y x c fonksiyonunun türevi eşittir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi
Üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleriyle pek ilgili değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içinde olun - materyal kolay değil, ancak yine de onu basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım.
Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, neredeyse her zaman, türevleri bulmak için görevler verildiğinde.
Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:
Anlamak. Öncelikle kayda dikkat edelim. Burada iki işlevimiz var - ve dahası, mecazi anlamda işlev, işleve gömülüdür. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.
fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon ve işlev - bir iç (veya iç içe) işlev.
! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Resmi olmayan "dış işlev", "iç" işlev ifadelerini yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.
Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:
örnek 1
Bir fonksiyonun türevini bulun
Sinüs altında sadece "X" harfi değil, bir tamsayı ifademiz var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak mümkün olmayacak. İlk dört kuralı burada uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki bir sinüsü “parçalayamazsınız”:
Bu örnekte, zaten açıklamalarımdan, bir işlevin karmaşık bir işlev olduğu ve polinomun bir iç işlev (yuvalama) ve bir dış işlev olduğu sezgisel olarak açıktır.
İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunurken yapılması gereken, Hangi işlevin dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.
Basit örnekler söz konusu olduğunda, sinüsün altında bir polinomun yuvalanmış olduğu açıkça görülmektedir. Ama ya her şey açık değilse? Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel veya taslak üzerinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.
Bir hesap makinesinde bir ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).
İlk önce neyi hesaplayacağız? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek:, bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır: 
ikinci olarak bulunması gerekecek, bu nedenle sinüs harici bir fonksiyon olacaktır: 
bizden sonra Çözmek iç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını uygulama zamanı 
.
Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevini nasıl bulurum? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir çizgi koyuyoruz:
Başta dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakın ve buna dikkat edin. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:
Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.
Eh, çok açık ki
Formülün uygulanmasının sonucu 
son tasarımda şöyle görünür:
Genellikle bir ifadenin başına sabit bir faktör yerleştirilir:
Herhangi bir karışıklık varsa, çözümü yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
Her zaman olduğu gibi, şunu yazıyoruz: 
Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, (zihinsel olarak veya bir taslakta) adresindeki ifadenin değerini hesaplamayı deneyin. İlk önce ne yapılmalı? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir: 
Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle, güç işlevi harici bir işlevdir: 
formüle göre 
, önce dış fonksiyonun türevini bulmanız gerekir, bu durumda derece. Tabloda gerekli formülü arıyoruz: Tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir... Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu 
sonraki:
Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun bizim için değişmediğini tekrar vurguluyorum: 
Şimdi geriye, iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).
Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dışsal olanın ve iç fonksiyonun nerede olduğunu tahmin edin, görevler neden bu şekilde çözüldü?
Örnek 5
a) Fonksiyonun türevini bulun
b) Fonksiyonun türevini bulun
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşmaya uygun bir forma getiriyoruz:
Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz 
:
Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevlendirmek için basit bir kural uygularız:
Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya getirebilir ve her şeyi tek bir kesirde yazabilirsiniz. Güzel, elbette, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olur).
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).
Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. 
, ancak böyle bir çözüm bir sapkınlık olarak olağandışı görünecek. İşte tipik bir örnek:
Örnek 8
Bir fonksiyonun türevini bulun
Burada bölümün türevini almak için kuralı kullanabilirsiniz. 
, ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:
Fonksiyonu türev için hazırlarız - eksiyi türevin işaretinin dışına taşırız ve kosinüsü paya yükseltiriz:
Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
kuralımızı kullanıyoruz 
:
Dahili fonksiyonun türevini bulun, kosinüsü sıfırlayın:
Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın 
, cevaplar eşleşmelidir.
Örnek 9
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).
Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir ekimizin olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.
Örnek 10
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Test değerini kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışmak. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?
İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:
O zaman birin bu arksinüsünün karesi alınmalıdır:
Ve son olarak, 7'yi güce yükseltin: 
Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki ekimiz var, en içteki fonksiyon arksinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.
çözmeye başlıyoruz
kurala göre 
önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine bu formülün geçerliliğini olumsuzlamayan karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu 
sonraki.
Hatırlaması çok kolay.
Pekala, fazla ileri gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alacağız. Hangi fonksiyon üstel fonksiyonun tersidir? Logaritma:
Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:
Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: bunun yerine yazın.
Neye eşittir? Tabii ki, .
Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:
Örnekler:
- Fonksiyonun türevini bulun.
- fonksiyonunun türevi nedir?
Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz basit fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra inceleyeceğiz.
farklılaşma kuralları
Neyin kuralları? Yine yeni bir terim, yine mi?! ...
farklılaşma türev bulma işlemidir.
Bu kadar. Bu süreci tek kelimeyle başka nasıl adlandırabilirim? Bir türetme değil... Matematiğin diferansiyeline de bir fonksiyonun aynı artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Buraya.
Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Ayrıca artışları için formüllere ihtiyacımız var:
Toplamda 5 kural vardır.
Sabit, türev işaretinin dışına taşınır.
Eğer bir sabit sayı ise (sabit), o zaman.
Açıkçası, bu kural şu fark için de geçerlidir:.
Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.
Örnekler
Fonksiyonların türevlerini bulun:
- noktada;
- noktada;
- noktada;
- noktada.
Çözümler:
- (türev, doğrusal bir fonksiyon olduğu için tüm noktalarda aynıdır, hatırladınız mı?);
Bir işin türevi
Burada her şey aynı: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:
Türev:
Örnekler:
- Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
- noktasında fonksiyonun türevini bulunuz.
Çözümler:
Üstel fonksiyonun türevi
Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (ne olduğunu unuttunuz mu?).
Peki, bir sayı nerede.
Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir sayı tabanına dönüştürmeye çalışalım:
Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: Sonra:
İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun zor olduğunu unutmayın.
Olmuş?
İşte, kendinizi kontrol edin:
Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir çarpan ortaya çıktı.
Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:
Yanıtlar:
Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha basit bir biçimde yazılamaz. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakıyoruz.
Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilgili türev alma kuralını uygularız:
Bu örnekte, iki fonksiyonun çarpımı:
Logaritmik bir fonksiyonun türevi
İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:
Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmanın keyfi birini bulmak için, örneğin:
Bu logaritmayı tabana getirmeniz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:
Ancak şimdi bunun yerine şunu yazacağız:
Payda sadece bir sabittir (sabit sayı, değişken yok). Türev çok basittir:
Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir arktanjant değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor görünüyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey geçecek), ancak matematik açısından "zor" kelimesi "zor" anlamına gelmez.
Küçük bir taşıma bandı düşünün: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bir tür hareket yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için, ters adımları ters sırayla yapmanız gerekir.
Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı verildi (çikolata çubuğu), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra sahip olduğum şeyin karesini alıyorsunuz (bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucuyla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.
Diğer bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .
Örneğimiz için,
Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.
İkinci örnek: (aynı). ...
En son yaptığımız eylem çağrılacak "Harici" işlev, ve ilk yapılan işlem - sırasıyla "Dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).
Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:
Yanıtlar:İç ve dış işlevleri ayırmak, değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin, bir işlevde
- Yapılacak ilk işlem nedir? İlk önce sinüsü hesaplayacağız ve ancak o zaman onu bir küp haline getireceğiz. Bu, dahili bir işlev olduğu, ancak harici bir işlev olduğu anlamına gelir.
Ve orijinal işlev onların bileşimidir:. - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: .
değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.
Peki, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - bir türev arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak, şöyle görünür:
Başka bir örnek:
Öyleyse, nihayet resmi bir kural formüle edelim:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:
Her şey basit görünüyor, değil mi?
Örneklerle kontrol edelim:
Çözümler:
1) Dahili:;
Harici:;
2) Dahili:;
(Şimdilik azaltmaya çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılamaz, hatırladınız mı?)
3) Dahili:;
Harici:;
Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen açıktır: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlevdir ve ondan kökü de çıkarırız, yani üçüncü eylemi gerçekleştiririz (bir çikolata koyarız). sarın ve kurdeleli bir evrak çantasına koyun). Ancak korkmak için bir neden yok: her neyse, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla "açacağız": sondan.
Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra tüm bunları çarpıyoruz.
Bu gibi durumlarda, adımları numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla yapacağız? Bir örnek verelim:
Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar “harici” olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:
Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Bir hareket tarzı tanımlayalım.
1. Radikal bir ifade. ...
2. Kök. ...
3. Sinüs. ...
4. Kare. ...
5. Her şeyi bir araya getirmek:
TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA
Bir fonksiyonun türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:
Temel türevler:
Farklılaşma kuralları:
Sabit türev işaretinin dışına taşınır:
Tutarın türevi:
İşin türevi:
Bölümün türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:
- "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
- "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
- Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.
Muhtemelen, türev kavramı okuldan beri her birimize aşinadır. Genellikle öğrenciler bunu anlamakta zorlanırlar, kuşkusuz çok önemli bir şeydir. İnsan yaşamının çeşitli alanlarında aktif olarak kullanılmaktadır ve birçok mühendislik geliştirmesi, bir türev kullanılarak elde edilen matematiksel hesaplamalara tam olarak dayanmaktadır. Ancak sayıların türevlerinin ne olduğuna, nasıl hesaplanacağına ve nerede işe yarayacaklarına dair bir analize geçmeden önce, biraz tarihe dalalım.
Tarih
Matematiksel analizin temeli, evrensel kütleçekim yasasının keşfinden hepimizin bildiği Isaac Newton tarafından keşfedildi ("icat edildi" bile demek daha iyidir, çünkü doğada bu şekilde mevcut değildi). Bu kavramı fizikte hız ve cisimlerin ivmesinin doğasını birbirine bağlamak için ilk uygulayan oydu. Ve birçok bilim adamı hala Newton'u bu muhteşem buluş için övüyor, çünkü aslında o, diferansiyel ve integral hesabın temelini, aslında "matematiksel analiz" adı verilen bütün bir matematik alanının temelini icat etti. Nobel Ödülü o zaman olsaydı, Newton büyük olasılıkla birkaç kez alırdı.
Başka büyük beyinler olmadan olmaz. Newton'a ek olarak, Leonard Euler, Louis Lagrange ve Gottfried Leibniz gibi seçkin matematik dehaları, türev ve integralin gelişimi üzerinde çalıştı. Onlar sayesinde teoriyi bugüne kadar var olan biçimine sahibiz. Bu arada, teğetin eğim açısının fonksiyonun grafiğine tanjantından başka bir şey olmadığı ortaya çıkan türevin geometrik anlamını keşfeden Leibniz'di.
Sayıların türevleri nelerdir? Okulda yaşadıklarımızı biraz tekrarlayalım.
türev nedir?
Bu kavram birkaç farklı şekilde tanımlanabilir. En basit açıklama: türev, bir fonksiyonun değişim oranıdır. Bir y fonksiyonunun x'e karşı grafiğini hayal edin. Düz bir çizgi değilse, grafikte bazı kıvrımlar, artan ve azalan periyotlar vardır. Bu grafiğin herhangi bir sonsuz küçük aralığını alırsak, bu düz bir doğru parçası olacaktır. Bu nedenle, y koordinatı boyunca bu sonsuz küçük parçanın boyutunun x koordinatı boyunca boyuta oranı, bu fonksiyonun belirli bir noktada türevi olacaktır. Fonksiyonu belirli bir noktada değil bir bütün olarak düşünürsek, türevin fonksiyonunu, yani oyunun x'e belirli bir bağımlılığını elde ederiz.
Ayrıca fonksiyonun değişim hızının yanında geometrik bir anlamı da vardır. Şimdi onun hakkında konuşacağız.
geometrik anlam
Sayıların türevleri, doğru anlaşılmadan hiçbir anlam taşımayan belirli bir sayıyı temsil eder. Türevin sadece fonksiyonun büyüme veya azalma oranını değil, aynı zamanda verilen bir noktada fonksiyonun grafiğine teğet eğiminin tanjantını da gösterdiği ortaya çıktı. Tam olarak net bir tanım değil. Daha ayrıntılı olarak analiz edelim. Diyelim ki elimizde bir fonksiyonun grafiği var (ilgi için bir eğri alalım). Üzerinde sonsuz sayıda nokta vardır, ancak yalnızca tek bir noktanın maksimum veya minimum olduğu alanlar vardır. Böyle herhangi bir noktadan, bu noktadaki fonksiyonun grafiğine dik olan düz bir çizgi çizebilirsiniz. Böyle bir çizgiye teğet çizgi denir. Diyelim ki OX ekseni ile kesişim noktasına çizdik. Böylece teğet ile OX ekseni arasında elde edilen açı türev tarafından belirlenecektir. Daha doğrusu, bu açının tanjantı ona eşit olacaktır.
Biraz özel durumlardan bahsedelim ve sayıların türevlerini analiz edelim.
Özel durumlar
Dediğimiz gibi sayıların türevleri, türevin belirli bir noktadaki değerleridir. Örneğin, y = x 2 fonksiyonunu alalım. Türev x bir sayıdır ve genel durumda 2 * x'e eşit bir fonksiyondur. Diyelim ki x 0 = 1 noktasında türevi hesaplamamız gerekiyorsa, o zaman y "(1) = 2 * 1 = 2 elde ederiz. Her şey çok basit. İlginç bir durum türevdir. Diyelim ki bu sözde hayali birimi içeren bir sayıdır - karesi 1'e eşit olan bir sayıdır. Böyle bir türevin hesaplanması ancak aşağıdaki koşullar yerine getirildiğinde mümkündür:
1) Reel ve sanal kısımların y ve x cinsinden birinci mertebeden kısmi türevleri olmalıdır.
2) Birinci paragrafta açıklanan kısmi türevlerin eşitliği ile ilgili Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.
Bir başka ilginç durum, önceki kadar zor olmasa da, negatif bir sayının türevidir. Aslında, herhangi bir negatif sayı, -1 ile çarpılan pozitif bir sayı olarak düşünülebilir. Sabitin ve fonksiyonun türevi, sabitin fonksiyonun türeviyle çarpımına eşittir.
Türevin günlük yaşamdaki rolünü öğrenmek ilginç olacak ve şimdi tartışacağımız şey bu.
Başvuru
Muhtemelen, her birimiz hayatında en az bir kez, matematiğin onun için yararlı olma ihtimalinin düşük olduğunu düşünürüz. Ve türev gibi karmaşık bir şeyin muhtemelen hiçbir uygulaması yoktur. Aslında matematik - ve tüm meyveleri esas olarak fizik, kimya, astronomi ve hatta ekonomi tarafından geliştirilir. Türev, bize fonksiyonların grafiklerinden sonuç çıkarma yeteneği veren temeli attı ve onun sayesinde doğa yasalarını yorumlamayı ve lehimize çevirmeyi öğrendik.
Çözüm
Tabii ki, herkesin gerçek hayatta bir türevine ihtiyacı olmayabilir. Ancak matematik kesinlikle ihtiyaç duyulacak mantığı geliştirir. Matematiğin bilimlerin kraliçesi olarak adlandırılması boşuna değildir: diğer bilgi alanlarını anlamanın temelleri ondan oluşur.
Türev ve hesaplama yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmadan matematikte fiziksel problemleri veya örnekleri çözmek kesinlikle imkansızdır. Türev, matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?
Türevin geometrik ve fiziksel anlamı
Bir fonksiyon olsun f(x) belirli aralıklarla verilir (a, b) ... х ve х0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Bir argümanı değiştirme - değerleri arasındaki fark x-x0 ... Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerlerindeki farktır. Türev tanımı:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra eğiliminde olduğu argümanın artışına oranının sınırıdır.
Aksi takdirde, şöyle yazılabilir:
Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Ve işte ne:
fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının tanjantına ve bu noktadaki fonksiyonun grafiğine tanjantına eşittir.
Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.
Gerçekten de, okul zamanlarından beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x = f(t) ve zaman T ... Bir süre boyunca ortalama hız:
Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:
Birinci kural: bir sabiti çıkar
Sabit, türevin işaretinin dışına taşınabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .
Örnek. Türevini hesaplayalım:
İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi
İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.
Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.
Bir fonksiyonun türevini bulun:
Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi
İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm: 
Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.
Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:
Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplıyoruz ve sonra doğrudan ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarpıyoruz.
Dördüncü kural: iki fonksiyonun bölüm türevi
İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:
Size sıfırdan mankenler için türevlerden bahsetmeye çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.
Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için iletişime geçebilirsiniz. öğrenci servisi... Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.
Yükleniyor...