2. dereceden doğrusal diferansiyel denklem (LDE) aşağıdaki forma sahiptir:

burada , , ve çözümün arandığı aralıkta sürekli olan fonksiyonlar verilmiştir. a 0 (x) ≠ 0 olduğunu varsayarak (2.1)'i bölüyoruz ve katsayılar için yeni gösterimler ekledikten sonra denklemi şu şekilde yazıyoruz:

(2.2)'nin herhangi bir başlangıç ​​koşulunu sağlayan bir aralık üzerinde, eğer söz konusu aralıkta ve fonksiyonları sürekli ise, tek bir çözümü olduğunu kanıtlamadan kabul edelim. Eğer ise denklem (2.2) homojen olarak adlandırılır, aksi takdirde denklem (2.2) homojen değildir.

2. dereceden damarın çözümlerinin özelliklerini ele alalım.

Tanım. Fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu, keyfi sayıların yer aldığı ifadedir.

Teorem. Eğer ve – çözüm

o zaman bunların doğrusal kombinasyonu da bu denklemin çözümü olacaktır.

Kanıt.

(2.3)’teki ifadeyi yerine koyalım ve sonucun özdeşlik olduğunu gösterelim:

Terimleri yeniden düzenleyelim:

Fonksiyonlar denklem (2.3)'ün çözümleri olduğundan, son denklemdeki parantezlerin her biri aynı şekilde sıfıra eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Sonuç 1. Kanıtlanmış teoremden, eğer denklem (2.3)'ün bir çözümü varsa, bu denklemin de bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Sonuç 2. Varsayalım ki, Lod'un iki çözümünün toplamının da bu denklemin bir çözümü olduğunu görüyoruz.

Yorum. Teoremde kanıtlanmış çözümlerin özelliği, herhangi bir düzendeki problemler için geçerli kalır.

§3. Vronsky'nin determinantı.

Tanım. Bu fonksiyonların hiçbiri diğerlerinin doğrusal birleşimi olarak temsil edilemiyorsa, bir işlevler sisteminin belirli bir aralıkta doğrusal olarak bağımsız olduğu söylenir.

İki fonksiyon durumunda bu şu anlama gelir: yani . Son koşul veya olarak yeniden yazılabilir. . Bu ifadenin payının determinantı ve fonksiyonları için Wronski determinantı denir. Dolayısıyla iki doğrusal bağımsız fonksiyon için Wronski determinantı tamamen sıfıra eşit olamaz.

İzin vermek doğrusal bağımsız çözümler ve denklem (2.3) için Wronski determinantıdır. Değiştirme yaparak fonksiyonun denklemi karşıladığından emin olalım. (3.1)

Gerçekten mi, . Fonksiyonlar ve denklem (2.3)'ü sağladığından, yani. – denklemin çözümü (3.1). Hadi şu çözümü bulalım: ; . Nerede , . , , .

Bu formülün sağ tarafında artı işaretini almanız gerekir, çünkü yalnızca bu durumda kimlik elde edilir. Böylece,

(3.2)

Bu formüle Liouville formülü denir. Doğrusal bağımsız fonksiyonlar için Wronski determinantının tamamen sıfıra eşit olamayacağı yukarıda gösterilmiştir. Sonuç olarak, (2.3) denkleminin doğrusal bağımsız çözümlerinin determinantının sıfırdan farklı olduğu bir nokta vardır. Daha sonra Liouville formülünden, herhangi bir değer için formülün (3.2) sağ tarafındaki her iki faktörün de sıfır olmaması nedeniyle, fonksiyonun söz konusu aralıktaki tüm değerler için sıfırdan farklı olacağı sonucu çıkar.

§4. 2. dereceden damarın genel çözümünün yapısı.

Teorem. Eğer ve denklem (2.3)'ün doğrusal olarak bağımsız çözümleri ise, bunların doğrusal birleşimi ve keyfi sabitlerdir, bu denklemin genel çözümü olacaktır.

Kanıt.

Ne denklem (2.3)'ün bir çözümüdür, 2. dereceden Lodo'nun çözümlerinin özelliklerine ilişkin teoremden gelir. Sadece çözümü göstermemiz gerekiyor irade genel yani Herhangi bir başlangıç ​​koşulu için, bu koşulları sağlayacak şekilde keyfi sabitlerin seçilebileceğini göstermek gerekir. Başlangıç ​​koşullarını şu şekilde yazalım:

Sabitler ve bu doğrusal cebirsel denklem sisteminden benzersiz bir şekilde belirlenir, çünkü bu sistemin determinantı, Lodu'nun doğrusal olarak bağımsız çözümleri için Wronski determinantının değeridir:

,

ve böyle bir determinant, önceki paragrafta gördüğümüz gibi, sıfırdan farklıdır. Teorem kanıtlandı.

Örnek. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın ve'nin keyfi sabitler olduğu Lod'un genel bir çözümüdür.

Çözüm.

Fonksiyonların yerine getirildiğini ve bu denklemi karşıladığını doğrulamak kolaydır. Bu fonksiyonlar doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü . Bu nedenle genel çözümün yapısına ilişkin teoreme göre 2. dereceden damar bu denklemin genel çözümüdür.

İkinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem formun denklemi denir

sen"" + P(X)sen" + Q(X)sen = F(X) ,

Nerede sen bulunacak fonksiyondur ve P(X) , Q(X) Ve F(X) - belirli bir aralıkta sürekli işlevler ( a, b) .

Denklemin sağ tarafı sıfır ise ( F(X) = 0), o zaman denklem çağrılır doğrusal homojen denklem . Bu dersin pratik kısmı esas olarak bu tür denklemlere ayrılacaktır. Denklemin sağ tarafı sıfıra eşit değilse ( F(X) ≠ 0), bu durumda denklem denir.

Denklemi çözmemiz gereken problemlerde sen"" :

sen"" = −P(X)sen" − Q(X)sen + F(X) .

İkinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerin benzersiz bir çözümü vardır Cauchy sorunları .

İkinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem ve çözümü

İkinci dereceden doğrusal homojen bir diferansiyel denklemi düşünün:

sen"" + P(X)sen" + Q(X)sen = 0 .

Eğer sen1 (X) Ve sen2 (X) Bu denklemin özel çözümleri ise aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1) sen1 (X) + sen 2 (X) - aynı zamanda bu denklemin bir çözümüdür;

2) Cy1 (X) , Nerede C- keyfi bir sabit (sabit), aynı zamanda bu denklemin bir çözümüdür.

Bu iki ifadeden şu sonuç çıkıyor: fonksiyon

C1 sen 1 (X) + C 2 sen 2 (X)

aynı zamanda bu denklemin bir çözümüdür.

Adil bir soru ortaya çıkıyor: Bu çözüm mü? ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü yani farklı değerler için öyle bir çözüm C1 Ve C2 Denklemin tüm olası çözümlerini bulmak mümkün mü?

Bu sorunun cevabı şudur: Belki, ancak belirli koşullar altında. Bu belirli çözümlerin hangi özelliklere sahip olması gerektiği koşulu sen1 (X) Ve sen2 (X) .

Bu duruma kısmi çözümlerin doğrusal bağımsızlığı koşulu denir.

Teorem. İşlev C1 sen 1 (X) + C 2 sen 2 (X) fonksiyonlar ise doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel bir çözümüdür. sen1 (X) Ve sen2 (X) Doğrusal bağımsız.

Tanım. Fonksiyonlar sen1 (X) Ve sen2 (X) oranları sıfırdan farklı bir sabitse doğrusal bağımsız olarak adlandırılır:

sen1 (X)/sen 2 (X) = k ; k = yapı ; k ≠ 0 .

Ancak tanım gereği bu fonksiyonların doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını belirlemek çoğu zaman çok zahmetlidir. Wronski determinantını kullanarak doğrusal bağımsızlığı oluşturmanın bir yolu var K(X) :

Wronski determinantı sıfıra eşit değilse çözümler doğrusal olarak bağımsızdır . Wronski determinantı sıfır ise çözümler doğrusal bağımlıdır.

Örnek 1. Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. İki kez integral alıyoruz ve görüldüğü gibi, bir fonksiyonun ikinci türevi ile fonksiyonun kendisi arasındaki farkın sıfıra eşit olması için, çözümlerin türevi kendisine eşit olan bir üstel ile ilişkilendirilmesi gerekiyor. Yani kısmi çözümler ve'dir.

Wronski determinantından beri

sıfıra eşit değilse bu çözümler doğrusal olarak bağımsızdır. Bu nedenle bu denklemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

.

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemler: teori ve pratik

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir

sen"" + py" + qy = 0 ,

Nerede P Ve Q- sabit değerler.

Bunun ikinci dereceden bir denklem olduğu, istenilen fonksiyonun ikinci türevinin varlığıyla, homojenliği ise sağ tarafta sıfır ile gösterilir. Yukarıda belirtilen değerlere sabit katsayılar denir.

İle sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi çözme , ilk önce formun sözde karakteristik denklemini çözmelisiniz

k² + pq + Q = 0 ,

görülebileceği gibi bu sıradan bir ikinci dereceden denklemdir.

Karakteristik denklemin çözümüne bağlı olarak üç farklı seçenek mümkündür sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin çözümleri şimdi analiz edeceğiz. Tam kesinlik için, tüm özel çözümlerin Wronski determinantı tarafından test edildiğini ve bunun her durumda sıfıra eşit olmadığını varsayacağız. Ancak şüphe duyanlar bunu kendileri kontrol edebilir.

Karakteristik denklemin kökleri gerçek ve farklıdır

Başka bir deyişle, . Bu durumda, sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü şu şekildedir:

.

Örnek 2. Doğrusal homojen bir diferansiyel denklemi çözün

.

Örnek 3. Doğrusal homojen bir diferansiyel denklemi çözün

.

Çözüm. Karakteristik denklemin şekli ve kökleri vardır ve gerçek ve farklıdır. Denklemin karşılık gelen kısmi çözümleri şunlardır: ve . Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

.

Karakteristik denklemin kökleri gerçek ve eşittir

Yani, . Bu durumda, sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü şu şekildedir:

.

Örnek 4. Doğrusal homojen bir diferansiyel denklemi çözün

.

Çözüm. Karakteristik denklem eşit köklere sahiptir. Denklemin karşılık gelen kısmi çözümleri şunlardır: ve . Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

Örnek 5. Doğrusal homojen bir diferansiyel denklemi çözün

.

Çözüm. Karakteristik denklemin kökleri eşittir. Denklemin karşılık gelen kısmi çözümleri şunlardır: ve . Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Tarım Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

Yönergeler

yazışmalı eğitim muhasebe fakültesi (NISPO) öğrencileri tarafından “İkinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler” konusunu incelemek

Gorki, 2013

Doğrusal diferansiyel denklemler

sabitlerle ikinci derecedenkatsayılar

1. Doğrusal homojen diferansiyel denklemler

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem formun denklemi denir

onlar. İstenilen fonksiyonu ve türevlerini yalnızca birinci dereceye kadar içeren ve ürünlerini içermeyen bir denklem. Bu denklemde Ve
- bazı sayılar ve bir işlev
belirli aralıklarla verilen
.

Eğer
aralıkta
ise denklem (1) şu şekli alacaktır:

, (2)

ve denir doğrusal homojen . Aksi halde denklem (1) çağrılır. doğrusal homojen olmayan .

Karmaşık işlevi düşünün

, (3)

Nerede
Ve
- gerçek işlevler. Eğer fonksiyon (3), denklem (2)'nin karmaşık bir çözümü ise, o zaman gerçek kısım
ve hayali kısım
çözümler
aynı homojen denklemin çözümleri ayrı ayrıdır. Dolayısıyla denklem (2)'nin herhangi bir karmaşık çözümü, bu denklemin iki gerçek çözümünü üretir.

Homojen bir doğrusal denklemin çözümleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Eğer denklem (2)'nin bir çözümü ise, o zaman fonksiyon
, Nerede İLE– keyfi bir sabit aynı zamanda denklem (2)'nin de çözümü olacaktır;

Eğer Ve denklem (2)'nin çözümleri varsa, o zaman fonksiyon
aynı zamanda denklem (2)'nin de çözümü olacaktır;

Eğer Ve denklem (2)'nin çözümleri var, ardından bunların doğrusal kombinasyonu
aynı zamanda denklem (2)'nin de çözümü olacaktır; burada Ve
– keyfi sabitler.

Fonksiyonlar
Ve
arandı doğrusal bağımlı aralıkta
eğer böyle sayılar mevcutsa Ve
aynı anda sıfıra eşit değildir, bu aralıkta eşitlik

Eşitlik (4) yalnızca şu durumlarda ortaya çıkarsa
Ve
, ardından işlevler
Ve
arandı Doğrusal bağımsız aralıkta
.

örnek 1 . Fonksiyonlar
Ve
doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü
tüm sayı doğrusunda. Bu örnekte
.

Örnek 2 . Fonksiyonlar
Ve
eşitlik olduğundan herhangi bir aralıkta doğrusal olarak bağımsızdırlar
ancak şu durumlarda mümkündür
, Ve
.

1. Doğrusal homojen bir genel çözümün oluşturulması

denklemler

Denklem (2)'ye genel bir çözüm bulmak için onun doğrusal bağımsız çözümlerinden ikisini bulmanız gerekir. Ve . Bu çözümlerin doğrusal kombinasyonu
, Nerede Ve
keyfi sabitlerdir ve doğrusal homojen bir denklemin genel çözümünü verecektir.

Denklemin (2) doğrusal olarak bağımsız çözümlerini şu şekilde arayacağız:

, (5)

Nerede – belirli bir sayı. Daha sonra
,
. Bu ifadeleri denklem (2)'de yerine koyalım:

Veya
.

Çünkü
, O
. Yani fonksiyon
eğer denklem (2)'nin çözümü olacaksa denklemi sağlayacak

. (6)

Denklem (6) denir karakteristik denklem denklem (2) için. Bu denklem cebirsel ikinci dereceden bir denklemdir.

İzin vermek Ve Bu denklemin kökleri var. Gerçek ve farklı, karmaşık veya gerçek ve eşit olabilirler. Bu durumları ele alalım.

Bırak kökleri Ve karakteristik denklemler gerçek ve farklıdır. O zaman denklem (2)'nin çözümleri fonksiyonlar olacaktır.
Ve
. Eşitlik olduğundan bu çözümler doğrusal olarak bağımsızdır.
yalnızca şu durumlarda gerçekleştirilebilir:
, Ve
. Bu nedenle, denklem (2)'nin genel çözümü şu şekildedir:

,

Nerede Ve
- keyfi sabitler.

Örnek 3
.

Çözüm . Bu diferansiyelin karakteristik denklemi şu şekilde olacaktır:
. Bu ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz
Ve
. Fonksiyonlar
Ve
diferansiyel denklemin çözümleridir. Bu denklemin genel çözümü
.

Karmaşık sayı formun ifadesi denir
, Nerede Ve gerçek sayılardır ve
sanal birim denir. Eğer
, ardından sayı
tamamen hayali denir. Eğer
, ardından sayı
gerçek bir sayı ile tanımlanır .

Sayı karmaşık bir sayının gerçek kısmı denir ve - hayali kısım. İki karmaşık sayı birbirinden yalnızca sanal kısmın işaretiyle farklıysa, bunlara eşlenik denir:
,
.

Örnek 4 . İkinci dereceden denklemi çöz
.

Çözüm . Diskriminant denklemi
. Daha sonra . Aynı şekilde,
. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin eşlenik karmaşık kökleri vardır.

Karakteristik denklemin kökleri karmaşık olsun;
,
, Nerede
. Denklemin (2) çözümleri şu şekilde yazılabilir:
,
veya
,
. Euler formüllerine göre

,
.

Daha sonra , . Bilindiği gibi karmaşık bir fonksiyon, doğrusal homojen bir denklemin çözümü ise bu denklemin çözümleri, bu fonksiyonun hem reel hem de sanal kısımlarıdır. Böylece denklem (2)'nin çözümleri aşağıdaki fonksiyonlar olacaktır:
Ve
. Eşitlikten bu yana

yalnızca şu durumlarda yürütülebilir:
Ve
ise bu çözümler doğrusal olarak bağımsızdır. Bu nedenle, denklem (2)'nin genel çözümü şu şekildedir:

Nerede Ve
- keyfi sabitler.

Örnek 5 . Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Denklem
Belirli bir diferansiyelin karakteristiğidir. Haydi çözelim ve karmaşık kökler elde edelim
,
. Fonksiyonlar
Ve
diferansiyel denklemin doğrusal bağımsız çözümleridir. Bu denklemin genel çözümü şu şekildedir:

Karakteristik denklemin kökleri gerçel ve eşit olsun;
. O halde denklem (2)'nin çözümleri fonksiyonlardır
Ve
. Bu çözümler doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü ifade yalnızca şu durumlarda sıfıra eşit olabilir:
Ve
. Bu nedenle, denklem (2)'nin genel çözümü şu şekildedir:
.

Örnek 6 . Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Karakteristik denklem
eşit köklere sahip
. Bu durumda diferansiyel denklemin doğrusal bağımsız çözümleri aşağıdaki fonksiyonlardır:
Ve
. Genel çözüm şu şekildedir:
.

Sabit katsayılı ikinci dereceden homojen doğrusal diferansiyel denklemler şu şekildedir:

burada p ve q gerçek sayılardır. Sabit katsayılı ikinci dereceden homojen diferansiyel denklemlerin nasıl çözüldüğüne dair örneklere bakalım.

İkinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemin çözümü karakteristik denklemin köklerine bağlıdır. Karakteristik denklem k²+pk+q=0 denklemidir.

1) Karakteristik denklemin kökleri farklı reel sayılar ise:

o zaman sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

2) Karakteristik denklemin kökleri eşit reel sayılar ise

(örneğin, diskriminant sıfıra eşit olduğunda), homojen bir ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

3) Karakteristik denklemin kökleri karmaşık sayılar ise

(örneğin, negatif bir sayıya eşit bir ayırıcı ile), daha sonra homojen bir ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekilde yazılır:

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemleri çözme örnekleri

Homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemlerin genel çözümlerini bulun:

Karakteristik denklemi oluşturuyoruz: k²-7k+12=0. Diskriminantı D=b²-4ac=1>0 olduğundan kökler farklı reel sayılardır.

Dolayısıyla bu homojen 2. dereceden DE'nin genel çözümü şu şekildedir:

Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

Kökler gerçek ve belirgindir. Dolayısıyla bu homojen diferansiyel denklemin genel bir çözümüne sahibiz:

Bu durumda karakteristik denklem

Kökler farklı ve geçerlidir. Bu nedenle 2. mertebeden homojen diferansiyel denklemin genel çözümü buradadır

Karakteristik denklem

Kökler gerçel ve eşit olduğundan bu diferansiyel denklemin genel çözümünü şu şekilde yazıyoruz:

Karakteristik denklem burada

Diskriminant negatif bir sayı olduğundan karakteristik denklemin kökleri karmaşık sayılardır.

Bu homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir:

Karakteristik denklem

Buradan bu diferansiyelin genel çözümünü buluyoruz. denklemler:

Kendi kendine test örnekleri.