İntegral türleri ve çözüm yöntemleri. İntegralleri çevrimiçi çözme

Belirsiz integrali bulmak, yüksek matematik ve diğer teknik bilim dallarında çok yaygın bir problemdir. En basit fiziksel problemlerin çözümü bile çoğu zaman birkaç basit integralin hesaplanması olmadan tamamlanmaz. Bu nedenle, okul çağından itibaren, integralleri çözme teknikleri ve yöntemleri öğretilir, en basit fonksiyonların integrallerine sahip çok sayıda tablo verilir. Ancak, zamanla, tüm bunlar güvenle unutulur, ya hesaplamalar için yeterli zamanımız yoktur ya da buna ihtiyacımız var. belirsiz integralin çözümünü bulunçok karmaşık bir işlevden. Bu sorunları çözmek için, belirsiz integrali çevrimiçi olarak doğru bir şekilde bulmanızı sağlayan hizmetimiz sizin için vazgeçilmez olacaktır.

Belirsiz integrali çözün

Çevrimiçi hizmet açık alan bulmanızı sağlar çevrimiçi bütünleyici çözüm hızlı, ücretsiz ve kaliteli. Gerekli integralin tablolarında aramayı hizmetimizle değiştirebilirsiniz, burada istediğiniz fonksiyonları hızlı bir şekilde girerek belirsiz integralin çözümünü tablo halinde alırsınız. Tüm matematiksel siteler, özellikle de bulmanız gerekiyorsa, fonksiyonların belirsiz integrallerini çevrimiçi olarak hızlı ve verimli bir şekilde hesaplayamaz. belirsiz integral karmaşık bir işlevden veya yüksek matematiğin genel dersine dahil olmayan bu tür işlevlerden. Alan alan yardım edecek integrali çevrimiçi çöz ve görevle başa çıkın. Site sitesindeki integralin çevrimiçi çözümünü kullanarak, her zaman kesin cevabı alacaksınız.

İntegrali kendiniz hesaplamak isteseniz bile, hizmetimiz sayesinde cevabınızı kontrol etmeniz, bir hata veya yazım hatası bulmanız veya görevin kusursuz bir şekilde tamamlandığından emin olmanız kolay olacaktır. Eğer bir problem çözüyorsanız ve belirsiz integrali yardımcı bir işlem olarak hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman neden binlerce kez yapmış olabileceğiniz bu işlemlerle zaman kaybediyorsunuz? Ayrıca, integralin ek hesaplamaları, daha sonra yanlış bir cevaba yol açan bir yazım hatası veya küçük bir hatanın nedeni olabilir. Sadece hizmetlerimizi kullanın ve bulun belirsiz integral çevrimiçi hiç çaba harcamadan. Bulmanın pratik görevleri için integral fonksiyonlar internet üzerinden bu sunucu çok yardımcı oluyor. Belirli bir işlevi girmeniz gerekir, çevrimiçi belirsiz integral çözümü ve cevabı çözümünüzle karşılaştırın.

"İntegral" kelimesi Latince integralis - integralden gelir. Bu isim 17. yüzyılda önerildi. büyük Leibniz'in öğrencisi (ve aynı zamanda seçkin bir matematikçi) I. Bernoulli. Modern anlamda bir integral nedir? Aşağıda bu soruya kapsamlı bir cevap vermeye çalışacağız.

İntegral kavramının ortaya çıkması için tarihsel ön koşullar

17. yüzyılın başında. önde gelen bilim adamları, bazı miktarların diğerlerine bağımlılığını araştırmanın gerekli olduğu çok sayıda fiziksel (öncelikle mekanik) sorunu düşündüler. En belirgin ve acil problemler, herhangi bir zamanda cismin düzgün olmayan hareketinin anlık hızının belirlenmesi ve bu süre içinde cismin belirli bir zaman diliminde kat ettiği yolun büyüklüğünü ters bulma problemiydi. hareket. Bugün hareket hızının integralinin ne olduğunu zaten biliyoruz - bu, kat edilen yoldur. Ancak, zamanın her anındaki hızı bilmek, nasıl hesaplanacağı anlayışı hemen ortaya çıkmadı.

İlk başta, fiziksel niceliklerin bu tür bağımlılıklarının, örneğin hız üzerindeki yolun dikkate alınmasından, y = f(x) fonksiyonunun matematiksel kavramı oluşturuldu. Çeşitli fonksiyonların özelliklerinin incelenmesi, matematiksel analizin doğuşuna yol açtı. Bilim adamları aktif olarak çeşitli işlevlerin özelliklerini incelemenin yollarını arıyorlar.

İntegral ve türev hesaplamaları nasıl ortaya çıktı?

Descartes, analitik geometrinin temellerini ve Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerinde fonksiyonel bağımlılıkları grafiksel olarak tasvir etme fırsatını yarattıktan sonra, araştırmacılar iki büyük yeni görevle karşı karşıya kaldılar: eğri bir çizginin herhangi bir noktasında nasıl teğet çizilir ve nasıl bulunur? koordinat eksenlerine paralel, bu eğri ve düz çizgilerle yukarıdan sınırlanan bir şeklin alanı. Beklenmedik bir şekilde, ilkinin anlık hızı bulmaya eşdeğer olduğu ve ikincisinin - kat edilen mesafeyi bulmaya eşdeğer olduğu ortaya çıktı. Sonuçta, düzensiz hareketle, Kartezyen koordinat eksenlerinde "mesafe" ve "zaman" bazı eğri çizgilerle tasvir edildi.

17. yüzyılın ortalarında Leibniz ve Newton'un dehası. Bu problemlerin her ikisini de çözmek için yöntemler geliştirilmiştir. Bir noktada bir eğriye teğet çizmek için, söz konusu eğriyi tanımlayan fonksiyonun sözde türevinin söz konusu noktadaki değerini bulmak gerektiği ortaya çıktı ve bu değer şuna çıkıyor: fonksiyonun değişim hızına eşittir, yani cismin anlık hızına uygun "hız üzerindeki yol" bağımlılığına göre.

Eğri bir çizgiyle sınırlanan alanı bulmak için, kesin değerini veren belirli bir integrali hesaplamak gerekiyordu. Türev ve integral, yüksek matematiğin en önemli bölümü olan modern matematiksel analizin temeli olan diferansiyel ve integral hesabının temel kavramlarıdır.

Eğrinin altındaki alan

Peki, kesin değer nasıl belirlenir? En baştan, integral üzerinden hesaplama sürecini ayrıntılı olarak ortaya koymaya çalışalım.

f aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki şekilde gösterilen y \u003d f (x) eğrisini düşünün. Eğri tarafından sınırlanan alanın alanı, x ekseni ve x = a ve x = b çizgileri nasıl bulunur? Yani, şekildeki gölgeli şeklin alanı.

En basit durum, f'nin bir sabit fonksiyon olduğu zamandır; yani, eğri, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, k'nin sabit ve k ≥ 0 olduğu f(X) = k yatay çizgisidir.

Bu durumda, eğrinin altındaki alan sadece yüksekliği k ve genişliği (b - a) olan bir dikdörtgendir, dolayısıyla alan şu şekilde tanımlanır: k · (b - a).

Üçgen, yamuk ve yarım daire gibi diğer bazı basit şekillerin alanları, planimetri formülleriyle verilir.

Herhangi bir sürekli y = f(x) eğrisinin altındaki alan, normal bir integralle aynı şekilde yazılan belirli bir integral tarafından verilir.

Riemann toplamı

İntegral nedir sorusuna ayrıntılı bir yanıt vermeden önce, bazı temel fikirleri vurgulayalım.

İlk olarak, eğrinin altındaki alan, yeterince küçük genişlikte Δx olan belirli sayıda n dikey şeritlere bölünür. Daha sonra, her dikey şerit, yüksekliği f(x), genişliği Δx ve alanı f(x)dx olan dikey bir dikdörtgenle değiştirilir. Bir sonraki adım, Riemann toplamı adı verilen tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamını oluşturmaktır (aşağıdaki resimlere bakın).

Genişliği Δx olan dikdörtgenlerimizi çizerek, her şeridin sol kenarındaki fonksiyonun değerine eşit yüksekliklerini alabiliriz, yani Δx genişliğinin üst kısa kenarlarının en soldaki noktaları eğri üzerinde yer alacaktır. Aynı zamanda, fonksiyonun büyüdüğü ve eğrisinin dışbükey olduğu bölümde, tüm dikdörtgenler bu eğrinin altındadır, yani toplamları, bu bölümde eğrinin altındaki alanın kesin değerinden açıkça daha az olacaktır (bkz. şekil altında). Bu yaklaşım yöntemine solak denir.

Prensipte, Δx genişliğinin üst kısa kenarlarının en sağ noktaları eğri üzerinde olacak şekilde yaklaşık dikdörtgenler çizmek mümkündür. Daha sonra eğrinin üzerinde olacaklar ve bu alandaki alanın yaklaşımı, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi tam değerinden daha büyük olacaktır. Bu yönteme sağ el denir.

Ancak, aynı zamanda, karşılık gelen Δx i şeridinin içindeki keyfi bir x* i noktasında fonksiyonun bir değerine eşit olan yaklaşık dikdörtgenlerin her birinin yüksekliğini de alabiliriz (aşağıdaki şekle bakın). Aynı zamanda, tüm şeritlerin aynı genişliğini bile almayabiliriz.

Bir Riemann toplamı yapalım:

Riemann toplamından belirli integrale geçiş

Daha yüksek matematikte, yaklaşık dikdörtgenlerin sayısında n sınırsız bir artışla, en büyük genişliklerinin sıfıra eğilimli olduğunu söyleyen bir teorem kanıtlanmıştır, o zaman Riemann toplamı A n belirli bir A sınırına eğilim gösterir. A sayısı aynıdır. herhangi bir yaklaşık dikdörtgen oluşturma yöntemi ve herhangi bir x* i noktası seçimi için.

Teoremin görsel bir açıklaması aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Dikdörtgenler ne kadar dar olursa, basamaklı figürün alanının eğrinin altındaki alana o kadar yakın olduğu görülebilir. Dikdörtgenlerin sayısı n→∞ olduğunda genişlikleri Δx i →0 olur ve A n toplamının A limiti sayısal olarak istenen alana eşittir. Bu limit f(x) fonksiyonunun belirli integralidir:

Değiştirilmiş italik S harfi olan integral sembolü Leibniz tarafından tanıtıldı. J. B. Fourier, integralin gösterimini sınırlarının üstüne ve altına koymayı önerdi. Bu durumda, x'in ilk ve son değerleri açıkça belirtilir.

Belirli integralin geometrik ve mekanik yorumu

İntegral nedir sorusuna detaylı bir cevap vermeye çalışalım. f(x) fonksiyonunun pozitif bir parçası üzerindeki integrali bunun içinde düşünelim ve üst limitin alt limitten a büyük olduğunu varsayalım.

Eğer f(x) fonksiyonunun koordinatları içeride negatif ise, o zaman integralin mutlak değeri x ekseni ile y=f(x) grafiği arasındaki alana eşittir, integralin kendisi ise negatiftir.

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, segment üzerindeki apsis ekseninin y \u003d f (x) grafiği ile tek veya tekrarlanan bir kesişim durumunda, integrali hesaplamak için, azaltılmış olacak farkı belirlemeniz gerekir. apsis ekseninin üzerinde bulunan bölümlerin toplam alanına ve çıkarılan kısım - altındaki toplam arazi alanına eşit olmalıdır.

Yani yukarıdaki şekilde gösterilen fonksiyon için a'dan b'ye belirli integral (S1 + S3) - (S2+S4)'e eşit olacaktır.

Belirli integralin mekanik yorumu geometrik olanla yakından ilişkilidir. "Riemann toplamı" bölümüne dönelim ve şekillerde gösterilen grafiğin, bir malzeme noktasının düzgün olmayan hareketi için v=f(t) hız fonksiyonunu (apsis ekseni zaman eksenidir) ifade ettiğini hayal edelim. Daha sonra, Riemann toplamını oluştururken oluşturduğumuz, yaklaşık Δt genişliğindeki herhangi bir dikdörtgenin alanı, Δt zamanındaki noktanın yolunu, yani v(t*)Δt'yi yaklaşık olarak ifade edecektir.

Segmentteki t 1 \u003d a ila t 2 \u003d b arasındaki dikdörtgen alanlarının toplam toplamı, t 2 - t 1 zamanında yaklaşık olarak s yolunu ve sınırını, yani a'dan integrali (tanımlanmış) ifade edecektir. v \u003d f (t ) over dt işlevinin b'sine, s yolunun tam değerini verecektir.

Belirli bir integralin diferansiyeli

Tanımına geri dönersek, o zaman a = const ve b'nin bazı bağımsız değişken x'nin belirli bir değeri olduğunu varsaymak oldukça mümkündür. Daha sonra üst limiti x̃ olan belirli integral belirli bir sayıdan x̃'nin bir fonksiyonuna dönüşür. Böyle bir integral, aşağıdaki şekilde aABb noktaları ile gösterilen eğrinin altındaki şeklin alanına eşittir.

Sabit bir aA çizgisi ve hareketli Bb ile, bu alan f(x̃)'nin bir fonksiyonu olur ve Δx̃ artışları hala x ekseni boyunca çizilir ve f(x̃) fonksiyonunun artışları, altındaki alanın artışlarıdır. eğri.

x̃ = b değişkenine küçük bir Δx̃ artışı verdiğimizi varsayalım. Daha sonra aABb şeklinin alanındaki artış, dikdörtgenin (şekilde gölgeli) Bb∙Δx̃ ve eğrinin altındaki BDC şeklinin alanının toplamıdır. Dikdörtgenin alanı Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃'ye eşittir, yani. bağımsız değişkenin artışının doğrusal bir fonksiyonudur. BDC şeklinin alanı açıkça BDCK = Δx̃∙Δy dikdörtgeninin alanından daha azdır ve Δx̃ → 0 olarak daha da hızlı azalır. Dolayısıyla, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃, aABb değişken alan diferansiyeli, yani belirli bir integralin diferansiyeli

Bundan, integrallerin hesaplanmasının, diferansiyelleri için verilen ifadelerle fonksiyonları bulmaktan ibaret olduğu sonucuna varabiliriz. İntegral hesabı, bu tür fonksiyonları bilinen diferansiyelleriyle aramanın yollarından oluşan bir sistemdir.

İntegral hesabın temel ilişkisi

Farklılaşma ve entegrasyon arasındaki ilişkiyi birleştirir ve bir fonksiyonun farklılaşmasına ters bir işlem olduğunu gösterir - entegrasyonu. Ayrıca, herhangi bir f(x) fonksiyonu sürekli ise, o zaman bu matematiksel işlemi ona uygulayarak, onun için ters türev olan fonksiyonların bütün bir bütününü (küme, küme) bulabileceğinizi (veya aksi takdirde, onun belirsiz bir integralini bulabileceğinizi) gösterir. ).

F(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun integralinin sonucunun notasyonu olsun. İkincisinin entegrasyonunun bir sonucu olarak bu iki fonksiyon arasındaki yazışma aşağıdaki gibi gösterilir:

Görülebileceği gibi, integral sembolü için herhangi bir entegrasyon sınırı yoktur. Bu, belirli bir integralden belirsiz bir integrale dönüştürüldüğü anlamına gelir. "Belirsiz" kelimesi, bu durumda entegrasyon işleminin sonucunun bir değil, birçok fonksiyon olduğu anlamına gelir. Sonuçta, F(x) fonksiyonunun kendisinden ayrı olarak, С = const olan herhangi bir F(x)+С fonksiyonu da son ifadeleri karşılar. Bu, ters türevler grubundaki sabit terimin keyfi olarak ayarlanabileceği anlamına gelir.

Bir fonksiyonun tanımlanan integrali bir sayıysa, belirsiz olanın bir fonksiyon, daha doğrusu bunların bir kümesi olduğu vurgulanmalıdır. "Entegrasyon" terimi, her iki tür integrali arama işlemini tanımlamak için kullanılır.

Entegrasyonun temel kuralı

Karşılık gelen farklılaşma kuralının tam tersidir. Belirsiz integraller nasıl alınır? Bu prosedürün örneklerini belirli işlevler üzerinde ele alacağız.

Genel bir güç fonksiyonuna bakalım:

İntegrallenebilir fonksiyonun ifadesindeki her terimle (birden fazla varsa) bunu yaptıktan sonra, sonuna bir sabit ekliyoruz. Bir sabitin türevini almanın onu yok ettiğini hatırlayın, bu nedenle herhangi bir fonksiyonun integralini almak bize bu sabitin yeniden yapılandırılmasını sağlayacaktır. Sabit bilinmediği için onu C olarak adlandırıyoruz - herhangi bir sayı olabilir! Bu nedenle, belirsiz integral için sonsuz sayıda ifademiz olabilir.

Aşağıda örnekleri gösterilen basit belirsiz integrallere bakalım.

fonksiyonunun integralini bulalım:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

İlk terimle başlayalım. 2. üsse bakarız ve onu 1 ile arttırırız, ardından ilk terimi ortaya çıkan üs 3'e böleriz: 4(x 3) / 3 elde ederiz.

Sonra bir sonraki üyeye bakarız ve aynısını yaparız. Üssü 1 olduğundan, elde edilen üs 2 olacaktır. O halde bu terimi 2: 2(x 2) / 2 = x 2'ye bölüyoruz.

Son terimin bir x faktörü var ama biz onu görmüyoruz. Son terimi (-3x 0) olarak düşünebiliriz. Bu, (-3)∙(1)'e eşdeğerdir. İntegrasyon kuralını kullanırsak, üsse 1 ekleyerek birinci kuvvete yükselteceğiz ve ardından son terimi 1'e böleceğiz. 3x elde ederiz.

Bu integrasyon kuralı, n = - 1 hariç tüm n değerleri için çalışır (çünkü 0'a bölemeyiz).

Bir integral bulmanın en basit örneğini düşündük. Genel olarak, integrallerin çözümü kolay bir iş değildir ve matematikte zaten birikmiş deneyimler bu konuda iyi bir yardımcıdır.

integral tabloları

Yukarıdaki bölümde, her bir farklılaşma formülünün karşılık gelen bir entegrasyon formülü verdiğini gördük. Bu nedenle, tüm olası varyantları uzun süredir elde edilmiş ve uygun tablolarda özetlenmiştir. Aşağıdaki integral tablosu, temel cebirsel fonksiyonların entegre edilmesi için formüller içerir. Bu formüllerin ezbere bilinmesi, alıştırmalarla pekiştirildiği için yavaş yavaş ezberlenmesi gerekir.

Başka bir integral tablosu, temel trigonometrik fonksiyonları içerir:

Belirli bir integral nasıl hesaplanır

Bunu yapmanın, integral alabilmenin, yani belirsiz integralleri bulmanın çok kolay olduğu ortaya çıktı. Ve Newton ve Leibniz'in integro-diferansiyel hesabının kurucularının formülü bu konuda yardımcı olur.

Buna göre, istenen integralin hesaplanması ilk aşamada belirsiz olanı bulmayı, ardından bulunan ters türev F(x)'in değerini, önce üst sınıra, sonra alt sınıra eşit olan x yerine koyarken hesaplamaktan ibarettir. ve son olarak, bu değerlerin farkını belirlemede. Bu durumda, sabit C atlanabilir. Çünkü çıkarma işlemi yapıldığında kaybolur.

Ayrıntılı çözümü olan bazı integralleri düşünün.

Bir yarım dalga sinüzoidin altındaki arsa alanını bulun.

Hiperbolün altındaki taralı alanı hesaplayın.

Şimdi integralleri ayrıntılı bir çözümle düşünün , ilk örnekte toplamsallık özelliğinin kullanılması ve ikinci örnekte bir ara entegrasyon değişkeninin ikame edilmesi. Kesirli-rasyonel fonksiyonun belirli integralini hesaplayalım:

y=(1+t)/t 3 t=1'den t=2'ye.

Şimdi bir ara değişken ekleyerek integrali almayı nasıl basitleştirebileceğimizi gösteriyoruz. (x+1) 2'nin integralini hesaplamak gereksin.

uygun olmayan integraller hakkında

Üzerinde sürekli olan bir f(x) fonksiyonunun sonlu bir aralığı için belirli bir integralden bahsetmiştik. Ancak bir dizi spesifik problem, integral kavramını limitlerin (biri veya her ikisinin) sonsuza eşit olduğu veya fonksiyonun süreksiz olduğu duruma genişletme ihtiyacına yol açar. Örneğin, koordinat eksenlerine asimptotik olarak yaklaşan eğrilerin altındaki alanları hesaplarken. Bu duruma integral kavramını genişletmek için, yaklaşık dikdörtgenlerin Riemann toplamını hesaplarken sınıra geçişe ek olarak, bir tane daha gerçekleştirilir. Sınıra böyle bir çift geçişle, uygun olmayan bir integral elde edilir. Bunun aksine, yukarıda belirtilen tüm integrallere uygun olanlar denir.

kesin integral sürekli bir fonksiyondan F(x) sonlu aralıkta [ a, B] (burada ), bu segmentteki bazı ters türevlerinin artışıdır. (Genel olarak, belirsiz integral konusunu tekrarlarsanız, anlama belirgin şekilde daha kolay olacaktır) Bu durumda, gösterim

Aşağıdaki grafiklerde görüldüğü gibi (ters türev fonksiyonunun artışı ile gösterilir), Belirli integral pozitif veya negatif olabilir.(Ters türevin üst limitteki değeri ile alt limitteki değeri arasındaki fark olarak hesaplanır, yani F(B) - F(a)).

sayılar a ve B sırasıyla integrasyonun alt ve üst limitleri ve aralık [ a, B] entegrasyon segmentidir.

Böylece, eğer F(x) için bazı ters türev fonksiyonudur F(x), sonra, tanıma göre,

(38)

Eşitlik (38) denir Newton-Leibniz formülü . Fark F(B) – F(a) kısaca şöyle yazılır:

Bu nedenle Newton-Leibniz formülü aşağıdaki gibi yazılacaktır:

(39)

Belirli integralin hesaplanırken integralin hangi antitürevinin alındığına bağlı olmadığını ispatlayalım. İzin vermek F(x) ve F( x) integralin keyfi ters türevleridir. Bunlar aynı fonksiyonun ters türevleri olduğundan, sabit bir terimle farklılık gösterirler: Ф( x) = F(x) + C. Böyle

Böylece, segmentte [ a, B] fonksiyonun tüm ters türevlerinin artışları F(x) eşleştir.

Bu nedenle, belirli integrali hesaplamak için, integralin herhangi bir ters türevini bulmak gerekir, yani. İlk önce belirsiz integrali bulmalısın. Devamlı İLE sonraki hesaplamalardan hariç tutulmuştur. Sonra Newton-Leibniz formülü uygulanır: üst sınırın değeri ters türev fonksiyonuna değiştirilir B , ayrıca - alt sınırın değeri a ve farkı hesapla F(b) - F(a) . Ortaya çıkan sayı belirli bir integral olacaktır..

saat a = B tanım gereği kabul edildi

örnek 1

Çözüm. Önce belirsiz integrali bulalım:

Newton-Leibniz formülünün ters türevine uygulanması

(en İLE= 0), elde ederiz

Ancak belirli bir integrali hesaplarken, ters türevi ayrı ayrı bulmamak ve integrali hemen formda (39) yazmak daha iyidir.

Örnek 2 Belirli bir integrali hesaplayın

Çözüm. formülü kullanma

Belirli İntegralin Özellikleri

Teorem 2.Belirli integralin değeri, integral değişkeninin tanımına bağlı değildir., yani

(40)

İzin vermek F(x) için antitürevdir F(x). İçin F(T) ters türev aynı fonksiyondur F(T), burada bağımsız değişken farklı şekilde gösterilir. Buradan,

(39) formülüne göre, son eşitlik, integrallerin eşitliği anlamına gelir.

Teorem 3.Sabit faktör, belirli bir integralin işaretinden alınabilir., yani

(41)

Teorem 4.Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir., yani

(42)

Teorem 5.İntegrasyon segmenti parçalara bölünürse, tüm segment üzerindeki belirli integral, parçaları üzerindeki belirli integrallerin toplamına eşittir., yani Eğer

(43)

Teorem 6.İntegrasyon limitleri yeniden düzenlenirken belirli integralin mutlak değeri değişmez, sadece işareti değişir., yani

(44)

Teorem 7(ortalama değer teoremi). Belirli integral, integral parçasının uzunluğu ile içindeki bir noktadaki integralin değerinin çarpımına eşittir., yani

(45)

Teorem 8.Eğer üst integral limiti alttan büyükse ve integral negatif değilse (pozitif), o zaman belirli integral de negatif değil (pozitif), yani. Eğer

Teorem 9.İntegrasyonun üst limiti alt limitten ve fonksiyonlardan büyükse ve sürekli ise, o zaman eşitsizlik

terim terim entegre edilebilir, yani

(46)

Belirli integralin özellikleri, integrallerin doğrudan hesaplanmasını basitleştirmemize izin verir.

Örnek 5 Belirli bir integrali hesaplayın

Teorem 4 ve 3'ü kullanarak ve ters türevleri bulurken - tablo integralleri (7) ve (6), elde ederiz

Değişken üst limitli belirli integral

İzin vermek F(x) segmentinde süreklidir [ a, B] işlevi ve F(x) onun prototipidir. Belirli integrali düşünün

(47)

Ve aracılığıyla T integrasyon değişkeni, üst sınırla karıştırılmaması için belirtilir. Değiştiğinde x belirli integral (47) de değişir, yani, integralin üst sınırının bir fonksiyonudur x ile ifade ettiğimiz F(x), yani

(48)

fonksiyonunu ispatlayalım. F(x) için antitürevdir F(x) = F(T). Gerçekten de farklılaşma F(x), alırız

Çünkü F(x) için antitürevdir F(x), a F(a) sabit bir değerdir.

İşlev F(x) için sonsuz ters türev kümesinden biridir F(x), yani x = a sıfıra gider. Bu ifade, eşitlikte (48) koyarsak elde edilir. x = a ve önceki bölümün Teorem 1'ini kullanın.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi ve değişken değiştirme yöntemi ile belirli integrallerin hesaplanması

nerede, tanım gereği, F(x) için antitürevdir F(x). İntegranda değişken değişikliği yaparsak

daha sonra formül (16)'ya göre yazabiliriz

Bu ifadede

için ters türev fonksiyonu

Nitekim, türevi, göre karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı, eşittir

α ve β değişkenin değerleri olsun T, hangi işlev için

sırasıyla değerleri alır a ve B, yani

Ancak Newton-Leibniz formülüne göre aradaki fark F(B) – F(a) var

Hesaplayıcı, Rusça ve ücretsiz olarak DETAYLI eylemlerin bir açıklaması ile integralleri çözer!

Belirsiz integralleri çözme

Bu çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

Belirli integrallerin çözümü

Bu çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

İntegrand ifadesini girin (integral fonksiyon)
İntegral için bir alt sınır girin
İntegral için bir üst sınır girin

Çift katlı integralleri çözme

İntegrand ifadesini girin (integral fonksiyon)

Uygun Olmayan İntegralleri Çözme

İntegrand ifadesini girin (integral fonksiyon)
Entegrasyonun üst bölgesini (veya + sonsuz) girin
Alt entegrasyon bölgesini girin (veya - sonsuz)

Üç katlı integrallerin çözümü

İntegrand ifadesini girin (integral fonksiyon)
İlk entegrasyon alanı için alt ve üst limitleri girin
İkinci entegrasyon alanı için alt ve üst limiti girin
Üçüncü entegrasyon alanı için alt ve üst limiti girin

Bu hizmet, bilgilerinizi kontrol etmenizi sağlar. hesaplamalar doğruluk için

Fırsatlar

Tüm olası matematiksel işlevler için destek: sinüs, kosinüs, üs, tanjant, kotanjant, kare ve kübik kökler, dereceler, üstel ve diğerleri.
Hem belirsiz integraller için hem de uygunsuz ve belirli olanlar için girdi örnekleri vardır.
Girdiğiniz ifadelerdeki hataları düzeltir ve kendi giriş seçeneklerinizi sunar.
Belirli ve uygun olmayan integraller için sayısal çözüm (çift ve üçlü integraller dahil).
Karmaşık sayılar ve çeşitli parametreler için destek (integranda yalnızca entegrasyon değişkenini değil, aynı zamanda diğer parametre değişkenlerini de belirtebilirsiniz)

Integral hesabı.

ilkel işlev.

Tanım: F(x) işlevi çağrılır ters türev fonksiyonu segmentteki f(x) fonksiyonları, bu segmentin herhangi bir noktasında eşitlik doğruysa:

Aynı fonksiyon için sonsuz sayıda ters türev olabileceği unutulmamalıdır. Birbirlerinden sabit bir sayı ile farklılık göstereceklerdir.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Belirsiz integral.

Tanım: belirsiz integral f(x) fonksiyonları, ilişki ile tanımlanan bir ters türevsel fonksiyonlar kümesidir:

Yaz:

Belirli bir segment üzerinde belirsiz bir integralin bulunmasının şartı, fonksiyonun bu segment üzerindeki sürekliliğidir.

Özellikler:

Örnek:

Belirsiz integralin değerini bulmak, esas olarak ters türev fonksiyonunu bulmakla bağlantılıdır. Bazı işlevler için bu oldukça zor bir iştir. Aşağıda, ana fonksiyon sınıfları için belirsiz integral bulma yöntemlerini ele alacağız - rasyonel, irrasyonel, trigonometrik, üstel, vb.

Kolaylık sağlamak için, çoğu temel fonksiyonun belirsiz integrallerinin değerleri, bazen çok hacimli olan özel integral tablolarında toplanır. Çeşitli en yaygın işlev kombinasyonlarını içerirler. Ancak bu tablolarda sunulan formüllerin çoğu birbirinin doğal sonuçlarıdır, bu nedenle aşağıda çeşitli fonksiyonların belirsiz integrallerinin değerlerini alabileceğiniz bir temel integral tablosu bulunmaktadır.

integral	Anlam	integral	Anlam

	lnsinx+ C



	içinde

Entegrasyon yöntemleri.

Entegrasyonun üç temel yöntemini ele alalım.

Doğrudan entegrasyon.

Doğrudan entegrasyon yöntemi, türev alma yoluyla bu değerin daha fazla doğrulanmasıyla ters türev fonksiyonunun olası değerinin varsayımına dayanır. Genel olarak, farklılaştırmanın entegrasyon sonuçlarını kontrol etmek için güçlü bir araç olduğunu not ediyoruz.

Bu yöntemin bir örnek üzerinde uygulamasını düşünün:

İntegralin değerini bulmak için gereklidir. . İyi bilinen farklılaşma formülüne göre
istenen integralin şuna eşit olduğu sonucuna varabiliriz.
, burada C sabit bir sayıdır. Ancak öte yandan
. Böylece, nihayet şu sonuca varabiliriz:

Türev bulmak için açık tekniklerin ve yöntemlerin kullanıldığı, türev bulma kurallarının ve son olarak türevin tanımının kullanıldığı türevin aksine, bu tür yöntemlerin entegrasyon için mevcut olmadığını unutmayın. Türev bulurken, tabiri caizse, belirli kurallara dayanarak bir sonuca yol açan yapıcı yöntemler kullandıysak, o zaman ters türevi bulurken, esas olarak türev ve ters türev tablolarının bilgisine güvenmek zorundayız.

Doğrudan entegrasyon yöntemine gelince, sadece çok sınırlı bazı fonksiyon sınıfları için geçerlidir. Ters türevi hemen bulabileceğiniz çok az fonksiyon vardır. Bu nedenle, çoğu durumda aşağıda açıklanan yöntemler kullanılır.

İkame yöntemi (değişkenlerin değiştirilmesi).

teorem: İntegrali bulmak istiyorsanız
, ancak ters türevi bulmak zordur, o zaman x = (t) ve dx = (t)dt'yi değiştirerek şunu elde ederiz:

Kanıt : Önerilen eşitliği ayırt edelim:

Belirsiz integralin yukarıdaki 2 No'lu özelliğine göre:

F(x) dx = F[  (T)]  (T) dt

bu, tanıtılan gösterimi dikkate alarak, ilk varsayımdır. Teorem kanıtlanmıştır.

Örnek. belirsiz integrali bulun
.

bir yedek yapalım T = günah, dt = cosxdt.

Örnek.

Değiştirme
Alırız:

Aşağıda, çeşitli işlev türleri için ikame yöntemini kullanmanın diğer örneklerini ele alacağız.

Parçalara göre entegrasyon.

Yöntem, bir ürünün türevi için iyi bilinen formüle dayanmaktadır:

(uv) = uv + vu

burada u ve v, x'in bazı fonksiyonlarıdır.

Diferansiyel formda: d(uv) = udv + vdu

Entegrasyondan sonra şunu elde ederiz:
, ve belirsiz integralin yukarıdaki özelliklerine göre:

veya
;

Birçok temel fonksiyonun integrallerini bulmamıza izin veren parçalara göre integral alma formülü elde ettik.

Örnek.

Gördüğünüz gibi, parçalara göre entegrasyon formülünün tutarlı uygulaması, işlevi kademeli olarak basitleştirmenize ve integrali tablo haline getirmenize olanak tanır.

Örnek.

Entegrasyonun parçalara göre tekrar tekrar uygulanması sonucunda, fonksiyonun tablosal bir forma sadeleştirilemediği görülmektedir. Ancak elde edilen son integral orijinalinden farklı değildir. Bu nedenle, eşitliğin sol tarafına aktarıyoruz.

Böylece, integral tabloları kullanılmadan integral bulundu.

Çeşitli fonksiyon sınıflarını integral alma yöntemlerini ayrıntılı olarak ele almadan önce, belirsiz integralleri tabloya indirgeyerek bulmak için birkaç örnek daha veriyoruz.

Örnek.

Temel kesirlerin integrali.

Tanım: İlköğretim Aşağıdaki dört türden kesirler denir:

BENCE.
III.

II.
IV.

m, n doğal sayılardır (m  2, n  2) ve b 2 - 4ac<0.

Temel kesirlerin ilk iki tür integrali oldukça basit bir şekilde t = ax + b tablosal ikamelerine indirgenir.

Form III'ün temel kesirlerini entegre etmek için bir yöntem düşünün.

III tipi bir kesrin integrali şu şekilde temsil edilebilir:

Burada, genel anlamda, form III'ün bir kesrinin integralinin iki tablolu integrale indirgenmesi gösterilmektedir.

Yukarıdaki formülün uygulamasını örneklerle düşünün.

Örnek.

Genel olarak konuşursak, ax 2 + bx + c üç terimlisi b 2 - 4ac > 0 ifadesine sahipse, o zaman kesir tanım gereği temel değildir, ancak yine de yukarıdaki şekilde entegre edilebilir.

Örnek.

Şimdi IV tipinin en basit kesirlerinin integralini alma yöntemlerini ele alalım.

İlk olarak, M = 0, N = 1 için özel bir durum düşünün.

O halde formun integrali
paydadaki tam kare vurgulanarak temsil edilebilir
. Aşağıdaki dönüşümü yapalım:

Bu eşitlikte yer alan ikinci integral kısım kısım alınacaktır.

belirtmek:

Orijinal integral için şunu elde ederiz:

Elde edilen formül denir tekrarlayan. n-1 kez uygularsanız, bir tablo integrali elde edersiniz
.

Şimdi genel durumda IV formunun bir temel kesirinin integraline dönelim.

Ortaya çıkan eşitlikte, ikame kullanan ilk integral T = sen 2 + s tabloya indirgenir , ve yukarıda ele alınan yineleme formülü ikinci integrale uygulanır.

Tip IV'ün temel bir kesirini bütünleştirmenin görünen karmaşıklığına rağmen, pratikte bunu küçük dereceli kesirlere uygulamak oldukça kolaydır. n ve yaklaşımın evrenselliği ve genelliği, bu yöntemin bir bilgisayarda çok basit bir şekilde uygulanmasını mümkün kılar.

Örnek:

Rasyonel fonksiyonların integrali.

Rasyonel kesirlerin integrali.

Rasyonel bir kesri entegre etmek için onu temel kesirlere ayırmak gerekir.

teorem: Eğer
paydası P(x) doğrusal ve ikinci dereceden faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilen uygun bir rasyonel kesirdir (gerçek katsayılı herhangi bir polinomun aşağıdaki gibi gösterilebileceğini unutmayın: P(x) = (x - a)  …(x - B)  (x 2 + piksel + Q)  …(x 2 + rx + s)  ), o zaman bu fraksiyon aşağıdaki şemaya göre temel olanlara ayrılabilir:

burada A ben , B ben , M ben , N ben , R ben , S ben bazı sabit değerlerdir.

Rasyonel kesirleri entegre ederken, orijinal kesri temel kesirlere ayırmaya başvurulur. A ben , B ben , M ben , N ben , R ben , S ben değerlerini bulmak için sözde kullanın belirsiz katsayılar yöntemi, özü şudur ki, iki polinomun aynı olması için, x'in aynı kuvvetlerindeki katsayıların eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Bu yöntemin uygulamasını belirli bir örnek üzerinde ele alacağız.

Örnek.

Ortak bir paydaya indirgeyerek ve karşılık gelen payları eşitleyerek şunu elde ederiz:

Örnek.

Çünkü Kesir doğru değilse, önce ondan tamsayı kısmını seçmelisiniz:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

Ortaya çıkan kesrin paydasını faktörlere ayırırız. x = 3'te kesrin paydasının sıfır olduğu görülebilir. O zamanlar:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Yani 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1). O zamanlar:

Parantez açmanın belirsiz katsayılarını bulmaktan kaçınmak için, bir denklem sistemini gruplamak ve çözmek (bazı durumlarda oldukça büyük olabilir), sözde keyfi değer yöntemi. Yöntemin özü, (belirsiz katsayıların sayısına göre) x'in keyfi değerlerinin yukarıda elde edilen ifadeye ikame edilmesidir. Hesaplamaları basitleştirmek için, kesrin paydasının sıfıra eşit olduğu noktaları keyfi değerler olarak almak gelenekseldir, yani. bizim durumumuzda - 3, -2, 1/3. Alırız:

Sonunda şunu elde ederiz:

Örnek.

Belirsiz katsayıları bulalım:

Daha sonra verilen integralin değeri:

Bazı trigonometriklerin entegrasyonu

fonksiyonlar.

Trigonometrik fonksiyonların sonsuz sayıda integrali olabilir. Bu integrallerin çoğu analitik olarak hesaplanamaz, bu yüzden her zaman entegre edilebilecek bazı ana fonksiyon türlerini ele alalım.

Formun integrali
.

Burada R, sinx ve cosx değişkenlerinin bazı rasyonel fonksiyonlarının gösterimidir.

Bu türdeki integraller, ikame kullanılarak hesaplanır.
. Bu ikame, trigonometrik bir işlevi rasyonel olana dönüştürmenize izin verir.

O zamanlar

Böylece:

Yukarıda açıklanan dönüşüm denir evrensel trigonometrik ikame.

Örnek.

Bu ikamenin şüphesiz avantajı, trigonometrik bir fonksiyonu rasyonel bir fonksiyona dönüştürmek ve karşılık gelen integrali hesaplamak için her zaman kullanılabilmesidir. Dezavantajlar arasında, dönüşümün, entegrasyonu çok zaman ve çaba alacak olan oldukça karmaşık bir rasyonel işlevle sonuçlanabileceği gerçeği yer alır.

Ancak, daha rasyonel bir değişken değişikliği uygulamak mümkün değilse, bu yöntem tek etkili yöntemdir.

Örnek.

Formun integrali
Eğer

işlevrcosx.

Evrensel trigonometrik ikame kullanılarak böyle bir integralin hesaplanması olasılığına rağmen, ikameyi uygulamak daha rasyoneldir. T = günah.

İşlev
cosx'i sadece kuvvetlere bile içerebilir ve bu nedenle sinx'e göre rasyonel bir fonksiyona dönüştürülebilir.

Örnek.

Genel olarak konuşursak, bu yöntemi uygulamak için, sadece fonksiyonun kosinüs açısından tekliği gereklidir ve fonksiyona dahil edilen sinüsün derecesi hem tamsayı hem de kesirli olabilir.

Formun integrali
Eğer

işlevraçısından tuhafgünah.

Yukarıda ele alınan duruma benzetilerek, ikame T = cosx.

Örnek.

Formun integrali

işlevrhatta nispetengünahvecosx.

R fonksiyonunu rasyonel bir fonksiyona dönüştürmek için ikame kullanılır.

t = tgx.

Örnek.

Sinüs ve kosinüs çarpımının integrali

çeşitli argümanlar.

İşin türüne bağlı olarak, üç formülden biri uygulanacaktır:

Örnek.

Bazen, trigonometrik fonksiyonları entegre ederken, fonksiyonların sırasını azaltmak için iyi bilinen trigonometrik formülleri kullanmak uygundur.

Örnek.

Bazen standart olmayan bazı numaralar kullanılır.

Örnek.

Bazı irrasyonel fonksiyonların integrali.

Her irrasyonel fonksiyon, temel fonksiyonlarla ifade edilen bir integrale sahip olamaz. Bir irrasyonel fonksiyonun integralini bulmak için, bilindiği gibi, fonksiyonun integrali her zaman bulunabilen rasyonel bir fonksiyona dönüştürülmesine izin verecek bir ikame uygulanmalıdır.

Çeşitli irrasyonel fonksiyon türlerini entegre etmek için bazı teknikleri düşünün.

Formun integrali
nereden- doğal sayı.

Yer değiştirme yardımı ile
fonksiyon rasyonalize edilir.

Örnek.

Eğer irrasyonel fonksiyon farklı derecelerde kökler içeriyorsa, o zaman ifadeye dahil edilen köklerin kuvvetlerinin en küçük ortak katına eşit derecenin kökünü yeni bir değişken olarak almak rasyoneldir.

Bunu bir örnekle açıklayalım.

Örnek.

Binom diferansiyellerinin entegrasyonu.