Geometri, uygulamada, bir kişinin hemen hemen her gün karşılaştığı, uygulamasıyla bilimlerden biridir. Çeşitli geometrik şekiller arasında yamuk da özel ilgiyi hak ediyor. İkisi birbirine paralel dört kenarı olan dışbükey bir figürdür. İkincisine üs, kalan ikisine kenar denir. Tabanlara dik olan ve aralarındaki boşluğun boyutunu belirleyen segment, yamuğun yüksekliği olacaktır. Uzunluğunu nasıl hesaplayabilirsiniz?

İsteğe bağlı bir yamuğun yüksekliğini bulun

İlk verilere dayanarak, şeklin yüksekliğini belirlemek birkaç yolla mümkündür.

bilinen alan

Paralel kenarların uzunluğu biliniyorsa ve şeklin alanı da belirtilmişse, istenen dikeyi belirlemek için aşağıdaki ilişki kullanılabilir:

S = h * (a + b) / 2,
h - gerekli değer (yükseklik),
S şeklin alanıdır,
a ve b birbirine paralel kenarlardır.
Yukarıdaki formülden h = 2S / (a ​​​​+ b) çıkar.

Orta çizginin değeri biliniyor

İlk veriler arasında, yamuğun (S) alanına ek olarak, orta çizgisinin (l) uzunluğu da biliniyorsa, hesaplamalar için başka bir formül faydalı olacaktır. İlk olarak, bu tür bir dörtgen için orta çizginin ne olduğunu açıklamaya değer. Terim, şeklin kenarlarının orta noktalarını birleştiren düz çizginin parçasını tanımlar.

Yamuk özelliğine göre l = (a + b) / 2,
l - orta çizgi,
a, b - dörtgenin yan tabanı.
Bu nedenle h = 2S / (a ​​​​+ b) = S / l.

Şeklin 4 tarafı biliniyor

Bu durumda Pisagor teoremi yardımcı olacaktır. Dikeyleri daha büyük taban tarafına getirerek, elde edilen iki dik açılı üçgen için kullanın. Son ifade şöyle görünecek:

h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2,

c ve d diğer 2 kenardır.

Tabandaki açılar

Temel açı verileriniz varsa, trigonometrik işlevleri kullanın.

h = c * sinα = d * sinβ,

α ve β - dörtgenin tabanındaki açılar,
c ve d kenarlarıdır.

Şeklin köşegenleri ve kesiştikleri açılar

Çapraz uzunluk - şeklin zıt köşelerini birleştiren çizgi parçasının uzunluğu. Bu nicelikleri d1 ve d2 sembolleri ve aralarındaki γ ve φ açıları ile gösterelim. Sonra:

h = (d1 * d2) / (a ​​​​+ b) günah γ = (d1 * d2) / (a ​​​​+ b) günahφ,

h = (d1 * d2) / 2l günah γ = (d1 * d2) / 2l günahφ,

a ve b - şeklin yan tabanı,
d1 ve d2 yamuğun köşegenleridir,
γ ve φ köşegenler arasındaki açılardır.

Şeklin yüksekliği ve içinde yazılı olan dairenin yarıçapı

Bu tür çemberin tanımından da anlaşılacağı gibi, her bir tabana bir düz çizginin parçası olan 1 noktada dokunur. Bu nedenle, aralarındaki mesafe - çap - şeklin istenen yüksekliğidir. Ve çap yarıçapın iki katı olduğundan, o zaman:

h = 2 * r,
r, bu yamukta yazılı olan dairenin yarıçapıdır.

Bir ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulun

• Formülasyondan aşağıdaki gibi, bir ikizkenar yamuğun ayırt edici bir özelliği, yan kenarlarının eşitliğidir. Bu nedenle, şeklin yüksekliğini bulmak için, yamuğun kenarlarının bilinmesi durumunda bu değeri belirlemek için formülü kullanın.

Yani, c = d ise, h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 = √c 2 - (a-b) 2/4,
a, b - dörtgenin yan tabanı,
c = d - yanları.

• İki tarafın (taban ve yanal) oluşturduğu açıların büyüklüğünün varlığında, yamuğun yüksekliği aşağıdaki oran ile belirlenir:

h = c * sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α - şeklin tabanındaki açı,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d - yanları.

• Şeklin köşegenlerinin değerleri verilirse, şeklin yüksekliğini bulma ifadesi değişecektir, çünkü d1 = d2:

h = d1 2 / (a ​​​​+ b) * sinγ = d1 2 / (a ​​​​+ b) * günahφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * günahφ.

Yamuk gibi bir şekille, hayatta oldukça sık karşılaşırız. Örneğin, beton bloklardan yapılmış herhangi bir köprü en iyi örnektir. Daha görsel bir seçenek olarak düşünülebilir her aracın direksiyonu vb. Figürün özellikleri Antik Yunanistan'da bile biliniyordu. Aristoteles'in "Başlangıçlar" adlı bilimsel çalışmasında daha ayrıntılı olarak tanımladığı. Ve binlerce yıl önce elde edilen bilgi bugün hala geçerlidir. Bu nedenle, onlarla daha ayrıntılı olarak tanışalım.

Temas halinde

Temel konseptler

Şekil 1. Bir yamuğun klasik şekli.

Bir yamuk esasen paralel olan iki doğru parçasından ve paralel olmayan diğer iki doğru parçasından oluşan bir dörtgendir. Bu rakam hakkında konuşurken, her zaman şu kavramları hatırlamalısınız: taban, yükseklik ve orta çizgi. Birbirine taban denilen bir dörtgenin iki parçası (AD ve BC parçaları). Yükseklik, tabanların her birine (EH) dik olan segment olarak adlandırılır, yani. 90 ° açıyla kesişir (Şekil 1'de gösterildiği gibi).

Tüm iç derece ölçülerini toplarsak, yamuğun açılarının toplamı, herhangi bir dörtgen gibi 2π'ye (360 °) eşit olacaktır. Uçları yan duvarların orta noktaları olan segment (IF) orta çizgi denir. Bu parçanın uzunluğu, BC ve AD tabanlarının toplamının 2'ye bölümüdür.

Üç tür geometrik şekil vardır: düz, düzenli ve ikizkenar. Tabanın köşelerindeki en az bir açı düzse (örneğin, ABD = 90 ° ise), o zaman böyle bir dörtgene düz yamuk denir. Yan parçalar eşitse (AB ve CD), buna ikizkenar denir (sırasıyla tabanlardaki açılar eşittir).

alan nasıl bulunur

İçin, bir dörtgenin alanını bulmak için ABCD aşağıdaki formülü kullanır:

Şekil 2. Alan bulma probleminin çözümü

Daha açıklayıcı bir örnek için, kolay bir problemi çözelim. Örneğin, üst ve alt tabanlar sırasıyla 16 ve 44 cm, kenarlar 17 ve 25 cm olsun, DE II BC olacak şekilde üst D'den dik bir segment oluşturalım (Şekil 2'de gösterildiği gibi). Bu yüzden bunu alıyoruz

DF'nin başlamasına izin verin. ΔADE'den (ki bu ikizkenar olacaktır), aşağıdakileri elde ederiz:

Yani, basit bir ifadeyle, önce yamuğun da yüksekliği olan ΔADE yüksekliğini bulduk. Buradan, zaten bilinen formülü kullanarak, DF yüksekliğinin zaten bilinen değeriyle ABCD dörtgeninin alanını hesaplıyoruz.

Dolayısıyla, gerekli alan ABCD 450 cm³'tür. Yani, güvenle söyleyebiliriz ki, yamuğun alanını hesaplamak için sadece tabanların toplamına ve yüksekliğin uzunluğuna ihtiyacınız var.

Önemli! Problemi çözerken, uzunlukların değerini ayrı ayrı bulmak gerekli değildir, uygun kanıtlarla tabanların toplamına eşit olacak şekilde şeklin diğer parametrelerinin uygulanması oldukça kabul edilebilir.

Yamuk türleri

Şeklin hangi taraflara sahip olduğuna, tabanlarda hangi açıların oluştuğuna bağlı olarak, üç tür dörtgen ayırt edilir: dikdörtgen, düzensiz ve ikizkenar.

Çok yönlü

İki form vardır: akut ve geniş... ABCD, yalnızca taban açıları (AD) keskin ve kenar uzunlukları farklı olduğunda dar açılıdır. Bir açının değeri Pi / 2 daha fazlaysa (derece ölçüsü 90 ° 'den fazlaysa), o zaman geniş oluruz.

Yan duvarların uzunluğu eşit ise

Şekil 3. Bir ikizkenar yamuk görünümü

Paralel olmayan kenarların uzunlukları eşitse, ABCD'ye ikizkenar (düzenli) denir. Üstelik böyle bir dörtgen için, tabandaki açıların derece ölçüsü aynıdır, açıları her zaman doğru olandan daha küçük olacaktır. Bu nedenle ikizkenar asla dar açılı ve geniş açılı olarak ayrılmaz. Bu şeklin bir dörtgeni, aşağıdakileri içeren kendine özgü farklılıklara sahiptir:

1. Zıt köşeleri birleştiren doğru parçaları eşittir.
2. Daha büyük bir tabana sahip keskin açılar 45 °'dir (Şekil 3'teki açıklayıcı örnek).
3. Zıt açıların derece ölçülerini toplarsanız, toplamları 180 ° olur.
4. Herhangi bir normal yamuk etrafına inşa edilebilir.
5. Zıt açıların derece ölçüsünü toplarsanız, π'ye eşittir.

Ayrıca, noktaların geometrik düzenlenmesi nedeniyle, ikizkenar yamuğun temel özellikleri:

90 ° tabanında açı değeri

Tabanın kenarının dikliği, "dikdörtgen yamuk" kavramının geniş bir özelliğidir. Tabanda köşeli iki yan kenar olamaz,çünkü aksi takdirde zaten bir dikdörtgen olacaktır. Bu tür bir dörtgende, ikinci yan taraf her zaman büyük bir tabana sahip bir dar açı ve daha küçük bir tabana sahip geniş bir açı oluşturacaktır. Bu durumda, dik taraf da yükseklik olacaktır.

Yan duvarların orta noktaları arasındaki segment

Kenarların orta noktalarını birleştirirseniz ve ortaya çıkan parça tabanlara paralel olacak ve uzunlukları toplamlarının yarısına eşit olacaksa, oluşan düz çizgi orta çizgi olacaktır. Bu mesafenin değeri aşağıdaki formülle hesaplanır:

Daha açıklayıcı bir örnek için, orta çizginin kullanımıyla ilgili sorunu düşünün.

Görev. Yamuğun orta çizgisi 7 cm, kenarlardan birinin diğerinden 4 cm daha büyük olduğu bilinmektedir (Şek. 4). Taban uzunluklarını bulunuz.

Şekil 4. Taban uzunluklarını bulma probleminin çözümü

Çözüm. Daha küçük DC tabanı x cm'ye eşit olsun, o zaman daha büyük taban sırasıyla (x + 4) cm'ye eşit olacaktır.Buradan, yamuğun orta çizgisi için formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Daha küçük DC tabanının 5 cm ve daha büyük olanın 9 cm olduğu ortaya çıktı.

Önemli! Merkez çizgisi kavramı, geometrideki birçok problemin çözümünde anahtardır. Tanımına dayanarak, diğer rakamlar için birçok kanıt oluşturulmuştur. Kavramı pratikte kullanarak daha akılcı bir çözüm bulmak ve istenen değeri aramak mümkündür.

Yüksekliğin belirlenmesi ve nasıl bulunacağı

Daha önce belirtildiği gibi, yükseklik, tabanları 2Pi / 4 açıyla kesen ve aralarındaki en kısa mesafe olan bir segmenttir. Yamuğun yüksekliğini bulmadan önce, hangi girdi değerlerinin verildiğine karar vermek gerekir. Daha iyi anlamak için sorunu düşünün. Tabanların sırasıyla 8 ve 28 cm, yanların 12 ve 16 cm olması şartıyla yamuğun yüksekliğini bulun.

Şekil 5. Yamuğun yüksekliğini bulma problemini çözme

AD'nin tabanına dik açılarda DF ve CH segmentleri çizin Tanım olarak, bunların her biri verilen bir yamuğun yüksekliği olacaktır (Şekil 5). Bu durumda, her bir yan duvarın uzunluğunu bilerek, Pisagor teoremini kullanarak, AFD ve BHC üçgenlerindeki yüksekliğin neye eşit olduğunu buluruz.

AF ve HB segmentlerinin toplamı, bazlar arasındaki farka eşittir, yani:

AF uzunluğunun x cm'ye eşit olmasına izin verin, ardından HB segmentinin uzunluğu = (20 - x) cm olsun. Bulunduğu gibi, DF = CH, dolayısıyla.

Sonra aşağıdaki denklemi elde ederiz:

AFD üçgenindeki AF segmentinin 7,2 cm olduğu ortaya çıktı, buradan aynı Pisagor teoremi ile yamuğun DF yüksekliğini hesaplıyoruz:

Onlar. yamuk ADCB'nin yüksekliği 9.6 cm olacaktır.Gördüğünüz gibi yükseklik hesabı daha mekanik bir işlem olup üçgenlerin kenar ve açılarının hesaplanmasına dayanmaktadır. Ancak, geometrideki birçok problemde, sadece açıların dereceleri bilinebilir, bu durumda hesaplamalar iç üçgenlerin en-boy oranı üzerinden yapılacaktır.

Önemli!Özünde, bir yamuk genellikle iki üçgen veya bir dikdörtgen ve bir üçgenin birleşimi olarak düşünülür. Okul ders kitaplarında karşılaşılan tüm problemlerin %90'ını çözmek için bu rakamların özellikleri ve özellikleri. Bu HMT için formüllerin çoğu, bu iki şekil türü için "mekanizmalara" dayalı olarak türetilmiştir.

Temel uzunluk nasıl hızlı bir şekilde hesaplanır

Yamuğun tabanını bulmadan önce, hangi parametrelerin daha önce verildiğini ve bunların rasyonel olarak nasıl kullanılacağını belirlemek gerekir. Pratik bir yaklaşım, merkez çizgisi formülünden bilinmeyen tabanın uzunluğunu çıkarmaktır. Resmin daha net bir şekilde algılanması için, bir görev örneğini kullanarak bunun nasıl yapılabileceğini göstereceğiz. Yamuğun orta çizgisinin 7 cm, tabanlardan birinin 10 cm olduğu bilinsin, ikinci tabanın uzunluğunu bulun.

Çözüm: Orta çizginin tabanların toplamının yarısına eşit olduğu bilindiğinde, toplamlarının 14 cm olduğu söylenebilir.

(14 cm = 7 cm × 2). Problemin durumundan, bunlardan birinin 10 cm olduğunu biliyoruz, dolayısıyla yamuğun küçük kenarı 4 cm (4 cm = 14 - 10) olacaktır.

Ayrıca bu tür sorunlara daha rahat bir çözüm için, gibi formülleri yamuk bölgesinden iyi öğrenmenizi öneririz.:

• orta hat;
• Meydan;
• boy uzunluğu;
• köşegenler.

Bu hesaplamaların özünü (tam olarak özünü) bilerek, istediğiniz değeri kolayca öğrenebilirsiniz.

Video: yamuk ve özellikleri

Video: yamuk özellikleri

Çıktı

Ele alınan görev örneklerinden, görevlerin hesaplanması açısından yamuğun geometrideki en basit şekillerden biri olduğu konusunda basit bir sonuç çıkarılabilir. Problemleri başarılı bir şekilde çözmek için, her şeyden önce, tanımlanan nesne hakkında hangi bilgilerin bilindiğine, hangi formüllerin uygulanabileceğine ve neyin bulunması gerektiğine karar vermeye değmez. Bu basit algoritmayla, bu geometrik şekille ilgili hiçbir sorun zahmetsiz değildir.

Bir yamuk, iki zıt kenarın paralel ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir kabartma dörtgendir. Dörtgenin tüm karşılıklı kenarları paralel ise, bu bir paralelkenardır.

İhtiyacın olacak

• - yamuğun her tarafı (AB, BC, CD, DA).

Talimatlar

1. paralel olmayan partiler trapez yan kenarlar, paralel kenarlar taban olarak adlandırılır. Bazlar arasındaki çizgi, onlara dik - yükseklik trapez... eğer yan partiler trapez eşittir, o zaman ikizkenar denir. İlk olarak, çözümü düşünün trapez hangi ikizkenar değildir.

2. Kenara paralel olarak B noktasından AD alt tabanına BE doğru parçası çizin trapez CD. BE ve CD'nin paralel olduğu ve paralel bazlar arasında tutulduğu gerçeğinden trapez BC ve DA, sonra BCDE bir paralelkenardır ve bunun tersi partiler BE ve CD eşittir. BE = CD.

3. ABE üçgenini ele alalım. AE tarafını hesaplayın. AE = AD-ED. Vakıflar trapez BC ve AD bilinmektedir ve BCDE paralelkenarında tam tersi partiler ED ve BC eşittir. ED = BC, yani AE = AD-BC.

4. Şimdi yarım çevreyi hesaplayarak Heron formülünü kullanarak ABE üçgeninin alanını bulun. S = kök (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). Bu formülde p, ABE üçgeninin yarı çevresidir. p = 1/2 * (AB + BE + AE). Alanı hesaplamak için ihtiyacınız olan tüm verileri biliyorsunuz: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Bu formülden, aynı zamanda yükseklik olan üçgenin yüksekliğini ifade edin. trapez... BH = 2 * S / AE. Hesapla.

7. Yamuk ikizkenar ise, çözüm farklı şekilde yürütülebilir. ABH üçgenini düşünün. Köşelerden biri olan BHA düz olduğu için dikdörtgendir.

8. C tepe noktasından CF yüksekliğini çizin.

9. HBCF şeklini inceleyin. HBCF dikdörtgeni, gerçeğinden iki tanesi partiler- yükseklikler ve diğer ikisi taban trapez, yani köşeler düz ve tam tersi partiler paraleldir. Bu, BC = HF olduğu anlamına gelir.

10. ABH ve FCD dik açılı üçgenlere bakın. BHA ve CFD yüksekliklerindeki açılar düz, yanal açılar ise düzdür. partiler x BAH ve CDF eşittir, çünkü yamuk ABCD ikizkenardır, yani üçgenler benzerdir. BH ve CF yükseklikleri her iki tarafa da eşit olduğundan partiler ikizkenar trapez AB ve CD eşittir, sonra benzer üçgenler eşittir. Bu nedenle, onların partiler AH ve FD de eşittir.

11. AH'yi keşfedin. AH + FD = AD-HF. Çünkü HF = BC paralelkenarından ve AH = FD üçgenlerinden, AH = (AD-BC) * 1/2.

Bir yamuk, taban olarak adlandırılan iki kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir dörtgen olan geometrik bir şekildir. Onlara taraf denir trapez... Kenarların orta noktalarından çizilen doğru parçasına orta doğru denir. trapez... Yamuk, farklı kenar uzunluklarına sahip olabilir veya aynı olabilir, bu durumda ikizkenar olarak adlandırılır. Kenarlardan biri tabana dik ise, yamuk dikdörtgen olacaktır. Ama nasıl tespit edileceğini bilmek çok daha pratik Meydan trapez .

İhtiyacın olacak

• Milimetre bölmeli cetvel

Talimatlar

1. Her tarafı ölçün trapez: AB, BC, CD ve DA. Ölçümlerinizin sonuçlarını yazın.

2. AB satırında orta noktayı - K noktasını süpürün. DA segmentinde, yine AD segmentinin ortasında olan L noktasını süpürün. K ve L noktalarını birleştirin, ortaya çıkan KL segmenti orta çizgi olacaktır. trapez ABCD. KL çizgi segmentini ölçün.

3. Üstten trapez- özlem C, CE segmenti üzerindeki AD tabanına dik olarak indirin. O yükseklik olacak trapez ABCD. CE segmentini ölçün.

4. KL parçasına m harfi ve CE parçasına h harfi deriz. Meydan S trapez ABCD'yi şu formülle hesaplayın: S = m * h, burada m orta çizgidir trapez ABCD, h - yükseklik trapez ABCD.

5. Hesaplamanıza izin veren başka bir formül var. Meydan trapez ABCD. Alt taban trapez- AD'ye b harfi ve BC'nin üst tabanına a adı verilecektir. Alan S = 1/2 * (a + b) * h formülüyle belirlenir, burada a ve b tabandır trapez, h - yükseklik trapez .

İlgili videolar

İpucu 3: Alan biliniyorsa bir yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

Bir yamuk, dört kenarından ikisinin birbirine paralel olduğu bir dörtgen anlamına gelir. Paralel taraflar bunun temelidir. trapez, diğer ikisi bunun yan tarafları trapez... Keşfetmek yükseklik trapez, alanını bilirsek çok kolay olur.

Talimatlar

1. İlk alanın alanını hesaplamaya nasıl izin verildiğini bulmanız gerekir. trapez... İlk verilere bağlı olarak bunun için birkaç formül vardır: S = ((a + b) * h) / 2, burada a ve b taban uzunluklarıdır trapez, ve h yüksekliğidir (Yükseklik trapez- bir tabandan dikey olarak düşürüldü trapez diğerine); S = m * h, burada m orta çizgidir trapez(Orta çizgi, tabanlara paralel bir segmenttir. trapez ve yan taraflarının ortasını birleştirerek).

2. Şimdi, alanı hesaplamak için formülleri bilmek trapez, yüksekliği bulmak için onlardan yenilerini çıkarmaya izin verilir. trapez: h = (2 * S) / (a ​​​​+ b); h = S / m.

3. Benzer problemlerin nasıl çözüleceğini daha açık hale getirmek için örneklerin görülmesine izin verilir: Örnek 1: Alanı 68 cm ? olan bir yamuk verildiğinde, ortalama çizgisi 8 cm olan bir yamuk bulmanız gerekir. yükseklik verilen trapez... Bu sorunu çözmek için daha önce türetilen formülü kullanmanız gerekir: h = 68/8 = 8,5 cm Cevap: bunun yüksekliği trapez 8,5 cm'dir Örnek 2: trapez alan 120 cm?, bunun tabanlarının uzunluğu trapez sırasıyla 8 cm ve 12 cm'ye eşittir, algılamak için gereklidir yükseklik Bugün nasılsın trapez... Bunu yapmak için, türetilen formüllerden birini uygulamanız gerekir: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Cevap: Verilenlerin yüksekliği trapez 12 cm'ye eşit

İlgili videolar

Not!
Herhangi bir yamuğun bir takım özellikleri vardır: - bir yamuğun orta çizgisi, tabanlarının toplamının yarısına eşittir; - yamuğun köşegenlerini birleştiren parça, tabanlarının farkının yarısına eşittir; - düz ise doğru, tabanların orta noktalarından çizilirse, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasını kesecektir; - bu yamuğun tabanlarının toplamı, yamuğun tabanlarının toplamına eşitse, yamuğun içine bir daire çizmesine izin verilir. yan tarafları Sorunları çözerken bu özellikleri kullanın.

İpucu 4: Noktaların koordinatları verilmişse bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

Bir üçgendeki yükseklik, şeklin üstünü karşı tarafla birleştiren düz bir çizgi parçasıdır. Bu segment kesinlikle yana dik olmalıdır, bu nedenle her bir tepe noktasından sadece bir tane çizmesine izin verilir. yükseklik... Bu şekilde üç tepe olduğu için içindeki yükseklikler aynıdır. Bir üçgen, köşelerinin koordinatlarıyla verilirse, örneğin alanı bulmak ve kenarların uzunluklarını hesaplamak için kullanılan formülü kullanarak, yüksekliklerden herhangi birinin uzunluğunu hesaplamak mümkündür.

Talimatlar

1. alan olduğunu hesaplayın üçgen her bir kenarının uzunluğunun, bu tarafa düşen yüksekliğin uzunluğunun yarısına eşittir. Bu tanımdan yüksekliği bulmak için şeklin alanını ve kenar uzunluğunu bilmeniz gerekir.

2. Kenar uzunluklarını hesaplayarak başlayın üçgen... Şeklin köşelerinin koordinatlarını aşağıdaki gibi etiketleyin: A (X?, Y?, Z?), B (X?, Y?, Z?) Ve C (X?, Y?, Z?). Daha sonra AB =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) formülünü kullanarak AB kenarının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Diğer 2 taraf için bu formüller şöyle görünecektir: BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) Ve AC =? (( X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). için diyelim üçgen A (3,5,7), B (16,14,19) ve C (1,2,13) ​​koordinatlarıyla AB kenarının uzunluğu? ((3-16)? + (5-14) olacaktır. ? + (7 -19)?) =? (- 13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19.85. Aynı yöntemle hesaplanan BC ve AC kenarlarının uzunlukları ? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20.12 ve? (2? + 3? + (-6?)) =? 49 = 7.

3. Bir önceki adımda elde edilen 3 kenar uzunluklarının becerileri alanı hesaplamak için yeterlidir. üçgen(S) Heron formülüne göre: S =? *? ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) * (AB + BC-CA)). Diyelim ki daha sonra koordinatlardan elde edilen değerlerin yerine üçgenönceki adımdan örnek olarak, bu formül şu değeri verecektir: S =? *? ((19.85 + 20.12 + 7) * (20.12 + 7-19.85) * (19.85 + 7-20 , 12) * (19.85 + 20.12-) 7)) =?*? (46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97)? *?75768.55? ? * 275.26 = 68.815.

4. Bölgeden geliyor üçgenönceki adımda hesaplanan ve ikinci adımda elde edilen kenarların uzunlukları, her bir kenar için yükseklikleri hesaplayın. Alan, çizildiği kenarın uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşit olduğundan, yüksekliği bulmak için iki katına çıkan alanı istenen kenarın uzunluğuna bölün: H = 2 * S / a. Yukarıda kullanılan örnek için AB tarafına düşen yükseklik 2 * 68.815/16.09? 8.55, BC tarafına yükseklik 2 * 68.815 / 20.12? 6.84 ve AU tarafı için bu değer 2 * 68.815/7? 19.66.

Bir yamuk, iki tarafı paralel olan (bunlar, şekil a ve b'de gösterilen yamuğun tabanlarıdır) ve diğer ikisi olmayan (şekilde, HELL ve CB'de) böyle bir dörtgendir. Yamuğun yüksekliği, tabanlara dik olarak çizilen h segmentidir.

Yamuğun alanının bilinen değerleri ve tabanların uzunlukları ile yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

ABCD yamuğunun S alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

S = ((a + b) × h) / 2.

Burada a ve b segmentleri yamuğun tabanlarıdır, h yamuğun yüksekliğidir.

Bu formülü dönüştürerek şunları yazabiliriz:

Bu formülü kullanarak, S alanı ve a ve b tabanlarının uzunlukları biliniyorsa h değerini elde ederiz.

Örnek

S yamuğunun alanının 50 cm² olduğu biliniyorsa, a tabanının uzunluğu 4 cm, b tabanının uzunluğunun 6 cm olduğu biliniyorsa, h yüksekliğini bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Formülde bilinen değerleri değiştiriyoruz.

h = (2 × 50) / (4 + 6) = 100/10 = 10 cm

Cevap: Yamuğun yüksekliği 10 cm'dir.

Yamuğun alan değerleri ve orta çizginin uzunluğu verildiğinde yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

Bir yamuğun alanını hesaplamak için formülü kullanalım:

Burada m orta çizgi, h yamuğun yüksekliğidir.

Soru ortaya çıkarsa, yamuğun yüksekliği nasıl bulunur, formül:

h = S/m cevap olacaktır.

Böylece, S alanının bilinen değerlerine ve orta hat m segmentine sahip olan yamuk h'nin yüksekliğinin değerini bulabiliriz.

Örnek

Yamuğun orta çizgisinin uzunluğunu 20 cm olan m ve 200 cm² olan S alanını biliyoruz. Yamuğun h yüksekliğinin değerini bulalım.

S ve m değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:

h = 200/20 = 10 cm

Cevap: Yamuğun yüksekliği 10 cm'dir.

Dikdörtgen bir yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

Yamuk, yamuğun iki paralel kenarı (tabanı) olan bir dörtgen ise. Bu köşegen, yamuğun köşelerinin iki zıt köşesini birleştiren bir segmenttir (şekilde AC segmenti). Yamuk dikdörtgen ise, köşegeni kullanarak yamuğun h yüksekliğini buluruz.

Dikdörtgen bir yamuk, yan kenarlardan birinin tabanlara dik olduğu bir yamuktur. Bu durumda, uzunluğu (BP), h yüksekliği ile çakışmaktadır.

Yani, dikdörtgen bir yamuk ABCD düşünün, burada AD yükseklik, DC taban, AC köşegendir. Pisagor teoremini kullanalım. ADC dik üçgeninin AC hipotenüsünün karesi, AB ve BC ayaklarının karelerinin toplamına eşittir.

Sonra yazabilirsiniz:

AC² = AD² + DC².

AD, üçgenin ayağı, yamuğun kenarı ve aynı zamanda yüksekliğidir. Sonuçta, bir kan basıncı segmenti tabanlara diktir. Uzunluğu şöyle olacaktır:

AD = √ (AC² - DC²)

Yani, yamuk h = AD'nin yüksekliğini hesaplamak için bir formülümüz var.

Örnek

Dikdörtgen bir yamuğun (DC) tabanının uzunluğu 14 cm ve köşegeni (AC) 15 cm ise, yükseklik değerini (AD tarafı) elde etmek için Pisagor teoremini kullanırız.

Bir dik üçgenin (AD) bilinmeyen ayağı x olsun, o zaman

AC² = AD² + DC² yazılabilir

15² = 14² + x²,

x = √ (15²-14²) = √ (225-196) = √29 cm

Cevap: Dikdörtgen yamuğun (AB) yüksekliği √29 cm, yani yaklaşık olarak 5.385 cm olacaktır.

Bir ikizkenar yamuk yüksekliği nasıl bulunur?

İkizkenar yamuk, kenar uzunluklarının birbirine eşit olduğu yamuk olarak adlandırılır. Böyle bir yamuğun tabanlarının orta noktalarından çizilen düz bir çizgi simetri ekseni olacaktır. Özel bir durum, köşegenleri birbirine dik olan bir yamuktur, daha sonra h yüksekliği, tabanların yarısına eşit olacaktır.

Köşegenlerin birbirine dik olmadığı durumu düşünün. Bir ikizkenar (ikizken) yamukta, tabanlardaki açılar ve köşegenlerin uzunlukları eşittir. Bir ikizkenar yamuğun tüm köşelerinin, bu yamuğun etrafına çizilen bir dairenin çizgisine değdiği de bilinmektedir.

Çizimi düşünün. ABCD bir ikizkenar yamuktur. Yamuğun tabanlarının paralel olduğu biliniyor, yani BC = b, AD = a'ya paralel, AB = CD = c kenarı, yani tabanlardaki açılar sırasıyla eşit, BAQ = açısını yazabilirsiniz. CDS = α ve ABC = BCD = β açısı. Böylece, ABQ üçgeninin SCD üçgenine eşit olduğu sonucuna varıyoruz, bu da segmentin

AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.

Sorunun durumuna göre, a ve b tabanlarının değerlerine ve yan taraf c'nin uzunluğuna sahip olarak, BQ segmentine eşit yamuk h'nin yüksekliğini buluruz.

Dik açılı bir ABQ üçgeni düşünün. BO - yamuğun AD tabanına dik yüksekliği, dolayısıyla AQ segmenti. ABQ üçgeninin AQ kenarını daha önce elde ettiğimiz formülü kullanarak buluyoruz:

Dik açılı bir üçgenin iki ayağının değerlerine sahip olarak, hipotenüs BQ = h'yi buluyoruz. Pisagor teoremini kullanıyoruz.

AB² = AQ² + BQ²

Bu görevleri yerine koyalım:

c² = AQ² + h².

Bir ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulmak için formülü elde ederiz:

h = √ (c²-AQ²).

Örnek

AD tabanı = a = 10cm, BC tabanı = b = 4cm ve AB kenarı = c = 12cm olan bir ABCD ikizkenar yamuk verilmiştir. Bu koşullar altında, örneğin, yamuk yüksekliğinin, ikizkenar yamuk AVSD'nin nasıl bulunacağını düşünelim.

Bilinen verileri yerine koyarak ABQ üçgeninin AQ kenarını bulun:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3cm.

Şimdi üçgenin kenarlarının değerlerini Pisagor teoremi formülüne yerleştirelim.

h = √ (c²- AQ²) = √ (12²- 3²) = √135 = 11,6cm.

Cevap. İkizkenar yamuk ABCD'nin yüksekliği h 11,6 cm'dir.