Основы теории колебаний механических систем. Основы теории колебаний

Министерство образования Российской Федерации
Ухтинский государственный технический университет

В.К. Хегай, Д.Н. Левитский,
О.Н. Харин, А.С. Попов

Основы теории колебаний
механических систем
Учебное пособие

Допущено учебно-методическим объединением вузов
по высшему нефтегазовому образованию в качестве учебного
пособия для студентов нефтегазовых вузов, обучающихся
по специальности 090800, 170200, 553600

УДК 534.01
Х-35
Основы теории колебаний механических систем / В.К. Хегай,
Д.Н. Левитский, О.Н. Харин, А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2002. – 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
В учебном пособии рассмотрены основы теории колебаний механических систем, которые опираются на общий курс теоретической механики. Особое внимание уделено применению уравнений Лагранжа второго
ряда. Пособие состоит из шести глав, каждая из которых посвящена определенному типу колебаний. Одна глава посвящена основам теории устойчивости движения и равновесия механических систем.
Для лучшего освоения теоретического материала, в пособии, приведено
большое количество примеров и задач из различных областей техники.
Учебное пособие предназначено для студентов механических специальностей, изучающих курс теоретической механики в полном объеме,
может быть также полезным и для студентов других специальностей.
Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской
государственной лесотехнической академии (зав. кафедрой д. т. н., профессор Ю.А. Добрынин); начальник комплексного отдела бурения «СеверНИПИГаз» к. т. н., доцент Ю.М. Гержберг.

© Ухтинский государственный технический университет, 2002
©Хегай В.К., Левитский Д.Н., Харин О.Н., Попов А.С., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Оглавление
Предисловие..................................................................................................................... 4
Глава I. Краткие сведения из аналитической механики........................................ 5
1.1 Потенциальная энергия системы............................................................................... 5
1.2. Кинетическая энергия системы................................................................................ 6
1.3. Диссипативная функция............................................................................................ 8
1.4. Уравнение Лангранжа................................................................................................ 9
1.5. Примеры на составление уравнений Лангранжа второго рода............................. 11
Глава II. Устойчивость движения и равновесия консервативных систем......... 20
2.1. Введение...................................................................................................................... 20
2.2. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра............................................................. 21
2.3. Уравнение возмущенного движения........................................................................ 23
2.4. Теорема Ляпунова об устойчивости движения....................................................... 26
2.5. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
консервативной системы.................................................................................................. 29
2.6. Устойчивость равновесия консервативной системы с одной
степенью свободы............................................................................................................. 30
2.7. Примеры на устойчивость равновесия консервативной системы......................... 31
Глава III. Свободные колебания системы с одной степенью свободы................. 39
3.1. Свободные колебания консервативной системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 39
3.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии
сил сопротивления, пропорциональных скорости......................................................... 42
3.3. Примеры на свободные колебания системы с одной степенью свободы............. 46
Глава IV. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы........... 59
4.1. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
в случае периодической возмущающей силы................................................................ 59
4.2. Явление резонанса...................................................................................................... 63
4.3. Явление биения.......................................................................................................... 66
4.4. Коэффициент динамичности..................................................................................... 68
4.5. Примеры на вынужденные колебания системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 70
Глава V. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы................ 78
5.1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы и их общее решение........................................................................ 78
5.2. Собственные формы.................................................................................................. 80
5.3. Примеры на свободное колебание системы с двумя степенями свободы............ 81
Глава VI. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы........ 93
6.1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы и их
общее решение................................................................................................................... 93
6.2. Динамический гаситель колебаний.......................................................................... 95
6.3. Примеры на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы..... 98
Библиографический список.......................................................................................... 107

4
Предисловие
На современном этапе развития высшей школы в практику преподавания всё шире вводятся проблемные и исследовательские формы обучения.
Динамические процессы в машинах и механизмах имеют определяющее значение как для расчёта на стадии проектирования новых конструкций, так и для определения технологических режимов в процессе эксплуатации. Трудно назвать такую область техники, в которой не были бы
актуальными проблемы изучения упругих колебаний и устойчивости равновесия и движения механических систем. Они представляют особую
важность для инженеров-механиков, работающих в области машиностроения, транспорта и других областях техники.
В пособии рассмотрены некоторые отдельные вопросы из теории
колебаний и устойчивости механических систем. Теоретические сведения
пояснены примерами.
Основное назначение настоящего методического пособия − увязать
область приложений теоретической и аналитической механики с задачами
специальных кафедр, осуществляющих подготовку инженеров-механиков.

5
Глава I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
I.I. Потенциальная энергия системы
Потенциальная энергия системы с s степенями свободы, являясь
энергией положения, зависит только от обобщённых координат

П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
где q j

(j = 1, 2,K , s) – обобщённые координаты системы.

Рассматривая малые отклонения системы от положения устойчивого
равновесия, обобщённые координаты qj можно рассматривать как величины первого порядка малости. Считая, что положение равновесия системы
соответствует началу отсчёта обобщённых координат, разложим выражение потенциальной энергии П в ряд Маклорена по степеням qj

∂П
1 S S ∂2 П
П = П (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
i =1 j =1
j
i
j
S

Имея в виду, что потенциальная энергия определяется с точностью
до некоторой аддитивной постоянной, потенциальную энергию в положении равновесия можно принять равной нулю
П (0) = 0.

В случае консервативных сил обобщённые силы определяются формулой

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) .

Так как при равновесии системы сил

(j = 1, 2,K , s) ,

То условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Следовательно,
s

6
Тогда равенство (1.2.) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид

1 S S ⎛ ∂2 П
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Обозначим

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Где cij - обобщённые коэффициенты жёсткости.
Окончательно выражение потенциальной энергии имеет вид

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i =1 j =1

Из (1.9.) видно, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщённых координат.
1.2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы, состоящей из n материальных точек,
равна

1 n
T = ∑mk vk2 ,
2 k =1

Где mk и vк − масса и скорость k -ой точки системы.
При переходе к обобщённым координатам будем иметь в виду, что
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Где r k – радиус-вектор k -ой точки системы.
−

Воспользуемся тождеством vk2 = v k ⋅ v k и заменим вектор скорости
−

V k его значением
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Тогда выражение для кинетической энергии (1.10) примет вид

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

As −1,s = ∑ mk
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Разлагая каждый из этих коэффициентов в ряд Маклорена по степеням обобщённых координат, получаем

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

Индекс 0 соответствует значениям функций в положении равновесия. Так как рассматриваются малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.14) ограничимся только первыми постоянными членами

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Тогда выражение для кинетической энергии (1.13) примет вид
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Или в общем виде

1 S
T= ∑
2 i=1

Постоянные aij – обобщённые коэффициенты инерции.
Из (1.16) видно, что кинетическая энергия системы Т – oднородная
квадратичная функция обобщённых скоростей.

8
1.3. Диссипативная функция
В реальных условиях свободные колебания системы затухают, так
как на её точки действуют силы сопротивления. При наличии сил сопротивления происходит рассеивание механической энергии.
−

Допустим, что силы сопротивления R k (k = 1, 2,..., n) , действующие
на точки системы, пропорциональны их скоростям
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Где µ k – коэффициент пропорциональности.
Обобщённые силы сопротивления для голономной системы определяем по формулам
n

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
n

(j = 1, 2,..., s) .

Так как
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Имея в виду (1.18), обобщённые силы сопротивления (1.17) перепишем в виде
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Введём диссипативную функцию, которая определяется формулой
n

Тогда обобщённые силы сопротивления определяем по формулам

(j = 1, 2,..., s) .

Диссипативную функцию по аналогии с кинетической энергией системы можно представить в виде однородной квадратичной функции
обобщённых скоростей

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i =1 j =1

Где вij – обобщенные коэффициенты диссипации.
1.4. Уравнение Лагранжа второго рода
Положение голономной системы, имеющей s степеней свободы, определяется s обобщёнными координатами qj (j = 1, 2,..., s) .
Для вывода уравнений Лагранжа второго рода воспользуемся общим
уравнением динамики
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Где Qj – обобщённая сила активных сил, соответствующая j-ой обобщённой координате;
Q uj – обобщённая сила сил инерции, соответствующая j-ой обобщённой координате;
δ q j – приращение j -ой обобщённой координаты.
Имея в виду, что все δ q j (j = 1, 2,..., s) между собой независимы,
равенство (1.23) будет справедливо лишь в случае, когда каждый из коэффициентов при δ q j в отдельности будет равен нулю, т.е.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
или

(j = 1, 2,..., s) .

Выразим Q uj через кинетическую энергию системы.
По определению обобщённой силы , имеем

Q иj = ∑ Φ k
k =1

∂ rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2,K , s) ,

D vk
где Φ k = − mk a k = − mk
– сила инерции к -ой точки системы.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Подставляя значения (1.27) и (1.28) в равенство (1.26), находим
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

С учётом равенства (1.29) выражение (1.25) перепишем в виде

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
и
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
n

11
Здесь учтено, что сумма производных равна производной от суммы,
n m v2
а ∑ k k = T – кинетическая энергия системы.
k =1
2
Имея в виду равенства (1.24), окончательно находим

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2,K , s) .

Уравнения (1.30) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
Если силы, действующие на точки системы, имеют потенциал, то
для обобщённых сил справедлива формула

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) ,

Где П – потенциальная энергия системы.
Таким образом, для консервативной системы уравнения Лагранжа

Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем.
Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подробного изложения и обоснования самих методов. Главное внимание уделено выяснению принципиальных особенностей изучаемых колебательных моделей реальных систем с использованием наиболее адекватных методов анализа.

Свободные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью.
Рассмотрим теперь другой пример электрической нелинейной консервативной системы, а именно - контур с индуктивностью, зависящей от протекающего по нему тока. Этот случай не имеет наглядного и простого нерелятивистского механического аналога, так как зависимость самоиндукции от тока эквивалентна для механики случаю зависимости массы от скорости.

С электрическими системами подобного типа мы встречаемся тогда, когда в индуктивностях используются сердечники из ферромагнитного материала. В таких случаях для каждого данного сердечника можно получить зависимость между намагничивающим нолем и потоком магнитной индукции. Кривая, изображающая эту зависимость, называется кривой намагничения. Если пренебречь явлением гистерезиса, то примерный ее ход можно представить графиком, изображенным на рис. 1.13. Так как величина поля Н пропорциональна току, текущему в катушке, то по оси абсцисс можно прямо в соответствующем масштабе откладывать ток.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Основы теории колебаний, Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н., 1978 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Начала теоретической физики, Механика, теория поля, элементы квантовой механики, Медведев Б.В., 2007
• Курс физики, Ершов А.П., Федотович Г.В., Харитонов В.Г., Прууэл Э.Р., Медведев Д.А.
• Техническая термодинамика с основами теплопередачи и гидравлики, Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М., 1988

Мы уже рассмотрели зарождение классической механики, сопротивления материалов и теории упругости. Важнейшей составной частью механики является также теория колебаний. Колебания являются основной причиной разрушения машин и сооружений. Уже к концу 1950-х гг. 80 % аварий техники происходило вследствие повышенных вибраций. Колебания также оказывают вредное воздействие на людей, связанных с эксплуатацией техники. Они также могут быть причиной отказа систем управления.

Несмотря на все это теория колебаний выделилась в самостоятельную науку только на рубеже XIX века. Однако расчеты машин и механизмов вплоть до начала XX века проводились в статической постановке. Развитие машиностроения, рост мощности и скорости паровых машин при одновременном снижении их веса, появление новых видов двигателей – ДВС и паровых турбин привело к необходимости проведения расчетов прочности с учетом динамических нагрузок. Как правило, новые задачи теории колебаний возникали в технике под влиянием аварий или даже катастроф, происходящих от повышенных вибраций.

Колебаниями называется движение или изменение состояния, обладающее той или иной степенью повторяемости.

Теорию колебаний можно разделить на четыре периода.

I период – зарождение теории колебаний в рамках теоретической механики (конец XVI века – конец XVIII века). Этот период характеризуется зарождением и развитием динамики в трудах Галилея, Гюйгенса, Ньютона, д"Аламбера, Эйлера, Д. Бернулли и Лагранжа.

Основоположником теории колебаний стал Леонард Эйлер. В 1737 г. Л. Эйлер по поручению Санкт-Петербургской Академии наук начал исследования о равновесии и движении корабля и в 1749 г. его книга «Корабельная наука» была издана в Петербурге. Именно в этом сочинении Эйлера заложены основы теории статической устойчивости и теории колебаний.

Жан Лерон д"Аламбер в своих многочисленных трудах рассмотрел отдельные задачи, такие как малые колебания тела вокруг центра масс и вокруг оси вращения в связи с задачей о прецессии и нутации Земли, колебания маятника, плавающего тела, пружины и т.д. Но общей теории колебаний д"Аламбер не создал.

Важнейшим применением методов теории колебаний было экспериментальное определение жесткости проволоки на кручение, проведенное Шарлем Кулоном. Опытным путем Кулон установил также свойство изохронности малых колебаний и в этой задаче. Исследуя затухание колебаний, этот великий экспериментатор пришел к выводу о том, что главной его причиной является не сопротивление воздуха, а потери от внутреннего трения в материале проволоки.

Большой вклад в основы теории колебаний внесли Л. Эйлер, заложивший основы теории статической устойчивости и теории малых колебаний, д"Аламбер, Д. Бернулли и Лагранж. В их работах сформировались понятия периода и частоты колебаний, формы колебаний, вошел в обиход термин малые колебания, был сформулирован принцип суперпозиции решений, сделаны попытки разложения решения в тригонометрический ряд.

Первыми задачами теории колебаний были задачи колебаний маятника и струны. О колебаниях маятника мы уже говорили – практическим результатом решения этой задачи стало изобретение Гюйгенсом часов.

Что касается задачи о колебаниях струны – то это одна из самых важных задач в истории развития математики и механики. Рассмотрим ее подробнее.

Струна акустики это идеальная ровная, тонкая и гибкая нить конечной длины из твердого материала, натянутая между двумя неподвижными точками. В современной трактовке задача о поперечных колебаниях стру­ны длины l сводится к нахождению решения дифференциального уравнения (1) в частных производных. Здесьx – координата точки струны вдоль длины, а y – ее поперечное смещение; H – натяжение струны, – ее погонная масса.a это скорость распространения волны. Аналогичное уравнение также описывает и продольные колебания столба воздуха в трубе.

При этом должно быть задано начальное распределение отклонений точек струны от прямой линии и их скоростей, т.е. уравнение (1) должно удовлетворять начальным условиям (2) и граничным условиям (3).

Первые фундаментальные экспериментальные исследования колебаний струны провели голландский математик и механик Исаак Бекман (1614–1618) и М. Мерсенн, который установил ряд закономерностей и опубликовал свои результаты в 1636 г. в «Книге о созвучиях»:

Закономерности Мерсенна были в 1715 г. теоретически подтверждены учеником Ньютона Бруком Тейлором. Он рассматривает струну как систему материальных точек и принимает такие допущения: все точки струны одновременно проходят свои положения равновесия (совпадают с осью x ) и сила, действующая на каждую точку, пропорциональна ее смещению y относительно оси x . Это означает, что он сводит задачу к системе с одной степенью свободы – уравнение (4). Тейлор правильно получил первую собственную частоту (основной тон) – (5).

Д"Аламбер в 1747 г. для данной задачи применил метод сведения задачи динамики к задаче статики (принцип д"Аламбера) и получил диф­ференциальное уравнение колебаний однородной струны в частных произ­водных (1) – первое уравнение математической физики. Решение этого уравнения он искал в виде суммы двух произвольных функций (6)

где и– периодические функции периода 2l . При выяснении вопроса о виде функций ид"Аламбер учитывает граничные условия (1.2), предполагая, что при
струна совпадает с осьюx . Значение же
в постановке задачи не указывается.

Эйлер рассматривает частный случай, когда при
струна отклонена от положения равновесия и отпущена без начальной скорости. Существенным является то, что Эйлер не накладывает никаких ограничений на начальную форму струны, т.е. не требует, чтобы она могла быть задана аналитически, рассматривая любую кривую, которая «может быть начерчена от руки». Окончательный результат, полученный автором: если при
форма струны описывается уравнением
, то колебания выглядят так (7). Эйлер пересмотрел свои взгляды на понятие функции, в отличие от прежнего представления о ней только как аналитическом выражении. Тем самым был расширен класс функций, подлежащих изучению в анализе, а Эйлер пришел к выводу о том, что «поскольку любая функция будет задавать некоторую линию, то справедливо и обратное – кривые линии можно сводить к функциям».

Решения, полученные д"Аламбером и Эйлером, представляют закон колебаний струны в виде двух волн, бегущих навстречу друг другу. При этом они не сошлись в вопросе о виде функции, задающей линию изгиба.

Д. Бернулли в изучении колебаний струны пошел другим путем, разбивая струну на материальные точки, количество которых считал бесконечным. Он вводит понятие простого гармонического колебания системы, т.е. такого ее движения, при котором все точки системы колеблются синхронно с одинаковой частотой, но разными амплитудами. Опыты, произведенные со звучащими телами, навели Д. Бернулли на мысль о том, что самое общее движение струны состоит в одновременном совершении всех доступных ей движений. Это так называемая суперпозиция решений. Таким образом, в 1753 г., исходя из физических соображений, он получил общее решение для колебаний струны, представив его в виде суммы частных решений, при каждом из которых струна изгибается в виде характерной кривой (8).

В этом ряду первая форма колебаний представляет собой половину синусоиды, вторая – целую синусоиду, третья состоит из трех полусинусоид и т.д. Их амплитуды представляются в виде функций времени и, по существу, являются обобщенными координатами рассматриваемой системы. Согласно решению Д. Бернулли движение струны представляет собой бесконечный ряд гармонических колебаний с периодами
. При этом количество узлов (неподвижных точек) на одно меньше номера собственной частоты. Ограничивая ряд (8) конечным числом слагаемых, мы для континуальной системы получим конечное число уравнений.

Однако в решении Д. Бернулли содержится неточность – в нем не учитывается, что сдвиг фазы у каждой гармоники колебаний свой.

Д. Бернулли, представив решение в виде тригонометрического ряда, использовал принцип суперпозиции и разложение решения по полной системе функций. Он справедливо полагал, что с помощью различных слагаемых формулы (8) можно объяснить гармонические тоны, которые струна издает одновременно со своим основным тоном. Он рассматривал это как общий закон, справедливый для любой системы тел, совершающей малые колебания. Однако физическая мотивировка не может заменить математического доказательства, которое тогда представлено не было. Из-за этого коллеги не поняли решения Д. Бернулли, хотя еще в 1737 г. К. А. Клеро использовал разложение функций в ряд.

Наличие двух различных способов решения задачи о колебаниях струны вызвал среди ведущих ученых XVIII в. бурную полемику – «спор о струне». Этот спор главным образом касался вопросов о том, какой вид имеют допустимые решения задачи, об аналитическом представлении функции и можно ли представить произвольную функцию в виде тригонометрического ряда. В «споре о струне» получило развитие одно из самых важных понятий анализа – понятие функции.

Д"Аламбер и Эйлер были не согласны с тем, что решение, предложенное Д. Бернулли, может быть общим. В частности, Эйлер никак не мог согласиться с тем, что этот ряд может представлять любую «свободно начерченную кривую», как он сам теперь определял понятие функции.

Жозеф Луи Лагранж, вступив в полемику, разбил струну на малые дуги одинаковой длины с массой, сосредоточенной в центре, и исследовал решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы. Переходя затем к пределу, Лагранж получил результат, аналогичный результату Д. Бернулли, не постулируя, однако, заранее то, что общее решение должно быть бесконечной суммой частных решений. При этом он уточняет решение Д. Бернулли, приводя его в виде (9), а также выводит формулы для определения коэффициентов этого ряда. Хотя решение основателя аналитической механики не соответствует всем требованиям матема­тической строгости, оно было заметным шагом вперед.

Что касается разложения решения в тригонометрический ряд, то Лагранж считал, что при произвольных начальных условиях ряд расходится. Спустя 40 лет, в 1807 г. Ж. Фурье вновь нашел разложение функции в тригонометрический ряд в третий раз и показал, как можно этим пользоваться для решения поставленной задачи, подтвердив тем самым правильность решения Д. Бернулли. Полное аналитическое доказательство теоремы Фурье о разложении однозначной периодической функции в тригонометрический ряд было приведено в интегральном исчислении Тодгёнтера и в «Трактате по натуральной философии» Томсона (лорд Кельвин) и Тэта.

Исследования свободных колебаний натянутой струны продолжались два столетия, если считать от работ Бекмана. Эта задача послужила мощным стимулом для развития математики. Рассматривая колебания континуальных систем, Эйлер, д"Аламбер и Д. Бернулли создали новую дисциплину – математическую физику. Математизация физики, т.е. изложение ее посредством нового анализа – величайшая заслуга Эйлера, благодаря которой были проложены новые пути в науке. Логическим развитием результатов Эйлера и Фурье явилось известное определение функции Лобачевским и Лежён Дирихле, основанное на идее взаимно однозначного соответствия двух множеств. Дирихле также доказал возможность разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций. Было также получено одномерное волновое уравнение и установлена равноправность двух его решений, что математически подтвердило связь между колебаниями и волнами. То, что колеблющаяся струна порождает звук, натолкнуло ученых на мысль об идентичности процесса распространения звука и процесса колебания струны. Была также выявлена важнейшая роль граничных и начальных условий в подобных задачах. Для развития механики важным результатом стало применение принципа д"Аламбера для записи дифференциальных уравнений движения, а для теории колебаний эта задача также сыграла очень важную роль, а именно, был применен принцип суперпозиции и разложение решения по собственным формам колебаний, сформулированы основные понятия теории колебаний – собственная частота и форма колебаний.

Полученные для свободных колебаний струны результаты послужили основой для создания теории колебаний континуальных систем. Дальнейшее же изучение колебаний неоднородных струн, мембран, стержней требовало нахождения специальных методов для решения простейших уравнений гиперболического типа второго и четвертого порядков.

Задача о свободных колебаниях натянутой струны заинтересовала ученых, разумеется, не своим практическим приложением, законы этих колебаний были в той или иной мере известны мастерам, изготавливающим музыкальные инструменты. Об этом свидетельствуют непревзойденные струнные инструменты таких мастеров, как Амати, Страдивари, Гварнери и других, чьи шедевры были созданы еще в XVII веке. Интересы величайших ученых, занимавшихся этой задачей, скорее всего, заключались в стремлении подвести математическую основу под уже существующие законы колебаний струны. В этом вопросе проявился традиционный путь любой науки, начинающийся с создания теории, объясняющей уже известные факты, чтобы затем находить и исследовать непознанные явления.

II период – аналитический (конец XVIII века – конец XIX века). Важнейший шаг в развитии механики удалось совершить Лагранжу, создавшему новую науку – аналитическую механику. Начало второго периода развития теории колебаний связано с работами Лагранжа. В книге «Аналитическая механика», изданной в Париже в 1788 г., Лагранж подвел итог всему, что было сделано в механике в XVIII веке, и сформулировал новый подход к решению ее проблем. В учении о равновесии он отказался от геометрических методов статики и предложил принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). В динамике Лагранж, применив одновременно принцип д"Аламбера и принцип возможных перемещений, получил общее вариационное уравнение динамики, которое также носит название принципа д"Аламбера – Лагранжа. Наконец, он ввел в обиход понятие обобщенных координат и получил уравнения движения в наиболее удобной форме – уравнения Лагранжа II рода.

Эти уравнения стали основой для создания теории малых колебаний, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Линейность редко присуща механической системе, а в большинстве случаев является результатом ее упрощения. Рассматривая малые колебания вблизи положения равновесия, которые осуществляются с малыми скоростями, можно в уравнениях движения отбросить члены второго и высших порядков относительно обобщенных координат и скоростей.

Применяя уравнения Лагранжа II рода для консервативных систем

мы получим систему s линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

, (11)

где I и C – соответственно матрицы инерции и жесткости, компонентами которых будут инерционные и упругие коэффициенты.

Частное решение (11) ищется в виде

и описывает моногармонический колебательный режим с частотой k , одинаковой для всех обобщенных координат. Дифференцируя (12) дважды по t и подставляя результат в уравнения (11), получим систему линейных однородных уравнений для нахождения амплитуд в матричной форме

. (13)

Поскольку при колебаниях системы все амплитуды не могут равняться нулю, нулю равен определитель

. (14)

Уравнение частот (14) получило название векового уравнения, так как впервые его рассмотрели Лагранж и Лаплас в теории вековых возмущений элементов планетных орбит. Оно является уравнением s -й степени относительно , число его корней равно числу степеней свободы системы. Эти корни принято располагать в порядке возрастания, при этом они образуют спектрсобственных частот. Каждому корню соответствует частное решение вида (12), совокупностьs амплитуд представляют собой форму колебаний, а общее решение – сумму этих решений.

Лагранж придал утверждению Д. Бернулли о том, что общее колебательное движение системы дискретных точек состоит в одновременном совершении всех ее гармонических колебаний, вид математической теоремы, воспользовавшись теорией интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, созданной Эйлером в 40-е годы XVIII в. и достижениями д"Аламбера, показавшего, как интегрируются системы таких уравнений. При этом надо было доказать, что корни векового уравнения вещественны, положительны и не равны между собой.

Таким образом, в «Аналитической механике» Лагранж получил уравнение частот в общем виде. Вместе с тем он повторяет ошибку, допущенную д"Аламбером в 1761 г., о том, что кратные корни векового уравнения соответствуют неустойчивому решению, так как якобы при этом в решении появляются вековые или секулярные члены, содержащие t не под знаком синуса или косинуса. В связи с этим и д"Аламбер, и Лагранж считали, что уравнение частот не может иметь кратных корней (парадокс д"Аламбера – Лагранжа). Достаточно было Лагранжу рассмотреть хотя бы сферический маятник или колебания стержня, сечение которого является, например, круглым или квадратным, чтобы убедиться, что кратные частоты в консервативных механических системах возможны. Ошибка, допущенная в первом издании «Аналитической механики» повторилась и во втором издании (1812 г.), вышедшем еще при жизни Лагранжа, и в третьем (1853 г.). Научный авторитет д"Аламбера и Лагранжа был так высок, что эту ошибку повторили и Лаплас, и Пуассон, а исправили ее только лишь спустя почти 100 лет независимо друг от друга в 1858 г. К. Вейерштрасс и в 1859 г. – Осип Иванович Сомов, который внес большой вклад в развитие теории колебаний дискретных систем.

Таким образом, для определения частот и форм свободных колебаний линейной системы без сопротивления нужно решить вековое уравнение (13). Однако уравнения степени выше пятой аналитического решения не имеют.

Проблемой было не только решение векового уравнения, но и, в большей степени, составление его, так как развернутый определитель (13) имеет
слагаемых, например, для системы с 20 степенями свободы количество слагаемых 2,4·10 18 , а время раскрытия такого определителя для самой мощной ЭВМ 1970-х гг., выполняющей 1 млн. операций в секунду, составляет примерно 1,5 млн. лет, а для современного компьютера «всего» несколько сот лет.

Задачу определения частот и форм свободных колебаний можно также рассматривать как задачу линейной алгебры и решать численно. Переписав равенство (13) в виде

, (14)

заметим, что матрица-столбец является собственным вектором матрицы

, (15)

а ее собственным значением.

Решение проблемы собственных значений и векторов является одной из самых привлекательных задач численного анализа. При этом для решения всех задач, встречающихся на практике, нельзя предложить единого алгоритма. Выбор алгоритма зависит от вида матрицы, а также от того, нужно ли определять все собственные значения или только наименьшие (наибольшие) или близкие к данному числу. В 1846 г. Карл Густав Якоб Якóби для решения полной проблемы собственных значений предложил итерационный метод вращений. Метод основан на такой бесконечной последовательности элементарных вращений, которая в пределе преобразует матрицу (15) в диагональную. Диагональные элементы полученной матрицы и будут искомыми собственными значениями. При этом для определения собственных значений требуется
арифметических операций, а для собственных векторов еще
операций. В связи с этим метод в XIX в. не нашел применения и был забыт более чем на сто лет.

Следующим важным шагом в развитии теории колебаний были работы Рэлея, особенно его фундаментальный труд «Теория звука». В этой книге Рэлей с единой точки зрения рассматривает колебательные явления в механике, акустике и электрических системах. Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний (теоремы о стационарности и свойствах собственных частот). Рэлей сформулировал и принцип взаимности. По аналогии с кинетической и потенциальной энергией он ввел диссипативную функцию, получила имя Рэлея и представляет собой половину скорости рассеивания энергии.

В «Теории звука» Рэлей также предлагает приближенный метод определения первой собственной частоты консервативной системы

, (16)

где
. При этом для вычисления макси­мальных значений потенциальной и кинетической энергий берется некоторая форма колебаний. Если она совпадет с первой формой колебаний системы, мы получим точное значение первой собственной частоты, а в противном случае это значение всегда завышено. Метод дает вполне приемлемую для практики точность, если в качестве первой формы колебаний взять статическую деформацию системы.

Таким образом, еще в XIX веке в трудах Сомова и Рэлея сформировалась методика построения дифференциальных уравнений, описывающих малые колебательные движения дискретных механических систем с помощью уравнений Лагранжа II рода

где в обобщенную силу
должны быть включены все силовые факторы, за исключением упругих и диссипативных, охваченных функциямиR и П.

Уравнения Лагранжа (17) в матричной форме, описывающие вынужденные колебания механической системы, после подстановки всех функций выглядят так

. (18)

Здесь – матрица демпфирования, а
– векторы-столбцы соответственно обобщенных координат, скоростей и ускорений. Общее решение данного уравнения состоит из свободных и сопровождающих колебаний, которые всегда являются затухающими и вынужденных колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы. Ограничимся рассмотрением только частного решения, соответствующего вынужденным колебаниям. В качестве возбуждения Рэлей рассматривал обобщенные силы, изменяющиеся по гармоническому закону. Многие относили этот выбор к простоте рассматриваемого случая, однако Рэлей приводит более убедительное объяснение – разложение в ряд Фурье.

Таким образом, для механической системы, имеющей свыше двух степеней свободы, решение системы уравнений представляет определенные трудности, которые лавинообразно возрастают при возрастании порядка системы. Уже при пяти – шести степенях свободы задача о вынужденных колебаниях классическим способом вручную решена быть не может.

В теории колебаний механических систем малые (линейные) колебания дискретных систем сыграли особую роль. Разработанная для линейных систем спектральная теория не требует даже построения дифференциальных уравнений, а для получения решения можно сразу записать системы линейных алгебраических уравнений. Хотя в середине XIX века и были разработаны методы определения собственных векторов и собственных значений (Якоби), а также решения системы линейных алгебраических уравнений (Гаусс), о практическом их применении даже для систем с небольшим числом степеней свободы не могло быть и речи. Поэтому до появления достаточно мощных ЭВМ было разработано множество различных способов решения задачи о свободных и вынужденных колебаниях линейных механических систем. Многие выдающиеся ученые – математики и механики занимались этими задачами, речь о них пойдет ниже. Появление мощной вычислительной техники позволило не только в доли секунды решать линейные задачи большой размерности, но и автоматизировать сам процесс составления систем уравнений.

Таким образом, в течении XVIII в. в теории малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы и колебаний континуальных упругих систем были выработаны основные физические схемы и разъяснены принципы, существенные для математического анализа проблем. Однако для создания теории механических колебаний как самостоятельной науки не хватало единого подхода к решению задач динамики, а для более быстрого ее развития не было запросов техники.

Рост крупной промышленности в конце XVIII – начале XIX века, вызванный повсеместным внедрением паровой машины обусловил выделение прикладной механики в отдельную дисциплину. Но вплоть до конца XIX века расчеты на прочность велись в статической постановке, так как машины были еще маломощными и тихоходными.

К концу XIX века, с ростом скоростей и уменьшением габаритов машин пренебрегать колебаниями стало невозможно. Многочисленные аварии, происходившие от наступления резонанса или усталостного разрушения при колебаниях, заставили инженеров обратить внимание на колебательные процессы. Из возникших в этот период проблем следует отметить следующие: обрушение мостов от проходящих поездов, крутильные колебания валопроводов и вибрации судовых корпусов, возбуждаемые силами инерции движущихся частей неуравновешенных машин.

III период – становление и развитие прикладной теории колебаний (1900–1960-е гг.). Развивающееся машиностроение, совершенствование локомотивов и кораблей, появление паровых и газовых турбин, быстроходных ДВС, автомобилей, самолетов и т.д. потребовали более точного анализа напряжений в деталях машин. Это было продиктовано требованиями более экономного использования металла. Облегчение конструкций породило проблемы вибраций, которые все чаще становятся решающими в вопросах прочности машин. В начале XX века многочисленные аварии убедительно показывают, к каким катастрофическим последствиям может привести пренебрежение вибрациями или незнание их.

Появление новой техники, как правило, ставит новые задачи перед теорией колебаний. Так в 30–40-е гг. возникли новые задачи, такие как срывной флаттер и шимми в авиации, изгибные и изгибно-крутильные колебания вращающихся валов и др., что потребовало разработки новых методов расчетов колебаний. В конце 20-х годов сначала в физике, а затем и в механике начинается исследование нелинейных колебаний. В связи с развитием систем автоматического управления и другими запросами техники, начиная с 30-х гг., получила широкое развитие и применение теория устойчивости движения, основой которой послужила докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения».

Отсутствие аналитического решения для задач теории колебаний даже в линейной постановке, с одной стороны, а вычислительной техники – с другой, привело к разработке большого количества разнообразных численных методов их решения.

Необходимость проведения расчетов колебаний для различных видов техники привело появлению в 1930-е годы первых учебных курсов теории колебаний.

Переход к IV периоду (начало 1960-х годов – настоящее время) связан с эпохой НТР и характеризуется появлением новой техники, в первую очередь авиационной и космической, робототехнических систем. Кроме того, развитие энергомашиностроения, транспорта, и др. выдвинуло проблемы динамической прочности и надежности на первое место. Это объясняется возрастанием эксплуатационных скоростей и снижением материалоемкости с одновременным стремлением к повышению ресурса машин. В теории колебаний все больше задач решается в нелинейной постановке. В области колебаний континуальных систем, под влиянием запросов авиационной и космической техники возникают задачи динамики пластин и оболочек.

Наибольшее влияние на развитие теории колебаний в этом периоде оказывает появление и стремительное развитие электронной вычислительной техники, обусловившее развитие численных методов расчетов колебаний.

Колебательным движением называется всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности воды; внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется человеческое сердце.

В физике выделяются колебания механические и электромагнитные. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большое число прямой информации об окружающем мире. Примерами колебательного движения в механике могут быть колебания маятников, струн, мостов и т.д.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса):

где x – смещение от положение равновесия;

А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия;

- циклическая частота;

- начальная фаза колебания;

- фаза колебания; она определяет смещение в любой момент времени, т.е. определяет состояние колебательной системы.

В случае строго гармонических колебаний величины А, ине зависят от времени.

Циклическая частота связана с периодом Т колебаний и частотойсоотношением:

(2)

Периодом Т колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания.

Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за единицу времени, измеряется в герцах (1 Гц = 1
).

Циклическая частота численно равна числу колебаний, совершаемых за 2 секунд.

Колебания, возникающее в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными (или собственными).

Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называются незатухающими .

Скорость колебания точки определим как производную от смещения по времени:

(3)

Ускорение колеблющейся точки равно производной от скорости по времени:

(4)

Уравнение (4) показывает, что ускорение при гармонических колебаниях – переменно, следовательно, колебание обусловлено действием переменной силы.

Второй закон Ньютона позволяет в общем виде записать связь между силой F и ускорением при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки с массой
:

где
, (6)

к – коэффициент упругости.

Таким образом, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать динамическое определение гармонического колебания: гармоническим называется колебание, вызываемое силой, прямо пропорциональной смещению х и направленной против смещения.

Возвращающей силой может быть, например, сила упругости. Силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также удовлетворяющие условию (5), называются квазиупругими .

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х ускорение равно:

.

Подставив это выражение для ускорения и значение силы
во второй закон Ньютона, получимосновное уравнение прямолинейных гармонических колебиний:

или
(7)

Решением этого уравнения является уравнение (1).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М.БЕРБЕКОВА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ, ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ,

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

Для студентов механических специальностей вузов

Нальчик 2003

Рецензенты:

– доктор физико-математических наук, профессор, директор НИИ прикладной математики и автоматизации РАН, засл. деятель науки РФ, академик АМАН.

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Прикладной математики Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии.

Культербаев теории колебаний. Основы теории, задачи для домашних заданий, примеры решений.

Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов 657800 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 655800 Пищевая инженерия. –Нальчик: Издательство КБГУ им. , 20с.

В книге изложены основы теории колебаний линейных механических систем, а также приведены задачи для домашних заданий с примерами их решения. Содержание теории и задания ориентированы на студентов механических специальностей.

Рассматриваются как дискретные, так и распределённые системы. Количество несовпадающих вариантов для домашних заданий позволяет использовать их для большого потока обучаемых.

Издание может быть полезно также для преподавателей, аспирантов и специалистов различных областей науки и техники, проявляющих интерес к приложениям теории колебаний.

© Кабардино-Балкарский государственный университет им.

Предисловие

Книга написана на основе курса, читаемого автором на инженерно-техническом факультете Кабардино-Балкарского госуниверситета студентам механических специальностей.

Механизмы и конструкции современной техники зачастую работают при сложных динамических режимах нагружения, поэтому постоянный интерес к теории колебаний поддерживается запросами практики. Теория колебаний и её приложения имеют обширную библиографию , включающую немалое количество учебников и учебных пособий . Часть из них приведена в списке литературы в конце данного учебного пособия. Почти вся существующая учебная литература предназначена для читателей, изучающих данный курс в большом объёме и специализирующихся в направлениях инженерной деятельности, так или иначе, существенно связанных с динамикой конструкций. Между тем в настоящее время все инженеры механических специальностей испытывают потребность в овладении теорией колебаний на достаточно серьёзном уровне. Попытка удовлетворить таким требованиям приводит к введению в образовательные программы многих вузов небольших по объёму специальных курсов. Данное учебное пособие призвано удовлетворить именно таким запросам, и содержит основы теории, задачи для домашних заданий и примеры по их решению. Этим обоснованы ограниченный объём учебника, выбор его содержания и название: «Основы теории колебаний». Действительно, в учебнике излагаются лишь основные вопросы и методы дисциплины. Заинтересованный читатель может воспользоваться известными научными монографиями и учебными пособиями, приведёнными в конце данного издания, для углублённого изучения теории и её многочисленных приложений.

Книга рассчитана на читателя, имеющего подготовку в объёме обычных втузовских курсов высшей математики, теоретической механики и сопротивления материалов.

В изучении такого курса существенный объём занимает выполнение домашних заданий в виде курсовых, контрольных, расчётно-проектировочных, расчётно-графических и других работ, требующих достаточно большого времени. Существующие задачники и пособия по решению задач не предназначены для указанных целей. Кроме того, имеется явная целесообразность в совмещении в одном издании теории и домашних заданий, объединённых общим содержанием, тематической направленностью и дополняющих друг друга.

При выполнении и оформлении домашних заданий студент сталкивается с множеством вопросов, которые не излагаются или недостаточно поясняются в теоретической части дисциплины; у него возникают трудности изложения хода решения задачи, способов аргументирования принимаемых решений, структурирования и оформления записей.

Испытывают затруднения и преподаватели, но уже организационного характера. Им приходится часто пересматривать объёмы, содержание и структуру домашних заданий, составлять многочисленные варианты задач, обеспечивать своевременную выдачу несовпадающих заданий в массовом порядке, проводить многочисленные консультации, разъяснения и т. д.

Данное пособие предназначено, в том числе, для уменьшения и исключения трудностей и сложностей перечисленного характера в условиях массового обучения. Оно содержит две задачи, по своей тематике охватывающие наиболее важные и базовые вопросы курса:

1. Колебания систем с одной степенью свободы.

2. Колебания систем с двумя степенями свободы.

Эти задачи по своему объёму и содержанию могут стать расчётно-проектировочными работами для студентов очных, очно-заочных форм обучения или контрольными работами для студентов заочной формы обучения.

Для удобства читателей в книге использована автономная нумерация формул (уравнений) и рисунков внутри каждого параграфа с помощью обычного десятичного числа в скобках. Ссылка внутри текущего параграфа делается простым указанием такого номера. При необходимости ссылки на формулу предыдущих параграфов, указывается номер параграфа и далее через точку – номер самой формулы. Так, например, обозначение (3.2.4) соответствует формуле (4) в параграфе 3.2 данной главы. Ссылка на формулу предыдущих глав делается так же, но с указанием на первом месте номера главы и точки.

Книга является попыткой удовлетворить запросам профессиональной подготовки студентов определённых направлений. Автор отдаёт себе отчёт в том, что она, по-видимому, не будет свободна от недостатков, и поэтому примет с благодарностью возможную критику и замечания читателей для улучшения последующих изданий.

Книга может оказаться полезной также специалистам, интересующимся приложениями теории колебаний в различных областях физики, техники, строительства и других областей знаний и производственной деятельности.

Глава I

ВВЕДЕНИЕ

1.Предмет теории колебаний

Некоторая система перемещается в пространстве так, что её состояние в каждый момент времени t описывается некоторым набором параметров: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height="23 src=">.gif" width="48" height="24"> и внешние воздействия . И далее задача состоит в том, чтобы предсказать дальнейшую эволюцию системы во времени: (рис. 1).

Пусть одной из изменяющихся характеристик системы будет , . Могут быть различные характерные разновидности его изменения во времени: монотонный (рис. 2), немонотонный (рис. 3), существенно немонотонный (рис.4).

Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями. Колебания широко распространены в природе, технике и человеческой деятельности: ритмы головного мозга, колебания маятника, биение сердца, колебания звезд, колебания атомов и молекул, колебания силы тока в электрической цепи, колебания температуры воздуха, колебания цен на продукты питания, вибрация звука, вибрация струны музыкального инструмента.

Предметом изучения данного курса являются механические колебания, т. е. колебания в механических системах.

2. Классификация колебательных систем

Пусть u (х , t) – вектор состояния системы, f (х , t) – вектор воздействий на систему со стороны окружающей среды (рис. 1). Динамика системы описывается операторным уравнением

Lu (х , t) = f (х , t), (1)

где оператор L задаётся уравнениями колебаний и дополнительными условиями (граничными, начальными). В таком уравнении u и f могут быть и скалярными величинами.

Наиболее простая классификация колебательных систем может быть произведена по их числу степеней свободы . Число степеней свободы – это количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой момент времени t. По этому признаку колебательные системы можно относить к одному из трёх классов:

1)Системы с одной степенью свободы .

2)Системы с конечным числом степеней свободы . Они часто называются также дискретными системами .

3)Системы с бесконечным несчётным числом степеней свободы (континуальные, распределённые системы).

На рис. 2 приведён ряд иллюстрирующих примеров по каждому их классов. Для каждой схемы в кружочках указано число степеней свободы. На последней схеме представлена распределённая система в виде упругой деформируемой балки. Для описания её конфигурации требуется функция u(x, t), т. е. бесконечное множество значений u.

Каждому классу колебательных систем соответствует своя математическая модель. Например, система с одной степенью свободы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, системы с конечным числом степеней свободы – системой обыкновенных дифференциальных уравнений, распределённые системы – дифференциальными уравнениями в частных производных.

В зависимости от типа оператора L в модели (1) колебательные системы делятся на линейные и нелинейные . Система считается линейной , если соответствующий ей оператор является линейной, т. е. удовлетворяет условию

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил). Суть его на примере (рис..gif" width="36" height="24 src="> состоит в следующем..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width="88" height="24">.

Стационарные и нестационарные системы. У стационарных систем на рассматриваемом отрезке времени , свойства во времени не изменяются. В противном случае системы называется нестационарными. Следующие два рисунка наглядно демонстрируют колебания в таких системах. На рис. 4 показаны колебания в стационарной системе при установившемся режиме, на рис. 5 - колебания в нестационарной системе.

Процессы в стационарных системах описываются дифференциальными уравнениями с коэффициентами, постоянными во времени, в нестационарных системах – с переменными коэффициентами.

Автономные и неавтономные системы. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. Колебательные процессы в них могут происходить лишь за счёт внутренних источников энергии или же за счёт энергии, сообщённой системе в начальный момент времени. В операторном уравнении (1) тогда правая часть не зависит от времени, т. е. f (x , t) = f (x ). Остальные системы являются неавтономными.

Консервативные и неконсервативные системы. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55">Свободные колебания. Свободные колебания совершаются при отсутствии переменного внешнего воздействия, без притока энергии извне. Такие колебания могут происходить лишь в автономных системах (рис. 1).

Вынужденные колебания. Такие колебания имеют место в неавтономных системах, и их источниками являются переменные внешние воздействия (рис. 2).

Параметрические колебания. Параметры колебательной системы могут изменяться во времени, и это может стать источником колебаний. Такие колебания называются параметрическими. Верхняя точка подвеса физического маятника (рис..gif" width="28" height="23 src=">, что служит причиной возникновения поперечных параметрических колебаний (рис. 5).

Автоколебания (самовозбуждающиеся колебания). У таких колебаний источники имеют неколебательную природу, и при этом сами источники включены в колебательную систему. На рис. 6 показана масса на пружине, лежащая на движущейся ленте. На неё действуют две силы: сила трения и упругая сила натяжения пружины, и они меняются во времени. Первая зависит от разности скоростей ленты и массы, вторая от величины и знака деформации пружины, поэтому масса находится под воздействием равнодействующей силы, направленной то влево, то вправо и совершает колебания.

Во втором примере (рис. 7) левый конец пружины перемещается вправо с постоянной скоростью v, вследствие чего пружина перемещает груз по неподвижной поверхности. Образуется ситуация, подобная описанной для предыдущего случая, и груз начинает колебаться.

4. Кинематика периодических колебательных процессов

Пусть процесс характеризуется одной скалярной переменной , являющейся, например, перемещением. Тогда - скорость, - ускорение..gif" width="11 height=17" height="17"> выполняется условие

,

то колебания называются периодическими (рис. 1). При этом наименьшее из таких чисел называется периодом колебаний . Единицей измерения периода колебаний является, чаще всего, секунда, обозначаемая с или сек. Употребляются ещё единицы измерения в минутах, часах и т. д. Другой, также важной характеристикой периодического колебательного процесса является частота колебаний

определяющая количество полных циклов колебаний за 1 единицу времени (например, в секунду). Такая частота измеряется в или герцах (Гц), так что означает 5 полных циклов колебаний за одну секунду. В математических выкладках теории колебаний более удобной оказывается угловая частота

,

измеряемая в https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Наиболее простыми из периодических колебаний, но чрезвычайно важными для построения теоретической базы теории колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания, изменяющиеся по закону

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – амплитуда, - фаза колебаний, - начальная фаза..gif" width="196" height="24">,

а затем и ускорение

Вместо (1) часто пользуются альтернативной записью

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Описания (1) и (2) могут быть представлены и в виде

Между константами в формулах (1), (2), (3) существуют легко доказуемые соотношения

Использование методов и представлений теории функций комплексных переменных во многом упрощает описание колебаний. Центральное место в таком случае занимает формула Эйлера

.

Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Формулы (1) и (2) содержатся в (4). Например, синусоидальные колебания (1) можно представлять как мнимую составляющую (4)

а (2) - в виде вещественной составляющей

Полигармонические колебания. Сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами будет гармоническим колебанием с той же частотой

Слагаемые могли быть и с неодинаковыми частотами

Тогда сумма (5) будет периодической функцией с периодом , лишь в том случае, если , , где и – целые числа, причём несократимая дробь, рациональное число. Вообще же, если два и более гармонических колебаний имеют частоты с соотношениями в виде рациональных дробей, то их суммы являются периодическими, но не гармоническими колебаниями. Такие колебания называются полигармоническими .

Если периодические колебания не гармонические, то всё же их зачастую выгодно представлять в виде суммы гармонических колебаний с помощью ряда Фурье

Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> – номер гармоники, характеризует среднее значение отклонений, https://pandia.ru/text/78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – первая, основная гармоника, (https://pandia.ru/text/78/502/images/image080_11.gif" width="207" height="24"> образует частотный спектр колебаний.

П р и м е ч а н и е. Теоретическим обоснованием возможности представления функции колебательного процесса рядом Фурье служит теорема Дирихле для периодической функции:

Если функция задана на сегменте и является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её ряд Фурье сходится во всех точках сегмента https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif" width="28" height="23 src="> – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(t), то во всех точках непрерывности этой функции

а во всех точках разрыва

.

Кроме того,

.

Очевидно, что реальные колебательные процессы удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.

В частотном спектре каждой частоте соответствует амплитуда Аk и начальная фаза https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, .

Они образуют амплитудный спектр https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. Наглядное представление об амплитудном спектре даёт рис. 2.

Определение спектра частот и коэффициентов Фурье называется спектральным анализом . Из теории рядов Фурье известны формулы