Płaszczyzna współrzędnych ze współrzędnymi. Płaszczyzny współrzędnych i wykresy

Matematyka jest dość złożoną nauką. Studiując go, trzeba nie tylko rozwiązywać przykłady i problemy, ale także pracować z różnymi figurami, a nawet płaszczyznami. Jednym z najczęściej używanych w matematyce jest układ współrzędnych na płaszczyźnie. Dzieci uczono, jak prawidłowo z nim pracować przez ponad rok. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, co to jest i jak prawidłowo z nim pracować.

Dowiedzmy się, czym jest ten system, jakie działania możesz z nim wykonać, a także poznaj jego główne cechy i funkcje.

Definicja pojęcia

Płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna, na której określony jest określony układ współrzędnych. Taką płaszczyznę wyznaczają dwie proste przecinające się pod kątem prostym. Punkt przecięcia tych linii jest początkiem współrzędnych. Każdy punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez parę liczb, które nazywane są współrzędnymi.

Na szkolnym kursie matematyki uczniowie muszą dość ściśle pracować z układem współrzędnych - budować na nim figury i punkty, określać, do której płaszczyzny należy dana współrzędna, a także określać współrzędne punktu i zapisywać je lub nazywać. Dlatego porozmawiajmy bardziej szczegółowo o wszystkich cechach współrzędnych. Ale najpierw dotknijmy historii stworzenia, a potem porozmawiamy o tym, jak pracować na płaszczyźnie współrzędnych.

Odniesienie do historii

Pomysły na stworzenie układu współrzędnych pojawiły się w czasach Ptolemeusza. Już wtedy astronomowie i matematycy zastanawiali się, jak nauczyć się wyznaczać położenie punktu na płaszczyźnie. Niestety, w tamtym czasie nie było znanego nam układu współrzędnych, a naukowcy musieli korzystać z innych układów.

Początkowo wyznaczali punkty, określając szerokość i długość geograficzną. Przez długi czas był to jeden z najczęściej używanych sposobów mapowania tej lub innej informacji. Ale w 1637 roku Rene Descartes stworzył własny układ współrzędnych, nazwany później „kartezjańskim”.

Już pod koniec XVII wieku. pojęcie „płaszczyzny współrzędnych” stało się szeroko stosowane w świecie matematyki. Pomimo faktu, że od powstania tego systemu minęło kilka stuleci, nadal jest on szeroko stosowany w matematyce, a nawet w życiu.

Przykłady płaszczyzn współrzędnych

Zanim omówimy teorię, podamy kilka ilustrujących przykładów płaszczyzny współrzędnych, abyś mógł ją sobie wyobrazić. Układ współrzędnych jest używany głównie w szachach. Na planszy każdy kwadrat ma swoje współrzędne - jedna współrzędna literowa, druga - cyfrowa. Z jego pomocą możesz określić położenie konkretnego elementu na planszy.

Drugim najbardziej uderzającym przykładem jest ukochana gra „Battleship”. Pamiętaj, jak podczas gry nazywasz współrzędne, na przykład B3, wskazując w ten sposób dokładnie, gdzie celujesz. W tym samym czasie, umieszczając statki, ustawiasz punkty na płaszczyźnie współrzędnych.

Ten układ współrzędnych jest szeroko stosowany nie tylko w matematyce, grach logicznych, ale także w sprawach wojskowych, astronomii, fizyce i wielu innych naukach.

Osie współrzędnych

Jak już wspomniano, w układzie współrzędnych rozróżnia się dwie osie. Porozmawiajmy o nich trochę, ponieważ mają one duże znaczenie.

Pierwsza oś - odcięta - jest pozioma. Jest oznaczony jako ( Wół). Druga oś to rzędna, która przechodzi pionowo przez punkt odniesienia i jest oznaczona jako ( Ojej). To właśnie te dwie osie tworzą układ współrzędnych, dzielący płaszczyznę na cztery ćwiartki. Początek znajduje się w punkcie przecięcia tych dwóch osi i przyjmuje wartość 0 . Tylko wtedy, gdy płaszczyzna jest utworzona przez dwie osie, które przecinają się prostopadle i mają punkt odniesienia, jest to płaszczyzna współrzędnych.

Należy również zauważyć, że każda z osi ma swój własny kierunek. Zwykle podczas konstruowania układu współrzędnych zwykle wskazuje się kierunek osi w postaci strzałki. Dodatkowo podczas konstruowania płaszczyzny współrzędnych każda z osi jest podpisana.

mieszkanie

Teraz powiedzmy kilka słów o takim pojęciu jak ćwiartki płaszczyzny współrzędnych. Płaszczyzna jest podzielona dwiema osiami na cztery ćwiartki. Każdy z nich ma swój własny numer, natomiast numeracja płaszczyzn jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara.

Każda z kwater ma swoją własną charakterystykę. Tak więc w pierwszej ćwiartce odcięta i rzędna są dodatnie, w drugiej ćwiartce odcięta jest ujemna, rzędna jest dodatnia, w trzeciej ćwiartce zarówno odcięta, jak i rzędna są ujemne, w czwartej odcięta jest dodatni, a rzędna jest ujemna.

Zapamiętując te cechy, możesz łatwo określić, do której ćwiartki należy dany punkt. Ponadto informacje te mogą ci się przydać, jeśli musisz wykonać obliczenia w systemie kartezjańskim.

Praca z płaszczyzną współrzędnych

Kiedy omówiliśmy pojęcie płaszczyzny i omówiliśmy jej ćwiartki, możemy przejść do takiego problemu, jak praca z tym układem, a także porozmawiać o tym, jak umieścić na nim punkty, współrzędne figur. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

Przede wszystkim budowany jest sam system, stosowane są do niego wszystkie ważne oznaczenia. Następnie jest praca bezpośrednio z punktami lub figurami. W tym przypadku, nawet podczas konstruowania figur, punkty są najpierw nakładane na płaszczyznę, a następnie figury są już rysowane.

Zasady budowy samolotu

Jeśli zdecydujesz się rozpocząć zaznaczanie kształtów i punktów na papierze, będziesz potrzebować płaszczyzny współrzędnych. Naniesione są na nią współrzędne punktów. Aby zbudować płaszczyznę współrzędnych, potrzebujesz tylko linijki i długopisu lub ołówka. Najpierw rysowana jest pozioma odcięta, a następnie pionowa - rzędna. Należy pamiętać, że osie przecinają się pod kątem prostym.

Kolejnym obowiązkowym elementem jest znakowanie. Jednostki-segmenty są zaznaczone i podpisane na każdej z osi w obu kierunkach. Odbywa się to tak, abyś mógł pracować z samolotem z maksymalną wygodą.

Zaznaczanie punktu

Porozmawiajmy teraz o tym, jak wykreślić współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych. Oto podstawy, które musisz znać, aby z powodzeniem umieszczać różne kształty na płaszczyźnie, a nawet oznaczać równania.

Podczas konstruowania punktów należy pamiętać o prawidłowym zapisywaniu ich współrzędnych. Tak więc, zwykle ustalając punkt, dwie liczby są zapisywane w nawiasach. Pierwsza cyfra wskazuje współrzędną punktu wzdłuż osi odciętych, druga - wzdłuż osi rzędnych.

Punkt powinien być zbudowany w ten sposób. Najpierw zaznacz na osi Wół dany punkt, a następnie zaznacz punkt na osi Ojej. Następnie narysuj wyimaginowane linie z tych oznaczeń i znajdź miejsce ich przecięcia - będzie to dany punkt.

Wszystko, co musisz zrobić, to zaznaczyć i podpisać. Jak widać, wszystko jest dość proste i nie wymaga specjalnych umiejętności.

Umieszczanie kształtu

Przejdźmy teraz do takiego pytania, jak budowa figur na płaszczyźnie współrzędnych. Aby zbudować dowolną figurę na płaszczyźnie współrzędnych, należy wiedzieć, jak umieszczać na niej punkty. Jeśli wiesz, jak to zrobić, umieszczenie figury na samolocie nie jest takie trudne.

Przede wszystkim będziesz potrzebować współrzędnych punktów figury. To na nich zastosujemy wybrane przez Ciebie układy współrzędnych Rozważmy narysowanie prostokąta, trójkąta i koła.

Zacznijmy od prostokąta. Stosowanie go jest dość łatwe. Najpierw na płaszczyźnie są stosowane cztery punkty, wskazujące rogi prostokąta. Następnie wszystkie punkty są sekwencyjnie łączone ze sobą.

Rysowanie trójkąta nie jest inne. Jedyną rzeczą jest to, że ma trzy rogi, co oznacza, że ​​\u200b\u200bdo płaszczyzny przypisano trzy punkty, oznaczające jej wierzchołki.

Jeśli chodzi o okrąg, tutaj powinieneś znać współrzędne dwóch punktów. Pierwszy punkt to środek okręgu, drugi to punkt oznaczający jego promień. Te dwa punkty są wykreślone na płaszczyźnie. Następnie bierze się kompas, mierzy się odległość między dwoma punktami. Punkt kompasu jest umieszczony w punkcie oznaczającym środek i opisany jest okrąg.

Jak widać, nie ma tu też nic skomplikowanego, najważniejsze jest to, że zawsze jest pod ręką linijka i kompas.

Teraz wiesz, jak wykreślić współrzędne kształtu. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to takie trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

wnioski

Rozważaliśmy więc z tobą jedno z najciekawszych i podstawowych pojęć z matematyki, z którym ma do czynienia każdy uczeń.

Dowiedzieliśmy się, że płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna utworzona przez przecięcie dwóch osi. Za jego pomocą można ustawić współrzędne punktów, nałożyć na nie kształty. Samolot jest podzielony na ćwiartki, z których każda ma swoją własną charakterystykę.

Główną umiejętnością, którą należy rozwinąć podczas pracy z płaszczyzną współrzędnych, jest umiejętność poprawnego naniesienia na nią zadanych punktów. Aby to zrobić, powinieneś znać prawidłowe położenie osi, cechy ćwiartek, a także zasady ustalania współrzędnych punktów.

Mamy nadzieję, że przekazane przez nas informacje były przystępne i zrozumiałe, a także przydatne dla Państwa i pomogły lepiej zrozumieć ten temat.

Temat tej lekcji wideo: Płaszczyzna współrzędnych.

Cele i zadania lekcji:

Zaznajomiony z prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie
- nauczyć się swobodnie poruszać po układzie współrzędnych
- buduj punkty zgodnie z podanymi współrzędnymi
- wyznaczyć współrzędne punktu zaznaczonego na płaszczyźnie współrzędnych
- dobrze postrzegają współrzędne ze słuchu
- dokładnie i dokładnie wykonywać konstrukcje geometryczne
- rozwój zdolności twórczych
- wzbudzenie zainteresowania tematem

Termin " współrzędne„Pochodzi od łacińskiego słowa -„ zamówiony ”

Aby wskazać położenie punktu na płaszczyźnie, przyjmuje się dwie prostopadłe linie X i Y.

oś X - odcięta
oś Y oś y
Punkt O - początek

Nazywa się płaszczyznę, na której podany jest układ współrzędnych płaszczyzna współrzędnych.

Każdemu punktowi M na płaszczyźnie współrzędnych odpowiada para liczb: odcięta i rzędna. Wręcz przeciwnie, każda para liczb odpowiada jednemu punktowi płaszczyzny, dla którego te liczby są współrzędnymi.

Rozważane przykłady:

• konstruując punkt na podstawie jego współrzędnych
• znalezienie współrzędnych punktu znajdującego się na płaszczyźnie współrzędnych

Niektóre dodatkowe informacje:

Pomysł wyznaczania położenia punktu na płaszczyźnie zrodził się w starożytności – przede wszystkim wśród astronomów. W IIw. Starożytny grecki astronom Klaudiusz Ptolemeusz używał szerokości i długości geograficznej jako współrzędnych. Opis wykorzystania współrzędnych podano w książce „Geometria” w 1637 roku.

Opis użycia współrzędnych został podany w książce „Geometria” w 1637 roku przez francuskiego matematyka Rene Descartesa, dlatego prostokątny układ współrzędnych jest często nazywany kartezjańskim.

Słowa " odcięta», « rzędna», « współrzędne» po raz pierwszy zaczęto używać pod koniec XVII.

Dla lepszego zrozumienia układu współrzędnych wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia z: globusem geograficznym, szachownicą, biletem do teatru.

Aby określić położenie punktu na powierzchni ziemi, musisz znać długość i szerokość geograficzną.
Aby określić pozycję figury na szachownicy, musisz znać dwie współrzędne, na przykład: e3.
Miejsca na widowni wyznaczają dwie współrzędne: rząd i siedzisko.

Dodatkowe zadanie.

Po przestudiowaniu lekcji wideo, aby utrwalić materiał, proponuję wziąć długopis i kartkę papieru w pudełku, narysować płaszczyznę współrzędnych i zbudować kształty zgodnie z podanymi współrzędnymi:

Grzyb
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
mała mysz 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Ogon: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Oko: (- 1; 5).
Łabędź
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Dziób: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Skrzydło: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Oko: (0; 7).
Wielbłąd
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Oko: (- 6; 7).
Słoń
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Oczy: (2; 4), (6; 4).
Koń
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Oko: (- 2; 7).

Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych X'X i Y'Y. Osie współrzędnych przecinają się w punkcie O, który jest nazywany początkiem współrzędnych, na każdej osi wybiera się kierunek dodatni. Kierunek dodatni osi (w prawoskrętnym układzie współrzędnych) wybiera się tak, że gdy oś X'X jest obrócony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o 90°, jego dodatni kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y'Y. Cztery kąty (I, II, III, IV) utworzone przez osie współrzędnych X'X i Y'Y ​​nazywane są kątami współrzędnych (patrz ryc. 1).

Położenie punktu A na płaszczyźnie jest określone przez dwie współrzędne x i y. Współrzędna x jest równa długości odcinka OB, współrzędna y to długość odcinka OC w wybranych jednostkach. Segmenty OB i OC wyznaczają linie poprowadzone z punktu A równolegle do odpowiednio osi Y’Y i X’X. Współrzędna x nazywana jest odciętą punktu A, współrzędna y nazywana jest rzędną punktu A. Piszą to tak: A (x, y).

Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych I, to punkt A ma dodatnią odciętą i rzędną. Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych II, to punkt A ma ujemną odciętą i dodatnią rzędną. Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych III, to punkt A ma ujemną odciętą i rzędną. Jeśli punkt A leży w kącie współrzędnych IV, to punkt A ma dodatnią odciętą i ujemną rzędną.

Prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni tworzą trzy wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych OX, OY i OZ. Osie współrzędnych przecinają się w punkcie O, który nazywa się początkiem, na każdej osi wybiera się dodatni kierunek wskazany strzałkami oraz jednostkę miary odcinków na osiach. Jednostki miary są takie same dla wszystkich osi. OX - oś odciętych, OY - oś rzędnych, OZ - oś aplikacyjna. Dodatni kierunek osi dobiera się tak, aby przy obrocie osi OX w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o 90° jej dodatni kierunek pokrywał się z dodatnim kierunkiem osi OY, jeżeli obrót ten obserwujemy od strony dodatniego kierunku osi OZ . Taki układ współrzędnych nazywamy właściwym. Jeśli kciuk prawej ręki jest traktowany jako kierunek X, palec wskazujący jako kierunek Y, a palec środkowy jako kierunek Z, to powstaje prawy układ współrzędnych. Podobne palce lewej ręki tworzą lewy układ współrzędnych. Prawego i lewego układu współrzędnych nie można łączyć w taki sposób, aby odpowiadające im osie pokrywały się (patrz rys. 2).

Położenie punktu A w przestrzeni określają trzy współrzędne x, y i z. Współrzędna x jest równa długości odcinka OB, współrzędna y jest równa długości odcinka OC, współrzędna z to długość odcinka OD w wybranych jednostkach. Odcinki OB, OC i OD są wyznaczone przez płaszczyzny poprowadzone od punktu A równolegle do odpowiednio płaszczyzn YOZ, XOZ i XOY. Współrzędna x nazywana jest odciętą punktu A, współrzędna y nazywana jest rzędną punktu A, współrzędna z nazywana jest aplikacją punktu A. Piszą to tak: A (a, b, c).

horty

Prostokątny układ współrzędnych (o dowolnym wymiarze) jest również opisywany przez zbiór ortów współkierowanych z osiami współrzędnych. Liczba ortów jest równa wymiarowi układu współrzędnych i wszystkie są do siebie prostopadłe.

W przypadku trójwymiarowym takie wektory są zwykle oznaczane i j k lub mi x mi y mi z. W takim przypadku, w przypadku prawego układu współrzędnych, obowiązują następujące wzory z iloczynem wektorowym wektorów:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Fabuła

René Descartes jako pierwszy wprowadził prostokątny układ współrzędnych w swoim Rozprawie o metodzie w 1637 r. Dlatego prostokątny układ współrzędnych jest również nazywany - Kartezjański układ współrzędnych. Metoda współrzędnych do opisu obiektów geometrycznych położyła podwaliny pod geometrię analityczną. Pierre Fermat również przyczynił się do rozwoju metody współrzędnych, ale jego praca została opublikowana po raz pierwszy już po jego śmierci. Kartezjusz i Fermat stosowali metodę współrzędnych tylko na płaszczyźnie.

Metoda współrzędnych dla przestrzeni trójwymiarowej została po raz pierwszy zastosowana przez Leonharda Eulera już w XVIII wieku.

Zobacz też

Spinki do mankietów

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, czym jest „Płaszczyzna współrzędnych” w innych słownikach:

płaszczyzna cięcia- (Pn) Płaszczyzna współrzędnych styczna do krawędzi skrawającej w rozpatrywanym punkcie i prostopadła do płaszczyzny bazowej. […

W topografii sieć wyimaginowanych linii otaczających kulę ziemską w kierunkach równoleżnikowych i południkowych, za pomocą których można dokładnie określić położenie dowolnego punktu na powierzchni ziemi. Szerokości geograficzne mierzone są od równika - koła wielkiego, ... ... Encyklopedia geograficzna

W topografii sieć wyimaginowanych linii otaczających kulę ziemską w kierunkach równoleżnikowych i południkowych, za pomocą których można dokładnie określić położenie dowolnego punktu na powierzchni ziemi. Szerokość geograficzną mierzy się od równika koła wielkiego, ... ... Encyklopedia Colliera

Ten termin ma inne znaczenie, patrz Diagram fazowy. Płaszczyzna fazowa to płaszczyzna współrzędnych, w której dowolne dwie zmienne (współrzędne fazowe) są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych, które jednoznacznie określają stan układu ... ... Wikipedia

główna płaszczyzna cięcia- (Pτ) Płaszczyzna współrzędnych prostopadła do linii przecięcia płaszczyzny głównej i płaszczyzny cięcia. [GOST 25762 83] Tematy cięcia Ogólne terminy układy płaszczyzn współrzędnych i płaszczyzn współrzędnych ... Podręcznik tłumacza technicznego

instrumentalna główna płaszczyzna cięcia- (Pτi) Płaszczyzna współrzędnych prostopadła do linii przecięcia płaszczyzny głównej przyrządu i płaszczyzny cięcia. [GOST 25762 83] Tematy cięcia Ogólne terminy układy płaszczyzn współrzędnych i płaszczyzn współrzędnych ... Podręcznik tłumacza technicznego

płaszczyzna cięcia narzędzia- (Pni) Płaszczyzna współrzędnych styczna do krawędzi skrawającej w danym punkcie i prostopadła do płaszczyzny podstawy instrumentu. [GOST 25762 83] Tematy do cięcia Uogólniające terminy dla układów płaszczyzn współrzędnych i ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

kinematyczna główna płaszczyzna cięcia- (Pτк) Płaszczyzna współrzędnych prostopadła do linii przecięcia głównej płaszczyzny kinematycznej i płaszczyzny cięcia ... Podręcznik tłumacza technicznego

kinematyczna płaszczyzna cięcia- (Pnk) Płaszczyzna współrzędnych styczna do krawędzi skrawającej w rozpatrywanym punkcie i prostopadła do kinematycznej płaszczyzny bazowej... Podręcznik tłumacza technicznego

samolot główny- (Pv) Płaszczyzna współrzędnych poprowadzona przez rozpatrywany punkt krawędzi skrawającej prostopadle do kierunku prędkości głównego lub netto ruchu skrawającego w tym punkcie. Uwaga W instrumentalnym układzie współrzędnych kierunek ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

Punkty są „zarejestrowane” - „mieszkańcy”, każdy punkt ma swój „numer domu” - swoją współrzędną. Jeśli punkt jest brany w samolocie, to w celu jego „rejestracji” konieczne jest podanie nie tylko „numeru domu”, ale także „numeru mieszkania”. Przypomnij sobie, jak to się robi.

Narysujmy dwie wzajemnie prostopadłe proste współrzędnych i za punkt początkowy obu prostych uznajmy punkt ich przecięcia, punkt O. W ten sposób na płaszczyźnie ustawiamy prostokątny układ współrzędnych (rys. 20), który przekształca zwykły samolot koordynować. Punkt O nazywany jest początkiem współrzędnych, linie współrzędnych (oś x i oś y) nazywane są osiami współrzędnych, a kąty proste utworzone przez osie współrzędnych nazywane są kątami współrzędnych. Współrzędne prostokątnych narożników są ponumerowane, jak pokazano na rysunku 20.

A teraz przejdźmy do rysunku 21, który pokazuje prostokątny układ współrzędnych i zaznaczony punkt M. Narysujmy przez niego linię prostą równoległą do osi y. Linia przecina oś x w pewnym punkcie, ten punkt ma współrzędną - na osi x. Dla punktu pokazanego na rycinie 21 współrzędna ta wynosi -1,5, nazywana jest odciętą punktu M. Następnie rysujemy linię prostą przez punkt M równoległą do osi x. Linia przecina oś y w pewnym punkcie, ten punkt ma współrzędną - na osi y.

Dla punktu M, pokazanego na rysunku 21, ta współrzędna wynosi 2, nazywana jest rzędną punktu M. W skrócie zapisana w ten sposób: M (-1,5; 2). Odcięta jest zapisywana na pierwszym miejscu, rzędna - na drugim. Używają, jeśli to konieczne, innej formy zapisu: x = -1,5; y = 2.

Uwaga 1 . W praktyce, aby znaleźć współrzędne punktu M, zwykle zamiast prostych równoległych do osi współrzędnych i przechodzących przez punkt M buduje się odcinki tych prostych od punktu M do osi współrzędnych (rys. 22).

Uwaga 2. W poprzedniej sekcji wprowadziliśmy różne oznaczenia przedziałów liczbowych. W szczególności, zgodnie z ustaleniami, zapis (3, 5) oznacza, że ​​na prostej współrzędnych rozpatrywany jest przedział, którego końcami są punkty 3 i 5. W tej części traktujemy parę liczb jako współrzędne punktu; na przykład (3; 5) jest punktem na płaszczyzna współrzędnych z odciętą 3 i rzędną 5. Jak poprawnie określić z zapisu symbolicznego, o co chodzi: o przedział czy o współrzędne punktu? Najczęściej wynika to z tekstu. A co jeśli nie jest jasne? Zwróć uwagę na jeden szczegół: użyliśmy przecinka w oznaczeniu przedziału i średnika w oznaczeniu współrzędnych. To oczywiście nie jest bardzo znaczące, ale wciąż różnica; zastosujemy.

Biorąc pod uwagę wprowadzone terminy i notację, pozioma linia współrzędnych nazywana jest odciętą lub osią x, a pionowa linia współrzędnych nazywana jest osią y lub osią y. Oznaczenia x, y są zwykle używane przy określaniu prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie (patrz ryc. 20) i często mówią tak: podany jest układ współrzędnych xOy. Istnieją jednak inne oznaczenia: na przykład na ryc. 23 podano układ współrzędnych tOs.
Algorytm znajdowania współrzędnych punktu M podanego w prostokątnym układzie współrzędnych хОу

Dokładnie tak działaliśmy, znajdując współrzędne punktu M na ryc. 21. Jeśli punkt M 1 (x; y) należy do pierwszego kąta współrzędnych, to x\u003e 0, y\u003e 0; jeśli punkt M 2 (x; y) należy do drugiego kąta współrzędnych, to x< 0, у >0; jeśli punkt M 3 (x; y) należy do trzeciego kąta współrzędnych, to x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >jednostka organizacyjna< 0 (рис. 24).

Ale co się stanie, jeśli punkt, którego współrzędne należy znaleźć, leży na jednej z osi współrzędnych? Niech punkt A leży na osi x, a punkt B na osi y (ryc. 25). Nie ma sensu rysować prostej równoległej do osi y przez punkt A i znajdować punkt przecięcia tej prostej z osią x, ponieważ taki punkt przecięcia już istnieje - to jest punkt A, jego współrzędna ( ( rzędna) 0. W rezultacie dla punktu A otrzymujemy A (3; 0). Podobnie dla punktu B otrzymujemy B(0; - 1,5). A dla punktu O mamy O(0; 0).

Ogólnie rzecz biorąc, każdy punkt na osi x ma współrzędne (x; 0), a dowolny punkt na osi y ma współrzędne (0; y)

Omówiliśmy więc, jak znaleźć współrzędne punktu na płaszczyźnie współrzędnych. Ale jak rozwiązać problem odwrotny, tj. jak, mając dane współrzędne, skonstruować odpowiedni punkt? Aby opracować algorytm, przeprowadzimy dwa pomocnicze, ale jednocześnie ważne argumenty.

Pierwsza dyskusja. Niech I zostanie narysowany w układzie współrzędnych xOy, równoległym do osi y i przecinającym oś x w punkcie o współrzędnej (odciętej) 4

(Rys. 26). Każdy punkt leżący na tej prostej ma odciętą 4. Zatem dla punktów M 1, M 2, M 3 mamy M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Innymi słowy, odcięta dowolnego punktu M linii prostej spełnia warunek x \u003d 4. Mówią, że x \u003d 4 - równanie prosta l lub ta prosta I spełnia równanie x = 4.

Rysunek 27 pokazuje linie, które spełniają równania x = - 4 (linia I 1), x = - 1
(linia prosta I 2) x = 3,5 (linia prosta I 3). A która prosta spełnia równanie x = 0? Zgadłeś? oś y

Druga dyskusja. Niech zostanie poprowadzona prosta I w układzie współrzędnych xOy, równoległa do osi x i przecinająca oś y w punkcie o współrzędnej (rzędnej) 3 (rys. 28). Każdy punkt leżący na tej prostej ma rzędną 3. Zatem dla punktów M 1, M 2, M 3 mamy: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ) . Innymi słowy, rzędna dowolnego punktu M prostej I spełnia warunek y \u003d 3. Mówią, że y \u003d 3 jest równaniem prostej I lub ta prosta I spełnia równanie y \u003d 3.

Ryc. 29 pokazuje linie, które spełniają równania y \u003d - 4 (linia l 1), y \u003d - 1 (linia I 2), y \u003d 3,5 (linia I 3) - A która linia spełnia równanie y \u003d 01 Zgadywać? oś x.

Zauważmy, że matematycy, dążąc do zwięzłości wypowiedzi, mówią „linia prosta x = 4”, a nie „linia prosta spełniająca równanie x = 4”. Podobnie mówią „linia y = 3”, a nie „linia spełniająca y = 3”. Zrobimy dokładnie to samo. Wróćmy teraz do rysunku 21. Zwróć uwagę, że pokazany tam punkt M (- 1,5; 2) jest punktem przecięcia linii x \u003d -1,5 i linii y \u003d 2. Teraz najwyraźniej , algorytm konstruowania punktu będzie jasny zgodnie z podanymi współrzędnymi.

Algorytm konstruowania punktu M (a; b) w prostokątnym układzie współrzędnych хОу

PRZYKŁAD W układzie współrzędnych xOy skonstruuj punkty: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Rozwiązanie. Punkt A jest punktem przecięcia prostych x = 1 i y = 3 (patrz ryc. 30).

Punkt B to punkt przecięcia prostych x = - 2 i y = 1 (ryc. 30). Punkt C należy do osi x, a punkt D do osi y (patrz rys. 30).

Podsumowując tę ​​sekcję, zauważamy, że po raz pierwszy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie zaczął być aktywnie wykorzystywany do zastąpienia algebraicznego modele francuski filozof geometryczny René Descartes (1596-1650). Dlatego czasami mówią „kartezjański układ współrzędnych”, „współrzędne kartezjańskie”.

Pełną listę tematów z podziałem na klasy, plan kalendarza zgodny z programem szkolnym z matematyki online, materiał filmowy z matematyki do klasy 7 do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji podsumowanie lekcji rama pomocnicza prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samoocena warsztaty, ćwiczenia, przypadki, questy praca domowa dyskusja pytania pytania retoryczne od uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzonka, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły żetony dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowy i dodatkowy słowniczek terminów inne Ulepszanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementy innowacji na lekcji zastępowanie przestarzałej wiedzy nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Co to jest płaszczyzna współrzędnych?

Termin „współrzędne” w tłumaczeniu z łaciny oznacza słowo „zamówione”.

Załóżmy, że musimy wyznaczyć położenie punktu na płaszczyźnie. Aby to zrobić, bierzemy 2 prostopadłe linie, które nazywane są osiami współrzędnych, gdzie X będzie osią odciętych, Y jest osią współrzędnych, a początkiem będzie punkt O. Kąty proste utworzone za pomocą osi współrzędnych będą nazywane współrzędnymi kąty.

Więc doszliśmy do definicji i teraz wiemy, że płaszczyzna współrzędnych jest płaszczyzną o zadanym układzie współrzędnych.

A teraz zobaczmy numerację kątów współrzędnych:

Teraz wyświetlmy prostokątny układ współrzędnych i zaznaczmy w nim punkt M.

Następnie musimy narysować linię prostą przechodzącą przez punkt M, który będzie równoległy do ​​osi Y. Teraz zobaczmy, co mamy. Jak widać, prosta przecina oś X w punkcie, w którym współrzędna będzie równa −2. Ta współrzędna jest odciętą punktu M.

Teraz musimy narysować linię prostą przechodzącą przez punkt M, która będzie równoległa do osi X.

Widzimy, że ta prosta przecina oś X w punkcie, którego współrzędna wynosi trzy. Ta współrzędna będzie rzędną punktu M.

Zapisanie współrzędnych aktualnego M będzie wyglądać następująco:

W takim zapisie odcięta jest zawsze stawiana na pierwszym miejscu, a rzędna na drugim miejscu. Jeśli weźmiemy pod uwagę przykład współrzędnych punktu M (-2; 3), to -2 działa jako odcięta punktu M, a rzędną tego punktu będzie liczba 3.

Z tego wynika, że ​​na płaszczyźnie współrzędnych każdemu punktowi M odpowiada taka para liczb, jak jego odcięta i rzędna. Prawdziwe będzie również stwierdzenie przeciwne, to znaczy każda taka para liczb odpowiada jednemu punktowi płaszczyzny, dla którego te liczby są współrzędnymi.

Ćwiczenie:

Płaszczyzna współrzędnych w życiu

Czy Twoim zdaniem znajomość układu współrzędnych może przydać się w życiu codziennym? A czy kiedykolwiek słyszałeś takie zdanie jak „zostaw swoje współrzędne” lub „jakie współrzędne możesz znaleźć”? A czy zastanawiałeś się, co mogą oznaczać te wyrażenia?

Okazuje się, że wszystko jest bardzo proste i banalne, a to oznacza lokalizację tego lub innego obiektu, dzięki któremu łatwo jest znaleźć osobę lub określone miejsce. Można śmiało stwierdzić, że układy współrzędnych są niezbędne w praktycznym życiu człowieka na całym świecie.

Takim układem współrzędnych może być adres zamieszkania lub numer telefonu, miejsce pracy itp.

W końcu nawet kupując bilet na pociąg, znasz nie tylko jego numer i miejsce docelowe, ale musisz podać numer wagonu i miejsca.

Aby odwiedzić kolegę z klasy, nie wystarczy znać tylko dom, w którym mieszka, ale trzeba też znać numer mieszkania.

Ćwiczenie

1. Jakie informacje trzeba posiadać, aby zająć miejsce w teatrze?
2. Jakie dane trzeba mieć, żeby wyznaczać punkty na powierzchni ziemi?
3. Na podstawie jakich współrzędnych możesz określić miejsce w kinie?
4. Co musisz wiedzieć, aby określić położenie figury na szachownicy?
5. Jakich współrzędnych używasz podczas rozgrywania bitew morskich?

Odniesienie do historii

Pomysł wykorzystania współrzędnych pojawił się w starożytności. Początkowo astronomowie zaczęli wykorzystywać je do określania ciał niebieskich, a geografowie do określania położenia i obiektów na powierzchni Ziemi.

Dzięki pracom starożytnego greckiego astronoma Klaudiusza Plotomeusa już w II wieku naukowcy nauczyli się wyznaczać długość i szerokość geograficzną.

Czy wiesz, dlaczego w matematyce istnieje coś takiego jak „kartezjański układ współrzędnych”? Okazuje się, że metodę współrzędnych, która ma ogólne znaczenie matematyczne, odkryli w XVII wieku matematycy francuscy Pierre Fermat i Rene Descartes, aw 1637 roku Rene Descartes po raz pierwszy opisał ją w książce o geometrii.

Ale terminy „odcięta”, „rzędna” i „współrzędne” zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Wilhelma Leibniza w XVII wieku.

Praca domowa: