Teoria fraktali. Niesamowity świat fraktali

Miejska Budżetowa Instytucja Oświatowa

„Szkoła średnia nr 3 Siverskaya”

Badania

matematyka.

Czy praca

Uczeń 8 klasy

Emelin Paweł

doradca naukowy

nauczyciel matematyki

Tupitsyna Natalia Aleksiejewna

p. Siversky

rok 2014

Matematyka jest przesiąknięta pięknem i harmonią,

Po prostu musisz zobaczyć to piękno.

B. Mandelbrota

Wstęp

Rozdział 1. Historia powstawania fraktali _______ 5-6 s.

Rozdział 2. Klasyfikacja fraktali.____________________6-10pp.

fraktale geometryczne

Fraktale algebraiczne

Fraktale stochastyczne

Rozdział 3. „Fraktal geometria przyrody” ______ 11-13pp.

Rozdział 4. Zastosowanie fraktali _______________13-15pp.

Rozdział 5 Praca praktyczna __________________ 16-24 s.

Wniosek__________________________________25.strona

Lista literatury i zasobów internetowych _______ 26 s.

Wstęp

Matematyka,

jeśli dobrze na to spojrzysz,

odzwierciedla nie tylko prawdę,

ale też niezrównane piękno.

Bertrand Russell

Słowo „fraktal” to coś, o czym mówi obecnie wiele osób, od naukowców po uczniów szkół średnich. Pojawia się na okładkach wielu podręczników do matematyki, czasopism naukowych i pudeł z oprogramowaniem komputerowym. Kolorowe obrazy fraktali można dziś znaleźć wszędzie: od pocztówek, koszulek po zdjęcia na pulpicie komputera osobistego. Czym więc są te kolorowe kształty, które widzimy wokół?

Matematyka to najstarsza nauka. Większości ludzi wydawało się, że geometria w przyrodzie ogranicza się do tak prostych kształtów, jak linia, okrąg, wielokąt, kula i tak dalej. Jak się okazało, wiele systemów naturalnych jest tak złożonych, że używanie do ich modelowania jedynie znanych obiektów o zwykłej geometrii wydaje się beznadziejne. Jak na przykład zbudować model pasma górskiego lub korony drzewa pod względem geometrii? Jak opisać różnorodność różnorodności biologicznej, którą obserwujemy w świecie roślin i zwierząt? Jak wyobrazić sobie całą złożoność układu krążenia, składającego się z wielu naczyń włosowatych i naczyń, dostarczającego krew do każdej komórki ludzkiego ciała? Wyobraź sobie strukturę płuc i nerek, przypominającą drzewa o rozłożystej koronie w strukturze?

Fraktale są odpowiednim środkiem do badania postawionych pytań. Często to, co widzimy w naturze, intryguje nas niekończącym się powtarzaniem tego samego wzoru, kilkakrotnie powiększanego lub pomniejszanego. Na przykład drzewo ma gałęzie. Te gałęzie mają mniejsze gałęzie i tak dalej. Teoretycznie element „widelec” powtarza się nieskończenie wiele razy, stając się coraz mniejszy. To samo widać patrząc na zdjęcie górzystego terenu. Spróbuj przybliżyć nieco pasmo górskie --- znowu zobaczysz góry. W ten sposób przejawia się właściwość samopodobieństwa charakterystyczna dla fraktali.

Badanie fraktali otwiera wspaniałe możliwości, zarówno w badaniu nieskończonej liczby zastosowań, jak iw dziedzinie matematyki. Wykorzystanie fraktali jest bardzo rozległe! W końcu te przedmioty są tak piękne, że są wykorzystywane przez projektantów, artystów, za ich pomocą narysowanych jest w grafice wiele elementów drzew, chmur, gór itp. Ale fraktale są nawet używane jako anteny w wielu telefonach komórkowych.

Dla wielu chaologów (naukowców zajmujących się fraktalami i chaosem) nie jest to tylko nowa dziedzina wiedzy, która łączy matematykę, fizykę teoretyczną, sztukę i technologię komputerową – to rewolucja. To odkrycie nowego typu geometrii, geometrii, która opisuje otaczający nas świat i którą można zobaczyć nie tylko w podręcznikach, ale także w przyrodzie i wszędzie w bezkresnym wszechświecie..

W swojej pracy postanowiłam też „dotknąć” świata piękna i postanowiłam dla siebie…

Cel: tworzenie obiektów bardzo podobnych do natury.

Metody badawcze Słowa kluczowe: analiza porównawcza, synteza, modelowanie.

Zadania:

znajomość koncepcji, historii występowania i badań B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i inni;

znajomość różnych typów zbiorów fraktalnych;

studium literatury popularnonaukowej na ten temat, zapoznanie się z

hipotezy naukowe;

znalezienie potwierdzenia teorii fraktalności otaczającego świata;

badanie wykorzystania fraktali w innych naukach iw praktyce;

przeprowadzenie eksperymentu w celu stworzenia własnych obrazów fraktalnych.

Podstawowe pytanie pracy:

Pokaż, że matematyka nie jest tematem suchym, bezdusznym, może wyrażać świat duchowy jednostki i społeczeństwa jako całości.

Przedmiot badań: Geometria fraktalna.

Przedmiot studiów: fraktale w matematyce iw świecie rzeczywistym.

Hipoteza: Wszystko, co istnieje w prawdziwym świecie, jest fraktalem.

Metody badawcze: analityczne, poszukiwanie.

Stosowność deklarowanej tematyki determinuje przede wszystkim przedmiot badań, jakim jest geometria fraktalna.

Oczekiwane rezultaty: W trakcie pracy będę mógł poszerzyć swoją wiedzę z zakresu matematyki, dostrzec piękno geometrii fraktalnej oraz rozpocząć pracę nad tworzeniem własnych fraktali.

Efektem pracy będzie stworzenie prezentacji komputerowej, biuletynu i broszury.

Rozdział 1

b Enua Mandelbrot

Termin „fraktal” został ukuty przez Benoita Mandelbrota. Słowo to pochodzi od łacińskiego „fractus”, co oznacza „złamany, rozbity”.

Fraktal (łac. fractus - zmiażdżony, złamany, złamany) - termin oznaczający złożoną figurę geometryczną o właściwości samopodobieństwa, czyli złożoną z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury jako całości.

Obiekty matematyczne, do których się odnosi, charakteryzują się niezwykle ciekawymi właściwościami. W zwykłej geometrii linia ma jeden wymiar, powierzchnia ma dwa wymiary, a figura przestrzenna jest trójwymiarowa. Z drugiej strony fraktale nie są liniami ani powierzchniami, ale, jeśli możesz to sobie wyobrazić, czymś pomiędzy. Wraz ze wzrostem rozmiaru zwiększa się również objętość fraktala, ale jego wymiar (wykładnik) nie jest liczbą całkowitą, ale wartością ułamkową, a zatem granica figury fraktalnej nie jest linią: przy dużym powiększeniu staje się wyraźna że jest zamazana i składa się ze spiral i loków, w niewielkim stopniu powtarzając skalę samej figury. Taka geometryczna prawidłowość nazywana jest niezmiennością skali lub samopodobieństwem. To ona określa ułamkowy wymiar figur fraktalnych.

Przed pojawieniem się geometrii fraktalnej nauka zajmowała się systemami zawartymi w trzech wymiarach przestrzennych. Dzięki Einsteinowi stało się jasne, że trójwymiarowa przestrzeń jest tylko modelem rzeczywistości, a nie samą rzeczywistością. W rzeczywistości nasz świat znajduje się w czterowymiarowym kontinuum czasoprzestrzeni.
Dzięki Mandelbrotowi stało się jasne, jak wygląda czterowymiarowa przestrzeń, mówiąc w przenośni, fraktalna twarz Chaosu. Benoit Mandelbrot odkrył, że czwarty wymiar obejmuje nie tylko pierwsze trzy wymiary, ale także (to bardzo ważne!) odstępy między nimi.

Geometria rekurencyjna (lub fraktalna) zastępuje euklidesową. Nowa nauka jest w stanie opisać prawdziwą naturę ciał i zjawisk. Geometria euklidesowa zajmowała się tylko sztucznymi, wyimaginowanymi obiektami należącymi do trzech wymiarów. Dopiero czwarty wymiar może je urzeczywistnić.

Ciecz, gaz, ciało stałe to trzy zwykłe fizyczne stany materii, które istnieją w trójwymiarowym świecie. Ale jaki jest wymiar kłębów dymu, chmur, a raczej ich granic, nieustannie zacieranych przez turbulentny ruch powietrza?

Zasadniczo fraktale dzieli się na trzy grupy:

Fraktale algebraiczne

Fraktale stochastyczne

fraktale geometryczne

Przyjrzyjmy się każdemu z nich.

Rozdział 2. Klasyfikacja fraktali

fraktale geometryczne

Benoit Mandelbrot zaproponował model fraktalny, który stał się już klasykiem i jest często używany zarówno do pokazania typowego przykładu samego fraktala, jak i do pokazania piękna fraktali, co również przyciąga badaczy, artystów i osoby po prostu zainteresowane.

To od nich rozpoczęła się historia fraktali. Ten rodzaj fraktali uzyskuje się za pomocą prostych konstrukcji geometrycznych. Zwykle przy konstruowaniu tych fraktali postępuje się w następujący sposób: bierze się „ziarno” - aksjomat - zbiór segmentów, na podstawie których fraktal zostanie zbudowany. Co więcej, do tego „ziarna” stosuje się zestaw reguł, który przekształca je w jakąś figurę geometryczną. Co więcej, ten sam zestaw zasad jest ponownie stosowany do każdej części tej figury. Z każdym krokiem figura będzie stawała się coraz bardziej złożona, a jeśli wykonamy (przynajmniej w umyśle) nieskończoną ilość przekształceń, otrzymamy geometryczny fraktal.

Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, ponieważ od razu widać samopodobieństwo w dowolnej skali obserwacji. W przypadku dwuwymiarowym takie fraktale można uzyskać, określając pewną linię łamaną, zwaną generatorem. W jednym kroku algorytmu każdy z segmentów tworzących linię łamaną zostaje zastąpiony generatorem linii łamanej w odpowiedniej skali. W wyniku niekończącego się powtarzania tej procedury (a dokładniej przy dochodzeniu do granicy) otrzymuje się krzywą fraktalną. Przy pozornej złożoności powstałej krzywej, jej ogólną postać nadaje jedynie kształt generatora. Przykładami takich krzywych są: krzywa Kocha (rys.7), krzywa Peano (rys.8), krzywa Minkowskiego.

Na początku XX wieku matematycy szukali krzywych, które w żadnym punkcie nie miały stycznej. Oznaczało to, że krzywa gwałtownie zmieniła kierunek, a ponadto z niezwykle dużą prędkością (pochodna jest równa nieskończoności). Poszukiwanie tych krzywych było spowodowane nie tylko bezczynnym zainteresowaniem matematyków. Faktem jest, że na początku XX wieku mechanika kwantowa rozwijała się bardzo szybko. Badacz M. Brown naszkicował trajektorię cząstek zawieszonych w wodzie i wyjaśnił to zjawisko w następujący sposób: losowo poruszające się atomy cieczy uderzają w zawieszone cząstki iw ten sposób wprawiają je w ruch. Po takim wyjaśnieniu ruchów Browna naukowcy stanęli przed zadaniem znalezienia krzywej, która najlepiej oddałaby ruch cząstek Browna. Aby to zrobić, krzywa musiała spełniać następujące właściwości: nie mieć stycznej w żadnym punkcie. Matematyk Koch zaproponował jedną taką krzywą.

DO krzywa Kocha jest typowym fraktalem geometrycznym. Proces jego budowy wygląda następująco: bierzemy pojedynczy odcinek, dzielimy go na trzy równe części i zastępujemy środkowy odcinek trójkątem równobocznym bez tego odcinka. W efekcie powstaje linia łamana, składająca się z czterech ogniw o długości 1/3. W kolejnym kroku powtarzamy operację dla każdego z czterech wynikowych linków i tak dalej…

Krzywa graniczna to Krzywa Kocha.

Śnieżynka Koch. Wykonując podobną transformację na bokach trójkąta równobocznego, można uzyskać fraktalny obraz płatka śniegu Kocha.

T
Innym prostym przedstawicielem fraktala geometrycznego jest Plac Sierpińskiego. Jest zbudowany dość prosto: kwadrat jest podzielony prostymi liniami równoległymi do jego boków na 9 równych kwadratów. Centralny plac jest usuwany z placu. Okazuje się, że zestaw składający się z 8 pozostałych kwadratów „pierwszego rzędu”. Robiąc to samo z każdym z kwadratów pierwszego rzędu otrzymujemy zestaw składający się z 64 kwadratów drugiego rzędu. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy ciąg nieskończony, czyli kwadrat Sierpińskiego.

Fraktale algebraiczne

To największa grupa fraktali. Fraktale algebraiczne mają swoją nazwę, ponieważ są budowane przy użyciu prostych formuł algebraicznych.

Uzyskuje się je za pomocą procesów nieliniowych w n przestrzenie wymiarowe. Wiadomo, że nieliniowe układy dynamiczne mają kilka stanów stabilnych. Stan, w jakim znajduje się układ dynamiczny po określonej liczbie iteracji, zależy od jego stanu początkowego. Dlatego każdy stan stabilny (lub, jak mówią, atraktor) ma pewien obszar stanów początkowych, z których system koniecznie wpadnie w rozważane stany końcowe. W ten sposób przestrzeń fazowa układu dzieli się na obszary atrakcji atraktory. Jeżeli przestrzeń fazowa jest dwuwymiarowa, to przez zabarwienie obszarów przyciągania różnymi kolorami można uzyskać portret fazy kolorów ten system (proces iteracyjny). Zmieniając algorytm wyboru koloru, możesz uzyskać złożone wzory fraktalne z fantazyjnymi wielokolorowymi wzorami. Niespodzianką dla matematyków była możliwość generowania bardzo złożonych struktur przy użyciu prymitywnych algorytmów.

Jako przykład rozważmy zestaw Mandelbrota. Jest zbudowany z liczb zespolonych.

Część granicy zbioru Mandelbrota, powiększona 200 razy.

Zestaw Mandelbrota zawiera punkty, które podczasnieskończony liczba iteracji nie dochodzi do nieskończoności (punkty, które są czarne). Punkty należące do granicy zbioru(w tym miejscu powstają struktury złożone) idą w nieskończoność w skończonej liczbie iteracji, a punkty leżące poza zbiorem idą w nieskończoność po kilku iteracjach (białe tło).

P



Przykładem innego fraktala algebraicznego jest zbiór Julii. Istnieją 2 odmiany tego fraktala. Co zaskakujące, zbiory Julii powstają według tego samego wzoru co zbiór Mandelbrota. Zestaw Julia został wymyślony przez francuskiego matematyka Gastona Julię, od którego pochodzi nazwa zestawu.

ORAZ
interesujący fakt niektóre fraktale algebraiczne do złudzenia przypominają obrazy zwierząt, roślin i innych obiektów biologicznych, przez co nazywane są biomorfami.

Fraktale stochastyczne

Inną dobrze znaną klasą fraktali są fraktale stochastyczne, które uzyskuje się, jeśli którykolwiek z jego parametrów zostanie losowo zmieniony w procesie iteracyjnym. Skutkuje to obiektami bardzo podobnymi do naturalnych - asymetryczne drzewa, wcięte linie brzegowe itp.

Typowym przedstawicielem tej grupy fraktali jest „plazma”.

D
Aby go skonstruować, bierze się prostokąt i określa kolor dla każdego z jego rogów. Następnie znajduje się punkt środkowy prostokąta i pomalowany na kolor równy średniej arytmetycznej kolorów w rogach prostokąta plus pewna liczba losowa. Im większa liczba losowa, tym bardziej „podarty” będzie obraz. Jeśli przyjmiemy, że kolorem punktu jest wysokość nad poziomem morza, zamiast plazmy otrzymamy pasmo górskie. Na tej zasadzie w większości programów modeluje się góry. Za pomocą algorytmu podobnego do plazmy budowana jest mapa wysokości, nakładane są na nią różne filtry, nakładana jest tekstura i gotowe są fotorealistyczne góry.

mi
Jeśli spojrzymy na ten fraktal w sekcji, zobaczymy, że ten fraktal jest obszerny i ma „chropowatość”, tylko z powodu tej „chropowatości” istnieje bardzo ważne zastosowanie tego fraktala.

Powiedzmy, że chcesz opisać kształt góry. Zwykłe figury z geometrii euklidesowej nie pomogą tutaj, ponieważ nie uwzględniają topografii powierzchni. Ale łącząc geometrię konwencjonalną z geometrią fraktalną, można uzyskać bardzo „szorstkość” góry. Plazmę trzeba nałożyć na zwykły stożek i uzyskamy relief góry. Takie operacje można wykonywać z wieloma innymi obiektami w przyrodzie, dzięki fraktalom stochastycznym można opisać samą przyrodę.

Porozmawiajmy teraz o fraktalach geometrycznych.

.

Rozdział 3 „Fraktal Geometria Natury”

Dlaczego geometrię często określa się jako „zimną” i „suchą”? Jednym z powodów jest jej niezdolność do opisania kształtu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury to nie kule, góry to nie stożki, linie brzegowe to nie koła, drzewo kora nie jest gładka, ale złożoność na zupełnie innym poziomie. Liczba różnych skal długości obiektów naturalnych dla wszystkich celów praktycznych jest nieskończona.

(Benoit Mandelbrot "Fraktal Geometria Natury" ).

DO Piękno fraktali jest dwojakie: zachwyca oko, o czym świadczy choćby ogólnoświatowa wystawa obrazów fraktalnych, zorganizowana przez grupę matematyków z Bremy pod przewodnictwem Peitgena i Richtera. Później eksponaty tej wspaniałej wystawy zostały uchwycone na ilustracjach do książki „Piękno fraktali” tych samych autorów. Ale jest jeszcze inny, bardziej abstrakcyjny lub wzniosły aspekt piękna fraktali, otwarty, według R. Feynmana, tylko na mentalne spojrzenie teoretyka, w tym sensie fraktale są piękne pięknem trudnego problemu matematycznego. Benoit Mandelbrot wskazywał swoim współczesnym (i prawdopodobnie jego potomkom) niefortunną lukę w Elementach Euklidesa, zgodnie z którą, nie zauważając tego pominięcia, ludzkość przez prawie dwa tysiąclecia rozumiała geometrię otaczającego świata i uczyła się matematycznego rygoru prezentacja. Oczywiście oba aspekty piękna fraktali są ze sobą ściśle powiązane i nie wykluczają, lecz wzajemnie się uzupełniają, choć każdy z nich jest samowystarczalny.

Fraktalna geometria przyrody, według Mandelbrota, jest prawdziwą geometrią, która spełnia definicję geometrii zaproponowaną w „Programie Erlangen” F. Kleina. Faktem jest, że przed pojawieniem się geometrii nieeuklidesowej N.I. Łobaczewski - L. Bolyai, była tylko jedna geometria - ta, która została przedstawiona w "Początkach", a pytanie, czym jest geometria i która z geometrii jest geometrią świata rzeczywistego, nie powstało i nie mogło powstać. Ale wraz z pojawieniem się kolejnej geometrii pojawiło się pytanie, czym jest geometria w ogóle i która z wielu geometrii odpowiada światu rzeczywistemu. Według F. Kleina geometria bada takie własności obiektów, które są niezmienne w przekształceniach: Euklidesowe - niezmienniki grupy ruchów (transformacje, które nie zmieniają odległości między dowolnymi dwoma punktami, tj. reprezentujące superpozycję przesunięć równoległych i obrotów z lub bez zmiany orientacji) , geometria Lobachevsky-Bolyai - niezmienniki grupy Lorentza. Geometria fraktalna zajmuje się badaniem niezmienników grupy przekształceń samoafinicznych, tj. własności wyrażone prawami potęgowymi.

Jeśli chodzi o zgodność ze światem rzeczywistym, geometria fraktalna opisuje bardzo szeroką klasę naturalnych procesów i zjawisk, a zatem możemy za B. Mandelbrotem słusznie mówić o fraktalnej geometrii przyrody. Nowość - obiekty fraktalne mają niezwykłe właściwości. Długości, pola i objętości niektórych fraktali są równe zeru, inne kierują się w nieskończoność.

Natura często tworzy niesamowite i piękne fraktale, o doskonałej geometrii i takiej harmonii, że po prostu zastygasz z podziwu. A oto ich przykłady:

muszle morskie

Błyskawica podziwiając ich piękno. Fraktale tworzone przez błyskawice nie są przypadkowe ani regularne.

fraktalny kształt podgatunek kalafiora(Brassica cauliflora). Ten szczególny rodzaj to szczególnie symetryczny fraktal.

P paproć to także dobry przykład fraktala wśród flory.

Pawie wszyscy słyną z barwnego upierzenia, w którym kryją się stałe fraktale.

Lód, wzory mrozu na oknach też są fraktale

O
t powiększony obraz ulotka, zanim gałęzie drzew- we wszystkim można znaleźć fraktale

Fraktale są wszędzie i wszędzie w otaczającej nas przyrodzie. Cały wszechświat zbudowany jest według zaskakująco harmonijnych praw z matematyczną precyzją. Czy po tym można pomyśleć, że nasza planeta jest przypadkowym sprzęgiem cząstek? Prawie wcale.

Rozdział 4

Fraktale znajdują coraz więcej zastosowań w nauce. Głównym tego powodem jest to, że opisują one rzeczywisty świat czasami nawet lepiej niż tradycyjna fizyka czy matematyka. Oto kilka przykładów:

O
leżą dni najpotężniejszych zastosowań fraktali Grafika komputerowa. To jest fraktalna kompresja obrazów. Współczesna fizyka i mechanika dopiero zaczynają badać zachowanie obiektów fraktalnych.

Zaletami algorytmów fraktalnej kompresji obrazu są bardzo mały rozmiar spakowanego pliku i krótki czas odzyskiwania obrazu. Obrazy spakowane fraktalnie można skalować bez efektu pikselizacji (słaba jakość obrazu - duże kwadraty). Ale proces kompresji zajmuje dużo czasu, a czasami trwa godzinami. Algorytm stratnego pakowania fraktalnego pozwala ustawić poziom kompresji, podobny do formatu jpeg. Algorytm opiera się na wyszukiwaniu dużych fragmentów obrazu podobnych do niektórych małych fragmentów. I tylko który kawałek jest podobny do którego jest zapisywany w pliku wyjściowym. Podczas kompresji stosuje się zwykle siatkę kwadratową (kawałki są kwadratami), co prowadzi do lekkiej kanciastości przy odtwarzaniu obrazu, siatka heksagonalna jest pozbawiona takiej wady.

Firma Iterated opracowała nowy format obrazu „Sting”, który łączy w sobie bezstratną kompresję fraktalną i „wave” (np. jpeg). Nowy format pozwala na tworzenie obrazów z możliwością późniejszego wysokiej jakości skalowania, a objętość plików graficznych to 15-20% objętości nieskompresowanych obrazów.

W mechanice i fizyce fraktale są używane ze względu na unikalną właściwość powtarzania konturów wielu naturalnych obiektów. Fraktale pozwalają aproksymować drzewa, powierzchnie górskie i szczeliny z większą dokładnością niż aproksymacje za pomocą odcinków linii lub wielokątów (przy tej samej ilości przechowywanych danych). Modele fraktalne, podobnie jak obiekty naturalne, mają „chropowatość”, a właściwość ta zostaje zachowana przy dowolnie dużym wzroście modelu. Obecność miary jednorodnej na fraktalach umożliwia zastosowanie całkowania, teorii potencjału, aby użyć ich zamiast standardowych obiektów w już zbadanych równaniach.

T
Geometria fraktalna służy również do projektowanie urządzeń antenowych,. Po raz pierwszy użył tego amerykański inżynier Nathan Cohen, który mieszkał wówczas w centrum Bostonu, gdzie instalowanie anten zewnętrznych na budynkach było zabronione. Cohen wyciął kształt krzywej Kocha z folii aluminiowej, a następnie wkleił go na kartkę papieru przed przymocowaniem do odbiornika. Okazało się, że taka antena działa nie gorzej niż konwencjonalna. I chociaż fizyczne zasady takiej anteny nie zostały jeszcze zbadane, nie przeszkodziło to Cohenowi w założeniu własnej firmy i rozpoczęciu ich seryjnej produkcji. W tej chwili amerykańska firma „Fractal Antenna System” opracowała nowy typ anteny. Teraz możesz przestać używać wystających anten zewnętrznych w telefonach komórkowych. Tak zwana antena fraktalna znajduje się bezpośrednio na płycie głównej wewnątrz urządzenia.

Istnieje również wiele hipotez dotyczących wykorzystania fraktali – np. układ limfatyczny, krwionośny, płuca i wiele innych również ma właściwości fraktali.

Rozdział 5. Praca praktyczna.

Najpierw skupmy się na fraktalach „Naszyjnik”, „Zwycięstwo” i „Kwadrat”.

Pierwszy - "Naszyjnik"(rys. 7). Koło jest inicjatorem tego fraktala. Ten okrąg składa się z pewnej liczby takich samych kręgów, ale o mniejszych rozmiarach, a sam jest jednym z kilku takich samych kręgów, ale o większych rozmiarach. Tak więc proces edukacji jest nieskończony i może przebiegać zarówno w jednym, jak iw przeciwnym kierunku. Tych. figurę można powiększyć, biorąc tylko jeden mały łuk, lub zmniejszyć, biorąc pod uwagę jej konstrukcję z mniejszych.

Ryż. 7.

Fraktal „Naszyjnik”

Drugi fraktal to "Zwycięstwo"(rys. 8). Otrzymał to imię, ponieważ zewnętrznie przypomina łacińską literę „V”, czyli „zwycięstwo”-zwycięstwo. Ten fraktal składa się z pewnej liczby małych „v”, które tworzą jedno duże „V”, a w lewej połowie, w której małe są umieszczone tak, aby ich lewe połówki tworzyły jedną linię prostą, zbudowana jest prawa część w ten sam sposób. Każde z tych „v” jest zbudowane w ten sam sposób i kontynuuje to do nieskończoności.

Rys.8. Fraktal „Zwycięstwo”

Trzeci fraktal to „Kwadrat” (ryc. 9). Każdy z jego boków składa się z jednego rzędu komórek w kształcie kwadratów, których boki również reprezentują rzędy komórek i tak dalej.

Ryc. 9. Fraktal „Kwadrat”

Fraktal nazwano „Różą” (ryc. 10), ze względu na jego zewnętrzne podobieństwo do tego kwiatu. Konstrukcja fraktala wiąże się z konstruowaniem szeregu koncentrycznych okręgów, których promień zmienia się proporcjonalnie do danego stosunku (w tym przypadku Rm / Rb = ¾ = 0,75.). Następnie w każdy okrąg wpisany jest sześciokąt foremny, którego bok jest równy promieniowi koła opisanego wokół niego.

Ryż. 11. Fraktal „Róża *”

Następnie zwracamy się do pięciokąta foremnego, w którym rysujemy jego przekątne. Następnie w pięciokącie uzyskanym na przecięciu odpowiednich segmentów ponownie rysujemy przekątne. Kontynuujmy ten proces do nieskończoności i uzyskajmy fraktal „Pentagramu” (ryc. 12).

Wprowadźmy element kreatywności, a nasz fraktal przyjmie formę bardziej wizualnego obiektu (rys. 13).

r
jest. 12. Fraktal „Pentagram”.

Ryż. 13. Fraktal „Pentagram *”

Ryż. 14 fraktali „Czarna dziura”

Eksperyment nr 1 „Drzewo”

Teraz, kiedy rozumiem, czym jest fraktal i jak go zbudować, spróbowałem stworzyć własne obrazy fraktalne. W Adobe Photoshop stworzyłem mały podprogram lub akcję , osobliwością tej akcji jest to, że powtarza czynności, które wykonuję i tak otrzymuję fraktal.

Na początek stworzyłem tło dla naszego przyszłego fraktala o rozdzielczości 600 na 600. Następnie narysowałem na tym tle 3 linie - podstawę naszego przyszłego fraktala.

OD Następnym krokiem jest napisanie skryptu.

zduplikowana warstwa ( warstwa > duplikat) i zmień typ mieszania na „ Ekran" .

Nazwijmy go ” fr1". Powiel tę warstwę (" fr1") jeszcze 2 razy.

Teraz musimy przejść do ostatniej warstwy (fr3) i połącz go dwukrotnie z poprzednim ( Ctrl+e). Zmniejsz jasność warstwy ( Obraz > Dopasowania > Jasność/Kontrast , ustawienie jasności 50% ). Ponownie połącz z poprzednią warstwą i odetnij krawędzie całego rysunku, aby usunąć niewidoczne części.

W ostatnim kroku skopiowałem ten obraz i wkleiłem go pomniejszony i obrócony. Oto efekt końcowy.

Wniosek

Praca ta jest wprowadzeniem do świata fraktali. Rozważyliśmy tylko najmniejszą część tego, czym są fraktale, na podstawie jakich zasad są zbudowane.

Grafika fraktalna to nie tylko zbiór samopowtarzających się obrazów, to model struktury i zasady każdego bytu. Całe nasze życie reprezentują fraktale. Z nich składa się cała otaczająca nas przyroda. Należy zauważyć, że fraktale są szeroko stosowane w grach komputerowych, gdzie tereny to często obrazy fraktalne oparte na trójwymiarowych modelach złożonych zbiorów. Fraktale znacznie ułatwiają rysowanie grafiki komputerowej, za pomocą fraktali powstaje wiele efektów specjalnych, różne bajeczne i niesamowite obrazy itp. Również za pomocą geometrii fraktalnej rysuje się drzewa, chmury, wybrzeża i całą inną naturę. Grafika fraktalna jest wszędzie potrzebna, a rozwój „technologii fraktalnych” to dziś jedno z najważniejszych zadań.

W przyszłości planuję nauczyć się budować fraktale algebraiczne, kiedy będę bardziej szczegółowo badać liczby zespolone. Chcę również spróbować zbudować swój obraz fraktalny w języku programowania Pascal za pomocą cykli.

Należy zwrócić uwagę na wykorzystanie fraktali w technice komputerowej, oprócz prostego budowania pięknych obrazów na ekranie komputera. Fraktale w technice komputerowej znajdują zastosowanie w następujących obszarach:

1. Kompresuj obrazy i informacje

2. Ukrywanie informacji w obrazie, w dźwięku, ...

3. Szyfrowanie danych za pomocą algorytmów fraktalnych

4. Tworzenie muzyki fraktalnej

5. Modelowanie systemu

W naszej pracy nie są podane wszystkie obszary ludzkiej wiedzy, w których teoria fraktali znalazła zastosowanie. Chcemy tylko powiedzieć, że od powstania teorii minęło nie więcej niż jedna trzecia wieku, ale w tym czasie fraktale dla wielu badaczy stały się nagłym jasnym światłem w nocy, które oświetlało nieznane dotąd fakty i prawidłowości w specyficzny sposób. obszary danych. Za pomocą teorii fraktali zaczęli wyjaśniać ewolucję galaktyk i rozwój komórki, powstawanie gór i powstawanie chmur, ruch cen na giełdzie oraz rozwój społeczeństwa i rodziny . Być może początkowo ta pasja do fraktali była nawet zbyt burzliwa i próby wyjaśnienia wszystkiego za pomocą teorii fraktali były nieuzasadnione. Ale bez wątpienia ta teoria ma prawo istnieć i żałujemy, że ostatnio jakoś została zapomniana i pozostała losem elity. Przygotowując tę ​​pracę, bardzo interesujące było dla nas znalezienie zastosowań TEORII w PRAKTYCE. Bo bardzo często pojawia się poczucie, że wiedza teoretyczna odstaje od rzeczywistości życia.

W ten sposób pojęcie fraktali staje się nie tylko częścią „czystej” nauki, ale także elementem ludzkiej kultury. Nauka fraktalna jest wciąż bardzo młoda i ma przed sobą wspaniałą przyszłość. Piękno fraktali jest dalekie od wyczerpania i nadal da nam wiele arcydzieł – zarówno tych cieszących oko, jak i tych, które przynoszą prawdziwą przyjemność umysłowi.

10. Referencje

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktale i multifraktale. RHD 2001 .

Vitolin D. Wykorzystanie fraktali w grafice komputerowej. // Computerworld-Rosja.-1995

Mandelbrot B. Samoafiniczne zbiory fraktali, „Fraktale w fizyce”. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktalna geometria przyrody. - M.: "Instytut Badań Komputerowych", 2002.

Morozow n.e. Wprowadzenie do teorii fraktali. Niżny Nowogród: Wydawnictwo Niżegorod. uniwersytet 1999

Paytgen H.-O., Richter P.H. Piękno fraktali. - M.: "Mir", 1993.

Zasoby internetowe

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fraktale/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Fraktale są znane od prawie wieku, są dobrze zbadane i mają liczne zastosowania w życiu. Zjawisko to opiera się jednak na bardzo prostym pomyśle: nieskończoną liczbę pięknych i różnorodnych postaci można uzyskać ze stosunkowo prostych konstrukcji za pomocą zaledwie dwóch operacji - kopiowania i skalowania.

Co mają wspólnego drzewo, wybrzeże, chmura czy naczynia krwionośne w naszej dłoni? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wszystkie te przedmioty nie mają ze sobą nic wspólnego. Jednak w rzeczywistości istnieje jedna właściwość struktury, która jest nieodłączna dla wszystkich wymienionych obiektów: są one podobne do siebie. Z gałęzi, a także z pnia drzewa odchodzą mniejsze procesy, od nich - jeszcze mniejsze itd., czyli gałąź jest podobna do całego drzewa. Podobnie układa się układ krążenia: od tętnic odchodzą tętniczki, a od nich - najmniejsze naczynia włosowate, przez które tlen dostaje się do narządów i tkanek. Spójrzmy na zdjęcia satelitarne wybrzeża morskiego: zobaczymy zatoki i półwyspy; spójrzmy na to, ale z lotu ptaka: zobaczymy zatoki i przylądki; teraz wyobraź sobie, że stoimy na plaży i patrzymy pod nogi: zawsze będą kamyki, które wystają głębiej w wodę niż reszta. Oznacza to, że linia brzegowa pozostaje podobna do siebie po powiększeniu. Amerykański matematyk Benoit Mandelbrot nazwał tę właściwość obiektów fraktalnością, a same takie obiekty - fraktalami (od łacińskiego fractus - broken).

Pojęcie to nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym. Zwykle fraktal to figura geometryczna, która spełnia jedną lub więcej z następujących właściwości: Ma złożoną strukturę przy dowolnym powiększeniu (w przeciwieństwie do np. linii prostej, której dowolna część jest najprostszą figurą geometryczną - segmentem). Jest (w przybliżeniu) samopodobny. Ma ułamkowy wymiar Hausdorffa (fraktalny), który jest większy niż wymiar topologiczny. Może być budowany za pomocą procedur rekurencyjnych.

Geometria i Algebra

Badanie fraktali na przełomie XIX i XX wieku było bardziej epizodyczne niż systematyczne, ponieważ wcześniejsi matematycy badali głównie „dobre” obiekty, które można było badać za pomocą ogólnych metod i teorii. W 1872 roku niemiecki matematyk Karl Weierstrass zbudował przykład funkcji ciągłej, której nigdzie nie można różniczkować. Jednak jego konstrukcja była całkowicie abstrakcyjna i trudna do zrozumienia. Dlatego w 1904 r. Szwed Helge von Koch wymyślił krzywą ciągłą, która nie ma nigdzie stycznej i dość łatwo ją narysować. Okazało się, że ma właściwości fraktala. Jedna z odmian tej krzywej nazywa się płatkiem śniegu Kocha.

Idee samopodobieństwa postaci podchwycił Francuz Paul Pierre Levy, przyszły mentor Benoita Mandelbrota. W 1938 roku ukazał się jego artykuł „Płaskie i przestrzenne krzywe i powierzchnie składające się z części podobnych do całości”, w którym opisano inny fraktal – krzywą C Lévy'ego. Wszystkie te fraktale wymienione powyżej można warunkowo przypisać do jednej klasy konstruktywnych (geometrycznych) fraktali.

Inną klasą są fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których należy zbiór Mandelbrota. Pierwsze badania w tym kierunku rozpoczęły się na początku XX wieku i są związane z nazwiskami francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou. W 1918 roku ukazało się prawie dwieście stron pamiętnika Julii, poświęconych iteracji złożonych funkcji wymiernych, w których opisane są zbiory Julii - cała rodzina fraktali blisko spokrewniona ze zbiorem Mandelbrota. Praca ta została nagrodzona nagrodą Akademii Francuskiej, ale nie zawierała ani jednej ilustracji, więc nie można było docenić piękna odkrytych przedmiotów. Pomimo tego, że praca ta rozsławiła Julię wśród ówczesnych matematyków, szybko została zapomniana. Ponownie zwrócono na nią uwagę dopiero pół wieku później wraz z pojawieniem się komputerów: to one uwidoczniły bogactwo i piękno świata fraktali.

Wymiary fraktalne

Jak wiadomo, wymiar (liczba pomiarów) figury geometrycznej to liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu leżącego na tej figurze.
Na przykład położenie punktu na krzywej jest określone przez jedną współrzędną, na powierzchni (niekoniecznie na płaszczyźnie) przez dwie współrzędne, w przestrzeni trójwymiarowej przez trzy współrzędne.
Z bardziej ogólnego matematycznego punktu widzenia wymiar można zdefiniować w następujący sposób: wzrost wymiarów liniowych, powiedzmy, dwukrotnie, dla jednowymiarowych (z topologicznego punktu widzenia) obiektów (segmentu) prowadzi do wzrostu rozmiaru (długości ) dwukrotnie, dla dwuwymiarowego (kwadratowego) ten sam wzrost wymiarów liniowych prowadzi do 4-krotnego zwiększenia rozmiaru (powierzchni), dla trójwymiarowego (sześcianu) - 8-krotnie. Oznacza to, że wymiar „rzeczywisty” (tzw. Hausdorffa) można obliczyć jako stosunek logarytmu wzrostu „rozmiaru” obiektu do logarytmu wzrostu jego rozmiaru liniowego. Czyli dla odcinka D=log (2)/log (2)=1, dla płaszczyzny D=log (4)/log (2)=2, dla objętości D=log (8)/log (2 )=3.
Obliczmy teraz wymiar krzywej Kocha, do budowy której odcinek jednostkowy jest podzielony na trzy równe części, a przedział środkowy zastąpiony jest trójkątem równobocznym bez tego odcinka. Wraz ze wzrostem wymiarów liniowych minimalnego segmentu trzykrotnie, długość krzywej Kocha wzrasta w log (4) / log (3) ~ 1,26. Oznacza to, że wymiar krzywej Kocha jest ułamkowy!

Nauka i sztuka

W 1982 roku ukazała się książka Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature”, w której autor zebrał i usystematyzował prawie wszystkie dostępne w tamtym czasie informacje o fraktalach i przedstawił je w łatwy i przystępny sposób. Mandelbrot kładł główny nacisk w swojej prezentacji nie na ociężałe formuły i konstrukcje matematyczne, ale na geometryczną intuicję czytelników. Dzięki komputerowym ilustracjom i historycznym historiom, którymi autor umiejętnie rozmył naukowy komponent monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane szerokiej publiczności. Ich sukces wśród niematematyków w dużej mierze wynika z tego, że za pomocą bardzo prostych konstrukcji i formuł, które może zrozumieć nawet licealista, uzyskuje się obrazy o niesamowitej złożoności i pięknie. Kiedy komputery osobiste stały się wystarczająco potężne, pojawił się nawet cały trend w sztuce - malowanie fraktalne i prawie każdy właściciel komputera mógł to zrobić. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele stron poświęconych temu tematowi.

Schemat uzyskania krzywej Kocha

Wojna i pokój

Jak wspomniano powyżej, jednym z naturalnych obiektów o właściwościach fraktalnych jest linia brzegowa. Wiąże się z nią jedna ciekawa historia, a raczej z próbą zmierzenia jej długości, która stała się podstawą artykułu naukowego Mandelbrota, a opisana jest także w jego książce „The Fractal Geometry of Nature”. Mówimy o eksperymencie stworzonym przez Lewisa Richardsona, bardzo utalentowanego i ekscentrycznego matematyka, fizyka i meteorologa. Jednym z kierunków jego badań była próba znalezienia matematycznego opisu przyczyn i prawdopodobieństwa konfliktu zbrojnego między dwoma krajami. Wśród parametrów, które brał pod uwagę, była długość wspólnej granicy między dwoma walczącymi krajami. Gromadząc dane do eksperymentów numerycznych, stwierdził, że w różnych źródłach dane dotyczące wspólnej granicy Hiszpanii i Portugalii znacznie się różnią. Doprowadziło go to do następującego odkrycia: długość granic kraju zależy od władcy, którym je mierzymy. Im mniejsza skala, tym dłuższa będzie granica. Wynika to z faktu, że przy większym powiększeniu możliwe staje się uwzględnienie coraz większej liczby załamań wybrzeża, które wcześniej ignorowano ze względu na chropowatość pomiarów. A jeśli przy każdym powiększeniu otwierają się wcześniej nieuwzględnione zagięcia linii, to okazuje się, że długość granic jest nieskończona! To prawda, że ​​tak się nie dzieje – dokładność naszych pomiarów ma skończoną granicę. Ten paradoks nazywa się efektem Richardsona.

Konstruktywne (geometryczne) fraktale

Algorytm konstruowania konstruktywnego fraktala w ogólnym przypadku jest następujący. Przede wszystkim potrzebujemy dwóch odpowiednich kształtów geometrycznych, nazwijmy je podstawą i fragmentem. W pierwszym etapie przedstawiana jest podstawa przyszłego fraktala. Następnie niektóre jej części zostają zastąpione fragmentem pobranym w odpowiedniej skali – to pierwsza iteracja konstrukcji. Następnie w wynikowej figurze niektóre części ponownie zamieniają się w figury podobne do fragmentu itd. Jeśli ten proces będzie kontynuowany w nieskończoność, to w granicy otrzymamy fraktal.

Rozważ ten proces na przykładzie krzywej Kocha (patrz pasek boczny na poprzedniej stronie). Dowolną krzywą można przyjąć jako podstawę krzywej Kocha (dla płatka śniegu Kocha jest to trójkąt). Ale ograniczamy się do najprostszego przypadku - segmentu. Fragment to przerywana linia pokazana na górze rysunku. Po pierwszej iteracji algorytmu, w tym przypadku, pierwotny segment zbiegnie się z fragmentem, następnie każdy z jego składowych segmentów zostanie zastąpiony linią przerywaną podobną do fragmentu itd. Na rysunku pokazano pierwsze cztery etapy tego procesu.

Język matematyki: fraktale dynamiczne (algebraiczne)

Fraktale tego typu powstają w badaniach nieliniowych układów dynamicznych (stąd nazwa). Zachowanie takiego układu można opisać złożoną funkcją nieliniową (wielomian) f (z). Weźmy jakiś początkowy punkt z0 na płaszczyźnie zespolonej (patrz pasek boczny). Rozważmy teraz taki nieskończony ciąg liczb na płaszczyźnie zespolonej, z których każdy otrzymujemy z poprzedniego: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). W zależności od punktu początkowego z0, taki ciąg może zachowywać się różnie: dąży do nieskończoności jako n -> ∞; zbiegają się do jakiegoś punktu końcowego; cyklicznie przyjmuj szereg stałych wartości; możliwe są bardziej złożone opcje.

Liczby zespolone

Liczba zespolona to liczba składająca się z dwóch części - rzeczywistej i urojonej, czyli sumy formalnej x + iy (x i y są tutaj liczbami rzeczywistymi). ja jest tzw. jednostka urojona, czyli liczba spełniająca równanie ja^ 2 = -1. Na liczbach zespolonych określone są podstawowe operacje matematyczne - dodawanie, mnożenie, dzielenie, odejmowanie (nie jest zdefiniowana tylko operacja porównania). Do wyświetlania liczb zespolonych często używa się reprezentacji geometrycznej - na płaszczyźnie (nazywa się to złożoną), część rzeczywista jest wykreślana wzdłuż osi odciętej, a część urojona wzdłuż osi rzędnych, natomiast liczba zespolona będzie odpowiadać punktowi ze współrzędnymi kartezjańskimi x i y.

Zatem każdy punkt z płaszczyzny zespolonej ma swój własny charakter zachowania podczas iteracji funkcji f(z), a cała płaszczyzna jest podzielona na części. Co więcej, punkty leżące na granicach tych części mają następującą właściwość: dla dowolnie małego przemieszczenia charakter ich zachowania zmienia się dramatycznie (takie punkty nazywa się punktami bifurkacji). Okazuje się więc, że zbiory punktów, które mają jeden określony typ zachowania, a także zbiory punktów bifurkacji, często mają własności fraktalne. Są to zbiory Julii dla funkcji f(z).

rodzina smoków

Zmieniając podstawę i fragment, możesz uzyskać oszałamiającą różnorodność konstruktywnych fraktali.
Co więcej, podobne operacje można wykonywać w przestrzeni trójwymiarowej. Przykładami fraktali wolumetrycznych są „Gąbka Mengera”, „Piramida Sierpińskiego” i inne.
Rodzina smoków nazywana jest również fraktalami konstruktywnymi. Czasami nazywa się je imieniem odkrywców „smokami z Heiwei-Harter” (przypominają kształtem chińskie smoki). Jest kilka sposobów na skonstruowanie tej krzywej. Najprostsza i najbardziej oczywista z nich jest taka: należy wziąć odpowiednio długi pasek papieru (im cieńszy papier, tym lepiej) i zgiąć go na pół. Następnie ponownie zgnij go na pół w tym samym kierunku, co za pierwszym razem. Po kilku powtórzeniach (zwykle po pięciu lub sześciu zagięciach pasek staje się zbyt gruby, aby można go było dalej ostrożnie wyginać), należy ponownie wyprostować pasek i spróbować uformować w zagięciach kąty 90˚. Wtedy krzywa smoka wyjdzie z profilu. Oczywiście będzie to tylko przybliżenie, jak wszystkie nasze próby przedstawiania obiektów fraktalnych. Komputer pozwala zobrazować o wiele więcej kroków w tym procesie, a efektem jest bardzo piękna figura.

Nieco inaczej skonstruowany jest zestaw Mandelbrota. Rozważmy funkcję fc (z) = z 2 +c, gdzie c jest liczbą zespoloną. Skonstruujmy ciąg tej funkcji z z0=0, w zależności od parametru c, może on rozbiegać się w nieskończoność lub pozostać ograniczony. Ponadto wszystkie wartości c, dla których ta sekwencja jest ograniczona, tworzą zbiór Mandelbrota. Został szczegółowo zbadany przez samego Mandelbrota i innych matematyków, którzy odkryli wiele interesujących właściwości tego zbioru.

Widać, że definicje zbiorów Julii i Mandelbrota są do siebie podobne. W rzeczywistości te dwa zestawy są ściśle powiązane. Mianowicie zbiór Mandelbrota to wszystkie wartości parametru zespolonego c, dla których zbiór Julii fc (z) jest połączony (zbiór nazywany jest połączonym, jeśli nie można go podzielić na dwie nie przecinające się części, z pewnymi dodatkowymi warunkami).

fraktale i życie

Obecnie teoria fraktali znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach ludzkiej działalności. Oprócz czysto naukowego obiektu do badań i wspomnianego już malarstwa fraktali, fraktale są wykorzystywane w teorii informacji do kompresji danych graficznych (tutaj wykorzystywana jest głównie własność samopodobieństwa fraktali – wszak po to, by zapamiętać mały fragment rysunku i przekształceń, za pomocą których można uzyskać resztę części, zajmuje znacznie mniej pamięci niż przechowywanie całego pliku). Dodając losowe perturbacje do wzorów definiujących fraktal, można otrzymać fraktale stochastyczne, które bardzo przekonująco oddają niektóre rzeczywiste obiekty - elementy reliefowe, powierzchnie zbiorników wodnych, niektóre rośliny, co jest z powodzeniem stosowane w fizyce, geografii i grafice komputerowej. większe podobieństwo symulowanych obiektów z rzeczywistymi. W radioelektronice w ostatniej dekadzie zaczęto produkować anteny o kształcie fraktalnym. Zajmując mało miejsca zapewniają dość wysokiej jakości odbiór sygnału. Ekonomiści używają fraktali do opisu krzywych wahań kursów walut (właściwość tę odkrył Mandelbrot ponad 30 lat temu). Na tym kończy się ta krótka wycieczka w świat fraktali, zachwycający swoim pięknem i różnorodnością.

Najbardziej pomysłowe odkrycia naukowe mogą radykalnie zmienić ludzkie życie. Wynaleziona szczepionka może uratować miliony ludzi, tworzenie broni, wręcz przeciwnie, odbiera im życie. Niedawno (w skali ewolucji człowieka) nauczyliśmy się „oswajać” elektryczność - a teraz nie wyobrażamy sobie życia bez tych wszystkich wygodnych urządzeń wykorzystujących energię elektryczną. Ale są też odkrycia, do których niewiele osób przywiązuje wagę, choć mają też ogromny wpływ na nasze życie.

Jednym z tych „niezauważalnych” odkryć są fraktale. Zapewne słyszałeś to chwytliwe słowo, ale czy wiesz, co ono oznacza i ile ciekawych rzeczy kryje się pod tym terminem?

Każdy człowiek ma naturalną ciekawość, chęć poznania otaczającego go świata. I w tym dążeniu człowiek stara się trzymać logiki w osądach. Analizując zachodzące wokół niego procesy, stara się znaleźć logikę tego, co się dzieje i wydedukować pewną prawidłowość. Największe umysły na świecie są zajęte tym zadaniem. Z grubsza mówiąc, naukowcy szukają wzorca tam, gdzie nie powinno. Niemniej jednak nawet w chaosie można znaleźć związek między wydarzeniami. A to połączenie jest fraktalem.

Nasza córeczka, cztery i pół roku, jest teraz w tym cudownym wieku, kiedy pojawia się liczba pytań „Dlaczego?” wielokrotnie większa niż liczba odpowiedzi, które dorośli mają czas na udzielenie. Nie tak dawno, patrząc na podniesioną z ziemi gałąź, moja córka nagle zauważyła, że ​​ta gałąź, z sękami i gałęziami, sama wygląda jak drzewo. I oczywiście pojawiło się zwykłe pytanie „Dlaczego?”, na które rodzice musieli szukać prostego wyjaśnienia, które dziecko mogłoby zrozumieć.

Podobieństwo pojedynczej gałęzi z całym drzewem odkryte przez dziecko jest bardzo trafną obserwacją, co po raz kolejny świadczy o zasadzie rekursywnego samopodobieństwa w przyrodzie. W podobny sposób powstaje bardzo wiele form organicznych i nieorganicznych w przyrodzie. Chmury, muszle, „domek” ślimaka, kora i korona drzew, układ krążenia itd. – przypadkowe kształty wszystkich tych obiektów można opisać algorytmem fraktalnym.

⇡ Benoit Mandelbrot: ojciec geometrii fraktalnej

Samo słowo „fraktal” pojawiło się dzięki genialnemu naukowcowi Benoît B. Mandelbrotowi.

Sam ukuł ten termin w latach 70., zapożyczając słowo fractus z łaciny, gdzie dosłownie oznacza ono „złamany” lub „zmiażdżony”. Co to jest? Obecnie słowo „fraktal” jest najczęściej używane w znaczeniu graficznego przedstawienia struktury, która jest do siebie podobna w większej skali.

Matematyczne podstawy powstania teorii fraktali zostały położone wiele lat przed narodzinami Benoita Mandelbrota, ale mogły się one rozwinąć dopiero wraz z pojawieniem się urządzeń komputerowych. Na początku swojej kariery naukowej Benoit pracował w centrum badawczym IBM. W tym czasie pracownicy centrum pracowali nad transmisją danych na odległość. W trakcie badań naukowcy stanęli przed problemem dużych strat wynikających z zakłóceń hałasu. Benoit stanął przed trudnym i bardzo ważnym zadaniem - zrozumieć, jak przewidywać występowanie zakłóceń szumowych w obwodach elektronicznych, gdy metoda statystyczna jest nieskuteczna.

Przeglądając wyniki pomiarów hałasu, Mandelbrot zwrócił uwagę na jeden dziwny wzór – wykresy hałasu w różnych skalach wyglądały tak samo. Zaobserwowano identyczny wzór bez względu na to, czy był to wykres szumów dla jednego dnia, tygodnia czy godziny. Warto było zmienić skalę wykresu, a obraz za każdym razem się powtarzał.

Za życia Benoit Mandelbrot wielokrotnie powtarzał, że nie zajmował się formułami, ale po prostu bawił się obrazami. Ten człowiek myślał bardzo obrazowo i przekładał każdy problem algebraiczny na dziedzinę geometrii, gdzie według niego poprawna odpowiedź jest zawsze oczywista.

Nic dziwnego, że to człowiek o tak bogatej wyobraźni przestrzennej stał się ojcem geometrii fraktalnej. W końcu uświadomienie sobie istoty fraktali następuje właśnie wtedy, gdy zaczynasz studiować rysunki i myślisz o znaczeniu dziwnych wzorów wirowych.

Wzór fraktalny nie ma identycznych elementów, ale ma podobieństwo w dowolnej skali. Ręczne zbudowanie takiego obrazu o wysokim stopniu szczegółowości było wcześniej po prostu niemożliwe, wymagało ogromnej ilości obliczeń. Na przykład francuski matematyk Pierre Joseph Louis Fatou opisał ten zestaw ponad siedemdziesiąt lat przed odkryciem Benoita Mandelbrota. Jeśli mówimy o zasadach samopodobieństwa, to wspomina się o nich w pracach Leibniza i Georga Cantora.

Jednym z pierwszych rysunków fraktala była graficzna interpretacja zbioru Mandelbrota, która zrodziła się z badań Gastona Maurice'a Julii.

Gaston Julia (zawsze zamaskowany - kontuzja I wojny światowej)

Ten francuski matematyk zastanawiał się, jak wyglądałby zestaw, gdyby został zbudowany z prostej formuły iterowanej przez pętlę sprzężenia zwrotnego. Jeśli wyjaśnione „na palcach”, oznacza to, że dla określonej liczby znajdujemy nową wartość za pomocą wzoru, po czym podstawiamy ją ponownie do wzoru i otrzymujemy inną wartość. Rezultatem jest duża sekwencja liczb.

Aby uzyskać pełny obraz takiego zestawu, trzeba wykonać ogromną ilość obliczeń - setki, tysiące, miliony. Po prostu nie dało się tego zrobić ręcznie. Kiedy jednak do dyspozycji matematyków pojawiły się potężne urządzenia obliczeniowe, mogli oni spojrzeć świeżym okiem na formuły i wyrażenia, które od dawna budziły zainteresowanie. Mandelbrot jako pierwszy użył komputera do obliczenia klasycznego fraktala. Po przetworzeniu sekwencji składającej się z dużej liczby wartości Benoit przeniósł wyniki na wykres. Oto, co dostał.

Następnie obraz ten został pokolorowany (na przykład jednym ze sposobów kolorowania jest liczba iteracji) i stał się jednym z najpopularniejszych obrazów, jakie kiedykolwiek stworzył człowiek.

Jak mówi starożytne powiedzenie przypisywane Heraklitowi z Efezu: „Nie możesz dwukrotnie wejść do tej samej rzeki”. Najlepiej nadaje się do interpretacji geometrii fraktali. Bez względu na to, jak szczegółowo przyjrzymy się obrazowi fraktalnemu, zawsze zobaczymy podobny wzór.

Ci, którzy chcą zobaczyć, jak obraz przestrzeni Mandelbrota wyglądałby po wielokrotnym powiększeniu, mogą to zrobić, przesyłając animowany GIF.

⇡ Lauren Carpenter: sztuka stworzona przez naturę

Teoria fraktali szybko znalazła praktyczne zastosowanie. Ponieważ jest to ściśle związane z wizualizacją samopodobnych obrazów, nie dziwi fakt, że jako pierwsi przyjęli algorytmy i zasady konstruowania nietypowych form byli artyści.

Przyszły współzałożyciel legendarnego studia Pixar, Loren C. Carpenter, rozpoczął pracę w Boeing Computer Services w 1967 roku, który był jednym z oddziałów znanej korporacji zajmującej się rozwojem nowych samolotów.

W 1977 stworzył prezentacje z prototypami modeli latających. Lauren była odpowiedzialna za opracowanie obrazów projektowanego samolotu. Musiał stworzyć zdjęcia nowych modeli, pokazujących przyszłe samoloty pod różnymi kątami. W pewnym momencie przyszły założyciel Pixar Animation Studios wpadł na pomysł, aby wykorzystać obraz gór jako tło. Dziś każdy uczeń może rozwiązać taki problem, ale pod koniec lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku komputery nie radziły sobie z tak złożonymi obliczeniami - nie było edytorów graficznych, nie mówiąc już o aplikacjach do grafiki trójwymiarowej. W 1978 roku Lauren przypadkowo zobaczyła w sklepie książkę Benoita Mandelbrota Fraktale: forma, losowość i wymiar. W tej książce jego uwagę zwrócił fakt, że Benoit podał wiele przykładów form fraktalnych w prawdziwym życiu i udowodnił, że można je opisać wyrażeniem matematycznym.

Ta analogia została wybrana przez matematyka nieprzypadkowo. Faktem jest, że gdy tylko opublikował swoje badania, musiał zmierzyć się z całą falą krytyki. Najważniejszą rzeczą, którą zarzucali mu koledzy, była bezużyteczność opracowanej teorii. „Tak”, powiedzieli, „to są piękne obrazy, ale nic więcej. Teoria fraktali nie ma żadnej praktycznej wartości.” Byli też tacy, którzy generalnie wierzyli, że wzory fraktalne są po prostu produktem ubocznym pracy „diabelskich maszyn”, które pod koniec lat siedemdziesiątych wielu wydawały się czymś zbyt skomplikowanym i niezbadanym, by można było w pełni zaufać. Mandelbrot próbował znaleźć oczywiste zastosowanie teorii fraktali, ale w zasadzie nie musiał tego robić. Zwolennicy Benoita Mandelbrota przez następne 25 lat okazali się bardzo przydatni dla takiej „matematycznej ciekawości”, a Lauren Carpenter była jedną z pierwszych, która zastosowała metodę fraktalną w praktyce.

Po przestudiowaniu książki przyszły animator poważnie przestudiował zasady geometrii fraktalnej i zaczął szukać sposobu na zaimplementowanie jej w grafice komputerowej. W ciągu zaledwie trzech dni pracy Lauren był w stanie zwizualizować realistyczny obraz systemu górskiego na swoim komputerze. Innymi słowy, za pomocą formuł namalował całkowicie rozpoznawalny górski pejzaż.

Zasada, którą Lauren wykorzystała, aby osiągnąć swój cel, była bardzo prosta. Polegała ona na podzieleniu większej figury geometrycznej na mniejsze elementy, a te z kolei zostały podzielone na podobne figury o mniejszym rozmiarze.

Stosując większe trójkąty, Carpenter podzielił je na cztery mniejsze, a następnie powtarzał tę procedurę w kółko, aż uzyskał realistyczny krajobraz górski. W ten sposób udało mu się zostać pierwszym artystą, który wykorzystał algorytm fraktalny w grafice komputerowej do budowania obrazów. Gdy tylko dowiedział się o wykonanej pracy, entuzjaści na całym świecie podchwycili ten pomysł i zaczęli używać algorytmu fraktalnego do symulacji realistycznych form naturalnych.

Jeden z pierwszych renderingów 3D z wykorzystaniem algorytmu fraktalnego

Zaledwie kilka lat później Lauren Carpenter była w stanie zastosować swoje osiągnięcia w znacznie większym projekcie. Animator oparł je na dwuminutowym demo Vol Libre, które zostało pokazane na Siggraph w 1980 roku. Ten film zszokował wszystkich, którzy go zobaczyli, a Laura otrzymała zaproszenie od Lucasfilm.

Animację renderowano na komputerze VAX-11/780 firmy Digital Equipment Corporation przy częstotliwości zegara pięciu megaherców, a narysowanie każdej klatki zajmowało około pół godziny.

Pracując dla Lucasfilm Limited, animator stworzył te same krajobrazy 3D do drugiej części sagi Star Trek. W The Wrath of Khan Carpenter był w stanie stworzyć całą planetę przy użyciu tej samej zasady fraktalnego modelowania powierzchni.

Obecnie wszystkie popularne aplikacje do tworzenia krajobrazów 3D wykorzystują tę samą zasadę generowania obiektów naturalnych. Terragen, Bryce, Vue i inne edytory 3D polegają na fraktalnym algorytmie modelowania powierzchni i tekstur.

⇡ Anteny fraktalne: mniej znaczy lepiej, ale lepiej

W ciągu ostatniego półwiecza życie szybko się zmieniło. Większość z nas uważa postęp w nowoczesnej technologii za pewnik. Do wszystkiego, co czyni życie wygodniejszym, bardzo szybko się przyzwyczajasz. Rzadko ktoś zadaje pytanie „Skąd to się wzięło?” i „Jak to działa?”. Kuchenka mikrofalowa rozgrzewa śniadanie – no świetnie, smartfon pozwala na rozmowę z drugą osobą – świetnie. Wydaje nam się to oczywistą możliwością.

Ale życie mogłoby być zupełnie inne, gdyby człowiek nie szukał wyjaśnienia zachodzących wydarzeń. Weźmy na przykład telefony komórkowe. Pamiętasz chowane anteny w pierwszych modelach? Wtrącali się, zwiększali rozmiar urządzenia, w końcu często się psuli. Wierzymy, że pogrążyły się w niepamięci na zawsze, a częściowo z tego powodu… fraktale.

Rysunki fraktalne fascynują wzorami. Zdecydowanie przypominają obrazy obiektów kosmicznych – mgławic, gromad galaktyk i tak dalej. Dlatego jest całkiem naturalne, że kiedy Mandelbrot przedstawił swoją teorię fraktali, jego badania wzbudziły zwiększone zainteresowanie wśród tych, którzy studiowali astronomię. Jeden z takich amatorów, Nathan Cohen, po odbyciu wykładu Benoita Mandelbrota w Budapeszcie, zainspirował się ideą praktycznego zastosowania zdobytej wiedzy. To prawda, że ​​zrobił to intuicyjnie, a przypadek odegrał ważną rolę w jego odkryciu. Jako radioamator Nathan starał się stworzyć antenę o najwyższej możliwej czułości.

Jedynym znanym wówczas sposobem na poprawę parametrów anteny było zwiększenie jej wymiarów geometrycznych. Jednak właściciel mieszkania w centrum Bostonu, które wynajął Nathan, był zdecydowanie przeciwny instalowaniu dużych urządzeń na dachu. Następnie Nathan zaczął eksperymentować z różnymi formami anten, próbując uzyskać maksymalny wynik przy minimalnym rozmiarze. Rozpalony ideą form fraktalnych Cohen, jak mówią, przypadkowo wykonał z drutu jeden z najsłynniejszych fraktali – „płatek śniegu Kocha”. Szwedzki matematyk Helge von Koch wymyślił tę krzywą w 1904 roku. Uzyskuje się go poprzez podzielenie segmentu na trzy części i zastąpienie segmentu środkowego trójkątem równobocznym bez boku pokrywającego się z tym segmentem. Definicja jest nieco trudna do zrozumienia, ale rysunek jest jasny i prosty.

Istnieją również inne odmiany „krzywej Kocha”, ale przybliżony kształt krzywej pozostaje podobny

Gdy Nathan podłączył antenę do odbiornika radiowego, był bardzo zaskoczony - czułość wzrosła dramatycznie. Po serii eksperymentów przyszły profesor na Uniwersytecie Bostońskim zdał sobie sprawę, że antena wykonana według wzoru fraktalnego ma wysoką sprawność i obejmuje znacznie szerszy zakres częstotliwości w porównaniu z rozwiązaniami klasycznymi. Dodatkowo kształt anteny w postaci krzywej fraktalnej może znacznie zmniejszyć wymiary geometryczne. Nathan Cohen opracował nawet twierdzenie dowodzące, że aby stworzyć antenę szerokopasmową, wystarczy nadać jej kształt samopodobnej krzywej fraktalnej.

Autor opatentował swoje odkrycie i założył firmę zajmującą się rozwojem i projektowaniem anten fraktalnych Fractal Antenna Systems, słusznie wierząc, że w przyszłości dzięki jego odkryciu telefony komórkowe będą mogły pozbyć się nieporęcznych anten i stać się bardziej kompaktowymi.

Zasadniczo tak się stało. To prawda, że ​​do dziś Nathan toczy proces z dużymi korporacjami, które nielegalnie wykorzystują jego odkrycie do produkcji kompaktowych urządzeń komunikacyjnych. Niektórzy znani producenci urządzeń mobilnych, tacy jak Motorola, osiągnęli już porozumienie pokojowe z wynalazcą anteny fraktalnej.

⇡ Wymiary fraktalne: umysł nie rozumie

Benoit pożyczył to pytanie od słynnego amerykańskiego naukowca Edwarda Kasnera.

Ten ostatni, podobnie jak wielu innych znanych matematyków, bardzo lubił komunikować się z dziećmi, zadawać im pytania i uzyskiwać nieoczekiwane odpowiedzi. Czasami prowadziło to do zaskakujących rezultatów. Na przykład dziewięcioletni siostrzeniec Edwarda Kasnera wymyślił teraz dobrze znane słowo „googol”, oznaczające jednostkę ze stu zerami. Wróćmy jednak do fraktali. Amerykański matematyk lubił pytać, jak długa jest linia brzegowa USA. Po wysłuchaniu opinii rozmówcy sam Edward wypowiedział poprawną odpowiedź. Jeśli zmierzysz długość na mapie z uszkodzonymi segmentami, wynik będzie niedokładny, ponieważ linia brzegowa ma dużą liczbę nieregularności. A co się stanie, jeśli mierzysz tak dokładnie, jak to możliwe? Będziesz musiał wziąć pod uwagę długość każdej nierówności - będziesz musiał zmierzyć każdą przylądek, każdą zatokę, skałę, długość półki skalnej, kamień na niej, ziarnko piasku, atom i tak dalej. Ponieważ liczba nieregularności dąży do nieskończoności, zmierzona długość linii brzegowej będzie wzrastać do nieskończoności z każdą nową nieregularnością.

Im mniejsza miara podczas pomiaru, tym większa zmierzona długość

Co ciekawe, zgodnie z sugestiami Edwarda, dzieci były znacznie szybsze niż dorośli w udzielaniu poprawnej odpowiedzi, podczas gdy ci drudzy mieli problem z zaakceptowaniem tak niewiarygodnej odpowiedzi.

Na przykładzie tego problemu Mandelbrot zasugerował zastosowanie nowego podejścia do pomiarów. Ponieważ linia brzegowa jest zbliżona do krzywej fraktalnej, oznacza to, że można do niej zastosować parametr charakteryzujący, tzw. wymiar fraktalny.

Jaki jest zwykły wymiar, jest dla każdego jasne. Jeśli wymiar jest równy jeden, otrzymujemy linię prostą, jeśli dwa - płaską, trzy - objętość. Jednak takie rozumienie wymiaru w matematyce nie działa w przypadku krzywych fraktalnych, gdzie ten parametr ma wartość ułamkową. Wymiar fraktalny w matematyce można warunkowo uznać za „chropowatość”. Im większa chropowatość krzywej, tym większy jej wymiar fraktalny. Krzywa, która według Mandelbrota ma wymiar fraktalny wyższy niż wymiar topologiczny, ma przybliżoną długość niezależną od liczby wymiarów.

Obecnie naukowcy znajdują coraz więcej obszarów do zastosowania teorii fraktali. Za pomocą fraktali można analizować wahania cen akcji, badać wszelkiego rodzaju naturalne procesy, takie jak wahania liczby gatunków, czy symulować dynamikę przepływów. Algorytmy fraktalne można wykorzystać do kompresji danych, na przykład do kompresji obrazu. A tak przy okazji, aby uzyskać piękny fraktal na ekranie komputera, nie trzeba mieć stopnia doktora.

⇡ Fraktal w przeglądarce

Być może jednym z najłatwiejszych sposobów na uzyskanie wzoru fraktalnego jest użycie internetowego edytora wektorów od młodego utalentowanego programisty Toby'ego Schachmana. Zestaw narzędzi tego prostego edytora graficznego opiera się na tej samej zasadzie samopodobieństwa.

Do Twojej dyspozycji są tylko dwa proste kształty - kwadrat i koło. Możesz dodać je do płótna, przeskalować (aby przeskalować wzdłuż jednej z osi, przytrzymaj klawisz Shift) i obrócić. Nakładając się na zasadę operacji dodawania Boole'a, te najprostsze elementy tworzą nowe, mniej trywialne formy. Co więcej, te nowe formy można dodać do projektu, a program będzie powtarzał generowanie tych obrazów w nieskończoność. Na każdym etapie pracy nad fraktalem możesz wrócić do dowolnego elementu złożonego kształtu i edytować jego położenie i geometrię. To świetna zabawa, zwłaszcza jeśli weźmiesz pod uwagę, że jedynym narzędziem, którego potrzebujesz, aby być kreatywnym, jest przeglądarka. Jeśli nie rozumiesz zasady pracy z tym edytorem wektorów rekurencyjnych, radzimy obejrzeć film na oficjalnej stronie projektu, który szczegółowo pokazuje cały proces tworzenia fraktala.

⇡ XaoS: fraktale na każdy gust

Wiele edytorów graficznych ma wbudowane narzędzia do tworzenia wzorów fraktalnych. Jednak te narzędzia są zwykle drugorzędne i nie pozwalają na dostrojenie wygenerowanego wzoru fraktalnego. W przypadkach, w których konieczne jest zbudowanie matematycznie dokładnego fraktala, z pomocą przyjdzie wieloplatformowy edytor XaoS. Ten program umożliwia nie tylko budowanie samopodobnego obrazu, ale także wykonywanie z nim różnych manipulacji. Na przykład w czasie rzeczywistym możesz „przejść” po fraktalu, zmieniając jego skalę. Animowany ruch wzdłuż fraktala można zapisać jako plik XAF, a następnie odtworzyć w samym programie.

XaoS może ładować losowy zestaw parametrów, a także korzystać z różnych filtrów przetwarzania końcowego obrazu - dodać efekt rozmytego ruchu, wygładzić ostre przejścia między punktami fraktali, symulować obraz 3D i tak dalej.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktowy generator fraktalny

W porównaniu z innymi generatorami obrazów fraktalnych ma kilka zalet. Po pierwsze, jest dość niewielki i nie wymaga instalacji. Po drugie, implementuje możliwość zdefiniowania palety kolorów obrazu. Możesz wybierać odcienie w modelach kolorów RGB, CMYK, HVS i HSL.

Bardzo wygodne jest również skorzystanie z opcji losowego wyboru odcieni kolorów oraz funkcji odwracania wszystkich kolorów na zdjęciu. Do regulacji koloru służy funkcja cyklicznego doboru odcieni - po włączeniu odpowiedniego trybu program animuje obraz, cyklicznie zmieniając na nim kolory.

Fractal Zoomer może wizualizować 85 różnych funkcji fraktalnych, a formuły są wyraźnie widoczne w menu programu. W programie są filtry do post-processingu obrazów, aczkolwiek w niewielkiej ilości. Każdy przypisany filtr można w każdej chwili anulować.

⇡ Mandelbulb3D: edytor fraktali 3D

Termin „fraktal” oznacza najczęściej płaski obraz dwuwymiarowy. Jednak geometria fraktalna wykracza poza wymiar 2D. W naturze można znaleźć zarówno przykłady płaskich form fraktalnych, np. geometrię błyskawicy, jak i trójwymiarowe figury trójwymiarowe. Powierzchnie fraktalne mogą być 3D, a jedną bardzo graficzną ilustracją fraktali 3D w życiu codziennym jest główka kapusty. Być może najlepszym sposobem na zobaczenie fraktali jest Romanesco, hybryda kalafiora i brokułów.

I ten fraktal można zjeść

Program Mandelbulb3D może tworzyć trójwymiarowe obiekty o podobnym kształcie. Aby uzyskać powierzchnię 3D za pomocą algorytmu fraktalnego, autorzy tej aplikacji, Daniel White i Paul Nylander, przekonwertowali zbiór Mandelbrota na współrzędne sferyczne. Stworzony przez nich program Mandelbulb3D to prawdziwy trójwymiarowy edytor, który modeluje fraktalne powierzchnie o różnych kształtach. Ponieważ często obserwujemy fraktalne wzory w przyrodzie, sztucznie stworzony fraktalny trójwymiarowy obiekt wydaje się niewiarygodnie realistyczny, a nawet „żywy”.

Może wyglądać jak roślina, może przypominać dziwne zwierzę, planetę lub coś innego. Efekt ten jest wzmocniony przez zaawansowany algorytm renderowania, który umożliwia uzyskiwanie realistycznych odbić, obliczanie przezroczystości i cieni, symulowanie efektu głębi ostrości i tak dalej. Mandelbulb3D ma ogromną liczbę ustawień i opcji renderowania. Możesz kontrolować odcienie źródeł światła, wybrać tło i poziom szczegółowości modelowanego obiektu.

Edytor fraktali Incendia obsługuje podwójne wygładzanie obrazu, zawiera bibliotekę pięćdziesięciu różnych trójwymiarowych fraktali i ma osobny moduł do edycji podstawowych kształtów.

Aplikacja wykorzystuje skrypty fraktalne, za pomocą których można samodzielnie opisywać nowe typy struktur fraktalnych. Incendia posiada edytory tekstur i materiałów, a także silnik renderujący, który pozwala używać wolumetrycznych efektów mgły i różnych shaderów. Program posiada opcję zapisywania bufora podczas długotrwałego renderowania, wspierane jest tworzenie animacji.

Incendia pozwala na eksport modelu fraktalnego do popularnych formatów grafiki 3D - OBJ i STL. Incendia zawiera małe narzędzie Geometrica — specjalne narzędzie do konfigurowania eksportu powierzchni fraktalnej do modelu trójwymiarowego. Za pomocą tego narzędzia możesz określić rozdzielczość powierzchni 3D, określić liczbę iteracji fraktalnych. Wyeksportowane modele można wykorzystać w projektach 3D podczas pracy z edytorami 3D, takimi jak Blender, 3ds max i inne.

Ostatnio prace nad projektem Incendia nieco zwolniły. W tej chwili autor poszukuje sponsorów, którzy pomogliby mu rozwinąć program.

Jeśli nie masz wystarczającej wyobraźni, aby narysować piękny trójwymiarowy fraktal w tym programie, nie ma to znaczenia. Użyj biblioteki parametrów, która znajduje się w folderze INCENDIA_EX\parameters. Za pomocą plików PAR możesz szybko znaleźć najbardziej nietypowe kształty fraktalne, w tym animowane.

⇡ Aural: jak śpiewają fraktale

Zwykle nie mówimy o projektach, nad którymi dopiero pracujemy, ale w tym przypadku musimy zrobić wyjątek, jest to bardzo nietypowa aplikacja. Projekt o nazwie Aural wymyślił tę samą osobę, co Incendia. To prawda, że ​​tym razem program nie wizualizuje zestawu fraktalnego, ale go udźwiękawia, zamieniając go w muzykę elektroniczną. Pomysł jest bardzo ciekawy, zwłaszcza biorąc pod uwagę niezwykłe właściwości fraktali. Aural to edytor audio, który generuje melodie za pomocą algorytmów fraktalnych, czyli w rzeczywistości jest to sekwencer-syntezator audio.

Sekwencja dźwięków wydawanych przez ten program jest niezwykła i… piękna. Może się przydać do pisania nowoczesnych rytmów i naszym zdaniem szczególnie dobrze nadaje się do tworzenia ścieżek dźwiękowych do wstępów programów telewizyjnych i radiowych, a także „pętli” podkładu muzycznego do gier komputerowych. Ramiro nie udostępnił jeszcze demo swojego programu, ale obiecuje, że gdy to zrobi, aby pracować z Auralem, nie będzie musiał uczyć się teorii fraktali – wystarczy pobawić się parametrami algorytmu generowania sekwencji nut . Posłuchaj, jak brzmią fraktale i.

Fraktale: pauza muzyczna

W rzeczywistości fraktale mogą pomóc w pisaniu muzyki nawet bez oprogramowania. Ale może to zrobić tylko ktoś, kto jest naprawdę przesiąknięty ideą naturalnej harmonii, a jednocześnie nie stał się nieszczęsnym „kujonem”. Warto wziąć przykład z muzyka Jonathana Coultona, który między innymi pisze kompozycje dla magazynu Popular Science. I w przeciwieństwie do innych artystów, Colton publikuje wszystkie swoje prace na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-niekomercyjne, która (jeśli jest wykorzystywana do celów niekomercyjnych) zapewnia bezpłatne kopiowanie, dystrybucję, przekazywanie dzieła innym osobom, a także jego modyfikację (tworzenie prac pochodnych) w celu dostosowania go do Twoich potrzeb.

Jonathan Colton ma oczywiście piosenkę o fraktalach.

⇡ Wniosek

We wszystkim, co nas otacza, często widzimy chaos, ale tak naprawdę nie jest to przypadek, a idealna forma, którą fraktale pomagają nam rozpoznać. Natura jest najlepszym architektem, idealnym budowniczym i inżynierem. Jest ułożony bardzo logicznie, a jeśli gdzieś nie widzimy wzorów, to znaczy, że musimy szukać go w innej skali. Ludzie coraz lepiej to rozumieją, próbując na wiele sposobów naśladować naturalne formy. Inżynierowie projektują systemy głośnikowe w formie muszli, tworzą anteny o geometrii płatka śniegu i tak dalej. Jesteśmy pewni, że fraktale wciąż kryją wiele tajemnic, a wiele z nich nie zostało jeszcze odkrytych przez człowieka.

Pisaliśmy już o tym, jak abstrakcyjna matematyczna teoria chaosu znalazła zastosowanie w różnych naukach - od fizyki po ekonomię i nauki polityczne. Teraz podamy inny podobny przykład - teorię fraktali. Nawet w matematyce nie ma ścisłej definicji pojęcia „fraktala”. Mówią oczywiście coś takiego. Ale „zwykła osoba” tego nie rozumie. Jak wy na przykład takie zdanie: „Fraktal to zbiór o ułamkowym wymiarze Hausdorffa, który jest większy od wymiaru topologicznego”. Niemniej jednak one, fraktale, otaczają nas i pomagają zrozumieć wiele zjawisk z różnych sfer życia.

Jak to się wszystko zaczęło

Przez długi czas fraktalami nie interesował się nikt poza zawodowymi matematykami. Przed pojawieniem się komputerów i związanego z nimi oprogramowania. Wszystko zmieniło się w 1982 roku, kiedy ukazała się książka Benoita Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature”. Książka ta stała się bestsellerem nie tyle ze względu na proste i zrozumiałe przedstawienie materiału (choć to stwierdzenie jest bardzo względne – osoba, która nie ma profesjonalnego wykształcenia matematycznego, nic z niej nie zrozumie), ale ze względu na podane komputerowe ilustracje fraktali, które są naprawdę hipnotyzujące. Spójrzmy na te zdjęcia. Naprawdę warto.

A takich zdjęć jest wiele. Ale co ten cały splendor ma wspólnego z naszym prawdziwym życiem i tym, co nas otacza w przyrodzie i codzienności? Okazuje się najbardziej bezpośredni.

Ale najpierw powiedzmy kilka słów o samych fraktalach jako obiektach geometrycznych.

Czym jest fraktal w prostych słowach

Pierwszy. Jak zbudowane są fraktale. Jest to dość skomplikowana procedura, która wykorzystuje specjalne przekształcenia na płaszczyźnie złożonej (nie musisz wiedzieć, co to jest). Ważne jest tylko to, że te transformacje są powtarzalne (występują, jak mówią w matematyce, iteracje). To w wyniku tego powtórzenia powstają fraktale (te, które widzieliście powyżej).

Druga. Fraktal to struktura samopodobna (dokładnie lub w przybliżeniu). Oznacza to, co następuje. Jeśli przyłożysz mikroskop do dowolnego z prezentowanych zdjęć, powiększając obraz np. 100 razy i spojrzysz na fragment fraktala, który wpadł do okularu, okaże się, że jest on identyczny z oryginalnym obrazem. Jeśli weźmiesz mocniejszy mikroskop, który powiększa obraz 1000 razy, okaże się, że fragment fragmentu poprzedniego obrazu, który wpadł do okularu, ma taką samą lub bardzo podobną budowę.

Prowadzi to do bardzo ważnego wniosku, co następuje. Fraktal ma niezwykle złożoną strukturę, która powtarza się w różnych skalach. Ale im głębiej zagłębiamy się w jego urządzenie, tym ogólnie staje się ono bardziej złożone. A ilościowe szacunki właściwości oryginalnego obrazu mogą zacząć się zmieniać.

Teraz zostawimy abstrakcyjną matematykę i przejdziemy do rzeczy wokół nas - tak, wydawałoby się, proste i zrozumiałe.

Obiekty fraktalne w przyrodzie

Linia brzegowa

Wyobraź sobie, że fotografujesz wyspę, taką jak Wielka Brytania, z orbity okołoziemskiej. Otrzymasz taki sam obraz jak na mapie geograficznej. Gładki zarys wybrzeża, ze wszystkich stron - morze.

Znalezienie długości linii brzegowej jest bardzo proste. Weź zwykłą nitkę i ostrożnie ułóż ją wzdłuż granic wyspy. Następnie zmierz jego długość w centymetrach i pomnóż otrzymaną liczbę przez skalę mapy - na jednym centymetrze jest kilka kilometrów. Oto wynik.

A teraz kolejny eksperyment. Lecisz samolotem z lotu ptaka i fotografujesz wybrzeże. Okazuje się, że obraz jest podobny do zdjęć z satelity. Ale ta linia brzegowa jest wcięta. Na Twoich zdjęciach pojawiają się małe zatoki, zatoki, fragmenty lądu wystające w morze. Wszystko to prawda, ale nie było widać z satelity. Struktura linii brzegowej staje się coraz bardziej złożona.

Powiedzmy, że po powrocie do domu stworzyłeś szczegółową mapę wybrzeża na podstawie swoich zdjęć. Postanowiliśmy zmierzyć jego długość za pomocą tego samego wątku, układając go ściśle według nowych otrzymanych danych. Nowa wartość długości linii brzegowej przekroczy starą. I znaczące. To jest intuicyjnie jasne. W końcu teraz twoja nić powinna krążyć wokół brzegów wszystkich zatok i zatok, a nie tylko iść wzdłuż wybrzeża.

Notatka. Oddaliliśmy się i sprawy stały się o wiele bardziej złożone i zagmatwane. Jak fraktale.

A teraz kolejna iteracja. Idziesz wzdłuż tego samego wybrzeża. I napraw relief linii brzegowej. Okazuje się, że brzegi zatok i zatok, które fotografowałeś z samolotu wcale nie są tak gładkie i proste, jak myślałeś na zdjęciach. Mają złożoną strukturę. I tak, jeśli zmapujesz tę „pieszą” linię brzegową, będzie rosła jeszcze dłużej.

Tak, w naturze nie ma nieskończoności. Ale jest całkiem jasne, że linia brzegowa jest typowym fraktalem. Pozostaje taka sama, ale jej struktura staje się coraz bardziej złożona, gdy przyjrzysz się bliżej (pomyśl o przykładzie mikroskopu).

To naprawdę niesamowite zjawisko. Przywykliśmy do tego, że każdy obiekt geometryczny ograniczony rozmiarami na płaszczyźnie (kwadrat, trójkąt, koło) ma ustaloną i skończoną długość swoich granic. Ale tutaj wszystko jest inne. Długość linii brzegowej w limicie okazuje się nieskończona.

Drewno

Wyobraźmy sobie drzewo. Zwykłe drzewo. Jakaś luźna lipa. Spójrzmy na jej kufer. wokół korzenia. Jest to lekko zdeformowany cylinder. Tych. ma bardzo prostą formę.

Podnieśmy oczy. Gałęzie zaczynają wychodzić z pnia. Każda gałąź ma na początku taką samą budowę jak pień - pod względem geometrii cylindryczny. Ale zmieniła się struktura całego drzewa. Stało się to znacznie bardziej złożone.

Spójrzmy teraz na te gałęzie. Wychodzą od nich mniejsze gałęzie. U ich podstawy mają ten sam lekko zdeformowany cylindryczny kształt. Jak ten sam bagażnik. A potem odchodzą od nich znacznie mniejsze gałęzie. Itp.

Drzewo rozmnaża się na każdym poziomie. Jednocześnie jego struktura staje się coraz bardziej złożona, ale pozostaje do siebie podobna. Czy to nie fraktal?

Krążenie

Oto ludzki układ krążenia. Ma również strukturę fraktalną. Są tętnice i żyły. Według jednej z nich krew dociera do serca (żyły), według innych z niego (tętnice). I wtedy układ krążenia zaczyna przypominać to samo drzewo, o którym mówiliśmy powyżej. Naczynia, zachowując swoją strukturę, stają się cieńsze i bardziej rozgałęzione. Wnikają w najodleglejsze obszary naszego ciała, dostarczają tlen i inne ważne składniki do każdej komórki. Jest to typowa struktura fraktalna, która reprodukuje się w coraz mniejszych skalach.

Odpływy rzeczne

„Z daleka Wołga płynie przez długi czas”. Na mapie geograficznej to taka niebieska kręta linia. Cóż, główne dopływy są zaznaczone. Dobra, Kama. Co się stanie, jeśli oddalimy się? Okazuje się, że te dopływy są znacznie większe. Nie tylko w pobliżu samej Wołgi, ale także w pobliżu Oka i Kama. I mają własne dopływy, tylko mniejsze. A te mają swoje. Powstaje struktura zaskakująco podobna do układu krążenia człowieka. I znowu pojawia się pytanie. Jaki jest zasięg tego całego systemu wodnego? Jeśli zmierzysz długość tylko głównego kanału, wszystko jest jasne. Możesz to przeczytać w każdym podręczniku. A jeśli wszystko jest mierzone? Ponownie, w limicie uzyskuje się nieskończoność.

Nasz Wszechświat

Oczywiście w skali miliardów lat świetlnych Wszechświat jest ułożony jednorodnie. Ale przyjrzyjmy się temu bliżej. A potem zobaczymy, że nie ma w tym jednorodności. Gdzieś są galaktyki (gromady gwiazd), gdzieś jest pustka. Czemu? Dlaczego dystrybucja materii podlega nieregularnym prawom hierarchicznym. A co dzieje się w galaktykach (kolejne pomniejszenie). Gdzieś jest więcej gwiazd, gdzieś mniej. Gdzieś istnieją układy planetarne, jak w naszym Układzie Słonecznym, ale gdzieś nie.

Czy nie manifestuje się tutaj fraktalna esencja świata? Oczywiście istnieje ogromna przepaść między ogólną teorią względności, która wyjaśnia powstanie naszego wszechświata i jego struktury, a matematyką fraktalną. Ale kto wie? Być może to wszystko kiedyś zostanie sprowadzone do „wspólnego mianownika” i zupełnie innymi oczami spojrzymy na otaczającą nas przestrzeń.

Do spraw praktycznych

Można przytoczyć wiele takich przykładów. Wróćmy jednak do bardziej prozaicznych rzeczy. Weźmy na przykład ekonomię. Wydawałoby się, a tutaj fraktale. Okazuje się, że bardzo. Przykładem tego są giełdy.

Praktyka pokazuje, że procesy gospodarcze są często chaotyczne i nieprzewidywalne. Istniejące do dziś modele matematyczne, które próbowały opisać te procesy, nie uwzględniały jednego bardzo ważnego czynnika – zdolności rynku do samoorganizacji.

Tu z pomocą przychodzi teoria fraktali, które mają właściwości „samoorganizacji”, odtwarzając się na poziomie różnych skal. Oczywiście fraktal jest obiektem czysto matematycznym. A w naturze iw gospodarce nie istnieją. Ale istnieje pojęcie zjawisk fraktalnych. Są fraktalami tylko w sensie statystycznym. Niemniej jednak symbioza matematyki fraktalnej i statystyki umożliwia uzyskanie wystarczająco dokładnych i adekwatnych prognoz. Takie podejście jest szczególnie skuteczne w analizie rynków akcji. I to nie są „pojęcia” matematyków. Z danych ekspertów wynika, że ​​wielu uczestników giełdy wydaje duże pieniądze na opłacenie specjalistom z dziedziny matematyki fraktalnej.

Co daje teoria fraktali? Postuluje ogólną, globalną zależność cen od tego, co wydarzyło się w przeszłości. Oczywiście lokalnie proces wyceny jest losowy. Jednak przypadkowe skoki i spadki cen, które mogą wystąpić chwilowo, mają tę właściwość, że gromadzą się w skupiskach. Które są reprodukowane na dużą skalę czasu. Dlatego analizując to, co kiedyś było, możemy przewidzieć, jak długo potrwa ten lub inny trend rozwojowy rynku (wzrost lub spadek).

Tak więc w skali globalnej ten lub inny rynek „reprodukuje się” sam. Zakładając losowe fluktuacje spowodowane masą czynników zewnętrznych w każdym konkretnym momencie czasu. Ale globalne trendy utrzymują się.

Wniosek

Dlaczego świat jest uporządkowany według zasady fraktalnej? Być może odpowiedzią jest to, że fraktale, jako model matematyczny, mają właściwość samoorganizacji i samopodobieństwa. Jednocześnie każda z ich form (patrz zdjęcia podane na początku artykułu) jest dowolnie złożona, ale żyje własnym życiem, rozwijając podobne do siebie formy. Czy nie tak działa nasz świat?

A oto społeczeństwo. Pojawia się jakiś pomysł. Na początku dość abstrakcyjne. A potem „przenika masy”. Tak, to się jakoś zmienia. Ale ogólnie jest zachowany. I zmienia się na poziomie większości ludzi w wyznaczenie celu ścieżki życia. Oto ten sam ZSRR. Kolejny zjazd KPZR przyjął kolejne przełomowe decyzje i wszystko się pogorszyło. Na mniejszą skalę. Komitety miejskie, komitety partyjne. I tak dalej dla każdej osoby. powtarzająca się struktura.

Oczywiście teoria fraktalna nie pozwala nam przewidywać przyszłych wydarzeń. A to jest prawie niemożliwe. Ale wiele z tego, co nas otacza i co dzieje się w naszym codziennym życiu, pozwala nam patrzeć zupełnie innymi oczami. Przytomny.

Natknąłem się na wzmiankę o "Teorii fraktali" w serialu "Jeremiasz" i zainteresowałem się tą dość elegancką teorią, którą współcześni metafizycy używają do udowodnienia istnienia Boga. Teoria fraktali ma bardzo młody wiek. Pojawił się pod koniec lat sześćdziesiątych na skrzyżowaniu matematyki, informatyki, językoznawstwa i biologii. W tym czasie komputery coraz częściej penetrowały ludzkie życie, naukowcy zaczęli je wykorzystywać w swoich badaniach, a liczba użytkowników komputerów rosła. Do masowego wykorzystania komputerów konieczne stało się usprawnienie procesu komunikacji między człowiekiem a maszyną. Jeśli na samym początku ery komputerów kilku programistów użytkowników bezinteresownie wprowadzało polecenia w kodach maszynowych i uzyskiwało wyniki w postaci niekończących się wstęg papieru, to przy masywnym i obciążonym trybie korzystania z komputerów konieczne stało się wymyślenie programowania język, który byłby zrozumiały dla maszyny, a jednocześnie łatwy do nauczenia i używania. Oznacza to, że użytkownik musiałby wprowadzić tylko jedno polecenie, a komputer rozłożyłby je na prostsze i już by je wykonał. Aby ułatwić pisanie tłumaczy, na styku informatyki i językoznawstwa powstała teoria fraktali, co pozwala na ścisłe określenie relacji między językami algorytmicznymi. A duński matematyk i biolog A. Lindenmeer wymyślił jedną taką gramatykę w 1968 roku, którą nazwał systemem L, który, jak sądził, modeluje również wzrost żywych organizmów, w szczególności tworzenie krzewów i gałęzi w roślinach.

Fraktal (łac. fractus - zmiażdżony, złamany, złamany) to złożona figura geometryczna, która ma właściwość samopodobieństwa, to znaczy składa się z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury jako całości. W szerszym sensie fraktale rozumiane są jako zbiory punktów w przestrzeni euklidesowej, które mają ułamkowy wymiar metryczny (w sensie Minkowskiego lub Hausdorffa) lub wymiar metryczny ściśle większy niż wymiar topologiczny. Fraktalowa forma podgatunku kalafiora (Brassica cauliflora). Fraktal to nieskończenie samopodobna figura geometryczna, której każdy fragment powtarza się po oddaleniu.

Benoit Mandelbrot może być słusznie uważany za ojca fraktali. Mandelbrot jest wynalazcą terminu „fraktal”. Mandelbrot
pisał: „ukułem słowo „fraktal”, opierając się na łacińskim przymiotniku „fractus”, oznaczającym nieregularny, rekurencyjny,
fragmentaryczny. Pierwszą definicję fraktali podał także B. Mandelbrot. Rysunek przedstawia tylko klasyczny model fraktalny - zestaw Mandelbrota.

Mówiąc prymitywnie, teoria fraktalna to zdolność struktur chaotycznych do samoorganizacji w system. Atraktor to zbiór stanów (a dokładniej punktów przestrzeni fazowej) układu dynamicznego, do którego dąży z biegiem czasu. Najprostsze warianty atraktora to atrakcyjny punkt stały (np. w zagadnieniu wahadła z tarciem) i trajektoria okresowa (przykładem są oscylacje samowzbudne w pętli dodatniego sprzężenia zwrotnego), ale są też znacznie bardziej złożone przykłady. Niektóre układy dynamiczne są zawsze chaotyczne, ale w większości przypadków chaotyczne zachowanie obserwuje się tylko wtedy, gdy parametry układu dynamicznego należą do jakiejś specjalnej podprzestrzeni.

Najciekawsze są przypadki zachowania chaotycznego, kiedy duży zestaw warunków początkowych prowadzi do zmiany orbit atraktora. Łatwym sposobem zademonstrowania chaotycznego atraktora jest rozpoczęcie od punktu w regionie przyciągania atraktora, a następnie wykreślenie jego kolejnej orbity. Ze względu na stan topologicznej przechodniości jest to podobne do odwzorowania obrazu kompletnego skończonego atraktora. Na przykład w systemie opisującym wahadło przestrzeń jest dwuwymiarowa i składa się z danych dotyczących położenia i prędkości. Możesz wykreślić pozycje wahadła i jego prędkość. Pozycja wahadła w spoczynku będzie punktem, a jeden okres oscylacji będzie wyglądał na wykresie jak prosta zamknięta krzywa. Wykres w postaci zamkniętej krzywej nazywamy orbitą. Wahadło ma nieskończoną liczbę takich orbit, tworząc z wyglądu zbiór zagnieżdżonych elips.

Większość rodzajów ruchu opisuje proste atraktory, które są cyklami ograniczonymi. Ruch chaotyczny jest opisywany przez dziwne atraktory, które są bardzo złożone i mają wiele parametrów. Na przykład prosty trójwymiarowy system pogodowy jest opisany przez słynny atraktor Lorenza, jeden z najsłynniejszych diagramów systemów chaotycznych, nie tylko dlatego, że był jednym z pierwszych, ale także dlatego, że jest jednym z najbardziej złożonych. Innym takim atraktorem jest mapa Rösslera, która ma podwójny okres, podobnie jak mapa logistyczna. Dziwne atraktory pojawiają się w obu systemach, zarówno w ciągłych systemach dynamicznych (takich jak system Lorentza), jak iw niektórych dyskretnych (np. mapy Hénona). Niektóre dyskretne układy dynamiczne są nazywane układami Julii od pochodzenia. Zarówno dziwne atraktory, jak i systemy Julii mają typową strukturę rekurencyjną, fraktalną. Twierdzenie Poincare-Bendixsona dowodzi, że dziwny atraktor może powstać w ciągłym układzie dynamicznym tylko wtedy, gdy ma trzy lub więcej wymiarów. Jednak to ograniczenie nie działa w przypadku dyskretnych systemów dynamicznych. Dyskretne systemy dwu-, a nawet jednowymiarowe mogą mieć dziwne atraktory. Ruch trzech lub więcej ciał doświadczających przyciągania grawitacyjnego w określonych warunkach początkowych może okazać się ruchem chaotycznym.

Tak więc właściwość systemów chaotycznych do samoorganizacji za pomocą nieregularnych atraktorów, zdaniem niektórych matematyków, jest nie do udowodnienia dowodem na istnienie Boga i Jego energii stworzenia wszystkich rzeczy. Tajemnica!