Charakterystyka pokazana na rysunku 1.5b to przekaźnik trójpozycyjny, w którym dodatkowe położenie wynika z nieczułości. Równanie takiej charakterystyki

Charakterystyka pokazana na rysunku 1.5c to przekaźnik dwustawny z histerezą. Nazywa się go także „przekaźnikiem z pamięcią”. „Pamięta” swój poprzedni stan i w ciągu x in< a сохраняет это своё значение. Уравне-

taka cecha

Charakterystyka pokazana na rysunku 1.5d to przekaźnik trójstawny z histerezą, w którym dodatkowe położenie wynika ze strefy martwej. Równanie takiej charakterystyki

Z powyższych równań widać, że w przypadku braku pętli histerezy działanie wyjściowe przekaźnika zależy tylko od wartości x in lub x out = f (x in ) .

W obecności pętli histerezy wartość x out zależy również od pochodnej względem x in lub x out \u003d f (x in, x & in ) , gdzie x & in charakteryzuje obecność „pamięci” w przekaźniku.

1.4 Analiza metod badania układów nieliniowych

Aby rozwiązać problemy analizy i syntezy układu nieliniowego, należy przede wszystkim zbudować jego model matematyczny, charakteryzujący powiązanie sygnałów wyjściowych układu z sygnałami odzwierciedlającymi efekty wywierane na układ. W rezultacie otrzymujemy nieliniowe równanie różniczkowe wyższego rzędu, czasami z wieloma zależnościami logicznymi. Nowoczesna technologia obliczeniowa pozwala rozwiązywać dowolne równania nieliniowe i trzeba będzie rozwiązać niezwykle dużą liczbę tych nieliniowych równań różniczkowych. Następnie wybierz najlepszy. Ale jednocześnie nie można mieć pewności, że wybrane rozwiązanie jest rzeczywiście optymalne i nie wiadomo, jak wybrane rozwiązanie można ulepszyć. Dlatego jeden z problemów teorii sterowania jest następujący.

Stworzenie takich metod projektowania układów sterowania, które pozwalają na określenie najlepszej struktury i optymalnych stosunków parametrów układu.

Aby wykonać to zadanie, potrzebujesz metody obliczeniowe, które

pozwalają w dość prostej formie określić matematyczne zależności parametrów układu nieliniowego ze wskaźnikami dynamicznymi procesu sterowania

Lenia. A jednocześnie bez znalezienia rozwiązania nieliniowego równania różniczkowego. Aby rozwiązać problem, nieliniowe charakterystyki rzeczywistych elementów układu zastępuje się pewnymi wyidealizowanymi charakterystykami przybliżonymi. Obliczanie układów nieliniowych według takich charakterystyk daje przybliżone wyniki, ale najważniejsze jest to, że uzyskane zależności pozwalają powiązać strukturę i parametry układu z jego właściwościami dynamicznymi.

W najprostszych przypadkach i głównie dla układu nieliniowego drugiego rzędu stosuje się go metoda trajektorii fazowej, co pozwala wizualnie pokazać dynamikę ruchu układu nieliniowego dla różnych typów ogniw nieliniowych, z uwzględnieniem warunków początkowych. Jednak stosując tę ​​metodę trudno jest uwzględnić różne wpływy zewnętrzne.

W przypadku systemu wyższego rzędu użyj metoda linearyzacji harmonicznej. Przy konwencjonalnej linearyzacji charakterystyka nieliniowa jest traktowana jako liniowa i traci część swoich właściwości. Dzięki linearyzacji harmonicznej zachowane są specyficzne właściwości łącza nieliniowego. Ale ta metoda jest przybliżona. Stosuje się ją w przypadku spełnienia szeregu warunków, które zostaną pokazane przy obliczaniu układu nieliniowego tą metodą. Ważną właściwością tej metody jest bezpośrednie powiązanie parametrów systemu z dynamicznymi wskaźnikami procesu regulacji.

Aby określić błąd statystyczny regulacji pod wpływem czynników losowych, używamy metoda linearyzacji statystycznej. Istotą tej metody jest zastąpienie elementu nieliniowego równoważnym elementem liniowym, który przekształca dwa pierwsze momenty statystyczne funkcji losowej w taki sam sposób, jak element nieliniowy: oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) i wariancja (lub odchylenie standardowe). Istnieją inne metody analizy układów nieliniowych. Na przykład, metoda małych parametrów w postaci B.V Bułhakow. Metoda asymptotyczna N.M. Kryłow i N.N. Bogolubow analizować proces w czasie w pobliżu rozwiązania okresowego. Wykres-analityczny Metoda pozwala na redukcję problemu nieliniowego do liniowego. Metoda równowagi harmonicznej który korzystał z L.S. Goldfarba do analizy stabilności układów nieliniowych według kryterium Nyquista. Metody graficzne, wśród których D.A. Baszkirow. Z różnorodnych metod badawczych w tym samouczku zostaną rozważone: metoda trajektorii fazowych, metoda transformacji punktowych, metoda linearyzacji harmonicznej E.P. Popov, metoda grafowo-analityczna L.S. Goldfarb, absolutne kryterium stabilności V.M. Popova, metoda linearyzacji statystycznej.

System uważa się za nieliniowy, jeśli jego rząd >2 (n>2).

Badanie układów liniowych wyższego rzędu wiąże się z pokonywaniem znacznych trudności matematycznych, ponieważ nie ma ogólnych metod rozwiązywania równań nieliniowych. Analizując ruch układów nieliniowych stosuje się metody całkowania numerycznego i graficznego, które pozwalają na otrzymanie tylko jednego konkretnego rozwiązania.

Metody badawcze dzielą się na dwie grupy. Pierwszą grupę stanowią metody polegające na znajdowaniu dokładnych rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych. Druga grupa to metody przybliżone.

Rozwój metod dokładnych jest ważny zarówno z punktu widzenia uzyskiwania bezpośrednich wyników, jak i badania różnych specjalnych reżimów i form procesów dynamicznych układów nieliniowych, których nie można zidentyfikować i przeanalizować metodami przybliżonymi. Dokładne metody to:

1. Metoda bezpośrednia Lapunowa

2. Metody płaszczyzny fazowej

3. Metoda dopasowania

4. Metoda transformacji punktowych

5. Metoda przekrojów przestrzeni parametrów

6. Metoda częstotliwościowa wyznaczania stabilności absolutnej

Do rozwiązania wielu problemów teoretycznych i praktycznych wykorzystuje się technologię obliczeń dyskretnych i analogowych, co pozwala na zastosowanie metod modelowania matematycznego w połączeniu z modelowaniem półnaturalnym i pełnoskalowym. W tym przypadku technologia komputerowa łączy się z rzeczywistymi elementami systemów sterowania, ze wszystkimi związanymi z nimi nieliniowościami.

Do metod przybliżonych zalicza się metody analityczne i grafowo-analityczne, które umożliwiają zastąpienie układu nieliniowego równoważnym modelem liniowym, a następnie wykorzystanie do jego badania metod liniowej teorii układów dynamicznych.

Istnieją dwie grupy metod przybliżonych.

Pierwsza grupa opiera się na założeniu, że badany układ nieliniowy ma podobne właściwości do układu liniowego. Są to metody małego parametru, gdy ruch układu opisuje się szeregami potęgowymi względem jakiegoś małego parametru, który występuje w równaniach układu lub jest do tych równań wprowadzany sztucznie.

Druga grupa metod ma na celu badanie naturalnych okresowych oscylacji układu. Opiera się ona na założeniu, że pożądane oscylacje układu są zbliżone do harmonicznych. Są to metody równowagi harmonicznej lub linearyzacji harmonicznej. W przypadku ich zastosowania następuje warunkowa zamiana elementu nieliniowego, na który działa harmoniczny sygnał wejściowy, na równoważne elementy liniowe. Analityczne uzasadnienie linearyzacji harmonicznych opiera się na zasadzie równości zmiennych wyjściowych częstotliwości, amplitudy i fazy, zastępczego elementu liniowego i pierwszej harmonicznej zmiennej wyjściowej rzeczywistego elementu nieliniowego.

Największy efekt daje rozsądne połączenie metod przybliżonych i dokładnych.

Istnieją dokładne i przybliżone metody badania układów nieliniowych.Do metod dokładnych zaliczają się metody trajektorii fazowych, transformacji punktowych, metoda częstotliwości Popowa, metoda przekrojów przestrzeni parametrów, metoda dopasowań, a do metod przybliżonych zalicza się metodę linearyzacja harmoniczna.

Podstawy metody trajektorii fazowej

Metoda trajektorii fazowych polega na tym, że zachowanie badanego układu nieliniowego rozpatruje się i opisuje nie w dziedzinie czasu (w postaci równań procesów zachodzących w układzie), ale w przestrzeni fazowej układu (w postaci trajektorii fazowych).

Stan nieliniowego układu automatyki charakteryzuje się współrzędnymi fazowymi układu

zdefiniowanie wektora stanu układu w przestrzeni fazowej układu

Y (y1, y2, y3,...yn).

Przy wprowadzaniu współrzędnych fazowych należy uwzględnić nieliniowe równanie różniczkowe rzędu n dla procesu swobodnego w układzie nieliniowym

jest przekształcany do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu

Podczas procesu w układzie zmieniają się współrzędne fazowe yi, a wektor stanu układu Y opisuje hodograf w n-wymiarowej przestrzeni fazowej układu (rys. 56). Hodograf wektora stanu (trajektoria ruchu reprezentującego punktu M odpowiadająca końcowi wektora) jest trajektorią fazową układu. Forma trajektorii fazowej jest jednoznacznie powiązana z naturą procesu w systemie. Dlatego właściwości układu nieliniowego można ocenić na podstawie jego trajektorii fazowych.

Równanie trajektorii fazy można otrzymać z powyższego układu równań pierwszego rzędu odnoszących się do współrzędnych fazowych i uwzględniających właściwości układu poprzez eliminację czasu. Trajektoria fazowa nie wyświetla czasu procesów w systemie.

Zależność pomiędzy trajektorią fazową y(x) a procesem x(t) ilustruje rys. 57. Trajektoria fazowa zbudowana jest we współrzędnych fazowych 0XY, gdzie x jest wartością wyjściową układu, y jest szybkością zmian wartości wyjściowej (pierwsza pochodna x’). Przejściowy proces x(t) jest wykreślany we współrzędnych x–t (wartością wyjściową jest czas).

Metoda transformacji punktowych powierzchni pozwala na wyznaczanie wszelkich rodzajów ruchu (oscylacji swobodnych) nieliniowych układów dynamicznych po wszelkich odchyłkach początkowych. Metodę opracowano do analizy i syntezy ruchów układów opisanych równaniami różniczkowymi niskiego rzędu (drugiego, trzeciego) oraz układu sterowanego przekaźnikowo z uwzględnieniem opóźnienia.

Zamiana odbywa się w odcinkach, dla każdego z nich nieliniowa część charakterystyki jest reprezentowana przez odcinek liniowy. Umożliwia to otrzymanie całkowalnego liniowego równania różniczkowego, które w przybliżeniu odzwierciedla proces w danym przekroju. Dla układu opisanego równaniem różniczkowym drugiego rzędu przebieg obliczeń można przedstawić na płaszczyźnie fazowej, wzdłuż której naniesiono badaną zmienną l i jej pochodną po czasie y. Rozwiązanie problemu dynamicznego sprowadza się do badania punktowej transformacji półosi współrzędnych w samą siebie.

Ryc.10.7. Metoda transformacji punktowej

metoda częstotliwościowa Rumuński naukowiec V.M. Popow, zaproponowany w 1960 r., rozwiązuje problem absolutnej stabilności układu z jedną jednowartościową nieliniowością, określoną przez graniczną wartość współczynnika przenikania k elementu nieliniowego. Jeżeli w układzie sterowania występuje tylko jedna nieliniowość jednowartościowa z=f(x), to łącząc wszystkie pozostałe ogniwa układu w część liniową, można otrzymać jego funkcję przenoszenia Wlch(p), tj. pobierz schemat projektu Ryc.7.1.
Nie ma ograniczeń co do kolejności części liniowej, tj. część liniowa może być dowolna. Zarys nieliniowości może być nieznany, ale z konieczności musi być jednoznaczny. Trzeba jedynie wiedzieć, w jakim kącie arctg k (ryc. 7.2) się on znajduje, gdzie k jest ograniczającym (maksymalnym) współczynnikiem przenikania elementu nieliniowego.

Ryc.7.2. Charakterystyka elementu nieliniowego

Graficzna interpretacja kryterium V.M.Popova wiąże się z konstrukcją a.f.ch. zmodyfikowana charakterystyka częstotliwościowa liniowej części układu W*(jω), którą definiuje się następująco:
W*(jω) = Re WLP(jω) + Im WLP(jω),
gdzie Re WLP(jω) i Im WLP(jω) są odpowiednio częściami rzeczywistymi i urojonymi układu liniowego.
Kryterium Popowa można przedstawić w postaci algebraicznej lub częstotliwościowej, a także dla przypadków stabilnej i niestabilnej części liniowej. Częściej używana jest forma częstotliwości.
Sformułowanie kryterium V.M. Popowa w przypadku stabilnej części liniowej: aby ustalić absolutną stabilność układu nieliniowego, wystarczy wybrać taką prostą na płaszczyźnie zespolonej W*(jω) przechodzącej przez punkt (, j0) tak, że cała krzywa W*(jω) leży na prawo od tej prostej. Warunki spełnienia twierdzenia pokazano na ryc. 7.3.

Ryż. 7.3. Graficzna interpretacja V.M. Popova dla absolutnie stabilnego układu nieliniowego

Na ryc. Rysunek 7.3 pokazuje przypadek absolutnej stabilności układu nieliniowego dla dowolnej postaci nieliniowości jednowartościowej. Zatem, aby określić stabilność absolutną układu nieliniowego metodą V.M. Popova, konieczne jest skonstruowanie zmodyfikowanej charakterystyki częstotliwościowej liniowej części układu W * (jω), określenie granicznej wartości współczynnika przenikania k elementu nieliniowego z warunku i narysowanie linii prostej przez punkt (- ) na osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej tak, że charakterystyka W* (jω) leży na prawo od tej prostej. Jeśli nie można poprowadzić takiej linii prostej, oznacza to, że nie jest możliwa absolutna stabilność tego układu. Zarys nieliniowości może być nieznany. Kryterium to zaleca się stosować w przypadkach, gdy nieliniowość może ulegać zmianom w trakcie pracy SKR lub nieznany jest jej opis matematyczny.

Metoda dopasowania znalazła zastosowanie przy konstruowaniu portretów fazowych układów nieliniowych, które można przedstawić jako części liniowe i nieliniowe (ryc. 11.10), ponadto część liniowa jest układem drugiego rzędu, a część nieliniowa charakteryzuje się odcinkowym liniowa charakterystyka statyczna.

część liniowa

część nieliniowa

Ryż. 11.10 Schemat strukturalny układu nieliniowego

Zgodnie z tą metodą trajektoria fazowa jest zbudowana z części, z których każda odpowiada liniowemu przekrojowi charakterystyki statycznej. Na takim rozpatrywanym odcinku układ jest liniowy i jego rozwiązanie można znaleźć poprzez bezpośrednie całkowanie równania na trajektorię fazową tego odcinka. Całkowanie równania przy konstruowaniu trajektorii fazowej odbywa się aż do osiągnięcia przez tę ostatnią granicy następnego odcinka. Wartości współrzędnych fazowych na końcu każdego odcinka trajektorii fazowej stanowią warunki początkowe rozwiązania równania w następnej sekcji. W tym przypadku mówi się, że warunki początkowe są dostosowane, tj. koniec poprzedniego odcinka trajektorii fazowej jest początkiem następnego. Granica między sekcjami nazywana jest linią przełączającą.

Zatem konstrukcja portretu fazowego metodą dopasowania odbywa się w następującej kolejności:

wybiera się lub ustala warunki początkowe;

układ równań liniowych całkuje się dla tego odcinka liniowego, na który spadły warunki początkowe, aż do momentu osiągnięcia granicy kolejnego odcinka;

warunki początkowe są dostosowywane.

Metoda linearyzacji harmonicznej

Nie ma ogólnie uniwersalnych metod badania układów nieliniowych – różnorodność nieliniowości jest zbyt duża. Jednakże dla niektórych typów układów nieliniowych opracowano skuteczne metody analizy i syntezy.

• Metoda linearyzacji harmonicznych ma na celu przedstawienie nieliniowej części systemu za pomocą równoważnej funkcji przenoszenia, jeśli sygnały w systemie można uznać za harmoniczne.

• Metodę tę można skutecznie wykorzystać do badania okresowych oscylacji w układach automatyki, uwzględniając warunki braku tych oscylacji jako szkodliwe.

Rozpatrzono charakterystykę metody linearyzacji harmonicznej jeden singiel element nieliniowy. NE może być podzielone do statycznego I dynamiczny. Dynamiczne NE są opisywane nieliniowymi równaniami różniczkowymi i są znacznie bardziej złożone. Statyczny NE opisane są funkcją F(x).

Ściśle mówiąc, systemy liniowe nie istnieją w przyrodzie; wszystkie rzeczywiste systemy są nieliniowe. Różne czujniki, detektory, dyskryminatory, wzmacniacze, przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe, urządzenia sterujące i elementy wykonawcze mają charakterystykę nieliniową.

Nie ma ogólnej teorii analizy układów nieliniowych. Naukowcy opracowali różne metody analizy układów nieliniowych, które pozwalają na rozwiązywanie problemów analitycznych pod pewnymi warunkami i ograniczeniami.

Scharakteryzujmy najpopularniejsze metody analizy układów nieliniowych.

Metoda płaszczyzny fazowej. Metoda ta nazywana jest także metodą portretów fazowych lub przestrzeni fazowych. Metoda ta umożliwia wizualne wykorzystanie konstrukcji graficznych do analizy zachowania układów nieliniowych opisanych nieliniowymi równaniami różniczkowymi nie wyższego niż drugiego (trzeciego) rzędu.

Metoda aproksymacji liniowej odcinkowej. Metoda ta wykorzystuje odcinkowe liniowe przybliżenie charakterystyki elementu nieliniowego, układ analizowany jest jako liniowy dla różnych wartości sygnału, a następnie wyniki analizy są „zszywane”. Metodę cechuje duża złożoność analizy i niska dokładność wyników, zwłaszcza w miejscach „sieciowania”.

Metoda linearyzacji harmonicznej. Metodę tę stosuje się w przypadkach, gdy po elemencie nieliniowym znajduje się liniowy filtr dolnoprzepustowy, a efekt wejściowy jest harmoniczny.

Metoda linearyzacji statystycznej. Metodę tę stosuje się w przypadkach, gdy stacjonarny proces losowy pełni rolę sygnału wejściowego. W metodzie tej rzeczywisty element nieliniowy zastępuje się takim elementem liniowym, na wyjściu którego matematyczne oczekiwanie i wariancja procesu są takie same, jak na wyjściu rzeczywistego elementu nieliniowego. Metody określania parametrów równoważnego elementu liniowego mogą być różne.

Metoda procesów Markowa. Metodę tę stosuje się dla niestacjonarnych losowych sygnałów wejściowych, jednak rozwiązanie analityczne można znaleźć jedynie dla układów nie wyższych niż drugiego rzędu.

Metoda symulacji komputerowej. Metoda ta pretenduje do miana uniwersalnej, nie ma zasadniczych ograniczeń co do charakteru nieliniowości i porządku układu. Obecnie jest to najpowszechniejsza metoda analizy układów nieliniowych, jedyną wadą tej metody jest brak jakichkolwiek wyników analitycznych analizy (w postaci wzorów).

• Metoda linearyzacji harmonicznych w projektowaniu nieliniowych układów automatyki.[Djv-10,7M] Pod redakcją Yu.I. Topcheeva. Zespół autorów.
  (Moskwa: Wydawnictwo Mashinostroenie, 1970. - Seria „Nieliniowe systemy automatycznego sterowania”)
  Skan: AAW, obróbka, format Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• STRESZCZENIE:
  Przedmowa (5).
  Rozdział I. Teoretyczne podstawy metody linearyzacji harmonicznej (EP Popov) (13).
  Rozdział II. Nowa forma linearyzacji harmonicznych dla układów sterowania o nieliniowej charakterystyce histerezy (E.I. Khlypalo) (58).
  Rozdział III. Metoda linearyzacji harmonicznych oparta na estymacji wrażliwości rozwiązania okresowego na wyższe harmoniczne i małe parametry (A.A. Vavilov) (88).
  Rozdział IV. Wyznaczanie charakterystyk amplitudy i częstotliwości fazowej układów nieliniowych (Yu.I. Topcheev) (117).
  Rozdział V. Przybliżone metody częstotliwościowe do analizy jakości nieliniowych systemów sterowania (Yu.I. Topcheev) (171).
  Rozdział VI. Zwiększanie dokładności metody linearyzacji harmonicznych (VV Pavlov) (186).
  Rozdział VII. Zastosowanie metody linearyzacji harmonicznej do dyskretnych nieliniowych układów sterowania (S.M. Fedorov) (219).
  Rozdział VIII. Zastosowanie metody asymptotycznej N.M. Kryłow i N.N. Bogolyubov w analizie nieliniowych systemów sterowania (A.D. Maksimov) (236).
  Rozdział IX. Zastosowanie linearyzacji harmonicznej do nieliniowych samonastawnych układów sterowania (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Rozdział X. Zastosowanie metody linearyzacji harmonicznych do nieliniowych układów automatycznych z automatami skończonymi (M.V. Starikova) (306).
  Rozdział XI. Przybliżona metoda badania procesów oscylacyjnych i trybów ślizgowych w układach automatycznych o zmiennej strukturze (M.V. Starikova) (390).
  Rozdział XII. Przybliżone badanie systemu sterowania przekaźnikiem impulsowym (M.V. Starikova) (419).
  Rozdział XIII. Wyznaczanie procesów oscylacyjnych w złożonych układach nieliniowych o różnych odchyleniach początkowych (M.V. Starikova) (419).
  Rozdział XIV. Zastosowanie metody linearyzacji harmonicznej do układów z okresowymi nieliniowościami (LI Semenko) (444).
  Rozdział XV. Zastosowanie metody linearyzacji harmonicznej do układów z dwiema nieliniowościami (VM Khlyamov) (467).
  Rozdział XVI. Charakterystyki amplitudowo-fazowe mechanizmów przekaźnikowych z silnikami prądu stałego i prądu przemiennego, uzyskane metodą linearyzacji harmonicznej (VV Tsvetkov) (485).
  Aplikacje (518).
  Literatura (550).
  Indeks alfabetyczny (565).

Nota wydawcy: Książka ta stanowi część serii monografii poświęconych nieliniowym układom automatycznego sterowania.
Systematycznie i dostatecznie szczegółowo zarysowuje teorię nieliniowych układów automatyki, opartą na metodzie linearyzacji harmonicznej. Główną uwagę poświęcono teoretycznym podstawom metody linearyzacji harmonicznych i jej praktycznym zastosowaniom do układów ciągłych, dyskretnych, samodopasowujących się, a także układów z automatami skończonymi i strukturą przestrajalną. Rozważono metody zwiększania dokładności metody linearyzacji harmonicznych poprzez uwzględnienie wpływu wyższych harmonicznych. Proponowane metody zilustrowano licznymi przykładami.
Książka przeznaczona jest dla naukowców, inżynierów, nauczycieli i doktorantów uczelni wyższych zajmujących się zagadnieniami automatyki.