Metody rozwiązywania równań logarytmicznych. Logarytmy: przykłady i rozwiązania Rozwiązywanie równań logarytmicznych u pierwiastka
Jak wiadomo, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b *a c = a b+c). To prawo matematyczne zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wykładników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady wykorzystania tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie trzeba uprościć uciążliwe mnożenie poprzez proste dodawanie. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prostym i przystępnym językiem.
Definicja w matematyce
Logarytm jest wyrażeniem w postaci: log a b=c, to znaczy logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej liczby dodatniej) „b” do jej podstawy „a” jest uważany za potęgę „c” ”, do którego należy podnieść podstawę „a”, aby ostatecznie otrzymać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taką potęgę, aby od 2 do wymaganej potęgi otrzymać 8. Po wykonaniu kilku obliczeń w głowie otrzymamy liczbę 3! I to prawda, ponieważ 2 do potęgi 3 daje odpowiedź 8.
Rodzaje logarytmów
Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne typy wyrażeń logarytmicznych:
- Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
- Dziesiętne a, gdzie podstawa wynosi 10.
- Logarytm dowolnej liczby b o podstawie a>1.
Każdy z nich rozwiązuje się w sposób standardowy, obejmujący uproszczenie, redukcję i późniejszą redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań przy ich rozwiązywaniu.
Zasady i pewne ograniczenia
W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdą. Na przykład nie da się podzielić liczb przez zero, nie da się też wyodrębnić pierwiastka parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy również mają swoje własne zasady, zgodnie z którymi można łatwo nauczyć się pracy nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:
- Podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a nie równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
- jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.
Jak rozwiązywać logarytmy?
Na przykład zadanie polega na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x = 100. Jest to bardzo proste, musisz wybrać potęgę, podnosząc liczbę dziesięć do uzyskania 100. To oczywiście jest 10 2 = 100.
Przedstawmy teraz to wyrażenie w formie logarytmicznej. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie zbiegają się, aby znaleźć potęgę, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.
Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:
Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczny umysł i wiedzę o tabliczce mnożenia. Jednak w przypadku większych wartości będziesz potrzebować tabeli mocy. Mogą z niego korzystać nawet ci, którzy nie mają zielonego pojęcia o skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. W lewej kolumnie znajdują się liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki zawierają wartości liczbowe będące odpowiedzią (a c =b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najbardziej prawdziwy humanista zrozumie!
Równania i nierówności
Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równość logarytmiczną. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm o podstawie 3 z 81 równy cztery (log 3 81 = 4). W przypadku potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań poniżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.
Podawane jest wyrażenie: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, gdyż nieznana wartość „x” znajduje się pod znakiem logarytmicznym. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby do podstawy dwa jest większy niż liczba trzy.
Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównością polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres akceptowalnych wartościi punkty wyznaczane są z naruszeniem tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w przypadku odpowiedzi na równanie, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.
Podstawowe twierdzenia o logarytmach
Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania czy nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim należy jasno zrozumieć i zastosować w praktyce wszystkie podstawowe właściwości logarytmów. Przyjrzymy się przykładom równań później; najpierw przyjrzyjmy się każdej właściwości bardziej szczegółowo.
- Główna tożsamość wygląda następująco: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe niż 0, a nie równe jedności, a B jest większe niż zero.
- Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem obowiązkowym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz przedstawić dowód tej formuły logarytmicznej wraz z przykładami i rozwiązaniem. Zapiszmy a s 1 = f 1 i zalogujmy a s 2 = f 2, następnie a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (własności stopnie ), a następnie z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
- Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.
Wzór ten nazywany jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest w tym nic dziwnego, gdyż cała matematyka opiera się na naturalnych postulatach. Spójrzmy na dowód.
Niech log a b = t, okaże się, że a t = b. Jeśli podniesiemy obie części do potęgi m: a tn = b n ;
ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n, zatem log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykłady problemów i nierówności
Najczęstszym typem problemów logarytmicznych są przykłady równań i nierówności. Można je znaleźć w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także są wymaganą częścią egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać egzaminy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązać takie zadania.
Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, ale do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim należy dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy też sprowadzić do postaci ogólnej. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy je szybko.
Rozwiązując równania logarytmiczne, musimy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.
Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że muszą wyznaczyć potęgę, do której podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Aby rozwiązać logarytmy naturalne, należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.
Jak korzystać ze wzorów logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami
Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia podstawowych twierdzeń o logarytmach.
- Własność logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź brzmi 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności potęgi logarytmu, udało nam się rozwiązać pozornie złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.
Zadania z jednolitego egzaminu państwowego
Logarytmy często spotyka się na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych na egzaminie Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (zadania najbardziej złożone i obszerne). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarity naturalne”.
Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu Unified State Exam. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.
Biorąc pod uwagę log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, nieco je upraszczając log 2 (2x-1) = 2 2, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4, zatem 2x = 17; x = 8,5.
- Najlepiej jest sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
- Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczone jako dodatnie, dlatego też, gdy wykładnik wyrażenia znajdującego się pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa zostanie wyjęty jako mnożnik, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.
Przygotowanie do egzaminu końcowego z matematyki obejmuje ważną sekcję - „Logarity”. Zadania z tego tematu są koniecznie zawarte w ujednoliconym egzaminie państwowym. Doświadczenia ostatnich lat pokazują, że równania logarytmiczne sprawiały wielu uczniom trudności. Dlatego uczniowie na różnych poziomach szkolenia muszą wiedzieć, jak znaleźć poprawną odpowiedź i szybko sobie z nią poradzić.
Zdaj pomyślnie test certyfikacyjny, korzystając z portalu edukacyjnego Shkolkovo!
Przygotowując się do egzaminu Unified State Exam, absolwenci szkół średnich potrzebują wiarygodnego źródła, które dostarcza najbardziej kompletnych i dokładnych informacji umożliwiających pomyślne rozwiązywanie problemów testowych. Podręcznik nie zawsze jest jednak pod ręką, a szukanie niezbędnych zasad i formuł w Internecie często wymaga czasu.
Portal edukacyjny Shkolkovo umożliwia przygotowanie się do ujednoliconego egzaminu państwowego w dowolnym miejscu i czasie. Nasz serwis oferuje najwygodniejszy sposób na powtarzanie i przyswajanie dużej ilości informacji na temat logarytmów, a także z jedną i kilkoma niewiadomymi. Zacznij od łatwych równań. Jeśli poradzisz sobie z nimi bez trudności, przejdź do bardziej złożonych. Jeśli masz problemy z rozwiązaniem konkretnej nierówności, możesz dodać ją do Ulubionych, aby móc do niej wrócić później.
Wzory niezbędne do wykonania zadania, powtórzenie specjalnych przypadków i metod obliczania pierwiastka standardowego równania logarytmicznego znajdziesz w sekcji „Pomoc teoretyczna”. Nauczyciele Shkolkovo zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystkie materiały niezbędne do pomyślnego zaliczenia w najprostszej i najbardziej zrozumiałej formie.
Aby łatwo poradzić sobie z zadaniami o dowolnej złożoności, na naszym portalu możesz zapoznać się z rozwiązaniem niektórych standardowych równań logarytmicznych. Aby to zrobić, przejdź do sekcji „Katalogi”. Mamy dużą liczbę przykładów, w tym równania z poziomem profilu Unified State Examination z matematyki.
Z naszego portalu mogą korzystać uczniowie szkół z całej Rosji. Aby rozpocząć zajęcia wystarczy zarejestrować się w systemie i przystąpić do rozwiązywania równań. Aby utrwalić wyniki, zalecamy codzienne powracanie na stronę Shkolkovo.
Na tej lekcji dokonamy przeglądu podstawowych faktów teoretycznych na temat logarytmów i rozważymy rozwiązanie najprostszych równań logarytmicznych.
Przypomnijmy definicję centralną - definicję logarytmu. Polega na rozwiązaniu równania wykładniczego. To równanie ma jeden pierwiastek i nazywa się logarytmem b na podstawie a:
Definicja:
Logarytm b o podstawie a jest wykładnikiem, do którego należy podnieść podstawę a, aby otrzymać b.
Przypomnijmy podstawowa tożsamość logarytmiczna.
Wyrażenie (wyrażenie 1) jest pierwiastkiem równania (wyrażenie 2). Zastąp wartość x z wyrażenia 1 zamiast x w wyrażeniu 2 i uzyskaj główną tożsamość logarytmiczną:
Widzimy więc, że każda wartość jest powiązana z wartością. Oznaczamy b przez x(), c przez y i w ten sposób otrzymujemy funkcję logarytmiczną:
Na przykład: 
Przypomnijmy podstawowe własności funkcji logarytmicznej.
Zwróćmy tutaj jeszcze raz uwagę, ponieważ pod logarytmem może znajdować się wyrażenie ściśle dodatnie, jako podstawa logarytmu.
Ryż. 1. Wykres funkcji logarytmicznej o różnych podstawach
Wykres funkcji at jest pokazany na czarno. Ryż. 1. Jeśli argument rośnie od zera do nieskończoności, funkcja rośnie od minus do plus nieskończoności.
Wykres funkcji at pokazano na czerwono. Ryż. 1.
Właściwości tej funkcji:
Domena: ;
Zakres wartości: ;
Funkcja jest monotoniczna w całym zakresie definicji. Gdy rośnie monotonicznie (ściśle), większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji. Gdy monotonicznie (ściśle) maleje, większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.
Właściwości funkcji logarytmicznej są kluczem do rozwiązywania różnych równań logarytmicznych.
Rozważmy najprostsze równanie logarytmiczne, wszystkie inne równania logarytmiczne z reguły sprowadzają się do tej postaci.
Ponieważ podstawy logarytmów i same logarytmy są równe, funkcje pod logarytmem są również równe, ale nie możemy pominąć dziedziny definicji. Pod logarytmem może pojawić się tylko liczba dodatnia, mamy:
Dowiedzieliśmy się, że funkcje f i g są równe, więc wystarczy wybrać dowolną nierówność, aby była zgodna z ODZ.
Mamy zatem układ mieszany, w którym występuje równanie i nierówność:
Z reguły nie jest konieczne rozwiązywanie nierówności, wystarczy rozwiązać równanie i podstawić znalezione pierwiastki do nierówności, wykonując w ten sposób sprawdzenie.
Sformułujmy metodę rozwiązywania najprostszych równań logarytmicznych:
Wyrównaj podstawy logarytmów;
Zrównać funkcje sublogarytmiczne;
Wykonaj kontrolę.
Spójrzmy na konkretne przykłady.
Przykład 1 - rozwiąż równanie:
Podstawy logarytmów są początkowo równe, mamy prawo zrównywać wyrażenia sublogarytmiczne, nie zapominamy o ODZ, wybieramy pierwszy logarytm do skomponowania nierówności:
Przykład 2 - rozwiąż równanie:
Równanie to różni się od poprzedniego tym, że podstawy logarytmów są mniejsze niż jeden, ale nie wpływa to w żaden sposób na rozwiązanie:
Znajdźmy pierwiastek i podstawmy go do nierówności:
Otrzymaliśmy błędną nierówność, co oznacza, że znaleziony pierwiastek nie spełnia ODZ.
Przykład 3 - rozwiąż równanie:
Podstawy logarytmów są początkowo równe, mamy prawo zrównywać wyrażenia sublogarytmiczne, nie zapominamy o ODZ, wybieramy drugi logarytm do skomponowania nierówności:
Znajdźmy pierwiastek i podstawmy go do nierówności:
Oczywiście tylko pierwszy pierwiastek spełnia ODZ.
Równania i nierówności logarytmiczne w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki, któremu jest poświęcony zadanie C3 . Każdy uczeń musi nauczyć się rozwiązywać zadania C3 z Unified State Exam z matematyki, jeśli chce zdać nadchodzący egzamin z oceną „dobrą” lub „doskonałą”. W artykule przedstawiono krótki przegląd powszechnie spotykanych równań i nierówności logarytmicznych, a także podstawowe metody ich rozwiązywania.
Przyjrzyjmy się zatem dzisiaj kilku przykładom. Równania i nierówności logarytmiczne, które były oferowane studentom przystępującym do Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki z lat poprzednich. Ale zacznie się od krótkiego podsumowania głównych punktów teoretycznych, które będziemy potrzebować, aby je rozwiązać.
Funkcja logarytmiczna
Definicja
Funkcja formy
0,\, a\ne 1 \]" title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
zwany funkcja logarytmiczna.
Podstawowe właściwości
Podstawowe własności funkcji logarytmicznej y=log x:
Wykres funkcji logarytmicznej to krzywa logarytmiczna:
Własności logarytmów
Logarytm iloczynu dwie liczby dodatnie są równe sumie logarytmów tych liczb:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Logarytm ilorazu dwie liczby dodatnie są równe różnicy logarytmów tych liczb:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Jeśli A I B A≠ 1, to dla dowolnej liczby R równość jest prawdą:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Równość dziennik A T=log A S, Gdzie A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, ważne wtedy i tylko wtedy, gdy T = S.
Jeśli A, B, C są liczbami dodatnimi, oraz A I C różnią się od jedności, to równość ( wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu):
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Twierdzenie 1. Jeśli F(X) > 0 i G(X) > 0, wówczas logarytm równania logarytmicznego a f(X) = log g(X) (Gdzie A > 0, A≠ 1) jest równoważne równaniu F(X) = G(X).
Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych
Przykład 1. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko te X, dla którego wyrażenie pod znakiem logarytmu jest większe od zera. Wartości te wyznacza następujący układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Biorąc pod uwagę, że
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
otrzymujemy przedział określający zakres dopuszczalnych wartości tego równania logarytmicznego:
Bazując na Twierdzeniu 1, którego wszystkie warunki są tutaj spełnione, przechodzimy do następującego równoważnego równania kwadratowego:
Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko pierwszy pierwiastek.
Odpowiedź: x = 7.
Przykład 2. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości równania wyznacza układ nierówności:
ql-right-eqno">
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości równania można tutaj łatwo określić: X > 0.
Stosujemy podstawienie:
Równanie staje się:
Odwrotne podstawienie:
Obydwa odpowiedź mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości równania, ponieważ są liczbami dodatnimi.
Przykład 4. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Rozpocznijmy rozwiązanie od nowa, określając zakres dopuszczalnych wartości równania. Wyznacza się to za pomocą następującego układu nierówności:
ql-right-eqno">
Podstawy logarytmów są takie same, zatem w zakresie dopuszczalnych wartości możemy przystąpić do następującego równania kwadratowego:
Pierwszy pierwiastek nie mieści się w zakresie dopuszczalnych wartości równania, ale drugi tak.
Odpowiedź: X = -1.
Przykład 5. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Będziemy szukać rozwiązań pomiędzy X > 0, X≠1. Przekształćmy równanie na równoważne:
Obydwa odpowiedź mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości równania.
Przykład 6. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Układ nierówności określający zakres dopuszczalnych wartości równania ma tym razem postać:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Korzystając z własności logarytmu, przekształcamy równanie na równanie równoważne w zakresie dopuszczalnych wartości:
Korzystając ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu, otrzymujemy:
Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko jeden odpowiedź: X = 4.
Przejdźmy teraz do nierówności logarytmiczne . Właśnie z tym będziesz musiał sobie poradzić na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki. Aby rozwiązać dalsze przykłady potrzebujemy następującego twierdzenia:
Twierdzenie 2. Jeśli F(X) > 0 i G(X) > 0, wówczas:
Na A> 1 logarytmiczna nierówność logarytmiczna a F(X) > zaloguj się G(X) jest równoważne nierówności o tym samym znaczeniu: F(X) > G(X);
o 0< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > zaloguj się G(X) jest równoważne nierówności o odwrotnym znaczeniu: F(X) < G(X).
Przykład 7. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie. Zacznijmy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości nierówności. Wyrażenie pod znakiem funkcji logarytmicznej może przyjmować wyłącznie wartości dodatnie. Oznacza to, że wymagany zakres dopuszczalnych wartości wyznacza następujący układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Ponieważ podstawa logarytmu jest liczbą mniejszą niż jeden, odpowiednia funkcja logarytmiczna będzie malejąca, a zatem zgodnie z Twierdzeniem 2 przejście do następującej nierówności kwadratowej będzie równoważne:
Ostatecznie, biorąc pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy odpowiedź:
Przykład 8. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie. Zacznijmy od nowa, określając zakres dopuszczalnych wartości:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Na zbiorze dopuszczalnych wartości nierówności przeprowadzamy równoważne przekształcenia:
Po redukcji i przejściu do równoważnika nierówności z Twierdzenia 2 otrzymujemy:
Uwzględniając zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy wynik końcowy odpowiedź:
Przykład 9. Rozwiąż nierówność logarytmiczną:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości nierówności wyznacza następujący układ:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Można zauważyć, że w zakresie wartości dopuszczalnych wyrażenie u podstawy logarytmu jest zawsze większe od jedności, zatem zgodnie z Twierdzeniem 2 przejście do nierówności będzie równoważne:
Biorąc pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy ostateczną odpowiedź:
Przykład 10. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie.
Zakres dopuszczalnych wartości nierówności wyznacza układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Metoda I Skorzystajmy ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu i przejdźmy do nierówności równoważnej w zakresie dopuszczalnych wartości.
Matematyka to coś więcej niż nauka, to jest język nauki.
Duński fizyk i osoba publiczna Niels Bohr
Równania logarytmiczne
Wśród typowych zadań, oferowane podczas testów wstępnych (konkurencyjnych)., są zadania, związane z rozwiązywaniem równań logarytmicznych. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba mieć dobrą znajomość właściwości logarytmów i umieć je wykorzystać.
W tym artykule najpierw przedstawiono podstawowe pojęcia i właściwości logarytmów., a następnie rozważane są przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych.
Podstawowe pojęcia i właściwości
Najpierw przedstawiamy podstawowe własności logarytmów, którego zastosowanie pozwala skutecznie rozwiązywać stosunkowo złożone równania logarytmiczne.
Główna tożsamość logarytmiczna jest zapisana jako
, (1)
Do najbardziej znanych właściwości logarytmów należą następujące równości:
1. Jeśli , , i , to , ,
2. Jeśli , , i , to .
3. Jeśli , i , to .
4. Jeśli , , i Liczba naturalna, To
5. Jeśli , , i Liczba naturalna, To
6. Jeśli , i , to .
7. Jeśli , i , to .
Bardziej złożone właściwości logarytmów formułuje się za pomocą następujących stwierdzeń:
8. Jeśli , , i , to
9. Jeśli , i , to
10. Jeśli , , i , to
Dowód dwóch ostatnich właściwości logarytmów znajduje się w autorskim podręczniku „Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe działy matematyki szkolnej” (M.: Lenand / URSS, 2014).
Warto również zwrócić uwagę jaka jest funkcja wzrasta, jeśli i malejące , jeśli .
Spójrzmy na przykłady problemów rozwiązywania równań logarytmicznych, ułożone według rosnącego stopnia trudności.
Przykłady rozwiązywania problemów
Przykład 1. Rozwiązać równanie
. (2)
Rozwiązanie. Z równania (2) mamy . Przekształćmy równanie w następujący sposób: , lub .
Ponieważ , wówczas pierwiastkiem równania (2) jest.
Odpowiedź: .
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Równanie (3) jest równoważne równaniom
Lub .
Stąd dostajemy.
Odpowiedź: .
Przykład 3. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Z równania (4) wynika, Co . Korzystanie z podstawowej tożsamości logarytmicznej (1), możemy pisać
Lub .
Jeśli umieścisz stąd otrzymujemy równanie kwadratowe, który ma dwa korzenie I . Jednak dlatego i odpowiedni pierwiastek równania jest tylko . Ponieważ , wtedy lub .
Odpowiedź: .
Przykład 4. Rozwiązać równanie
Rozwiązanie.Zakres dopuszczalnych wartości zmiennejw równaniu (5) są.
Niech będzie . Ponieważ funkcjaw dziedzinie definicji maleje i funkcja rośnie wzdłuż całej osi liczbowej, a następnie równanie nie może mieć więcej niż jednego korzenia.
Poprzez selekcję znajdujemy jedyny pierwiastek.
Odpowiedź: .
Przykład 5. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie. Jeśli obie strony równania zostaną przeniesione logarytmicznie do podstawy 10, wówczas
Lub .
Rozwiązując równanie kwadratowe dla , otrzymujemy i . Dlatego tutaj mamy i .
Odpowiedź: , .
Przykład 6. Rozwiązać równanie
. (6)
Rozwiązanie.Skorzystajmy z tożsamości (1) i przekształćmy równanie (6) w następujący sposób:
Lub .
Odpowiedź: , .
Przykład 7. Rozwiązać równanie
. (7)
Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę własność 9, mamy . W związku z tym równanie (7) przyjmuje postać
Stąd otrzymujemy lub .
Odpowiedź: .
Przykład 8. Rozwiązać równanie
. (8)
Rozwiązanie.Skorzystajmy z własności 9 i przepiszmy równanie (8) do równoważnej postaci.
Jeżeli wówczas wyznaczymy, wtedy otrzymamy równanie kwadratowe, Gdzie . Od równaniama tylko jeden dodatni pierwiastek, następnie lub . Oznacza to .
Odpowiedź: .
Przykład 9. Rozwiązać równanie
. (9)
Rozwiązanie. Ponieważ z równania (9) wynika potem tutaj. Zgodnie z właściwością 10, można zapisać.
Pod tym względem równanie (9) będzie równoważne równaniom
Lub .
Stąd otrzymujemy pierwiastek równania (9).
Przykład 10. Rozwiązać równanie
. (10)
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej w równaniu (10) wynosi . Zgodnie z własnością 4 mamy tutaj
. (11)
Ponieważ , to równanie (11) przyjmuje postać równania kwadratowego, gdzie . Pierwiastkami równania kwadratowego są i .
Ponieważ , wtedy i . Stąd otrzymujemy i .
Odpowiedź: , .
Przykład 11. Rozwiązać równanie
. (12)
Rozwiązanie. Oznaczmy zatem a równanie (12) przyjmuje postać
Lub
. (13)
Łatwo zauważyć, że pierwiastkiem równania (13) jest . Pokażmy, że to równanie nie ma innych pierwiastków. Aby to zrobić, podziel obie strony przez i uzyskaj równoważne równanie
. (14)
Ponieważ funkcja jest malejąca, a rosnąca na całej osi liczbowej, to równanie (14) nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka. Ponieważ równania (13) i (14) są równoważne, równanie (13) ma pojedynczy pierwiastek.
Ponieważ , wtedy i .
Odpowiedź: .
Przykład 12. Rozwiązać równanie
. (15)
Rozwiązanie. Oznaczmy i . Ponieważ funkcja maleje w dziedzinie definicji, a dla dowolnych wartości jest rosnąca, równanie nie może mieć tego samego pierwiastka. Poprzez bezpośrednią selekcję ustalamy, że pożądanym pierwiastkiem równania (15) jest .
Odpowiedź: .
Przykład 13. Rozwiązać równanie
. (16)
Rozwiązanie. Korzystając z właściwości logarytmów, otrzymujemy
Od tego czasu i mamy nierówność
Powstała nierówność pokrywa się z równaniem (16) tylko w przypadku, gdy lub .
Przez podstawienie wartoścido równania (16) jesteśmy o tym przekonani, Co jest jego korzeniem.
Odpowiedź: .
Przykład 14. Rozwiązać równanie
. (17)
Rozwiązanie. Ponieważ tutaj , to równanie (17) przyjmuje postać .
Jeśli umieścimy , otrzymamy równanie
, (18)
Gdzie . Z równania (18) wynika: lub . Ponieważ równanie ma jeden odpowiedni pierwiastek. Jednak właśnie dlatego.
Przykład 15. Rozwiązać równanie
. (19)
Rozwiązanie. Oznaczmy , wówczas równanie (19) przyjmie postać . Jeśli podniesiemy to równanie do podstawy 3, otrzymamy
Lub
Wynika z tego i . Ponieważ , wtedy i . W związku z tym i.
Odpowiedź: , .
Przykład 16. Rozwiązać równanie
. (20)
Rozwiązanie. Wprowadźmy parametri przepisz równanie (20) w postaci równania kwadratowego ze względu na parametr, tj.
. (21)
Pierwiastkami równania (21) są
Lub , . Ponieważ , mamy równania i . Stąd otrzymujemy i .
Odpowiedź: , .
Przykład 17. Rozwiązać równanie
. (22)
Rozwiązanie. Aby ustalić dziedzinę definicji zmiennej w równaniu (22), należy wziąć pod uwagę zbiór trzech nierówności: , oraz .
Zastosowanie właściwości 2, z równania (22) otrzymujemy
Lub
. (23)
Jeśli w równaniu (23) umieścimy, wtedy otrzymamy równanie
. (24)
Równanie (24) zostanie rozwiązane w następujący sposób:
Lub
Wynika z tego i , tj. równanie (24) ma dwa pierwiastki: i .
Ponieważ , następnie , lub , .
Odpowiedź: , .
Przykład 18. Rozwiązać równanie
. (25)
Rozwiązanie. Korzystając z własności logarytmów, przekształcamy równanie (25) w następujący sposób:
, , .
Stąd dostajemy.
Przykład 19. Rozwiązać równanie
. (26)
Rozwiązanie. Od tego czasu.
Dalej, mamy. Stąd , równość (26) jest spełniona tylko wtedy, gdy, gdy obie strony równania są równe 2 w tym samym czasie.
Zatem , równanie (26) jest równoważne układowi równań
Z drugiego równania układu otrzymujemy
Lub .
Łatwo to zobaczyć jakie to ma znaczenie spełnia również pierwsze równanie układu.
Odpowiedź: .
Aby uzyskać bardziej szczegółowe przestudiowanie metod rozwiązywania równań logarytmicznych, możesz zapoznać się z podręcznikami z listy zalecanej literatury.
1. Kushnir A.I. Arcydzieła matematyki szkolnej (problemy i rozwiązania w dwóch książkach). – Kijów: Astarte, tom 1, 1995. – 576 s.
2. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Pokój i edukacja, 2013. – 608 s.
3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe działy programu nauczania. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
4. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: zadania o podwyższonym stopniu złożoności. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 200 s.
5. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.
Nadal masz pytania?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Ładowanie...