Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, która ma postać funkcji potęgowej
y = ty v ,
w którym podstawa u i wykładnik v są pewnymi funkcjami zmiennej x:
ty = ty (X); v = w (X).
Ta funkcja jest również nazywana wykładniczy Lub .

Należy zauważyć, że funkcję potęgowo-wykładniczą można przedstawić w formie wykładniczej:
.
Dlatego też jest to tzw złożona funkcja wykładnicza.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Obliczenia przy użyciu pochodnej logarytmicznej

Znajdźmy pochodną funkcji wykładniczej potęgowej
(2) ,
gdzie i są funkcjami zmiennej.
Aby to zrobić, logarytmujemy równanie (2), korzystając z własności logarytmu:
.
Różniczkuj ze względu na zmienną x:
(3) .
Stosujemy zasady różniczkowania funkcji złożonych i działa:
;
.

Podstawiamy w (3):
.
Stąd
.

Zatem znaleźliśmy pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej:
(1) .
Jeśli wykładnik jest stały, to . Wtedy pochodna jest równa pochodnej zespolonej funkcji potęgowej:
.
Jeśli podstawa stopnia jest stała, to . Wtedy pochodna jest równa pochodnej złożonej funkcji wykładniczej:
.
Gdy i są funkcjami x, to pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej jest równa sumie pochodnych zespolonej funkcji potęgowej i wykładniczej.

Obliczanie pochodnej poprzez redukcję do złożonej funkcji wykładniczej

Znajdźmy teraz pochodną funkcji wykładniczej potęgowej
(2) ,
przedstawiając to jako złożoną funkcję wykładniczą:
(4) .

Rozróżnijmy produkt:
.
Stosujemy regułę znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

.
I znowu otrzymaliśmy wzór (1).

Przykład 1

Znajdź pochodną następującej funkcji:
.

Obliczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej. Logarytmujemy pierwotną funkcję:
(A1.1) .

Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu mamy:
.
Rozróżniamy (A1.1):
.
Ponieważ
,
To
.

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się na egzaminie Unified State Exam, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A oryginalną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Przy różnicowaniu wykładniczych funkcji potęgowych lub uciążliwych wyrażeń ułamkowych wygodnie jest używać pochodnej logarytmicznej. W tym artykule przyjrzymy się przykładom jego zastosowania wraz ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Dalsza prezentacja zakłada umiejętność korzystania z tabeli pochodnych, zasad różniczkowania oraz znajomość wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną logarytmiczną.

Najpierw sprowadzamy logarytmy do podstawy e, upraszczamy postać funkcji, korzystając z właściwości logarytmu, a następnie znajdujemy pochodną domyślnie określonej funkcji:

Na przykład znajdźmy pochodną wykładniczej funkcji potęgowej x do potęgi x.

Branie logarytmów daje . Zgodnie z właściwościami logarytmu. Różniczkowanie obu stron równości prowadzi do wyniku:

Odpowiedź: .

Ten sam przykład można rozwiązać bez użycia pochodnej logarytmicznej. Można przeprowadzić pewne przekształcenia i przejść od różniczkowania wykładniczej funkcji potęgowej do znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie funkcja jest ułamkiem, a jego pochodną można znaleźć, korzystając z zasad różniczkowania. Ale ze względu na uciążliwość wyrażenia będzie to wymagało wielu przekształceń. W takich przypadkach rozsądniej jest zastosować wzór na pochodną logarytmiczną . Dlaczego? Teraz zrozumiesz.

Znajdźmy to najpierw. W przekształceniach będziemy korzystać z właściwości logarytmu (logarytm ułamka jest równy różnicy logarytmów, a logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, a stopień wyrażenia pod znakiem logarytmu może wynosić wyjęty jako współczynnik przed logarytmem):

Przekształcenia te doprowadziły nas do dość prostego wyrażenia, którego pochodną łatwo znaleźć:

Otrzymany wynik podstawiamy do wzoru na pochodną logarytmiczną i otrzymujemy odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, podamy jeszcze kilka przykładów bez szczegółowych wyjaśnień.

Przykład.

Znajdź pochodną wykładniczej funkcji potęgowej

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższego rzędu. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.

Treść

Zobacz też: Funkcja potęgowa i pierwiastki, wzory i wykres
Wykresy funkcji mocy

Podstawowe formuły

Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1) .

Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2) .

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej

Przypadek x > 0

Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3) .
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.

Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.

Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .

Wzór (1) został udowodniony.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m

Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4) .

Aby znaleźć pochodną, ​​przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1) ;
;
(2) .

W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).

Przypadek x = 0

Jeżeli , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0 . Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x = 0 . W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
.

Podstawmy x = 0 :
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .

Znaleźliśmy więc:
.
Z tego jasno wynika, że ​​dla , .
Na , .
Na , .
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):
(1) .
Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x = 0 .

Przypadek x< 0

Rozważmy ponownie funkcję (3):
(3) .
Dla pewnych wartości stałej a definiuje się ją również dla ujemnych wartości zmiennej x. Mianowicie, niech a będzie liczbą wymierną. Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny:
,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi, które nie mają wspólnego dzielnika.

Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x. Na przykład, gdy n = 3 i m = 1 mamy pierwiastek sześcienny z x:
.
Jest on również definiowany dla ujemnych wartości zmiennej x.

Znajdźmy pochodną funkcji potęgi (3) dla i dla wymiernych wartości stałej a, dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, przedstawmy x w następującej formie:
.
Następnie ,
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1) .

Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3) .
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.

Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;

.

Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.

Zauważ, że jeśli a jest liczbą naturalną, to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .

Przykłady obliczania instrumentów pochodnych

Przykład

Znajdź pochodną funkcji:
.

Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.

Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.

Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Czytelnicy o niskim poziomie przygotowania powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? To wystarczy!”, gdyż wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistych testów i często spotykane są w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych gałęzi analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często dokonywać różnicowania i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) opisywanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o trzeciej w nocy zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : ponieważ funkcja może przyjmować wartości ujemne, wówczas ogólnie rzecz biorąc należy użyć modułów: , które zanikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, jeśli domyślnie jest brany pod uwagę złożony znaczenia. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy poczynić zastrzeżenie.

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy projekt przykładu tego typu znajduje się na końcu lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej udało się rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będziemy różniczkować według wzoru standardowego .

Znajdujemy pochodną, ​​w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, prosimy o ponowne dokładne przeczytanie wyjaśnień do Przykładu nr 11.

W zadaniach praktycznych funkcja potęgowo-wykładnicza będzie zawsze bardziej skomplikowana niż rozważany przykład z wykładu.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :