Современные проблемы науки и образования. Продольные и поперечные волны Продольные колебания
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Продольная волна – это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны (рис.1, а).
Причиной возникновения продольной волны является сжатия/растяжения, т.е. сопротивление среды изменению ее объема. В жидкостях или газах такая деформация сопровождается разрежением или уплотнением частиц среды. Продольные волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
Примерами продольных волн являются волны в упругом стержне или звуковые волны в газах.
Поперечные волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Поперечная волна – это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении, перпендикулярном распространению волны (рис.1,б).
Причиной поперечной волны является деформация сдвига одного слоя среды относительно другого. При распространении поперечной волны в среде образуются гребни и впадины. Жидкости и газы, в отличие от твердых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоев, т.е. не оказывают сопротивления изменению формы. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.
Примерами поперечных волн могут служить волны, бегущие по натянутой веревке или по струне.
Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Если бросить на поверхность воды поплавок, то можно увидеть, что он движется, покачиваясь на волнах, по круговой . Таким образом, волна на поверхности жидкости имеет как поперечную, так и продольную компоненты. На поверхности жидкости также могут возникать волны особого типа – так называемые поверхностные волны . Они возникают в результате действия и силы поверхностного натяжения.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Определить направление распространения поперечной волны, если поплавок в некоторый момент времени имеет направление скорости, указанное на рисунке.
|
| Решение | Сделаем рисунок.
Начертим поверхность волны вблизи поплавка через некоторый промежуток времени , учитывая, что за это время поплавок опустился вниз, так как его в момент времени была направлена вниз. Продолжив линию вправо и влево, покажем положение волны в момент времени . Сравнив положение волны в начальный момент времени (сплошная линия) и в момент времени (пунктирная линия), делаем вывод о том, что волна распространяется влево. |
Под стержнем будем понимать цилиндр П=0х[О, /], когда I» diamD. Здесь D - область на координатной плоскости Ох 2 х 3 (рис. 62). Материал стержня однороден и изотропен, а ось Ох, проходит через центр тяжести сечения D. Поле внешних массовых сил f(r, I) =/(Х|, /)е, где е, - орт оси Ох,. Пусть внешние поверхностные силы на боковой поверхности цилиндра равны нулю, т.е. Ра = 0 на dD х
Тогда из (4.8) следует при 1=0 равенства
Собственные формы Х к (j) удобно нормировать, используя для этого норму пространства /^(), которому принадлежит функция v(s, I), так как в каждый момент времени существует и ограничен функционал кинетической энергии
где S - площадь области D. Имеем
X*(s) = Jj- sin^-л в пространстве скоростей Я 0 = ji)(s, /): v(s, t)e
В результате получим ортонормированный базис |л г *(^)| ,
где Ь к „ - символ Кронекера: Функции X k *(s), к= 1,2,суть нормальные формы собственных колебаний, а ю*, к= 1, 2, ..., - собственные частоты колебаний системы с бесконечным числом степеней свободы.
В заключение заметим, что функция u(s, /) принадлежит конфигурационному пространству системы Я, = {v(s, t): v(s, t ) е е ^(), и(0,1) = о(1 , /) = 0}, где И^"ОО, / ]) - пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами первых производных на отрезке . Пространство Я, есть область определения функционала потенциальной энергии упругих деформаций
и содержит обобщенные решения рассматриваемой задачи.
Продольные волны
Определение 1
Волна, в которой колебания происходят в направлении ее распространения. Примером продольной волны может служить звуковая волна.
Рисунок 1. Продольная волна
Механические продольные волны также называют компрессионными волнами или волнами сжатия, так как они производят сжатие при движении через среду. Поперечные механические волны также называют "Т-волны" или "волны сдвига".
Продольные волны включают в себя акустические волны (скорость частиц, распространяющихся в упругой среде) и сейсмические Р-волны (созданные в результате землетрясений и взрывов). В продольных волнах, смещение среды параллельно направлению распространения волны.
Звуковые волны
В случае продольных гармонических звуковых волн , частота и длина волны может быть описана формулой:
$y_0-$ амплитуда колебаний;\textit{}
$\omega -$ угловая частота волны;
$c-$ скорость волны.
Обычная частота $\left({\rm f}\right)$волны задается
Скорость звука распространения зависит от типа, температуры и состава среды, через которую он распространяется.
В упругой среде, гармоническая продольная волна проходит в положительном направлении вдоль оси.
Поперечные волны
Определение 2
Поперечная волна - волна, в которой направление молекул колебаний среды перпендикулярно к направлению распространения. Примером поперечных волн служит электромагнитная волна.
Рисунок 2. Продольная и поперечная волны
Рябь в пруду и волны на струне легко представить в виде поперечных волн.
Рисунок 3. Световые волны являются примером поперечной волны
Поперечные волны являются волнами, которые колеблются перпендикулярно к направлению распространения. Есть два независимых направления, в которых могут возникать волновые движения.
Определение 3
Двумерные поперечные волны демонстрируют явление, называемое поляризацией.
Электромагнитные волны ведут себя таким же образом, хотя это немного сложнее увидеть. Электромагнитные волны также являются двухмерными поперечными волнами.
Пример 1
Докажите, что уравнение плоской незатухающей волны ${\rm y=Acos}\left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+{\varphi }_0$ для волны, которая представлена на рисунке, можно записать в виде ${\rm y=Asin}\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x$. Убедитесь в этом, подставив значения координаты$\ \ x$, которые раны $\frac{\lambda}{4}$; $\frac{\lambda}{2}$; $\frac{0,75}{\lambda}$.
Рисунок 4.
Уравнение $y\left(x\right)$ для плоской незатухающей волны не зависит от $t$, значит, момент времени $t$ можно выбрать произвольным. Выберем момент времени $t$ таким, что
\[\omega t=\frac{3}{2}\pi -{\varphi }_0\] \
Подставим это значение в уравнение:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac{\pi }{2}-\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x\right)=Acos\left(2\pi -\left(\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+\frac{\pi }{2}\right)\right)=\] \[=Acos\left(\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+\frac{\pi }{2}\right)=Asin\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x\] \ \ \[{\mathbf x}{\mathbf =}\frac{{\mathbf 3}}{{\mathbf 4}}{\mathbf \lambda }{\mathbf =}{\mathbf 18},{\mathbf 75}{\mathbf \ см,\ \ \ }{\mathbf y}{\mathbf =\ }{\mathbf 0},{\mathbf 2}{\cdot}{\mathbf sin}\frac{{\mathbf 3}}{{\mathbf 2}}{\mathbf \pi }{\mathbf =-}{\mathbf 0},{\mathbf 2}\]
Ответ: $Asin\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x$
Свободные колебания систем с распределённымипараметрами
Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.
6.1. Продольные колебания стержней
При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении.
Пусть u - продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение зависит от расположения сечения (координаты x ) и от времени t . Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого элемента равно (рис.67,б), а относительное его удлинение .
Соответственно продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде
,(173)
где жёсткость стержня при растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов – координаты х и времени t .
Рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями (рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через плотность материала стержня, то масса рассматриваемого элемента составляет . Поэтому уравнение движения в проекции на ось х
,
Учитывая(173)ипринимая A = const , получим
Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде
,(177)
т.е. предположим, что перемещение u можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х , а другая только от аргумента t . Тогда вместо определения функции двух переменных u (x , t ) необходимо определять две функции X(x ) и T(t ), каждая из которых зависит только от одной переменной.
Подставив (177) в (174), получим
где штрихами обозначена операция дифференцирования по x , а точками – по t . Перепишем это уравнение таким образом:
Здесь левая часть зависит только от x,а правая – только от t . Для тождественного выполнения этого равенства (при любых x и t ) необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим через :
; .(178)
Отсюда следуют два уравнения:
;
.(179)
Первое уравнение имеет решение:
,(180)
указывающее на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина имеет смысл частоты свободных колебаний.
Второе из уравнений (179) имеет решение:
,(181)
определяющее форму колебаний.
Частотное уравнение, определяющее величину , составляется путём использования граничных условий. Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты соответствует своя функция T n (t ), определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn (x ), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается путём наложения всех частных решений:
.
Функции X n (x ) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const имеет вид
, если .
Рассмотрим некоторые варианты граничных условий.
Закреплённыйконец стержня (рис.68,а). В концевом сечении перемещение u должно быть равно нулю; отсюда следует, что в этом сечении
X=0(182)
Свободный конец стержня (рис.68,б). В концевом сечении продольная сила
(183)
должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X"=0.
Упругозакреплённый конец стержня (рис.68,в).
При
перемещении u
концевого стержня возникает
упругая реакция опоры 
, где С о - жёсткость опоры. Учитывая (183)
для продольной силы, получим граничное условие
еслиопора расположена на левом конце стержня (рис.68,в),и
если опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).
Сосредоточенная масса на конце стержня.
Развиваемая массой сила инерции:
.
Так как, согласно первому из уравнений (179), , то сила инерции может быть записана в виде . Получаем граничное условие
,
если масса находится на левом конце (рис.68,д),и
, (184)
если масса связана с правым концом (рис.68,е).
Определим собственные частоты консольного стержня (рис.68,a").
Согласно (182) и (183), граничные условия
X=0при х=0;
X"=0 при х= .
Подставляя поочерёдно эти условия в решение (181), получим
Условие С0 приводит к частотному уравнению:
Корни этого уравнения
(n=1,2,…)
определяют собственные частоты:
(n=1,2,…).(185)
Первая (низшая) частота при n=1:
.
Вторая частота (при n=2):
Определим собственные частоты стержня с массой на конце (рис.68,е).
Согласно (182) и (184),имеем
X=0 при х=0;
при х=
.
Подставляя эти условия в решение (181), получим:
D=0; 
.
Следовательно, частотное уравнение при учёте(176) имеет вид
.
Здесь праваячасть представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.
Для решения полученного трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым способом.
При и значения наиболее важного низшего корня будут соответственно 0.32 и 0.65 .
При малом отношении решающее влияние оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение
.
Для стержней переменного сечения, т.е. при Аconst , из (173) и (174) получается уравнение движения в виде
.
Это дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения собственных частот.
6.2. Крутильные колебания валов
Крутильные колебания валас непрерывно распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний стержней.
Крутящий моментМв сечении с абсциссой х связан с углом поворота дифференциальной зависимостью, аналогичной (173):
где J p -полярный момент инерции поперечного сечения.
В сечении, расположенном на расстоянии dx , крутящий момент равен (рис.69,б):
Обозначая через (где - плотность материала вала) интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так:
,
или подобно (174):
.
Подставляя сюда выражение (186), приJp =const получим, аналогично (175):
, (187)
Общее решение уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид
,
(188)
Собственные частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными условиями.
В основных случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим
а) закрепленный конец (=0): Х=0;
б) свободный конец (М=0): Х"=0;
в) упругозакрепленный левый конец: СоХ=GJpX " (Со-коэффициент жёсткости);
г) упругозакрепленный правый конец: -СоХ=GJpX ";
д
) диск на левом конце: 
(Jo-момент инерции
диска относительно оси стержня);
е) диск на
правом конце: 
.
Если вал закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х= ) свободен, то Х=0 при х=0 и Х"=0 при x= ; собственные частоты определяются аналогично (185):
(n=1,2,…).
Если левый конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное уравнение:
.
Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х= . В этом случае из (188) получим
т.е.
(n=1,2,…),
отсюда находим собственные частоты:
Если левый конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X"=0 при х=0 ;Jo X=GJpX "при х= .
При помощи (188) находим
С=0; 
,
или трансцендентное частотное уравнение:
.
6.3.Изгибные колебания балок
6.3.1.Основное уравнение
Из курса сопротивления материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок:
где EJ - жёсткость при изгибе; y=y (x , t ) - прогиб; M=M(x , t ) - изгибающий момент; q - интенсивность распределённой нагрузки.
Объединяя (189) и (190), получим
.(191)
В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые силы инерции:
где m - интенсивность массы балки (масса единицы длины), и уравнение (191) принимает вид
.
В частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const , m = const , имеем:
.(192)
Для решения уравнения (192) полагаем, как и выше,
y = X (x ) × T (t ).(193)
Подставляя (193) в (192), приходим к уравнению:
.
Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения:
.(195)
Первое уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой .
Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре постоянных и имеет вид
Удобно использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым:
(198)
представляют собой функции А.Н.Крылова.
Обратим внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой следующим образом:
Поэтому производные выражения (197) записываются в виде
(200)
В задачах рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико; каждой из них отвечает своя функция времени T n и своя фундаментальная функция X n . Общее решение получится путём наложения частных решений вида (193)
.(201)
Для определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные условия.
6.3.2. Граничные условия
Для каждого конца стержня можно указать два граничных условия.
Свободный конец стержня (рис. 70,а). Нулю равны поперечная сила Q=EJX"""T и изгибающий момент M=EJX""T. Поэтому граничные условия имеют вид
X""=0; X"""=0 .(202)
Шарнирно-опёртый конец стержня (рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT и изгибающий момент M=EJX""T. Следовательно, граничные условиятаковы:
X=0 ; X""=0 .(203)
Защемленный конец (рис.70,в). Нулю равны прогиб y=XT и угол поворота . Граничные условия:
X=0; X"=0 . (204)
На конце стержня имеется точечный груз массы
(рис.70,г). Его
сила инерции 
может быть при помощи
уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силеQ=EJX"""T , поэтому граничные условия
принимают вид
; X""=0 .(205)
В первом условии знак плюс принимается в случае, когда точечныйгруз связан с левым концом стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие вытекает из отсутствия изгибающего момента.
Упруго-опертый конец стержня
(рис.70,д).
Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX"""T равна реакции
опоры 
(C o -коэффициент
жёсткости опоры).
Граничные условия:
X""=0 ; (206)
(знак минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс, когда она является правой).
6.3.3. Частотное уравнение и собственные формы
Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).
Проследим составление частотных уравнений на примерах.
Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X""=0 при x=0 и x= . При помощи(197)-(200) получим из первых двух условий: C 1 =C 3 =0. Два оставшихся условия можно записать в виде
Чтобы C 2 и C 4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:
.
Таким образом, частотное уравнение имеет вид
.
Подставляя выражения T и U, получим
Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так:
. (207)
Корни этого уравнения:
,(n =1,2,3,...).
Учитывая (196), получим
.(208)
Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношениемежду постоянными C 2 и C 4:
.
Следовательно, (197) приобретает вид
Согласно (207), имеем
,(209)
где - новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.
6.3.4. Определение движения по начальным условиям
Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости:
(210)
и использовать свойство ортогональности собственных форм:
.
Общее решение (201) запишем так:
.(211)
Скорость определяется выражением
.(212)
Подставляя в правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части - предполагаемые известными начальные смещения и скорости, получим
.
Умножая эти выражения на и интегрируя по всей длине, имеем
(213)
Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213) следуют формулы для постоянных и
(214)
Теперь эти результаты нужно подставить в решение (211).
Снова подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (214) равнялись единице, что упрощает выражения и .
6.3.5. Влияние постоянной продольной силы
Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N , величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной)
.
Полагая и считая жёсткость постоянной, получаем уравнение свободных колебаний
.(215)
Принимаем по-прежнему частное решение в виде.
Тогда уравнение (215) распадается на два уравнения:
Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:
(216)
где K определяется формулой (196), а
Решение уравнения (216) имеет вид
Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце 
дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах и , приходим к уравнению
Корни этого частотного уравнения:
Следовательно, собственная частота определится из уравнения
.
Отсюда при учёте (217) находим
.(219)
При растяжении частота увеличивается, при сжатии уменьшается. Когда сжимающая сила N приближается к критическому значению, корень стремится к нулю.
6.3.6. Влияние цепных усилий
Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием . Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.
Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле
.
Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука
.
Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N (с учётом знака)
.(220)
Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение упрощается при помощи подстановки
,(221)
где безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний.
Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
,(222)
коэффициенты которого имеют следующие значения:
;.
Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.
Точное решение для частоты поперечных колебаний имеет вид
где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний к радиусу инерции поперечного сечения ; величина приводится в справочной литературе.
При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.
Случай соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала - струна. При этом формула для даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны
.
Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.
При этом формула для частоты имеет вид
где N - постоянная растягивающая сила.
6.4. Влияние вязкого трения
Ранее предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями
;
.(223)
Пусть стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде
Из уравнения движения элемента стержня было получено соотношение (174)
Подставляя сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению
,(225)
которое отличается от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения.
Следуя методу Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде
,(226)
где функция только координаты x , а функция только времени t .
При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма - также и начальным условиям. Подставляя(226)в(225)и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r , получим
,(227)
где штрихи обозначают дифференцирование по координате x , а точки - дифференцирование по времени t .
Разделив
(227) на произведение 
, приходим к равенству
,(228)
левая часть, которого может зависеть только от координаты x , а правая - только от времени t . Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через .
Из этого следуют уравнения
(229)
.(230)
Уравнение (229) не зависит от коэффициента вязкости K и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой системы, когда . Поэтому числа полностью совпадают с найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний.
Теперь перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его решение имеет вид
.(233)
Выражение (232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний.
Таким образом, полное решение уравнения задачи
.(234)
Постоянные и всегда можно найти по заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех сечений стержня заданы следующим образом:
;
,(235)
где и - известные функции.
Тогда при , согласно (211) и (212), имеем
умножая обе части этих равенств на и интегрируя в пределах всей длины стержня, получим
(236)
Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти и для любого номера r .
Рассматривая (232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие в(234), описывают затухающие колебания, если есть действительное число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных значений r , пока выполняется неравенство
При достаточно больших значенияхr неравенство (237) нарушается и величина становится мнимой. При этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение. Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть суммы (234).
Все эти качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний.
6.5. Колебания стержней переменного сечения
В тех случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения
.(238)
Уравнение крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением
,(239)
а уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением
.(240)
Уравнения (238)-(240) при помощи однотипных подстановок ;;можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi УДК 517.956.3
ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО НАГРУЖЕННОГО СТЕРЖНЯ
А. Б. Бейлин
Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Аннотация
Рассматриваются одномерные продольные колебания толстого короткого стержня, закреплённого на концах при помощи сосредоточенных масс и пружин. В качестве математической модели используется начально-краевая задача с динамическими краевыми условиями для гиперболического уравнения четвёртого порядка. Выбор именно этой модели обусловлен необходимостью учитывать эффекты деформации стержня в поперечном направлении, пренебрежение которыми, как показано Рэ-леем, приводит к ошибке, что подтверждено современной нелокальной концепцией изучения колебаний твёрдых тел. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. Установленные свойства собственных функций позволили применить метод разделения переменных и доказать существование единственного решения поставленной задачи.
Ключевые слова: динамические краевые условия, продольные колебания, ортогональность с нагрузкой, модель Рэлея.
Введение. В любой работающей механической системе возникают колебательные процессы, которые могут порождаться различными причинами. Колебательные процессы могут быть следствием конструктивных особенностей системы или перераспределения нагрузок между различными элементами штатно работающей конструкции.
Наличие в механизме источников колебательных процессов может затруднить диагностику его состояния и даже привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Различные проблемы, связанные с нарушением точности и работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, на практике часто решаются экспериментально.
Вместе с тем колебательные процессы могут быть весьма полезными, например, для обработки материалов, сборки и разборки соединений . Ультразвуковые колебания позволяют не только интенсифицировать процессы резания (сверления, фрезерования, шлифования и т. д.) материалов с высокой твёрдостью (вольфрамосодержащих, титанокарбидных сталей и т. п.),
© 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования
Бейлин А. Б. Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Сведения об авторе
Александр Борисович Бейлин (к.т.н, доц.; [email protected]), доцент, каф. автоматизированных станочных и инструментальных систем.
но в некоторых случаях стать единственно возможным методом обработки хрупких материалов (германий, кремний, стекло и т. д.) . Элемент устройства (волновод), который передаёт ультразвуковые колебания от источника (вибратора) до инструмента, называется концентратором и может иметь различную форму: цилиндрическую, коническую, ступенчатую, экспоненциальную и т. д. . Его предназначение - донести до инструмента колебания нужной амплитуды.
Таким образом, следствия протекания колебательных процессов могут быть различными, как и причины, их вызывающие, поэтому естественно возникает необходимость теоретического изучения процессов колебания. Математическая модель распространения волн в относительно длинных и тонких твёрдых стержнях, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка, хорошо изучена и давно стала классикой . Однако, как показано Рэлеем , эта модель не вполне соответствует исследованию колебаний толстого короткого стержня, тогда как многие детали реальных механизмов можно интерпретировать как короткие и толстые стержни. В этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея и базируется на гиперболическом уравнении четвёртого порядка
^ ^- IX (а(х) ё)- дх (ь(х))=; (хЛ (1)
коэффициенты которого имеют физический смысл :
д(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е(х), Ь(х) = р(х)и2(х)1р (х),
где А(х) -площадь поперечного сечения, р(х) -массовая плотность стержня, Е(х) -модуль Юнга, V(х) - коэффициент Пуассона, 1Р(х) -полярный момент инерции, и(х,Ь) - продольные смещения, подлежащие определению.
Идеи Рэлея нашли своё подтверждение и развитие в современных работах, посвященных процессам колебаний, а также теории пластичности. В обзорной статье обоснованы недостатки классических моделей, описывающих состояние и поведение твёрдых тел при нагрузке, в которых априори тело считается идеальным континуумом. Современный уровень развития естествознания требует построения новых моделей, адекватно описывающих исследуемые процессы, а разработанные в последние несколько десятилетий математические методы дают эту возможность. На этом пути в последнюю четверть прошлого века был предложен новый подход к изучению многих физических процессов, в том числе и упомянутых выше, основанный на понятии нелокальности (см. статью и список литературы в ней). Один из классов нелокальных моделей, выделенных авторами, назван «слабо нелокальными». Математические модели, принадлежащие этому классу, могут быть реализованы введением в уравнение, описывающее некоторый процесс, производных высокого порядка, позволяющих учитывать в некотором приближении взаимодействие внутренних элементов объекта изучения. Таким образом, модель Рэлея актуальна и в наше время.
1. Постановка задачи. Пусть концы стержня х = 0, х = I прикреплены к неподвижному основанию при помощи сосредоточенных масс Ы\, М2 и пружин, жёсткости которых К\ и К2. Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0х ив начальный момент времени находится в покое в положении равновесия. Тогда мы приходим к следующей начально-краевой задаче.
Задача. Найти в области Qт = {(0,1) х (0, Т) : 1,Т < те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х) и граничным условиям
а(0)их(0, г) + ь(0)илй(0, г) - к^(0, г) - М1ии(0, г) = 0, а(1)их(1, г) + Ъ(1)ихы(1, г) + К2и(1, г) + М2иы(1, г) = 0. ()
В статье рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1)-(2) и приведены примеры, в которых коэффициенты уравнения имеют явный вид и М\ = М2 = 0. В статье доказана однозначная слабая разрешимость поставленной задачи в общем случае.
Условия (2) обусловлены способом закрепления стержня: его концы прикреплены к неподвижным основаниям с помощью некоторых приспособлений, имеющих массы М\, М2, и пружин с жёсткостями К1, К2 соответственно. Наличие масс и учёт поперечных смещений приводит к условиям вида (2), содержащим производные по времени. Краевые условия, в которые входят производные по времени, называются динамическими. Они могут возникать в различных ситуациях, простейшие из которых описаны в учебнике , а гораздо более сложные -в монографии .
2. Изучение собственных колебаний стержня. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1). Так как коэффициенты зависят только от х, можно разделить переменные, представив и(х,г) = X(х)Т(г). Получим два уравнения:
т""(г) + \2т (г) = 0,
((а(х) - Л2Ъ(х))Х"(х))" + Л2дХ(х) = 0. (3)
Уравнение (3) сопровождается краевыми условиями
(а(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,
(а(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)
Таким образом, мы пришли к задаче Штурма-Лиувилля, которая отличается от классической тем, что спектральный параметр Л входит в коэффициент при старшей производной уравнения, а также в краевые условия. Это обстоятельство не позволяет ссылаться на известные из литературы результаты, поэтому нашей ближайшей целью является изучение задачи (3), (4). Для успешной реализации метода разделения переменных нам нужна информация о существовании и расположении собственных чисел, о качественных
свойствах собственных функций: обладают ли они свойством ортогональности?
Покажем, что Л2 > 0. Предположим, что это не так. Пусть X(х) -собственная функция задачи (3), (4), соответствующая значению Л = 0. Умножим (3) на X(х) и проинтегрируем полученное равенство по промежутку (0,1). Интегрируя по частям и применяя краевые условия (4), после элементарных преобразований получим
1(0) - Л2Ъ(0))(а(1) - Л2Ъ(1)) I (дХ2 + ЪХ"2)йх+
Ы\Х 2(0) + М2Х 2(1)
I аХ"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo
Заметим, что из физического смысла функции а(х), Ъ(х), д(х) положительны, Кг, Мг неотрицательны. Но тогда из полученного равенства следует, что Х"(х) = 0, Х(0) = Х(1) = 0, следовательно, Х(х) = 0, что противоречит сделанному предположению. Стало быть, и предположение о том, что нуль есть собственное число задачи (3), (4) неверно.
Представление решения уравнения (3) зависит от знака выражения а(х) - - Л2Ъ(х). Покажем, что а(х)-Л2Ъ(х) > 0 Ух е (0,1). Зафиксируем произвольно х е (0,1) и найдём значения в этой точке функций а(х), Ъ(х), д(х). Запишем уравнение (3) в виде
Х"(х) + VХ (х) = 0, (5)
где мы обозначили
в выбранной фиксированной точке, а условия (4) запишем в виде
Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6)
где а, в легко вычисляются.
Как известно, классическая задача Штурма-Лиувилля (5), (6) имеет счётное множество собственных функций при V > 0, откуда в силу произвольности х следует нужное неравенство.
Собственные функции задачи (3), (4) обладают свойством ортогональности с нагрузкой , выраженным соотношением
I (дХт(х)Хп(х) + ЪХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о
М1Хт(0)Хп(0) + М2Хт(1)Хп (I) = 0, (7)
которое можно получить стандартным способом (см., например, ), реализация которого в случае рассматриваемой задачи связана с элементарными, но кропотливыми вычислениями. Приведём кратко его вывод, опустив аргумент функций Хг(х) во избежание громоздкости.
Пусть Лт, Лп - различные собственные числа, Хт, Хп - соответствующие им собственные функции задачи (3), (4). Тогда
{(а - Л2тЪ)Х"т)" + Л2тдХт = 0, {(а - Л2пЪ)Х"п)" + Л2пдХп = 0.
Умножим первое из этих уравнений на Хп, а второе на Хт и вычтем из первого второе. После элементарных преобразований получим равенство
(Лт - Лп)ЯХтХп = (аХтХП)" - ЛП(ЪХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Лт(ЪХтХп)",
которое проинтегрируем по промежутку (0,1). В результате, учитывая (4) и сокращая на (Лт - Лп), получим соотношение (7).
Доказанные утверждения о свойствах собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4) позволяют применить для отыскания решения поставленной задачи метод разделения переменных.
3. Разрешимость задачи. Обозначим
С(СТ) = {и: и е С(Ст) П С2(Ст), иихх е С^т)}.
Теорема 1. Пусть а,Ъ е С1 , д е С. Тогда существует не более одного решения и е С^т) задачи (1), (2).
Доказательство. Предположим, что существует два различных решения задачи (1), (2), и1(х,г) и и2(х,г). Тогда, в силу линейности задачи, их разность и = и1 - и2 является решением однородной задачи, соответствующей (1), (2). Покажем, что её решение тривиально. Предварительно заметим, что из физического смысла коэффициентов уравнения и краевых условий функции а, Ъ, д положительны всюду в Qт, а М^, К^ неотрицательны.
Умножив равенство (1) на щ и проинтегрировав по области Qт, где т е и произвольно, после несложных преобразований получим
/ (ди2(х,т) + аи2х(х,т) + ЪиХл(х,т))йх+ ./о
К1и2(0, т) + М1и2(0, т) + К2и2(1, т) + М2и2(1, т) = 0,
откуда в силу произвольности т сразу вытекает справедливость утверждения теоремы. □
Доказательство существования решения проведём для случая постоянных коэффициентов.
Теорема 2. Пусть <р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, имеет кусочно непрерывную производную третьего порядка в (0,1), ф е С 1, ф(0) = ф(1) =0 и имеет кусочно непрерывную производную второго порядка в (0,1), f е С(С^т), тогда решение задачи (1), (2) существует и может быть получено в виде суммы ряда по собственным функциям.
До к а з а т е л ь с т в о. Будем, как обычно, искать решение задачи в виде суммы
где первое слагаемое - решение поставленной задачи для однородного уравнения, соответствующего (1), второе - решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным и граничным условиям. Воспользуемся результатами проведённых в предыдущем пункте исследований и запишем общее решение уравнения (3):
X(x) = Сг cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.
\¡ a - A2b \¡ a - A2b
Применив краевые условия (4), приходим к системе уравнений относительно Cj!
(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,
(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+
Приравнивая нулю ее определитель, получаем спектральное уравнение ctg= {а - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8) ь Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Выясним, имеет ли это трансцендентное уравнение решения. Для этого рассмотрим функции, стоящие в левой и правой его частях, и исследуем их поведение. Не слишком ограничивая общность, положим Mi = M2 = M, Кг = K2 = K, что позволит слегка упростить необходимые вычисления. Уравнение (8) принимает вид х I q , Aja - A2b Jq К - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2А^^0-А2Ь" Обозначим и запишем в новых обозначениях спектральное уравнение! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Анализ функций левой и правой частей последнего уравнения позволяет утверждать, что существует счётное множество его корней и, стало быть, счётное множество собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4), которые с учетом соотношения, полученного из системы относительно c¿, можно выписать v / л л I q K - х2пм. л i q Xn(x) = COS XnJ-гутx + ----sin XnJ-гтутX. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Теперь перейдём к отысканию решения, удовлетворяющего и начальным условиям. Решение задачи для однородного уравнения мы теперь легко найдём в виде ряда u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), коэффициенты которого можно найти из начальных данных, пользуясь свойством ортогональности функций Xn(x), норма которых может быть получена из соотношения (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo Процесс нахождения функции v(x,t) также является, по существу, стандартным, но мы всё же заметим, что, отыскивая решение в традиционном виде v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), мы получаем два уравнения. Действительно, учитывая вид собственных функций, уточним структуру ряда, в виде которого мы ищем решение: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~ sin Х^ГАягx). (9) v JXnVa - xnb^q V a - xn " Для выполнения нулевых начальных условий у(х, 0) = у^х, 0) = 0 потребуем, чтобы Уп(0) = УП(0) = 0, Шп(0) = Ш(0) = 0. Разложив f(х,г) в ряд Фурье по собственным функциям Хп(х), найдём коэффициенты ¡п(Ь) и дп(Ь). Подставив (9) в уравнение (1), записанное относительно у(х,Ь), после ряда преобразований получим уравнения для отыскания Уп(Ь) и Шп(Ь): уц® + >&пЮ = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Учитывая начальные условия Уп(0) = У,(0) = 0, Шп(0) = Ш,(0) = 0, приходим к задачам Коши относительно каждой из функций Уп(Ь) и Шп(Ь), однозначная разрешимость которых гарантирована условиями теоремы. Свойства начальных данных, сформулированные в теореме, не оставляют сомнений в сходимости всех рядов, возникших в ходе наших исследований и, стало быть, в существовании решения поставленной задачи. □ Заключение. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. Установленные свойства собственных функций позволили доказать существование единственного решения поставленной задачи. Отметим, что полученные в статье результаты могут быть использованы как для дальнейших теоретических исследований задач с динамическими граничными условиями, так и для практических целей, а именно для расчёта продольных колебаний широкого круга технических объектов. Александр Борисович Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Нерубай М. С., Штриков Б. Л., Калашников В. В. Ультразвуковая механическая обработка и сборка. Самара: Самарское книжное изд-во, 1995. 191 с. 2. Хмелёв В. Н., Барсуков Р. В., Цыганок С. Н. Ультразвуковая размерная обработка материалов. Барнаул: Алтайский технический ун-т им. И.И. Ползунова, 1997. 120 с. 3. Кумабэ Д. Вибрационное резание. М.: Машиностроение, 1985. 424 с. 4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с. 5. Стретт Дж. В. Теория звука. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955. 504 с. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp. 7. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея// ДАН, 2007. Т. 417, №1. С. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol.128, no. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. №3(114). С. 9-19. 10. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с. Поступила в редакцию 10/II/2016; в окончательном варианте - 18/V/2016; принята в печать - 27/V/2016. Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki 2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 A PROBLEM ON LONGITUDINAL VIBRATION OF A BAR WITH ELASTIC FIXING Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation. In this paper, we study longitudinal vibration in a thick short bar fixed by point forces and springs. For mathematical model we consider a boundary value problem with dynamical boundary conditions for a forth order partial differential equation. The choice of this model depends on a necessity to take into account the result of a transverse strain. It was shown by Rayleigh that neglect of a transverse strain leads to an error. This is confirmed by modern nonlocal theory of vibration. We prove existence of orthogonal with load eigenfunctions and derive representation of them. Established properties of eigenfunctions make possible using the separation of variables method and finding a unique solution of the problem. Keywords: dynamic boundary conditions, longitudinal vibration, loaded orthogonality, Rayleigh"s model. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul"trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka . Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (In Russian) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul"trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov . Barnaul, 1997, 120 pp. (In Russian) 3. Kumabe J. Vibration Cutting. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (In Japanese). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki . Moscow, Nauka, 2004, 798 pp. (In Russian) 5. Strutt J. W. The theory of sound, vol. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp. Beylin A.B. A problem on longitudinal vibration of a bar with elastic fixing, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki , 2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (In Russian) Author Details: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [email protected]), Associate Professor, Dept. of Automation Machine Tools and Tooling Systems. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Theory of free and forced vibrations of a rigid rod based on the Rayleigh model, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, no. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. A promlem on longitudinal vibrations of a rod with dynamic boundary conditions, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), pp. 919 (In Russian). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh . Moscow, URSS, 2010, 237 pp. (In Russian) Received 10/II/2016; received in revised form 18/V/2016;
Загрузка...