Bir matris örneğinin sırasını belirleyin. Bir matrisin derecesini bulun: yöntemler ve örnekler

Bu makale, matrisin rankı gibi bir kavramı ve gerekli ek kavramları tartışacaktır. Bir matrisin rankını bulmanın örneklerini ve kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca size matris minörünün ne olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu anlatacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

matris minör

Bir matrisin rankının ne olduğunu anlamak için, matris minör gibi bir kavramı anlamak gerekir.

tanım 1

Küçükkmertebe matrisi - önceden seçilmiş k-satırlarında ve k-sütunlarında bulunan, A matrisinin elemanlarının konumunu korurken, A matrisinin elemanlarından oluşan, k × k mertebesinde bir kare matrisin determinantı.

Basitçe söylemek gerekirse, A matrisindeki (pk) satırları ve (nk) sütunlarını silersek ve A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak kalan bu elemanların bir matrisini yaparsak, ortaya çıkan matrisin determinantı şudur: A matrisinin k mertebesinden minör.

Örnekten, A matrisinin birinci dereceden küçüklerinin matris elemanlarının kendileri olduğu sonucu çıkar.

2. dereceden küçüklere birkaç örnek verebiliriz. İki satır ve iki sütun seçelim. Örneğin, 1. ve 2. satır, 3. ve 4. sütun.

Bu eleman seçimi ile ikinci mertebenin minörü - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 olacaktır.

A matrisinin başka bir 2. dereceden minörü 0 0 1 1 = 0

A matrisinin ikinci mertebeden küçüklerinin yapımının örneklerini verelim:

3. dereceden minör, A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matrisinin 3. dereceden minörünün nasıl elde edildiğine dair bir örnek:

Belirli bir matris için 3. dereceden daha yüksek minör yoktur, çünkü

k ≤ m ben n (p , n) = m ben n (3 , 4) = 3

p×n düzeyindeki bir A matrisi için kaç k-inci dereceden minör vardır?

Küçüklerin sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! ve Cnk = n! k! (n - k) ! - sırasıyla p'den k'ye, n'den k'ye kombinasyon sayısı.

A matrisinin minörlerinin ne olduğuna karar verdikten sonra, A matrisinin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Matris sıralaması: bulma yöntemleri

matris sıralaması - sıfır dışında matrisin en yüksek mertebesi.

Tanım 1

Sıra (A), Rg(A), Rang(A).

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının sıfırdan farklı olduğu anlaşılır.

Tanıma göre bir matrisin sırasını bulma

Küçük numaralandırma yöntemi - bir matrisin sırasını belirlemeye dayalı bir yöntem.

Küçüklerin numaralandırılmasıyla eylemlerin algoritması :

A matrisinin sırasını bulmak gerekir. P× n. En az bir sıfır olmayan eleman varsa, matrisin sırası en az bire eşittir ( Çünkü sıfıra eşit olmayan bir 1. dereceden küçük).

Ardından 2. dereceden küçüklerin numaralandırılması gelir. Tüm 2. dereceden küçükler sıfıra eşitse, sıra bire eşittir. 2. mertebeden en az bir sıfır olmayan minör varsa, 3. mertebeden minörlerin numaralandırılmasına gitmek gerekir ve bu durumda matrisin rankı en az iki olacaktır.

Aynısını 3. mertebenin rankı ile yapalım: matrisin tüm minörleri sıfıra eşitse, rank ikiye eşit olacaktır. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür. Ve benzeri, benzetme yoluyla.

Örnek 2

Bir matrisin derecesini bulun:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matris sıfır olmadığı için sıralaması en az bire eşittir.

2. sıra minör - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sıfır değildir. Bu, A matrisinin rankının en az iki olduğu anlamına gelir.

3. sıradaki küçükleri sıralarız: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 adet.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3. dereceden küçükler sıfırdır, bu nedenle matrisin sırası ikidir.

Yanıt vermek : Sıra (A) = 2.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma

Fringing Minör Yöntemi - daha az hesaplamalı çalışma ile sonuç almanızı sağlayan bir yöntem.

yan minör - minör M ok (k + 1) - minör M ok'a karşılık gelen matris minöre karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin k dereceli minör M'sini sınırlayan A matrisinin -th mertebesi M.

Basitçe söylemek gerekirse, kenarlıklı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M o k'ye karşılık gelen matristen elde edilir.

Örnek 3

Bir matrisin derecesini bulun:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Sıralamayı bulmak için 2. dereceden küçük M = 2 - 1 4 1 alıyoruz

Sınırdaki tüm küçükleri yazıyoruz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Küçükleri sınırlama yöntemini doğrulamak için, formülasyonu bir kanıt temeli gerektirmeyen bir teorem sunuyoruz.

teorem 1

Eğer p ile n mertebesine sahip bir A matrisinin k-inci dereceden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) mertebesinden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Eylem algoritması :

Bir matrisin rankını bulmak için tüm minörlerin üzerinden geçmeniz gerekmez, sadece sınırlara bakın.

Sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası sıfırdır. Sıfıra eşit olmayan en az bir reşit olmayan varsa, o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız.

Hepsi sıfırsa, Rank(A) ikidir. En az bir sıfırdan farklı sınırda çocuk varsa, o zaman sınırdaki çocukları dikkate almaya devam ederiz. Ve benzeri, benzer şekilde.

Örnek 4

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulun

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Nasıl karar verilir?

A matrisinin a 11 elemanı sıfıra eşit olmadığından, 1. mertebenin minörünü alırız. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Sıfır 2 0 4 1'e eşit olmayan 2. dereceden bir sınırlayıcı minör bulduk.

Kenardaki küçükleri sıralayalım - (4 - 2) × (5 - 2) = 6 adet var.

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Yanıt vermek : Sıra(A) = 2.

Gauss yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (temel dönüşümleri kullanarak)

Temel dönüşümlerin ne olduğunu hatırlayın.

Temel dönüşümler:

• matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleyerek;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı rastgele bir sayı k ile çarparak;

matrisin başka bir satırına (sütununa) karşılık gelen herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına ekleyerek, bunlar keyfi bir sayı k ile çarpılır.

tanım 5

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını bulma - matris denkliği teorisine dayalı bir yöntem: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B).

Bu ifadenin geçerliliği, matrisin tanımından kaynaklanmaktadır:

• bir matrisin satırlarının veya sütunlarının permütasyonu durumunda, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara veya sütunlara izin verirken sıfıra eşit kalır;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan keyfi bir k sayısı ile çarpılması durumunda, ortaya çıkan matrisin determinantı, çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir k ile;

matrisin belirli bir satırının veya sütununun elemanlarına eklenmesi durumunda, k sayısı ile çarpılan başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü : sırası bulunacak matrisi, temel dönüşümleri kullanarak yamuk olana indirgeyin.

Ne için?

Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak oldukça kolaydır. En az bir boş olmayan öğeye sahip satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında rank değişmediği için, bu matrisin rankı olacaktır.

Bu süreci örneklendirelim:

• Satır sayısı sütun sayısından büyük olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , Sıra (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Sıra (A) = k

• Satır sayısı sütun sayısından az olan, p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn , Sıra (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• n'den n'ye kadar olan A kare matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 milyar - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Sıra (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Sıra (A) = k , k< n

Örnek 5

Temel dönüşümleri kullanarak A matrisinin sırasını bulun:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Nasıl karar verilir?

a 11 öğesi sıfır olmadığı için, A matrisinin ilk satırının öğelerini 1 a 11 \u003d 1 2 ile çarpmak gerekir:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2. sıranın elemanlarına, (-3) ile çarpılan 1. sıranın karşılık gelen elemanlarını ekliyoruz. 3. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını ekleriz, bunlar (-1) ile çarpılır:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) öğesi sıfır değildir, bu nedenle A matrisinin 2. satırının öğelerini A (2) ile 1 a 22 (2) = - 2 3 ile çarparız:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Ortaya çıkan matrisin 3. satırının öğelerine, 2. satırın karşılık gelen öğelerini ekliyoruz, bunlar 3 ile çarpılıyor 2 ;
• 4. sıranın elemanlarına - 2. sıranın elemanları, 9 2 ile çarpılır;
• 5. sıranın öğelerine - 2. sıranın 3 ile çarpılmış öğeleri 2 .

Tüm satır öğeleri sıfırdır. Böylece, temel dönüşümlerin yardımıyla, matrisi, Ra n k (A (4)) = 2 olduğu görülebileceği şekilde yamuk bir forma indirdik. Orijinal matrisin sıralamasının da ikiye eşit olduğunu takip eder.

Yorum Yap

Temel dönüşümler yaparsanız, yaklaşık değerlere izin verilmez!

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

matris sıralaması sıfır olmayan küçüklerin en büyük sırasıdır. Bir matrisin rankı veya ile gösterilir.

Belirli bir matrisin tüm mertebeden minörleri sıfırsa, bu matrisin tüm yüksek mertebeden minörleri de sıfırdır. Bu, determinantın tanımından kaynaklanmaktadır. Bu, bir matrisin sırasını bulmak için bir algoritma anlamına gelir.

Tüm birinci dereceden küçükler (matrisin öğeleri) sıfıra eşitse, o zaman . Birinci dereceden minörlerden en az biri sıfırdan farklıysa ve tüm ikinci dereceden minörler sıfıra eşitse, o zaman . Ayrıca, sadece birinci dereceden sıfır olmayan minöre komşu olan ikinci dereceden küçüklere bakmak yeterlidir. Sıfırdan farklı bir ikinci dereceden küçük varsa, sıfır olmayan ikinci dereceden küçükleri çevreleyen üçüncü dereceden küçükler araştırılır. Bu, iki durumdan birine ulaşılana kadar devam eder: ya -th sırasının sıfır olmayan minörünü çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir ya da böyle küçükler yoktur. O zamanlar .

Örnek 10 Matrisin rankını hesaplayın.

Birinci dereceden minör (eleman) sıfırdan farklıdır. Onu çevreleyen minör de sıfır değildir.

Tüm bu minörler sıfıra eşittir, yani .

Bir matrisin derecesini bulmak için yukarıdaki algoritma, çok sayıda belirleyicinin hesaplanmasını içerdiğinden her zaman uygun değildir. Bir matrisin sıralamasını hesaplarken, matrisin o kadar basit bir forma indirgendiği yardımıyla, temel dönüşümleri kullanmak en uygunudur, böylece sıralamasının ne olduğu açıktır.

Temel matris dönüşümleri aşağıdaki dönüşümler denir:

Ø matrisin herhangi bir satırının (sütununun) sıfır olmayan bir sayı ile çarpımı;

Ø keyfi bir sayı ile çarpılarak başka bir satırın (sütun) bir satırına (sütununa) ekleme.

Yarım Ürdün matris satır dönüşümü:

bir çözümleme öğesiyle, matris satırlarıyla aşağıdaki dönüşüm kümesi çağrılır:

Ø ilk satıra bir sayı ile çarpılarak u ekleyin, vb.;

Ø son satıra sayı ile çarpılarak u ekleyin.

Matris sütunlarının Yarı Ürdün dönüşümü bir çözümleme elemanı ile matris sütunları ile aşağıdaki dönüşümler kümesi olarak adlandırılır:

Ø ilk sütuna th ekleyin, bir sayı ile çarpın, vb.;

Ø son sütuna th'yi sayı ile çarparak ekleyin.

Bu dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra elde edilen matris:

Bir kare matrisin satır veya sütunlarının Yarı Ürdün dönüşümü determinantını değiştirmez.

Bir matrisin temel dönüşümleri sırasını değiştirmez. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin sırasının nasıl hesaplanacağına bir örnek gösterelim. satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımlıdır.

Bir matris verilsin:

.

Bu matriste seçin keyfi çizgiler ve keyfi sütunlar
. Daha sonra determinant matris elemanlarından oluşan inci mertebe
seçilen satırların ve sütunların kesişiminde bulunan, küçük olarak adlandırılır -inci sıra matrisi
.

Tanım 1.13. matris sıralaması
bu matrisin sıfır olmayan minörünün en büyük mertebesidir.

Bir matrisin derecesini hesaplamak için, en küçük mertebedeki tüm minörleri dikkate alınmalı ve bunlardan en az biri sıfır değilse, en yüksek mertebeden minörlerin değerlendirilmesine geçilmelidir. Bir matrisin sırasını belirlemeye yönelik bu yaklaşıma, sınırlayıcı yöntem (veya sınırlayıcı küçükler yöntemi) adı verilir.

Görev 1.4. Küçükleri sınırlandırma yöntemiyle, bir matrisin sırasını belirleyin
.

.

Birinci dereceden sınırlamayı düşünün, örneğin,
. Ardından, ikinci derecenin bazı sınırlarının dikkate alınmasına dönüyoruz.

Örneğin,
.

Son olarak üçüncü mertebenin bordürünü inceleyelim.

.

Yani sıfır olmayan bir minörün en yüksek mertebesi 2'dir, dolayısıyla
.

Problem 1.4'ü çözerken, ikinci dereceden sınırdaki küçüklerin serisinin sıfır olmadığı fark edilebilir. Bu bağlamda, aşağıdaki kavram gerçekleşir.

Tanım 1.14. Bir matrisin temel minörü, sırası matrisin derecesine eşit olan sıfır olmayan herhangi bir minördür.

Teorem 1.2.(Temel minör teoremi). Temel satırlar (temel sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.

Bir matrisin satırlarının (sütunlarının), ancak ve ancak bunlardan en az birinin diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlı olduğuna dikkat edin.

Teorem 1.3. Lineer bağımsız matris satırlarının sayısı, lineer bağımsız matris sütunlarının sayısına ve matrisin rankına eşittir.

Teorem 1.4.(Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul). Determinant için -inci sıra sıfıra eşitse, satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Tanımına göre bir matrisin derecesini hesaplamak çok zahmetlidir. Bu, özellikle yüksek dereceli matrisler için önemli hale gelir. Bu bağlamda, pratikte, bir matrisin sırası, 10.2 - 10.4 Teoremlerinin uygulanmasına ve ayrıca matris denkliği ve temel dönüşüm kavramlarının kullanımına dayalı olarak hesaplanır.

Tanım 1.15. iki matris
ve sıraları eşitse eşdeğer olarak adlandırılır, yani.
.

Eğer matrisler
ve eşdeğerdir, sonra not edin
 .

Teorem 1.5. Bir matrisin rankı, temel dönüşümlerden değişmez.

Matrisin temel dönüşümlerini arayacağız
matris üzerinde aşağıdaki eylemlerden herhangi biri:

Satırları sütunlarla ve sütunları karşılık gelen satırlarla değiştirmek;

Matris satırlarının permütasyonu;

Tüm öğeleri sıfıra eşit olan bir çizgiyi geçmek;

Herhangi bir dizgeyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpma;

Bir satırın elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının aynı sayı ile çarpılması
.

Teoremin Sonuçları 1.5. matris ise
matristen elde edilen sonlu sayıda temel dönüşüm kullanarak, ardından matrisler
ve eşdeğerdir.

Bir matrisin rankı hesaplanırken, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak yamuk biçimine indirgenmelidir.

Tanım 1.16. Sıfırdan farklı en büyük düzenin sınırlayıcı minöründe, köşegenlerin altındaki tüm öğeler kaybolduğunda, bir matrisin böyle bir temsil biçimine yamuk diyeceğiz. Örneğin:

.

Burada
, matris elemanları
sıfıra çevirin. O zaman böyle bir matrisin temsil şekli yamuk olacaktır.

Kural olarak, Gauss algoritması kullanılarak matrisler yamuk şekline indirgenir. Gauss algoritmasının fikri, matrisin ilk satırının öğelerini karşılık gelen faktörlerle çarparak, ilk sütunun tüm öğelerinin öğenin altında yer almasını sağlamalarıdır.
, sıfıra dönecekti. Ardından, ikinci sütunun öğelerini karşılık gelen çarpanlarla çarparak, ikinci sütunun tüm öğelerinin öğenin altında yer almasını sağlarız.
, sıfıra dönecekti. Daha da benzer şekilde devam edin.

Görev 1.5. Bir matrisin derecesini, onu yamuk biçimine indirgeyerek belirleyin.

.

Gauss algoritmasını uygulamanın rahatlığı için birinci ve üçüncü satırları değiştirebilirsiniz.








.

Açıkçası burada
. Ancak sonucu daha zarif bir forma getirmek için sütunlar üzerinde daha fazla dönüşüme devam edilebilir.










.

r sayısı, aşağıdaki durumlarda A matrisinin sırası olarak adlandırılır:
1) matris A, r mertebesinde sıfır olmayan bir minör içerir;
2) tüm küçükler (r + 1) ve varsa daha yüksek, sıfıra eşittir.
Aksi takdirde, bir matrisin sırası, sıfır olmayan bir minörün en yüksek mertebesidir.
Tanımlamalar: rangA , r A veya r .
Tanımdan, r'nin pozitif bir tam sayı olduğu çıkar. Boş bir matris için, sıra sıfır olarak kabul edilir.

Servis ataması. Çevrimiçi hesap makinesi bulmak için tasarlanmıştır matris sıralaması. Çözüm, Word ve Excel formatında kaydedilir. çözüm örneğine bakın.

Talimat. Matrisin boyutunu seçin, İleri'ye tıklayın.

Tanım . R dereceli bir matris verilsin. Sıfırdan farklı ve r mertebesine sahip herhangi bir minör matrise temel, bileşenlerinin satır ve sütunlarına ise temel satırlar ve sütunlar denir.
Bu tanıma göre, A matrisinin birkaç temel minörü olabilir.

E kimlik matrisinin rankı n'dir (satır sayısı).

Örnek 1 . İki matris verildiğinde, ve onların küçükleri , . Bunlardan hangisi esas alınabilir?
Çözüm. Minör M 1 = 0, bu nedenle matrislerin herhangi biri için bir temel olamaz. Minör M 2 =-9≠0 ve mertebe 2'ye sahip olduğundan, rankları 2'ye eşit olmak kaydıyla A veya / ve B'nin temel matrisleri olarak alınabilir. detB=0 olduğundan (iki orantılı sütunlu bir determinant olarak), o zaman rangB=2 ve M2, B matrisinin minör temeli olarak alınabilir. detA=-27≠ olduğu gerçeğinden dolayı, A matrisinin rankı 3'tür. 0 ve bu nedenle, bu matrisin temel minörünün sırası 3 olmalıdır, yani M2, A matrisi için bir temel değildir. A matrisinin, A matrisinin determinantına eşit benzersiz bir minör temele sahip olduğuna dikkat edin.

Teorem (temel minör üzerinde). Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir.
Teoremin sonuçları.

1. R dereceli bir matrisin herhangi bir (r+1) sütunu (satırı) doğrusal olarak bağımlıdır.
2. Bir matrisin sırası, satırlarının (sütunlarının) sayısından küçükse, satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. rangA, satırlarının (sütunlarının) sayısına eşitse, satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Bir A matrisinin determinantı, ancak ve ancak satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa sıfıra eşittir.
4. Matrisin satırına (sütununa) sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpılan başka bir satır (sütun) eklenirse, matrisin rankı değişmez.
5. Diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olan matristeki bir satırın (sütun) üzerini çizerseniz, matrisin sırası değişmez.
6. Bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız satırlarının (sütunlarının) maksimum sayısına eşittir.
7. Maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız sütun sayısıyla aynıdır.

Örnek 2. Bir matrisin sırasını bulun .
Çözüm. Bir matrisin rankının tanımına dayanarak, sıfırdan farklı olan en yüksek mertebeden bir minör arayacağız. İlk olarak, matrisi daha basit bir forma dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, matrisin ilk satırını (-2) ile çarpın ve ikinciye ekleyin, ardından (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.