Istnieje rozwiązanie twierdzenia o farmie. Czy ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione? W jaki sposób hipoteza Taniyamy i twierdzenie Fermata są powiązane

Pierre de Fermat, czytając „Arytmetykę” Diofanta z Aleksandrii i zastanawiając się nad jej problemami, miał zwyczaj spisywać wyniki swoich rozważań w formie krótkich uwag na marginesach książki. Wobec ósmego problemu Diofanta na marginesach książki Fermat napisał: „ Wręcz przeciwnie, nie jest możliwe rozłożenie ani sześcianu na dwa sześciany, ani dwukwadratu na dwa dwukwadraty i, ogólnie rzecz biorąc, nie ma stopnia większego niż kwadrat na dwie potęgi z tym samym wykładnikiem. Odkryłem naprawdę wspaniały dowód na to, ale te marginesy są na to zbyt wąskie.» / ETBell „Twórcy matematyki”. M., 1979, s.69/. Zwracam uwagę na elementarny dowód twierdzenia o farmie, który może zrozumieć każdy licealista, który lubi matematykę.

Porównajmy komentarz Fermata dotyczący problemu diofantycznego ze współczesnym sformułowaniem wielkiego twierdzenia Fermata, które ma postać równania.
« Równanie

x n + y n = z n(gdzie n jest liczbą całkowitą większą niż dwa)

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich»

Komentarz jest w logicznym związku z zadaniem, podobnie jak w logicznym połączeniu predykatu z podmiotem. To, co potwierdza problem Diofanta, przeciwnie, potwierdza komentarz Fermata.

Komentarz Fermata można zinterpretować w następujący sposób: jeśli równanie kwadratowe z trzema niewiadomymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich, to z kolei równanie z trzema niewiadomymi w stopniu większym od kwadratu

W równaniu nie ma nawet śladu jego związku z problemem diofantycznym. Jego twierdzenie wymaga dowodu, ale nie ma warunku, z którego wynika, że ​​nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Znane mi warianty dowodu równania sprowadza się do następującego algorytmu.

1. Za jego wniosek przyjmuje się równanie twierdzenia Fermata, którego słuszność sprawdza się za pomocą dowodu.
2. To samo równanie nazywa się oryginalny równanie, z którego musi wyjść jego dowód.

Rezultatem jest tautologia: Jeśli równanie nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych, to nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych. Dowód tautologii jest oczywiście błędny i pozbawiony jakiegokolwiek znaczenia. Ale dowodzi tego sprzeczność.

• Przyjęto założenie, które jest przeciwne do tego, co wynika z równania, które ma być udowodnione. Nie powinno być sprzeczne z pierwotnym równaniem, ale tak jest. Nie ma sensu udowadniać tego, co jest akceptowane bez dowodu, i akceptować bez dowodu to, co wymaga udowodnienia.
• W oparciu o przyjęte założenie wykonuje się absolutnie poprawne operacje matematyczne i działania, aby udowodnić, że jest ono sprzeczne z pierwotnym równaniem i jest fałszywe.

Dlatego od 370 lat dowód równania Wielkiego Twierdzenia Fermata pozostaje niemożliwym marzeniem specjalistów i miłośników matematyki.

Wziąłem równanie jako zakończenie twierdzenia, a ósmy problem Diofantusa i jego równanie jako warunek twierdzenia.

„Jeśli równanie x 2 + y 2 = z 2 (1) ma nieskończony zbiór rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich, a następnie odwrotnie, równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 (2) nie ma rozwiązań na zbiorze liczb całkowitych dodatnich."

Dowód.

ALE) Wszyscy wiedzą, że równanie (1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich. Udowodnijmy, że żadna trójka liczb pitagorejskich, która jest rozwiązaniem równania (1), nie jest rozwiązaniem równania (2).

W oparciu o prawo odwracalności równości strony równania (1) są zamienione. Liczby pitagorejskie (z, x, y) można interpretować jako długości boków trójkąta prostokątnego, a kwadraty (x2, y2, z2) można interpretować jako pola kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej i odnogach.

Mnożymy kwadraty równania (1) przez dowolną wysokość h :

z 2 godz. = x 2 godz. + y 2 godz. (3)

Równanie (3) można interpretować jako równość objętości równoległościanu z sumą objętości dwóch równoległościanów.

Niech wysokość trzech równoległościanów h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Objętość sześcianu jest rozłożona na dwie objętości dwóch równoległościanów. Objętość sześcianu pozostawiamy bez zmian, a wysokość pierwszego równoległościanu zmniejszamy do x a wysokość drugiego równoległościanu zostanie zmniejszona do tak . Objętość sześcianu jest większa niż suma objętości dwóch sześcianów:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Na zbiorze trójek liczb pitagorejskich ( x, y, z ) w n=3 nie może być rozwiązania równania (2). W konsekwencji na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich nie można rozłożyć sześcianu na dwa sześciany.

Niech w równaniu (3) wysokość trzech równoległościanów h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Objętość równoległościanu rozkłada się na sumę objętości dwóch równoległościanów.
Lewą stronę równania (6) pozostawiamy bez zmian. Po jego prawej stronie wysokość z2 zmniejszyć do x w pierwszym semestrze i do o 2 w drugiej kadencji.

Równanie (6) zamieniło się w nierówność:

Objętość równoległościanu jest rozkładana na dwie objętości dwóch równoległościanów.

Lewą stronę równania (8) pozostawiamy bez zmian.
Po prawej stronie wysokości zn-2 zmniejszyć do xn-2 w pierwszym semestrze i zredukować do y n-2 w drugiej kadencji. Równanie (8) zamienia się w nierówność:

Na zbiorze trójek liczb pitagorejskich nie może być jednego rozwiązania równania (2).

W konsekwencji na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich dla wszystkich n > 2 równanie (2) nie ma rozwiązań.

Uzyskanie „dowodu po cudowności”, ale tylko dla trojaczków Liczby pitagorejskie. To jest brak dowodów i powód odmowy P. Fermata od niego.

b) Udowodnijmy, że równanie (2) nie ma rozwiązań na zbiorze trójek liczb niepitagorejskich, który jest rodziną arbitralnie pobranej trójki liczb pitagorejskich z=13, x=12, y=5 i rodzina arbitralnej trójki liczb całkowitych dodatnich z=21, x=19, y=16

Obie trójki liczb są członkami ich rodzin:

Liczba członków rodziny (10) i (11) jest równa połowie iloczynu 13 przez 12 i 21 przez 20, czyli 78 i 210.

Każdy członek rodziny (10) zawiera z = 13 i zmienne x I w 13 > x > 0 , 13 > r > 0 1

Każdy członek rodziny (11) zawiera z = 21 i zmienne x I w , które przyjmują wartości całkowite 21 > x > 0 , 21 > r > 0 . Zmienne maleją sekwencyjnie o 1 .

Trójki liczb ciągu (10) i (11) można przedstawić jako ciąg nierówności trzeciego stopnia:

oraz w postaci nierówności IV stopnia:

Poprawność każdej nierówności jest weryfikowana przez podniesienie liczb do potęgi trzeciej i czwartej.

Sześcianu o większej liczbie nie można rozłożyć na dwa sześciany o mniejszych liczbach. Jest mniejsza lub większa niż suma sześcianów dwóch mniejszych liczb.

Dwukwadrat większej liczby nie może być rozłożony na dwa dwukwadratowe mniejsze liczby. Jest mniejsza lub większa niż suma bi-kwadratów mniejszych liczb.

Wraz ze wzrostem wykładnika wszystkie nierówności, z wyjątkiem skrajnie lewej nierówności, mają to samo znaczenie:

Nierówności mają to samo znaczenie: stopień większej liczby jest większy niż suma stopni dwóch mniejszych liczb o tym samym wykładniku:

Skrajny lewy wyraz ciągu (12) (13) to najsłabsza nierówność. Jego poprawność określa poprawność wszystkich kolejnych nierówności ciągu (12) dla n > 8 i sekwencja (13) dla n > 14 .

Nie może być między nimi równości. Dowolna trójka dodatnich liczb całkowitych (21,19,16) nie jest rozwiązaniem równania (2) Wielkiego Twierdzenia Fermata. Jeżeli dowolna trójka liczb całkowitych dodatnich nie jest rozwiązaniem równania, to równanie nie ma rozwiązań na zbiorze liczb całkowitych dodatnich, co należało udowodnić.

OD) Komentarz Fermata do problemu Diophantusa stwierdza, że ​​rozkład jest niemożliwy” ogólnie rzecz biorąc, nie ma potęgi większej niż kwadrat, dwie potęgi z tym samym wykładnikiem».

Pocałunki potęga większa niż kwadrat nie może być w rzeczywistości rozłożona na dwie potęgi o tym samym wykładniku. nie całuję potęgę większą od kwadratu można rozłożyć na dwie potęgi z tym samym wykładnikiem.

Dowolna losowo wybrana trójka dodatnich liczb całkowitych (z, x, y) może należeć do rodziny, której każdy członek składa się ze stałej liczby z i dwie liczby mniejsze niż z . Każdy członek rodziny można przedstawić w postaci nierówności, a wszystkie powstałe nierówności można przedstawić jako ciąg nierówności:

Sekwencja nierówności (14) rozpoczyna się od nierówności, których lewa strona jest mniejsza od prawej, a kończy nierównościami, których prawa strona jest mniejsza od lewej. Z rosnącym wykładnikiem n > 2 liczba nierówności po prawej stronie ciągu (14) rośnie. Z wykładnikiem n=k wszystkie nierówności lewej strony ciągu zmieniają swoje znaczenie i przyjmują znaczenie nierówności prawej strony nierówności ciągu (14). W wyniku wzrostu wykładnika wszystkich nierówności lewa strona jest większa niż prawa strona:

Przy dalszym wzroście wykładnika n>k żadna z nierówności nie zmienia swojego znaczenia i nie przeradza się w równość. Na tej podstawie można argumentować, że każda arbitralnie przyjęta trójka dodatnich liczb całkowitych (z, x, y) w n > 2 , z > x , z > y

W dowolnej trójce dodatnich liczb całkowitych z może być dowolnie dużą liczbą naturalną. Dla wszystkich liczb naturalnych nie większych niż z , Wielkie Twierdzenie Fermata jest udowodnione.

D) Bez względu na to, jak duża jest liczba z , w naturalnym szeregu liczb przed nim znajduje się duży, ale skończony zbiór liczb całkowitych, a za nim jest nieskończony zbiór liczb całkowitych.

Udowodnijmy, że cały nieskończony zbiór liczb naturalnych większych niż z , tworzą trójki liczb, które nie są rozwiązaniami równania Wielkiego Twierdzenia Fermata, na przykład arbitralną trójkę liczb całkowitych dodatnich (z+1,x,y) , w której z + 1 > x I z + 1 > y dla wszystkich wartości wykładnika n > 2 nie jest rozwiązaniem równania Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Losowo wybrana trójka dodatnich liczb całkowitych (z + 1, x, y) może należeć do rodziny trójek liczb, z których każdy członek składa się ze stałej liczby z + 1 i dwie liczby x I w , przyjmując różne wartości, mniejsze z + 1 . Członków rodziny można przedstawić jako nierówności, których stała lewa strona jest mniejsza lub większa niż prawa strona. Nierówności można uporządkować jako ciąg nierówności:

Przy dalszym wzroście wykładnika n>k do nieskończoności żadna z nierówności w ciągu (17) nie zmienia swojego znaczenia i nie staje się równością. W sekwencji (16) nierówność utworzona z arbitralnie pobranej trójki liczb całkowitych dodatnich (z + 1, x, y) , może znajdować się po jego prawej stronie w formularzu (z + 1) n > x n + y n lub być po jego lewej stronie w formularzu (z+1)n< x n + y n .

W każdym razie trójka dodatnich liczb całkowitych (z + 1, x, y) w n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y w sekwencji (16) jest nierównością i nie może być równością, tj. nie może być rozwiązaniem równania Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Łatwo i łatwo zrozumieć pochodzenie ciągu nierówności władzy (16), w którym ostatnia nierówność lewej strony i pierwsza nierówność prawej strony są nierównościami o przeciwnym sensie. Wręcz przeciwnie, uczniom, uczniom szkół średnich i licealistów nie jest łatwo i trudno zrozumieć, w jaki sposób ciąg nierówności (17) powstaje z ciągu nierówności (16), w którym wszystkie nierówności mają to samo znaczenie.

W kolejności (16) zwiększenie całkowitego stopnia nierówności o 1 zamienia ostatnią nierówność po lewej stronie w pierwszą nierówność o przeciwnym znaczeniu po prawej stronie. W ten sposób liczba nierówności po dziewiątej stronie ciągu maleje, podczas gdy liczba nierówności po prawej stronie rośnie. Pomiędzy ostatnią a pierwszą nierównością władzy o przeciwnym znaczeniu istnieje niezawodna równość władzy. Jego stopień nie może być liczbą całkowitą, ponieważ między dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi występują tylko liczby niecałkowite. Równość potęgi stopnia niecałkowitego, zgodnie z warunkiem twierdzenia, nie może być uważana za rozwiązanie równania (1).

Jeżeli w ciągu (16) będziemy dalej zwiększać stopień o 1 jednostkę, to ostatnia nierówność jego lewej strony zamieni się w pierwszą nierówność przeciwnego znaczenia prawej strony. W rezultacie nie będzie nierówności po lewej stronie, a tylko nierówności po prawej stronie, co będzie ciągiem narastających nierówności władzy (17). Dalszy wzrost ich stopnia całkowitego o 1 jednostkę tylko wzmacnia jego nierówności potęgowe i kategorycznie wyklucza możliwość równości w stopniu całkowitym.

Zatem, ogólnie rzecz biorąc, nie można rozłożyć żadnej potęgi całkowitej liczby naturalnej (z+1) ciągu nierówności potęgowych (17) na dwie potęgi całkowite o tym samym wykładniku. Dlatego równanie (1) nie ma rozwiązań na nieskończonym zbiorze liczb naturalnych, co miało zostać udowodnione.

Dlatego Wielkie Twierdzenie Fermata jest udowodnione w całej ogólności:

• w sekcji A) dla wszystkich trojaczków (z, x, y) liczby pitagorejskie (odkrycie Fermata jest prawdziwie cudownym dowodem),
• w sekcji C) dla wszystkich członków rodziny dowolnej trójki (z, x, y) liczby pitagorejskie,
• w sekcji C) dla wszystkich trojaczków liczb (z, x, y) , nie duże liczby z
• w sekcji D) dla wszystkich trójek liczb (z, x, y) naturalny szereg liczb.

Które twierdzenia można, a których nie można udowodnić przez sprzeczność

Słownik wyjaśniający terminów matematycznych definiuje dowód przez zaprzeczenie twierdzenia przeciwnego do twierdzenia odwrotnego.

„Dowód przez sprzeczność to metoda dowodzenia twierdzenia (zdania), polegająca na udowodnieniu nie samego twierdzenia, ale jego równoważnego (równoważnego), przeciwnego (odwrotnego do przeciwnego) twierdzenia. Dowód przez sprzeczność jest używany, gdy bezpośrednie twierdzenie jest trudne do udowodnienia, ale odwrotność jest łatwiejsza. W przypadku dowodzenia przez sprzeczność wniosek twierdzenia zostaje zastąpiony jego negacją, a poprzez rozumowanie dochodzi się do negacji warunku, tj. na sprzeczność, na przeciwieństwo (przeciwieństwo tego, co dane; ta redukcja do absurdu dowodzi twierdzenia).

Dowód przez sprzeczność jest bardzo często używany w matematyce. Dowód przez sprzeczność opiera się na prawie wyłączonego środka, które polega na tym, że z dwóch zdań (zdań) A i A (negacja A) jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe./ Objaśniający słownik terminów matematycznych: Przewodnik dla nauczycieli / O. V. Manturov [i inni]; wyd. V. A. Ditkina.- M.: Oświecenie, 1965.- 539 s.: il.-C.112/.

Nie byłoby lepiej otwarcie deklarować, że metoda dowodu przez sprzeczność nie jest metodą matematyczną, chociaż jest używana w matematyce, że jest metodą logiczną i należy do logiki. Czy uzasadnione jest stwierdzenie, że dowód przez sprzeczność jest „używany, gdy bezpośrednie twierdzenie jest trudne do udowodnienia”, podczas gdy w rzeczywistości jest on używany wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma dla niego substytutu.

Na szczególną uwagę zasługuje również charakterystyka związku między twierdzeniem prostym i odwrotnym. „Twierdzenie odwrotne dla danego twierdzenia (lub do danego twierdzenia) to twierdzenie, w którym warunkiem jest wniosek, a wniosek jest warunkiem danego twierdzenia. Twierdzenie to w odniesieniu do twierdzenia odwrotnego nazywa się twierdzeniem bezpośrednim (początkowym). Jednocześnie twierdzenie odwrotne do twierdzenia odwrotnego będzie danym twierdzeniem; dlatego twierdzenia proste i odwrotne są nazywane wzajemnie odwrotnymi. Jeśli bezpośrednie (dane) twierdzenie jest prawdziwe, to twierdzenie odwrotne nie zawsze jest prawdziwe. Na przykład, jeśli czworokąt jest rombem, to jego przekątne są wzajemnie prostopadłe (twierdzenie bezpośrednie). Jeśli przekątne czworokąta są wzajemnie prostopadłe, to czworokąt jest rombem - to nieprawda, tzn. twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe./ Objaśniający słownik terminów matematycznych: Przewodnik dla nauczycieli / O. V. Manturov [i inni]; wyd. V. A. Ditkina.- M.: Oświecenie, 1965.- 539 s.: il.-C.261/.

Ta charakterystyka relacji między twierdzeniami prostymi i odwrotnymi nie uwzględnia faktu, że warunek twierdzenia prostego przyjmuje się jako dany, bez dowodu, tak że jego poprawność nie jest gwarantowana. Warunek twierdzenia odwrotnego nie jest traktowany jako podany, ponieważ jest to konkluzja udowodnionego twierdzenia bezpośredniego. Jego poprawność potwierdza dowód twierdzenia bezpośredniego. Ta zasadnicza logiczna różnica między warunkami twierdzenia prostego i odwrotnego okazuje się decydująca w kwestii tego, które twierdzenia można, a których nie można udowodnić metodą logiczną z przeciwnego punktu widzenia.

Załóżmy, że chodzi o twierdzenie bezpośrednie, które można udowodnić zwykłą metodą matematyczną, ale jest to trudne. Sformułujemy to w formie ogólnej w skróconej formie w następujący sposób: od ALE powinnam mi . Symbol ALE ma wartość danego warunku twierdzenia, przyjętego bez dowodu. Symbol mi jest konkluzją twierdzenia do udowodnienia.

Twierdzenie bezpośrednie udowodnimy przez sprzeczność, logiczny metoda. Metoda logiczna dowodzi twierdzenia, które: nie matematyczne stan i logiczny stan: schorzenie. Można to uzyskać, jeśli warunek matematyczny twierdzenia od ALE powinnam mi , uzupełnij o warunek przeciwny od ALE nie rób tego mi .

W rezultacie uzyskano logicznie sprzeczny warunek nowego twierdzenia, który składa się z dwóch części: od ALE powinnam mi I od ALE nie rób tego mi . Wynikowy warunek nowego twierdzenia odpowiada prawu logicznemu wyłączonego środka i odpowiada dowodowi twierdzenia przez sprzeczność.

Zgodnie z prawem jedna część warunku sprzecznego jest fałszywa, druga część jest prawdziwa, a trzecia jest wykluczona. Dowód przez sprzeczność ma swoje własne zadanie i cel ustalenia, która z dwóch części warunku twierdzenia jest fałszywa. Jak tylko zostanie określona fałszywa część warunku, zostanie ustalone, że druga część jest prawdziwą częścią, a trzecia jest wykluczona.

Zgodnie z objaśniającym słownikiem terminów matematycznych, „dowodem jest rozumowanie, podczas którego ustala się prawdziwość lub fałszywość dowolnego twierdzenia (sądu, twierdzenia, twierdzenia)”. Dowód przeciwnie toczy się dyskusja, w trakcie której zostaje powołana fałsz(absurd) wniosku, który wynika z fałszywe warunki dowodzonego twierdzenia.

Dany: od ALE powinnam mi i od ALE nie rób tego mi .

Udowodnić: od ALE powinnam mi .

Dowód: Warunek logiczny twierdzenia zawiera sprzeczność, która wymaga jego rozwiązania. Sprzeczność warunku musi znaleźć swoje rozwiązanie w dowodzie i jego wyniku. Wynik okazuje się fałszywy, jeśli rozumowanie jest bezbłędne i nieomylne. Przyczyną fałszywego wniosku z logicznie poprawnym rozumowaniem może być tylko sprzeczny warunek: od ALE powinnam mi I od ALE nie rób tego mi .

Nie ma cienia wątpliwości, że jedna część warunku jest fałszywa, a druga w tym przypadku jest prawdziwa. Obie części warunku mają to samo pochodzenie, są przyjmowane jako dane, zakładane, jednakowo możliwe, jednakowo dopuszczalne itd. W toku logicznego rozumowania nie znaleziono ani jednej cechy logicznej, która odróżniałaby jedną część warunku od inny. Dlatego w takim samym stopniu od ALE powinnam mi I może od ALE nie rób tego mi . Oświadczenie od ALE powinnam mi być może fałszywe, to stwierdzenie od ALE nie rób tego mi będzie prawdziwe. Oświadczenie od ALE nie rób tego mi może być fałszywe, to stwierdzenie od ALE powinnam mi będzie prawdziwe.

Dlatego niemożliwe jest udowodnienie twierdzenia bezpośredniego metodą sprzeczności.

Teraz udowodnimy to samo bezpośrednie twierdzenie zwykłą metodą matematyczną.

Dany: ALE .

Udowodnić: od ALE powinnam mi .

Dowód.

1. Od ALE powinnam b

2. Od b powinnam W (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem)).

3. Od W powinnam g (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).

4. Od g powinnam D (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).

5. Od D powinnam mi (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).

Opierając się na prawie przechodniości, od ALE powinnam mi . Twierdzenie bezpośrednie dowodzi się zwykłą metodą.

Niech udowodnione twierdzenie bezpośrednie będzie miało poprawne twierdzenie odwrotne: od mi powinnam ALE .

Udowodnijmy to zwyczajnie matematyczny metoda. Dowód twierdzenia odwrotnego można wyrazić w postaci symbolicznej jako algorytm działań matematycznych.

Dany: mi

Udowodnić: od mi powinnam ALE .

Dowód.

1. Od mi powinnam D

2. Od D powinnam g (przez udowodnione wcześniej twierdzenie odwrotne).

3. Od g powinnam W (przez udowodnione wcześniej twierdzenie odwrotne).

4. Od W nie rób tego b (odwrotność nie jest prawdą). Dlatego od b nie rób tego ALE .

W tej sytuacji nie ma sensu kontynuować matematycznego dowodu twierdzenia odwrotnego. Powód tej sytuacji jest logiczny. Niemożliwe jest zastąpienie niepoprawnego twierdzenia odwrotnego niczym. Dlatego tego odwrotnego twierdzenia nie można udowodnić zwykłą metodą matematyczną. Cała nadzieja polega na tym, aby udowodnić to odwrotne twierdzenie przez sprzeczność.

Aby udowodnić to przez sprzeczność, konieczne jest zastąpienie jej matematycznego warunku logicznym sprzecznym stanem, który w swoim znaczeniu zawiera dwie części - fałsz i prawdę.

Twierdzenie odwrotne roszczenia: od mi nie rób tego ALE . Jej stan mi , z czego wynika wniosek ALE , jest wynikiem udowodnienia bezpośredniego twierdzenia zwykłą metodą matematyczną. Warunek ten należy zachować i uzupełnić oświadczeniem od mi powinnam ALE . W wyniku dodawania otrzymuje się warunek sprzeczny nowego twierdzenia odwrotnego: od mi powinnam ALE I od mi nie rób tego ALE . Oparte na tym logicznie warunek sprzeczny, twierdzenie odwrotne może być udowodnione przez poprawny logiczny tylko rozumowanie i tylko, logiczny odwrotna metoda. W dowodzie przez sprzeczność wszelkie działania i operacje matematyczne są podporządkowane logicznym i dlatego się nie liczą.

W pierwszej części sprzecznego stwierdzenia od mi powinnam ALE stan: schorzenie mi zostało udowodnione przez dowód twierdzenia bezpośredniego. W drugiej części od mi nie rób tego ALE stan: schorzenie mi został przyjęty i przyjęty bez dowodu. Jedna z nich jest fałszywa, a druga prawdziwa. Wymagane jest udowodnienie, które z nich jest fałszywe.

Udowadniamy z poprawnym logiczny rozumowania i stwierdzają, że jego wynik jest fałszywym, absurdalnym wnioskiem. Przyczyną fałszywego wniosku logicznego jest sprzeczny warunek logiczny twierdzenia, które składa się z dwóch części - fałszywej i prawdziwej. Fałszywa część może być tylko stwierdzeniem od mi nie rób tego ALE , w którym mi akceptowane bez dowodu. To odróżnia go od mi sprawozdania od mi powinnam ALE , o czym świadczy dowód twierdzenia bezpośredniego.

Dlatego stwierdzenie jest prawdziwe: od mi powinnam ALE , co miało zostać udowodnione.

Wyjście: tylko to twierdzenie przeciwne jest udowodnione metodą logiczną, a przeciwnie, które ma bezpośrednie twierdzenie udowodnione metodą matematyczną i którego nie można udowodnić metodą matematyczną.

Otrzymany wniosek nabiera wyjątkowego znaczenia w stosunku do metody dowodzenia przez zaprzeczenie wielkiego twierdzenia Fermata. Zdecydowana większość prób jej udowodnienia opiera się nie na zwykłej metodzie matematycznej, ale na logicznej metodzie dowodzenia przez sprzeczność. Dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata Wilesa nie jest wyjątkiem.

Dmitrij Abrarow w swoim artykule „Twierdzenie Fermata: zjawisko dowodów Wilesa” opublikował komentarz do dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata Wilesa. Według Abrarova Wiles udowadnia ostatnie twierdzenie Fermata za pomocą niezwykłego odkrycia niemieckiego matematyka Gerharda Freya (ur. 1944) dotyczącego potencjalnego rozwiązania równania Fermata x n + y n = z n , gdzie n > 2 , z innym zupełnie innym równaniem. To nowe równanie jest podane przez specjalną krzywą (zwaną krzywą eliptyczną Freya). Krzywą Freya podaje bardzo proste równanie:
.

„To właśnie Frey porównywał każde rozwiązanie (a, b, c) Równanie Fermata, czyli liczby spełniające zależność a n + b n = c n powyższą krzywą. W tym przypadku nastąpiłoby Wielkie Twierdzenie Fermata”.(Cytat za: Abrarov D. „Twierdzenie Fermata: zjawisko dowodu Wilesa”)

Innymi słowy, Gerhard Frey zasugerował, że równanie Wielkiego Twierdzenia Fermata x n + y n = z n , gdzie n > 2 , ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich. Te same rozwiązania są, zgodnie z założeniem Freya, rozwiązaniami jego równania
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , którą określa jego krzywa eliptyczna.

Andrew Wiles zaakceptował to niezwykłe odkrycie Freya i z jego pomocą poprzez matematyczny Metoda wykazała, że ​​to odkrycie, czyli krzywa eliptyczna Freya, nie istnieje. Dlatego nie ma równania i jego rozwiązań, które są podane przez nieistniejącą krzywą eliptyczną.Dlatego Wiles powinien był dojść do wniosku, że nie ma równania Wielkiego Twierdzenia Fermata i samego Twierdzenia Fermata. Dochodzi jednak do skromniejszego wniosku, że równanie Wielkiego Twierdzenia Fermata nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Może być niezaprzeczalnym faktem, że Wiles przyjął założenie, którego znaczenie jest wprost przeciwne do tego, co stwierdza się w Wielkim Twierdzeniu Fermata. To zobowiązuje Wilesa do udowodnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata przez sprzeczność. Idźmy za jego przykładem i zobaczmy, co się z tego przykładu dzieje.

Wielkie Twierdzenie Fermata stwierdza, że ​​równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Zgodnie z logiczną metodą dowodu przez sprzeczność, zdanie to zostaje zachowane, przyjęte jako dane bez dowodu, a następnie uzupełnione o zdanie przeciwne w znaczeniu: równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich.

Hipotetyczne stwierdzenie jest również akceptowane jako podane, bez dowodu. Oba stwierdzenia, rozpatrywane z punktu widzenia podstawowych praw logiki, są jednakowo dopuszczalne, równe w prawach i jednakowo możliwe. Poprzez prawidłowe rozumowanie wymagane jest ustalenie, które z nich jest fałszywe, aby następnie ustalić, że drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Prawidłowe rozumowanie kończy się fałszywym, absurdalnym wnioskiem, którego logiczną przyczyną może być tylko sprzeczny warunek dowodzenia twierdzenia, które zawiera dwie części o wprost przeciwstawnym znaczeniu. Byli logiczną przyczyną absurdalnego wniosku, rezultatem dowodu przez sprzeczność.

Jednak w toku logicznego rozumowania nie znaleziono ani jednego znaku, za pomocą którego można by ustalić, które konkretnie stwierdzenie jest fałszywe. Może to być stwierdzenie: równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich. Na tej samej podstawie może to być stwierdzenie: równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

W wyniku rozumowania może być tylko jeden wniosek: Wielkiego Twierdzenia Fermata nie można udowodnić przez sprzeczność.

Byłoby zupełnie inaczej, gdyby ostatnie twierdzenie Fermata było twierdzeniem odwrotnym, które ma bezpośrednie twierdzenie udowodnione zwykłą metodą matematyczną. W tym przypadku może to być udowodnione przez sprzeczność. A ponieważ jest to twierdzenie bezpośrednie, jego dowód musi opierać się nie na logicznej metodzie dowodu przez sprzeczność, ale na zwykłej metodzie matematycznej.

Według D. Abrarova, akademik V. I. Arnold, najsłynniejszy współczesny matematyk rosyjski, zareagował na dowód Wilesa „aktywnie sceptycznie”. Naukowiec stwierdził: „to nie jest prawdziwa matematyka – prawdziwa matematyka jest geometryczna i ma silne powiązania z fizyką”.

W przeciwieństwie do tego, nie można udowodnić, że równanie Wielkiego Twierdzenia Fermata nie ma rozwiązań ani że ma rozwiązania. Błąd Wilesa nie jest matematyczny, ale logiczny - użycie dowodu przez sprzeczność, gdy jego użycie nie ma sensu i nie dowodzi Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Wielkie Twierdzenie Fermata nie jest udowodnione za pomocą zwykłej metody matematycznej, jeśli jest podane: równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, a jeśli trzeba w nim udowodnić: równanie x n + y n = z n , gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. W tej postaci nie istnieje twierdzenie, ale pozbawiona znaczenia tautologia.

Notatka. Mój dowód na BTF był omawiany na jednym z forów. Jeden z uczestników Trotilu, specjalista w dziedzinie teorii liczb, wygłosił następujące autorytatywne oświadczenie zatytułowane: „Krótka opowieść o tym, co zrobił Mirgorodsky”. Cytuję to dosłownie:

« ALE. Udowodnił, że jeśli z 2 \u003d x 2 + y , następnie z n > x n + y n . To dobrze znany i dość oczywisty fakt.

W. Wziął dwie trójki - pitagorejską i niepitagorejską i wykazał prostym wyliczeniem, że dla określonej, konkretnej rodziny trójek (78 i 210 sztuk) wykonywany jest BTF (i tylko dla niego).

OD. A potem autor pominął fakt, że od < w kolejnym stopniu może być = , nie tylko > . Prostym kontrprzykładem jest przejście n=1 w n=2 w trójce pitagorejskiej.

D. Ten punkt nie wnosi niczego istotnego do dowodu BTF. Wniosek: BTF nie zostało udowodnione.”

Rozważę jego konkluzję punkt po punkcie.

ALE. W nim BTF jest udowodnione dla całego nieskończonego zestawu trójek liczb pitagorejskich. Udowodniona metodą geometryczną, która, jak sądzę, nie została przeze mnie odkryta, ale odkryta na nowo. I otworzył ją, jak sądzę, sam P. Fermat. Fermat mógł mieć to na myśli, pisząc:

„Odkryłem naprawdę wspaniały dowód na to, ale te marginesy są na to zbyt wąskie”. To moje założenie opiera się na fakcie, że w problemie diofantycznym, przeciwko któremu na marginesach książki pisał Fermat, mówimy o rozwiązaniach równania diofantycznego, które są trójkami liczb pitagorejskich.

Nieskończony zbiór trójek liczb pitagorejskich to rozwiązania równania Diophate, aw twierdzeniu Fermata, przeciwnie, żadne z rozwiązań nie może być rozwiązaniem równania twierdzenia Fermata. I rzeczywiście cudowny dowód Fermata ma na ten fakt bezpośredni wpływ. Później Fermat mógł rozszerzyć swoje twierdzenie na zbiór wszystkich liczb naturalnych. Na zbiorze wszystkich liczb naturalnych BTF nie należy do „zbioru wyjątkowo pięknych twierdzeń”. To jest moje założenie, którego nie można ani udowodnić, ani obalić. Można go zarówno zaakceptować, jak i odrzucić.

W. W tym akapicie udowadniam, że zarówno rodzina arbitralnie pobranej trójki liczb pitagorejskich, jak i rodzina arbitralnie pobranej trójki liczb niepitagorejskich BTF jest spełniona. Jest to konieczne, ale niewystarczające i pośrednie ogniwo w moim dowodzie BTF. Podane przeze mnie przykłady rodziny trójki liczb pitagorejskich i rodziny trójki liczb niepitagorejskich mają znaczenie konkretnych przykładów, które zakładają i nie wykluczają istnienia podobnych innych przykładów.

Stwierdzenie Trotila, że ​​„wykazałem prostym wyliczeniem, że dla konkretnej, pewnej rodziny trójek (78 i 210 sztuk) BTF jest spełniony (i tylko dla niego) jest bezpodstawny. Nie może zaprzeczyć, że równie dobrze mógłbym wziąć inne przykłady trójek pitagorejskich i niepitagorejskich, aby uzyskać konkretną rodzinę jednej i drugiej trójki.

Bez względu na to, jaką parę trójek przyjmę, sprawdzenie ich przydatności do rozwiązania problemu można przeprowadzić, moim zdaniem, tylko metodą „prostego wyliczenia”. Jakakolwiek inna metoda nie jest mi znana i nie jest wymagana. Jeśli nie lubił Trotila, powinien był zaproponować inną metodę, której nie lubi. Bez oferowania niczego w zamian niewłaściwe jest potępianie „prostego wyliczenia”, które w tym przypadku jest niezastąpione.

OD. pominąłem = pomiędzy< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), w którym stopień n > 2 — cały Liczba dodatnia. Z równości między nierównościami wynika obowiązkowy uwzględnienie równania (1) z niecałkowitą wartością stopnia n > 2 . Liczenie trotilów obowiązkowy uwzględnienie równości między nierównościami, faktycznie rozważa niezbędny w dowodzie BTF uwzględnienie równania (1) z niecałkowita wartość stopnia n > 2 . Zrobiłem to dla siebie i znalazłem równanie (1) z niecałkowita wartość stopnia n > 2 ma rozwiązanie trzech liczb: z, (z-1), (z-1) z wykładnikiem niecałkowitym.

Kiedyś w noworocznym numerze listy mailingowej na temat wznoszenia toastów wspomniałem od niechcenia, że ​​pod koniec XX wieku miało miejsce jedno wielkie wydarzenie, którego wielu nie zauważyło - ostatecznie udowodniono tak zwane Wielkie Twierdzenie Fermata. Z tej okazji wśród listów, które otrzymałem, znalazłem dwie odpowiedzi od dziewcząt (jedna z nich, o ile dobrze pamiętam, to dziewiątka Vika z Zelenogradu), które były tym faktem zaskoczone.

I zdziwiło mnie, jak żywo dziewczyny interesują się problemami współczesnej matematyki. Dlatego myślę, że nie tylko dziewczęta, ale także chłopcy w każdym wieku - od licealistów po emeryci, także będą zainteresowani poznaniem historii Wielkiego Twierdzenia.

Dowód twierdzenia Fermata to wielkie wydarzenie. A ponieważ nie ma zwyczaju żartować słowem „świetny”, to wydaje mi się, że każdy szanujący się mówca (i każdy z nas, gdy mówimy mówcy) jest po prostu zobowiązany znać historię twierdzenia.

Jeśli tak się złożyło, że matematyki nie lubisz tak bardzo, jak ja ją kocham, to pobieżnym spojrzeniem przyjrzyj się niektórym pogłębieniom. Rozumiejąc, że nie wszyscy czytelnicy naszej listy dyskusyjnej są zainteresowani wędrówką po dziczy matematyki, starałem się nie podawać żadnych formuł (poza równaniem twierdzenia Fermata i kilkoma hipotezami) i uprościć omawianie niektórych konkretnych zagadnień, jako jak najwięcej.

Jak Fermat warzył owsiankę

Francuski prawnik i wielki matematyk z XVII wieku, Pierre Fermat (1601-1665), przedstawił ciekawe stwierdzenie z dziedziny teorii liczb, które później stało się znane jako Wielkie (lub Wielkie) Twierdzenie Fermata. To jedno z najbardziej znanych i fenomenalnych twierdzeń matematycznych. Prawdopodobnie ekscytacja wokół niej nie byłaby tak silna, gdyby w księdze Diofanta z Aleksandrii (III wne) „Arytmetyka”, którą Fermat często studiował, robiąc notatki na jej szerokich marginesach i którą jego syn Samuel uprzejmie zachował dla potomności , w przybliżeniu nie znaleziono następującego wpisu wielkiego matematyka:

„Mam bardzo zaskakujący dowód, ale jest zbyt duży, by zmieścić się na marginesie”.

To właśnie ten wpis spowodował kolejne wielkie zamieszanie wokół twierdzenia.

Tak więc słynny naukowiec powiedział, że udowodnił swoje twierdzenie. Zadajmy sobie pytanie: czy naprawdę to udowodnił, czy kłamał? A może istnieją inne wersje wyjaśniające pojawienie się tego marginalnego wpisu, który nie pozwalał spokojnie spać wielu matematykom następnych pokoleń?

Historia Wielkiego Twierdzenia jest równie fascynująca jak przygoda w czasie. Fermat stwierdził w 1636 r., że równanie postaci x n + y n = z n nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych z wykładnikiem n>2. To jest właściwie ostatnie twierdzenie Fermata. W tym pozornie prostym wzorze matematycznym Wszechświat zamaskował niesamowitą złożoność. Urodzony w Szkocji amerykański matematyk Eric Temple Bell w swojej książce The Final Problem (1961) zasugerował nawet, że być może ludzkość przestanie istnieć, zanim będzie mogła udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata.

Trochę dziwne jest, że z jakiegoś powodu twierdzenie pojawiło się późno, ponieważ sytuacja była już dawno spóźniona, ponieważ jego szczególny przypadek dla n = 2 - innego słynnego wzoru matematycznego - twierdzenia Pitagorasa, powstało dwadzieścia dwa wieki wcześniej. W przeciwieństwie do twierdzenia Fermata, twierdzenie Pitagorasa ma nieskończoną liczbę rozwiązań całkowitych, na przykład takie trójkąty pitagorejskie: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112 384 400) … (4232, 7935, 8993) …

Syndrom Wielkiego Twierdzenia

Kto po prostu nie próbował udowodnić twierdzenia Fermata. Każdy początkujący uczeń uważał za swój obowiązek zastosowanie się do Wielkiego Twierdzenia, ale nikt nie był w stanie tego udowodnić. Początkowo nie działał przez sto lat. Potem jeszcze sto. I dalej. Wśród matematyków zaczął rozwijać się syndrom masowy: „Jak to jest? Fermat to udowodnił, ale co, jeśli nie mogę, albo co?” - a niektórzy z nich oszaleli na tej podstawie w pełnym tego słowa znaczeniu.

Bez względu na to, jak bardzo testowano twierdzenie, zawsze okazywało się, że jest prawdziwe. Znałem jednego energicznego programistę, który miał obsesję na punkcie obalenia Wielkiego Twierdzenia, próbując znaleźć przynajmniej jedno rozwiązanie (kontrprzykład) poprzez iterację po liczbach całkowitych za pomocą szybkiego komputera (wówczas popularnie zwanego komputerem). Wierzył w powodzenie swojego przedsięwzięcia i lubił mawiać: „Jeszcze trochę – i wybuchnie sensacja!” Myślę, że w różnych częściach naszej planety było wielu takich odważnych poszukiwaczy. Oczywiście nie znalazł żadnego rozwiązania. I żaden komputer, nawet z bajeczną szybkością, nigdy nie mógłby przetestować twierdzenia, ponieważ wszystkie zmienne tego równania (w tym wykładniki) mogą wzrosnąć do nieskończoności.

Twierdzenie wymaga dowodu

Matematycy wiedzą, że jeśli twierdzenie nie jest udowodnione, może z niego wynikać wszystko (prawdziwe lub fałszywe), podobnie jak w przypadku niektórych innych hipotez. Na przykład w jednym ze swoich listów Pierre Fermat zasugerował, że liczby w postaci 2 n +1 (tzw. liczby Fermata) są koniecznie pierwsze (czyli nie mają dzielników całkowitych i są podzielne tylko przez siebie i przez jeden bez reszty), jeśli n jest potęgą dwójki (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 itd.). Hipoteza Fermata żyła przez ponad sto lat – dopóki Leonhard Euler nie wykazał tego w 1732 r.

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Następnie, prawie 150 lat później (1880), Fortune Landry uwzględniła następującą liczbę Fermata:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Jak mogli znaleźć dzielniki tych wielkich liczb bez pomocy komputerów - Bóg jeden wie. Z kolei Euler wysunął hipotezę, że równanie x 4 + y 4 + z 4 =u 4 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Jednak około 250 lat później, w 1988 roku, Naum Elkis z Harvardu odkrył (już za pomocą programu komputerowego), że

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Dlatego Wielkie Twierdzenie Fermata wymagało dowodu, w przeciwnym razie byłaby to tylko hipoteza, a równie dobrze mogło się zdarzyć, że gdzieś w nieskończonych polach liczbowych zaginęło rozwiązanie równania Wielkiego Twierdzenia.

Najbardziej wirtuozowski i płodny matematyk XVIII wieku, Leonard Euler, którego archiwum zapisów ludzkości porządkuje od prawie wieku, udowodnił twierdzenie Fermata o mocach 3 i 4 (a raczej powtórzył utracone dowody samego Pierre'a Fermata). ; jego zwolennik w teorii liczb, Legendre (i niezależnie Dirichlet) - dla stopnia 5; Kulawy - dla stopnia 7. Ale ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie pozostało nieudowodnione.

1 marca 1847 r. na posiedzeniu Paryskiej Akademii Nauk dwaj wybitni matematycy od razu - Gabriel Lame i Augustin Cauchy - ogłosili, że doszli do końca dowodu Wielkiego Twierdzenia i zorganizowali wyścig, publikując swoje odbitki próbne w częściach. Pojedynek między nimi został jednak przerwany, ponieważ w ich dowodach wykryto ten sam błąd, na co zwrócił uwagę niemiecki matematyk Ernst Kummer.

Na początku XX wieku (1908) bogaty niemiecki biznesmen, filantrop i naukowiec Paul Wolfskel zapisał sto tysięcy marek każdemu, kto przedstawi kompletny dowód twierdzenia Fermata. Już w pierwszym roku po opublikowaniu testamentu Wolfskella przez Göttingen Academy of Sciences został on zasypany tysiącami dowodów od miłośników matematyki i nurt ten nie zatrzymał się na dziesięciolecia, ale, jak można sobie wyobrazić, wszystkie zawierały błędy . Mówią, że akademia przygotowała formularze o następującej treści:

Drogi __________________________!
W dowodzie twierdzenia Fermata na ____ stronie ____ wiersz od góry
W formule znaleziono następujący błąd:__________________________:,

Które zostały wysłane do pechowych kandydatów do nagrody.

W tym czasie w kręgu matematyków pojawił się na wpół pogardliwy przydomek - fermista. Tak nazywano każdego pewnego siebie nowicjusza, któremu brakowało wiedzy, ale bardziej niż miał ambicję, by pospiesznie spróbować swoich sił w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia, a następnie, nie zauważając własnych błędów, dumnie klepiąc się w pierś, głośno oświadczam: „Ja udowodnił pierwsze twierdzenie Fermata! Każdy rolnik, nawet dziesięciotysięczny, uważał się za pierwszego – to było śmieszne. Prosty wygląd Wielkiego Twierdzenia tak bardzo przypominał Fermistom łatwą zdobycz, że wcale nie byli zakłopotani, że nawet Euler i Gauss nie mogli sobie z tym poradzić.

(O dziwo, Fermiści istnieją do dziś. Wprawdzie jeden z nich nie wierzył, że udowodnił twierdzenie jak klasyczny fermista, ale do niedawna podejmował próby - nie chciał mi uwierzyć, gdy mu powiedziałem, że twierdzenie Fermata już było udowodnione).

Najpotężniejsi matematycy, być może w zaciszu swoich gabinetów, również starali się ostrożnie podejść do tej ciężkiej sztangi, ale nie rozmawiali o tym głośno, aby nie zostać napiętnowanym jako Fermiści i tym samym nie zaszkodzić ich wysokiemu autorytetowi.

Do tego czasu pojawił się dowód twierdzenia o wykładniku n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Dziwna hipoteza

Do połowy XX wieku nie zaobserwowano większych postępów w historii Wielkiego Twierdzenia. Ale wkrótce w życiu matematycznym wydarzyło się ciekawe wydarzenie. W 1955 roku 28-letni japoński matematyk Yutaka Taniyama wysunął twierdzenie z zupełnie innej dziedziny matematyki, zwanej Hipotezą Taniyamy (inaczej Hipoteza Taniyamy-Shimura-Weila), która w przeciwieństwie do spóźnionego twierdzenia Fermata wyprzedziła już czas.

Hipoteza Taniyamy mówi: „każdej krzywej eliptycznej odpowiada pewna forma modułowa”. To stwierdzenie dla matematyków tamtych czasów brzmiało mniej więcej tak absurdalnie, jak dla nas stwierdzenie: „każdemu drzewu odpowiada pewien metal”. Nietrudno zgadnąć, jak normalna osoba może odnieść się do takiego stwierdzenia - po prostu nie potraktuje tego poważnie, co się stało: matematycy jednogłośnie zignorowali hipotezę.

Małe wyjaśnienie. Krzywe eliptyczne, znane od dawna, mają postać dwuwymiarową (umieszczoną na płaszczyźnie). Funkcje modułowe, odkryte w XIX wieku, mają postać czterowymiarową, więc nie możemy ich sobie nawet wyobrazić naszymi trójwymiarowymi mózgami, ale możemy je opisać matematycznie; w dodatku formy modułowe są niesamowite, ponieważ mają najwyższą możliwą symetrię – można je przenosić (przesuwać) w dowolnym kierunku, odbijać w lustrze, fragmenty można zamieniać, obracać na nieskończenie wiele sposobów – a ich wygląd się nie zmienia. Jak widać, krzywe eliptyczne i modułowe formy mają ze sobą niewiele wspólnego. Hipoteza Taniyamy mówi, że równania opisowe tych dwóch zupełnie różnych odpowiadających sobie obiektów matematycznych można rozszerzyć do tej samej serii matematycznej.

Hipoteza Taniyamy była zbyt paradoksalna: łączyła zupełnie inne koncepcje - raczej proste płaskie krzywe i niewyobrażalne czterowymiarowe kształty. To nigdy nikomu nie przyszło do głowy. Kiedy na międzynarodowym sympozjum matematycznym w Tokio we wrześniu 1955 r. Taniyama zademonstrował kilka powiązań między krzywymi eliptycznymi a formami modułowymi, wszyscy uznali to za jedynie zabawny zbieg okoliczności. Na skromne pytanie Taniyamy: czy możliwe jest znalezienie odpowiedniej funkcji modularnej dla każdej krzywej eliptycznej, czcigodny Francuz Andre Weil, który w tym czasie był jednym z najlepszych na świecie specjalistów w teorii liczb, udzielił dość dyplomatycznej odpowiedzi, co, jak mówią , jeśli dociekliwy Taniyama nie pozostawi entuzjazmu, to może będzie miał szczęście i jego niesamowita hipoteza się potwierdzi, ale nie może to nastąpić szybko. Generalnie, podobnie jak wiele innych wybitnych odkryć, początkowo hipoteza Taniyamy została zignorowana, ponieważ jeszcze do niej nie dojrzeli – prawie nikt jej nie rozumiał. Tylko jeden kolega Taniyamy, Goro Shimura, dobrze znający swojego niezwykle uzdolnionego przyjaciela, intuicyjnie czuł, że jego hipoteza jest słuszna.

Trzy lata później (1958) Yutaka Taniyama popełnił samobójstwo (jednak tradycje samurajskie są silne w Japonii). Z punktu widzenia zdrowego rozsądku – czyn niezrozumiały, zwłaszcza biorąc pod uwagę, że już niedługo miał się ożenić. Lider młodych japońskich matematyków rozpoczął swój list pożegnalny w następujący sposób: "Wczoraj nie myślałem o samobójstwie. Ostatnio często słyszałem od innych, że jestem zmęczony psychicznie i fizycznie. Właściwie nadal nie rozumiem, dlaczego to robię to...” i tak dalej na trzech arkuszach. Szkoda oczywiście, że taki los spotkał ciekawą osobę, ale wszyscy geniusze są trochę dziwni – dlatego są geniuszami (z jakiegoś powodu przyszły mi do głowy słowa Artura Schopenhauera: „w zwykłym życiu geniusz jest tak samo przydatny jak teleskop w teatrze” . Hipoteza została porzucona. Nikt nie wiedział, jak to udowodnić.

Przez dziesięć lat prawie nie wspominano o hipotezie Taniyamy. Ale na początku lat 70. stało się popularne – było regularnie sprawdzane przez wszystkich, którzy je rozumieli – i zawsze było potwierdzane (tak jak w rzeczywistości twierdzenie Fermata), ale tak jak wcześniej nikt nie był w stanie tego udowodnić.

Niesamowity związek między tymi dwiema hipotezami

Minęło kolejne 15 lat. W 1984 roku miało miejsce jedno kluczowe wydarzenie w życiu matematyki, które połączyło ekstrawaganckie japońskie przypuszczenie z Wielkim Twierdzeniem Fermata. Niemiec Gerhard Frey wysunął ciekawe stwierdzenie, podobne do twierdzenia: „Jeżeli hipoteza Taniyamy zostanie udowodniona, to w konsekwencji zostanie udowodnione ostatnie twierdzenie Fermata”. Innymi słowy, twierdzenie Fermata jest konsekwencją przypuszczenia Taniyamy. (Frey, posługując się pomysłowymi przekształceniami matematycznymi, sprowadził równanie Fermata do postaci równania krzywej eliptycznej (tego samego, które pojawia się w hipotezie Taniyamy), mniej lub bardziej uzasadnił swoje założenie, ale nie mógł tego udowodnić). Zaledwie półtora roku później (1986) profesor Uniwersytetu Kalifornijskiego, Kenneth Ribet, wyraźnie udowodnił twierdzenie Freya.

Co się teraz stało? Teraz okazało się, że skoro twierdzenie Fermata jest już dokładnie konsekwencją przypuszczenia Taniyamy, wystarczy udowodnić to drugie, aby złamać laury zdobywcy legendarnego twierdzenia Fermata. Ale hipoteza okazała się trudna. Ponadto na przestrzeni wieków matematycy stali się uczuleni na twierdzenie Fermata i wielu z nich uznało, że poradzenie sobie z przypuszczeniem Taniyamy byłoby również prawie niemożliwe.

Śmierć hipotezy Fermata. Narodziny twierdzenia

Minęło kolejne 8 lat. Pewnemu postępowemu angielskiemu profesorowi matematyki z Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wilesowi, wydawało się, że znalazł dowód na przypuszczenie Taniyamy. Jeśli geniusz nie jest łysy, to z reguły rozczochrany. Wiles jest rozczochrany, dlatego wygląda na geniusza. Wejście w historię jest oczywiście kuszące i bardzo pożądane, ale Wiles, jak prawdziwy naukowiec, nie schlebiał sobie, zdając sobie sprawę, że tysiące Fermistów przed nim również marzyło o upiornych dowodach. Dlatego przed przedstawieniem swojego dowodu światu, sam go dokładnie sprawdził, ale zdając sobie sprawę, że może mieć subiektywne nastawienie, angażował też w kontrole innych, np. pod pozorem zwykłych zadań matematycznych, czasami rzucał różnymi fragmentami swojego dowodu dla mądrych absolwentów. Wiles przyznał później, że nikt oprócz jego żony nie wiedział, że pracuje nad udowodnieniem Wielkiego Twierdzenia.

I tak, po długich próbach i bolesnych przemyśleniach, Wiles w końcu nabrał odwagi lub, jak sam myślał, bezczelności i 23 czerwca 1993 roku na konferencji matematycznej poświęconej teorii liczb w Cambridge ogłosił swoje wielkie osiągnięcie.

To była oczywiście sensacja. Nikt nie spodziewał się takiej zwinności od mało znanego matematyka. Potem pojawiła się prasa. Wszystkich dręczyło palące zainteresowanie. Smukłe formuły, niczym pociągnięcia pięknego obrazu, pojawiły się przed ciekawskimi oczami publiczności. Prawdziwi matematycy przecież tacy są - patrzą na różnego rodzaju równania i nie widzą w nich liczb, stałych i zmiennych, ale słyszą muzykę, jak Mozart patrzący na pięciolinię muzyczną. Tak jak czytając książkę, patrzymy na litery, ale wydaje się, że ich nie zauważamy, ale od razu dostrzegamy znaczenie tekstu.

Przedstawienie dowodu wydawało się udane - nie znaleziono w nim błędów - nikt nie usłyszał ani jednej fałszywej nuty (choć większość matematyków po prostu wpatrywała się w niego jak pierwszoklasiści na całkę i nic nie rozumiała). Wszyscy zdecydowali, że wydarzyło się wydarzenie na dużą skalę: hipoteza Taniyamy została udowodniona, aw konsekwencji Wielkie Twierdzenie Fermata. Ale około dwa miesiące później, na kilka dni przed wejściem do obiegu rękopisu dowodu Wilesa, okazało się, że jest on niespójny (Katz, kolega Wilesa, zauważył, że jeden fragment rozumowania opierał się na „systemie Eulera”, ale co zbudowany przez Wiles nie był takim systemem), chociaż ogólnie techniki Wilesa uważano za interesujące, eleganckie i nowatorskie.

Wiles przeanalizował sytuację i uznał, że przegrał. Można sobie wyobrazić, jak czuł się całym sobą, co to znaczy „od wielkiego do śmiesznego kroku”. "Chciałem wejść do historii, ale zamiast tego dołączyłem do zespołu klaunów i komików - aroganckich farmerów" - mniej więcej takie myśli wyczerpały go w tym bolesnym okresie jego życia. Dla niego, poważnego matematyka, była to tragedia i odrzucił swój dowód na dalszy plan.

Ale nieco ponad rok później, we wrześniu 1994 roku, myśląc o tym wąskim gardle dowodu, wraz ze swoim kolegą Taylorem z Oksfordu, ten ostatni nagle wpadł na pomysł, że „system Eulera” można zmienić na teorię Iwasawy (rozdział teorii liczb). Potem próbowali wykorzystać teorię Iwasawy, obchodząc się bez „systemu Eulera” i wszyscy się spotkali. Poprawiona wersja dowodu została przekazana do weryfikacji, a rok później ogłoszono, że wszystko w niej jest absolutnie jasne, bez najmniejszego błędu. Latem 1995 roku w jednym z czołowych czasopism matematycznych – „Rocznikach Matematyki” – ukazał się kompletny dowód hipotezy Taniyamy (stąd Wielkie (Wielkie) Twierdzenie Fermata, zajmujący cały numer – ponad sto arkuszy. Dowód jest tak złożony, że tylko kilkadziesiąt osób na całym świecie mogło go w całości zrozumieć.

Tak więc pod koniec XX wieku cały świat uznał, że w 360-tym roku swojego życia Wielkie Twierdzenie Fermata, które w rzeczywistości przez cały czas było hipotezą, stało się twierdzeniem udowodnionym. Andrew Wiles udowodnił Wielkie (Wielkie) Twierdzenie Fermata i wszedł do Historii.

Pomyśl, że udowodniłeś twierdzenie...

Szczęście odkrywcy zawsze trafia do kogoś samego - to on ostatnim uderzeniem młotka rozbija twardy orzech wiedzy. Nie można jednak pominąć wielu wcześniejszych ciosów, które przez wieki tworzyły pęknięcie w Wielkim Twierdzeniu: Eulera i Gaussa (królowie matematyki swoich czasów), Evariste Galois (który zdołał ustalić teorię grup i pól w swoim krótkim 21 -letnie życie, którego prace uznano za genialne dopiero po jego śmierci), Henri Poincaré (twórca nie tylko dziwacznych form modułowych, ale także konwencjonalizmu - nurtu filozoficznego), David Gilbert (jeden z najsilniejszych matematyków XX wieku) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor i inni prawdziwi naukowcy(Nie boję się tych słów).

Dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata można zrównać z takimi osiągnięciami XX wieku, jak wynalezienie komputera, bomba atomowa i lot kosmiczny. Choć nie tak szeroko o nim znany, bo nie wdziera się w strefę naszych chwilowych zainteresowań, jak telewizor czy żarówka, był to błysk supernowej, która, jak każda niezmienna prawda, zawsze będzie świecić. ludzkość.

Możesz powiedzieć: „Pomyśl tylko, udowodniłeś jakieś twierdzenie, kto tego potrzebuje?". Uczciwe pytanie. Odpowiedź Davida Gilberta będzie pasować dokładnie tutaj. Kiedy na pytanie: "co jest teraz najważniejszym zadaniem nauki?", odpowiedział: "złapać muchę po drugiej stronie księżyca", został rozsądnie zapytany: „ale kto tego potrzebuje?", odpowiedział tak:" Nikt tego nie potrzebuje. Ale pomyśl, ile ważnych i trudnych problemów trzeba rozwiązać, aby to osiągnąć. „Pomyśl, ile problemów ludzkość była w stanie rozwiązać w ciągu 360 lat przed udowodnieniem twierdzenia Fermata. W poszukiwaniu jego dowodu prawie połowa współczesnej matematyki Musimy również wziąć pod uwagę, że matematyka jest awangardą nauki (i, nawiasem mówiąc, jedyną z nauk, która jest budowana bez jednego błędu), a wszelkie osiągnięcia naukowe i wynalazki zaczynają się tutaj.” .

* * *

A teraz wróćmy do początku naszej opowieści, przypomnijmy sobie wpis Pierre'a Fermata na marginesach podręcznika Diophantusa i jeszcze raz zadajmy sobie pytanie: czy Fermat rzeczywiście udowodnił swoje twierdzenie? Oczywiście nie możemy tego wiedzieć na pewno i jak w każdym przypadku powstają tu różne wersje:

Wersja 1: Fermat udowodnił swoje twierdzenie. (Na pytanie: „Czy Fermat miał dokładnie ten sam dowód swojego twierdzenia?”, Andrew Wiles zauważył: „Fermat nie mógł mieć więc dowód. To dowód na XX wiek. „Rozumiemy, że w XVII wieku matematyka oczywiście nie była taka sama jak pod koniec XX wieku – w tamtej epoce d. Artagnan, królowa nauk, nie posiadają jednak te odkrycia (formy modułowe, twierdzenia Taniyamy , Freya itp.), które tylko pozwoliły udowodnić Wielkie Twierdzenie Fermata. Ta wersja, choć prawdopodobna, jest według większości matematyków praktycznie niemożliwa);
Wersja 2: Pierre'owi de Fermat wydawało się, że udowodnił swoje twierdzenie, ale w jego dowodzie były błędy. (Oznacza to, że sam Fermat był także pierwszym fermatystą);
Wersja 3: Fermat nie udowodnił swojego twierdzenia, po prostu kłamał na marginesie.

Jeśli jedna z dwóch ostatnich wersji jest poprawna, co najprawdopodobniej, można wyciągnąć prosty wniosek: wspaniali ludzie, choć są wspaniali, potrafią też popełniać błędy lub czasem nie mają nic przeciwko kłamstwu(w zasadzie ten wniosek będzie przydatny dla tych, którzy są skłonni całkowicie ufać swoim idolom i innym władcom myśli). Dlatego czytając dzieła autorytatywnych synów ludzkości lub słuchając ich żałosnych przemówień, masz pełne prawo wątpić w ich wypowiedzi. (Proszę to zanotować wątpić to nie odrzucać).

Przedruk materiałów artykułu jest możliwy tylko z obowiązkowymi linkami do serwisu (w Internecie - hiperłącze) i do autora

W XVII wieku we Francji mieszkał prawnik i matematyk Pierre Fermat, który poświęcał swojemu hobby długie godziny wolnego czasu. Pewnego zimowego wieczoru, siedząc przy kominku, wysunął jedno z najbardziej osobliwych stwierdzeń z dziedziny teorii liczb - nazwano je później Wielkim lub Wielkim Twierdzeniem Fermata. Być może podekscytowanie nie byłoby tak znaczące w kręgach matematycznych, gdyby nie doszło do jednego zdarzenia. Matematyk często spędzał wieczory na studiowaniu ulubionej księgi Diofanta z Aleksandrii „Arytmetyka” (III w.), spisując na jej marginesach ważne myśli – ten rarytas został pieczołowicie zachowany dla potomności przez jego syna. Tak więc na szerokich marginesach tej książki ręka Fermata zostawiła ten napis: „Mam dość uderzający dowód, ale jest zbyt duży, by umieścić go na marginesach”. To właśnie ten wpis wywołał ogromne podniecenie wokół twierdzenia. Wśród matematyków nie było wątpliwości, że wielki naukowiec oświadczył, iż udowodnił swoje własne twierdzenie. Zastanawiacie się pewnie: „Czy naprawdę to udowodnił, czy było to banalne kłamstwo, a może istnieją inne wersje, dlaczego ten wpis, który nie pozwalał spać spokojnie matematykom kolejnych pokoleń, znalazł się na marginesie książka?".

Istota Wielkiego Twierdzenia

Dość dobrze znane twierdzenie Fermata jest w swej istocie proste i polega na tym, że pod warunkiem, że n jest większe niż dwa, liczba dodatnia, równanie X n + Y n \u003d Z n nie będzie zawierało rozwiązań typu zerowego w obrębie ramy liczb naturalnych. Niesamowita złożoność została zamaskowana w tej pozornie prostej formule, a udowodnienie tego zajęło trzy stulecia. Jest jedna osobliwość - twierdzenie spóźniło się z narodzinami świata, ponieważ jego szczególny przypadek dla n = 2 pojawił się 2200 lat temu - jest to nie mniej znane twierdzenie Pitagorasa.

Należy zauważyć, że opowieść dotycząca znanego twierdzenia Fermata jest bardzo pouczająca i zabawna nie tylko dla matematyków. Co najciekawsze, nauka nie była pracą dla naukowca, ale prostym hobby, które z kolei sprawiało Rolnikowi ogromną przyjemność. Utrzymywał też stały kontakt z matematykiem, a na pół etatu, także przyjacielem, dzielił się pomysłami, ale co dziwne, nie starał się publikować własnej pracy.

Postępowanie matematyka Rolnika

Jeśli chodzi o prace samego Farmera, to znaleziono je właśnie w formie zwykłych listów. W niektórych miejscach nie było całych stron, a zachowały się jedynie fragmenty korespondencji. Jeszcze ciekawszy jest fakt, że naukowcy od trzech wieków poszukiwali twierdzenia, które zostało odkryte w pismach Fermera.

Ale kto nie odważył się tego udowodnić, próby zostały zredukowane do „zera”. Słynny matematyk Kartezjusz oskarżył nawet naukowca o przechwałki, ale wszystko sprowadzało się do najzwyklejszej zazdrości. Oprócz tworzenia Farmer udowodnił także własne twierdzenie. To prawda, że ​​rozwiązanie zostało znalezione dla przypadku, w którym n=4. Jeśli chodzi o przypadek dla n=3, matematyk Euler go zidentyfikował.

Jak próbowali udowodnić twierdzenie Fermera?

Na samym początku XIX wieku twierdzenie to nadal istniało. Matematycy znaleźli wiele dowodów twierdzeń, które ograniczały się do liczb naturalnych w granicach dwustu.

A w 1909 r. Postawiono na linię dość dużą kwotę, równą stu tysiącom marek pochodzenia niemieckiego - a wszystko to tylko po to, aby rozwiązać problem związany z tym twierdzeniem. Sam fundusz kategorii nagród opuścił zamożny miłośnik matematyki Paul Wolfskell, pochodzący z Niemiec, notabene, to on chciał „położyć na siebie ręce”, ale dzięki takiemu zaangażowaniu w twierdzenie Fermera chciał relacja na żywo. Wynikające z tego podekscytowanie dało początek tonom „dowodów”, które zalały niemieckie uniwersytety, a w kręgu matematyków narodził się przydomek „fermista”, którego używano z na wpół pogardą, by nazywać każdego ambitnego nowicjusza, który nie przedstawił jasnych dowodów.

Hipoteza japońskiego matematyka Yutaki Taniyama

W historii Wielkiego Twierdzenia nie było żadnych zmian aż do połowy XX wieku, ale wydarzyło się jedno ciekawe wydarzenie. W 1955 roku japoński matematyk Yutaka Taniyama, który miał 28 lat, ujawnił światu stwierdzenie z zupełnie innej dziedziny matematyki – jego hipoteza, w przeciwieństwie do Fermata, wyprzedzała swoje czasy. Mówi: „Dla każdej krzywej eliptycznej istnieje odpowiednia forma modułowa”. Wydaje się to absurdem dla każdego matematyka, tak jak drzewo składa się z pewnego metalu! Hipoteza paradoksalna, podobnie jak większość innych oszałamiających i pomysłowych odkryć, nie została przyjęta, ponieważ po prostu jeszcze do niej nie dorosli. A Yutaka Taniyama popełnił samobójstwo trzy lata później – czyn niewytłumaczalny, ale prawdopodobnie zaszczyt dla prawdziwego geniusza samurajów był przede wszystkim.

Przez całą dekadę hipoteza nie została zapamiętana, ale w latach siedemdziesiątych osiągnęła szczyt popularności - potwierdzali ją wszyscy, którzy ją rozumieli, ale podobnie jak twierdzenie Fermata pozostała niesprawdzona.

W jaki sposób hipoteza Taniyamy i twierdzenie Fermata są powiązane

Piętnaście lat później w matematyce miało miejsce kluczowe wydarzenie, które połączyło słynną japońską hipotezę i twierdzenie Fermata. Gerhard Gray stwierdził, że gdy udowodni się hipotezę Taniyamy, zostaną znalezione dowody twierdzenia Fermata. Oznacza to, że to ostatnie jest konsekwencją przypuszczenia Taniyamy, a półtora roku później twierdzenie Fermata zostało udowodnione przez profesora Uniwersytetu Kalifornijskiego, Kennetha Ribeta.

Czas mijał, regres został zastąpiony postępem, a nauka szybko posuwała się do przodu, zwłaszcza w dziedzinie technologii komputerowej. W ten sposób wartość n zaczęła coraz bardziej wzrastać.

Pod sam koniec XX wieku najpotężniejsze komputery znajdowały się w laboratoriach wojskowych, przeprowadzono programowanie w celu znalezienia rozwiązania znanego problemu Fermata. W wyniku wszystkich prób okazało się, że twierdzenie to jest poprawne dla wielu wartości n, x, y. Ale niestety nie stało się to ostatecznym dowodem, ponieważ nie było konkretów jako takich.

John Wiles udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata

I wreszcie, dopiero pod koniec 1994 roku matematyk z Anglii, John Wiles, znalazł i zademonstrował dokładny dowód kontrowersyjnego twierdzenia Fermera. Następnie, po wielu usprawnieniach, dyskusje na ten temat doszły do ​​logicznego zakończenia.

Sprzeciw został opublikowany na ponad stu stronach jednego magazynu! Co więcej, twierdzenie zostało udowodnione na nowocześniejszym aparacie matematyki wyższej. I o dziwo, w czasie, gdy Rolnik pisał swoje dzieło, taki aparat w przyrodzie nie istniał. Jednym słowem człowiek został uznany za geniusza w tej dziedzinie, z którym nikt nie mógł się spierać. Mimo wszystkiego, co się wydarzyło, dziś można być pewnym, że przedstawione twierdzenie wielkiego naukowca Fermera jest uzasadnione i udowodnione, a żaden rozsądny matematyk nie będzie na ten temat wszczynał sporów, z którymi zgadzają się nawet najbardziej zagorzali sceptycy całej ludzkości.

Pełne imię osoby, po której nazwano przedstawione twierdzenie, brzmiało Pierre de Fermer. Wniósł wkład do wielu różnych dziedzin matematyki. Niestety, większość jego prac ukazała się dopiero po jego śmierci.