Chwila władzy jest krótka. Statyka

W fizyce rozważanie problemów z ciałami wirującymi lub układami będącymi w równowadze odbywa się za pomocą pojęcia „moment siły”. W tym artykule rozważymy wzór na moment siły, a także jego zastosowanie do rozwiązywania określonego rodzaju problemów.

w fizyce

Jak wspomniano we wstępie, w tym artykule skupimy się na systemach, które mogą obracać się wokół osi lub wokół punktu. Rozważ przykład takiego modelu, pokazany na poniższym rysunku.

Widzimy, że szara dźwignia jest zamocowana na osi obrotu. Na końcu dźwigni znajduje się czarny sześcian o pewnej masie, na który działa siła (czerwona strzałka). Intuicyjnie jest jasne, że efektem tej siły będzie obrót dźwigni wokół osi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Moment siły jest wielkością w fizyce, która jest równa iloczynowi wektorowemu promienia łączącego oś obrotu i punkt przyłożenia siły (zielony wektor na rysunku) oraz samej siły zewnętrznej. Oznacza to, że siły wokół osi są zapisane w następujący sposób:

Wynikiem tego produktu jest wektor M¯. Jej kierunek wyznacza się na podstawie znajomości czynników wektorowych, czyli r¯ i F¯. Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, M¯ musi być prostopadłe do płaszczyzny utworzonej przez wektory r¯ i F¯ i skierowane zgodnie z regułą prawej ręki (jeżeli cztery palce prawej ręki są umieszczone wzdłuż pierwszy pomnożony wektor pod koniec drugiego, a następnie kciuk wskaże, gdzie skierowany jest żądany wektor). Na rysunku widać, gdzie skierowany jest wektor M¯ (niebieska strzałka).

notacja skalarna

Na rysunku w poprzednim akapicie siła (czerwona strzałka) działa na dźwignię pod kątem 90 o. W ogólnym przypadku można go jednak nakładać pod absolutnie dowolnym kątem. Rozważ obraz poniżej.

Tutaj widzimy, że siła F już działa na dźwignię L pod pewnym kątem Φ. Dla tego układu wzór na moment siły względem punktu (pokazanego strzałką) w postaci skalarnej przyjmie postać:

M = L * F * grzech (Φ)

Z wyrażenia wynika, że ​​moment siły M będzie tym większy, im bliższy jest kierunek działania siły F do kąta 90 o względem L. Przeciwnie, jeśli F działa wzdłuż L, to grzech ( 0) = 0, a siła nie tworzy żadnego momentu ( M = 0).

Rozważając moment siły w postaci skalarnej, często używa się pojęcia „dźwigni siły”. Wartość ta jest odległością między osią (punktem obrotu) a wektorem F. Stosując tę ​​definicję do powyższego rysunku, możemy powiedzieć, że d = L * sin (Φ) jest dźwignią siły (równość wynika z definicji funkcja trygonometryczna „sinus”). Za pomocą dźwigni siły wzór na moment M można przepisać w następujący sposób:

Fizyczne znaczenie wielkości M

Rozważana wielkość fizyczna określa zdolność siły zewnętrznej F do wywierania efektu obrotowego na układ. Aby wprowadzić ciało w ruch obrotowy, należy mu nadać chwilę M.

Doskonałym przykładem tego procesu jest otwieranie lub zamykanie drzwi do pokoju. Chwytając za klamkę, osoba podejmuje wysiłek i obraca drzwi na zawiasach. Każdy może to zrobić. Jeśli spróbujesz otworzyć drzwi, działając na nie w pobliżu zawiasów, będziesz musiał dołożyć wszelkich starań, aby przenieść je z miejsca.

Innym przykładem jest poluzowanie nakrętki kluczem. Im krótszy jest ten klucz, tym trudniej wykonać zadanie.

O tych cechach świadczy siła nad ramieniem, która została podana w poprzednim akapicie. Jeśli M jest uważane za stałe, to mniejsze d, większe F należy zastosować, aby wytworzyć dany moment siły.

Kilka sił działających w systemie

Powyżej rozważyliśmy przypadki, w których tylko jedna siła F działa na układ zdolny do obrotu, ale co zrobić, gdy takich sił jest kilka? Rzeczywiście, sytuacja ta jest częstsza, ponieważ na system mogą działać siły o różnym charakterze (grawitacyjne, elektryczne, tarcia, mechaniczne i inne). We wszystkich tych przypadkach wypadkowy moment siły M¯ można otrzymać za pomocą sumy wektorowej wszystkich momentów M i ¯, czyli:

M¯ = ∑ i (M i ¯), gdzie i jest liczbą siły F i

Ważny wniosek wynika z właściwości addytywności momentów, którą nazywa się twierdzeniem Varignona, nazwanym na cześć matematyka z przełomu XVII i XVIII wieku, Francuza Pierre'a Varignona. Brzmi on: „Suma momentów wszystkich sił wpływających na rozważany układ może być reprezentowana jako moment jednej siły, który jest równy sumie wszystkich innych i jest przyłożony do pewnego punktu”. Matematycznie twierdzenie można zapisać w następujący sposób:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

To ważne twierdzenie jest często wykorzystywane w praktyce do rozwiązywania problemów dotyczących rotacji i równowagi ciał.

Czy chwila mocy działa?

Analizując powyższe wzory w postaci skalarnej lub wektorowej, możemy dojść do wniosku, że wartość M to trochę pracy. Rzeczywiście, jego wymiar jest równy H*m, co w SI odpowiada dżulowi (J). Tak naprawdę moment siły nie jest dziełem, a jedynie ilością, która jest w stanie go wykonać. Aby tak się stało, konieczny jest ruch okrężny w układzie i działanie długotrwałe M. Dlatego wzór na pracę momentu siły zapisujemy w postaci:

W tym wyrażeniu θ jest kątem, pod jakim obrót został wykonany przez moment siły M. W rezultacie jednostkę pracy można zapisać jako N * m * rad lub J * rad. Na przykład wartość 60 J * rad wskazuje, że przy obrocie o 1 radian (około 1/3 okręgu) siła F tworząca moment M wykonała pracę o wartości 60 dżuli. Wzór ten jest często używany przy rozwiązywaniu problemów w układach, w których działają siły tarcia, co zostanie pokazane poniżej.

Moment siły i moment impulsu

Jak pokazano, oddziaływanie na układ momentu M prowadzi do pojawienia się w nim ruchu obrotowego. Ten ostatni charakteryzuje się wielkością zwaną „momentem pędu”. Można go obliczyć za pomocą wzoru:

Tutaj I jest momentem bezwładności (wielkość, która odgrywa taką samą rolę w obrocie jak masa w ruchu liniowym ciała), ω jest prędkością kątową, jest ona związana z prędkością liniową wzorem ω = v / r.

Oba momenty (pęd i siła) są ze sobą powiązane następującym wyrażeniem:

M = I * α, gdzie α = dω / dt - przyspieszenie kątowe.

Oto kolejna formuła, która jest ważna przy rozwiązywaniu problemów dotyczących pracy momentów sił. Korzystając z tego wzoru, możesz obliczyć energię kinetyczną wirującego ciała. To wygląda tak:

Równowaga kilku ciał

Pierwsze zadanie dotyczy równowagi układu, w którym działa kilka sił. Poniższy rysunek przedstawia system, na który działają trzy siły. Konieczne jest obliczenie, ile masy obiekt musi być zawieszony na tej dźwigni i w jakim momencie należy to zrobić, aby ten układ był w równowadze.

Ze stanu problemu można zrozumieć, że do jego rozwiązania należy posłużyć się twierdzeniem Varignona. Na pierwszą część problemu można odpowiedzieć natychmiast, ponieważ ciężar przedmiotu, który należy zawiesić na dźwigni, będzie równy:

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 N

Znaki wybiera się tutaj biorąc pod uwagę, że siła obracająca dźwignię w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wytwarza moment ujemny.

Położenie punktu d, na którym ciężar ten powinien być zawieszony, oblicza się według wzoru:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m

Zauważ, że korzystając ze wzoru na moment grawitacji, obliczyliśmy równoważną wartość M tej utworzonej przez trzy siły. Aby system był w równowadze, konieczne jest zawieszenie ciała o masie 35 N w punkcie 4,714 m od osi po drugiej stronie ramienia.

Problem z przenoszeniem dysku

Rozwiązanie kolejnego problemu opiera się na wykorzystaniu wzoru na moment tarcia i energię kinetyczną ciała obrotowego. Problem: dany dysk o promieniu r = 0,3 metra, który obraca się z prędkością ω = 1 rad/s. Konieczne jest obliczenie, jaką odległość może przebyć po powierzchni, jeśli współczynnik tarcia tocznego wynosi μ = 0,001.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest skorzystanie z prawa zachowania energii. Mamy początkową energię kinetyczną dysku. Kiedy zaczyna się toczyć, cała ta energia jest zużywana na ogrzewanie powierzchni dzięki działaniu siły tarcia. Zrównując obie wartości, otrzymujemy wyrażenie:

I * ω 2/2 = μ * N / r * r * θ

Pierwsza część wzoru to energia kinetyczna dysku. Druga część to praca momentu tarcia F = μ * N / r przyłożonego do krawędzi tarczy (M = F * r).

Biorąc pod uwagę, że N = m * g i I = 1/2m * r 2, obliczamy θ:

θ = m * r 2 * ω 2 / (4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 / (4 * μ * g) = 0,3 2 * 1 2 / (4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 zadowolony

Ponieważ radiany 2pi odpowiadają długości 2pi * r, otrzymujemy, że pożądana odległość, jaką dysk przejedzie, to:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m lub około 69 cm

Zauważ, że na ten wynik nie ma wpływu masa dysku.

Reguła dźwigni, odkryta przez Archimedesa w III wieku p.n.e., istniała przez prawie dwa tysiące lat, aż w XVII wieku lekką ręką francuskiego naukowca Varignona uzyskała bardziej ogólną formę.

Zasada chwili

Wprowadzono pojęcie momentu sił. Moment siły jest wielkością fizyczną równą iloczynowi siły na jej ramieniu:

gdzie M jest momentem siły,
F - siła,
Jestem ramieniem siły.

Z zasady równowagi dźwigni bezpośrednio zasada momentów sił jest następująca:

F1 / F2 = l2 / l1 lub, zgodnie z właściwością proporcji F1 * l1 = F2 * l2, czyli M1 = M2

W wypowiedzi słownej zasada momentów sił brzmi następująco: dźwignia znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił, jeżeli moment siły obracającej ją zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły obracającej ją przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Reguła momentów sił obowiązuje dla każdego ciała unieruchomionego wokół stałej osi. W praktyce moment siły znajduje się następująco: w kierunku działania siły rysowana jest linia działania siły. Następnie od punktu, w którym znajduje się oś obrotu, rysowana jest prostopadła do linii działania siły. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Mnożąc wartość modułu siły przez jego ramię otrzymujemy wartość momentu siły względem osi obrotu. Oznacza to, że widzimy, że moment siły charakteryzuje obracające się działanie siły. Działanie siły zależy zarówno od samej siły, jak i jej ramienia.

Zastosowanie zasady momentów sił w różnych sytuacjach

Stąd zastosowanie zasady momentów sił w różnych sytuacjach. Na przykład, jeśli otworzymy drzwi, to odepchniemy je w okolicy klamki, czyli z dala od zawiasów. Możesz przeprowadzić elementarny eksperyment i upewnić się, że drzwiczki łatwiej pchnąć, im dalej przyłożymy siłę od osi obrotu. Praktyczny eksperyment w tym przypadku jest bezpośrednio potwierdzony wzorem. Ponieważ, aby momenty sił na różnych barkach były równe, konieczne jest, aby większe ramię odpowiadało mniejszej sile i odwrotnie, większe odpowiada mniejszemu barkowi. Im bliżej osi obrotu przykładamy siłę, tym powinna być większa. Im dalej od osi działamy dźwignią, obracając ciałem, tym mniej siły będziemy musieli przyłożyć. Wartości liczbowe można łatwo znaleźć ze wzoru na regułę chwil.

To właśnie na zasadzie momentów sił bierzemy łom lub długi kij, jeśli musimy podnieść coś ciężkiego i kładąc jeden koniec pod obciążeniem, ściągamy łom blisko drugiego końca. Z tego samego powodu wkręcamy śruby długim śrubokrętem, a nakrętki dokręcamy długim kluczem.

Moment siły wokół osi lub po prostu moment siły nazywamy rzutem siły na linię prostą, która jest prostopadła do promienia i narysowana w punkcie przyłożenia siły pomnożona przez odległość od tego punktu do oś. Albo iloczyn siły na ramieniu jego zastosowania. Ramię w tym przypadku to odległość od osi do punktu przyłożenia siły. Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły na ciało. Oś w tym przypadku jest miejscem mocowania ciała, względem którego może się obracać. Jeśli ciało nie jest zamocowane, środek masy można uznać za oś obrotu.

Formuła 1 - Moment mocy.

F - Siła działająca na ciało.

r - Siła barku.

Rysunek 1 - Moment siły.

Jak widać na rysunku, ramię siły to odległość od osi do punktu przyłożenia siły. Ale dzieje się tak, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. Jeśli tak nie jest, konieczne jest narysowanie linii wzdłuż działania siły i opuszczenie prostopadłej do niej od osi. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. A ruch punktu przyłożenia siły wzdłuż kierunku siły nie zmienia jej momentu.

Uważa się, że jest to dodatni moment siły, który powoduje, że ciało obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem punktu obserwacji. I odpowiednio ujemną, powodując rotację przeciwko niemu. Moment siły mierzony jest w niutonach na metr. Jeden Newtonometr to siła 1 Newtona działająca na ramię 1 metra.

Jeśli siła działająca na ciało przebiega wzdłuż linii przechodzącej przez oś obrotu ciała lub środek masy, jeśli ciało nie ma osi obrotu. Ten moment siły w tym przypadku będzie równy zero. Ponieważ ta siła nie spowoduje obrotu ciała, ale po prostu przesunie je translacyjnie wzdłuż linii przyłożenia.

Rysunek 2 - Moment siły jest równy zero.

Jeżeli na ciało działa kilka sił, to moment siły będzie zależał od ich wypadkowej. Na przykład na ciało mogą działać dwie siły o równej wielkości i skierowane przeciwnie. W takim przypadku całkowity moment siły będzie równy zero. Ponieważ te siły będą się kompensować. Mówiąc prościej, wyobraź sobie karuzelę dla dzieci. Jeśli jeden chłopiec pchnie go zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugi z taką samą siłą, karuzela pozostanie nieruchoma.

Chwila mocy w stosunku do dowolnego środka w płaszczyźnie działania siły, nazywana jest iloczynem modułu siły na ramieniu.

Ramię- najkrótsza odległość od środka O do linii działania siły, ale nie do punktu przyłożenia siły, ponieważ wektor przesuwający się siłą.

Znak chwili:

Minus w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, plus w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara;

Moment siły można wyrazić jako wektor. Jest to prostopadłe do płaszczyzny zgodnie z regułą Gimleta.

Jeśli na płaszczyźnie znajduje się kilka sił lub układ sił, to algebraiczna suma ich momentów da nam Głównym punktem układy sił.

Rozważ moment siły wokół osi, oblicz moment siły wokół osi Z;

Projekt F na XY;

Fxy = F cosα= ab

m 0 (F xy) = m z (F), czyli m z = F xy * h= F cosα* h

Moment siły wokół osi jest równy momentowi jej rzutu na płaszczyznę prostopadłą do osi, wziętym na przecięciu osi i płaszczyzny

Jeżeli siła jest równoległa do osi lub przecina ją, to m z (F) = 0

Wyrażenie momentu siły w postaci wyrażenia wektorowego

Narysuj r a do punktu A. Rozważ OA x F.

To jest trzeci wektor m o, prostopadły do ​​płaszczyzny. Moduł iloczynu poprzecznego można obliczyć przy użyciu dwukrotnej powierzchni zacieniowanego trójkąta.

Wyrażenie analityczne siły względem osi współrzędnych.

Załóżmy, że osie Y i Z, X z wektorami jednostkowymi i, j, k są połączone z punktem O. Biorąc pod uwagę, że:

r x = X * Fx; r y = Y * F y; r z = Z * F y otrzymujemy: m o (F) = x =

Rozwińmy wyznacznik i uzyskajmy:

m x = YF z - ZF y

m y = ZF x - XF z

mz = XF y - YF x

Wzory te umożliwiają obliczenie rzutu momentu wektorowego na oś, a następnie samego momentu wektorowego.

Twierdzenie Varignona o momencie wypadkowej

Jeżeli układ sił ma wypadkową, to jego moment względem dowolnego środka jest równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił względem tego punktu

Jeśli zastosujemy Q = -R, to układ (Q, F 1… F n) będzie równy równowadze.

Suma momentów względem dowolnego środka będzie równa zeru.

Warunek analityczny równowagi płaskiego układu sił

Jest to płaski układ sił, którego linie działania znajdują się w jednej płaszczyźnie.

Celem liczenia tego typu problemów jest określenie reakcji relacji zewnętrznych. W tym celu wykorzystuje się podstawowe równania w płaskim układzie sił.

Można zastosować 2 lub 3 równania momentów.

Przykład

Zróbmy równanie na sumę wszystkich sił na osiach X i Y:

Suma momentów wszystkich sił względem punktu A:

Siły równoległe

Równanie względem punktu A:

Równanie dotyczące punktu B:

Suma rzutów sił na oś Y.

Co jest równe iloczynowi siły na jej ramieniu.

Moment siły oblicza się ze wzoru:

gdzie F- moc, ja- ramię siły.

Ramię siły to najkrótsza odległość od linii działania siły do ​​osi obrotu ciała. Poniższy rysunek przedstawia bryłę sztywną, która może się obracać wokół osi. Oś obrotu tego ciała jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i przechodzi przez punkt oznaczony literą O. Siła ramienia F t tutaj jest odległość ja, od osi obrotu do linii działania siły. Zdefiniuj to w ten sposób. Pierwszym krokiem jest narysowanie linii działania siły, a następnie z punktu O, przez który przechodzi oś obrotu ciała, na linię działania siły opuszcza się pion. Długość tego prostopadłego okazuje się być ramieniem danej siły.

Moment siły charakteryzuje obracające się działanie siły. To działanie zależy zarówno od siły, jak i barku. Im większe ramię, tym mniej siły należy przyłożyć, aby uzyskać pożądany rezultat, czyli ten sam moment siły (patrz rysunek powyżej). Dlatego o wiele trudniej otworzyć drzwi, naciskając je w pobliżu zawiasów, niż chwytając za klamkę, a nakrętkę znacznie łatwiej odkręcić długim kluczem niż krótkim.

Jednostką momentu siły w SI jest moment siły 1 N, którego ramię jest równe 1 m - niutonometr (N · m).

Zasada chwili.

Ciało sztywne, które może obracać się wokół stałej osi, jest w równowadze, jeśli moment siły M 1 obracanie go zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest równe momentowi siły m 2 który obraca go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

Reguła momentów jest konsekwencją jednego z twierdzeń mechaniki, które sformułował francuski naukowiec P. Varignon w 1687 roku.

Kilka sił.

Jeżeli na ciało działają 2 równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na jednej prostej, to ciało takie nie jest w równowadze, ponieważ moment wypadkowy tych sił względem dowolnej osi nie jest zerowy, gdyż obie siły momenty skierowane w tym samym kierunku... Nazywa się dwie takie siły działające jednocześnie na ciało z kilkoma siłami... Jeśli ciało jest zamocowane na osi, obraca się pod działaniem pary sił. Jeżeli do „ciała swobodnego” przyłożona zostanie para sił, to obróci się ono wokół osi. przechodzący przez środek ciężkości ciała, figura b.

Moment pary sił jest taki sam wokół dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Moment skumulowany m para jest zawsze równa iloczynowi jednej z sił F z dystansu ja między siłami zwanymi para ramion, bez względu na segmenty ja i dzieli pozycję osi z ramieniem pary:

Moment kilku sił, których wypadkowa jest równa zero, będzie taki sam w odniesieniu do wszystkich osi równoległych do siebie, dlatego działanie wszystkich tych sił na ciało można zastąpić działaniem jednej pary siły w tym samym momencie.