Paralelkenar. Paralelkenar Paralelkenarın alt yüksekliği nasıl bulunur

Diğer parametrelerini bilerek bir paralelkenarın yüksekliği nasıl belirlenir? Alan, köşegen ve kenar uzunlukları, açıların büyüklüğü gibi.

İhtiyacın olacak

• hesap makinesi

Talimatlar

Geometrideki problemlerde, daha doğrusu planimetri ve trigonometride, bazen kenarların, açıların, köşegenlerin vb. verilen değerlerine dayanarak bir paralelkenarın yüksekliğini bulmak gerekir.

Bir paralelkenarın yüksekliğini bulmak, alanını ve taban uzunluğunu bilmek için, bir paralelkenarın alanını belirleme kuralını kullanmalısınız. Paralelkenarın alanı, bildiğiniz gibi, tabanın yüksekliğinin ve uzunluğunun ürününe eşittir:

S - paralelkenar alanı,

a - paralelkenarın tabanının uzunluğu,

h, a tarafına (veya devamına) indirilen yüksekliğin uzunluğudur.

Buradan paralelkenarın yüksekliğinin, taban uzunluğuna bölünen alana eşit olacağını buluruz:

Örneğin,

verilen: paralelkenarın alanı 50 cm kare, taban 10 cm -

bul: paralelkenarın yüksekliği.

h = 50/10 = 5 (cm).

Paralelkenarın yüksekliği, tabanın tabanı ve tabana bitişik olan kenarı bir dik üçgen oluşturduğundan, paralelkenarın yüksekliğini bulmak için bazı en-boy oranları ve dik açılı üçgenlerin açıları kullanılabilir.

Paralelkenarın h (DE) yüksekliğine bitişik tarafı d (AD) ve yüksekliğin karşısındaki A (BAD) açısı biliniyorsa, paralelkenarın yüksekliğinin hesaplanması bitişik olanın uzunluğu ile çarpılmalıdır. karşı açının sinüsünün yanında:

örneğin, d = 10 cm ve A açısı = 30 derece ise, o zaman

H = 10 * günah (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

Problemin koşullarında, paralelkenarın h yüksekliğine (DE) bitişik kenarının uzunluğu ve tabanda yükseklik (AE) tarafından kesilen parçanın uzunluğu belirtilirse, paralelkenarın yüksekliği Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, buradan tanımlarız:

h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

onlar. paralelkenarın yüksekliği, bitişik kenarın uzunluğunun kareleri ile tabanda yükseklik tarafından kesilen kısmın kareleri arasındaki farkın kareköküne eşittir.

Örneğin, bitişik kenarın uzunluğu 5 cm ve tabanın kesilen kısmının uzunluğu 3 cm ise, yüksekliğin uzunluğu şöyle olacaktır:

h =? (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (cm).

Yüksekliğe bitişik paralelkenarın köşegeninin (DВ) uzunluğu ve taban parçasının yükseklik (BE) tarafından kesilen kısmının uzunluğu biliniyorsa, paralelkenarın yüksekliği de Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, tanımladığımız yer:

h = | ED | =? (| BD | ^ 2- | BE | ^ 2),

onlar. paralelkenarın yüksekliği, bitişik köşegenin uzunluğunun kareleri ile taban kısmının kesme yüksekliğinin (ve köşegeninin) kareleri arasındaki farkın kareköküne eşittir.

Örneğin, bitişik kenarın uzunluğu 5 cm ve tabanın kesilen kısmının uzunluğu 4 cm ise, yüksekliğin uzunluğu şöyle olacaktır:

h =? (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

Bir çokgenin yüksekliği, şeklin kenarlarından birine dik olan ve onu karşı köşenin tepe noktasına bağlayan düz bir çizgi parçasıdır. Düz bir dışbükey şekilde bu tür birkaç parça vardır ve çokgenin kenarlarından en az birinin farklı bir boyutu varsa uzunlukları aynı değildir. Bu nedenle, geometri dersindeki problemlerde, bazen bir üçgen veya bir paralelkenar gibi daha büyük bir yüksekliğin uzunluğunun belirlenmesi gerekir.

Talimatlar

Çokgenin yüksekliklerinden hangisinin en büyük uzunluğa sahip olması gerektiğini belirleyin. Bir üçgende, bu en kısa kenara bırakılan bir segmenttir, bu nedenle üç tarafın da boyutları başlangıç ​​koşullarında verilirse, tahmin etmeye gerek yoktur.

(a) üçgeninin en kısa kenarlarının uzunluğuna ek olarak, koşullarda, şeklin alanı (S) verilirse, yüksekliklerin en büyüğünü (H?) hesaplama formülü olacaktır. oldukça basit. Alanı ikiye katlayın ve elde edilen değeri kısa kenarın uzunluğuna bölün - bu istenen yükseklik olacaktır: H? = 2 * S / bir.

Alanı bilmeden, ancak üçgenin tüm kenarlarının (a, b ve c) uzunluklarına sahip olarak, yüksekliklerinin en uzununu da bulabilirsiniz, ancak çok daha fazla matematiksel işlem olacaktır. Yardımcı bir miktar hesaplayarak başlayın - yarı çevre (p). Bunu yapmak için, tüm kenarların uzunluklarını toplayın ve sonucu ikiye bölün: p = (a + b + c) / 2.

Yarım çevreyi, kendisi ve her iki taraf arasındaki farkla üç kez çarpın: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Ortaya çıkan değerden karekökü çıkarın? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) ve şaşırmayın - bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü kullandınız. En büyük yüksekliğin uzunluğunu belirlemek için, ikinci adımdaki formüldeki alanı elde edilen ifadeyle değiştirmek kalır: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Büyük bir paralelkenar yüksekliği (H?) Bu şeklin alanı (S) ve kısa kenarının (a) uzunluğu biliniyorsa daha da kolay hesaplanır. İlkini ikinciye bölün ve istediğiniz sonucu elde edin: H? = S / bir.

Paralelkenarın herhangi bir köşesindeki açının (?) değerini ve bu açıyı oluşturan kenarların (a ve b) uzunluklarını biliyorsanız, yüksekliklerin en büyüğünü bulmak çok zor olmayacaktır. . Bunu yapmak için, uzun kenarın değerini bilinen açının sinüsü ile çarpın ve sonucu kısa kenarın uzunluğuna bölün: H? = b * günah (?) / a.

Karşılıklı kenarların paralel olduğu. Bir paralelkenarın tüm açıları dikse, böyle bir paralelkenara dikdörtgen, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgene kare denir.

Tüm paralelkenarlar aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• karşılıklı kenarlar eşittir:

  AB = CD ve M.Ö = DA

• karşılıklı açılar eşittir:

  ∠ABC = ∠CDA ve ∠ DAB = ∠BCD

• bir tarafa bitişik açıların toplamı 180 ° 'dir:

  ∠ABC + ∠BCD= 180 °
  ∠BCD + ∠CDA= 180 °
  ∠CDA + ∠DAB= 180 °
  ∠DAB + ∠ABC= 180 °

• kesişme noktasında köşegenler yarıya iner:

  AO = OK ve BÖ = OD

• her köşegen paralelkenarı iki eşit üçgene böler:

  Δ ABC = Δ CDA ve Δ ABD = Δ BCD

• köşegenlerin kesişme noktası paralelkenarın simetri merkezidir:

  Puan Ö simetri merkezidir.

Boy uzunluğu

Paralelkenarın alt tarafına denir temel, ve karşı taraftaki herhangi bir noktadan tabana düşürülen dik, boy uzunluğu.

AD paralelkenarın tabanıdır, H- boy uzunluğu.

Yükseklik, zıt taraflar arasındaki mesafeyi ifade eder, bu nedenle yükseklik tanımı aşağıdaki gibi de formüle edilebilir: paralelkenar yüksekliği bir taraftaki herhangi bir noktadan diğer tarafa düşen bir diktir.

Meydan

Bir paralelkenarın alanını ölçmek için onu bir dikdörtgen olarak gösterebilirsiniz. Bir paralelkenar düşünün ABCD:

inşa edilmiş yükseklikler OLMAK ve CF bir dikdörtgen oluştur EBCF ve iki üçgen: Δ ABE ve Δ DCF... Paralelkenar ABCD bir dörtgenden oluşur EBCD ve üçgen ABE, dikdörtgen EBCF aynı dörtgen ve üçgenden oluşur DCF... üçgenler ABE ve DCF eşittir (dik açılı üçgenlerin eşitliğinin dördüncü kriterine göre), bu, paralelkenarlı bir dikdörtgenin alanlarının eşit parçalardan oluştuğu için eşit olduğu anlamına gelir.

Böylece paralelkenar, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgen olarak gösterilebilir. Ve dikdörtgenin alanını bulmak için taban uzunlukları ve yükseklik çarpıldığından, paralelkenarın alanını bulmak için aynısını yapmanız gerektiği anlamına gelir:

Meydan ABCD = AD · OLMAK

Bu örnekten şu sonuca varabiliriz: paralelkenarın alanı, tabanının ürününe yüksekliğine eşittir... Genel formül:

S = Ah

nerede S paralelkenarın alanıdır, a- temel, H- boy uzunluğu.

Geniş açının tepesinden çizilen paralelkenarın köşegenini ve paralelkenarın kenarlarıyla yaptığı açıları bulun. Kosinüs teoremini kullanarak, paralelkenarın kenar açıortaylarını bulabilirsiniz. Paralelkenarın herhangi bir köşesindeki açının (α) değerini ve bu açıyı oluşturan kenarların (a ve b) uzunluklarını biliyorsanız, en büyüğünü bulmak çok zor olmayacaktır. yükseklikleri.

(a) üçgeninin en kısa kenarlarının uzunluğuna ek olarak, koşullar şeklin alanını (S) verirse, yüksekliklerden (Hₐ) daha büyük olanı hesaplama formülü oldukça basit olacaktır. Alanı bilmeden, ancak üçgenin tüm kenarlarının (a, b ve c) uzunluklarına sahip olarak, yüksekliklerinin en uzununu da bulabilirsiniz, ancak çok daha fazla matematiksel işlem olacaktır. Yardımcı bir miktar hesaplayarak başlayın - yarı çevre (p). Bunu yapmak için, tüm kenarların uzunluklarını toplayın ve sonucu ikiye bölün: p = (a + b + c) / 2.

Ortaya çıkan değerden √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) karekökünü çıkarın ve şaşırmayın - bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü kullandınız. En büyük yüksekliğin uzunluğunu belirlemek için, ikinci adımdaki formüldeki alanı elde edilen ifadeyle değiştirmek kalır: Hₐ = 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Not. Bu, geometri problemleriyle (kesit paralelkenar) dersin bir parçasıdır. Ayrıca bakınız: Bir Paralelkenarın Özellikleri ve Alanı. Daha sonra, hangi yüksekliğe verildiğine bağlı olarak açılardan birini bilerek, ikinciyi bulmak için 180 dereceden çıkarırız. Aynı kosinüs teoremini kullanarak, köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenden birinde köşegenler arasındaki açıyı bulabilirsiniz; burada kenarlar köşegenlerin yarısı ve paralelkenarın kenarlarından biridir.

Burada size yardımcı olacak bir sürü insan var.Ayrıca son sorum 10 dakikadan daha kısa sürede çözüldü:D Her neyse, içeri girip sorunuzu eklemeyi deneyebilirsiniz. Paralelkenar, bir tür dörtgendir ve yükseklik, tepe noktasından karşı tarafa dik olandır.

Yarım çevreyi, kendisi ve her iki taraf arasındaki farkla üç kez çarpın: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Bunu yapmak için, uzun kenarın değerini bilinen açının sinüsü ile çarpın ve sonucu kısa kenarın uzunluğuna bölün: Hₐ = b * sin (α) / a. KULLANIM sonuçları sadece mezunun bilgi ve becerilerine bağlı değildir: doğru doldurmak da önemlidir...

Ev ödevi için ücretsiz yardım

Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, forumda bunun hakkında yazın. Soruyu nasıl doğru ve TAMAMEN formüle edeceğinizi öğrenmeniz gerekir. Sorunun durumunu tam olarak yazmak gerekir. Bir üçgen ikizkenar olarak kabul edilir, çünkü açıortayın özelliklerinden ve bir üçgendeki açıların toplamından, böyle bir üçgenin tabanındaki açıların uyumlu olduğu sonucu çıkar. Lütfen bir sorunu çözmeme yardım edin.

Bu nedenle, geometri dersindeki problemlerde, bazen bir üçgen veya bir paralelkenar gibi daha büyük bir yüksekliğin uzunluğunun belirlenmesi gerekir. Kenarları bilen bir paralelkenarın çevresi, toplamlarının iki katı gibi görünür ve alan, yüksekliğin ve alçaldığı kenarın ürünüdür.

Paralelkenar, karşılıklı ve çift paralel kenarları olan bir dörtgendir.

Bir paralelkenarın yüksekliği, paralelkenarın bir kenarına dik olan ve bu kenarı karşı açıya bağlayan bir çizgidir.

Paralelkenar yüksekliğinin uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğrenmek için formüllere dönelim. Yükseklik en çok h harfi ile gösterilir.

Yüksekliği bulma yöntemi, görevde bildiğimiz değerlere bağlıdır. Belirli örneklerle farklı yöntemleri ele alalım.

örnek 1

Alanı (S) ve tabanın uzunluğu (a) verilmiştir.

• Formül: h = S / a

Örnek: Bir paralelkenarın alanı 100 cm2, yüksekliğin çizildiği taban 20 cm'dir Yüksekliği bulun.

• h = 100/20 = 5
• Cevap: 5cm

Örnek 2

Paralelkenarın (b) yüksekliğine bitişik olan kenarının uzunluğu ve (a) yüksekliğinin karşısındaki açı verilmiştir.

• Formül: h = b * günah a

Örnek: Paralelkenarımızı ABCD harfleriyle gösterelim, BE yüksekliği ABC açısından AD tarafına geçer. AB kenarının uzunluğu 20 cm, BAD açısı 30 derecedir. Yüksekliği bulun.

• h = 20 * günah 30 ° = 20 * 0,5 = 10

Cevap: 10cm

Örnek 3

Yüksekliğe komşu olan paralelkenar kenarının uzunluğu (n) ve tabandan kesilen kenarın uzunluğu (m) verilmiştir.

• h = (n 2 - m 2) kökü

Örnek: ABCD paralelkenarında, BE yüksekliği ABC açısından AD kenarına uzanır. AB uzunluğu 5 cm, AE uzunluğu 3 cm. Yüksekliğini bulun.

• h = (AD 2 - AB 2)'nin kökü
• h = kökü (5 2 -3 2) = 4
• Cevap: 4cm

Örnek 4

Yükseklik (d) ile aynı açıdan uzanan köşegenin uzunluğu ve tabandan kesilen kenarın uzunluğu (m) verilmiştir.

• h = (d 2 - m 2)'nin kökü

Örnek: ABCD paralelkenarında, BE yüksekliği ABC açısından AD kenarına uzanır. Köşegen BD 5 cm, uzunluk ED = 4 cm'dir.

• h = (BD 2 - ED 2)'nin kökü
• h = kökü (5 2 - 4 2) = 3
• Cevap: 3cm

Görevde büyük bir paralelkenar yüksekliği bulmak gerekiyorsa, her iki yüksekliğin uzunluklarını hesaplamak ve en büyük değeri seçmek gerekir.

Diğer parametrelerini bilerek bir paralelkenarın yüksekliği nasıl belirlenir? Alan, köşegen ve kenar uzunlukları, açıların büyüklüğü gibi.

İhtiyacın olacak

• hesap makinesi

Talimatlar

1. Geometrideki veya daha doğrusu planimetri ve trigonometrideki problemlerde, bazen kenarların, açıların, köşegenlerin vb. verilen değerlerine dayanarak bir paralelkenarın yüksekliğini bulmak gerekir. Paralelkenarın alanı, bilindiği gibi, yüksekliğin tabanının uzunluğuna eşittir: S = a * h, burada: S, paralelkenarın alanıdır, a'nın uzunluğudur. paralelkenarın tabanı, h, a tarafına indirilen yüksekliğin uzunluğudur (veya devamı). verilen örnek: paralelkenarın alanı 50 cm kare, taban 10 cm; bulun: paralelkenarın yüksekliği h = 50/10 = 5 (cm ).

2. A ( KÖTÜ), sonra paralelkenarın yüksekliğini hesaplayarak, bitişik tarafın uzunluğunu karşı açının sinüsü ile çarpmanız gerekir: h = d * sinA, örneğin, d = 10 cm ise ve açı A = 30 derece, o zaman H = 10 * günah (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

3. Problemin koşullarında, paralelkenarın h yüksekliğine (DE) bitişik kenarının uzunluğu ve tabanda yükseklik (AE) tarafından kesilen parçanın uzunluğu belirtilirse, paralelkenarın yüksekliği Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir: | AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, buradan tanımlarız: h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2), yani paralelkenarın yüksekliği, komşu kenarın uzunluğunun kareleri ile taban parçasının kesme yüksekliğinin kareleri arasındaki farkın kareköküne eşittir, komşu kenarın uzunluğu 5 cm ise, ve tabanın kesilen kısmının uzunluğu 3 cm ise, yüksekliğin uzunluğu: h =? (5 ^ 2- 3 ^ 2) = 4 (cm) olacaktır.

4. Yüksekliğe bitişik paralelkenarın köşegeninin (DB) uzunluğu ve tabanın yükseklik tarafından kesilen kısmının (BE) uzunluğu ünlüyse, paralelkenarın yüksekliği de Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir. : | BE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | BD | ^ 2, buradan tanımlıyoruz: h = | ED | =? (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2), yani. paralelkenarın yüksekliği, bitişik köşegenin uzunluğunun kareleri ile taban parçasının kesme yüksekliğinin (ve köşegeninin) kareleri arasındaki farkın kareköküne eşittir. kenar 5 cm ve tabanın kesilen kısmının uzunluğu 4 cm, bu durumda yüksekliğin uzunluğu: h =? ( 5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm) olacaktır.

Bir çokgenin yüksekliği, şeklin kenarlarından birine dik olan, onu karşı köşenin tepe noktasına bağlayan düz bir çizgi parçasıdır. Düz bir dışbükey şekilde bu tür birkaç parça vardır ve çokgenin kenarlarından en az biri diğerlerine kıyasla iyi bir boyuta sahipse uzunlukları aynı değildir. Sonuç olarak, geometri dersindeki problemlerde bazen daha büyük bir yüksekliğin, örneğin bir üçgenin veya bir paralelkenarın uzunluğunun belirlenmesi gerekir.

Talimatlar

1. Çokgenin yüksekliklerinden hangisinin en büyük uzunluğa sahip olması gerektiğini belirleyin. Bir üçgende, bu en kısa kenara indirilmiş bir segmenttir, bu nedenle başlangıç ​​koşulları 3 kenarın da boyutlarını veriyorsa, tahmin etmenize gerek yoktur.

2. (a) üçgeninin en kısa kenarlarının uzunluğuna ek olarak, koşullar şeklin alanını (S) verirse, yüksekliklerden daha büyük olanı (H?) hesaplama formülü oldukça ilkel olacaktır. Alanı ikiye katlayın ve elde edilen değeri kısa kenarın uzunluğuna bölün - bu istenen yükseklik olacaktır: H? = 2 * S / bir.

3. Alanı bilmeden, ancak üçgenin tüm kenarlarının (a, b ve c) uzunluklarına sahip olarak, yüksekliklerinin en uzununu bulmasına da izin verilir, ancak matematiksel işlemler çok daha büyük olacaktır. Yardımcı bir miktar hesaplayarak başlayın - yarı çevre (p). Bunu yapmak için tüm kenarların uzunluklarını toplayın ve toplamı ikiye bölün: p = (a + b + c) / 2.

4. Yarı çevreyi, kendisi ile herhangi bir kenar arasındaki farkla üç kez çarpın: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Ortaya çıkan değerden karekökü çıkarın? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) ve şaşırmayın - bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü kullandınız. En büyük yüksekliğin uzunluğunu belirlemek için, ikinci adımdaki formüldeki alanı elde edilen ifadeyle değiştirmek kalır: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. Paralelkenarın devasa yüksekliği (H?) Bu şeklin alanı (S) ve kısa kenarının (a) uzunluğu biliniyorsa, hesaplanması daha da kolaydır. Birinciyi ikinciye bölün ve gerekli toplamı elde edin: H? = S / bir.

6. Paralelkenarın herhangi bir köşesindeki (?) açısının değerini ve bu açıyı oluşturan kenarların (a ve b) uzunluklarını bilirsek, yüksekliklerin en büyüğünü bulmak da zor olmayacaktır. . Bunu yapmak için, uzun kenarın değerini ünlü açının sinüsü ile çarpın ve toplamı kısa kenarın uzunluğuna bölün: H? = b * günah (?) / a.

İlgili videolar