Geometride sıklıkla “üçgenin tepe noktası” kavramı dikkate alınır. Bu, belirli bir şeklin iki tarafının kesişme noktasıdır. Bu kavram hemen hemen her problemde karşımıza çıkıyor, bu yüzden onu daha ayrıntılı olarak düşünmek mantıklı.

Bir üçgenin tepe noktasının belirlenmesi

Bir üçgende kenarların kesiştiği ve üç açı oluşturan üç nokta vardır. Bunlara köşeler, dayandıkları kenarlara ise üçgenin kenarları denir.

Pirinç. 1. Bir üçgenin tepe noktası.

Üçgenlerde köşeler büyük harflerle gösterilir. Bu nedenle, matematikte çoğunlukla kenarlar, kenarlara giren köşelerin adlarından sonra iki büyük Latin harfiyle gösterilir. Örneğin AB kenarı, A ve B köşelerini birleştiren bir üçgenin kenarıdır.

Pirinç. 2. Bir üçgende köşelerin belirlenmesi.

Konseptin özellikleri

Bir düzlemde keyfi olarak yönlendirilmiş bir üçgen alırsak, pratikte geometrik özelliklerini bu şeklin köşelerinin koordinatları aracılığıyla ifade etmek çok uygundur. Böylece bir üçgenin A köşesi belirli sayısal parametreler A(x; y) olan bir nokta olarak ifade edilebilir.

Üçgenin köşelerinin koordinatlarını bilerek, medyanların kesişme noktalarını, şeklin kenarlarından birine indirilen yüksekliğin uzunluğunu ve üçgenin alanını bulabilirsiniz.

Bunu yapmak için Kartezyen koordinat sisteminde gösterilen vektörlerin özellikleri kullanılır, çünkü bir üçgenin kenarının uzunluğu, bu şeklin karşılık gelen köşelerinin bulunduğu noktalarla vektörün uzunluğu aracılığıyla belirlenir.

Bir üçgenin tepe noktasını kullanma

Bir üçgenin herhangi bir köşesi için, söz konusu şeklin iç açısına bitişik olacak bir açı bulabilirsiniz. Bunu yapmak için üçgenin kenarlarından birini uzatmanız gerekecek. Her köşede iki kenar olduğundan, her köşede iki dış açı vardır. Bir dış açı, bir üçgenin kendisine komşu olmayan iki iç açısının toplamına eşittir.

Pirinç. 3. Üçgenin dış açısının özelliği.

Bir tepe noktasında iki dış açı oluşturursanız, bunlar dikey açılar gibi eşit olacaktır.

Ne öğrendik?

Farklı üçgen türlerine bakıldığında önemli geometri kavramlarından biri köşedir. Bu, belirli bir geometrik şeklin açısının iki tarafının kesiştiği noktadır. Latin alfabesinin büyük harflerinden biri ile gösterilir. Bir üçgenin tepe noktası x ve y koordinatları cinsinden ifade edilebilir; bu, üçgenin kenar uzunluğunun bir vektörün uzunluğu olarak tanımlanmasına yardımcı olur.

Konuyla ilgili deneme

Makale derecelendirmesi

Ortalama puanı: 4.2. Alınan toplam puan: 153.

Analitik geometrideki problemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim?
Düzlemdeki üçgenle ilgili tipik problem

Bu ders, düzlem geometrisi ile uzay geometrisi arasındaki ekvatora yaklaşım üzerine oluşturulmuştur. Şu anda biriken bilgilerin sistematik hale getirilmesi ve çok önemli bir sorunun yanıtlanması gerekiyor: Analitik geometrideki problemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Buradaki zorluk, geometride sonsuz sayıda problemle karşılaşabilmenizdir ve hiçbir ders kitabı bu kadar çok ve çeşitli örnekleri içermeyecektir. Değil bir fonksiyonun türevi beş türev alma kuralı, bir tablo ve çeşitli tekniklerle….

Bir çözüm var! Bir tür görkemli teknik geliştirdiğim hakkında yüksek sesle konuşmayacağım, ancak bence söz konusu soruna etkili bir yaklaşım var, bu da tam bir kuklanın bile iyi ve mükemmel sonuçlar elde etmesine olanak tanıyor. En azından geometrik problemlerin çözümüne yönelik genel algoritma kafamda çok net bir şekilde şekillendi.

BİLMENİZ VE YAPABİLMENİZ GEREKENLER
Geometri problemlerini başarıyla çözmek için?

Bundan kaçış yok - burnunuzla rastgele düğmelere basmamak için analitik geometrinin temellerine hakim olmanız gerekir. Bu nedenle geometri çalışmaya yeni başladıysanız veya tamamen unuttuysanız lütfen derse başlayın. Aptallar için vektörler. Vektörlere ve onlarla yapılan eylemlere ek olarak, özellikle düzlem geometrisinin temel kavramlarını bilmeniz gerekir. düzlemdeki bir doğrunun denklemi Ve . Uzayın geometrisi makalelerde sunulmaktadır Düzlem denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler ve diğer bazı dersler. İkinci dereceden kavisli çizgiler ve uzamsal yüzeyler biraz ayrı duruyor ve bunlarla ilgili çok fazla spesifik sorun yok.

Öğrencinin analitik geometrinin en basit problemlerini çözme konusunda temel bilgi ve becerilere sahip olduğunu varsayalım. Ama olay şu şekilde oluyor: Sorunun açıklamasını okuyorsunuz ve... her şeyi tamamen kapatmak, onu uzak köşeye atmak ve kötü bir rüya gibi unutmak istiyorsunuz. Üstelik bu, temelde niteliklerinizin düzeyine bağlı değil; zaman zaman ben de çözümü açık olmayan görevlerle karşılaşıyorum. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Anlamadığınız bir görevden korkmanıza gerek yok!

İlk önce, kurulmalı - Bu “düz” bir sorun mu yoksa mekansal bir sorun mu?Örneğin, koşul iki koordinatlı vektörler içeriyorsa, o zaman elbette bu bir düzlemin geometrisidir. Ve eğer öğretmen minnettar dinleyiciye bir piramit yüklediyse, o zaman açıkça uzayın geometrisi vardır. İlk adımın sonuçları zaten oldukça iyi çünkü bu görev için gereksiz olan büyük miktarda bilgiyi kesmeyi başardık!

Saniye. Durum genellikle sizi bazı geometrik şekillerle ilgilendirecektir. Gerçekten de, kendi üniversitenizin koridorlarında yürüyün; birçok endişeli yüz göreceksiniz.

"Düz" problemlerde, bariz nokta ve çizgilerden bahsetmeye bile gerek yok, en popüler şekil bir üçgendir. Bunu çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz. Daha sonra paralelkenar gelir ve çok daha az yaygın olan dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, daire ve diğer şekillerdir.

Uzamsal problemlerde, aynı düz şekiller + düzlemlerin kendisi ve paralel yüzlü ortak üçgen piramitler uçabilir.

İkinci soru - Bu rakam hakkında her şeyi biliyor musun? Koşulun bir ikizkenar üçgenden bahsettiğini ve bunun ne tür bir üçgen olduğunu belli belirsiz hatırladığınızı varsayalım. Bir okul ders kitabını açıyoruz ve ikizkenar üçgen hakkında okuyoruz. Ne yapmalı... doktor eşkenar dörtgen dedi, eşkenar dörtgen anlamına geliyor. Analitik geometri analitik geometridir, ancak sorun şekillerin geometrik özellikleriyle çözülecek, okul müfredatından biliyoruz. Bir üçgenin açılarının toplamının ne olduğunu bilmiyorsanız uzun süre acı çekebilirsiniz.

Üçüncü. HER ZAMAN çizimi takip etmeye çalışın(taslakta/bitirilmiş kopyada/zihinsel olarak), durum bunu gerektirmese bile. "Düz" problemlerde Euclid, yalnızca durumu anlamak için değil, aynı zamanda kendi kendini test etmek amacıyla da bir cetvel ve kalem almayı emretti. Bu durumda en uygun ölçek 1 birim = 1 cm'dir (2 dizüstü bilgisayar hücresi). Dikkatsiz öğrencilerden ve mezarlarında dönen matematikçilerden bahsetmeyelim - bu tür problemlerde hata yapmak neredeyse imkansızdır. Uzamsal görevler için, durumu analiz etmeye de yardımcı olacak şematik bir çizim gerçekleştiriyoruz.

Bir çizim veya şematik çizim çoğu zaman bir sorunu çözmenin yolunu anında görmenizi sağlar. Elbette bunun için geometrinin temellerini bilmeniz ve geometrik şekillerin özelliklerini anlamanız gerekir (önceki paragrafa bakın).

Dördüncü. Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. Geometri problemlerinin çoğu çok adımlıdır, bu nedenle çözüm ve tasarımı noktalara ayırmak için çok uygundur. Çoğu zaman algoritma, koşulu okuduktan veya çizimi tamamladıktan hemen sonra aklınıza gelir. Zorluk durumunda görevin SORUSU ile başlıyoruz. Örneğin “düz bir çizgi çizmelisiniz…” koşuluna göre. Burada en mantıklı soru şudur: “Bu düz çizgiyi inşa etmek için neyi bilmek yeterlidir?” Diyelim ki “noktayı biliyoruz, yön vektörünü bilmemiz gerekiyor.” Şu soruyu soruyoruz: “Bu yön vektörü nasıl bulunur? Nerede?" vesaire.

Bazen bir "hata" vardır - sorun çözülmez ve hepsi bu. Durdurmanın nedenleri şunlar olabilir:

– Temel bilgilerde ciddi boşluk. Yani çok basit bir şeyi bilmiyorsunuz ve/veya görmüyorsunuz.

– Geometrik şekillerin özelliklerinin bilinmemesi.

- Görev zordu. Evet, oluyor. Saatlerce buğulamanın, gözyaşlarını mendilde toplamanın hiçbir anlamı yok. Öğretmeninizden veya diğer öğrencilerden tavsiye alın veya forumda bir soru sorun. Dahası, çözümün anlamadığınız kısmı hakkında somut bir açıklama yapmak daha iyidir. “Sorun nasıl çözülür?” şeklinde bir ağlama. pek iyi görünmüyor... ve her şeyden önce kendi itibarınız açısından.

Beşinci aşama. Karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et-cevap verelim. Görevin her noktasını kontrol etmekte fayda var tamamlandıktan hemen sonra. Bu, hatayı hemen tespit etmenize yardımcı olacaktır. Doğal olarak, hiç kimse sorunun tamamını hızlı bir şekilde çözmeyi yasaklamaz, ancak her şeyi yeniden yazma riski vardır (genellikle birkaç sayfa).

Bunlar belki de sorunları çözerken takip edilmesi gereken tüm temel hususlardır.

Dersin pratik kısmı düzlem geometride sunulmaktadır. Sadece iki örnek olacak ama yeterli olmayacak =)

Biraz önce küçük bilimsel çalışmamda baktığım algoritmanın akışına bakalım:

örnek 1

Paralelkenarın üç köşesi verilmiştir. Üstü bul.

Anlamaya başlayalım:

Adım bir: “Düz” bir sorundan bahsettiğimiz çok açık.

İkinci adım: Problem paralelkenarla ilgilidir. Herkes bu paralelkenar figürünü hatırlıyor mu? Gülümsemeye gerek yok, pek çok kişi eğitimini 30-40-50 ve üzeri yaşlarda aldığı için basit gerçekler bile hafızadan silinebiliyor. Paralelkenarın tanımı dersin 3 numaralı örneğinde bulunmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli.

Adım üç: Bilinen üç köşeyi işaretleyeceğimiz bir çizim yapalım. İstenilen noktayı hemen oluşturmanın zor olmaması komik:

Bunu inşa etmek elbette iyidir, ancak çözümün analitik olarak formüle edilmesi gerekir.

Adım dört: Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. İlk akla gelen, doğruların kesişimi olarak bir noktanın bulunabileceğidir. Denklemlerini bilmiyoruz, bu yüzden bu konuyla ilgilenmemiz gerekecek:

1) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Puanlara göre Bu kenarların yön vektörünü bulalım. Bu sınıfta tartışılan en basit problemdir. Aptallar için vektörler.

Not: "Bir tarafı içeren bir doğrunun denklemi" demek daha doğrudur, ancak burada ve daha fazla kısaltmak için "bir tarafın denklemi", "bir tarafın yön vektörü" vb. ifadelerini kullanacağım.

3) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Noktaları kullanarak bu kenarların yön vektörünü buluruz.

4) Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım

1-2 ve 3-4. paragraflarda aslında aynı problemi iki kez çözdük, bu arada dersin 3 numaralı örneğinde de tartışılmıştı. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Daha uzun bir rota izlemek mümkündü - önce çizgilerin denklemlerini bulun ve ancak daha sonra yön vektörlerini onlardan "çıkarın".

5) Artık doğruların denklemleri bilinmektedir. Geriye kalan tek şey karşılık gelen doğrusal denklem sistemini oluşturmak ve çözmektir (aynı dersin 4, 5 numaralı örneklerine bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler).

Nokta bulunmuştur.

Görev oldukça basit ve çözümü belli ama daha kısa bir yolu var!

İkinci çözüm:

Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Noktayı işaretledim ama çizimi karıştırmamak için köşegenleri kendileri çizmedim.

Kenarlar için nokta nokta bir denklem oluşturalım:

Kontrol etmek için, her noktanın koordinatlarını zihinsel olarak veya taslak üzerinde sonuçtaki denklemde değiştirmelisiniz. Şimdi eğimi bulalım. Bunu yapmak için genel denklemi eğim katsayılı bir denklem biçiminde yeniden yazıyoruz:

Böylece eğim:

Benzer şekilde kenarların denklemlerini de buluyoruz. Aynı şeyi açıklamanın pek bir anlamı görmüyorum, bu yüzden hemen nihai sonucu vereceğim:

2) Kenarın uzunluğunu bulun. Bu sınıfta ele alınan en basit problemdir. Aptallar için vektörler. Puanlar için formülü kullanıyoruz:

Aynı formülü kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulmak kolaydır. Kontrol normal bir cetvelle çok hızlı bir şekilde yapılabilir.

Formülü kullanıyoruz .

Vektörleri bulalım:

Böylece:

Bu arada kenar uzunluklarını da bulduk.

Sonuç olarak:

Doğru gibi görünüyor; ikna edici olmak için köşeye bir iletki takabilirsiniz.

Dikkat! Üçgenin açısını düz çizgiler arasındaki açıyla karıştırmayın. Bir üçgenin açısı geniş olabilir, ancak düz çizgiler arasındaki açı olamaz (makalenin son paragrafına bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler). Ancak bir üçgenin açısını bulmak için yukarıdaki dersteki formülleri de kullanabilirsiniz ancak işin püf noktası, bu formüllerin her zaman dar açı vermesidir. Onların yardımıyla bu sorunu taslakta çözdüm ve sonuca ulaştım. Ve son kopyaya ek mazeretler yazmam gerekecekti.

4) Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Dersin 2 numaralı örneğinde ayrıntılı olarak tartışılan standart görev Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Doğrunun genel denkleminden Kılavuz vektörünü çıkaralım. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

5) Yükseklik için bir denklem oluşturup uzunluğunu bulalım.

Katı tanımlardan kaçış yok, bu yüzden bir okul ders kitabından çalmanız gerekecek:

Üçgen yüksekliği Üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren çizgiye çizilen dikmeye denir.

Yani tepe noktasından kenara çizilen bir dikme için denklem oluşturmak gerekir. Bu görev dersteki 6, 7 numaralı örneklerde tartışılmaktadır. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Denklemden. normal vektörü kaldırın. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım:

Lütfen noktanın koordinatlarını bilmediğimizi unutmayın.

Bazen yükseklik denklemi dik çizgilerin açısal katsayılarının oranından bulunur: . Bu durumda: . Bir nokta ve açısal katsayı kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım (bkz. dersin başlangıcı) Düzlemde düz bir çizginin denklemi):

Yükseklik uzunluğu iki şekilde bulunabilir.

Bir dolambaçlı yol var:

a) Bul – yükseklik ve kenarın kesişme noktası;
b) bilinen iki noktayı kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Ama sınıfta Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler bir noktadan bir çizgiye olan mesafe için uygun bir formül düşünüldü. Nokta biliniyor: Doğrunun denklemi de biliniyor: , Böylece:

6) Üçgenin alanını hesaplayın. Uzayda bir üçgenin alanı geleneksel olarak şu şekilde hesaplanır: vektörlerin vektör çarpımı, ancak burada bize düzlem üzerinde bir üçgen veriliyor. Okul formülünü kullanıyoruz:
– Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Bu durumda:

Bir üçgenin medyanı nasıl bulunur?

7) Medyan için bir denklem oluşturalım.

Bir üçgenin medyanı Üçgenin tepe noktasını karşı kenarın ortasıyla birleştiren doğru parçasına denir.

a) Kenarın ortasını bulun. Kullanırız bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller. Segmentin uçlarının koordinatları bilinmektedir: , ardından ortanın koordinatları:

Böylece:

Medyan denklemini noktadan noktaya oluşturalım :

Denklemi kontrol etmek için noktaların koordinatlarını denklemin içine koymanız gerekir.

8) Yükseklik ile ortancanın kesişme noktasını bulun. Sanırım herkes artistik patinajın bu unsurunu düşmeden nasıl gerçekleştireceğini zaten öğrendi:

BölümV. DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİ

VE UZAYDA

Bu bölüm “Düzlemde ve uzayda analitik geometri” konusunda tartışılan görevleri içerir: düzlemde ve uzayda çeşitli düz çizgi denklemlerinin oluşturulması; bir düzlemdeki çizgilerin, düz çizgilerin, düz bir çizginin ve bir düzlemin, uzaydaki düzlemlerin göreceli konumunun belirlenmesi; ikinci dereceden eğrilerin görüntüsü. Bu bölümün, çözümü bir düzlem üzerinde analitik geometriden elde edilen bilgileri kullanan ekonomik içerikli problemler sunduğuna dikkat edilmelidir.

Analitik geometri problemlerini çözerken aşağıdaki yazarların ders kitaplarının kullanılması tavsiye edilir: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. V.I. Malykhina, çünkü Bu literatür, bu konuyla ilgili bireysel çalışma için kullanılabilecek daha geniş bir görev yelpazesini kapsamaktadır. Analitik geometrinin ekonomik problemlerin çözümüne uygulanması, M.S. tarafından eğitim yayınlarında sunulmaktadır. Krass ve V.I. Ermakova.

Sorun 5.1. Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğindeABC . Gerekli

a) üçgenin kenarlarının denklemlerini yazın;

b) Tepe noktasından çizilen bir üçgenin yükseklik denklemini yazınİLE tarafaAB ve uzunluğunu bulun;

c) Tepe noktasından çizilen bir üçgenin kenarortay denklemini yazınİÇİNDE tarafaAC ;

d) üçgenin açılarını bulun ve türünü belirleyin (dikdörtgen, dar, geniş);

e) üçgenin kenarlarının uzunluklarını bulun ve türünü belirleyin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar);

e) üçgenin ağırlık merkezinin (medyanların kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC ;

g) üçgenin diklik merkezinin (yüksekliklerin kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC .

Çözümün a) – c) noktalarının her biri için koordinat sisteminde çizimler yapın. Resimlerde görevin noktalarına karşılık gelen çizgileri ve noktaları işaretleyin.

Örnek 5.1

Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğindeABC : . a) üçgenin kenarlarının denklemlerini yazmak; b) Tepe noktasından çizilen bir üçgenin yükseklik denklemini yazın İLE tarafaAB ve uzunluğunu bulun; c) Tepe noktasından çizilen bir üçgenin kenarortay denklemini yazınİÇİNDE tarafaAC ; d) üçgenin kenarlarının uzunluklarını bulun ve türünü belirleyin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar); e) üçgenin açılarını bulun ve türünü belirleyin (dikdörtgen, dar, geniş); e) üçgenin ağırlık merkezinin (medyanların kesişme noktası) koordinatlarını bulun ABC ; g) üçgenin diklik merkezinin (yüksekliklerin kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC .

Çözüm

A)Üçgenin her bir tarafı için, gerekli doğrular üzerinde bulunan iki noktanın koordinatları bilinmektedir; bu, üçgenin kenarlarının denklemlerinin, verilen iki noktadan geçen çizgilerin denklemleri olduğu anlamına gelir.

,

Nerede
Ve
noktaların karşılık gelen koordinatları.

Böylece düz çizgilere karşılık gelen noktaların koordinatlarını formül (5.1)'de değiştirerek şunu elde ederiz:

,
,
,

dönüşümlerden sonra tarafların denklemlerini nereden yazıyoruz

İncirde. 7 üçgenin karşılık gelen kenarlarını gösteriyoruz
dümdüz.

Cevap:

B)İzin vermek
– tepe noktasından çizilen yükseklik tarafa
. Çünkü
bir noktadan geçer vektöre dik
, sonra aşağıdaki formülü kullanarak düz çizginin denklemini oluşturacağız

Nerede
– vektörün istenen çizgiye dik koordinatları,
– bu doğruya ait bir noktanın koordinatları. Vektörün doğruya dik koordinatlarını bulun
ve formül (5.2)'de yerine koyun

,
,

.

Yüksekliğin uzunluğunu bulun CH noktadan uzaklık olarak düz bir çizgiye

,

Nerede
– düz bir çizginin denklemi
,
– nokta koordinatları .

Önceki paragrafta bulundu

Verileri formül (5.3)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

,

İncirde. 8 bir üçgen çizin ve bulunan yüksekliği CH.

Cevap: .

R dır-dir. 8

V) medyan
üçgen
tarafı böler
iki eşit parçaya, yani nokta segmentin orta noktasıdır
. Buna dayanarak koordinatları bulabilirsiniz.
puan

, ,

Nerede
Ve
Ve bunu formül (5.4)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

;
.

Medyan denklem
üçgen
Noktalardan geçen bir doğrunun denklemi olarak yazalım.
Ve
formül (5.1)'e göre

,

.

Cevap:(Şekil 9).

R dır-dir. 9

G)Üçgenin kenarlarının uzunluklarını karşılık gelen vektörlerin uzunlukları olarak buluruz;

,
,
.

Partiler
Ve
üçgen
eşittir, yani üçgen tabanla ikizkenardır
.

Cevap:üçgen
tabanı olan ikizkenarlar
;

,
.

D) Bir üçgenin açıları
belirli bir üçgenin karşılık gelen köşelerinden çıkan vektörler arasındaki açıları bulalım, yani.

,
,
.

Üçgen tabanı olan ikizkenar olduğundan
, O

,

Vektörlerin skaler çarpımlarını gerektiren formül (4.4)'ü kullanarak vektörler arasındaki açıları hesaplıyoruz.
,
.

Açıları hesaplamak için gerekli vektörlerin koordinatlarını ve büyüklüklerini bulalım.

,
;

,
,
.

Bulunan verileri formül (4.4)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

,

Bulunan tüm açıların kosinüsleri pozitif olduğundan üçgen
dar açılıdır.

Cevap:üçgen
dar açılı;

,
,
.

e)İzin vermek

, ardından koordinatlar
puan
formüller (5.5) kullanılarak bulunabilir

, ,

Nerede
,
Ve
– sırasıyla noktaların koordinatları , Ve , buradan,

,
.

Cevap:
– üçgenin ağırlık merkezi
.

Ve)İzin vermek – üçgenin diklik merkezi
. Noktanın koordinatlarını bulun üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasının koordinatları olarak. Yükseklik Denklemi
şurada bulundu B). Yükseklik denklemini bulalım
:

,
,

.

Çünkü
, o zaman sistemin çözümü

noktanın koordinatlarıdır , nerede bulacağız
.

Cevap:
– üçgenin diklik merkezi
.

Sorun 5.2. Bir işletmede bazı ürünlerin üretimindeki sabit maliyetlerF V 0 ovmak. üretim birimi başına gelir,R 0 ovmak. Üretilen ürün birimi başına. Kâr fonksiyonu oluşturunP (Q ) (Q

Seçeneklere karşılık gelen sorun durumuna ilişkin veriler:

Örnek 5.2

Bir işletmede bazı ürünlerin üretimindeki sabit maliyetler
ovmak. aylık, değişken maliyetler –
ovmak. üretim birimi başına gelir,
ovmak. Üretilen ürün birimi başına. Kâr fonksiyonu oluşturunP (Q ) (Q - üretilen ürünlerin miktarı); grafiğini oluşturun ve başabaş noktasını belirleyin.

Çözüm

Piyasaya sürüldüğünde toplam üretim maliyetlerini hesaplayalım Q bazı ürünlerin birimleri

Satılırsa Qüretim birimi, o zaman toplam gelir

Toplam gelir ve toplam maliyetlerin elde edilen fonksiyonlarına dayanarak kar fonksiyonunu buluyoruz

,

.

Başabaş noktası - kârın sıfır olduğu veya toplam maliyetlerin toplam gelire eşit olduğu nokta

,

,

nereden bulacağız?

- başa baş.

Kâr fonksiyonunun grafiğini (Şekil 10) çizmek için bir nokta daha bulacağız

Cevap: kar fonksiyonu
, başa baş
.

Sorun 5.3. Belirli bir ürün için arz ve talep yasaları sırasıyla denklemlerle belirlenir.P = P D (Q ), P = P S (Q ), NeredeP – Ürünün fiyatı,Q - mal miktarı. Talebin yalnızca ürünün piyasadaki fiyatı tarafından belirlendiği varsayılmaktadır.P İLE ve teklif yalnızca fiyata göredirP S tedarikçiler tarafından alınır. Gerekli

a) piyasa denge noktasını belirlemek;

b) eşit bir verginin getirilmesinden sonraki denge noktasıT . Fiyattaki artışı ve denge satış hacmindeki azalmayı belirleyin;

c) bir sübvansiyon bulmakS bu da satışların artmasına neden olacakQ 0 birimler orijinaline göre (a paragrafında tanımlanmıştır);

d) Fiyatla orantılı ve eşit bir vergi uygulamaya konulduğunda yeni bir denge noktası ve hükümet geliri bulmakN %;

e) Şuna eşit bir minimum fiyat belirlerken, hükümetin fazlalığı satın almak için ne kadar para harcayacağını belirlemek P 0 .

Her çözüm noktası için koordinat sisteminde bir çizim yapın. Şekilde görev noktasına karşılık gelen çizgileri ve noktaları işaretleyin.

Seçeneklere karşılık gelen sorun durumuna ilişkin veriler: