Rasgele değişkenlerin fonksiyonları. Olasılık ve İstatistik - Delta Fonksiyonunu Kullanarak Rastgele Değişkenleri Dönüştürme Temel Gerçekler

66.1. Dönüştürülen değişkenin olasılık yoğunluğunu orijinal rastgele değişkenin yoğunluğu aracılığıyla belirleyen ilişki (65.11), rastgele değişkenlerin dönüşümü durumuna genelleştirilebilir. Rastgele değişkenlerin ortak yoğunluğu olsun ve fonksiyonlar ve değişkenler verilsin. Rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluğunu bulmak gerekir:

Bu problem, bölüm 6.4'teki genel formülasyondan şu koşulla farklılık gösterir: başlangıçtaki rastgele değişkenlerin sayısı, dönüştürülen değişkenlerin sayısına eşittir. Ters dönüşüm (66.1), değişkenlere göre bir denklem sisteminin çözümü olarak bulunur. Üstelik her biri bağlıdır. Bu tür fonksiyonların kümesi ters bir dönüşüm oluşturur. Genel olarak ters dönüşüm belirsizdir. Ters dönüşümün dalı - - I olsun, o zaman aşağıdaki ilişki doğrudur:

ters dönüşümün tüm dalları üzerinden toplamın alındığı yer,

Rastgele değişkenlerden rastgele değişkenlere Jacobian dönüşümü.

Her rastgele değişken kümesinden rastgele değişkenler elde edilirse, o zaman formül (66.2), sistemi rastgele değişkenlerle, örneğin bu tür değişkenlerle tamamlayarak kullanılabilir. O halde, eğer popülasyondaki rastgele değişkenler fonksiyonel olarak geri kalan niceliklerle ilişkiliyse, boyutsal yoğunluk delta fonksiyonlarını içerecektir.

İlişkiler (64.4), (64.6) ve (66.2), orijinal rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluğuyla fonksiyonel dönüşümüyle elde edilen rastgele değişkenlerden oluşan bir popülasyonun yoğunluğunu hesaplama problemini çözmek için iki yöntem tanımlar. Birinci yöntemin uygulanmasındaki temel zorluk, karmaşık bir alan üzerinde boyutlu integralin hesaplanmasıdır. İkinci yöntemde asıl zorluk ters dönüşümün tüm dallarını bulmaktır.

66.2. İki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluğunu formül (66.2)'ye göre yoğunlukla hesaplamanın basit bir örneğini ele alalım. Açıkçası, toplam ilk dönüştürülen miktar olarak seçilmelidir: ve ikinci olarak (ve alabilirsiniz). Böylece, 'den'e'ye olan fonksiyonel dönüşüm denklem sistemi tarafından verilir:

Ters dönüşüm, bir denklem sisteminin aşağıdakilere göre çözümüdür:

Ters dönüşüm benzersizdir, dolayısıyla (66.2)'deki toplam bir terimden oluşur. Dönüşümün Jacobian'ını bulalım:

Şimdi (66.2) for formunu alır:

Fonksiyon, rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluğudur ve. Dolayısıyla toplamın olasılık yoğunluğu tutarlılık koşulundan bulunur:

Aynı sorunu çözmek için ilk yöntemi ele alalım. (64.4)'ten şu sonuç çıkar:

Sorun, integralin koşul tarafından tanımlanan alan üzerinde dönüştürülmesinden kaynaklanmaktadır. Bu integral şu şekilde temsil edilebilir:

Dolayısıyla olasılık yoğunluğu:

bu formül (66.7) ile örtüşmektedir.

Ki-kare olasılık dağılımı

67.1. Serbestlik derecesine sahip bir ki-kare dağılımı, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır; burada bağımsız rastgele değişkenler vardır ve hepsi matematiksel beklenti ve varyans ile Gauss'tur. Formül (64.3)'e göre, rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şuna eşittir:

miktarların ortak olasılık yoğunluğu nerede. Koşullu olarak bağımsızdırlar, dolayısıyla tek boyutlu yoğunlukların çarpımına eşittirler:

(67.1), (67.2)'den bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun şu ifadeyle belirlendiği sonucu çıkar:

Görünüşe göre bu ifadenin analizi onu bulmanın en basit yoludur, çünkü burada ve (67.3) şu şekilde temsil edilebilir:

Burada integral, iki hiperküre arasında yer alan bölgenin - boyutlu uzayın hacmine eşittir: - yarıçap ve - yarıçap. Yarıçaplı bir hiperkürenin hacmi orantılı olduğundan, yani. , O

Yarıçaplı iki hiperküre arasındaki hacim ve bir faktöre kadar integrali (67.4) belirler. (67.5)'i (67.4)'e koyalım, o zaman

normalizasyon koşulundan belirlenebilecek bir sabit nerede:

(67.6)'yı (67.7)'ye koyalım, sonra

O zaman integral (67.8) olsun

burada - gama argümanın bir fonksiyonudur. (67.8) ve (67.9)'dan bir sabit belirlenir, bunun (67.6)'ya değiştirilmesi sonuca yol açar

67.2. Rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım. (67.11)'den

Benzer şekilde, miktarın ortalama karesi şuna eşittir:

(67.12), (67.13) dağılımından

67.3. Matematiksel istatistik problemlerinde normal dağılıma bağlı olasılık dağılımları önemlidir. Bunlar başlıca - dağıtım (Pearson dağıtımı), - dağıtım (Öğrenci dağıtımı) ve - dağıtımdır (Fisher dağıtımı). Dağılım, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

nerede - bağımsız ve hepsi bu.

Öğrenci dağılımı (veya - dağılımı), rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

nerede ve bağımsız rastgele değişkenlerdir ve.

Serbestlik dereceli Fisher dağılımı (- dağılımı), bir rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır

Ki-kare dağılımı ve Maxwell hız dağılımı

Gaz moleküllerinin hızları üzerindeki Maxwell dağılımı, hız modülünün olasılık yoğunluk dağılımıdır ve şu ilişkiyle belirlenir:

burada gaz moleküllerinin sayısı, hız modülü aralıkta yer alan moleküllerin sayısı, gaz sabiti ve gazın mutlak sıcaklığıdır. Oran, bir molekülün hız modülünün aralıkta yer alma olasılığı, ardından hız modülünün olasılık yoğunluğudur.

İdeal gaz modelini tanımlayan aşağıdaki iki basit olasılıksal pozisyona dayanarak dağılım (68.1) elde edilebilir. 1). Kartezyen koordinat sisteminin eksenleri üzerindeki hız projeksiyonları bağımsız rastgele değişkenlerdir. 2). Her hız projeksiyonu, sıfır beklenti ve varyansa sahip bir Gauss rastgele değişkenidir. Parametre deneysel verilere göre ayarlanır.

Bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu belirleyelim

Açıkçası, üç serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımına sahiptir. Bu nedenle olasılık yoğunluğu aşağıdaki formül (67.11) ile belirlenir:

Çünkü. Yani (68.3), karesi bağıl hızın olasılık yoğunluğudur.

Bir sonraki adım, hızın karesi dağılımından büyüklüğünün dağılımına geçmektir. Fonksiyonel dönüşüm şu şekildedir: , ve tersi de , . Dolayısıyla ters dönüşüm benzersizdir. Bu nedenle (65.1)'e göre modül dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

Son adım, rastgele değişkenden yeni bir rastgele değişkene geçmektir.

Ters dönüşüm kesindir, bu nedenle (65.1)'e göre rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu şu formu alır:

bu formül (68.1) ile örtüşmektedir.

Bağıl ve mutlak hızlar arasındaki ilişkiyi belirleyen ve ilk iki olasılık koşulunun aksine tamamen fiziksel bir durum olan ideal gaz modelinin üçüncü konumundan çıkan ilişki (68.5). Üçüncü koşul, bir molekülün ortalama kinetik enerjisinin değerine ilişkin eşitlik biçiminde bir ifade olarak formüle edilebilir.

Boltzmann sabiti nerede ve aslında deneysel bir gerçeği temsil ediyor. Burada (68.7) koşuluyla belirlenen bir sabit olsun. Bunu bulmak için (68.4)'ten bağıl hızın ortalama karesini belirleriz:

Daha sonra molekülün ortalama kinetik enerjisi, burada molekülün kütlesi ve dikkate alındığında (68.7) veya.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri

Her rastgele değişken için Xüç nicelik daha belirleyin - merkezli e, normalleştirilmiş V ve verildi sen. Merkezi rastgele değişken e belirli bir rastgele değişken arasındaki farktır X ve matematiksel beklentisi M(X), onlar. e = X – M(X). Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin beklentisi e 0'a eşittir ve varyans, belirli bir rastgele değişkenin varyansıdır: M(e) = 0, D(e) = D(X). Dağıtım işlevi FY(X) merkezli rastgele değişken e dağıtım fonksiyonuyla ilgili F(X) orijinal rastgele değişken X oran:

FY(X) = F(X + M(X)).

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları eşitliği sağlar

f Y(X) = F(X + M(X)).

Normalleştirilmiş rastgele değişken V belirli bir rastgele değişkenin oranıdır X standart sapmasına, yani . Normalleştirilmiş bir rastgele değişkenin beklentisi ve varyansı Vözelliklerle ifade edilir X Bu yüzden:

Nerede v– orijinal rastgele değişkenin varyasyon katsayısı X. Dağıtım fonksiyonu için FV(X) ve yoğunluk fV(X) normalleştirilmiş rastgele değişken V sahibiz:

Nerede F(X) – orijinal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu X, A F(X) – olasılık yoğunluğu.

Azaltılmış rastgele değişken sen merkezli ve normalleştirilmiş bir rastgele değişkendir:

Verilen rastgele değişken için

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve azaltılmış rastgele değişkenler hem teorik çalışmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici, teknik ve eğitici belgelerde sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle eşitlik nedeniyle Yöntemlerin gerekçelendirilmesini, teoremlerin formülasyonunu ve hesaplama formüllerini basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel olanları kullanılır. Yani eğer e = balta + B, Nerede A Ve B– bazı sayılar, o zaman

Örnek 7. Eğer o zaman e indirgenmiş rastgele değişkendir ve formül (8), formül (7)'ye dönüşür.

Her rastgele değişkenle X birçok rastgele değişkeni ilişkilendirebilirsiniz e formül tarafından verilen e = balta + B farklı olarak A> 0 ve B. Bu sete denir ölçek değiştiren aile rastgele değişken tarafından oluşturulan X. Dağıtım fonksiyonları FY(X) dağıtım fonksiyonu tarafından oluşturulan ölçek değiştirme dağılım ailesini oluşturur F(X). Yerine e = balta + B sıklıkla kayıt kullanın

Sayı İle kaydırma parametresi denir ve sayı D- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: X– belirli bir miktarın ölçülmesinin sonucu – şuna girer: sen– ölçümün başlangıcı noktaya kaydırılırsa aynı miktarın ölçülmesinin sonucu İle ve ardından yeni ölçü birimini kullanın. D eskisinden kat kat daha büyük.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için X'in dağılımına standart denir. Olasılıksal istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı vb. kullanılır (aşağıya bakınız).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin pozitif bir rastgele değişken için X Düşünüyor musun e= günlük X lg nerede X– bir sayının ondalık logaritması X. Eşitlik zinciri

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

dağıtım fonksiyonlarını birbirine bağlar X Ve e.

Rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun belirli bir argüman dağılım yasasına göre dağılım yasasını oluşturma görevi asıl görevdir. Buradaki genel akıl yürütme şeması aşağıdaki gibidir. Dağılım kanunu olsun, o zaman yarı aralığın tam ters görüntüsünün nerede olduğu açıktır. ZG'den £ vektörünün bu değerlerinin kümesi. Rastgele değişkenlerin £ dağılım yasası bilindiğinden son olasılık kolayca bulunabilir.Benzer şekilde, prensipte, rastgele argümanların vektör fonksiyonunun dağılım yasası da bulunabilir. Devrenin uygulanmasının karmaşıklığı yalnızca belirli fonksiyon türüne bağlıdır (p ve argümanların dağılım yasası. Bu bölüm, devrenin uygulamalar için önemli olan belirli durumlarda uygulanmasına ayrılmıştır. §1. Fonksiyonlar tek değişken £, dağıtım yasası F((x) dağılım fonksiyonu tarafından verilen bir rastgele değişken olsun, rj = Eğer F4(y), rj rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu ise, yukarıdaki hususlar, FONKSİYONLARIN FONKSİYONLARINI verir. RASTGELE DEĞİŞKENLER burada y), yarım çizginin (-oo, y) tam ters görüntüsünü belirtir. İlişki (I), (*)'nın açık bir sonucudur ve söz konusu durum için Şekil 1'de gösterilmektedir. rastgele bir değişken (p(t) sürekli bir monoton fonksiyon olsun (kesinlik için, monoton olarak artmayan) ve r) = - Fn(y) dağılım fonksiyonu için elde ederiz (burada fonksiyon, varlığının tersidir) monotonluk ve süreklilik ile sağlanır. Monoton olarak azalmayan) için benzer hesaplamalar şunu verir: Özellikle - doğrusal ise, o zaman a > O için (Şekil 1). 2) Doğrusal dönüşümler dağılımın doğasını değiştirmez, yalnızca parametrelerini etkiler. Bir rastgele değişkenin tekdüze doğrusal dönüşümü [a, b] Let Normal bir rastgele değişkenin doğrusal dönüşümü Let ve genel olarak Let, örneğin 0. (4)'ten şu sonuca varırız: Son integrali koyun Bu değiştirme önemli bir değer verir Birçok ilginç uygulamanın kaynağı olan kimlik, Lemma ile (3) ilişkisinden elde edilebilir. Sürekli dağılım fonksiyonu F^(x) olan bir rastgele değişken ise, o zaman r) = rastgele değişkeni üzerinde tekdüzedir. Elimizde - monoton olarak azalmaz ve sınırlar dahilinde kalır o Bu nedenle, RASTGELE DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI Elde ettiğimiz aralıkta Kanıtlanmış lemmayı kullanmanın olası yollarından biri, örneğin, rastgele bir değişkeni keyfi bir değişkenle modelleme prosedürüdür. dağıtım yasası F((x).Lemmadan aşağıdaki gibi, bunun için ) üzerinde tekdüze değerleri elde edebilmek yeterlidir.