Wektory mogą być reprezentowane graficznie za pomocą linii kierunkowych. Długość jest wybierana zgodnie z określoną skalą, aby wskazać wielkość wektora , a kierunek odcinka linii to kierunek wektora ... Na przykład, jeśli założymy, że 1 cm reprezentuje 5 km/h, to wiatr północno-wschodni o prędkości 15 km/h będzie reprezentowany przez segment kierunkowy o długości 3 cm, jak pokazano na rysunku.

Wektor na płaszczyźnie jest to segment skierowany. Dwa wektory są równe jeśli mają to samo ogrom oraz kierunek.

Rozważ wektor narysowany od punktu A do punktu B. Punkt nazywa się punkt początkowy wektor, a punkt B nazywa się punkt końcowy... Symboliczny zapis tego wektora to (czytaj jako „wektor AB”). Wektory są również oznaczone pogrubionymi literami, takimi jak U, V i W. Cztery wektory na rysunku po lewej mają tę samą długość i kierunek. Dlatego reprezentują równy weterani; tj,

W kontekście wektorów używamy =, aby wskazać ich równość.

Długość lub ogrom wyrażona jako ||. Aby określić, czy wektory są równe, znajdujemy ich moduły i kierunki.

Przykład 1 Wektory u,, w pokazano na poniższym rysunku. Udowodnij, że u = = w.

Rozwiązanie Najpierw obliczamy długość każdego wektora, korzystając ze wzoru na odległość:
| u | = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
| w | = √ (4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10.
Stąd
| u | = | = |w |.
Wektory u, i w, jak widać na rysunku, wydają się mieć ten sam kierunek, ale sprawdzimy ich nachylenie. Jeśli linie, na których się znajdują, mają te same nachylenia, wektory mają ten sam kierunek. Obliczamy stoki:
Ponieważ u, i w są równej wielkości i w tym samym kierunku,
u = = w.

Pamiętaj, że równość wektorów wymaga tylko tej samej wielkości i tego samego kierunku, a nie bycia w jednym miejscu. Najwyższy rysunek pokazuje przykład równości wektorów.

Załóżmy, że osoba robi 4 kroki na wschód, a następnie 3 kroki na północ. Osoba będzie wtedy znajdowała się 5 kroków od punktu początkowego w kierunku pokazanym po lewej stronie. Wektor o długości 4 jednostek i kierunku w prawo oznacza 4 kroki na wschód, a wektor o długości 3 jednostek w kierunku do góry oznacza 3 kroki na północ. Suma te dwa wektory są wektorami o krokach 5 wielkości i we wskazanym kierunku. Kwota jest również nazywana wynikowy dwa wektory.

Ogólnie rzecz biorąc, dwa niezerowe wektory u i v można dodać geometrycznie, umieszczając punkt początkowy wektora v w punkcie końcowym wektora u, a następnie znajdując wiatr, który ma taki sam punkt początkowy jak wektor u i ten sam koniec punkt jako wektor v, jak pokazano na poniższym rysunku.

Suma jest wektorem reprezentowanym przez skierowany segment od punktu A wektora u do punktu końcowego C wektora v. Tak więc, jeśli u = i v =, to
u + v = + =

Możemy również opisać dodawanie wektorów jako umieszczanie punktów początkowych wektorów razem, rysowanie równoległoboku i znajdowanie przekątnej równoległoboku. (na zdjęciu poniżej.) Ten dodatek jest czasami określany jako reguła równoległoboku dodawanie wektorów. Dodawanie wektorów jest przemienne. Jak pokazano na rysunku, oba wektory u + v i v + u są reprezentowane przez ten sam segment kierunkowy.

Jeżeli na jeden obiekt działają dwie siły F 1 i F 2, wynikowy siła to suma F 1 + F 2 tych dwóch oddzielnych sił.

Przykład Dwie siły 15 niutonów i 25 niutonów działają na jeden obiekt prostopadle do siebie. Znajdź ich sumę lub wynikową siłę i kąt, który tworzy z większą siłą.

Rozwiązanie Narysujmy opis problemu, w tym przypadku prostokąt, używając v lub do reprezentowania wypadkowej. Aby znaleźć jego wartość, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
|v | 2 = 15 2 + 25 2 Tutaj |v | oznacza długość lub wielkość v.
|v | = √15 2 + 25 2
|v | ≈ 29.2.
Aby znaleźć kierunek, zauważ, że ponieważ OAB jest kątem prostym,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Korzystając z kalkulatora, znajdujemy θ, kąt, który tworzy większa siła z siłą wypadkową:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31 °
Wypadkowa ma wielkość 29,2 i kąt 31 ° z większą siłą.

Piloci mogą korygować kierunek lotu, jeśli jest boczny wiatr. Wiatr i prędkość samolotu można przedstawić jako wiatry.

Przykład 3. Prędkość i kierunek samolotu. Samolot porusza się w azymucie 100° z prędkością 190 km/h, natomiast prędkość wiatru to 48 km/h, a jego azymut to 220°. Znajdź bezwzględną prędkość samolotu i kierunek jego ruchu, biorąc pod uwagę wiatr.

Rozwiązanie Najpierw narysujmy rysunek. Prezentowany jest wiatr i wektor prędkości samolotu. Otrzymany wektor prędkości to v, suma dwóch wektorów. Kąt θ między v nazywa się kąt dryfu .


Zauważ, że wartość COA wynosi 100 ° - 40 ° = 60 °. Wtedy wartość CBA również wynosi 60° (przeciwne kąty równoległoboku są równe). Ponieważ suma wszystkich kątów równoległoboku wynosi 360 °, a COB i OAB mają tę samą wielkość, każdy musi wynosić 120 °. Za pomocą reguła cosinusa w OAB mamy
|v | 2 = 48 2 + 190 2 - 2,48,190.cos120 °
|v | 2 = 47,524
|v | = 218
Wtedy |v | wynosi 218 km/h. Według zasada sinus , w tym samym trójkącie,
48 / grzechθ = 218 / grzech 120 °,
lub
grzechθ = 48.grzech120 ° / 218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11 °
Następnie θ = 11 °, do najbliższej liczby całkowitej. Prędkość bezwzględna wynosi 218 km/h, a kierunek jej ruchu z uwzględnieniem wiatru: 100° - 11°, czyli 89°.

Mając wektor w, możemy znaleźć dwa inne wektory, u i v, których sumą jest w. Wektory u i v są nazywane składniki w, a proces ich znajdowania nazywa się rozkład , lub reprezentując wektor przez jego komponenty wektora.

Kiedy rozszerzamy wektor, zwykle szukamy składowych prostopadłych. Bardzo często jednak jeden składnik będzie równoległy do ​​osi x, a drugi do osi y. Dlatego często nazywa się je poziomy oraz pionowy składniki wektora. Na poniższym rysunku wektor w = jest rozłożony jako suma u = i v =.

Składowa pozioma w to u, a składowa pionowa to v.

Przykład 4 Wektor w ma wielkość 130 i nachylenie 40 ° w stosunku do poziomu. Rozłóż wektor na składowe poziome i pionowe.

Rozwiązanie Najpierw rysujemy figurę z poziomymi i pionowymi wektorami u i v, których sumą jest w.

Z ABC znajdujemy |u | oraz | v | przy użyciu definicji cosinusa i sinusa:
cos40 ° = |u |/130, lub |u | = 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° = |v |/130 lub |v | = 130.sin40 ° ≈ 84.
Następnie pozioma składowa w wynosi 100 w prawo, a pionowa składowa w 84 w górę.

Ta strona jest poświęcona grupie problemów z geometrii związanych z wektorami i jest kontynuacja seria recenzji zadania geometryczne typowe dla egzaminu i egzaminu z matematyki .
Wersje demonstracyjne Ujednolicony egzamin państwowy 2020 mogą się spotkać pod numerami 8 oraz 15 na poziomie podstawowym i pod numerem 3 dla poziomu profilu. Jeśli nie wykonałeś innych rodzajów tego zadania, skorzystaj z linków na końcu strony.

Uwaga: Aby wzmocnić efekt nauczania odpowiedzi i rozwiązania są ładowane oddzielnie dla każdego zadania poprzez sekwencyjne naciskanie przycisków na żółtym tle. (Gdy jest dużo zadań, przyciski mogą pojawić się z opóźnieniem. Jeśli przyciski w ogóle nie są widoczne, sprawdź, czy Twoja przeglądarka jest dozwolona JavaScript.)

Zadania wektorowe.

Wektor- segment kierunkowy.

Długość segmentu nazywana jest modułem wektora. Dwa wektory są równe, jeśli mają równe moduły i ten sam kierunek.
Wektory są oznaczone małymi literami łacińskimi a, b, c ..., lub określając końce segmentu AB, CD, MN ... Aby odróżnić oznaczenie wektora od oznaczenia prostego segmentu, symbole te są uzupełniane od góry myślnikami lub strzałkami. W tekście drukowanym małe litery łacińskie są często pogrubione.

Jeśli wektor jest oznaczony dwiema literami (końce segmentu), to zawsze na pierwszym miejscu jest początek wektora.

Możesz ustawić wektor na różne sposoby:
1. Graficznie - aby wyświetlić na siatce współrzędnych.
2. Ustaw punkt początkowy i końcowy oraz ich współrzędne.
3. Ustaw długość i kierunek linii. Kierunek jest określony przez kąty z osiami współrzędnych (cosinusy kierunku).
4. Ustaw współrzędne wektora.

Wyjaśnijmy pojęcie współrzędnych wektorowych.

Niech wektor ale na płaszczyźnie ma swój początek w punkcie ALE(x A; tak A) i kończy się w punkcie W(x B; tak B).
Współrzędnymi wektora są liczby
a 1 = x B - x A i a 2 = tak B - tak A.
Zatem wektor a ma współrzędne ( a 1 ;a 2).

Na rysunku wektor AB ma współrzędne (9; 5). Należy pamiętać, że te liczby w rzeczywistości wyznaczają nogi trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna jest segmentem AB... Długość tych nóg nie zmieni się, jeśli przeniesiemy odcinek, a wraz z nim cały trójkąt, poprzez przeniesienie równoległe, w inne miejsce. Współrzędne wektora nie zależą od jego położenia na płaszczyźnie, a jedynie od długości i kierunku segmentu. Jeśli kierunek wektora nie pokrywa się z kierunkiem osi współrzędnych, odpowiednia współrzędna wektora będzie równa długości nogi ze znakiem minus.

Wektory można dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę. W przypadku wektorów zdefiniowane są również specjalne typy mnożenia - iloczyn skalarny, którego wynikiem jest liczba, oraz - iloczyn krzyżowy, którego wynikiem jest wektor. (Iloczyn wektorowy nie jest zawarty w obowiązkowym szkolnym programie nauczania matematyki, ale częściowo znajduje się na lekcjach fizyki, gdzie badane są prawa indukcji pola magnetycznego.) Operacje na wektorach można wykonywać metodą współrzędnych lub graficznie (równoległobok zasada, zasada trójkąta ...). Powtórz te zasady w podręczniku lub podręczniku i wybierz swój „ulubiony”. Przedstawiam rozwiązanie metodą krótszą dla konkretnego zadania.

Dla następnej grupy problemów rysunek w stanie, ogólnie rzecz biorąc, nie jest konieczny. Jeśli rozwiązujesz problemy za pomocą metody współrzędnych, możesz obejść się bez rysunku w rozwiązaniu, a ponadto nie potrzebujesz siatki. Lepiej jednak zawsze robić rysunki, aby uniknąć przypadkowych błędów. A siatka pomaga wizualnie kontrolować Twoją decyzję. Oczywiście, jeśli pozwala na to skala danych.

Problem 1

Dwie strony prostokąta ABCD są równe 6 i 8.
Znajdź długość wektora AC.

Długość wektora AC — równa długości odcinka AC która jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC ze znanymi nogami.
AC 2 = AB 2 + pne 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; AC = 10.

"Geometria" Obszar trapezu "" - Pomyśl. Powierzchnia trapezu. AH =. 1. AD = 4 cm Podstawa. Znajdź obszar trapezu ABCD. Znajdź obszar prostokątnego trapezu. Geometria. Powtórz dowód twierdzenia. Podziel wielokąt na trójkąty. Zadanie z rozwiązaniem.

Wyznaczanie symetrii osiowej - Narysuj punkty A "i B". Symetria osiowa. Postać. Brak współrzędnych. Tworzenie segmentów. Odcinek. Oś symetrii. Symetria w poezji. Budowa trójkąta. Punkty leżące na tej samej prostopadłej. Wykreślanie punktu. Symetria. Trójkąty. Buduj trójkąty. Narysuj punkt. Punkty działki. Kształty z jedną osią symetrii. Prosty. Kształty o dwóch osiach symetrii. Symetria w przyrodzie.

"Cworokąty, ich znaki i właściwości" - Testy. Narożniki rombu. Prostokąt o równych wszystkich bokach. Rodzaje czworokątów. Zapoznanie się z rodzajami czworokątów. Czworokąt, którego wierzchołki znajdują się w środkach boków. czworokąty. Czworoboki, ich znaki i właściwości. Trapez. Równoległobok. Właściwości równoległoboku. Przekątne. Które dwa równe trójkąty można złożyć w kwadrat. Prostokąt. Kwadrat. Rodzaje trapezów.

"Twierdzenie o kątach wpisanych" - Badanie nowego materiału. Kręgi przecinają się. Odpowiadać. Aktualizacja wiedzy uczniów. Sprawdź się. Promień okręgu. Poprawna odpowiedź. Promień koła wynosi 4 cm Zabezpieczenie badanego materiału. Ostry róg. Znajdź kąt między akordami. Trójkąt. Twierdzenie o kątach wpisanych. Pojęcie kąta wpisanego. Znajdź kąt między nimi. Jak nazywa się kąt z wierzchołkiem w środku okręgu. Rozwiązanie. Aktualizacja wiedzy.

„Konstruowanie stycznej do okręgu” - Okrąg. Względne położenie linii prostej i okręgu. Obwód i linia prosta. Średnica. Punkty wspólne. Akord. Rozwiązanie. Okrąg i linia prosta mają jeden wspólny punkt. Linia styczna do okręgu. Powtórzenie. Twierdzenie o odcinku stycznym.

„Geometria podobnych trójkątów” — dwa trójkąty są nazywane trójkątami. Wartości sinus, cosinus i tangens dla kątów 30°, 45°, 60°. Znajdź obszar równoramiennego trójkąta prostokątnego. Twierdzenie o stosunku pól podobnych trójkątów. Podobne trójkąty. Drugi znak podobieństwa trójkątów. Kontynuacja boków. Wartości sinusa, cosinusa i tangensa. Proporcjonalne segmenty linii. Dwa boki trójkąta zostały połączone segmentem nierównoległym do trzeciego.

Rozdział ten poświęcony jest rozwojowi aparatu geometrii wektorowej. Wektorów można używać do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów geometrycznych. Przykłady takiego użycia wektorów podano w tym rozdziale. Ale badanie wektorów jest również przydatne, ponieważ są one szeroko stosowane w fizyce do opisywania różnych wielkości fizycznych, takich jak na przykład prędkość, przyspieszenie, siła.

Wiele wielkości fizycznych, np. siła, ruch punktu materialnego, prędkość, charakteryzuje się nie tylko wartością liczbową, ale także kierunkiem w przestrzeni. Takie wielkości fizyczne nazywane są wielkości wektorowe(lub wkrótce wektory).

Spójrzmy na przykład. Niech na ciało działa siła 8 N. Na rysunku siłę przedstawia segment ze strzałką (ryc. 240). Strzałka wskazuje kierunek siły, a długość segmentu odpowiada wartości liczbowej siły na wybranej skali. Tak więc na rysunku 240 siła 1 N jest przedstawiona przez odcinek o długości 0,6 cm, zatem siła 8 N jest przedstawiona jako odcinek o długości 4,8 cm.

Ryż. 240

Odchodząc od specyficznych właściwości fizycznych wielkości wektorowych, dochodzimy do geometrycznego pojęcia wektora.

Rozważ dowolny segment. Jego końce są również nazywane punkty brzegowe odcinka linii.

Na linii można określić dwa kierunki: od jednego punktu końcowego do drugiego i odwrotnie.

Aby wybrać jeden z tych kierunków, nazywamy jeden punkt brzegowy odcinka początek segmentu a drugi to koniec segmentu i przyjmiemy, że segment jest skierowany od początku do końca.

Definicja

Na rysunkach wektor jest przedstawiony za pomocą odcinka linii ze strzałką wskazującą kierunek wektora. Na przykład wektory są oznaczone dwiema wielkimi literami łacińskimi ze strzałką nad nimi. Pierwsza litera oznacza początek wektora, druga - koniec (ryc. 242).

Ryż. 242

Rysunek 243, pokazuje wektory punkty A, C, E - początek tych wektorów, a B, D, F - ich końce. Wektory są często oznaczane jedną małą literą łacińską ze strzałką nad nią: (ryc. 243, b).

Ryż. 243

W związku z tym wskazane jest uzgodnienie, że dowolny punkt płaszczyzny jest również wektorem. W tym przypadku wektor nazywa się zero... Początek wektora zerowego jest taki sam jak jego koniec. Na rysunku taki wektor jest przedstawiony przez jeden punkt. Jeśli na przykład punkt reprezentujący wektor zerowy jest oznaczony literą M, wówczas ten wektor zerowy można wyznaczyć w następujący sposób: (ryc. 243, a). Wektor zerowy jest również oznaczony symbolem Na rysunku 243 wektory niezerowe, a wektor wynosi zero.

Długość lub moduł wektora niezerowego jest długością odcinka AB. Długość wektora (wektora) oznaczono następująco:. Długość wektora zerowego uważa się za zero:

Długości wektorów pokazane na rysunkach 243, a i 243, 6 są następujące:

(każda komórka na rysunku 243 ma bok równy jednostce miary segmentów).

Równość wektorów

Zanim zdefiniujemy równe wektory, spójrzmy na przykład. Rozważmy ruch ciała, w którym wszystkie jego punkty poruszają się z tą samą prędkością iw tym samym kierunku.

Prędkość każdego punktu M ciała jest wielkością wektorową, więc można ją przedstawić jako odcinek skierowany, którego początek pokrywa się z punktem M (ryc. 244). Ponieważ wszystkie punkty ciała poruszają się z tą samą prędkością, wszystkie skierowane segmenty reprezentujące prędkości tych punktów mają ten sam kierunek i ich długości są równe.

Ryż. 244

Ten przykład mówi nam, jak określić równość wektorów.

Najpierw przedstawiamy pojęcie wektorów współliniowych.

Niezerowe wektory są nazywane współliniowy jeśli leżą na jednej linii prostej lub na liniach równoległych; wektor zerowy jest uważany za współliniowy z dowolnym wektorem.

Na rysunku 245 wektory (wektor zerowy) są współliniowe, a wektory również nie są współliniowe.

Ryż. 245

Jeśli dwa niezerowe wektory i są współliniowe, to mogą być skierowane albo tak samo, albo przeciwnie. W pierwszym przypadku wektory są nazywane współreżyserowany, aw drugim - przeciwnie skierowane 1 .

Współkierunkowość wektorów i jest oznaczona następująco: Jeśli wektory są i są skierowane przeciwnie, to jest to oznaczone następująco: Rysunek 245 pokazuje zarówno wektory współkierunkowe, jak i przeciwnie skierowane:

Początek wektora zerowego pokrywa się z jego końcem, dlatego wektor zerowy nie ma określonego kierunku. Innymi słowy, każdy kierunek można uznać za kierunek wektora zerowego. Przyjmijmy, że wektor zerowy jest współkierunkowy z dowolnym wektorem. Tak więc na rysunku 245 itd.

Niezerowe wektory współliniowe mają właściwości przedstawione na rysunku 246, a–c.




Ryż. 246

Podajmy teraz definicję równych wektorów.

Definicja

Zatem wektory i są równe, jeśli. Równość wektorów i oznaczono następująco:

Opóźnianie wektora od danego punktu

Jeśli punkt A jest początkiem wektora, to mówią, że wektor jest wykreślany z punktu A(ryc. 247). Udowodnijmy następujące stwierdzenie:

z dowolnego punktu M możesz odłożyć wektor równy temu wektorowi, a ponadto tylko jeden.




Ryż. 247

Rzeczywiście, jeśli jest wektorem zerowym, to wymagany wektor jest wektorem. Załóżmy, że wektor jest niezerowy, a punkty A i B są jego początkiem i końcem. Przeciągnij przez punkt M prostą p równoległą do AB (ryc. 248; jeśli M jest punktem prostej AB, to jako prostą p bierzemy samą prostą AB). Na prostej p odkładamy odcinki MN i MN ”, równe odcinkowi AB, i wybieramy z wektorów ten, który jest współkierunkowy z wektorem (w wektorze z rysunku 248). Ten wektor jest pożądanym wektorem równym wektorowi. Z konstrukcji wynika, że ​​istnieje tylko jeden taki wektor.




Ryż. 248

Komentarz

Równe wektory, wykreślone z różnych punktów, są często oznaczane tą samą literą. W ten sposób oznacza się na przykład wektory równych prędkości różnych punktów na rysunku 244. Czasami mówi się, że takie wektory są jednym i tym samym wektorem, ale przesunięte z różnych punktów.

Zadania praktyczne

738. Zaznacz punkty A, B i C, które nie leżą na jednej prostej. Narysuj wszystkie niezerowe wektory, których początek i koniec pokrywają się z dowolnymi dwoma z tych punktów. Zapisz wszystkie wynikowe wektory i wskaż początek i koniec każdego wektora.

739. Po wybraniu odpowiedniej skali narysuj wektory przedstawiające lot samolotu najpierw 300 km na południe od miasta A do B, a następnie 500 km na wschód od miasta B do C. Następnie narysuj wektor przedstawiający ruch od punktu startowego do punkt końcowy.

740. Narysuj wektory tak, aby:

741. Narysuj dwa wektory niewspółliniowe i. Narysuj kilka wektorów: a) współkierunkowe z wektorem; b) współkierunkowy z wektorem; c) przeciwnie skierowane do wektora; d) przeciwnie skierowany do wektora.

742. Narysuj dwa wektory: a) o równej długości i nieliniowe; b) mające równe długości i współkierunkowe; c) o równych długościach i przeciwnie skierowanych. W którym przypadku wektory wynikowe są równe?

Odpowiadać W przypadku b).