Yan dal ile matematik. Doğal sayılar kümesinin sıralaması En büyük ve en küçük doğal sayılara ilişkin teoremler
Bir doğal serinin N parçası, a doğal sayısını aşmayan doğal sayılar kümesidir, yani N = (x|x N ve x a).
Örneğin N, 7'yi aşmayan doğal sayılar kümesidir; N =(1,2,3,4,5,6,7).
Doğal serinin parçalarının en önemli iki özelliğine dikkat çekelim:
1) Herhangi bir N segmenti bir tane içerir. Bu özellik, doğal bir serinin bir parçasının tanımından kaynaklanmaktadır.
2) Eğer x sayısı N ve xa aralığında yer alıyorsa, bu durumda onları hemen takip eden x+1 sayısı da N'de yer alır.
Bir A kümesi, doğal serinin bir N parçasına eşdeğerse sonlu olarak adlandırılır. Örneğin bir üçgenin köşelerinden oluşan A kümesi ve “dünya” sözcüğündeki harflerden oluşan B kümesi sonlu kümelerdir, çünkü N = (1,2,3) segmentine eşittirler, yani. A~B~N .
Boş olmayan sonlu bir A kümesi N doğru parçasına eşitse, bu durumda a doğal sayısına A kümesinin eleman sayısı denir ve n(A) = a olarak yazılır. Örneğin A bir üçgenin köşeleri kümesi ise n(A) = 3 olur.
Boş olmayan her sonlu küme, doğal serinin bir ve yalnızca bir bölümüne eşdeğerdir; yani, her sonlu küme A, benzersiz şekilde tanımlanmış bir a sayısıyla ilişkilendirilebilir, öyle ki A kümesi, parça üzerinde bire bir eşlenir. N.
Boş olmayan bir sonlu A kümesinin elemanları ile bir doğal serinin bir parçası arasında bire bir yazışma kurulmasına A kümesinin elemanlarının sayılması denir. Boş olmayan herhangi bir sonlu kümeye yalnızca bir doğal sayı karşılık geldiğinden, sonlu kümelerin tamamı kümesi eşit güç kümelerinin sınıflarına bölünmüştür. Bir sınıf tüm tek elemanlı kümeleri içerecek, diğeri iki elemanlı kümeleri vb. içerecektir. Ve bu sayı, eşit güce sahip sonlu kümeler sınıfının genel bir özelliği olarak düşünülebilir. Dolayısıyla, küme teorik bakış açısından, bir doğal sayı, eşit önem derecesine sahip sonlu kümeler sınıfının genel bir özelliğidir.
0 sayısının küme-teorik bir yorumu da vardır; boş kümeye karşılık gelir: n() = 0.
Dolayısıyla, miktarın bir özelliği olarak doğal sayı a iki konumdan düşünülebilir:
1) sayılarak elde edilen A kümesindeki eleman sayısı olarak;
2) eşit güce sahip sonlu kümeler sınıfının genel bir özelliği olarak.
Sonlu kümeler ile doğal sayılar arasında kurulan bağlantı, “küçüktür” ilişkisinin küme-teorik yorumunu yapmamızı sağlar.
Eğer a = n(A), b = n(B) ise, o zaman a sayısı b sayısından küçüktür ancak ve ancak ve ancak A kümesi B kümesinin kendi alt kümesine eşitse; A~B, burada B B, B B, B (Şekil 1). Veya bir doğal seri N'nin bir parçası, N parçasının uygun bir alt kümesi olduğunda, yani NN.
a ve b sayıları eşit kümelerle tanımlanırlarsa eşittirler: a = k A~B, burada n(A) = a, n (B) = k. Örneğin 2 = 2 çünkü n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Doğal sayılar için "küçüktür" ilişkisinin özellikleri de küme-teorik bir yorum alır: Bu ilişkinin geçişliliği ve antisimetrisi, "alt küme olma" ilişkisinin geçişli ve antisimetrik olması gerçeğiyle ilişkilidir.
Doğal sayılar için "küçüktür" ilişkisinin küme teorisi yorumunu kullanarak şunu gösterelim: 2
2 elemanlı bir A kümesi ve 5 elemanlı bir B kümesini ele alalım; n(A) = 2, n(B) = 5. Örneğin, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). B kümesinden A kümesine eşit bir B alt kümesi seçebiliriz: örneğin, B = (c, d) ve A~B. "Küçüktür" oranının tanımına göre, 2
Bu eşitsizliğin geçerliliği aynı zamanda N'nin
Bu eşitsizlik Şekil 2'de görülmektedir. Daire sayısı 2, kare sayısı 5 olsun. Daireleri karelerin üzerine yerleştirirsek bazı karelerin açıkta kaldığını göreceğiz.
Bu, daire sayısının kare sayısından daha az olduğu anlamına gelir; 2
Eşitsizliğin küme-teorik anlamı 0
Matematiğin ilk dersinde sayıların karşılaştırılması çeşitli şekillerde gerçekleştirilir - "küçüktür" ilişkisinin yorumlanmasında dikkate aldığımız tüm yaklaşımlara dayanır.
Doğal sayı, nesneleri sayarken kullanılan bir sayıdır. İnsanın pratik ihtiyaçlarından doğdu. Doğal sayı kavramının gelişimi birkaç aşamaya ayrılabilir: 1. Eski insanlar, kümeleri karşılaştırmak için yazışmalar kurarlardı: örneğin, bir elin parmağı kadar. Dezavantaj - karşılaştırılan setlerin aynı anda görünür olması gerekiyordu. 2. Birçok - aracılar, örneğin taşlar, kabuklar, çubuklar. Sayı kavramı henüz tamamlanmamıştır. Ve sayılar belirli öğelere bağlıdır. 3. Bir sayının görünümü (Bir sayının sayı biçiminde belirtilmesi). Aritmetiğin kökenleri. Bir bilim olarak aritmetik, Eski Doğu ülkelerinde (Çin, Hindistan, Mısır) ortaya çıktı ve Yunanistan'da daha da gelişti. Doğal sayı terimi ilk kez Romalı bilim adamı Boethius tarafından kullanıldı. Bir setin miktarını belirlemek için sayma gereklidir. Tüm niceliksel kümeleri eşdeğerlik sınıflarına, örneğin tek bir eşdeğerlik sınıfına bölelim. Kelime dünyasında birçok üçgenin köşesi, bir karenin kenarı ve birçok harf yer alacak. Bu sürece devam edersek, denklik açısından her şeyin eşit derecede güçlü bir ilişki olmasından kaynaklanır. Sonlu kümeler sınıflara bölünecektir. O. teorik olarak, bir asal doğal sayının çoğul anlamı, eşit güce sahip sonlu kümeler sınıfının genel bir özelliğidir. Her sınıfın kendi sayısal numarası vardır. Sıfır boş kümeye uygun olarak yerleştirilir.
A ve B sayıları eşit önemde kümelerle tanımlanıyorsa eşit oldukları söylenir.
Bu yöntem ilkokullarda kullanılmaktadır.
Aritmetik işlemlerin özel anlamını ortaya çıkaran problemler üzerinde çalışma yöntemleri.
Aritmetik problemler matematik derslerinde önemli bir yer tutmaktadır. Matematik derslerinde zamanın neredeyse yarısı problem çözmekle geçiyor. Bu, çocuklara eğitim vermede oynadıkları büyük eğitici ve eğitici rol ile açıklanmaktadır. Aritmetik problemleri çözmek, aritmetik işlemlerin temel anlamını ortaya çıkarmaya, bunları belirlemeye ve bunları belirli bir yaşam durumuyla ilişkilendirmeye yardımcı olur. Problemler matematiksel kavramların, ilişkilerin ve kalıpların özümsenmesine katkıda bulunur. Çocuklar problem çözerken gönüllü dikkat, gözlem, mantıksal düşünme, konuşma ve zekayı geliştirirler. Problem çözmek analiz, sentez, karşılaştırma, genelleme gibi bilişsel süreçlerin gelişmesine katkı sağlar.
Aritmetik problemlerini çözme sürecinde öğrenciler faaliyetlerini planlamayı ve kontrol etmeyi, tekniklere hakim olmayı, öz kontrolü (problemi kontrol etme, problemleri tahmin etme vb.) öğrenir, azim, irade geliştirir ve problemlere çözüm bulma konusunda ilgi geliştirirler. sorun. Çocukları hayata ve gelecekteki çalışmalarına hazırlamada problem çözmenin rolü büyüktür. Hikaye problemlerini çözerken öğrenciler nesneler ve nicelikler arasındaki ilişkileri “matematiğin diline” çevirmeyi öğrenirler. Aritmetik problemler, ülkenin ulusal ekonomi, kültür, bilim vb. çeşitli sektörlerdeki başarılarını yansıtan sayısal materyal kullanır. Bu, öğrencilerin ufkunu genişletmeye ve onları çevreleyen gerçeklik hakkında yeni bilgilerle zenginleştirmeye yardımcı olur. Öğrenciler aritmetik problemlerini büyük zorluklarla çözme becerisinde ustalaşırlar.
Çocukların sorunlara hatalı çözüm bulmalarının nedenleri öncelikle onların düşünme özelliklerinde yatmaktadır. Sorunları çözmeyi öğrenme sürecinde, belirli türdeki sorunları çözme konusunda eğitimden kaçınılmalıdır; sorunları çözmek için bilinçli bir yaklaşım öğretilmeli, bir problemde açıklanan belirli bir yaşam durumunda nasıl gezinileceği öğretilmeli, bilinçli bir görev seçimi öğretilmelidir. veriler, bilinçli bir eylem seçimi. Herhangi bir aritmetik problemi üzerinde çalışma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:
1. Görevin içeriği üzerinde çalışın.
2. Soruna çözüm bulmak.
3. Sorunu çözmek.
4. Cevabın formülasyonu.
5. Sorunun çözümünün kontrol edilmesi.
6. Çözülen soruna ilişkin takip çalışması.
Görevin içeriği üzerinde çalışmaya çok dikkat edilmelidir; problemde ortaya konan durumun anlaşılması, veri ile aranan şey arasında ilişki kurulması. Görevin içeriğine hakim olma konusundaki çalışma sırası;
a) anlaşılmaz kelime veya ifadelerin analizi;
b) problem metninin öğretmen ve öğrenciler tarafından okunması;
c) sorunun koşullarının kaydedilmesi;
d) görevin sorularla tekrarı.
Öğrencilere bir problemin metnini anlamlı bir şekilde okumaları öğretilmelidir. Çocuklara özellikle anlamlı okumanın öğretilmesi gerektiği unutulmamalıdır; problemi kendi başlarına doğru okuyamazlar, mantıksal vurgular yapamazlar vb.
Bir görevin içeriğinin nesneler, şablonlar ve çizimler yardımıyla belirlenmesinin yanı sıra, öğretmenlerin okullardaki uygulamalarında bir görevin içeriğini kaydetmenin aşağıdaki biçimleri yaygınlaşmıştır:
1. Sorunun metninden sayısal verilerin ve yalnızca sorunun mantıksal anlamını anlamak için gerekli olan kelime ve ifadelerin yazıldığı kısaltılmış bir kayıt şekli.
2. Sorunun her mantıksal bölümünün yeni bir satıra yazıldığı kısaltılmış yapısal kayıt biçimi.
3. Şematik kayıt şekli.
4. Grafiksel kayıt şekli.
Çocuklarda kontrol işlevi zayıfladığı için bir problemin çözümünü kontrol etmenin sadece eğitici değil aynı zamanda eğitici bir önemi vardır. Daha düşük derecelerde gereklidir:
1. Nesneler üzerinde eylemler gerçekleştirerek sözlü olarak formüle edilmiş görevleri kontrol edin.
2. Cevabın gerçekliğini kontrol edin.
3. Cevabın görevin koşullarına ve sorusuna uygunluğunu kontrol edin. Bir problemin çözümünü diğer çözme yöntemlerini kullanarak kontrol etmek 4. sınıftan itibaren mümkündür.
Problem çözmenin doğruluğunu kontrol etmek için programlanmış eğitimin bazı unsurları da kullanılır. Bu unsur, öğrencinin eylemlerinin doğruluğu veya tam tersine hatası konusunda derhal takviye alması açısından çok faydalıdır. Bir karar yanlışsa yeni çözümler arar.
Okuldaki bir öğretmen çoğu zaman bir problemin çözümünün tüm öğrenciler tarafından anlaşıldığından emin olamaz. Bu nedenle bu sorunun çözümünü pekiştirmek için çalışmak oldukça faydalıdır. Sorunun çözümünü pekiştirmeye yönelik çalışmalar çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir.
1. Sorunun içeriğine ilişkin anahtar sorular sorulur.
2. Sorunu çözme sürecinin tamamının, eylem seçiminin gerekçeleriyle anlatılması önerilmektedir.
3. Bireysel eylemler veya konular hakkında sorular sorulur. Öğrenciler için önemli olan çözülen benzer problemlerin sayısı değil, verilerle ilişkili olarak konunun durumunun anlaşılmasıdır. Bu amaca, bu tür problemlerin çözümünde becerileri geliştiren önemli bir teknik olarak değerlendirilebilecek, çözülmüş problem üzerinde daha sonra yapılan çalışmalarla ulaşılır. Problemlerin konu içeriğinin, verilerle gerekli olanlar arasındaki ilişkinin daha iyi anlaşılması, sayılarla değil kelimelerle yazılan fazla veya eksik sayısal verilerle problemlerin çözülmesi kolaylaştırılır. Gözlemler, en iyi öğretmenlerin, problem çözmeyi öğretme yöntemlerinden biri olarak öğrencilerin kendileri tarafından problem oluşturmayı yaygın olarak kullandıklarını göstermektedir.
Sorunları hazırlamak, çocukların bir görevin hayati ve pratik önemini daha iyi anlamalarına, yapısını daha iyi anlamalarına, farklı sorun türlerini ayırt etmelerine ve bunları çözme yöntemlerini anlamalarına yardımcı olur. Problemlerin hazırlanması hazır problemlerin çözümüne paralel olarak gerçekleştirilir. Deneyim ve gözlemler, problemlerin kısmi bileşiminin öğrenciler için en kolay yöntem olduğunu göstermektedir. Öğrenciler çeşitli olay örgüleriyle problem oluşturmaya teşvik edilmelidir. Bu onların hayal güçlerinin, yaratıcılıklarının ve inisiyatiflerinin gelişmesine katkıda bulunur. Öğrencilerin problem oluşturmak için geziler sırasında referans kitaplarından, gazetelerden, dergilerden vb. "elde ettikleri" materyalleri kullanması çok faydalıdır. Lise öğrencilerine belirli hesaplamalarla ilgili iş belgelerini doldurmaları ve yazmaları öğretilmelidir. Örneğin, bir vekaletname yazın, para transferi için bir form doldurun vb. Yukarıdaki tekniklerin tümü, her türlü problemin çözümünde yaygın olarak kullanılabilir.
Basit bir aritmetik problemi, tek bir aritmetik işlemle çözülebilen bir problemdir. Basit problemler öğrencilere matematik öğretiminde son derece önemli bir rol oynamaktadır. Ana anlamı ortaya çıkarmayı ve aritmetik işlemleri belirlemeyi, belirli matematiksel kavramları oluşturmayı mümkün kılan basit görevlerdir. Basit problemler, karmaşık problemlerin ayrılmaz bir parçasıdır ve bu nedenle, bunları çözme yeteneğini geliştirerek öğretmen, öğrencileri karmaşık problemleri çözmeye hazırlar.
Her akademik yılda öğrencilere yeni türdeki basit problemler tanıtılır. Kademeli olarak tanıtılmaları, matematiksel kavramların değişen zorluk dereceleri, bu aritmetik işlemlerin çalışma yeri, ortaya çıkardıkları özel anlam ile açıklanmaktadır. Bu tür görevleri seçerken öğretmenin özellikleri ve içeriği daha az dikkati hak etmez. Son olarak öğretmen, çeşitli kısa notasyon biçimleri kullanarak veriler ile aranan şey arasındaki ilişkiyi ortaya çıkararak problemin içeriğinin nasıl belirleneceğini öğretir.
En iyi öğretmenlerin deneyimi, aritmetik problemlerini çözmeye yönelik hazırlığın, öğrencilerin pratik deneyimlerini zenginleştirmek ve geliştirmek, onları çevredeki gerçekliğe yönlendirmekle başlaması gerektiğini göstermektedir. Öğrencilerin sayma, aritmetik problemlerini çözme ve değişiklik yapmaları gereken bir yaşam durumuna yönlendirilmesi gerekir. Üstelik bu durumlar ilk etapta yapay olarak yaratılmamalı, öğrencilerin dikkatleri sadece onlara çekilip yönlendirilmelidir. Öğretmen, öğrencilerin daha sonra sözel formülasyonda karşılaşacakları belirli terminolojiye alışmalarını sağlamak için öğrencilerin nicelik hakkındaki fikirlerinin geliştirilmesine katkıda bulunan kapların vb. içeriğindeki nesne kümelerinin öğelerinin sayısındaki değişikliklerin gözlemlenmesini organize eder. Sorunların sayısı: oldu, her şey kaldı, aldılar, arttı, azaldı vb. Öğrencilerin oyun ve pratik etkinliklerini, bu etkinliğe doğrudan katılımcı olarak ve gözlemleyerek öğrencilerin her bireysel durumda bir sonuç çıkarabilecekleri şekilde düzenlemek gerekir; kümenin eleman sayısının arttığı veya azaldığı ve bu artışa veya azalmaya hangi işlem ve sözlü ifadenin karşılık geldiği. Hazırlık çalışmasının bu aşaması, ilk on sayı üzerinde çalışmanın başlangıcı ve aritmetik işlemlere aşinalık, amaç kümeleriyle işlem örneklerinin çözülmesi ve derlenmesiyle örtüşmektedir.
Aritmetik problemlerini çözmeyi öğretmeye başlamadan önce öğretmen, öğrencilere hangi bilgi, beceri ve yeteneklerin verilmesi gerektiğini açıkça hayal etmelidir. Bir problemi çözmek için, öğrenciler aritmetik örnekleri çözmeli, problemi dinlemeli ve sonra okumalı, problemi soru soru, kısa bir nottan, hafızadan tekrarlamalı, problemin bileşenlerini tanımlamalı, problemi çözmeli ve doğruluğunu kontrol etmelidir. 1. sınıfta öğrenciler toplamı ve kalanı bulmayı içeren problemleri çözmeyi öğrenirler. Bu görevler ilk kez ilk on sayı öğretilirken tanıtılmaktadır. Aynı terimlerin toplamını bulma, eşit parçalara bölme veya içeriğe bölme ile ilgili problemleri çözmeyi öğrenirken, öğrencilerin çarpma ve bölme aritmetik işlemlerinin özünü anlamalarına güvenilmelidir. Farklı karşılaştırma problemini çözmeden önce öğrencilere bir kümedeki nesneleri, iki konu kümesini, nicelikleri, sayıları karşılaştırma, aralarında eşitlik ve eşitsizlik ilişkileri kurma kavramını vermeleri gerekir. Bileşik veya karmaşık aritmetik problemi, iki veya daha fazla aritmetik işlemle çözülebilen bir problemdir. Bileşik aritmetik problemlerini çözmenin özellikleri üzerine yapılan psikolojik araştırmalar, çocukların yeni bir bileşik problem bağlamında tanıdık basit problemleri tanımadıklarını göstermektedir. Bileşik problemlerin çözümüne yönelik hazırlık çalışması, öğrencileri bilinçli olarak bileşik problemlerin çözümünde ustalaşmaya yönlendiren bir alıştırmalar ve teknikler sistemi olmalıdır. Öğretmen, öğrencilerin bileşik probleme dahil edilecek basit problemleri çözme tekniklerinde uzmanlaştığına ve kendilerinin belirli türde basit bir problem yaratabileceğine ikna olduğunda bileşik problemleri çözmeye geçebilir. Bileşik problemleri çözerken öğrenciler ya verilere sorular sormalı ya da soruyu cevaplayacak verileri seçmelidir. Bu nedenle hazırlık döneminde yani. İlk yıl boyunca ve ikinci yılın başında öğrencilere aşağıdaki görevler teklif edilmelidir:
1. Hazır koşul için soruları seçin.
2. Eksik sayısal verileri seçerek soruya dayalı bir problem oluşturun.
Öğrenciler, basit ve bileşik problemler oluşturarak, bileşik problemlerdeki basit problemleri yavaş yavaş tanımayı öğreneceklerdir; bunları çözmede daha önce deneyimledikleri karmaşık problemleri oluşturma alıştırmaları çok faydalıdır. Bu, basit problem türlerinin daha iyi özümsenmesine, bunları bileşik bir problemde tanımlama becerisine katkıda bulunacak ve öğrencilerin problemleri daha bilinçli bir şekilde analiz etmelerine yardımcı olacaktır. Bileşik problemleri çözerken öğrencilere problem üzerinde çalışmaya yönelik genel teknikler öğretilmelidir; Bir görevin içeriğini analiz etme, bilinen verileri vurgulama, neyin arandığı (yani görevde neyin öğrenilmesi gerektiğini belirleme), görevdeki ana soruyu yanıtlamak için hangi verilerin eksik olduğunu belirleme becerisi. Okul uygulamasında, bir görev üzerindeki çalışma sırasının belirlendiği kartlarla çalışma yöntemi kendini haklı çıkardı. Sorunları çözerken, çözümünün resmileştirilmesi sorularla yazılır veya her eylem yazılıp açıklanır. Bu tür problemleri çözmek için genelleştirilmiş bir yöntemin geliştirilmesi, çeşitli türlerdeki problemlerin, konuların tekrar tekrar çözülmesi, öğrencilerin kendileri tarafından derlenen hazır problemlerin çözülmesi, bu tür problemlerin daha önce çözülmüş problem türleriyle karşılaştırılması vb. ile sağlanır.
1. 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 durumları için hesaplama yöntemini açıklayın - yüz konsantrasyondan tüm hesaplama yöntemleri.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54
4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36
5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18
6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45
Tüm hesaplama yöntemleri sözlü olup, rakamlarla toplama ve çıkarma esasına göre yapılır.
Uzmanlık alanında devlet sınavı için
1. Alan üzerinde doğrusal (vektör) uzay. Örnekler. Alt uzaylar, en basit özellikler. Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
2. Vektör uzayının temeli ve boyutu. Bir vektör sisteminin koordinat matrisi. Bir temelden diğerine geçiş. Vektör uzaylarının izomorfizmi.
3. Karmaşık sayılar alanının cebirsel kapalılığı.
4. Tam sayılar halkası. Tam sayıların sıralaması. “En büyük” ve “en küçük” tam sayılara ilişkin teoremler.
5. Grup, grup örnekleri. Grupların en basit özellikleri. Alt gruplar. Grupların homomorfizmi ve izomorfizmi.
6. Tam sayıların bölünebilme özelliğinin temel özellikleri. Asal sayılar. Asal sayılar kümesinin sonsuzluğu. Bileşik sayının kanonik ayrışımı ve benzersizliği.
7. Kronecker-Capelli teoremi (bir doğrusal denklem sistemi için tutarlılık kriteri).
8. Karşılaştırmaların temel özellikleri. Modülo kesintilerin tam ve azaltılmış sistemleri. Modulo kalıntı sınıfı halkası. Euler ve Fermat teoremleri.
9. Karşılaştırma teorisinin bölünebilirlik kriterlerinin türetilmesinde uygulanması. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek ve periyodunun uzunluğunu belirlemek.
10. Bir polinomun sanal köklerinin gerçek katsayılarla eşlenikliği. Gerçel sayılar alanı üzerinde indirgenemez polinomlar.
11. Tek değişkenli doğrusal karşılaştırmalar (çözülebilirlik kriteri, çözüm yöntemleri).
12. Eşdeğer lineer denklem sistemleri. Bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi.
13. Çalın. Halka örnekleri. Halkaların en basit özellikleri. Alt halka. Halkaların homomorfizmaları ve izomorfizmaları. Alan. Alan örnekleri. En basit özellikler. Rasyonel sayılar alanının minimalliği.
14. Doğal sayılar (doğal sayıların aksiyomatik teorisinin temelleri). “En büyük” ve “en küçük” doğal sayılara ilişkin teoremler.
15. Bir cisim üzerinde polinomlar. Kalanla bölme teoremi. İki polinomun en büyük ortak böleni, özellikleri ve bulma yöntemleri.
16. İkili ilişkiler. Denklik bağıntısı. Denklik sınıfları, faktör seti.
17. Doğal ve tam sayılar için matematiksel tümevarım.
18. Göreceli asal sayıların özellikleri. Tam sayıların en küçük ortak katı, özellikleri ve bulma yöntemleri.
19. Karmaşık sayıların alanı, sayı alanları. Karmaşık bir sayının geometrik gösterimi ve trigonometrik formu.
20. Tam sayılar için kalanlı bölme teoremi. Tam sayıların en büyük ortak böleni, özellikleri ve bulma yöntemleri.
21. Vektör uzayının doğrusal operatörleri. Doğrusal bir operatörün çekirdeği ve görüntüsü. Bir vektör uzayında doğrusal operatörlerin cebiri. Doğrusal bir operatörün özdeğerleri ve özvektörleri.
22. Düzlemin afin dönüşümleri, özellikleri ve belirtilme yöntemleri. Düzlemin ve alt gruplarının afin dönüşümleri grubu.
23. Çokgenler. Bir çokgenin alanı. Varlık ve teklik teoremi.
24. Eşit büyüklükte ve eşit çokgen bileşimi.
25. Lobaçevski'nin geometrisi. Lobaçevski geometrisinin aksiyom sisteminin tutarlılığı.
26. Lobaçevski geometrisinde paralellik kavramı. Lobaçevski düzlemindeki çizgilerin göreceli konumu.
27. Hareket formülleri. Düzlem hareketlerinin sınıflandırılması. Problem çözmeye yönelik uygulamalar.
28. İki düzlemin, bir düz çizgi ve bir düzlemin, uzaydaki iki düz çizginin göreceli konumu (analitik sunumda).
29. Projektif dönüşümler. Varlık ve teklik teoremi. Projektif dönüşümler için formüller.
30. Vektörlerin skaler, vektör ve karışık çarpımları, bunların problem çözümüne uygulanması.
31. Üç boyutlu Öklid uzayının Weyl aksiyom sistemi ve içerik tutarlılığı.
32. Düzlemin hareketleri ve özellikleri. Grup düzlem hareketleri. Varlık teoremi ve hareketin tekliği.
33. Projektif düzlem ve modelleri. Projektif dönüşümler, özellikleri. Projektif dönüşümler grubu.
34. Düzlem benzerlik dönüşümleri, özellikleri. Düzlem benzerlik dönüşümleri grubu ve alt grupları.
35. Pürüzsüz yüzeyler. Bir yüzeyin birinci ikinci dereceden formu ve uygulamaları.
36. Paralel tasarım ve özellikleri. Düz ve uzaysal figürlerin paralel projeksiyondaki görüntüsü.
37. Düzgün çizgiler. Uzaysal bir eğrinin eğriliği ve hesaplanması.
38. Konik kesitler halinde elips, hiperbol ve parabol. Kanonik denklemler.
39. Elips, hiperbol ve parabolün yönsel özelliği. Kutupsal denklemler.
40. Bir doğru üzerindeki dört noktanın çift oranı, özellikleri ve hesaplanması. Nokta çiftlerinin harmonik ayrımı. Tam dörtgen ve özellikleri. İnşaat problemlerinin çözümüne yönelik uygulama.
41. Pascal ve Brianchon Teoremleri. Kutuplar ve kutuplar.
Matematiksel analizle ilgili örnek sorular
“En büyük” ve “en küçük” tam sayılara ilişkin teoremler
Teorem 4 (“en küçük” tamsayı hakkında). Aşağıdan sınırlanan boş olmayan her tam sayı kümesi en küçük sayıyı içerir. (Burada doğal sayılarda olduğu gibi “altküme” kelimesi yerine “küme” kelimesi kullanılmıştır.
Kanıt. O A C Z ve A'nın aşağıda sınırlı olduğunu varsayalım; 36 mı? ZVa mı? bir(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Şimdi b A olsun.
Sonra Birleşik Arap Emirlikleri< а) и, значит, Уа А(а - Ь >HAKKINDA).
a'nın A kümesinden geçtiği a - b biçimindeki tüm sayıların bir M kümesini oluşturalım; M = (c [ c = a - b, a E A)
A 74 0 olduğundan M kümesinin boş olmadığı açıktır.
Yukarıda belirtildiği gibi, M C N. Sonuç olarak, doğal sayılar teoremine göre (54, Bölüm III) M kümesinde en küçük doğal sayı m vardır, o zaman bir a1 sayısı için m = a1 - b olur mu? A ve m, M'nin en küçüğü olduğuna göre Ua? bir(t)< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorem 5 (“en büyük” tamsayı hakkında). Boş olmayan, sınırlı her tam sayı kümesi en büyük sayıyı içerir.
Kanıt. O 74 A C Z ve A'nın yukarıdan b sayısıyla sınırlı olmasına izin verin, yani. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b tüm sayılar için a? A.
Sonuç olarak, M kümesi (r = -a, a? A ile) boş değildir ve aşağıda (-6) sayısıyla sınırlanmıştır. Dolayısıyla önceki teoreme göre en küçük sayı M kümesinde bulunur, yani. as mı? MU'lar mı? Hanım< с).
Bu Wah anlamına mı geliyor? AC)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
H. Tam sayılar için matematiksel tümevarım yönteminin çeşitli biçimleri. Kalanlı bölme teoremi
Teorem 1 (matematiksel tümevarım yönteminin ilk biçimi). P(c), 4 tamsayılarının Z kümesinde tanımlanan tek basamaklı bir yüklem olsun. O halde, eğer bir SAYI a Z için P(o) önermesi ve P(K)'den gelen herhangi bir K > a tamsayısı için P(K -4- 1)'i takip ediyorsa, o zaman P(r) önermesi > olan tüm tamsayılar için geçerlidir. a (yani aşağıdaki yüklem hesabı formülü Z kümesinde doğrudur:
Р(а) yay > + 1)) Ус > аР(с)
herhangi bir sabit tamsayı için a
Kanıt. Teoremin koşullarında söylenen her şeyin P(c) cümlesi için doğru olmasına izin verin, yani.
1) P(a) - doğru;
2) Birleşik Krallık Shch k+ da doğrudur.
Tam tersi. Diyelim ki böyle bir sayı var
b > a, RF) yanlıştır. Açıkçası b a, çünkü P(a) doğrudur. M = (z ? > a, P(z) yanlıştır) kümesini oluşturalım.
O halde b'den beri M 0 kümesi? M ve M- aşağıdan a sayısı ile sınırlıdır. Sonuç olarak, en küçük tam sayıya ilişkin teoreme göre (Teorem 4, 2), M kümesinde en küçük bir c tamsayısı vardır. Dolayısıyla c > a, bu da c - 1 > a anlamına gelir.
P(c-1)'in doğru olduğunu kanıtlayalım. Eğer c-1 = a ise, bu durumda P(c-1) koşulu gereği doğrudur.
c-1 > a olsun. O halde P(c-1)'in yanlış olduğu varsayımı 1'e ait olmayı gerektirir? M olamaz, çünkü c sayısı M kümesindeki en küçük sayıdır.
Dolayısıyla c - 1 > a ve P(c - 1) doğrudur.
Dolayısıyla bu teoremin koşullarına göre P((c- 1) + 1) cümlesi doğrudur, yani. R(ler) - doğru. Bu, c sayısının seçimiyle çelişmektedir, çünkü c? M Teorem kanıtlandı.
Bu teoremin Peano aksiyomlarının Sonuç 1'ini genelleştirdiğine dikkat edin.
Teorem 2 (tamsayılar için matematiksel tümevarım yönteminin ikinci şekli). P(c), Z tamsayılar kümesinde tanımlanan tek basamaklı bir yüklem olsun. O zaman P(c) önermesi bir K tamsayısı için ve P(c) önermesinin geçerliliğinden keyfi bir s K tamsayısı için geçerliyse, K eşitsizliğini sağlayan tüm tamsayılar için< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >İLE.
Bu teoremin ispatı, doğal sayılar için benzer bir teoremin ispatını büyük ölçüde tekrarlamaktadır (Teorem 1, 55, Bölüm III).
Teorem 3 (matematiksel tümevarım yönteminin üçüncü şekli). P(c), SAYILAR tamsayısının Z kümesinde tanımlanan tek basamaklı bir yüklem olsun. O halde, eğer P(c), doğal sayılar kümesinin sonsuz bir M alt kümesinin tüm sayıları için ve keyfi bir a tamsayısı için doğruysa, P(a)'nın doğruluğu, P(a - 1)'in doğruluğunu ima eder, o zaman önerme P(c) tüm tamsayılar için geçerlidir.
İspat, doğal sayılara karşılık gelen teoremin ispatına benzer.
Bunu ilginç bir egzersiz olarak sunuyoruz.
Pratikte matematiksel tümevarımın üçüncü biçiminin diğerlerinden daha az yaygın olduğuna dikkat edin. Bu, onu uygulamak için teoremde tartışılan doğal sayılar kümesinin sonsuz alt kümesi M'yi bilmenin gerekli olduğu gerçeğiyle açıklanmaktadır. Böyle bir seti bulmak zor bir iş olabilir.
Ancak üçüncü biçimin diğerlerine göre avantajı onun yardımıyla P(c) önermesinin tüm tamsayılar için kanıtlanabilmesidir.
Aşağıda üçüncü formun uygulanmasına ilişkin ilginç bir örnek vereceğiz." Ama önce çok önemli bir kavramı verelim.
Tanım. Bir a tam sayısının mutlak değeri kuralla belirlenen bir sayıdır
0, eğer a O a, eğer a > O ise
Ve eğer bir< 0.
Yani eğer 0 ise o zaman ? N.
Okuyucuyu bir alıştırma olarak mutlak değerin aşağıdaki özelliklerini kanıtlamaya davet ediyoruz:
Teorem (kalanlı bölme hakkında). b 0 olmak üzere herhangi bir a ve b tamsayı sayısı için, a r: bq + T L D olacak şekilde yalnızca bir q U m sayı çifti vardır.
Kanıt.
1. (q, m) çiftinin varlığı.
a, b mi olsun? Z ve 0. Koşulları sağlayan bir q sayı çifti olduğunu gösterelim.
Sabit bir b sayısı için a sayısı üzerinde üçüncü formdaki tümevarım yoluyla ispatı gerçekleştiriyoruz.
M = (mlm= n lbl,n?N).
M C'nin herhangi bir n için f(n) = nlbl kuralıyla tanımlanan bir f: N M eşlemesi olduğu açıktır. N, bir eşleştirmedir. Bu şu anlama gelir: M N, yani. M-sonsuza kadar.
Bunu keyfi bir a sayısı için kanıtlayalım. Bir q ve m sayı çiftinin varlığına ilişkin teoremin M (ve b-sabit) ifadesi doğrudur.
Aslında, a (- M. O halde bazı n? N için a pf! olsun.
Eğer b > 0 ise a = n + O. Şimdi q = n ve m O'yu ayarlayarak gerekli q ve m sayı çiftini elde ederiz.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Şimdi tümevarımsal bir varsayım yapalım. Rastgele bir tamsayı c (ve keyfi bir sabit b 0) için teoremin ifadesinin doğru olduğunu varsayalım; öyle bir sayı çifti (q, m) var ki
Bunun (1) sayısı için de doğru olduğunu kanıtlayalım. c = bq -4- eşitliğinden bq + (m - 1) sonucu çıkar. (1)
Vakalar olabilir.
1) m > 0. O zaman 7" - 1 > 0. Bu durumda - m - 1 koyarak c - 1 - bq + Tl elde ederiz, burada (q, 7"1,) çifti açıkça koşulu karşılar
0. Sonra c - 1 bq1 + 711 , burada q1
0 olduğunu kolaylıkla kanıtlayabiliriz.< < Д.
Dolayısıyla bu ifade aynı zamanda bir sayı çifti için de doğrudur.
Teoremin ilk kısmı kanıtlandı.
P. q çiftinin benzersizliği, vb.
a ve b 0 sayıları için (q, m) ve (q1) olmak üzere iki sayı çiftinin (*) koşullarını karşıladığını varsayalım.
Bunların çakıştığını kanıtlayalım. Öyleyse izin ver
ve a bq1 L O< Д.
Bu, b(q1 -q) m- 7 1 1 anlamına gelir. Bu eşitlikten şu sonuç çıkar:
Şimdi q ql olduğunu varsayarsak, o zaman q - q1 0, dolayısıyla lq - q1l 1 olur. Bu eşitsizlikleri terim terim lbl sayısıyla çarparak φ! - q11 D. (3)
Aynı zamanda eşitsizliklerden 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Egzersizler:
1. 5 1'den Teorem 2 ve 3'ün ispatlarını tamamlayın.
2. Teorem 3, 1'den Sonuç 2'yi kanıtlayın.
3. H C Z formundaki tüm sayılardan oluşan alt kümesinin olduğunu kanıtlayın.< п + 1, 1 >(n? N), toplama ve çarpma işlemine göre kapalı.
4. H'nin Alıştırma 3'tekiyle aynı küme anlamına geldiğini varsayalım. ј : M eşlemesinin şu koşulları sağladığını kanıtlayın:
1) ј - önyargı;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) ve j(nm) = ј(n) j(m) herhangi bir n, m sayısı için (yani ј, (N) cebirlerinin bir izomorfizmini gerçekleştirir , 4 ve (H, +,).
5. Teorem 1/2'nin ispatını tamamlayın.
6. Herhangi bir a, b, c tam sayısı için aşağıdaki sonuçların geçerli olduğunu kanıtlayın:
7. Z'den ikinci ve üçüncü teoremleri kanıtlayın.
8. Tam sayıların Z halkasının sıfır bölen içermediğini kanıtlayın.
Edebiyat
1. Bourbaki N. Küme teorisi. M.: Mir, 1965.
2. Vinogradov I. M. Sayı teorisinin temelleri. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Aritmetiğin temelleri. M.: Üçpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I.Grup teorisinin temelleri.
M.: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A.I. Cebire giriş. M.: Nauka, 1994.
B. Kulikov L.Ya.Cebir ve sayılar teorisi. M.: Daha yüksek. okul, 1979.
7. Kurosh A.G. Yüksek cebir dersi. M.: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Okul matematiğinin temel kavramları. M.: Eğitim, 1987.
9. Lyapin AB. ve diğerleri Grup teorisi üzerine alıştırmalar. M.: Nauka, 1967.
10. Maltsev A.I.Cebirsel sistemler. M.: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Matematiksel mantığa giriş. M.: Nauka, 1971.
12. Nechaev V.I. Sayısal sistemler. M.: Eğitim, 1975.
13.Novikov P.S. Matematiksel mantığın unsurları. Yüksek Lisans Bilim, 1973.
14. Petrova V. T. Cebir ve geometri üzerine dersler: 2 saatte.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Okul matematik dersinin modern temelleri Yazar. Albay: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M.: Eğitim, 1980.
16. Skornyakov L. A. Cebirin unsurları. M.: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Küme, mantık, aksiyomatik teoriler. M.; Aydınlanma, 1968.
18. Stolyar A. A. Matematiğe mantıksal giriş. Minsk: EN YÜKSEK. okul, 1971.
19. Filippov V.P. Cebir ve sayılar teorisi. Volgograd: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Küme teorisinin temelleri. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Kısmen sıralı sistemler. M.: Mir, 1965.
Eğitim yayınıBaskı
Vladimir Konstantinovich Kartashov
GİRİŞ MATEMATİK DERSİ
öğretici
Editoryal hazırlığı O. I. Molokanova tarafından Orijinal düzen A. P. Boschenko tarafından hazırlandı.
“20.12.96 tarihli PR 020048
28 Ağustos 1999'da yayınlanmak üzere imzalanmıştır. Format 60x84/16. Ofis baskısı Boom. tip. M 2.Uel. fırın l. 8.2. Akademik ed. l. 8.3. Tiraj 500 kopya. Sipariş 2
Yayınevi "Peremena"
Bildiğiniz gibi doğal sayılar kümesi “küçüktür” ilişkisi kullanılarak sıralanabilir. Ancak aksiyomatik bir teori oluşturmanın kuralları, bu ilişkinin sadece tanımlanmasını değil aynı zamanda bu teoride önceden tanımlanmış kavramlar temelinde yapılmasını da gerektirir. Bu, toplama yoluyla “küçüktür” ilişkisini tanımlayarak yapılabilir.
Tanım. A sayısı b sayısından küçüktür (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
Bu koşullar altında bu sayının da olacağı söyleniyor. B Daha A ve yaz b > a.
Teorem 12. Herhangi bir doğal sayı için A Ve Büç ilişkiden yalnızca biri geçerlidir: a = b, a > b, A < B.
Bu teoremin kanıtını atlıyoruz.. Bu teoremden şu sonuç çıkar:
a¹b, herhangi biri A< b, veya a > b, onlar. “az” ilişkisi bağlantılılık özelliğine sahiptir.
Teorem 13. Eğer A< b Ve B< с. O A< с.
Kanıt. Bu teorem “küçüktür” ilişkisinin geçişlilik özelliğini ifade etmektedir.
Çünkü A< b Ve B< с. o zaman “küçüktür” ilişkisinin tanımı gereği doğal sayılar vardır İle Ne olmuş b = a + k ve c = b + I. Ama sonra c = (a + k)+ / ve toplama işleminin ilişkilendirilebilirlik özelliğine dayanarak şunu elde ederiz: c = a + (k +/). Çünkü k + ben - O halde “küçüktür” tanımına göre doğal sayı, A< с.
Teorem 14. Eğer A< b, bu doğru değil B< а. Kanıt. Bu teorem özelliği ifade eder antisimetri"daha az" ilişki.
Öncelikle tek bir doğal sayının bile olmadığını kanıtlayalım. A sen değil-!>! ■ ) onun tutumu A< A. Tam tersini varsayalım, yani. Ne A< а meydana gelmek. O halde “küçüktür” ilişkisinin tanımı gereği bir doğal sayı vardır İle, Ne A+ İle= A, ve bu Teorem 6 ile çelişir.
Şimdi şunu kanıtlayalım: A< B o zaman bu doğru değil B < A. Tam tersini varsayalım, yani. farzedelim A< b , O B< а gerçekleştirildi. Ancak bu eşitliklerden Teorem 12'ye göre şunu elde ederiz: A< а, ki bu imkansızdır.
Tanımladığımız “küçüktür” ilişkisi antisimetrik, geçişli ve bağlantılılık özelliğine sahip olduğundan doğrusal sıralı bir ilişki ve doğal sayılar kümesidir. doğrusal sıralı küme.
“Küçüktür” tanımından ve özelliklerinden doğal sayılar kümesinin bilinen özelliklerini çıkarabiliriz.
Teorem 15. Tüm doğal sayılar arasında en küçük sayı birdir, yani. BEN< а для любого натурального числа a¹1.
Kanıt. İzin vermek A - herhangi bir doğal sayı. O zaman iki durum mümkündür: bir = 1 ve bir¹ 1. Eğer bir = 1 ise bir doğal sayı vardır B, bunu takiben a: a = b " = b + ben = 1 + B, yani “küçüktür” ilişkisinin tanımı gereği, 1< A. Dolayısıyla herhangi bir doğal sayı 1'e eşit veya 1'den büyüktür. Veya en küçük doğal sayı 1'dir.
“Küçüktür” ilişkisi, sayıların monotonluk özellikleriyle toplanması ve çarpılmasıyla ilişkilidir.
Teorem 16.
a = b => a + c = b + c ve a c = b c;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c ve ac > bc.
Kanıt. 1) Bu ifadenin geçerliliği toplama ve çarpmanın benzersizliğinden kaynaklanmaktadır.
2) Eğer A< b,
o zaman böyle bir doğal sayı var k, Ne A
+ k = b.
Daha sonra B+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ İle)= (a + c) + k. Eşitlik B+ c = (a + c) + k anlamına gelir a + c< b
+ İle.
Aynı şekilde kanıtlanmıştır ki A< b =>AC< bс.
3) Kanıt benzerdir.
Teorem 17(Teorem 16'nın tersi).
1) A+ c = b + c veya ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с veya AC< M.ÖÞ A< Ь:
3) a + c > b+ ile veya ac > m.ö.Þ a > b.
Kanıt. Örneğin şunu kanıtlayalım: AC< bс meli A< b Tam tersini varsayalım, yani. teoremin sonucunun geçerli olmadığı. O zaman bu olamaz a = b. o zamandan beri eşitlik sağlanacak ac = bс(Teorem 16); olamaz A> B,çünkü o zaman olurdu ac > bс(Teorem!6). Bu nedenle Teorem 12'ye göre, A< b.
Teorem 16 ve 17'den eşitsizliklerin terim terim toplanması ve çarpımı için iyi bilinen kuralları türetebiliriz. Onları dışarıda bırakıyoruz.
Teorem 18. Herhangi bir doğal sayı için A Ve B; öyle bir n doğal sayısı var ki pb>a.
Kanıt. Herkes için A böyle bir sayı var P, Ne n > a. Bunu yapmak için almanız yeterli n = bir + 1. Eşitsizliklerin terim terim çarpılması P> A Ve B> 1, şunu elde ederiz pb > A.
"Küçüktür" ilişkisinin dikkate alınan özelliklerinden, kanıt olmadan sunduğumuz doğal sayılar kümesinin önemli özellikleri ortaya çıkar.
1. Herhangi bir doğal sayı için değil Aöyle bir doğal sayı yok P, Ne A< п < а +
1. Bu özelliğe denir mülk
ayrıklık doğal sayı kümeleri ve sayılar A Ve bir + 1 denir komşu.
2.
Doğal sayıların boş olmayan herhangi bir alt kümesi şunları içerir:
en küçük sayı.
3. Eğer M- doğal sayılar kümesinin boş olmayan alt kümesi
ve böyle bir sayı var B, tüm x sayıları için M Gerçekleştirilemedi
eşitlik x< B, o zaman bolluk içinde M en büyük sayıdır.
2 ve 3 numaralı özellikleri bir örnekle açıklayalım. İzin vermek M- iki basamaklı sayılar kümesi. Çünkü M doğal sayıların bir alt kümesidir ve bu kümedeki tüm sayılar için eşitsizlik x< 100, то в множестве M en büyük sayı 99'dur. Belirli bir kümenin içerdiği en küçük sayı M, - 10 numara.
Böylece "küçüktür" ilişkisi, doğal sayılar kümesinin önemli sayıda özelliğini dikkate almayı (ve bazı durumlarda kanıtlamayı) mümkün kıldı. Özellikle doğrusal olarak sıralanmıştır, ayrıktır ve en küçük sayı 1'dir.
İlkokul çocukları, doğal sayılardaki “küçüktür” (“büyüktür”) ilişkisiyle eğitimlerinin en başında tanışırlar. Ve sıklıkla küme-teorik yorumuyla birlikte, aksiyomatik teori çerçevesinde tarafımızdan verilen tanım örtülü olarak kullanılmaktadır. Örneğin öğrenciler 9 > 7'yi 9'un 7+2 olması nedeniyle açıklayabilirler. Toplama ve çarpmanın tekdüzelik özelliklerinin örtülü kullanımı da yaygındır. Örneğin çocuklar şunu açıklıyor: “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Egzersizler
1, Doğal sayılar kümesi neden "hemen takip" ilişkisi kullanılarak sıralanamıyor?
Tutumu tanımlayın a > b geçişli ve antisimetrik olduğunu kanıtlayalım.
3. Bunu kanıtlayın: a, b, c doğal sayılardır, o zaman:
A) A< b Þ ас < bс;
B) A+ İle< b + сÞ> A< Ь.
4. Toplama ve çarpmanın monotonluğuna ilişkin hangi teoremler
genç okul çocukları tarafından “Hesaplamalar yapmadan karşılaştır” görevini tamamlarken kullanın:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Doğal sayılar kümesinin hangi özellikleri ilkokul çocukları tarafından aşağıdaki görevleri yerine getirirken örtülü olarak kullanılır:
A) 65'ten büyük ve 75'ten küçük sayıları yazınız.
B) 300 (800,609,999) sayısına göre önceki ve sonraki sayıları adlandırın.
C) Üç basamaklı en küçük ve en büyük sayıyı yazınız.
Çıkarma
Doğal sayılar teorisinin aksiyomatik yapısında çıkarma işlemi genellikle toplama işleminin tersi olarak tanımlanır.
Tanım. A ve b doğal sayılarının çıkarılması şu koşulu karşılayan bir işlemdir: a - b = c ancak ve ancak b + c = a ise.
Sayı a - b a ve sayıları arasındaki farka denir B, sayı A– eksi, sayı B- düşülebilir.
Teorem 19. Doğal sayıların farkı A- B ancak ve ancak şu durumda var olur B< а.
Kanıt. Fark edelim A- B var. O halde farkın tanımı gereği bir doğal sayı vardır. İle, Ne b + c = a, bu şu anlama geliyor B< а.
Eğer B< а, o zaman “küçüktür” ilişkisinin tanımı gereği, öyle bir c doğal sayısı vardır ki b + c = a. Daha sonra, farkın tanımı gereği, c = a - b, onlar. fark a - b var.
Teorem 20. Doğal sayıların farkı ise A Ve B varsa benzersizdir.
Kanıt. Diyelim ki sayılar arasındaki farkın iki farklı değeri var A Ve B;: a – b= s₁ Ve a - b= s₂, Ve s₁ ¹ s₂ . O halde, farkın tanımı gereği, elimizde: a = b + c₁, Ve a = b + c₂ : .Şunu takip ediyor B+ c ₁ = b + c₂ : ve Teorem 17'ye dayanarak şu sonuca varıyoruz: с₁ = с₂.. Varsayımla çelişkiye geldik, yani yanlıştır ama bu teorem doğrudur.
Doğal sayılar arasındaki farkın tanımına ve varlığının koşullarına dayanarak, bir toplamdan bir sayıyı ve bir sayıdan bir toplamı çıkarmak için iyi bilinen kuralları haklı çıkarmak mümkündür.
Teorem 21. İzin vermek A. B Ve İle- tamsayılar.
ve eğer a > c ise (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Eğer b > c. sonra (a + b) - c - a + (b - c).
c) Eğer a > c ve b > c. o zaman bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz.
Kanıt. a) sayıların farkı durumunda A Ve C var çünkü a > s.şununla belirtelim x: a - c = x. Neresi a = c + x. Eğer (A+ b) - c = y. o zaman, farkın tanımı gereği, A+ B = İle+ en. Bunun yerine bu eşitliği yerine koyalım A ifade c + x:(c + x) + b = c + y. Toplama işleminin ilişkilendirilebilirlik özelliğini kullanalım: c + (x + b) = c+ en. Bu eşitliği toplamanın monotonluğu özelliğine göre dönüştürelim ve şunu elde edelim:
x + b = sen..Bu eşitlikteki x'i ifadeyle değiştirmek AC, sahip olacak (A - G) + b = y. Böylece şunu kanıtlamış olduk: a > c ise (a + b) - c = (a - c) + b
Kanıt b) durumunda benzer şekilde gerçekleştirilir.
Kanıtlanmış teorem, hatırlamaya uygun bir kural biçiminde formüle edilebilir: bir toplamdan bir sayı çıkarmak için, bu sayıyı toplamın bir teriminden çıkarmak ve ortaya çıkan sonuca başka bir terim eklemek yeterlidir.
Teorem 22.İzin vermek a, b ve c - tamsayılar. Eğer a > b+s o zaman A- (b + c) = (a - b) - c veya a - (b + c) = (a - c) - b.
Bu teorinin ispatı Teorem 21'in ispatına benzer.
Teorem 22 bir kural olarak formüle edilebilir: Bir sayıdan sayıların toplamını çıkarmak için, her terimi birer birer bu sayıdan çıkarmak yeterlidir.
İlköğretim matematik öğretiminde toplamanın tersi olarak çıkarmanın tanımı, kural olarak genel bir biçimde verilmemekle birlikte, tek basamaklı sayılar üzerinde işlem yapmaktan başlayarak sürekli olarak kullanılmaktadır. Öğrenciler çıkarma işleminin toplama işlemiyle ilgili olduğunu açıkça anlamalı ve bu ilişkiyi hesaplamalarda kullanmalıdır. Örneğin 40 sayısından 16 sayısını çıkararak öğrenciler şöyle mantık yürütüyorlar: “40'tan 16 sayısını çıkarmak, 16 sayısına eklendiğinde sonuç 40 olacak şekilde bir sayı bulmak demektir; 24 + 16 = 40 olduğundan bu sayı 24 olacaktır. 40 - 16 = 24."
Başlangıç matematik dersinde bir toplamdan bir sayıyı ve bir sayıdan bir toplamı çıkarmaya yönelik kurallar, çeşitli hesaplama tekniklerinin teorik temelini oluşturur. Örneğin (40 + 16) - 10 ifadesinin değeri, yalnızca parantez içindeki toplamı hesaplayıp bundan 10 sayısını çıkararak değil, şu şekilde de bulunabilir;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Egzersizler
1. Her doğal sayının kendisinden sonraki doğal sayılardan bir çıkarılarak elde edildiği doğru mudur?
2. Teorem 19'un mantıksal yapısının özelliği nedir? “Gerekli ve yeterli” kelimeleri kullanılarak formüle edilebilir mi?
3. Şunu kanıtlayın:
ve eğer b > c, O (a + b) - c = a + (b - c);
b) eğer a > b + c, O a - (b+ c) = (a - b) - c.
4. Hesaplama yapmadan hangi ifadelerin aynı değerlere sahip olacağını söylemek mümkün müdür:
a) (50+16)-14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Başlangıç matematik dersinde çalışılan aşağıdaki hesaplama tekniklerinin teorik temeli çıkarma işleminin hangi özellikleridir:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Formdaki bir ifadenin değerini değerlendirmenin olası yollarını açıklayın. a - b- İle ve bunları belirli örneklerle açıklayın.
7. Bunu ne zaman kanıtlayın B< а ve herhangi bir doğal c eşitliği doğrudur (a – b) c = ac – bc.
Not. Kanıt aksiyom 4'e dayanmaktadır.
8. Yazılı hesaplamalar yapmadan bir ifadenin değerini belirleyin. Cevaplarınızı gerekçelendirin.
a) 7865 × 6 – 7865 ×5: b) 957 × 11 – 957; c) 12×36 – 7×36.
Bölüm
Doğal sayılar teorisinin aksiyomatik yapısında bölme genellikle çarpma işleminin ters işlemi olarak tanımlanır.
Tanım. A ve b doğal sayılarının bölünmesi şu koşulu karşılayan bir işlemdir: a: b = c ancak ve ancakİle ne zaman× c = a.
Sayı a:b isminde özel sayılar A Ve B, sayı A bölünebilir sayı B- bölen.
Bilindiği gibi, doğal sayılar kümesinde bölme her zaman mevcut değildir ve bir bölümün varlığına dair bir fark için mevcut olan bu kadar uygun bir işaret yoktur. Tikelin varlığı için yalnızca gerekli bir koşul vardır.
Teorem 23.İki doğal sayının bölümü olabilmesi için A Ve B, bu gerekli B< а.
Kanıt. Doğal sayıların bölümü olsun A Ve B var, yani öyle bir doğal sayı vardır ki bc = a. Herhangi bir doğal sayı 1 için eşitsizlik 1 £ olduğundan İle, daha sonra her iki kısmını da bir doğal sayıyla çarpıyoruz B, alıyoruz B£ M.Ö. Ancak bc = a, buradan, B£ A.
Teorem 24. Doğal sayıların bölümü ise A Ve B varsa benzersizdir.
Bu teoremin ispatı, doğal sayılar farkının tekliği teoreminin ispatına benzer.
Doğal sayılar bölümünün tanımına ve varlığının koşullarına dayanarak, bir toplamı (fark, çarpım) bir sayıya bölmek için iyi bilinen kuralları haklı çıkarmak mümkündür.
Teorem 25. Eğer sayılar A Ve B bir sayıya bölünebilir İle, o zaman onların toplamı a + b c'ye bölünür ve toplamın bölünmesiyle elde edilen bölüm A+ B sayı başına İle, bölünmesiyle elde edilen bölümlerin toplamına eşittir A Açık İle Ve B Açık İle yani (a + b):c = a:c + b:İle.
Kanıt. Sayıdan beri A bölü İle, o zaman x = bir doğal sayı vardır A; bu a = cx. Benzer şekilde böyle bir doğal sayı var y = b:İle, Ne
B= su. Ama sonra a + b = cx+ cy = - c(x + y). Bu demektir a + b c'ye bölünür ve toplamın bölünmesiyle elde edilen bölüm A+ B c sayısıyla, x'e eşit + sen, onlar. balta + b: c.
Kanıtlanmış teorem, bir toplamı bir sayıya bölmek için bir kural olarak formüle edilebilir: toplamı bir sayıya bölmek için, her terimi bu sayıya bölmek ve elde edilen sonuçları eklemek yeterlidir.
Teorem 26. Doğal sayılar ise A Ve B bir sayıya bölünebilir İle Ve a > b, o zaman fark a - b c'ye bölünür ve farkın c sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm, bölünerek elde edilen bölümlerin farkına eşittir. A Açık İle Ve B c'de, yani (a - b):c = a:c - b:c.
Bu teoremin ispatı önceki teoremin ispatına benzer.
Bu teorem, farkı bir sayıya bölme kuralı olarak formüle edilebilir: İçin Farkı bir sayıya bölmek için eksi ve çıkanı bu sayıya bölüp birinci bölümden ikinciyi çıkarmak yeterlidir.
Teorem 27. Bir doğal sayı ise A bir doğal sayı c ile bölünebilirse, herhangi bir doğal sayı için B iş ab s'ye bölünür. Bu durumda çarpımın bölünmesiyle elde edilen bölüm ab s numarasına , bölünmesiyle elde edilen bölümün çarpımına eşittir A Açık İle, ve sayılar b: (a × b):c - (a:c) × b.
Kanıt. Çünkü A bölü İle, o zaman öyle bir x doğal sayısı vardır ki AC= x, burada a = cx. Eşitliğin her iki tarafının çarpılması B, aldık ab = (cx)b.Çarpma ilişkisel olduğundan, o zaman (cx)b = c(xb). Buradan (a b):c = x b= (a:c) b. Teorem, bir ürünü bir sayıya bölmek için bir kural olarak formüle edilebilir: Bir ürünü bir sayıya bölmek için, faktörlerden birini bu sayıya bölmek ve ortaya çıkan sonucu ikinci faktörle çarpmak yeterlidir.
İlköğretim matematik eğitiminde, çarpmanın ters işlemi olarak bölme tanımı, kural olarak genel biçimde verilmemektedir, ancak bölmeye aşina olmanın ilk derslerinden başlayarak sürekli olarak kullanılmaktadır. Öğrenciler bölmenin çarpma işlemiyle ilgili olduğunu açıkça anlamalı ve hesaplama yaparken bu ilişkiyi kullanmalıdır. Örneğin 48'i 16'ya bölerken öğrenciler şöyle mantık yürütüyorlar: “48'i 16'ya bölmek, 16 ile çarpıldığında 48 sonucunu veren bir sayı bulmak anlamına gelir; 16×3 = 48 olduğundan böyle bir sayı 3 olur. Dolayısıyla 48:16 = 3 olur.
Egzersizler
1. Şunu kanıtlayın:
a) doğal sayıların bölümü ise a ve B varsa benzersizdir;
b) eğer sayılar a ve B bölünmüştür İle Ve a > b, O (a - b): c = a: c - b: c.
2. Bütün bu eşitliklerin doğru olduğunu söylemek mümkün müdür?
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 =850:10:17.
Bu durumları genelleştiren kural nedir? Bunu formüle edin ve kanıtlayın.
3. Bölmenin teorik temeli hangi özelliklerdir?
ilkokul öğrencilerine sunulan aşağıdaki görevleri tamamlamak:
Bölme yapmadan hangi ifadelerin aynı değerlere sahip olacağını söylemek mümkün müdür?
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b)(30+16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
Eşitlikler doğru mu:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Bir ifadenin değerini hesaplamanın olası yollarını açıklayın
tip:
A) (A+ M.Ö; B) A:B: İle; V) ( a×b): İle .
Önerilen yöntemleri spesifik örneklerle gösterin.
5. İfadenin anlamını rasyonel bir şekilde bulun; onların
eylemlerinizi haklı çıkarın:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. İki basamaklı bir sayıya bölmek için aşağıdaki yöntemleri gerekçelendirin:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Köşeye bölünmeden en mantıklısını bulun
bölümsel olarak; Seçilen yöntemi gerekçelendirin:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Ders 34. Negatif olmayan tam sayılar kümesinin özellikleri
1. Negatif olmayan tam sayılar kümesi. Negatif olmayan tam sayılar kümesinin özellikleri.
2. Doğal sayılar dizisinin bir parçası kavramı ve sonlu bir kümenin sayma elemanları. Sıralı ve kardinal doğal sayılar.
Yükleniyor...