocą kompasu i linijki skonstruuj kąt równy: a) 45°; b) 22°30”.

Odpowiedzi do zadań

152. Instrukcja. Najpierw skonstruuj dwusieczną kąta AOB.