Energia potencjalna ciał oddziałujących siłami grawitacyjnymi. referat

Jeśli na system działają tylko siły konserwatywne, to możemy wprowadzić dla niego koncepcję energia potencjalna. Dowolne dowolne położenie układu, charakteryzujące się ustaleniem współrzędnych jego punktów materialnych, przyjmiemy warunkowo jako zero. Praca wykonana przez siły zachowawcze podczas przejścia układu z rozważanej pozycji do zera nazywa się energia potencjalna układu na pierwszej pozycji

Praca sił zachowawczych nie zależy od drogi przejścia, a zatem energia potencjalna układu w ustalonej pozycji zerowej zależy tylko od współrzędnych punktów materialnych układu w rozpatrywanym położeniu. Innymi słowy, energia potencjalna układu U jest funkcją tylko jego współrzędnych.

Energia potencjalna systemu nie jest jednoznacznie zdefiniowana, ale do dowolnej stałej. Ta arbitralność nie może wpływać na wnioski fizyczne, ponieważ przebieg zjawisk fizycznych może zależeć nie od bezwzględnych wartości samej energii potencjalnej, ale tylko od jej różnicy w różnych stanach. Te same różnice nie zależą od wyboru arbitralnej stałej.

Pozwól systemowi przemieścić się z pozycji 1 do pozycji 2 po jakiejś ścieżce 12 (rys. 3.3). Praca ALE 12 wykonywane przez siły zachowawcze podczas takiego przejścia można wyrazić w postaci energii potencjalnych U 1 i U 2 w stanach 1 I 2 . W tym celu wyobraźmy sobie, że przejście odbywa się przez pozycję O, czyli po ścieżce 1O2. Ponieważ siły są konserwatywne, to ALE 12 = ALE 1O2 = ALE 1O + ALE O2 = ALE 1O - ALE 2O. Z definicji energii potencjalnej U 1 = A 1 O , U 2 = A 2O. W ten sposób,

A 12 = U 1 – U 2 , (3.10)

tj. praca sił zachowawczych jest równa spadkowi energii potencjalnej układu.

Jakaś praca ALE 12 , jak pokazano wcześniej w (3.7), można wyrazić w postaci przyrostu energii kinetycznej wzorem

ALE 12 = DO 2 – DO 1 .

Porównując ich prawą stronę, otrzymujemy DO 2 – DO 1 = U 1 – U 2 , skąd

DO 1 + U 1 = DO 2 + U 2 .

Suma energii kinetycznej i potencjalnej układu nazywana jest jego całkowita energia E. W ten sposób, mi 1 = mi 2 , lub

miº K+U= const. (3.11)

W układzie, w którym występują tylko siły zachowawcze, całkowita energia pozostaje niezmieniona. Mogą zachodzić tylko przemiany energii potencjalnej w energię kinetyczną i odwrotnie, ale całkowita podaż energii układu nie może się zmienić. Stanowisko to nazywa się prawem zachowania energii w mechanice.

Obliczmy energię potencjalną w najprostszych przypadkach.

a) Energia potencjalna ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym. Jeśli punkt materialny znajduje się na wysokości h, spadnie do poziomu zerowego (tj. poziomu, dla którego h= 0), wtedy grawitacja zadziała A=mgh. Dlatego na górze h punkt materialny ma energię potencjalną U=mgh+C, gdzie OD jest stałą addytywną. Dowolny poziom można przyjąć jako zero, na przykład poziom podłogi (jeśli eksperyment przeprowadzany jest w laboratorium), poziom morza itp. Stały OD jest równa energii potencjalnej na poziomie zerowym. Ustawiając ją na zero, otrzymujemy

U=mgh. (3.12)

b) Energia potencjalna rozciągniętej sprężyny. Siły sprężyste występujące podczas rozciągania lub ściskania sprężyny są siłami centralnymi. Dlatego są konserwatywne i sensowne jest mówienie o energii potencjalnej odkształconej sprężyny. Nazywają ją energia sprężystości. Oznacz przez x przedłużenie sprężyny,T. e. różnica x = l – ja 0 długości sprężyny w stanie odkształconym i nieodkształconym. Siła sprężystości F zależy od rozciągnięcia. Jeśli się rozciągasz x niezbyt duży, to jest do niego proporcjonalny: F = – kx(prawo Hooke'a). Kiedy sprężyna powraca ze stanu zdeformowanego do nieodkształconego, siła F wykonuje pracę

Jeżeli założymy, że energia sprężystości sprężyny w stanie nieodkształconym jest równa zeru, to

c) Energia potencjalna przyciągania grawitacyjnego dwóch punktów materialnych. Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, grawitacyjna siła przyciągania dwóch ciał punktowych jest proporcjonalna do iloczynu ich mas mm i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi:

gdzie G to stała grawitacyjna.

Siła przyciągania grawitacyjnego, jako siła centralna, jest konserwatywna. Rozmowa o energii potencjalnej ma dla niej sens. Przy obliczaniu tej energii, na przykład jedna z mas m, można uznać za stacjonarną, a drugą za poruszającą się w swoim polu grawitacyjnym. Podczas przenoszenia masy m od nieskończoności działają siły grawitacyjne

gdzie r- odległość między masami m I m w stanie końcowym.

Ta praca jest równa utracie energii potencjalnej:

Zwykle energia potencjalna w nieskończoności U¥ jest równe zeru. Z taką umową

Ilość (3.15) jest ujemna. To ma proste wyjaśnienie. Atrakcyjne masy mają maksymalną energię w nieskończonej odległości między nimi. W tej pozycji energia potencjalna jest uważana za zero. W każdej innej pozycji jest mniejsza, czyli ujemna.

Załóżmy teraz, że wraz z siłami konserwatywnymi w układzie działają również siły rozpraszające. Praca wszystkich sił ALE 12 podczas przejścia układu z pozycji 1 do pozycji 2 jest nadal równy przyrostowi jego energii kinetycznej DO 2 – DO jeden . Ale w rozważanym przypadku pracę tę można przedstawić jako sumę pracy sił konserwatywnych i pracy sił rozpraszających. Pierwszą pracę można wyrazić w kategoriach utraty energii potencjalnej układu: Dlatego

Przyrównując to wyrażenie do przyrostu energii kinetycznej, otrzymujemy

gdzie E=K+U to całkowita energia systemu. Zatem w rozważanym przypadku energia mechaniczna mi system nie pozostaje stały, ale maleje, ponieważ praca sił rozpraszających jest ujemna.

> Grawitacyjna energia potencjalna

Co się stało energia grawitacyjna: energia potencjalna oddziaływania grawitacyjnego, wzór na energię grawitacyjną i prawo powszechnego ciążenia Newtona.

Energia grawitacyjna to energia potencjalna związana z siłą grawitacji.

Zadanie edukacyjne

• Oblicz energię potencjalną grawitacji dla dwóch mas.

Kluczowe punkty

Warunki

• Energia potencjalna to energia obiektu w jego położeniu lub stanie chemicznym.
• Grawitacyjna cofka Newtona - każdy punkt masy uniwersalnej przyciąga inny za pomocą siły, która jest wprost proporcjonalna do ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości.
• Grawitacja to siła działająca na ziemię, która przyciąga obiekty do środka. Utworzony przez rotację.

Przykład

Jaka będzie grawitacyjna energia potencjalna 1 kg książki na wysokości 1 m? Ponieważ położenie jest blisko powierzchni ziemi, przyspieszenie grawitacyjne będzie stałe (g = 9,8 m/s 2), a energia potencjału grawitacyjnego (mgh) osiągnie 1 kg ⋅ 1 m ⋅ 9,8 m/s 2 . Widać to również we wzorze:

Jeśli dodasz masę i promień Ziemi.

Energia grawitacyjna odzwierciedla potencjał związany z siłą grawitacji, ponieważ konieczne jest pokonanie ziemskiej grawitacji, aby wykonywać prace przy podnoszeniu przedmiotów. Jeśli obiekt spadnie z jednego punktu do drugiego w polu grawitacyjnym, wówczas siła grawitacji wykona dodatnią pracę, a energia potencjalna grawitacji zmniejszy się o tę samą wartość.

Powiedzmy, że na stole została książka. Kiedy przenosimy go z podłogi na blat stołu, pewna zewnętrzna interwencja działa przeciwko sile grawitacji. Jeśli spada, to jest to działanie grawitacji. Dlatego proces opadania odzwierciedla energię potencjalną przyspieszającą masę księgi i przekształcającą się w energię kinetyczną. Gdy tylko książka dotknie podłogi, energia kinetyczna zamienia się w ciepło i dźwięk.

Na potencjalną energię grawitacji wpływa wysokość względem określonego punktu, masa i siła pola grawitacyjnego. Tak więc księga na stole jest gorsza w grawitacyjnej energii potencjalnej niż cięższa księga poniżej. Pamiętaj, że wysokość nie może być używana do obliczania grawitacyjnej energii potencjalnej, chyba że grawitacja jest stała.

lokalne przybliżenie

Na siłę pola grawitacyjnego ma wpływ lokalizacja. Jeśli zmiana odległości jest nieznaczna, można ją pominąć, a siła grawitacji może być stała (g = 9,8 m/s 2). Następnie do obliczeń używamy prostego wzoru: W = Fd. Siła skierowana w górę jest równa ciężarowi, więc praca jest powiązana z mgh, co daje wzór: U = mgh (U to energia potencjalna, m to masa obiektu, g to przyspieszenie ziemskie, h to wysokość obiekt). Wartość jest wyrażona w dżulach. Zmiana energii potencjalnej jest przekazywana jako

Ogólna formuła

Jeśli jednak napotkamy duże zmiany odległości, to g nie może pozostać stałe i trzeba zastosować rachunek różniczkowy i matematyczną definicję pracy. Aby obliczyć energię potencjalną, można scałkować siłę grawitacyjną w zależności od odległości między ciałami. Następnie otrzymujemy wzór na energię grawitacyjną:

U = -G + K, gdzie K jest stałą całkowania i jest równe zero. Tutaj energia potencjalna spada do zera, gdy r jest nieskończone.

energia nazywana jest skalarną wielkością fizyczną, która jest pojedynczą miarą różnych form ruchu materii i miarą przejścia ruchu materii z jednej formy w drugą.

Aby scharakteryzować różne formy ruchu materii, wprowadza się odpowiednie rodzaje energii, na przykład: mechaniczną, wewnętrzną, energię oddziaływań elektrostatycznych, wewnątrzjądrowych itp.

Energia podlega prawu zachowania, które jest jednym z najważniejszych praw natury.

Energia mechaniczna E charakteryzuje ruch i wzajemne oddziaływanie ciał i jest funkcją prędkości i względnych pozycji ciał. Jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej.

Energia kinetyczna

Rozważmy przypadek, w którym ciało masowe m działa stała siła \(~\vec F\) (może być wypadkową kilku sił), a wektory siły \(~\vec F\) i przemieszczenia \(~\vec s\) są skierowane wzdłuż jednej prostej linia w jednym kierunku. W tym przypadku pracę wykonaną przez siłę można określić jako A = F∙s. Moduł siły zgodnie z drugim prawem Newtona to F = m∙a i moduł wyporowy s przy ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym jest związany z modułami początkowego υ 1 i finał υ 2 prędkości i przyspieszenia ale\(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

Stąd do pracy dostajemy

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (jeden)

Fizyczną wielkość równą połowie iloczynu masy ciała i kwadratu jego prędkości nazywamy energia kinetyczna ciała.

Energia kinetyczna jest oznaczona literą mi k .

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

Wtedy równość (1) można zapisać w postaci:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)

Twierdzenie o energii kinetycznej

praca sił wypadkowych przyłożonych do ciała jest równa zmianie energii kinetycznej ciała.

Ponieważ zmiana energii kinetycznej jest równa pracy siły (3), energia kinetyczna ciała wyrażana jest w tych samych jednostkach co praca, czyli w dżulach.

Jeśli początkowa prędkość masy ciała m wynosi zero, a ciało zwiększa prędkość do wartości υ , to praca siły jest równa końcowej wartości energii kinetycznej ciała:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

Fizyczne znaczenie energii kinetycznej

Energia kinetyczna ciała poruszającego się z prędkością υ pokazuje, ile pracy musi wykonać siła działająca na ciało w spoczynku, aby nadać mu tę prędkość.

Energia potencjalna

Energia potencjalna jest energią interakcji ciał.

Energia potencjalna ciała uniesionego nad Ziemią to energia oddziaływania sił grawitacyjnych między ciałem a Ziemią. Energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście to energia wzajemnego oddziaływania sił sprężystych poszczególnych części ciała.

Potencjał nazywa się siła, którego praca zależy tylko od początkowego i końcowego położenia poruszającego się punktu materialnego lub ciała i nie zależy od kształtu trajektorii.

Przy zamkniętej trajektorii praca siły potencjalnej jest zawsze równa zeru. Siły potencjalne obejmują siły grawitacyjne, siły sprężystości, siły elektrostatyczne i kilka innych.

Siły, których praca zależy od kształtu trajektorii, to niepotencjalny. Podczas przesuwania punktu materialnego lub ciała po zamkniętej trajektorii praca siły niepotencjalnej nie jest równa zeru.

Energia potencjalna oddziaływania ciała z Ziemią

Znajdź pracę wykonaną przez grawitację F t podczas poruszania ciałem z masą m pionowo w dół z wysokości h 1 nad powierzchnią Ziemi na wysokość h 2 (rys. 1). Jeśli różnica h 1 – h 2 jest znikome w porównaniu do odległości do środka Ziemi, to siła grawitacji F m podczas ruchu ciała można uznać za stałą i równą mg.

Ponieważ przemieszczenie zbiega się w kierunku z wektorem grawitacji, praca wykonana przez grawitację wynosi

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (pięć)

Rozważmy teraz ruch ciała wzdłuż pochyłej płaszczyzny. Podczas przesuwania ciała w dół pochyłej płaszczyzny (rys. 2), grawitacja F t = mg wykonuje pracę

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

gdzie h to wysokość pochyłej płaszczyzny, s- moduł przemieszczenia równy długości pochyłej płaszczyzny.

Ruch ciała z punktu W dokładnie OD wzdłuż dowolnej trajektorii (ryc. 3) można w myślach przedstawić jako ruchy wzdłuż odcinków nachylonych płaszczyzn o różnych wysokościach h’, h'' itp. Praca ALE grawitacja do końca W w OD równa się sumie pracy na poszczególnych odcinkach ścieżki:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) , (7)

gdzie h 1 i h 2 - odpowiednio wysokości od powierzchni Ziemi, na których znajdują się punkty W I OD.

Równość (7) pokazuje, że praca grawitacji nie zależy od trajektorii ciała i jest zawsze równa iloczynowi modułu grawitacyjnego i różnicy wysokości w położeniu początkowym i końcowym.

Przy ruchu w dół praca grawitacji jest dodatnia, przy ruchu w górę jest ujemna. Praca grawitacji na zamkniętej trajektorii wynosi zero.

Równość (7) można przedstawić w następujący sposób:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

Nazywa się wielkość fizyczną równą iloczynowi masy ciała przez moduł przyspieszenia swobodnego spadania i wysokości, na jaką ciało unosi się nad powierzchnią Ziemi energia potencjalna interakcja między ciałem a ziemią.

Praca grawitacji podczas ruchu ciała z masą m z punktu na wysokości h 2 , do punktu znajdującego się na wysokości h 1 z powierzchni Ziemi, po dowolnej trajektorii, jest równa zmianie energii potencjalnej oddziaływania między ciałem a Ziemią, pobranej ze znakiem przeciwnym.

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (dziewięć)

Energia potencjalna jest oznaczona literą mi P .

Wartość energii potencjalnej ciała uniesionego nad Ziemią zależy od wyboru poziomu zerowego, czyli wysokości, na której zakłada się, że energia potencjalna jest równa zeru. Zazwyczaj przyjmuje się, że energia potencjalna ciała na powierzchni Ziemi wynosi zero.

Przy takim wyborze poziomu zerowego energia potencjalna mi p ciała na wysokości h nad powierzchnią Ziemi, jest równy iloczynowi masy m ciała i modułu przyspieszenia swobodnego spadania g i odległość h to z powierzchni Ziemi:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

Fizyczne znaczenie potencjalnej energii oddziaływania ciała z Ziemią

Energia potencjalna ciała, na które działa grawitacja, jest równa pracy wykonanej przez grawitację podczas przesuwania ciała do poziomu zerowego.

W przeciwieństwie do energii kinetycznej ruchu postępowego, który może mieć tylko wartości dodatnie, energia potencjalna ciała może być dodatnia lub ujemna. masa ciała m na wysokości h, gdzie h < h 0 (h 0 - zerowa wysokość), ma ujemną energię potencjalną:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

Energia potencjalna oddziaływania grawitacyjnego

Energia potencjalna oddziaływania grawitacyjnego układu dwóch punktów materialnych o masach m I m położony na odległość r jeden od drugiego jest równy

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (jedenaście)

gdzie g jest stałą grawitacyjną i zerem odniesienia energii potencjalnej ( mi p = 0) jest akceptowane dla r = ∞.

Energia potencjalna oddziaływania grawitacyjnego ciała z masą m z ziemią, gdzie h to wysokość ciała nad powierzchnią ziemi, m e jest masą Ziemi, r e jest promieniem Ziemi, a zero energii potencjalnej jest wybierane w h = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

W tych samych warunkach wyboru zera odniesienia, energia potencjalna oddziaływania grawitacyjnego ciała z masą m z Ziemią na niskich wysokościach h (h « r e) jest równy

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

gdzie \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) to moduł przyspieszenia grawitacyjnego w pobliżu powierzchni Ziemi.

Energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście

Obliczmy pracę wykonaną przez siłę sprężystości, gdy odkształcenie (wydłużenie) sprężyny zmienia się od pewnej wartości początkowej x 1 do wartości końcowej x 2 (ryc. 4, b, c).

Siła sprężystości zmienia się wraz z deformacją sprężyny. Aby obliczyć pracę siły sprężystości, można przyjąć średnią wartość modułu siły (ponieważ siła sprężystości zależy liniowo od x) i pomnóż przez moduł przemieszczenia:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

gdzie \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . Stąd

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) lub \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) . (czternaście)

Fizyczną wielkość równą połowie iloczynu sztywności ciała i kwadratu jego odkształcenia nazywamy energia potencjalna ciało odkształcone sprężyście:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

Ze wzorów (14) i (15) wynika, że ​​praca siły sprężystej jest równa zmianie energii potencjalnej ciała odkształconego sprężyście, przyjmowanej ze znakiem przeciwnym:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

Jeśli x 2 = 0 i x 1 = x, to, jak wynika ze wzorów (14) i (15),

\(~E_p = A\) .

Fizyczne znaczenie energii potencjalnej zdeformowanego ciała

energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście jest równa pracy wykonanej przez siłę sprężystości, gdy ciało przechodzi w stan, w którym odkształcenie wynosi zero.

Energia potencjalna charakteryzuje ciała oddziałujące, a energia kinetyczna charakteryzuje ciała poruszające się. Zarówno energia potencjalna, jak i kinetyczna zmieniają się dopiero w wyniku takiego oddziaływania ciał, w którym siły działające na ciała działają inaczej od zera. Rozważmy kwestię zmian energii podczas oddziaływań ciał tworzących układ zamknięty.

zamknięty system jest systemem, na który nie działają siły zewnętrzne lub działanie tych sił jest kompensowane. Jeżeli kilka ciał oddziałuje ze sobą tylko siłami grawitacyjnymi i sprężystymi i nie działają na nie żadne siły zewnętrzne, to dla wszelkich oddziaływań ciał praca sił sprężystych lub grawitacyjnych jest równa zmianie energii potencjalnej ciał, przyjętej z przeciwnym znakiem:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

Zgodnie z twierdzeniem o energii kinetycznej praca tych samych sił jest równa zmianie energii kinetycznej:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (osiemnaście)

Z porównania równości (17) i (18) wynika, że ​​zmiana energii kinetycznej ciał w układzie zamkniętym jest równa w wartości bezwzględnej zmianie energii potencjalnej układu ciał i przeciwnie do niej w znaku:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) lub \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) . (19)

Prawo zachowania energii w procesach mechanicznych:

suma energii kinetycznej i potencjalnej ciał tworzących układ zamknięty i oddziałujących na siebie siłami grawitacyjnymi i sprężystymi pozostaje stała.

Suma energii kinetycznej i potencjalnej ciał nazywa się pełna energia mechaniczna.

Zróbmy prosty eksperyment. Rzuć stalową kulę. Po zgłoszeniu początku prędkości początkowej υ podamy jej energię kinetyczną, dzięki której zacznie wznosić się w górę. Działanie grawitacji prowadzi do zmniejszenia prędkości piłki, a co za tym idzie jej energii kinetycznej. Ale kula unosi się coraz wyżej i pozyskuje coraz więcej energii potencjalnej ( mi p= m∙g∙h). Tak więc energia kinetyczna nie znika bez śladu, ale zamienia się w energię potencjalną.

W momencie osiągnięcia najwyższego punktu trajektorii ( υ = 0) piłka jest całkowicie pozbawiona energii kinetycznej ( mi k = 0), ale jednocześnie jego energia potencjalna staje się maksymalna. Następnie piłka zmienia kierunek i porusza się w dół z coraz większą prędkością. Teraz następuje odwrotna przemiana energii potencjalnej w energię kinetyczną.

Ujawnia prawo zachowania energii fizyczne znaczenie koncepcje Praca:

praca sił grawitacyjnych i sprężystych z jednej strony jest równoznaczna ze wzrostem energii kinetycznej, z drugiej zaś ze spadkiem energii potencjalnej ciał. Dlatego praca jest równa energii przekształcanej z jednej formy w drugą.

Prawo zmian energii mechanicznej

Jeśli układ oddziałujących ze sobą ciał nie jest zamknięty, to jego energia mechaniczna nie jest zachowana. Zmiana energii mechanicznej takiego układu jest równa pracy sił zewnętrznych:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

gdzie mi I mi 0 to całkowite energie mechaniczne układu odpowiednio w stanie końcowym i początkowym.

Przykładem takiego układu jest układ, w którym wraz z siłami potencjalnymi działają siły niepotencjalne. Siły tarcia są siłami niepotencjalnymi. W większości przypadków, gdy kąt między siłą tarcia F r ciało jest π radiany, praca siły tarcia jest ujemna i równa

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

gdzie s 12 - ścieżka ciała między punktami 1 i 2.

Siły tarcia podczas ruchu układu zmniejszają jego energię kinetyczną. W rezultacie energia mechaniczna zamkniętego układu niekonserwatywnego zawsze maleje, zamieniając się w energię niemechanicznych form ruchu.

Na przykład samochód poruszający się po poziomym odcinku drogi po wyłączeniu silnika pokonuje pewną odległość i zatrzymuje się pod działaniem sił tarcia. Energia kinetyczna ruchu do przodu samochodu stała się równa zeru, a energia potencjalna nie wzrosła. Podczas hamowania auta nagrzewały się klocki hamulcowe, opony samochodowe oraz asfalt. W konsekwencji w wyniku działania sił tarcia energia kinetyczna samochodu nie zniknęła, ale zamieniła się w energię wewnętrzną ruchu termicznego cząsteczek.

Prawo zachowania i przemiany energii

w każdej fizycznej interakcji energia jest przekształcana z jednej formy w drugą.

Czasami kąt między siłą tarcia F tr i elementarne przemieszczenie Δ r wynosi zero, a praca siły tarcia jest dodatnia:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Przykład 1. Niech siła zewnętrzna F działa na pasku W, który można przesuwać na wózku D(rys. 5). Jeżeli wózek porusza się w prawo, to praca siły tarcia ślizgowego F tr2 działający na wózek od strony drążka jest dodatni:

Przykład 2. Gdy koło toczy się, jego siła tarcia tocznego jest skierowana wzdłuż ruchu, ponieważ punkt styku koła z powierzchnią poziomą porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu koła, a praca siły tarcia jest dodatnia (rys. 6):

Literatura

1. Kabardin OFM Fizyka: ref. materiały: Proc. dodatek dla studentów. - M.: Oświecenie, 1991. - 367 s.
2. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fizyka: proc. na 9 komórek. śr. Szkoła - M .: Pro-sveshchenie, 1992. - 191 s.
3. Podstawowy podręcznik fizyki: Proc. dodatek. W 3 tomach / Wyd. G.S. Landsberg: v. 1. Mechanika. Ciepło. Fizyka molekularna. – M.: Fizmatlit, 2004. – 608 s.
4. Yavorsky BM, Seleznev Yu.A. Przewodnik po fizyce dla kandydatów na uniwersytety i samokształcenie. – M.: Nauka, 1983. – 383 s.

W związku z szeregiem cech, a także ze względu na szczególne znaczenie, kwestię potencjalnej energii sił powszechnego ciążenia należy rozpatrywać osobno i bardziej szczegółowo.

Z pierwszą cechą spotykamy się przy wyborze punktu odniesienia dla energii potencjalnych. W praktyce należy obliczyć ruch danego (próbnego) ciała pod działaniem uniwersalnych sił grawitacyjnych wytworzonych przez inne ciała o różnych masach i rozmiarach.

Załóżmy, że zgodziliśmy się przyjąć energię potencjalną równą zeru w pozycji, w której ciała się stykają. Niech ciało testowe A, oddziałując oddzielnie z kulkami o tej samej masie, ale różnych promieniach, najpierw zostanie usunięte ze środków kulek w tej samej odległości (ryc. 5.28). Łatwo zauważyć, że kiedy ciało A porusza się, zanim zetknie się z powierzchniami ciał, siły grawitacyjne wykonają inną pracę. Oznacza to, że musimy uważać, że potencjalne energie układów są różne dla tych samych względnych początkowych pozycji ciał.

Szczególnie trudne będzie porównanie tych energii ze sobą w przypadkach, gdy rozważane są interakcje i ruchy trzech lub więcej ciał. Dlatego dla sił powszechnej grawitacji poszukuje się takiego początkowego poziomu zliczania energii potencjalnych, który mógłby być taki sam, wspólny dla wszystkich ciał we Wszechświecie. Uzgodniono, że taki wspólny zerowy poziom energii potencjalnej sił powszechnej grawitacji należy uznać za poziom odpowiadający położeniu ciał w nieskończenie dużych odległościach od siebie. Jak widać z prawa powszechnego ciążenia, same siły powszechnego ciążenia zanikają w nieskończoności.

Przy takim wyborze pochodzenia energii powstaje niezwykła sytuacja z określeniem wartości energii potencjalnych i wykonaniem wszelkich obliczeń.

W przypadku grawitacji (ryc. 5.29, a) i elastyczności (ryc. 5.29, b) siły wewnętrzne układu mają tendencję do sprowadzania ciał do zera. Gdy ciała zbliżają się do poziomu zerowego, energia potencjalna systemu maleje. Poziom zerowy tak naprawdę odpowiada najniższej energii potencjalnej systemu.

Oznacza to, że dla wszystkich innych pozycji ciał energia potencjalna układu jest dodatnia.

W przypadku uniwersalnych sił grawitacyjnych i przy wyborze energii zerowej w nieskończoności wszystko dzieje się na odwrót. Siły wewnętrzne układu mają tendencję do odsuwania ciał od poziomu zerowego (rys. 5.30). Wykonują pozytywną pracę, gdy ciała oddalają się od poziomu zerowego, tj. gdy ciała zbliżają się do siebie. W dowolnych skończonych odległościach między ciałami energia potencjalna układu jest mniejsza niż w Innymi słowy, poziom zerowy (co odpowiada najwyższej energii potencjalnej. Oznacza to, że dla wszystkich innych pozycji ciał energia potencjalna układu system jest negatywny.

W § 96 stwierdzono, że praca sił powszechnego ciążenia przy przemieszczaniu ciała z nieskończoności na odległość jest równa

Dlatego energię potencjalną uniwersalnych sił grawitacyjnych należy uznać za równą

Wzór ten wyraża inną cechę energii potencjalnej sił powszechnego ciążenia - stosunkowo złożony charakter zależności tej energii od odległości między ciałami.

Na ryc. 5.31 przedstawia wykres zależności w przypadku przyciągania ciał przez Ziemię. Ten wykres ma postać hiperboli równoramiennej. W pobliżu powierzchni Ziemi energia zmienia się stosunkowo silnie, ale już w odległości kilkudziesięciu promieni Ziemi energia zbliża się do zera i zaczyna zmieniać się bardzo powoli.

Każde ciało w pobliżu powierzchni Ziemi znajduje się w rodzaju „studni potencjału”. Ilekroć okaże się konieczne uwolnienie ciała spod działania sił ziemskiej grawitacji, należy dołożyć szczególnych starań, aby „wyciągnąć” ciało z tej potencjalnej dziury.

W ten sam sposób wszystkie inne ciała niebieskie tworzą wokół siebie takie potencjalne dziury - pułapki, które chwytają i zatrzymują wszystkie niezbyt szybko poruszające się ciała.

Znajomość natury zależności od pozwala znacznie uprościć rozwiązanie szeregu ważnych problemów praktycznych. Na przykład musisz wysłać statek kosmiczny na Marsa, Wenus lub inną planetę Układu Słonecznego. Niezbędne jest określenie, jaka prędkość powinna być zgłoszona statkowi podczas startu z powierzchni Ziemi.

Aby wysłać statek na inne planety, musi on zostać usunięty ze strefy oddziaływania sił ziemskiej grawitacji. Innymi słowy, musisz podnieść jego potencjalną energię do zera. Staje się to możliwe, jeśli statek otrzyma taką energię kinetyczną, że może działać przeciwko siłom grawitacji, równym masie statku,

masa i promień ziemi.

Z drugiego prawa Newtona wynika, że ​​(§ 92)

Ale ponieważ prędkość statku przed startem wynosi zero, możemy po prostu napisać:

gdzie jest prędkość zgłaszana statkowi podczas startu. Podstawiając wartość za A, otrzymujemy

Użyjmy jako wyjątek, jak już zrobiono w § 96, dwa wyrażenia określające siłę przyciągania ziemskiego na powierzchni Ziemi:

Stąd - podstawiając tę ​​wartość do równania drugiego prawa Newtona, otrzymujemy

Prędkość wymagana do wyprowadzenia ciała poza obszar działania sił ziemskiej grawitacji nazywana jest drugą prędkością kosmiczną.

W ten sam sposób można postawić i rozwiązać problem wysłania statku do odległych gwiazd. Aby rozwiązać taki problem, konieczne jest już określenie warunków, w jakich statek zostanie wyprowadzony ze strefy oddziaływania sił przyciągania Słońca. Powtarzając całe rozumowanie, które zostało przeprowadzone w poprzednim zadaniu, można otrzymać to samo wyrażenie dla prędkości zgłaszanej statkowi podczas startu:

Tutaj a jest normalnym przyspieszeniem, o którym Słońce informuje Ziemię i które można obliczyć z natury ruchu Ziemi na orbicie wokół Słońca; promień orbity Ziemi. Oczywiście w tym przypadku oznacza to prędkość statku względem Słońca. Prędkość wymagana do wyprowadzenia statku z Układu Słonecznego nazywana jest trzecią prędkością ucieczki.

Rozważana przez nas metoda wyboru źródła energii potencjalnej jest również wykorzystywana do obliczania elektrycznych oddziaływań ciał. Pojęcie studni potencjalnych jest również szeroko stosowane we współczesnej elektronice, teorii stanu stałego, teorii atomowej i fizyce jądrowej.

« Fizyka - klasa 10 "

Jaka jest grawitacyjna interakcja ciał?
Jak udowodnić istnienie interakcji Ziemi i np. podręcznika fizyki?

Jak wiecie, grawitacja to siła konserwatywna. Teraz znajdźmy wyrażenie na działanie siły grawitacji i udowodnijmy, że praca tej siły nie zależy od kształtu trajektorii, czyli że siła grawitacji jest również siłą zachowawczą.

Przypomnijmy, że praca wykonana przez siłę zachowawczą w zamkniętej pętli wynosi zero.

Niech ciało o masie m znajdzie się w polu grawitacyjnym Ziemi. Oczywiście wielkość tego ciała jest niewielka w porównaniu z wielkością Ziemi, więc można je uznać za punkt materialny. Siła grawitacji działa na ciało

gdzie G jest stałą grawitacyjną,
M to masa Ziemi,
r to odległość, w jakiej ciało znajduje się od środka Ziemi.

Pozwól ciału poruszać się z pozycji A do pozycji B po różnych trajektoriach: 1) wzdłuż linii prostej AB; 2) wzdłuż krzywej AA „B” B; 3) wzdłuż krzywej DIA (rys. 5.15)

1. Rozważ pierwszy przypadek. Siła grawitacji działająca na ciało stale maleje, więc rozważ działanie tej siły na małym przemieszczeniu Δr i = r i + 1 - r i . Średnia wartość siły grawitacji wynosi:

gdzie r 2 сpi = r ja r i + 1 .

Im mniejsze Δri, tym bardziej poprawne jest wyrażenie pisemne r 2 сpi = r i r i + 1 .

Wtedy pracę siły F cpi , na małym przemieszczeniu Δr i , można zapisać jako

Całkowita praca siły grawitacyjnej podczas przemieszczania ciała z punktu A do punktu B wynosi:

2. Gdy ciało porusza się po trajektorii AA „B” B (patrz rys. 5.15), oczywiste jest, że praca siły grawitacyjnej na odcinkach AA „i B” B wynosi zero, ponieważ siła grawitacyjna jest skierowana w stronę punkt O i jest prostopadły do ​​każdego małego ruchu po łuku koła. W związku z tym praca będzie również zdeterminowana wyrażeniem (5.31).

3. Wyznaczmy pracę siły grawitacyjnej, gdy ciało przemieszcza się z punktu A do punktu B po trajektorii DIA (patrz rys. 5.15). Praca siły grawitacyjnej na małym przemieszczeniu Δs i jest równa ΔА i = F срi Δs i cosα i ,..

Z rysunku widać, że Δs i cosα i = - Δr i , a całkowitą pracę ponownie wyznaczy wzór (5.31).

Możemy więc stwierdzić, że A 1 \u003d A 2 \u003d A 3, tj. że praca siły grawitacyjnej nie zależy od kształtu trajektorii. Oczywistym jest, że praca siły grawitacyjnej podczas ruchu ciała po zamkniętej trajektorii AA „B” BA jest równa zeru.

Siła grawitacji jest siłą konserwatywną.

Zmiana energii potencjalnej jest równa pracy siły grawitacyjnej, branej ze znakiem przeciwnym:

Jeśli wybierzemy zerowy poziom energii potencjalnej w nieskończoności, tj. E pB = 0 jako r B → ∞, to w konsekwencji

Energia potencjalna ciała o masie m, znajdującego się w odległości r od środka Ziemi, jest równa:

Prawo zachowania energii dla ciała o masie m poruszającego się w polu grawitacyjnym ma postać

gdzie υ 1 to prędkość ciała w odległości r 1 od środka Ziemi, υ 2 to prędkość ciała w odległości r 2 od środka Ziemi.

Określmy, jaką minimalną prędkość należy nadać ciału w pobliżu powierzchni Ziemi, aby przy braku oporu powietrza mogło się od niej oddalić poza granice sił ziemskiej grawitacji.

Nazywa się minimalną prędkością, z jaką ciało, przy braku oporu powietrza, może poruszać się poza granice sił grawitacji druga kosmiczna prędkość dla Ziemi.

Na ciało od strony Ziemi działa siła grawitacyjna, która zależy od odległości środka masy tego ciała od środka masy Ziemi. Ponieważ nie ma sił niezachowawczych, całkowita energia mechaniczna ciała jest zachowana. Wewnętrzna energia potencjalna ciała pozostaje stała, ponieważ nie odkształca się. Zgodnie z prawem zachowania energii mechanicznej

Na powierzchni Ziemi ciało ma zarówno energię kinetyczną, jak i potencjalną:

gdzie υ II to druga prędkość kosmiczna, M 3 i R 3 to odpowiednio masa i promień Ziemi.

W nieskończenie odległym punkcie, tj. w r → ∞, energia potencjalna ciała wynosi zero (W p \u003d 0), a ponieważ interesuje nas minimalna prędkość, energia kinetyczna również powinna być równa zeru: W k \u003d 0.

Z prawa zachowania energii wynika:

Prędkość tę można wyrazić w postaci przyspieszenia swobodnego spadania w pobliżu powierzchni Ziemi (w obliczeniach z reguły to wyrażenie jest wygodniejsze w użyciu). O ile wtedy GM 3 = gR 2 3 .

Dlatego pożądana prędkość

Ciało spadające na Ziemię z nieskończenie dużej wysokości nabrałoby dokładnie tej samej prędkości, gdyby nie było oporu powietrza. Zauważ, że druga prędkość kosmiczna jest dwa razy większa niż pierwsza.