Şehir bilimsel ve pratik konferans

"Bilimde başla"

Ünlü teoremler (Pythagore's Teoremi)

"Yaratıcı güç

matematikte harika keşifler "

3.4 Mobilde Uygulama .................................................. ................................26

Sonuç ........................................................... ...................................................... ...... 27.

Referanslar ................................................. ...............................................................................

Giriş

Pythagora adına sahip olan bir kişiyi, Pisagores teoremi ile ilişkili olmayacak bir kişiyi bulmak zor. Belki de, hayatlarında sonsuza dek matematiğe yayılmış olanlar bile, "Pythagora pantolonunun" hatıralarını korurlar. Pisagorer Triadine Teoremi'nin popülerliğinin nedeni: Bu basitlik - güzellik önemlidir. Aslında, Pythagore'un teoremi basittir, ancak açık değildir. İki çelişkinin bu birleşimi başladı ve özel bir cazip kuvvet veriyor, onu güzelleştiriyor. Ancak, pythagora teoremi çok önemlidir: Geometride her adımda tam anlamıyla kullanılır ve bu teoremin yaklaşık 500 farklı kanıtı vardır (geometrik, cebirsel, mekanik vb.), devasa sayı özel uygulamalar. Pisagores teoreminin açılması, güzel efsanelerin bir halo ile çevrilidir.

Günümüzde, Pythagora teoremi çeşitli özel görevlerde ve çizimlerde bulundu: Papirüs'teki Mısır üçgeni'nde, birinci (yaklaşık 2000 BC) Firavun Firavununun Firavununda ve Kral Hammurapi'nin EPOCH'IN BABYONIAN KLİNİK YERLERİNDE () XVIII Century BC) ve antik Hint geometrik-teolojik tez. VII - V yüzyıllar. M.Ö e. "Sulva Sutra" ("kural kuralları"). "Zhou Bi Suan Jin" antik Çin Tedavisinde, yaratılış zamanı tam olarak bilinmemektedir, XII. Yüzyılda olduğu iddia edilmektedir. M.Ö e. Çinliler, Mısır üçgeni ve VI yüzyılın özelliklerini biliyordu. M.Ö e. - Teorem'in genel görünümü. Bütün bunlara rağmen, Pythagora'nın adı Pythagora teoreminden çok sıkı bir şekilde kaynaklanıyor, şimdi bu cümlenin dağılmadığını hayal etmek imkansız. Bugün Pisagoraların isminin ilk kanıtı verdiğine inanılıyor. Ne yazık ki, bu kanıtı da iz yoktur.

Ünlü bilim adamının ifadesine göre, I. Kepler, "Geometri iki hazineye sahiptir - Pythagora teoremi ve altın bir kesiti ve birincisi altın ölçüsü ile karşılaştırılabilirse, ikincisi değerli bir taşla. . ".

Pythagoreo teoremi ana ve biri en önemli geometri teoremini söyleyebilir. Değeri, ondan veya yardımıyla çoğu geometri teoremlerini geri çekebilir.

Bir Amerikan matematikçi, çağdaşımız, yaklaşık 20 yıl toplandı Çeşitli metodlar Pythagora teoreminin kanıtı ve şimdi "koleksiyonu" yaklaşık 300 farklı kanıt içermektedir. Bu, eski teoreminin şu ana kadar insanlara alakalı ve ilginç olduğunu göstermektedir.

Okul kursunda, sadece matematiksel görevler Pythagore teoremi yardımıyla çözülür. Ne yazık ki, Pytagora teoreminin pratik uygulaması sorusu dikkate alınmaz.

Halen, birçok bilim ve teknoloji alanının gelişmesinin başarısının, çeşitli matematiğin gelişimine bağlı olduğu üniversal tanıma elde edildi. Üretimin verimliliğinin arttırılması için önemli bir durum, matematiksel yöntemlerin teknikleri ve ulusal ekonomiye ve ulusal ekonomiye ve pratikte ortaya çıkan sorunları çözmemize izin veren yeni, etkili yüksek kaliteli ve nicel araştırma yöntemlerinin oluşturulmasını içeren ulusal ekonomidir.

Araştırma Nesnesi: Pythagoreo teoremi.

Araştırma Konusu: Pythagora teoreminin kanıtı için çeşitli yorumlar ve yöntemler, pratik görevleri çözmede kullanımı.

Seçilen konuyla ilgili ek literatür taraması, hipotezler öne sürüldü:

1) Pisagor teoreminin başka yorumları vardır;

2) Pythagoreo teoremi birçok pratik görevi çözmede kullanılır .

Çalışmanın amacı: Pythagora teoreminin ifadesini dikkatlice incelendi, Pythagora teoreminin diğer yorumlarını önermek, Pythagores Teoremi'nin kapsamını bulmanın yanı sıra Pythagora Teoremi'nin diğer yorumlarını önermek için.

Hedefe ulaşmak için, aşağıdaki görevler teslim edildi:

1. Pythagora teoreminin görünümünün tarihini analiz etmek.

2. Çeşitli kanıt yollarını keşfedin ve Pythagore'un teoreminin diğer yorumlarını düşünün.

3. Göster pratik kullanım Pythagoreo teoremleri.

İlk bölümde araştırma çalışması Pythagora teoreminin ortaya çıkmasının tarihini düşünüyoruz.

İkinci bölümde, Pythagora teoremini kanıtlamanın çeşitli yollarını göz önünde bulunduracağız.

Üçüncü bölümde, Pythagora teoreminin çeşitli yorumlarına bakacağız.

Eski davranışlardan bilinen Pisagores teoreminin klasik kanıtlarından bazılarına bakacağız. Bu aynı zamanda, modern okul ders kitaplarında bir teoremin cebirsel bir kanıtı olduğu için yararlıdır. Aynı zamanda, teoremin bozulmamış geometrik aurası bir iz olmadan kaybolur, Ariadnes'in iş parçacığı, antik bilge adamları gerçeğe yönlendiren ve bu yolun hemen hemen her zaman en kısa ve her zaman güzel olduğu ortaya çıktı.

Bölüm 1. Pisagor teoreminin ortaya çıkmasının geçmişi.

1.1. Biyografi Pythagora.

Büyük bilim adamı Pisagorları yaklaşık 570 BC olarak doğdu. e. Samos adasında. Pythagora'nın babası Menarch, değerli taşlardaki bir draver oldu. Pythagora'nın annesinin adı bilinmemektedir. Birçok antik tanıklıklara göre, doğan çocuk muhteşem güzeldi ve yakında olağanüstü yeteneklerini gösterdi. Genç Pishagora'nın öğretmenleri arasında, gelenek, Hermodamant ve Ferkida Syros'un yaşlılarının isimlerini çağırır (Herpodamant ve Ferkid'in Pythagora'nın ilk öğretmenleri olan hermodamant ve ferkid olduğuna dair güven olmamasına rağmen). Bütün günler, genç pidhagores'u, Kifara ve Homer Hexameters'ın melodisi olan Hermodamant'ın yaşındaki ayaklarına geçirdi. Büyük Homer Pyfagor'un müzik ve şiiri için tutku, yaşam için korunmuş. Ve, öğrenci kalabalığı ile çevrili tanınmış bir adaçayı olan Pyfagor, güne Homer'in şarkılarından birini söyleyerek başladı. Ferkoid bir filozoftu ve İtalyan Felsefe Okulu'nun kurucusu olarak kabul edildi. Böylece, eğer hermodamant, genç Pythagora'yı müzik çemberine sokarsa, Ferkid aklını logolara çekti. Ferkid, Pyphagora'nın bakışlarını doğaya gönderdi ve bir tanesi ilk ve baş öğretmeni görmemesi tavsiye edildi. Ancak olabileceği gibi, genç Pythagora'nın huzursuz hayal gücü çok kısa sürede küçük bir meme başı yakından geldi ve başka bir bilim adamı ile buluştuğu akarlara gider. Fales. Fales, Pytagoras'ın yaptığı Mısır'da bilgi için gitmesini tavsiye eder.

M.Ö. 548'de e. Pythagoras Navkratis'e geldi - nerede olduğunu, sığınak ve yemek bulmak zorunda olan bir öz-sivrisinek kolonisi. Mısırlıların dilini ve dini okuduktan sonra Memphis'e bıraktı. Firavunun tavsiyesine rağmen, usta rahipler, ona karmaşık testler sunan Pythagora'ya sırlarını ifşa etmek için acele edilmemişti. Ancak, bilgi için susuzlukla, Pisagorlar, kazı verilerine göre, Mısır rahipleri ona öğretebilir, çünkü o zamanlar, Mısır Geometrisi tamamen uygulanmıştır (hesaptaki zamanın ihtiyacını ve ölçümünde olan ihtiyacı karşılayacağı) Arazi arazileri). Bu nedenle, rahiplerin ona verdiği her şeyi öğrendikten sonra, onlardan yakalanan, Ellad'daki vatanına taşındı. Ancak, yolun bir kısmını yapmış olan Pisagorlar çözüldü kara yolculuğuBabil'in kralı, eve giderken Cambiz'i yakaladı. Cyrus'un büyük yöneticileri tüm mahkumlara tolere edildiğinden, Babil'deki Pisagore'nin hayatını dramatize etmek gerekli değildir. Babil matematiği hiç şüphesiz daha gelişmişti (bunun bir örneği, Mısırlı'dan bir konumsal hesap sistemidir) ve Pythagora öğreneceklerdi. Ancak M.Ö. 530'da. e. Cyrus, kabilelere karşı bir zammaya taşındı. Orta Asya. Ve şehirdeki Surmon'u kullanarak, Pisagorlar vatanına kaçtı. Ve o zamanlar Samos'ta Tirara Polycrat hüküm sürdü. Tabii ki, Pythagora, Mahkeme Yarı Slave'nin hayatına uymadı ve Samos'un çevresindeki mağaralara emekli oldu. Polycrat'tan gelen istemlerden birkaç ay sonra, Pisagorlar Croton'a taşınır. Crotone'da, Pyfagors, üyeleri, Pythagorean yaşam tarzını yönlendirmek zorunda olan dini-etik bir kardeşlik ya da gizli bir manastır düzen ("Pythagoreans") gibi bir şey kurdu. Hem dini birliğin hem de politik bir kulüp ve bilimsel bir toplumdu. Pisagora tarafından vaaz edilen ilkelerin bir kısmının taklit etmeye layık olduğu söylenmelidir.

20 yıl geçti. Kardeşlik hakkında zafer dünya çapında ayrıldı. Bir gün, Kilon Pythagora'ya geliyor, bir adam zengin, ama kötülük, Spya'nın kardeşliğe katılmasını istiyor. Bir reddetme aldıktan sonra Kilon, evinden yararlanarak Pitagore ile savaşmaya başlar. Ateş durumunda, Pisagoreler öğretmenlerinin hayatını kendi fiyatına kaydetti, sonra pisagorlar sıktı ve yakında intihar etti.

1.2. Pythagora teoreminin ortaya çıkmasının tarihi.

Genellikle, Pythagora teoreminin açılması, eski Yunan filozofu ve matematik Pytagora'ya atfedilir. Ancak Babil'in klinik tablolarının ve eski Çinli yazıların incelenmesi, bu ifadenin Pythagora'nın, belki de ona binenin üzerinde olduğu kadar uzun süredir bilindiğini gösterdi. Pythagora'nın liyakarı, bu teoremin kanıtını keşfetti.

Pitagore teoremi "gelinin teoremi" denir. Gerçek şu ki, "Başlangıç" euclidea'da, hala "teorem perileri" olarak adlandırılır, sadece çizimi arı ya da bir kelebeğe çok benzer ve Yunanlılarla perileri ile çağrıldılar. Ancak Araplar bu teoremi çevirdiğinde, perymfinin bir gelin olduğunu düşünüyorlardı. "Gelin teoremi" ni nasıl çıktı. Ayrıca, Hindistan'da "kural yönetimi" dedi.

Teorem'e tarihsel bakışla başlayacak antik Çin. Burada, Chu-Pey'in matematiksel kitabına özel dikkat çekiyor. Bu makalede, bu hakkında söylenir. pythagora üçgeni Taraflar 3, 4 ve 5 ile: "Düz açı, bileşik parçalara ayrılırsa, kenarlarının uçlarını birbirine bağlayan çizgi, 3 baz ve yükseklik 4" olduğunda 5 olacaktır. Aynı kitapta, BASHARA'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biri ile çakışan bir çizim önerilmektedir.

KANTOR (en büyük matematikçi tarihçisi), 32 + 42 \u003d 52 eşitliğin Mısırlılar tarafından M.Ö. 2300 hakkında zaten bilindiğine inanıyor. ER, Tsar Amenhechta I'de (Berlin Müzesi Papirüs 6619'a göre). KANTOR, Harphedonapti veya "Halat Tensörleri" nin üzerine, partiler 3, 4 ve 5 olan dikdörtgen üçgenlerle düz açılar yaptılar. İnşaat yollarını çoğaltmak çok kolaydır. İpi 12 m uzunluğunda bir uzunlukta alın ve renkli şeride bir uçtan 3 metreden ve diğerinden 4 m mesafesinde bağlayın. Düz açı, partiler arasında 3 ve 4 metre uzunluğunda sonuçlandırılacaktır. Harpedonapitam, bina tarzlarının gereksiz hale geldiği, örneğin tüm marangozlar tarafından kullanılan tahta bir karbon kullanırsanız, bina yollarının gereksiz olduğu söylenebilir. Ve aslında, Mısır çizimleri, bir marangozluk atölyesini gösteren çizimler gibi böyle bir aracın bulunduğu bilinmektedir.

Bazıları Babil'deki Pisagor teoreminin farkındadır. Bir metinde, Hammurabi'ye atfedilebilir, yani 2000 yılına kadar M.Ö. E., dikdörtgen üçgenin hipotenisinin yaklaşık bir hesaplanması verilmiştir. Buradan, iki aralıkta en azından bazı durumlarda dikdörtgen üçgenlerle hesaplamalar yapabildiği sonucuna varabiliriz.

Hintlilerin geometrisi, Mısırlılar ve Babil'de olduğu gibi, kült ile yakından ilişkiliydi. Hypotenuse Meydanı'ndaki teoremin, eski Hindistan'da zaten 18 V'da bilinmesi çok muhtemeldir. M.Ö e.

Euclidel'in ilk Rusça çevirisinde "başladı", Pythagora teoremi aşağıdaki gibi sunulmuştur: "Dikdörtgen üçgenlerde, yandan bir kare, doğrudan köşe karşısında, toplama eşit Düz bir açı içeren taraflardan kareler. "

Halen, bu teoremin Pythagore tarafından açılmadığı bilinmektedir. Bununla birlikte, bazıları Pisagoraların ilk önce tam teşekküllü kanıtlarını verdiğine inanırken, diğerleri onu bu liyakatta reddetti. Bazıları, Pythagora kanıtı, "başladığı" ilk kitabında, Öklid'in "başladığı" kitabında yol açtığı kanıtlara atfedilir. Öte yandan, prob, "başlangıç" nın ispatının örümenin kendisine ait olduğunu savunuyor. Gördüğümüz gibi, matematik öyküsü neredeyse Pythagora'nın ve matematiksel aktivitesinin yaşamı hakkında güvenilir veri tasarrufu sağlamadı. Ancak efsane, teoremin açılışına eşlik eden en yakın koşulları bile bildirmektedir. Pytagoras'ın bu keşfi onurunda, 100 boğanın kurduğu söylüyorlar.

Bir yandan, günümüzün Mısır ve Babil matematiği ile ilgili bilgi düzeyinde ve diğer tarafta, Yunan kaynaklarının kritik çalışmasıyla ilgili olarak, Van der Barden (Hollanda Mathematician) aşağıdaki sonucu yaptı:

"Fales, Pisagorlar ve Pisagoreler gibi ilk Yunan matematikçilerinin yararları, matematiğin keşfi değil, sistematizasyonu ve gerekçesidir. Ellerinde, belirsiz fikirlere dayalı hesaplamalı tarifler kesin bir bilime dönüştü. "

Bölüm 2. Pisagor teoreminin çeşitli kanıtı yolları.

2.1. Pytagora teoreminin ifadeleri ve özellikleri.

Pythagoreo Teoremi, dikdörtgen üçgenin yanları arasındaki oranı kuran, Euclidean geometrisinin temel teoremlerinden biridir.

Başlangıçta, teorem, hipotenneus ve dikdörtgen spektral catech üzerine inşa edilmiş kareler arasındaki kareler arasındaki ilişkiyi belirler: "Dikdörtgen bir üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, katetlerin karelerinin toplamına eşittir."

Cebirsel ifadeler: "Dikdörtgen bir üçgende, hipotenüs uzunluğunun karesi, katetlerin uzunluğundaki karelerin toplamına eşittir."

Yani, üçgenin hipotenusunun C üzerinden ve A ve B üzerinden uzunluğundaki uzunluğuna atıfta bulunur, elde ediyoruz: A2 + B2 \u003d C2.

Hem ifadeler teoremleri eşdeğerdir, ancak ikinci ifadeler daha temeldir, alan kavramını gerektirmez. Yani, ikinci ifade kontrol edilebilir, bölge hakkında hiçbir şey bilmez ve sadece dikdörtgen üçgenin kenarlarının uzunluğunu ölçer.

Okul ders kitabında verilen teoremin ifadesinin başlangıçta yanlış olduğunu söylemeye değer. Pisagore teoreminin formülasyonunun çeşitli kaynaklardan gelen çevirilerini sunuyoruz:

1. Euclida Bu teoremi şunları okur: "Dikdörtgen bir üçgende, düz bir açı üzerine gerilmiş tarafın karesi, düz bir açıya giren kenarlardaki karelere eşittir."

2. Arapça metnin Latince çevirisi (yaklaşık 900 g. E.), Gerhard Cremonian (12. yüzyıldan başlayarak), okur: "Her dikdörtgen üçgende, yandan oluşan bir kare, düz bir açıdan gerilir, Düz bir köşenin iki tarafında oluşan iki karenin toplamına eşit. "

3. Geometria Gülmonensis'te (yaklaşık 1400), teoremi şöyle okunur: "Öyleyse, uzun taraf boyunca ölçülen karenin karesi, doğrudan köşeye bitişik olan iki tarafında ölçülen iki karede olduğu kadar büyüktür. "

4. Yunanca yapılan "başlayan" ilk Rusça ("Euclidean, geometrinin temelini içeren sekiz kitaba başladı" tercümesi, St. Petersburg, 1819), Pythagora teoremi şöyle ortaya çıkıyor: "Dikdörtgen üçgenlerde , direkt olarak karşı taraftaki kare köşe, dik açıyı içeren taraflardan karelerin toplamına eşittir. "

Pythagoreo Teoremi, keyfi bir üçgenin yanları ile sadece uçakta değil, aynı zamanda uzayda da Pythagora teoremi arasındaki ilişkiyi belirleyen bir kosinüs teoremi vakasıdır. "Kare çapraz dikdörtgen paralelepipeda ölçümlerinin karelerinin toplamına eşit. "

Ayrıca Gerçek Onay (Theorem Pythagora Teoremi denir): "Tüm Troika için pozitif sayılar A, B ve C, bir a² + b² \u003d c², var olacak şekilde sağ üçgen Cates A ve B ve Hypotenurus C. "

Bununla birlikte, Pythagora antik Mısırlılar, Babilliler, Çin, Hindular ve diğer eski halkların önündeki çeşitli görevleri çözmek için kullanıldığı bilinmektedir.

İkinci bölümde, Pythagora teoremini kanıtlamak için çeşitli yollara baktık. Pythagorea ilk önce sadece belirli bir teorem vakası kanıtlandı: eşit derecede başkanlık dikdörtgen bir üçgen olarak kabul edildi. Bu davayı kanıtlamak için kullanılan çizim "Pythagora pantolon" adı verilen bir şakadır ve ekleyin: her yöne eşittir.

Pythagora teoreminin farklı kanıtı ile tanıştım, bazılarının eşdeğerlik rakamlarının, diğerlerinin özelliklerine dayandığını fark ettik, diğerleri - eşit rakamların ve üçüncünün izometrik figürlerin mülkünde ( eşit alanlara sahip olmak). Bu yazıda, ünlü teoremi evof için sadece birkaç yol gözden geçirdik, ama çok daha fazlası var.

Pythagora teoreminin açılış tarihini inceleyen, Pisagoraların aynı teoremi kendisini değil, ispatlarını keşfettiği ortaya çıktı. Pythagora teoreminin çeşitli kanıtı yöntemlerini araştıran, bu kanıtların büyük bir miktar olduğu ortaya çıktı ve aşağıdakilere bölündüğü ortaya çıktı:

§ Fizibilite yönteminin kanıtı

§ Ayrıştırma ile Kanıt

§ Cebirsel geçirmez yöntem

§ vektör kanıtı

§ Benzerlik ve daha fazlası yardımı ile kanıt ..

Üçüncü bölümde, pipagoror teoreminin çözülmesinde kullanıldığı pratik görevlerin birkaç temel örneğini gözden geçirdik.

Pythagora teoreminin pratik önemini bulmak, teoremin içinde büyük bir kullanıma sahip olduğu ortaya çıktı. gündelik Yaşam İnsan faaliyetlerinin farklı alanlarında: astronomi, inşaat, mobil iletişim, mimarlık.

Bu nedenle, çalışmanın bir sonucu olarak, Pythagora teoreminin başka yorumlarını bulduk ve teorem kullanımı için bazı alanları bulduk. Bu konudaki edebi kaynaklardan ve internetten çok sayıda materyal topladık ve işledik. Biraz çalıştık tarihi bilgi Pythagore ve teoremi hakkında, Pisagores teoreminin kullanımı için bir dizi tarihi görevi kabul etti. Görevleri çözme sonucunda, bizim tarafımızdan aday gösterilen hipotezlerin onayı bulduğu sonucuna vardık. Evet, gerçekten de Pythagore teoreminin yardımıyla, sadece matematiksel görevleri çözemezsiniz. Pythagore'un teoremi, inşaat ve mimarlıkta, mobil iletişimde kullanımını buldu.

İşimizin sonucu:

§ Edebi kaynaklarla iş becerilerinin kazanılması;

§ Arama becerisinin kazanılması gerekli malzeme internette;

§ Çok miktarda bilgi ile nasıl çalışacağını öğrendik, ihtiyacınız olan bilgileri seçin.

Bibliyografya.

1. Alekseev. EEE için hazırlık: öğretim ve metodolojik rehber, M., 2011.

2. Bolty ve eşdeğer rakamlar. M., 1956.

3. Van Der Bakanlığı Bilimi. Matematik Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. M., 1959.

4. Bir kez daha Pythagore's Theorem // Eğitim ve Metodik Gazete "Matematik, No. 4, 2005.

5., Yatsenko schoolboy'un el kitabı. M., 2008.

6. Pythagora teoremi. M., 1960.

7. Pythagore'un Teorik'ün // Eğitim ve Metodik Gazete Matematiğinin Kanıtının Bir Çeşitli Yolu, 24, 2010.

8. Geometriyi inceliyoruz, M., 2007.

9. TKACHEVA MATEMATİK. M., 1994.

10. Pythagoreo teoreminde ve prova glasmerinin yöntemleri, Akademisyen Rao, Moskova

11. Pythagora ve Pythagora Troika Theorem D. V. ALOSOV "Matematiğe ve bir şeye bir bakış"

12. Pythagore teoremi hakkında çok sayıda kanıtla, malzeme V. Litzman tarafından yapılan kitaptan alınır.

13. HTTP: // Encyklopedia. ***** / BIOS / NAUKA / PIFAGOR / PIFAGOR. HTML.

14. http: // moypifagor. ***** / kullan. Htm.

15. http: // moypifagor. ***** / Edebiyat. Htm.

Van der Barden'e göre, oranın içindeki oranın olması çok muhtemeldir. genel Babylon'da XVIII yüzyılın yakınında N'ye biliniyordu. e.

Yaklaşık 400 bc. E. Prob'a göre, Plato, cebir ve geometriyi birleştiren Pythagora Trok bulma yöntemini verdi. Yaklaşık 300 bc. e. "Euclidea'nın" başlangıcında, pitagoreo teoreminin en eski aksiyomatik kanıtı ortaya çıktı.

Formülasyon

Ana formülasyon, cebirsel eylemler içerir - katetteleri eşit olan dikdörtgen bir üçgende A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b)ve hipotenüslerin uzunluğu - C (\\ displaystyle c)Oran tamamlandı:

.

Eşdeğer geometrik formülasyon, Şekildeki bir alan kavramına başvurma mümkündür: Dikdörtgen bir üçgende, hipotenük üzerine inşa edilen karenin karesi, kategorilere dayanan karelerin karelerinin toplamına eşittir. Bu formda teorem, Euclidea'nın başında formüle edilmiştir.

Pythagora Ters teoremi - Herhangi bir üçgenin dikdörtgenlerinin onayı, yanlarından ilişkili olan uzunluğu Bir 2 + B2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)). Sonuç olarak, üç pozitif sayı için A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle b) ve C (\\ displaystyle c), öyle ki Bir 2 + B2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), Gümrük ile dikdörtgen bir üçgen var A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b) ve hipotenüs C (\\ displaystyle c).

Kanıtı

İÇİNDE bilimsel edebiyat Pythagora teoreminin en az 400 kanıtı, hem geometri hem de sonuç unsuru için temel değeri açıklandı. Kanıtın ana yönleri: Üçgen elementlerin (örneğin, popüler benzerlik yöntemi) ilişkisinin cebirsel kullanımı, mekan yöntemi de çeşitli egzotik kanıtlar vardır (örneğin, diferansiyel denklemler kullanarak).

Bu tür üçgenler sayesinde

Euclidea'nın klasik kanıtı, karenin göçünden oluşan dikdörtgenler arasındaki karenin göçmenüryum yüksekliğinin üzerindeki, gümrüklerin üzerindeki kareler ile doğrudan açısının yüksekliğinden oluşan alanın eşitliğini belirlemeyi amaçlamaktadır.

Kanıt için kullanılan tasarım aşağıdaki gibidir: Doğrudan açıyla dikdörtgen bir üçgen için C (\\ displaystyle c), hipotenüs üzerinde gümrük ve kareler üzerinde kareler A B I K (\\ DisplayStyle Abik) İnşa edilen yükseklik C H (\\ DisplayStyle Ch) ve ışını sürekli devam ediyor S (\\ displaystyle s), kareyi iki dikdörtgen ile hipotenur üzerinde kırmak ve. Kanıt, dikdörtgen alanın eşitliğini belirlemeye yöneliktir. A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) Cathet üzerinden kare A C (\\ DisplayStyle AC); Hipotenusun üstündeki kareyi oluşturan ikinci dikdörtgenin alanının eşitliği ve diğer Cathe üzerindeki dikdörtgen aynı şekilde ayarlanır.

Dikdörtgen karelerin eşitliği A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) ve A C E D (\\ DisplayStyle Aced) Üçgenlerin uyumunda kurulu △ A C K \u200b\u200b(\\ DisplayStyle \\ Triangle ACK) ve △ A B D (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABD), her birinin alanı, kare karenin yarısına eşit olan A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) ve A C E D (\\ DisplayStyle Aced) Buna göre, aşağıdaki özellik nedeniyle: Üçgen alanı, rakamların ortak bir partiye sahipse, dikdörtgen alanın yarısına eşittir ve üçgenin genel tarafa yüksekliği, dikdörtgenin diğer tarafıdır. Üçgenlerin Tavniyeti, her iki tarafın (karelerin kenarları) eşitlikten ve aralarındaki köşeden (düz bir köşeden ve açıdan oluşan) izler. A (\\ DisplayStyle A).

Böylece, kanıt, dikdörtgenlerden oluşan hipotenüsün üstündeki karenin karesinin oluşturduğu A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) ve B H J I (\\ DisplayStyle Bhji)gümrükte kareler karelerinin toplamına eşittir.

Kanıt Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci'nin kanıtı meydanın alanına buldu. Dikdörtgen üçgen olsun △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) Doğrudan açı ile C (\\ displaystyle c) ve kareler A C E D (\\ DisplayStyle Aced), B C F G (\\ DisplayStyle BCFG) ve A B H J (\\ DisplayStyle Abhj) (Bkz. Şekil). Yandaki bu kanıtı H J (\\ DisplayStyle HJ) Dışarıdaki ikincisi bir üçgen, uyumlu △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC), ayrıca, hem hipotenleri hem de nispeten yüksekliğe göre yansıyan, (yani, J I \u003d B C (\\ DisplayStyle Ji \u003d BC) ve H I \u003d A C (\\ DisplayStyle Hi \u003d AC)). Düz C i (\\ DisplayStyle CI) üçgenlerden bu yana, hipotenuse üzerine hipotenuse üzerine inşa edilen kareyi kırar △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) ve △ J H I (\\ DisplayStyle \\ Triangle JHI) inşaata eşit. Kanıt, kuadruzin uyumunu kurar C A J I (\\ DisplayStyle Caji) ve D A B G (\\ DisplayStyle DABG)Her birinin, bir yandan, bir yandan, kateşlerin karelerinin yarısının toplamına ve orijinal üçgenin alanının yarısının toplamına eşit, diğer taraftan, karesinin yarısı Hipotenüsün içindeki kare artı orijinal üçgenin alanı. Toplam, gümrüklerin üzerindeki karelerin karelerinin toplamının yarısı, eşdeğer olan hipotenusun üstündeki karenin karesinin yarısına eşittir. geometrik ifadeler Pythagoreo teoremleri.

Sonsuz küçük yöntemle kanıt

Diferansiyel denklemler tekniğine başvuran birkaç kanıt vardır. Özellikle, hardy, sonsuz küçük katetin artışlarını kullanarak kanıta atfedilir. A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b) ve hipotenüsler C (\\ displaystyle c)ve orijinal dikdörtgen ile benzerliğini korumak, yani aşağıdaki diferansiyel ilişkileri sağlayan:

D A D C \u003d C A (\\ DisplayStyle (\\ Frac (DA) (DC)) \u003d (\\ frac (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ DisplayStyle (\\ frac (db) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (b))).

Değişkenleri onlardan ayırmanın yöntemi görüntülenir. diferansiyel denklem C d c \u003d a d a + b d b (\\ displayStyle c \\ dc \u003d a \\, da + b \\, db)kimin entegrasyonu oranını verir C 2 \u003d A 2 + B2 + C O N S T (\\ DisplayStyle C ^ (2) \u003d a ^ (2) + B ^ (2) + \\ MathRM (Const)). İlk koşulların uygulanması A \u003d B \u003d C \u003d 0 (\\ DisplayStyle A \u003d B \u003d c \u003d 0) Teorem'in ifadesiyle sonuçlanan sabit 0 olarak belirler.

Son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin yanları ile artışlar arasındaki doğrusal orantılılık nedeniyle, miktar, farklı katetlerin artışından bağımsız mevduatlarla ilişkilendirilir.

Varyasyonlar ve genellemeler

Üç taraftaki benzer geometrik şekiller

Pisagor teoreminin önemli bir geometrik genelleştirilmesi, "başlangıcı" da öklium verdi, kenarlardaki karelerin karelerinin eşbilar benzerlerinin karelerine geçmesi geometrik rakamlar : Catetler üzerine inşa edilen bu tür şekillerin alanlarının toplamı, hipotenuse üzerine inşa edilenlere benzer şekilde rakamın alanına eşit olacaktır.

Bu genellemenin ana fikri, böyle bir geometrik şeklin alanının, herhangi bir doğrusal boyutun karesi ile orantılı olması ve özellikle herhangi bir tarafın uzunluğunun karesi olmasıdır. Sonuç olarak, kareler ile benzer şekiller için A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle b) ve C (\\ displaystyle c)uzunlukları olan özel mesajlar A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b) ve hipotenüs C (\\ displaystyle c) Buna göre, oranı:

A A 2 \u003d B B2 \u003d C C2 ⇒ A + B \u003d A 2 C2C + B2C2 C (\\ DisplayStyle (\\ Frac (A) (a ^ (2)) \u003d (\\ frac (b) (b) ^ (2))) \u003d (\\ frac (c) (c ^ (2))) \\, \\ rurnolrow \\, a + b \u003d (\\ frac (a ^ (a ^ (2)) (C ^ (2))) c + (\\ Frac (b ^ (2)) (C ^ (2))) c).

Pythagora teoreminden beri Bir 2 + B2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), sonra gerçekleştirildi.

Ek olarak, Pythagora teoremini çekmeden kanıtlamak mümkünse, dikdörtgen üçgenin kenarlarındaki üç benzer geometrik figürün alanları için oranın gerçekleştirildiği A + B \u003d C (\\ DisplayStyle A + B \u003d C), Euclidea'nın genelleştirilmesinin ispatının tersini kullanarak, Pythagora teoreminin kanıtı türetilebilir. Örneğin, hipotenüs üzerinde uyumlu bir ilk dikdörtgen üçgen alanı oluşturmak için C (\\ displaystyle c)ve kategorilerde - kareler ile iki benzer dikdörtgen üçgen A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b), Catetes üzerindeki üçgenlerin, yüksekliğinin ilk üçgeni bölünmesi sonucu oluştuğu ortaya çıktı, yani üçgenlerin iki küçük alanının toplamı üçüncü alanına eşittir. A + B \u003d C (\\ DisplayStyle A + B \u003d C) Ve bu tür rakamlar için oranı uygulayarak, Pythagora teoremi görüntülenir.

Kosinus teoremi

Pythagoreo teoremi, partilerin uzunluklarını rastgele bir üçgende bağlayan daha genel bir kosinüs teoreminin özel bir vakasıdır:

A 2 + B2 - 2 A BOS \u2061 θ \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) -2AB \\ COS (\\ ETA) \u003d C ^ (2)),

nerede - taraflar arasındaki açı A (\\ DisplayStyle A) ve B (\\ DisplayStyle b). Açı 90 ° ise, o zaman cos \u2061 θ \u003d 0 (\\ displayStyle \\ cos \\ eta \u003d 0)Ve formül, her zamanki pythagoreo teoremine basitleştirildi.

Keyfi üçgen

Pythagora teoreminin keyfi bir üçgen üzerindeki genelleştirilmesi var, sadece partilerin uzunluklarının oranı ile çalışan, Sabi Astronomer Sabit Ibn Kury tarafından ilk kurulduğuna inanılıyor. İçinde, kenarları olan keyfi bir üçgen için, eşzamanlı bir üçgen yan taraftaki tabanla uyumludur. C (\\ displaystyle c), orijinal üçgenin üst kısmıyla çakışan tepex, karşı taraf C (\\ displaystyle c) ve tabandaki açılar, eşit köşe θ (\\ DisplayStyle \\ theta), ters taraf C (\\ displaystyle c). Sonuç olarak, orijinaline benzer iki üçgen oluşturulur: ilk - taraflarla A (\\ DisplayStyle A), yanlara doğru yükselen bir üçgen tarafından yazılan uzun taraflı tarafı ve R (\\ displaystyle r) - Parça parçaları C (\\ displaystyle c); İkincisi, yandan ona simetrik olarak B (\\ DisplayStyle b) yandan S (\\ displaystyle s) - parçanın karşılık gelen kısmı C (\\ displaystyle c). Sonuç olarak, ilişki: İlişki:

A 2 + B2 \u003d C (R + S) (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C (R + S)),

pythagora teoremine dejenere θ \u003d π / 2 (\\ displayStyle \\ thata \u003d \\ pi / 2). Oran, oluşturulan üçgenlerin benzerliğinin bir sonucudur:

CA \u003d AR, CB \u003d BS ⇒ CR + CS \u003d A 2 + B2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (c) (a)) \u003d (\\ Frac (a) (r)), \\, ((\\ frac) (b)) \u003d (\\ frac (b) (s)) \\, \\ raularrow \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + B ^ (2)).

Pappa teoremi karelerde

Neevklidova geometrisi

Pythagoreo teoremi, bir Euclidean geometrisinin bir aksiyomundan türetilmiştir ve çocuksuz geometri için geçersizdir - Pisagor teoreminin uygulanması, paralelliklerin öklidiyatının postulatına eşdeğerdir.

Çocuksuz geometride, dikdörtgen üçgenin yanları arasındaki oran mutlaka Pisagor teoremi dışındaki formda olacaktır. Örneğin, küresel geometride, tek bir kürenin uçağını sınırlayan dikdörtgen bir üçgenin üç tarafının da bir uzunluğu var. π / 2 (\\ displayStyle \\ pi / 2)Pitagor teoremini çelişiyor.

Bu durumda, Pythagora teoremi, üçgenin dikdörtgeninin gerekliliği, iki üçgen açının toplamının üçüncü olarak eşit olması şartıyla, hiperbolik ve eliptik geometride geçerlidir.

Küresel geometri

Yarıçap küresinde herhangi bir dikdörtgen üçgen için R (\\ displaystyle r) (Örneğin, üçgendeki açı düz ise) taraflarla A, B, C (\\ DisplayStyle A, B, C) Taraflar arasındaki oranın formu vardır:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) (\\ displayStyle \\ cos \\ sol ((\\ frac (c) (r)) \\ sağ) \u003d \\ cos \\ sol ((\\ frac (a) (R)) \\ sağ) \\ cdot \\ cos \\ sol ((\\ frac (b) (r)) \\ sağ))).

Bu eşitlik olarak türetilebilir özel bir durum Tüm küresel üçgenler için geçerli olan küresel kosinüs teoremi:

COS \u2061 (CR) \u003d COS \u2061 (A R) ⋅ COS \u2061 (B R) + SIN \u2061 (A R) ⋅ SIN \u2061 (B R) ⋅ COS \u2061 Γ (\\ DisplayStyle \\ COS \\ Sol ((\\ Frac (c) (r) ) \\ Sağ) \u003d \\ cos \\ sol ((\\ frac (a) (r)) \\ sağ) \\ cdot \\ cos \\ sol ((\\ frac (b) (r)) \\ sağ) + \\ sin \\ sol (( \\ Frac (a) (r)) \\ sağ) \\ CDOT \\ SIN \\ Sol ((\\ frac (b) (r)) \\ sağ) \\ CDOT \\ COS \\ GAMMA). CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B (\\ DisplayStyle \\ OperatorName (CH) C \u003d \\ OperatorName (CH) A \\ CDOT \\ OperatorName (CH) B),

nerede CH (\\ DisplayStyle \\ OperatorName (CH)) - Hiperbolik kosinüs. Bu formül, tüm üçgenler için geçerli olan hiperbolik bir kosinüs teoreminin özel bir durumudur:

CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B - SH \u2061 A ⋅ SH \u2061 B ⋅ COS \u2061 Γ (\\ DisplayStyle \\ OperatorAname (CH) C \u003d \\ OperatorName (CH) A \\ CDOT \\ OperatorName (CH) B- \\ OperatorName (SH) A \\ CDOT \\ OperatorName (SH) B \\ CDOT \\ COS \\ GAMMA),

nerede Γ (\\ DisplayStyle \\ Gamma) - Vertix tarafın tersi olan açı C (\\ displaystyle c).

Hiperbolik bir kosinüs için bir dizi taylor kullanarak ( CH \u2061 X ≈ 1 + x 2/2 (\\ displayStyle \\ operatorame (ch) x \\ yaklaşık 1 + x ^ (2) / 2)) Hiperbolik üçgen azaldığında (yani, A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle b) ve C (\\ displaystyle c) Sıfır için çalışıyorlar), daha sonra dikdörtgen bir üçgendeki hiperbolik ilişkiler, klasik Pythagore'un teoreminin oranına yaklaşıyor.

Uygulama

İki boyutlu dikdörtgen sistemlerde mesafe

Pythagora teoreminin en önemli kullanımı, dikdörtgen koordinat sisteminde iki nokta arasındaki mesafenin belirlenmesidir: mesafe S (\\ displaystyle s) koordinatlarla olan noktalar arasında (A, B) (\\ DisplayStyle (A, B)) ve (C, D) (\\ DisplayStyle (C, D)) eşit olarak:

S \u003d (a - c) 2 + (b - d) 2 (\\ DisplayStyle S \u003d (\\ SQRT ((A-C) ^ (2) + (B - D) ^ (2)))).

Karmaşık sayılar için, Pisagora teoremi, karmaşık bir entegre modül bulmak için doğal bir formül verir - z \u003d x + y i (\\ displayStyle z \u003d x + yi) Uzunluğa eşittir

Pisagor teoremi ile ilişkili olmazdı. Hayatlarında matematikten uzak olanlar bile, "Pythagora pantolonunun" anılarını sürdürmeye devam ediyor - hipotenüsle bir kare, kategorilerdeki iki kareye eşittir. Pisagor Teoreminin popülerliğinin nedeni açıktır: basitlik - güzellik önemidir. Aslında, Pythagore'un teoremi basittir, ancak açık değildir. İkinin çelişki başladı ve özel bir cazip kuvvet verir, onu güzelleştirir. Ancak, pythagora teoremi çok önemlidir. Geometride her adımda tam anlamıyla uygulanır. Bu teoremin yaklaşık beş yüz farklı kanıtı vardır, bu da belirli uygulamalarının dev bir kısmını gösterir.

Tarihsel Çalışmalar, Pytagora'nın ışığının ortaya çıkması yaklaşık 580 M.Ö. Mutlu Menarch Babası endişeleri olan bir çocukla çevrilidir. Oğlu iyi eğitim ve eğitime sahip olma fırsatları.

Gelecekteki harika matematikçi ve filozof, bilime çocuk olarak büyük yetenekler buldu. Hermodamas Pythagoras, müzik ve resmin temelleri hakkında bilgi sahibi olur. Hermodamaların hafızasını kullanmak için, "Odyssey" ve "Iliad" dan şarkıları öğretmeye zorladı. Genç Pythagora'da ilk öğretmen doğa ve sırlarını seviyor.

Birkaç yıl geçti ve öğretmeninin tavsiyesi üzerine Pytagoras, Mısır'daki eğitimlerine devam etmeye karar verir. Bir öğretmenin yardımıyla Pythagora, Samos adasını terk etmeyi başarır. Ama bugüne kadar Mısır'a kadar. Lesbos adasında göreceli zoilinden yaşıyor. Falez Miletsky'nin bir arkadaşı olan filozof Ferkid'e sahip Pythagora'ya aşinalık var. Ferkida Pythagoras, astrolojiyi, tutulmalarını, sayıları, tıp ve diğer zorunlu bilimlerin sırlarını tahmin etmeyi öğrenir.

Sonra milde, Faley ve genç meslektaşı ve bir anksivander öğrencisi, olağanüstü bir coğrafyacı ve astronomun dersini dinler. Miletsky okulunda kaldığı süre boyunca Pisagor'lar kazandı.

Mısır'ın önünde, Dick'te durur, nerede, efsaneye göre, ünlü sidon rahiplerinden öğrenir.

Eski efsanelere göre, Piforas, Babylon'daki Pers Magicles ile bir araya geldi, doğu astrolojisine ve mistiklere katıldı, Keldanlık Bilgeleri'nin öğretileri ile tanıştı. HALDEY, Pythagora'yı, birçok yüzyıl boyunca doğu halkları tarafından birikmiş olan bilgiyi tanıttı: astronomi ve astroloji, tıp ve aritmetik.

On iki yıl, ünlü Yunanlıyı duyan Farsça King Darius Gistas tarafından serbest bırakılana kadar Babil Eskens Pythagoras'ta kaldı. Pythagora zaten altmış, insanlarının birikmiş bilgiye zevk almak için vatanına geri dönmeye karar verir.

Pisagorlar Yunanistan'ı terk ettiğinden, orada büyük değişiklikler vardı. Farsça boyunduruğa kaçan en iyi zihinler, daha sonra Great Yunanistan denilen güney İtalya'ya taşındı ve orada Syracuse, Agrigent, Croton şehirlerinin kolonisi kuruldu. Burada ve Pythagoras'ı kendi felsefi okulunu yaratmayı düşünüyor.

Çabuk, sakinler arasında büyük popülerliği fethediyor. Pisagorlar, hafif dolaşanlarda kazanılan bilgileri ustaca kullanır. Zamanla, bilim adamı tapınaklardaki ve sokaklarda performansları durdurur. Zaten evinde Pisagorlar tıp, ilkeler öğretti siyasi faaliyet, astronomi, matematik, müzik, etik ve çok. Okulundan çıkan siyasi ve devlet rakamları, tarihçiler, matematik ve gökbilimciler. Sadece bir öğretmen değil, aynı zamanda bir araştırmacıydı. Araştırmacılar da öğrencileri oldu. Pisagorlar, müzik ve akustik teorisini geliştirdi, ünlü bir "Pythagorean Gamma" yarattı ve müzikal tonların çalışmasında temel deneyler yapıyor: Matematikte bulunan ilişkileri ifade etti. Pythagora okulunda, ilk defa dünyanın shag benzerliği hakkında tahmin edilmektedir. Bu hareket fikri göksel tel Bazı matematik oranlarına, "dünyanın uyumu" ve "Küreler Müziği" fikirlerine tabidir, daha sonra astronomide devrime yol açtı, ilk önce Pythagora okulunda ortaya çıktı.

Bir bilim adamı ve geometride yaptı. Yunan bilimcisinin geometride katkısı kadar engellendi: "Pythagoras geometriyi dönüştürdü, özgür bilim biçimini veriyor, ilkelerini tamamen soyut olarak dikkate alarak ve teoremleri maddi olmayan, entelektüel bir bakış açısıyla keşfediyordu. Teoriyi buldu. irrasyonel miktarların ve kozmik gövdelerin tasarımı. "

Okulda Pythagora geometrisi ilk önce bağımsız olarak hazırlanır bilimsel disiplin. Pythagores ve öğrencileri ilk önce, soyut geometrik figürlerin özellikleri üzerindeki teorik doktrin olarak ve arazide uygulanan tariflerin bir koleksiyonu olarak değil, teorik doktrin olarak geometriyi sistematik olarak incelemeye başladı.

Pisagore'nin en önemli bilimsel değeri, matematikte kanıtların sistematik tanıtımıdır ve hepsinden önemlisi geometridedir. Kesinlikle konuşan, sadece şimdiye kadar matematikte ve eski Mısırlı ve eski pratik tariflerin bir toplantısı olarak değil, bilim olarak var olmaya başlar. Matematiğin doğumuyla, bilim genel olarak doğar, "Yoktur) İnsan araştırması Matematiksel kanıtlardan geçmediyse, gerçek bilim olarak adlandırılamaz "(Leonardo da Vinci).

Öyleyse, Pythagora'nın liyakarı ve görünüşe göre bir sonraki düşünceye geldiğinden, önce bir sonraki düşünceye geldiğinden, öncelikle, soyut ideal nesneler dikkate alınmalı ve ikincisi, bu ideal nesnelerin özellikleri, ölçümleri değil Nesnelerin sonu ve akıl yürütme yardımıyla, sonsuz sayıda nesne için geçerlidir. Bu, mantık yasalarının yardımıyla, bilinen veya bariz gerçekler için açık olmayan ifadeleri azaltan bu akıl yürütme zinciri matematiksel kanıtlardır.

Pisagores teoreminin açılması, güzel efsanelerin bir halo ile çevrilidir. Brülör, "Başlangıç" kitabının son cümlesinde yorum yapma, yazıyor: "Eski efsaneleri tekrarlamak isteyenleri dinlerseniz, bu teoremin Pythagora'ya geri döndüğünü söylemelisiniz; feda ettiğini söylüyorlar. Bu keşif onuruna boğa. " Bununla birlikte, bir boğanın daha cömert obdellers bir hecatomat'a dönüştü ve bu zaten bir yüz. Ve Cicero, tüm dökülme kanının Pisagor emrinin süzülmesine yabancı olduğunu fark etse de, bu efsanenin Pythagora teoreminden sıkıca büyüdü ve iki bin yılda sıcak cevaplara neden olmaya devam etti.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Belediye genel Eğitim

Lebotorskaya Main kapsamlı okul

Chanisky District Tomsk Bölgesi

MAKALE

bu konuda: Pisagorlar ve teoremi

Yapıldı:

8. sınıf öğrencileri

Pchelkina Irina

Makarova Nadezhda

Önder:

Stastenko v.k.,

matematik öğretmen

Giriş ....................................... .. ........ .................................. .. 3

1. Pythagora biyografisinden ................................................... ............................ ..3

2. Pisagorlar ve Pisagorlar ............................................... ............. ... dört

3. Teoremin yaratılmasının tarihinden ............................................... ............ ...5

4. Teoremin altı kanıtı .................................................. .......... .6

4.1. Antik Çin Kanıtı ........................................... 6

4.2. J. Gardfield'in Kanıtı ............................................... 7.

4.3 En Eski Kanıtı ............................................... .................... .. 8.

4.4. En basitini kanıtlayın ................................................... .... 9

4.5 Antik Kanıtı .................................................. ........... 10

4.6. EUCLID Kanıtı ....................................................... .........1.1.

5. Pythagora teoreminin uygulanması ............................................... ........ 12

5.1. Görevler teoriktir ................................................... ............ 13

5.2. Görevler Pratik (Vintage) ............................................ 14

Sonuç ........................................................... .................................... 15.

Literatür Listesi ................................................... ........................ 16

Giriş

Şöyle akademik yıl Eski zamanlardan ortaya çıktığı için bilinen ilginç bir teoremle tanıştık:

"Dikdörtgen üçgenin hipotennuz üzerine inşa edilen kare, kategorilere dayanan karelerin toplamına eşittir."

Genellikle, bu onayın açılması, Antik Yunan filozofu ve matematik Pythagora (BC VI. Yüzyıl) ile ilişkilendirilir. Ancak antik yazıların incelenmesi, bu ifadenin Pythagora'nın doğumundan çok önce bilindiğini gösterdi.

Bu durumda neden bu durumda Pytagora adıyla ilişkilidir.

Çalışmamızın amacı şuydu: Pisagorlar kim olduğunu ve bu teoremle ne yapması gerektiğini bulmak. Teorem tarihini incelemek, bulmaya karar verdik:

o Bu teoremin başka bir kanıtı var mı?

o İnsanların hayatındaki bu teoremin anlamı nedir?

o Pisagorlar Matematik Geliştirme'de hangi rol oynadı?

1. Pythagora biyografisinden

Pythagora Samossky - Büyük Yunan bilimci. Adı her öğrenciye tanıdık geliyor. Bir antik matematik adını adlandırmayı isterlerse, mutlak çoğunluk Pythagora'yı arayacak. Onun şöhret, Pisagor teoreminin adı ile ilişkilidir. Şimdi, bu teoremin, Pythagora'dan 1200 yıl önce antik Babylon'da bilindiğini ve Mısır'da, 2000 yıl önce, partilerin 3, 4, 5'i bilinen bir dikdörtgen üçgen bilindiğini biliyorduk. Bu eski bilim insanının adı.

Pisagore'nin hayatı hakkında güvenilir bir şekilde bilinmiyor, ancak adı ile bağlantılı çok sayıda Efsaneler.

Pisagorlar M.Ö. 570 yılında doğdu. E Samos adasında. Pythagora'nın babası Menarch oldu - değerli taşlar üzerinde bir carver oldu. Menarh, Apulucea'ya göre, "Hemma'yı kesmek için ustalar arasında ünlüydü, ancak servetten daha zenginlikten ziyade ortaya çıktı. Pythagora'nın annesinin adı korunmadı.

Pisagorlar güzel bir görünüme sahipti, uzun bir sakal giydi ve başının üstünde altın bir diadem. Pisagoralar bir isim değil, filozofun her zaman haklı ve ikna edici bir şekilde Yunan Oracle'ı sevdiği gerçeğinin için aldığı takma ad. (Pisagorlar - "Konuşma Yapan")

Genç Pythagora öğretmenleri arasında, hermodamant ve Ferkid Syros'un yaşlı bir adamı vardı (Hermodamant ve Ferkid'in Pythagora'nın ilk öğretmenleri olan hermodamant ve ferkid olduğuna dair güven olmamasına rağmen). Bütün günler, genç pidhagores'u, Kifara ve Homer Hexameters'ın melodisi olan Hermodamant'ın yaşındaki ayaklarına geçirdi. Büyük Homer Pyfagor'un müzik ve şiiri için tutku, yaşam için korunmuş. Ve, öğrenci kalabalığı ile çevrili tanınmış bir adaçayı olan Pyfagor, güne Homer'in şarkılarından birini söyleyerek başladı.

Ferkoid bir filozoftu ve İtalyan Felsefe Okulu'nun kurucusu olarak kabul edildi. Böylece, eğer hermodamant, genç Pythagora'yı müzik çemberine sokarsa, Ferkid aklını logolara çekti. Ferkid, Pyphagora'nın bakışlarını doğaya gönderdi ve bir tanesi ilk ve baş öğretmeni görmemesi tavsiye edildi.

Ancak olabileceği gibi, genç Pythagora'nın huzursuz hayal gücü çok kısa sürede küçük bir meme başı yakından geldi ve başka bir bilim adamı ile buluştuğu akarlara gider. Fales. Fales, Mısır'da pytagoraların yaptığı bilgi için gitmesini tavsiye etti.

M.Ö. 550'de E Pisagorlar bir karar verir ve Mısır'a gidiyor. Öyleyse, bilinmeyen bir ülke ve bilinmeyen bir kültür Pythagorea'dan önce açılıyor. Pythagora tarafından bu ülkede hayran ve şaşırdı ve Mısırlıların hayatının bazı gözlemlerinden sonra Pythagore, kale rahipleri tarafından korunan bilginin yolunun din yoluyla yattığını fark ettim.

Mısırlı çocuklar ile birlikte kireçtaşı plakaları için oturdu ve o siyah kıvırcık sakallı olgun elin. Ancak, sakallı elinin daha küçük kulaklarının aksine, sırtında değildi ve kafa yerinde durdu. Çok yakında, Pythagoras, sınıf arkadaşlarını çok fazla ele geçirdi. Ancak Scribes Okulu, yalnızca gizli bilgiye yönelik ilk adımdı.

Mısır'da on bir yıllık çalışmadan sonra Pythagoras eve gidiyor, böylece Babil esaretine girme yolunda. Orada Mısırlı'dan daha gelişmiş olan Babil Bilimi'ni karşılıyor. Babilliler doğrusal, kareyi ve bazı tür kübik denklemleri çözebildiler. Pythagore'un teoremini Pythagora'dan önce 1000 yıldan fazla kullandılar. Esaretten lanet olası, şiddetin atmosferi yüzünden uzun zamandır evde kalamadı ve tiranlık orada hüküm sürdü. Croton'a geçmeye karar verdi (Kuzey İtalya'daki Yunan kolonisi).

Pythagora'nın hayatındaki çok görkemli dönemin başladığı krotonda. Orada, üyeleri sözde Pythagorean yaşam tarzını yönlendirmek zorunda olan dini-etik bir kardeşlik ya da gizli bir manastır düzen gibi bir şey kurdu.

2. Pisagorlar ve Pisagoreler

Pisagorlar, Apamentin Yarımadası'nın güneydeki Yunan kolonisinde, Pisagor Birliği tarafından çağrılacak manastır düzeni gibi dini-etik bir kardeşlik düzenledi. Birliğin üyeleri belirli ilkelere uymaktı: İlk önce, ilk önce, ikinci olarak, üçüncüsü, üçüncüsü, yüksek zevk için çabalıyor.

Moral ve etik düzenlemelerin sistemi, pisagor tarafından öğrencilerine kadar, Pythagorean'ın tuhaf ahlaki kodunda "Altın) toplandı.

antik çağda çok popüler olan şiirler, orta yaşların dönemi ve Rönesans dönemi. Pisagor işgal sistemi üç bölümden oluşuyordu:

· Sayılarla ilgili öğretiler - aritmetik,

· Rakamlardaki öğretiler - Geometri,

· Evrenin yapısındaki öğretiler - astronomi.

Pythagores tarafından belirtilen eğitim sistemi birçok yüzyıllardır vardı.

Pythagoreans, Tanrı'nın dünya düzeninin sayısını belirlediğini öğretti. Tanrı birliktir ve dünya çok ve karşıtlardan oluşur. Muhaliflerin birliğini birleştirmelerini ve her şeyi uzamaya yol açan şey, uyum var. Uyum ilahidir ve sayısal ifadelerde yatmaktadır. Sonuna kadar uyumunu kim inceler, ilahi ve ölümsüz olacak.

Müzik, uyum ve sayılar, Pisagorların öğretilmesine ayrılmaz bir şekilde bağlandı. Matematik ve sayısal gizemli mistikler fevkalade olarak karıştırıldı. Pisagoralar, sayının her şeyin özü olduğuna ve evrenin bir harmonik sayıların ve ilişkilerinin olduğu olduğuna inanıyordu.

Pythagora'nın okulu, bilimin geometrisi doğası için çok şey yaptı. Pisagore yönteminin ana özelliği, geometriyi aritmetik ile birleştirmekti.

Pisagorlar birçok oranda oranlar ve ilerlemelerle uğraştı ve muhtemelen rakamların benzerliği, sorunun çözümü kredilendirildiği için: "Bu iki rakama göre, üçüncü, verilerin eşit birine ve benzer bir saniye oluşturun. "

Pisagorlar ve öğrencileri poligonal, dost, mükemmel numaralar kavramını tanıttı ve özelliklerini inceledi. Bir bilgi işlem uygulaması olarak aritmetik, Pythagora ile ilgilenmedi ve "tüccarın çıkarlarının aritmetiklerini" koydu.

Pythagoras, dünyanın bir şekil şekli olduğunu ve evrenin merkezinin merkezi olduğu ve güneşin, ayın ve gezegenlerin kendi hareketlerine sahip olduğu, hala yıldızların günlük hareketlerinden farklı olan evrenin merkezi olduğunu düşünenlerden biri.

Pisagorların dünyanın hareketi üzerindeki öğretimi Nikolai Copernicus, heliosentrik öğretiminin arka planı olarak algılanıyor. Kilisenin "sahte Pisagor öğretimi" ile Koperniküs sistemini ilan etmesini şaşmamalı.

Pythagora okulunda, öğrencilerin keşfedilmesi öğretmene atfedildi, bu nedenle Pythagore'un ne yaptığını ve öğrencilerinin ne olduğunu belirlemek neredeyse imkansız.

Anlaşmazlıklar, Üçüncü Binyıl için Pisagor Birliği çevresinde yapılır, ancak genel bir görüş yoktur. Pythagoreans, bir tür emir olan çok sayıda sembol ve işaret vardı: örneğin, "Ölçekleri takip etmeyin", yani. Adaleti ihlal etmeyin; Yangın bıçağı bir bıçak değildir ", yani sinirli kelimelerle kızgın insanlara zarar vermez.

Ama ana Pisagor sembolü -

sağlık sembolü ve kimlik işareti -

bir pentagram ya da Pisagor yıldızı vardı -

diagonals tarafından oluşturulan yıldız pentagon

sağ pentagon.

Pisagor Birliği üyeleri, Yunanistan'ın birçok şehrinin sakinleri idi.

Toplumunda Pythagoreans kadınları kabul etti. Birlik yirmi yıldan fazla bir süredir gelişti ve sonra üyelerine zulmetmeye başladı, öğrencilerin çoğu öldürüldü.

Pythagora'nın kendisinin ölümü hakkında birçok farklı efsane vardı. Ancak Pythagora ve öğrencilerinin öğretileri yaşamaya devam etti.

3. Pythagora teoremi tarihinden

Halen, bu teoremin Pythagore tarafından açılmadığı bilinmektedir. Bununla birlikte, bazıları, ilk önce tam teşekküllü kanıtı veren Pisagorlar olduğuna inanıyor ve diğerleri bu liyakatta onu reddetti. Pythagora'ya bir miktar öznitelik, Euclidean'ın "başladığının" ilk kitabında yol açtığı kanıtı. Öte yandan, kanıtın "başlangıç" üzerindeki kanıtın öklide'ye ait olduğunu iddia ediyor.

Gördüğümüz gibi, matematik öyküsü, Pythagora'nın ömrü ve matematiksel aktivitesinin yaşamında güvenilir belirli verileri korudu. Ancak efsane, teoremin açılışına eşlik eden en yakın koşulları bile bildirmektedir. Birçok insan, Alman yazar-romancı Shametso'nun sonnetini tanıyor:

Pitagore teoreminin tarihsel incelemesi ile başlayalım antik Çin. Burada, Chu-Pey'in matematiksel kitabına özel dikkat çekiyor. Bu makalede, bu Pythagora üçgeni ile Pythagora üçgeni hakkında 3, 4 ve 5:

"Düz açı, kompozit parçalara ayrıştırılırsa, bunun ucunu bağlayan çizgi, taban 3 ve yükseklik 4" olduğunda 5 olacaktır. .

İnşaat yollarını çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alın. Ve biz renkli şerit üzerinde 3M mesafede bağlanırız. Bir ucundan ve diğerine 4 metre.

Düz açı, partiler arasında 3 ve 4 metre uzunluğunda sonuçlandırılacaktır. Aynı kitapta, BASHARA'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biri ile çakışan bir çizim önerilmektedir.

Kantor (En Büyük Matematik Tarihi Tarihi), eşitliğin 3 ² + 4 ² \u003d 5²'nin Mısırlıların yaklaşık 2300'ü olduğu için zaten bilindiğine inanıyor. ER, Tsar Amenhechta I'de (Berlin Müzesi Papirüs 6619'a göre).

KANTOR, Harphedonapti veya "Halat Tensörleri" nin üzerine, partiler 3, 4 ve 5 olan dikdörtgen üçgenlerle düz açılar yaptılar.

Theorem Pythagorean Babil'leri hakkında birkaç tane daha biliniyordu. Bir metinde, Hammurabi'ye atfedilebilir, yani. M.Ö. 2000 yılına kadar, dikdörtgen üçgenin hipotenisinin yaklaşık bir hesaplanması verilmiştir; Buradan, iki aralıkta en azından bazı durumlarda dikdörtgen üçgenlerle hesaplamalar yapabildiği sonucuna varabiliriz.

Hindusta geometri Kült ile yakından ilişkiliydi. Hypotenuse Meydanı'ndaki teoremin Hindistan'da yaklaşık 8. yüzyılda ERA'ya bilinmesi çok muhtemeldir. Tamamen ritüel reçetelerle birlikte, sulvasutralar olarak adlandırılan geometrik olarak teolojik doğanın denemeleri vardır. M.Ö. 4 veya 5. yüzyıla kadar ilgili bu yazılarda, partilerin 15, 36, 39 ile bir üçgenin yardımı ile düz bir açı yapımıyla görüşüyoruz.

Orta yaşlarda Pythagora teoremi, mümkün değilse, en azından iyi matematiksel bilgi değilse sınırı tanımladı. Şimdi bazen okul çocuklarına dönüşen Pythagoreo teoreminin karakteristik çizimi, örneğin bir profesör veya bir silindirde bir profesör veya insan şeklinde bir profesörde, o günlerde genellikle matematiğin bir sembolü olarak kullanıldı.

Sonuç olarak, Yunan, Latince ve Almanca dillerinde Pythagora teoremi'nin çeşitli formülasyonlarını sunuyoruz.

Euclida Bu teoremi devletler (değişmez çeviri):

"Dikdörtgen bir üçgende, dik açıya doğru uzanan tarafın karesi, kenarlardaki dik bir açıya giren karelere eşittir."

Arapça metnin Latince çevirisi İlan etmek (Gerhard tarafından yapılan (yaklaşık 900) Kremonik (12. yüzyıl) okur (çevrilmiş):

"Her dikdörtgen üçgende, tarafta oluşturulan kare, doğrudan bir açıyla gerilmiş, iki tarafın köşesine giren iki tarafın toplamına eşittir"

Geometri Culmonensis'te (yaklaşık 1400 yıl), teorem okunur (çevrilmiş):

“Böylece, uzunluk tarafı ile ölçülen karenin karesi, doğrudan köşeye bitişik olan iki tarafında ölçülen iki karede olduğu kadar büyüktür "

Oksidian'ın Rusça çevirisinde "Bean", Pythagora Teoremi belirtildi:

"Dikdörtgen bir üçgende, doğrudan köşeye karşı olan bir kare, düz bir açı içeren taraflardan karelerin toplamına eşittir."

Gördüğümüz gibi farklı ülkeler Ve farklı diller, bize teoremlere tanıdık çeşitli formülasyon seçenekleri vardır. Farklı zamanlarda ve farklı dillerde oluşturulan, bir matematiksel kalıbın özünü yansıtıyorlar, kanıtı da birkaç seçeneğe sahip.

4. Pythagora teoreminin altı metni

4.1. Eski Çin kanıtı

Antik Çin çizim dört eşit dikdörtgen üçgen gümrük ile a. , b. ve hipotenüs dan dış anahatları bir parti ile bir kare oluştururlar ki a. + b. ve iç - kare kare dan hipotenuse üzerine inşa edilmiştir

2 + 2AB + B2 \u003d C2 + 2AB

2 + B2 \u003d C 2

4.2. J. Gardfield'in (1882) kanıtı

İki eşit dikdörtgen üçgen var, böylece bunlardan birini diğerine devam etmesi için rulo.

Söz konusu trapeziumun alanı, yükseklik için gerekçenin yarısı çalışma işi olarak yer almaktadır.

Öte yandan, trapezyumun alanı, ortaya çıkan üçgenlerin alanlarının toplamına eşittir:

Bu ifadeleri eşitlemek, biz:

veya c 2 \u003d a. 2 + b. 2

4.3. En eski kanıtı

(Bhaskara'nın eserlerinden birinde bulunur).

Yan tarafının, dikdörtgen üçgen Ave'nin hipotenuzuna eşit olan Absd karesinin (AV \u003d C, \u003d a,

SK T \u003d A, DL CK, AM DL

ΔABE \u003d ΔBCK \u003d ΔCDL \u003d ΔAMD,

yani kl \u003d lm \u003d me \u003d ek \u003d a-b.

4.4. En basit kanıt

4.5. Eski Hintlilerin Kanıtı [ 2]

Bir tarafı olan kare (A + B), parçalara veya Şekil A'da olduğu gibi veya Şekil B'deki gibidir.). Bu kısımları açık 1,2,3,4 Her iki çizimde de aynı. Ve eğer eşit (boşluk) eşitse, daha sonra eşit kalır, yani. c 2 \u003d A 2 + b. 2 .

Bununla birlikte, bu akıl yürütmesine ait eski Hintliler genellikle kaydetmedi ve sadece bir kelimeyle eşlik etti:

Bak!

4.6. Korumalı Euclid

İki bin yıl içinde, Euclide tarafından icat edilen Pitagora teoreminin en yaygın kanıtı en yaygın olanıydı. Ünlü başlangıç \u200b\u200bkitabına yerleştirilir.

Euclidea, BN'nin yüksekliğini hipotenüsün üzerindeki doğrudan açısının tepesinden düşürdü ve devamının kareyi iki dikdörtgen için bölediği, karelerin kategorileri üzerine inşa edilen karelerin karelerine eşit olduğunu savundu.

Bu teoremin kanıtıda kullanılan çizim, "Pythagora pantolonu" adlı bir şaka. Uzun zamandır, matematik biliminin sembollerinden biri olarak kabul edildi.

Pythagore'un orta çağların teorem öğrencilerinin kanıtı, onu çok zor olarak kabul etti ve Asinorum-Ossened Köprüsü ya da Elefuga-Escape "kötü", ciddi matematik eğitimi olmayan bazı "sefil" öğrencilerinin geometrisinden kaçtı. Teoremleri anlayışsız olarak kalpten öğrenmiş ve bu nedenle "eşekler" gözeten zayıf öğrenciler, dayanılmaz bir köprü gibi onlar için hizmet veren Pythagora teoreminin üstesinden gelemedi. Pythagore teoremine eşlik eden çizimler nedeniyle, öğrenciler "yel değirmeni" olarak adlandırılan, "her taraftaki Pythagora pantolonu eşittir," boyalı karikatürler.

5. Pisagor teoreminin uygulanması.

5.1. Görevler teorik moderndir

1. Çevre Rhombus 68 cm. Ve köşegenlerinden biri 30 cm'dir. Eşkenar dörtgenin farklı diyagonalının uzunluğunu bulun.

2. CMR'nin KR dikdörtgen üçgesinin hipotenüsü, görülmeye eşittir ve MP rulo 4 cm'dir. Medyan RS'yi bulun.

3. Dikdörtgen üçgenin kenarlarında kareler inşa edilmiştir ve

S 1 -S 2 \u003d 112 cm2 ve S3 \u003d 400 cm2. Üçgenin çevresini bulun.

4. DAN üçgen ABC, Açı C \u003d 90 0, CD AB, AC \u003d 15 cm., AD \u003d 9 cm.

Bul Av.

5.2. Pratik Vintage Görevleri

5. Yüklemek için direği takmak için

4 kablo. Her kablonun bir ucu, 12 m yüksekliğine, diğerinin zemin üzerine, direkden 5 m mesafesinde tutulmalıdır. Direği sabitlemek için kablonun 50 m'si olacak mı?

6. Hint Matematik Görevi XII Yüzyıl Bhaskara

"Nehrin kıyısında, yalnız kavak.

Birdenbire bagajını parlayan rüzgar terk edildi.

Zavallı kavak düştü. Ve doğrudan köşe

Nehir nehri ile varil oldu.

Şimdi nehrin yerinde bunu hatırla

Sadece dört ayak genişliğinde.

Üst nehrin kenarına eğildi.

Bagajdan gelen her şeyin üç feet olmaya devam ediyor.

Sana soruyorum, yakında söylerim:

Kavak büyük yükseklik olarak mı? "

7. "Aritmetik" ders kitabından gelen görev Leonty magnitsky [ 19]

"Merdiven duvarı, merdiven, merdiven, yüksekliğin duvarları 117 fit vardır ve merdivenleri 125 durağın uzunluğuna kadar yapın.

Ve Vedati istediği, duvardan sizleri başarmak için alt ucun merdivenin bir merdiveni alır. "

8. Çin'den "dokuz kitaptaki matematiğin" görevi

"1 Zhang \u003d 10 Chi'nin bir tarafına sahip bir gölet var. Merkezde, 1 chi için suyun üzerinde performans gösteren Reed tarafından büyür. Eğer Reed'i kıyıya çekerseniz, o zaman ona dokunur.

Sorulur: Suyun derinliği nedir ve Cantham'ın uzunluğu nedir? "

Sonuç

Pythagore teoremi o kadar ünlüdür ki onu duymamış bir insanın hayal etmenin zor olduğu. İnternet hakkında bilgi dahil olmak üzere bir dizi tarihi ve matematiksel kaynak okuduk ve Theorem Pythagora'nın yalnızca tarihi tarafından değil, aynı zamanda yaşam ve bilimde önemli bir yer kaplaması gerçeğiyle de ilginç olduğunu gördük. Bu, bu teoremin metninin çeşitli yorumları ve bu işte verilen kanıtlarının yoluyla kanıtlanmaktadır.

Öyleyse, Pythagora teoremi ana ve biri en önemli geometri teoremini söyleyebilir. Değeri, ondan veya yardımıyla çoğu geometri teoremlerini geri çekebilir. Pythagore'un teoremi dikkat çekicidir ve kendi içinde açık olmaması. Örneğin, eşit bir üçgenin özellikleri doğrudan çizimde görülebilir. Fakat dikdörtgen üçgene ne kadar baktığımız, partileri arasında basit bir oran olduğunu görmeyeceksiniz: C 2 \u003d a 2 + B2. Bu nedenle, kanıtı için genellikle netliği kullanır.

Pythagora'nın liyakarı, bu teoremin tam teşekküllü bir bilimsel kanıtı verdiğinden oluşuyordu.

Bilim insanının kendisinin ilginç bir kişiliği, hafızasının bu teoremi korumak için hiçbir nedeni olmayan ilginçtir. Pythagoras, müzik ve sayıların, iyi ve adalet, bilgi ve sağlıklı yaşam tarzına yönelik okulunun organizatörü, okulunun organizatörüdür. Bizim için bir örnek olarak hizmet verebilir, uzak torunlar.

Edebiyat ve İnternet kaynakları:

1. G.i. Glezer Matematik Tarihi Okulda VII - VIII Sınıfları, Öğretmenler için El Kitabı, - M: Eğitim 1982g.

2. I.Y. Demada, n.ya. Vilenkin "Matematik ders kitabının sayfalarının arkasında" 5-6 sınıf, Moskova, Eğitim 1989'luk öğrenciler için ödenek.

3. I.G. Zenkevich "Matematiğin Estetik Dersi", M.: Eğitim 1981.

4. Vikhtykova n.v. "Pisagor teoremi" ders çalışması, Anzhero-Sudzhensk, 1999.

5. V. Litzman.teorema Pythagora, M. 1960.

6.V. Voloshinov "Pythagoras" M. 1993.

7. L. F. Pichurin "Ders Kitabı Cebirinin Sayfaları için" M. 1990.

8. A.N. Cemers "10. sınıfta Geometri" M. 1986.

9. V. V. Afanasyev "Matematiksel problemleri çözme sürecinde öğrencilerin yaratıcı aktivitesinin oluşumu" Yaroslavl 1996.

10. P. I. Altynov "testleri. Geometri 7 - 9 cl. " M. 1998.

11. "Matematik" gazetesi 17/1996.

12. "Matematik" gazetesi 3/1997.

13. N. P. Antonov, M. Ya. Kârlı, V. Nikitin, A. I. Sankatkin "İlköğretim matematik için görevlerin toplanması". M. 1963.

14. G. V. Dorofeev, M. K. Potapov, N. KH. ROSOV "Matematik Ödeneği". M. 1973.

15.A. A. Sayı ve Büyüklükteki Pythagorean Doktrini. Novosibirsk 1997.

16. "Gerçek numaralar. İrrasyonel ifadeler »8. sınıf. Tomsk Üniversitesi Yayınevi. Tomsk - 1997.

17. M.S. Atanasyan "Geometrisi" 7-9 sınıf. M: Eğitim, 1991

18. www.moy pifagor .narod.ru /

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/terem_piphagora

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm.