Grafiğe göre x0 noktasındaki türevin değeri. fonksiyonun x0 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

örnek 1

Referans: Bir işlevi not etmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir: Bazı görevlerde, işlevi “oyuncu”, bazılarında “x'ten ef” olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

, , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Örnek 3

Noktadaki fonksiyonun türevini hesaplayın. Önce türevi bulalım:

Bu tamamen farklı bir konu. Noktadaki türevin değerini hesaplayın:

Türevin nasıl bulunduğunu anlamadıysanız konunun ilk iki dersine dönün. Ark tanjantı ve anlamları ile ilgili zorluklar (yanlış anlamalar) varsa, mutlaka çalışma metodolojik materyali Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri- en son paragraf. Çünkü öğrenci yaşı için hala yeterli arktanjant var.

Örnek 4

Noktadaki fonksiyonun türevini hesaplayın.

Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

Önceki paragrafı pekiştirmek için, teğet bulma problemini düşünün. fonksiyon grafikleri Bu noktada. Bu görevle okulda tanıştık ve aynı zamanda yüksek matematik dersinde de bulunur.

Bir "gösteri" temel örneğini düşünün.

Fonksiyonun grafiğinin apsisli noktadaki teğeti için bir denklem yazın. Soruna hemen hazır bir grafik çözüm vereceğim (pratikte çoğu durumda bu gerekli değildir):

Bir teğetin kesin bir tanımı şu şekilde verilir: bir fonksiyonun türevinin tanımları, ancak şimdilik konunun teknik kısmına hakim olacağız. Elbette hemen hemen herkes teğetin ne olduğunu sezgisel olarak anlar. "Parmaklarda" açıklarsanız, fonksiyonun grafiğine teğet dümdüz, bu, fonksiyonun grafiği ile ilgilidir. tek puan. Bu durumda, düz çizginin yakındaki tüm noktaları, fonksiyonun grafiğine mümkün olduğunca yakın yerleştirilir.

Bizim durumumuza uygulandığı gibi: at , tanjant (standart gösterim), fonksiyonun grafiğine tek bir noktada dokunur.

Ve görevimiz düz bir çizginin denklemini bulmak.

Bir noktada bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonun bir noktada türevi nasıl bulunur? Bu görevin iki bariz noktası ifadelerden kaynaklanmaktadır:

1) Türevi bulmak gerekir.

2) Verilen bir noktada türevin değerini hesaplamak gerekir.

örnek 1

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Yardım: Bir işlevi not etmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir:


Bazı görevlerde, işlevi “oyuncu”, bazılarında “x'ten ef” olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Umarım birçoğu bu tür türevleri sözlü olarak bulmaya çoktan adapte olmuştur.

İkinci adımda, türevin noktadaki değerini hesaplıyoruz:

Bağımsız bir çözüm için küçük bir ısınma örneği:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bir noktada türevi bulma ihtiyacı aşağıdaki görevlerde ortaya çıkar: bir fonksiyonun grafiğine teğet oluşturma (sonraki paragraf), bir ekstremum için bir fonksiyonun incelenmesi , grafiğin bükülmesi için fonksiyonun incelenmesi , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Ancak söz konusu görev, kontrol kağıtlarında ve kendi başına bulunur. Ve kural olarak, bu gibi durumlarda işleve oldukça karmaşık verilir. Bu bağlamda, iki örnek daha düşünün.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini hesaplayın noktada .
Önce türevi bulalım:

Prensipte türev bulunur ve gerekli değer ikame edilebilir. Ama gerçekten hiçbir şey yapmak istemiyorum. İfade çok uzun ve "x" değeri kesirli. Bu nedenle türevimizi mümkün olduğunca basitleştirmeye çalışıyoruz. Bu durumda, son üç terimi ortak bir paydaya indirgemeye çalışalım: noktada .

Bu kendin yap örneğidir.

F(x) fonksiyonunun Ho noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur? Genel olarak nasıl çözülür?

Formül verilmişse, türevi bulun ve X yerine X-sıfırın yerine koyun. saymak
B-8 KULLANIM, grafikten bahsediyorsak, X eksenine teğet oluşturan açının tanjantını (dar veya geniş) bulmanız gerekir (bir dik üçgenin zihinsel yapısını kullanarak ve tanjantını belirleyerek). açı)

Timur adilkhodzhaev

İlk olarak, işarete karar vermelisiniz. x0 noktası koordinat düzleminin alt kısmındaysa, cevaptaki işaret eksi, daha yüksekse + olacaktır.
İkinci olarak, dikdörtgen bir dikdörtgende tangenin ne olduğunu bilmeniz gerekir. Ve bu, karşı tarafın (bacak) bitişik tarafa (aynı zamanda bacak) oranıdır. Genellikle resimde birkaç siyah işaret vardır. Bu işaretlerden dik açılı bir üçgen yapar ve tangeyi bulursunuz.

f x fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur?

Genel durumda, bir fonksiyonun herhangi bir noktada bir değişkene göre türevinin değerini bulmak için, verilen fonksiyonun bu değişkene göre türevini almak gerekir. Sizin durumunuzda, X değişkeni ile. Ortaya çıkan ifadede, X yerine, türevin değerini bulmanız gereken noktaya x değerini koyun, yani. sizin durumunuzda, sıfır X'i değiştirin ve elde edilen ifadeyi hesaplayın.

Pekala, bu konuyu anlama arzunuz, bence, şüphesiz, açık bir vicdanla koyduğum + 'yı hak ediyor.

Türev bulma sorununun böyle bir formülasyonu, genellikle malzemeyi türevin geometrik anlamı üzerine sabitlemek için ortaya çıkar. Tamamen keyfi ve bir denklem tarafından verilmeyen belirli bir fonksiyonun grafiği önerilmiştir ve belirtilen X0 noktasında türevin (türevin kendisinin değil!) değerini bulmak gerekir. Bunu yapmak için, verilen fonksiyona bir teğet oluşturulur ve koordinat eksenleriyle kesişme noktaları bulunur. Daha sonra bu teğetin denklemi y=kx+b şeklinde çizilir.

Bu denklemde k katsayısı ve türevinin değeri olacaktır. sadece b katsayısının değerini bulmak için kalır. Bunu yapmak için, x \u003d o'daki y değerini buluyoruz, 3'e eşit olmasına izin verin - bu, b katsayısının değeridir. X0 ve Y0 değerlerini orijinal denklemde yerine koyarız ve bu noktada türevimizin değeri olan k'yi buluruz.

B9 probleminde, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemenin gerekli olduğu bir fonksiyon veya türev grafiği verilmiştir:

1. x 0 noktasındaki türevin değeri,
2. Yüksek veya düşük noktalar (aşırı noktalar),
3. Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü büyük ölçüde basitleştirir. Görevin matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen, burada derin bir teorik bilgi gerekmediğinden, en zayıf öğrencilerin bile gücü dahilindedir.

Türev, ekstremum noktaları ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmamak için B9 probleminin durumunu dikkatlice okuyun: bazen oldukça hacimli metinler ortaya çıkıyor, ancak çözümün seyrini etkileyen birkaç önemli koşul var.

Türevin değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme f(x) fonksiyonunun bir grafiği verilirse, bu grafiğe x 0 noktasında teğet olur ve bu noktada türevin değerinin bulunması istenirse, aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafiğinde iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru bir şekilde yazın - bu çözümün kilit noktasıdır ve buradaki herhangi bir hata yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak, D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyon artışını argüman artışına bölmeniz gerekir - ve cevap bu olacaktır.

Bir kez daha not edelim: A ve B noktaları, çoğu zaman olduğu gibi, f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet mutlaka böyle en az iki nokta içerecektir, aksi takdirde problem yanlış formüle edilir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Bir görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Bir görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Son örnekten kuralı formüle edebiliriz: tanjant OX eksenine paralelse, fonksiyonun temas noktasındaki türevi sıfıra eşittir. Bu durumda, hiçbir şey hesaplamanıza bile gerek yok - sadece grafiğe bakın.

Yüksek ve Düşük Puanların Hesaplanması

Bazen B9 probleminde bir fonksiyonun grafiği yerine bir türev grafiği verilir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunması gerekir. Bu senaryoda, iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha basit bir algoritma daha var. Önce terminolojiyi tanımlayalım:

1. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
2. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türevin grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için aşağıdaki adımların gerçekleştirilmesi yeterlidir:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırarak türevin grafiğini yeniden çizin. Uygulamanın gösterdiği gibi, ekstra veriler yalnızca karara müdahale eder. Bu nedenle, türevin sıfırlarını koordinat ekseninde işaretliyoruz - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, o zaman sadece iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti orijinal çizimden belirlenmesi kolaydır: türev grafiği OX ekseninin üzerindeyse, o zaman f'(x) ≥ 0. Tersine, türev grafiği OX ekseninin altındaysa, o zaman f'(x) ≤ 0.
3. Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği yerde bir minimum nokta vardır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli işlevler için çalışır - B9 sorununda başka yoktur.

Bir görev. Şekil, [−5; beş]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım - sadece [-5; 5] ve x = −3 ve x = 2.5 türevinin sıfırları. Ayrıca işaretleri not edin:

Açıktır ki, x = -3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Bir görev. Şekil, [−3; 7]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, sadece [−3; 7] ve x = −1.7 ve x = 5 türevinin sıfırları. Elde edilen grafikte türevin işaretlerini not edin. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında, türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Bir görev. Şekil, [−6; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [-4; 3]. Bu nedenle, üzerinde yalnızca [−4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları elde ederiz:

Bu grafikte sadece bir maksimum nokta vardır x = 2. İçinde türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Tamsayı olmayan koordinatlara sahip noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, son problemde x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3.4 alabiliriz. Sorun doğru formüle edilirse, "sabit bir ikamet yeri olmayan" noktalar sorunun çözümünde doğrudan yer almadığından, bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. Tabii ki, tamsayı noktaları ile böyle bir numara çalışmayacaktır.

Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktaları gibi, türevin grafiğinden fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanların bulunması önerilir. İlk olarak, artan ve azalan ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu segmentten herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna artan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Başka bir deyişle, argümanın değeri ne kadar büyükse, işlevin değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu segmentteki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna azalan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Onlar. bağımsız değişkenin daha büyük bir değeri, işlevin daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Artan ve azalan için yeterli koşulları formüle ediyoruz:

1. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde artması için segment içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde azalması için segment içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≤ 0.

Bu iddiaları kanıtsız kabul ediyoruz. Böylece, birçok yönden ekstremum noktalarını hesaplama algoritmasına benzeyen artış ve azalma aralıklarını bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde, öncelikle fonksiyonun sıfırları ile ilgileniyoruz, bu yüzden sadece onları bırakıyoruz.
2. Türevin işaretlerini sıfırlar arasındaki aralıklarda işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar ve f'(x) ≤ 0 olduğunda azalır. Sorunun x değişkeni üzerinde kısıtlamaları varsa, bunları ek olarak yeni çizelgede işaretleriz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamayı bildiğimize göre, problemde gerekli değeri hesaplamak kalıyor.

Bir görev. Şekil, [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalan aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda bulunan tam sayıların toplamını yazınız.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizeriz ve sınırları [−3; 7.5], ayrıca x = −1.5 ve x = 5.3 türevinin sıfırları. Sonra türevin işaretlerini işaretliyoruz. Sahibiz:

(− 1.5) aralığında türev negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamak için kalır:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Bir görev. Şekil, [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artan aralıklarını bulun. Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Sadece [-10; 4] ve bu sefer dört olduğu ortaya çıkan türevin sıfırları: x = -8, x = -6, x = -3 ve x = 2. Türevin işaretlerini not edin ve aşağıdaki resmi elde edin:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. burada f'(x) ≥ 0. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıkların en büyüğünün uzunluğunu bulmak gerektiğinden, yanıt olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.