Bir küreyi ters yüz etmek. Matematiği sevmeyenler için

Büyük matematikçi David Hilbert bir keresinde, bir matematik teorisinin ancak tanıştığınız ilk kişiye sunulabildiğinde mükemmel kabul edilebileceğini söyledi. Hilbert'in takipçileri tam bir çaresizlik içinde, bu tarife göre yaşamaya çalışıyorlar. Matematik giderek daha fazla uzmanlaşıyor ve şimdi bilgili bir matematikçi bazen meslektaşlarına çözdüğü problemlerin özünü açıklamakta bile zorlanıyor. Bununla birlikte, zaman zaman, bu bilimin önde gelen ve görünüşte anlaşılmaz dallarında yapılan araştırmalar, meslekten olmayanlar için ilginç olan ve aynı zamanda aşırı basitleştirmeden açıklanabilen bir keşfe yol açar. Bunun çarpıcı bir örneği, Stephen Smale'in 1959'da yayınlanan, kürenin düzenli eşlemeleri denen teoremidir.

Smale'in o zamanlar çalıştığı alan, modern matematiğin en soyut dallarından biri olan diferansiyel topolojiydi. Yine de Smale teoreminin en çarpıcı sonuçlarından biri için görsel bir açıklama bulmanın mümkün olması daha da şaşırtıcıdır. Yani, kürenin nasıl ters çevrileceğini gösterebilirsiniz.

Alışılmış anlamda, bu elbette imkansızdır: kürenin mutlaka parçalanması gerekir. Ancak diferansiyel topolojide - zihinsel olarak, elbette - yüzeyi kendi içinde sürüklemesine izin verilir - bunlar bu bilimdeki "oyunun kuralları" dır. Ama sonra basit bir çözüm hemen gözünüze çarpar.

Zıt tarafları birbirinden geçene kadar merkeze doğru sıkmak gerekir (I). İç, boyalı yüzey (II) iki zıt kenardan ortaya çıkar. Dış yüzeyin (II) kalan kısmının oluşturduğu halka tamamen kaybolana kadar iç yüzeyi “çekme” işlemine devam edelim. Ne yazık ki, bu süreçte halka, sıkılması gereken sıkı bir halka (III) oluşturur. Sonuç bir yara izidir (IV) ve bu, diferansiyel topologları tatmin etmez, çünkü onlar yalnızca herhangi bir köşesi ve bükülmesi olmayan "pürüzsüz yüzeyleri" dikkate alırlar.

Yani görev, küreyi, bukleden kurtulurken bir yara izi kalmayacak şekilde ters yüz etmektir. Ve burada sezgi yine sorunun çözülemez olduğunu gösteriyor. Smale bir çözümün varlığını kanıtlayabileceğini ilk duyurduğunda kimse ona inanmamıştı. Ancak sezgi yanlıştı: Smale'in ispatında tek bir mantıksal hata yoktu. Matematikçiler, ispatı adım adım takip etmenin ve küreyi tersine çeviren deformasyonun açık bir tanımını bulmanın teorik olarak mümkün olduğuna ikna oldular. Ama o kadar zordu ki umutsuz görünüyordu. Smale'in keşfinden bir süre sonra, bir küreyi iz bırakmadan ters yüz etmenin prensipte mümkün olduğu biliniyordu, ancak hiç kimse bunun nasıl yapılacağına dair en ufak bir fikre sahip değildi.

Ancak sonunda matematikçiler bu görevle başa çıktılar. Nasıl - resimlere bakarak anlayacaksınız. Onlar eğlenceli.

Smale'in ispatı sadece çizimlerden oluşmamış olsa da. Çalışmalarında hiç var olmamaları ilginçtir - soyut analitik aygıtında örtük olarak bulunan bu rakamlar çok karmaşıktır. En yaratıcı sanatçı onları tasvir edemezdi - matematikçilerin hayal gücü inanılmaz. Ama belki de daha da şaşırtıcı olanı, en karmaşık fikirleri, çizimlere başvurmadan birbirlerine iletebilmeleridir. Kürenin evriminin hikayesi bunun açık bir kanıtıdır. Onu meslektaşı Bernard Morin'den öğrenen Fransız topolog Rene Thomas ve o da bu "geri dönüşün" mucidi olan Amerikan Arnold Shapiro'dan halk tarafından tanındı. Bernard Morin'in kör olduğu göz önüne alındığında, bu özellikle merak uyandırıyor.

Bu resimler, diferansiyel topolojinin gerekliliklerini ihlal etmeden bir küreyi nasıl tersine çevirebileceğinizi gösterir. İlk önce gri kürenin (A) karşılıklı kenarlarını birbirlerinin içinden iterek bir araya getirmeniz gerekir. Daha sonra boyalı yüzey her iki tarafta da belirir (B). Daha sonra, iki "bacak" (O) üzerinde bir eyere benzeyen bir yüzey elde etmek için boyalı parçalardan birini (C) gerin. Bu iki ayak saat yönünün tersine bükülür ve E yüzeyi elde edilir.Bu yine (P) şeritler yardımıyla "kesit halinde" gösterilir, bu da "yaralı küre"de olduğu gibi on farklı kesiti gösterir. seviyeler.

Ayrıca, her aşamada elde edilen yüzeyleri tasvir etmenin bir anlamı yoktur - bunlar çok karmaşıktır. Ama isterseniz, 10 seviyedeki kurdeleleri de düşünebilir ve çizimi zihinsel olarak tamamlayabilirsiniz. Yine de bir aşamayı (H2) göstermeye karar verdik - sadece ortaya çıkan rakamların ne tür olduğunu hayal edebilmeniz için. Yüzey G, yüzey P'nin eyerinin 90° sıkıştırılması ve döndürülmesinden sonra belirir.

Birkaç adım daha. Yani: I ve J aşamaları arasında, aynı şekle sahip iki bacak birbirinin içinden geçer. J adımındaki her şerit şeklindeki yüzey bölümü, birbirine bakan iki gri tarafa sahiptir. J ve K aşamaları arasında, iç katman genişler ve dış katman büzülür; K yüzeyi elde edilir - J ile tamamen aynı, sadece renkler tersine çevrilir.

Sonra tüm adımlar ters sırada gider. I, H, C vb. resimlere bakarak onlar hakkında fikir edinebilirsiniz. Her resimdeki şeritlerin renklerini değiştirmeniz yeterlidir. Bu ikinci resim sırasının sonunu sunuyoruz. Yüzey L, F yüzeyine, L2'den E'ye vb. karşılık gelir.

Renkli küre (yüzey P), gri küreye (yüzey A) karşılık gelir. Böylece deformasyon tamamlanmış olur ve iz kalmaz. Bu numaranın olasılığı ilk olarak S. Smale tarafından kanıtlandı. Ve tüm ardışık deformasyon aşamaları A. Shapiro tarafından icat edildi ...

Not: İngiliz bilim adamları başka ne hakkında konuşuyorlar: bir küreyi tersine çevirme mekanizmasının bazen yetenekli bir programcı tarafından oluşturulan bir PDF programından daha felsefi olmadığı.

3B uzayda, daldırma sınıfında, yani olası kendi kendine kesişmelerle, ancak bükülmeler olmadan tersine çevrilebilir. Başka bir deyişle, kürenin her deformasyon anında görüntüsü düzgün, yani türevlenebilir kalmalıdır.

Bir kürenin tersine çevrilmesi hiç de mantıksal bir paradoks değildir, bir teoremdir, sadece çok mantıksız bir tanesidir. Daha doğrusu:

Pek çok illüstrasyon ve film olmasına rağmen, böyle bir dalış ailesinin belirli bir örneğini sunmak oldukça zordur. Öte yandan, böyle bir ailenin var olduğunu kanıtlamak çok daha kolay ve Smale'in yaptığı da tam olarak buydu.

Öykü

Bu paradoks, 1958'de Smale tarafından keşfedildi. Efsaneye göre, Smale bu teoremi yayınlamaya çalıştığında, Gauss haritasının derecesinin böyle bir "tersine çevirme" sürecinde korunması gerektiğinden, iddianın açıkça yanlış olduğunu söyleyen bir yanıt aldı. [ ] Gerçekten de, Gauss haritalamasının derecesi korunmalıdır, özellikle bu, dairenin düzlemde “çevrilemeyeceğini”, ancak Gauss haritalamalarının derecelerinin y olduğunu gösterir. $F$ ve $-F$ v $(\backslash mathbb\; R)^3$ her ikisi de 1'e eşittir. Ayrıca, herhangi bir gömme derecesi $S^2\backslash to\; (\backslash mathbb\; R)^3$ 1'e eşittir.

Varyasyonlar ve Genellemeler

"Bir küreyi tersine çevirmek" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

• küçük Stephen İki kürenin daldırma sınıflandırması. Trans. amer. Matematik. soc. 90 1958 281-290.
• Francis, J. Moskova: Mir, 1991. Bölüm 6. Küreyi tersyüz etmek.

notlar

Bir kürenin dönüşünü karakterize eden bir alıntı

"Yine albay," dedi general, "ancak insanların yarısını ormanda bırakamam. Yalvarırım, yalvarırım," diye tekrarladı, "pozisyon alın ve saldırıya hazırlanın.
"Ve senden kendi işine karışmamanı istiyorum," diye yanıtladı albay heyecanlanarak. - Eğer bir süvari olsaydın ...
- Süvari değilim Albay ama ben bir Rus generaliyim ve eğer bilmiyorsanız...
Albay birdenbire ata dokunarak ve kırmızı-mor bir renge bürünerek, Çok iyi bilinir, Ekselansları, diye bağırdı. - Zincirlere katılmak ister misiniz ve bu pozisyonun değersiz olduğunu göreceksiniz. Zevkiniz için alayımı yok etmek istemiyorum.
"Unutuyorsun Albay. Zevkimi gözlemlemiyorum ve bunun söylenmesine izin vermeyeceğim.
General, albayın cesaret turnuvasına davetini kabul ederek, göğsünü dikleştirerek ve kaşlarını çatarak, sanki tüm anlaşmazlıkları orada, zincirde, kurşunların altında karara bağlanacakmış gibi, onunla birlikte zincire doğru sürdü. Zincire ulaştılar, üzerlerinden birkaç kurşun geçti ve sessizce durdular. Zincirde görülecek bir şey yoktu, çünkü daha önce durdukları yerden bile süvarilerin çalılıklardan ve vadilerden geçmesinin imkansız olduğu ve Fransızların sol kanadı pas geçtiği açıktı. General ve albay, savaşa hazırlanan iki horoz boş yere korkaklık belirtileri beklerken birbirlerine baktıklarında sert ve anlamlı bir şekilde baktılar. İkisi de testi geçti. Söylenecek bir şey olmadığı için ve ne biri ne de diğeri, mermilerin altından ilk çıkanın o olduğunu söylemek için bir sebep vermek istemediğinden, orada uzun süre dururlar, karşılıklı cesaret yaşarlardı, eğer öyleyse, O sırada ormanda, neredeyse arkalarında silah sesleri ve boğuk, birbirine karışan bir çığlık duyuldu. Fransızlar, ormanda bulunan askerlere yakacak odunla saldırdı. Hafif süvariler artık piyadeyle birlikte geri çekilemezdi. Geri çekilmeden bir Fransız hattıyla sola doğru kesildiler. Şimdi, arazi ne kadar elverişsiz olursa olsun, ilerlemek için saldırmak gerekiyordu.
Atlarına henüz binmeyi başaran Rostov'un hizmet verdiği filo, düşmana karşı durduruldu. Yine, Ensk köprüsünde olduğu gibi, filo ile düşman arasında kimse yoktu ve aralarında, onları ayıran, aynı korkunç belirsizlik ve korku çizgisini, dirileri ölülerden ayıran bir çizgi gibi yatıyordu. Tüm insanlar bu çizgiyi hissetti ve çizgiyi geçip geçmeyecekleri ve çizgiyi nasıl geçecekleri sorusu onları endişelendirdi.

"Sıradan" iki boyutlu kürenin S 2 kendi içinden geçebilen elastik bir malzemeden yapılmıştır. $$\mathbb(R)^3$$'daki olağan üç boyutlu uzayda bir küreyi kırılmalar ve kırılmalar olmadan, ancak olası kendi kendine kesişme ile (yani, daldırma sınıfında) tersyüz etmek mümkün müdür?

2000 yılında Smale, 21. yüzyılda çözülmesi gerektiğine inandığı 18 zorluğun bir listesini derledi. Bu liste Hilbert problemlerinin ruhuna uygun olarak derlenmiştir ve daha sonraki Milenyum Problemleri gibi, Riemann hipotezini, P ve NP sınıflarının eşitliği sorununu, Navier-Stokes denklemlerini çözme problemini ve Poincare'i içerir. varsayım şimdi Perelman tarafından kanıtlandı. Smale, listesini büyük olasılıkla Hilbert'in problemler listesinden bu liste fikrini alan Uluslararası Matematik Birliği Başkanı Arnold'un isteği üzerine derledi.

Ve son olarak, soru: Daireyi düzlemde "döndürmek", yani, yukarıdaki gibi sürekli bir daldırma ailesi bulmak mümkün müdür?

Yorumlar

Meraklı. Aklıma şu şey geliyor. Stereografik izdüşüm şeklinde bir küre - sonsuzlu bir düzlem - hayal edelim. Sonra küreyi ters çevirmek, uçağın diğer yönde "katlanması" gibi görünür, yani. farklı bir yönelimle. Mantıkta bir yerde bir boşluk var, değil mi?

Gerçek şu ki, stereografik bir izdüşüm, bir küre üzerinde, düzlemdeki hiçbir şeye karşılık gelmeyen bir noktanın seçilmesini ima eder ve bu, oyunun kurallarını değiştirir, çünkü koşullara göre, küre kırılamaz ve tam olarak nokta delinemez.

Prensip olarak, sonsuz uzak bir nokta ile zayıf bir nokta olduğundan şüpheleniyordum. Sadece bağımsız bir görüş bilmek istedim;).

Misha, sicim teorisinde K3 yüzeyleri olup olmadığını duymak isterim ve eğer öyleyse, orada tam olarak nasıl görünüyorlar?

Evet, bazen yaparlar. Sıkıştırma bağlamında. K3, $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ holonomi grubuna sahiptir ve bu nedenle süpersimetrilerin yarısını korur. Fenomenolojik olarak, bu tür modeller çok ilginç değil, ancak insanlar hala onları düşünüyor.

Küreyi bükülmeden filmden bile daha kolay çeviriyorum. Küre yüzeyinin bir kısmını parmağınızla içeriye yapıştırmanız gerekir. Kürenin bu iç kısmını 180 derece döndürün, delik bükülmeden kapanacaktır. Daire olan kürenin meridyenleri, daha küçük bir kafa içinde daha büyük olan "sekizlere" dönüşecektir. Ardından, dışarı sızana kadar iç neredeyse topu şişirin. Doğal olarak, görünüşü tersine dönecek. Geriye çoğunlukla eskiden kalan şey kaldı ve şimdi 180 derece dönmek için şişmiş olana kıyasla küçüldü. Sıkıştırılmış delik açılacak, çentiği düzelteceğiz ve hedefe ulaşıldı!

Burada noktanın sonsuz olduğu ve sonsuzun bir nokta olduğu ortaya çıktı. Veya "evrenin aynılığı": içeride ne var, ne dışarıda.
Bu nedenle, bir paradigma ortaya çıkar - mikro kozmos, makro kozmos yardımıyla incelenebilir ve bunun tersi de geçerlidir.
Soru yarıçap sınırında =]h/2;2/h[. Burada h, ölçüm doğruluğunun metrik sınırı, yani aynı epsilon'un ikiye bölünmesi olarak kullanılır.
Ayrıca, böyle bir kürenin fiziksel varlığı çeşitli durumlar için kanıtlanabilir veya reddedilebilir.
Yoksa yanılıyor muyum?