İkizkenar üçgen. Örneklerle ayrıntılı teori (2020)

Bir ikizkenar üçgenin özellikleri.
Bir ikizkenar üçgenin belirtileri.
İkizkenar üçgen formülleri:
- yan uzunluk formülleri;
- eşit kenar uzunluk formülleri;
- bir ikizkenar üçgenin yükseklik, medyan, açıortay formülleri.

İkizkenar üçgen, iki kenarı birbirine eşit olan üçgendir. Bu partilere denir yanal ve üçüncü taraf temel.

AB = BC - yan taraflar

AC - baz

ikizkenar üçgen özellikleri

Bir ikizkenar üçgenin özellikleri şu şekilde ifade edilir: 5 teorem:

Teorem 1.İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

Teoremin kanıtı:

Bir ikizkenar Δ düşünün ABC temel ile OLARAK .

Kenarlar eşittir AB = Güneş ,

Bu nedenle tabandaki açılar ∠ BC = ∠ M.Ö. .

Ortaor, medyan, yükseklik, bir ikizkenar üçgenin tabanına çizilmiş teorem

Teorem 2. Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen açıortay ortanca ve yüksekliktir.
Teorem 3. Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, açıortay ve yüksekliktir.
Teorem 4. Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen yükseklik açıortay ve medyandır.

Teoremin kanıtı:

Dan Δ ABC .
noktadan V yüksekliği tutalım BD.
Üçgen Δ'ye bölünür ABD ve Δ MİA. Bu üçgenler eşittir çünkü hipotenüsleri ve ortak bacakları eşittir ().
doğrudan OLARAK ve BD dik denir.
B Δ ABD ve Δ BCD ∠ KÖTÜ = ∠ BCD (Teorem 1'den).
AB = M.Ö. - kenarlar eşittir.
partiler AD = CD, dan beri puan NS segmenti ikiye böler.
Dolayısıyla Δ ABD = Δ BCD.
Bisektör, yükseklik ve medyan bir segmenttir - BD

Çıktı:

Tabana çizilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliği medyan ve bisektördür.
Tabana çizilen bir ikizkenar üçgenin medyanı, yükseklik ve açıortaydır.
Tabana çizilen bir ikizkenar üçgenin açıortayı, medyan ve yüksekliktir.

Unutma! Bu tür sorunları çözerken, yüksekliği ikizkenar üçgenin tabanına indirin. İki eşit dik üçgene bölmek için.

Teorem 5. Bir üçgenin üç kenarı diğer bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.

Teoremin kanıtı:

İki Δ ABC ve Δ A 1 B 1 C 1 verildi. AB Kenarları = A 1 B 1; BC = B1Cı; AC = A 1 C 1.

Çelişki yoluyla kanıt.

Üçgenler eşit olmasın (aksi takdirde üçgenler birinci nitelikte eşitti).
Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC olsun, C 2 tepe noktası A 1 B 1 düz çizgisine göre C 1 tepe noktası ile aynı yarım düzlemdedir. Varsayım olarak, C 1 ve C 2 köşeleri çakışmaz. D, C 1 C 2 doğru parçasının orta noktası olsun. Δ A 1 C 1 C 2 ve Δ B 1 C 1 C 2, ortak bir C 1 C 2 tabanına sahip ikizkenarlardır. Bu nedenle, ortancaları A 1 D ve B 1 D yüksekliklerdir. Dolayısıyla, A 1 D ve B 1 D doğruları C 1 C 2 doğrusuna diktir. A 1 D ve B 1 D, farklı A 1 ve B 1 noktalarına sahiptir, bu nedenle çakışmaz. Ancak C 1 C 2 düz çizgisinin D noktasından, ona dik olan sadece bir düz çizgi çizilebilir.
Buradan bir çelişkiye geldik ve teoremi kanıtladık.

Bir ikizkenar üçgenin belirtileri

Bir üçgende iki açı eşitse.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
Bir üçgende ise, açıortay medyan veya yüksekliktir.
Bir üçgende ise, medyan açıortay veya yüksekliktir.
Bir üçgendeyse, yükseklik medyan veya bisektördür.

ikizkenar üçgen formülleri

B- yan (taban)
a- eşit taraflar
a - tabandaki açılar
B

yan uzunluk formülleri(gerekçe - B):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ alfa

Eşit kenar uzunluk formülleri - (a):

a = \ frac (b) (2 \ günah (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ beta))
a = \ frac (b) (2 \ cos \ alfa)

L- yükseklik = bisektör = medyan
B- yan (taban)
a- eşit taraflar
a - tabandaki açılar
B - eşit kenarların oluşturduğu açı

Yan ve açı boyunca yükseklik, açıortay ve medyan için formüller, ( L):

L = günah a
L = \ frak (b) (2) * \ tg \ alfa
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ beta) / 2) = a \ cos (\ beta) / 2)

Yanlardan geçen yükseklik, açıortay ve medyan formülü, ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

B- yan (taban)
a- eşit taraflar
H- boy uzunluğu

Yükseklik h ve taban b cinsinden bir üçgenin alanı için formül, ( S):

S = \ frak (1) (2) * bh

Üçgenin yüksekliğinin hesaplanması şeklin kendisine bağlıdır (ikizkenar, eşkenar, çok yönlü, dikdörtgen). Pratik geometride, kural olarak karmaşık formüller oluşmaz. Tüm üçgenler için evrensel olarak uygulanabilmesi için genel hesaplama ilkesini bilmek yeterlidir. Bugün size bir şeklin yüksekliğini hesaplamanın temel ilkelerini, üçgenlerin yüksekliklerinin özelliklerine dayalı hesaplama formüllerini tanıtacağız.

yükseklik nedir?

Yüksekliğin birkaç ayırt edici özelliği vardır

Tüm yüksekliklerin birleştiği noktaya ortocenter denir. Üçgen sivriyse, ortomerkez şeklin içindedir, köşelerden biri genişse, ortomerkez genellikle dışarıdadır.
Bir açısının 90° olduğu bir üçgende ortomerkez ve tepe noktası aynıdır.
Üçgenin türüne bağlı olarak, bir üçgenin yüksekliğinin nasıl bulunacağına ilişkin birkaç formül vardır.

Geleneksel bilgi işlem

p çevrenin yarısıysa, a, b, c gerekli şeklin kenarlarının tanımıdır, h yüksekliktir, o zaman ilk ve en basit formül şöyle görünecektir: h = 2 / a √p (pa) (pb) (pc) ...
Okul ders kitaplarında, üçgenin kenarlarından birinin değerinin ve bu kenar ile taban arasındaki açının değerinin bilindiği problemleri sıklıkla bulabilirsiniz. O zaman yüksekliği hesaplama formülü şöyle görünecektir: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Üçgenin alanı - S ve tabanın uzunluğu - a verildiğinde, hesaplamalar mümkün olduğunca basit olacaktır. Yükseklik şu formülle bulunur: h = 2S / a.
Bir şeklin çevresine çizilen bir dairenin yarıçapı verildiğinde, önce iki kenarının uzunluklarını hesaplıyoruz ve sonra üçgenin verilen yüksekliğini hesaplamaya geçiyoruz. Bunu yapmak için şu formülü kullanırız: h = b ∙ c / 2R, burada b ve c üçgenin taban olmayan iki tarafı ve R yarıçaptır.

Bir ikizkenar üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

Bu şeklin tüm kenarları eşittir, uzunlukları eşittir, dolayısıyla tabandaki açılar da eşit olacaktır. Bundan, tabanlara çizdiğimiz yüksekliklerin de eşit olacağı, aynı zamanda medyanlar ve açıortay oldukları sonucu çıkar. Basit bir ifadeyle, bir ikizkenar üçgendeki yükseklik, tabanı ikiye böler. Yüksekliği çizdikten sonra ortaya çıkan dik açılı üçgen Pisagor teoremi kullanılarak ele alınacaktır. Kenarı a, tabanı b, ardından yüksekliği h = ½ √4 a2 - b2 olarak belirleyelim.

Eşkenar üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

Eşkenar üçgen formülü (tüm kenarların eşit büyüklükte olduğu şekiller) önceki hesaplamalara dayanarak bulunabilir. Sadece üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu ölçmek ve onu a olarak belirtmek gerekir. Daha sonra yükseklik şu formülle çıkarılır: h = √3 / 2 a.

Bir dik üçgenin yüksekliğini nasıl bulabilirim?

Bildiğiniz gibi bir dik üçgende açı 90° dir. Bir bacak tarafından indirilen yükseklik aynı zamanda ikinci bacaktır. Onlara dik açılı üçgenin yükseklikleri uzanacaktır. Yükseklik hakkında veri elde etmek için, bacakları - a ve b'yi gösteren ve ayrıca hipotenüsün - c uzunluğunu ölçen mevcut Pisagor formülünü hafifçe dönüştürmeniz gerekir.

Bacağın uzunluğunu bulun (yüksekliğin dik olacağı taraf): a = √ (c2 - b2). İkinci ayağın uzunluğu tam olarak aynı formül kullanılarak bulunur: b = √ (c2 - b2). Bundan sonra, daha önce şeklin alanını hesaplamış olan dik açılı bir üçgenin yüksekliğini hesaplamaya başlayabilirsiniz - s. Yükseklik değeri h = 2s / a.

Çok yönlü bir üçgen ile hesaplamalar

Çok yönlü bir üçgenin keskin köşeleri olduğunda, tabana düşen yükseklik görünür. Üçgen geniş açılı ise, yükseklik şeklin dışında olabilir ve üçgenin yüksekliğinin ve tabanının bağlantı noktasını elde etmek için zihinsel olarak devam etmeniz gerekir. Yüksekliği ölçmenin en kolay yolu, onu kenarlardan biri ve açıların büyüklüğü üzerinden hesaplamaktır. Formül şöyle görünür: h = b sin y + c sin ß.

İkizkenaröyle mi üçgen iki kenarının uzunlukları birbirine eşittir.

Bir konudaki problemleri çözerken "İkizkenar üçgen" aşağıdaki iyi bilinenleri kullanmak gerekir özellikler:

1. Eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.
2. Eşit açılardan çizilen açıortaylar, medyanlar ve yükseklikler birbirine eşittir.
3. İkizkenar üçgenin tabanına çizilen ortay, medyan ve yükseklik birbiriyle örtüşür.
4. Yazılı dairenin merkezi ve çevrelenmiş dairenin merkezi yükseklikte bulunur ve bu nedenle medyan ve tabana çizilen açıortay üzerindedir.
5. Bir ikizkenar üçgende eşit olan açılar her zaman keskindir.

Aşağıdaki özelliklere sahip bir üçgen ikizkenardır işaretler:

1. Üçgenin iki açısı birbirine eşittir.
2. Yükseklik medyanla eşleşir.
3. Bisektör medyanla çakışıyor.
4. Yükseklik açıortay ile çakışmaktadır.
5. Üçgenin iki yüksekliği eşittir.
6. Bir üçgenin iki bisektörü eşittir.
7. Üçgenin iki medyanı eşittir.

Konuyla ilgili birkaç görevi ele alalım "İkizkenar üçgen" ve onlara ayrıntılı bir çözüm sunacağız.

Amaç 1.

Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen yükseklik 8'dir ve taban, yan tarafla 6:5 olarak ilişkilidir. Üçgenin tepesinden, açıortaylarının kesişme noktasına kadar olan mesafeyi bulun.

Çözüm.

Bir ikizkenar üçgen ABC verilsin (şek. 1).

1) AC: BC = 6: 5, AC = 6x ve BC = 5x olduğundan. VN - ABC üçgeninin AC tabanına çizilen yükseklik.

H noktası AC'nin ortası olduğundan (bir ikizkenar üçgenin özelliği ile), o zaman HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC2 = BH2 + HC2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;

x = 2, o zaman

AC = 6x = 6 2 = 12 ve

M.Ö. = 5x = 5 2 = 10.

3) Üçgenin açıortaylarının kesişme noktası yazılı dairenin merkezi olduğundan,
OH = r. ABC üçgeninde yazılı bir dairenin yarıçapı formülle bulunur.

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (12 * 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, sonra OH = r = 48/16 = 3.

Dolayısıyla VO = VN - OH; VO = 8 - 3 = 5.

Cevap: 5.

Amaç 2.

AD bisektörü ABC ikizkenar üçgeninde çizilir. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları 10 ve 12'ye eşittir. Bu üçgenin yüksekliğinde oluşturulmuş, AC'nin tabanına çizilmiş, üç kez büyütülmüş bir karenin alanını bulun.

Çözüm.

ABC üçgenini düşünün - ikizkenar, AD - A açısının açıortayı (incir. 2).

1) BAD ve DAC üçgenlerinin alanlarını yazalım:

S KÖTÜ = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Alan oranını bulun:

S KÖTÜ / S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB / AC.

S BAD = 10, S DAC = 12 olduğundan, 10/12 = AB / AC;

AB / AC = 5/6, AB = 5x ve AC = 6x olsun.

AH = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) ABN üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen AB 2 = AN 2 + BN 2;

25x 2 = VN2 + 9x 2;

4) S A ВС = 1/2 AS ВН; S A B C = 1/2 6x 4x = 12x 2.

S A BC = S KÖTÜ + S DAC = 10 + 12 = 22 olduğundan, 22 = 12x 2;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Karenin alanı BH 2 = 88/3'e eşittir; 3 88/3 = 88.

Cevap: 88.

Amaç 3.

Bir ikizkenar üçgende taban 4, kenar 8'dir. Kenara düşen yüksekliğin karesini bulun.

Çözüm.

ABC üçgeninde - ikizkenar BC = 8, AC = 4 (Şekil 3).

1) VN - ABC üçgeninin AC tabanına çizilen yükseklik.

H noktası AC'nin ortası olduğundan (bir ikizkenar üçgenin özelliği ile), o zaman HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Bir VNS üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen VS 2 = VN 2 + NS 2;

64 = BH2 + 4;

3) S ABC = 1/2 (AC BH) ve ayrıca S ABC = 1/2 (AM BC), sonra formüllerin sağ taraflarını eşitleriz, elde ederiz

1/2 AC BH = 1/2 AM M.Ö.;

AM = (AC · BH) / BC;

AM = (√60 4) / 8 = (2√15 4) / 8 = √15.

Cevap: 15.

Görev 4.

Bir ikizkenar üçgende taban ve ona düşen yükseklik 16'ya eşittir. Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapını bulun.

Çözüm.

ABC üçgeninde - ikizkenar taban AC = 16, BH = 16 - AC tabanına çizilen yükseklik (şek. 4).

1) AH = HC = 8 (bir ikizkenar üçgenin özelliği ile).

2) VNS üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen

BC2 = BH2 + HC2;

MÖ 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Bir ABC üçgeni düşünün: sinüs teoremine göre, 2R = AB / sin C, burada R, bir ABC üçgeni etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapıdır.

sin C = BH / BC (sinüs tanımına göre VNS üçgeninden).

günah C = 16 / (8√5) = 2 / √5, sonra 2R = 8√5 / (2 / √5);

2R = (8√5 √5) / 2; R = 10.

Cevap: 10.

Görev 5.

İkizkenar üçgenin tabanına çizilen yüksekliğin uzunluğu 36, yazılı dairenin yarıçapı 10'dur. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

ABC ikizkenar üçgeni verilsin.

1) Üçgendeki yazılı dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktası olduğundan, O ϵ VN ve AO, A açısının açıortayıdır ve mevcut OH = r = 10 (şek. 5).

2) VO = VN - OH; BO = 36 - 10 = 26.

3) ABN üçgenini düşünün. Bir üçgenin açıortayındaki teorem ile

AB / AN = VO / OH;

AB / AH = 26/10 = 13/5, AB = 13x ve AH = 5x olsun.

Pisagor teoremi ile AB 2 = AN 2 + BH 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 3) 2;

144x2 = 144 9;

x = 3, sonra AC = 2 AH = 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (36 * 30) = 540;

Cevap: 540.

Görev 6.

Bir ikizkenar üçgende iki kenar 5 ve 20'dir. Üçgenin tabanındaki açının bisektörünü bulun.

Çözüm.

1) Üçgenin kenarlarının 5 ve tabanının 20 olduğunu varsayalım.

sonra 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (şek. 6).

2) LC = x olsun, sonra BL = 20 - x olsun. Bir üçgenin açıortayındaki teorem ile

AB / AC = BL / LC;

20/5 = (20 - x) / x,

4x = 20 - x;

Böylece, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Bir üçgenin açıortay formülünü kullanırız:

AL 2 = AB AC - BL LC,

AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;

Cevap: 6.

Hala sorularınız mı var? Geometrik problemlerin nasıl çözüleceğinden emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Tabana indirilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliği hem bir açıortay hem de bir medyan olduğundan, bu nedenle, tabanı ve tepedeki açıyı iki eşit parçaya bölerek, kenarları a ve b / olan dik açılı bir üçgen oluşturur. 2. Böyle bir üçgendeki Pisagor teoreminden, tabanın kendisini bulabilir ve ardından diğer tüm olası verileri hesaplayabilirsiniz. (şek. 88.2) h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = a ^ 2 b = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Bir ikizkenar üçgenin çevresini hesaplamak için, tabanı veya yukarıdaki radikali yükseklik boyunca iki yan tarafa ekleyin. P = 2a + b = 2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Yükseklik ve taban boyunca bir ikizkenar üçgenin alanı, tanım gereği, ürünlerinin yarısı olarak hesaplanır. Tabanı ona karşılık gelen ifadeyle değiştirerek, alanı ikizkenar üçgenin yüksekliğinden ve kenarından alırız. S = hb / 2 = (h√ (a ^ 2-h ^ 2)) / 4

Bir ikizkenar üçgende sadece kenarlar değil, tabandaki açılar da eşittir ve her zaman toplamları 180 derece olduğundan, açılardan herhangi biri diğerini bilerek bulunabilir. İlk açı, eşit kenarlar için verilen kosinüs teoremi ile hesaplanır ve ikincisi 180'den farkla bulunabilir. (Şekil 88.1) cos⁡α = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / 2bc = (b ^ 2 + a ^ 2-a ^ 2) / 2ba = b ^ 2 / 2ba = b / 2a cos⁡β = (a ^ 2 + bir ^ 2-b ^ 2) / (2a ^ 2) = (2a ^ 2 -b ^ 2) / (2a ^ 2) α = (180 ° -β) / 2 β = 180 ° -2α

Tabana düşen merkez medyan ve ortaorta yükseklikle çakışır ve yanal medyanlar, yükseklikler ve açıortaylar ikizkenar üçgenler için aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir. Bunları yükseklik ve kenar cinsinden hesaplamak için, tabanı eşdeğer ifadesiyle değiştirmeniz gerekir. (şek. 88.3) m_a = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (a ^ 2 + 2b ^ 2) / 2

Bir ikizkenar üçgenin tabanına ve yan tarafına indirilen yükseklik yoluyla yan tarafa indirilen yükseklik. (şek. 88.8) h_a = (b√ ((4a ^ 2-b ^ 2))) / 2a = (√ (a ^ 2-h ^ 2) √ ((4a ^ 2-a ^ 2 + h ^ 2 ))) / 2a = √ ((a ^ 2-h ^ 2) (3a ^ 2 + h ^ 2)) / 2

Yan açıortaylar, üçgenin yan kenarı ve merkezi yüksekliği cinsinden de ifade edilebilir. (şek. 88.4) l_a = √ (ab (2a + b) (a + ba)) / (a + b) = √ (a (a ^ 2-h ^ 2) (2a + √ (a ^ 2) -h ^ 2))) / (a + √ (a ^ 2-h ^ 2))

Orta çizgi, üçgenin her iki tarafına paralel olarak çizilir ve kenarların orta noktalarını buna göre birleştirir. Böylece, her zaman kendisine paralel olan kenarın yarısına eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bilinmeyen bir taban yerine, bir ikizkenar üçgenin yüksekliği ve kenarı boyunca orta çizgiyi bulmak için formülde kullanılan radikali değiştirebilirsiniz (Şekil 88.5) M_b = b / 2 = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2 M_a = a / 2

Bir ikizkenar üçgen içine yazılan bir dairenin yarıçapı, açıortayların kesiştiği noktadan başlar ve her iki tarafa dik olarak gider. Üçgenin yüksekliğinden ve kenarından bulmak için formüldeki tabanı bir kök ile değiştirmeniz gerekir. (şek. 88.6) r = 1/2 √ (((a ^ 2-h ^ 2) (2a-√ (a ^ 2-h ^ 2))) / (2a + √ (a ^ 2-h ^ 2 )))

Bir ikizkenar üçgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı da, genel formülden, kök yerine taban yerine yükseklik ve kenar ile değiştirilerek elde edilir. (şek. 88.7) R = a ^ 2 / √ (3a ^ 2-h ^ 2)