Elektrik indüksiyonu için Gauss teoremi. Gauss teoremi

Yüklerin çok olması durumunda alanların hesaplanmasında bazı zorluklar ortaya çıkar.

Gauss teoremi bunların üstesinden gelmeye yardımcı olur. öz Gauss teoremleri aşağıdakine indirgenir: eğer keyfi sayıda yük zihinsel olarak kapalı bir S yüzeyi ile çevrelenmişse, o zaman dS temel alanı boyunca elektrik alan kuvveti akısı dФ = Есоsα۰dS olarak yazılabilir; burada α, düzlemin normali ile normal arasındaki açıdır. yoğunluk vektörü . (şek.12.7)

Tüm yüzey boyunca toplam akış, içinde keyfi olarak dağıtılan tüm yüklerden gelen akışların toplamına eşit ve bu yükün değeriyle orantılı olacaktır.

(12.9)

Gerilim vektörünün, merkezinde +q nokta yükünün bulunduğu r yarıçaplı küresel bir yüzey boyunca akışını belirleyelim (Şekil 12.8). Gerilme çizgileri kürenin yüzeyine diktir, α = 0, dolayısıyla сosα = 1. O zaman

Alan bir yük sistemi tarafından oluşturulmuşsa, o zaman

Gauss teoremi: Elektrostatik alan kuvveti vektörünün vakumda herhangi bir kapalı yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin içinde bulunan yüklerin cebirsel toplamının elektrik sabitine bölünmesine eşittir.

(12.10)

Kürenin içinde yük yoksa Ф = 0 olur.

Gauss teoremi, simetrik olarak dağılmış yükler için elektrik alanlarının hesaplanmasını nispeten kolaylaştırır.

Dağıtılmış yüklerin yoğunluğu kavramını tanıtalım.

Doğrusal yoğunluk τ ile gösterilir ve birim uzunluk ℓ başına q yükünü karakterize eder. Genel olarak formülle hesaplanabilir.

(12.11)

Düzgün bir yük dağılımı ile doğrusal yoğunluk şuna eşittir:

Yüzey yoğunluğu σ ile gösterilir ve S birim alanı başına q yükünü karakterize eder. Genel anlamda formülle belirlenir.

(12.12)

Yüklerin yüzey üzerinde düzgün bir dağılımı ile yüzey yoğunluğu eşittir

ρ ile gösterilen kütle yoğunluğu, birim hacim V başına q yükünü karakterize eder. Genel anlamda, formülle belirlenir.

(12.13)

Yüklerin düzgün bir şekilde dağıtılmasıyla, şuna eşittir:
.

Q yükü küre üzerinde eşit olarak dağıldığından,

σ = sabit. Gauss teoremini uygulayalım. A noktasından geçen yarıçaplı bir küre çizelim. Şekil 12.9'daki yoğunluk vektörünün yarıçapın küresel yüzeyinden akışı, α = 0 olduğundan cosα = 1'dir. Gauss teoremine göre,
.

veya

(12.14)

(12.14) ifadesinden, yüklü kürenin dışındaki alan kuvvetinin, kürenin merkezine yerleştirilen noktasal yükün alan kuvvetiyle aynı olduğu sonucu çıkar. Kürenin yüzeyinde, yani. r 1 \u003d r 0, gerilim
.

Kürenin içinde r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Yarıçapı r 0 olan bir silindir, yüzey yoğunluğu σ ile eşit şekilde yüklenir (Şekil 12.10). Rasgele seçilmiş bir A noktasındaki alan kuvvetini belirleyelim. A noktasından R yarıçaplı ve uzunluğu ℓ olan hayali bir silindirik yüzey çizelim. Simetri nedeniyle, r 0 yarıçaplı silindir üzerindeki yükler yüzeyi üzerinde eşit olarak dağıldığından akış yalnızca silindirin yan yüzeylerinden çıkacaktır. gerilim çizgileri her iki silindirin yan yüzeylerine dik radyal düz çizgiler olacaktır. Silindirlerin tabanından geçen akış sıfır olduğundan (cos α = 0) ve silindirin yan yüzeyi kuvvet çizgilerine dik olduğundan (cos α = 1), bu durumda

veya

(12.15)

E'nin değerini σ - yüzey yoğunluğu ile ifade ediyoruz. A-tarikatı,

buradan,

q değerini formülde (12.15) değiştirin

(12.16)

Çizgi yoğunluğunun tanımı gereği,
, Neresi
; bu ifadeyi formül (12.16)'da değiştiririz:

(12.17)

onlar. Sonsuz uzunluktaki yüklü bir silindir tarafından üretilen alan kuvveti, doğrusal yük yoğunluğuyla orantılı ve mesafeyle ters orantılıdır.

Sonsuz, eşit yüklü bir düzlemin yarattığı alanın yoğunluğu

A noktasında sonsuz düzgün yüklü bir düzlemin oluşturduğu alanın gücünü belirleyelim. Düzlemin yüzey yük yoğunluğu σ olsun. Kapalı bir yüzey olarak, ekseni düzleme dik olan ve sağ tabanda A noktası bulunan bir silindirin seçilmesi uygundur. Düzlem, silindiri ikiye böler. Açıkçası, kuvvet çizgileri düzleme dik ve silindirin yan yüzeyine paraleldir, dolayısıyla akışın tamamı yalnızca silindirin tabanlarından geçer. Her iki temelde de alan gücü aynıdır çünkü. A ve B noktaları düzleme göre simetriktir. Daha sonra silindirin tabanlarından geçen akış

Gauss teoremine göre,

Çünkü
, O
, Neresi

(12.18)

Böylece sonsuz yüklü bir düzlemin alan kuvveti, yüzey yük yoğunluğuyla orantılıdır ve düzleme olan mesafeye bağlı değildir. Bu nedenle düzlemin alanı homojendir.

Karşılıklı olarak eşit yüklü iki paralel düzlem tarafından oluşturulan alanın yoğunluğu

İki düzlem tarafından oluşturulan sonuçtaki alan, alan süperpozisyonu ilkesine göre belirlenir:
(şek.12.12). Her düzlemin oluşturduğu alan homojendir, bu alanların kuvvetleri mutlak değerde eşit fakat zıt yönlüdür:
. Süperpozisyon ilkesine göre düzlemin dışındaki toplam alanın gücü sıfırdır:

Düzlemler arasında alan kuvvetleri aynı yönlere sahiptir, dolayısıyla ortaya çıkan kuvvet şuna eşittir:

Böylece, karşılıklı olarak eşit yüklü iki düzlem arasındaki alan homojendir ve yoğunluğu, bir düzlemin yarattığı alan kuvvetinin iki katı kadardır. Uçakların sağında ve solunda alan yok. Sonlu düzlemlerin alanı aynı forma sahiptir; distorsiyon yalnızca sınırların yakınında görülür. Elde edilen formülü kullanarak düz bir kapasitörün plakaları arasındaki alanı hesaplayabilirsiniz.

Elektrik indüksiyonu için Gauss teoremi (elektriksel yer değiştirme)[

Dielektrik ortamdaki bir alan için, Gauss'un elektrostatik teoremi başka bir şekilde (alternatif olarak) - elektrik yer değiştirme vektörünün akışı (elektriksel indüksiyon) aracılığıyla - yazılabilir. Bu durumda teoremin formülasyonu şu şekildedir: Elektrik yer değiştirme vektörünün kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzey içindeki serbest elektrik yüküyle orantılıdır:

Diferansiyel formda:

Manyetik indüksiyon için Gauss teoremi

Manyetik indüksiyon vektörünün herhangi bir kapalı yüzeyden akısı sıfırdır:

veya diferansiyel formda

Bu, tıpkı elektrik yüklerinin bir elektrik alanı yaratması gibi, doğada manyetik alan yaratacak "manyetik yüklerin" (monopollerin) bulunmadığı gerçeğine eşdeğerdir. Başka bir deyişle, manyetik indüksiyon için Gauss teoremi, manyetik alanın (tamamen) olduğunu gösterir. girdap.

Newton yerçekimi için Gauss teoremi

Newton yerçekiminin alan gücü (serbest düşüşün hızlanması) için, Gauss teoremi, sabitler (ancak yine de birim sisteminin keyfi seçimine bağlıdırlar) ve en önemlisi işaret hariç, pratik olarak elektrostatiktekiyle çakışır. :

Nerede G- yerçekimi alanının yoğunluğu, M- yüzeyin içindeki yer çekimi yükü (yani kütle) S, ρ - kütle yoğunluğu, G Newton sabitidir.

Elektrik alanındaki iletkenler. İletkenin içindeki ve yüzeyindeki alan.

İletkenler, elektrik yüklerinin yüklü bir gövdeden yüksüz olana geçebileceği gövdelerdir.İletkenlerin elektrik yüklerini içlerinden geçirme yeteneği, içlerindeki serbest yük taşıyıcılarının varlığıyla açıklanmaktadır. İletkenler - katı ve sıvı haldeki metal gövdeler, elektrolitlerin sıvı çözeltileri. Bir elektrik alanına sokulan bir iletkenin serbest yükleri, onun etkisi altında hareket etmeye başlar. Yüklerin yeniden dağılımı elektrik alanında bir değişikliğe neden olur. İletkendeki elektrik alan kuvveti sıfır olduğunda elektronların hareketi durur. Bir elektrik alanına yerleştirilen bir iletkende zıt yüklerin ayrılması olayına elektrostatik indüksiyon denir. İletkenin içinde elektrik alanı yoktur. Bu, elektrostatik koruma için kullanılır - elektrik alanından metal iletkenlerle koruma. Bir elektrik alanındaki herhangi bir şekle sahip iletken bir cismin yüzeyi eş potansiyel bir yüzeydir.

Kondansatörler

Ortama göre küçük bir potansiyelde, gözle görülür büyüklükte yükleri kendi üzerinde biriktirecek (yoğunlaştıracak) cihazlar elde etmek için, bir iletkenin elektrik kapasitansının diğer cisimler ona yaklaştığında arttığı gerçeğini kullanırlar. Aslında, yüklü iletkenler tarafından oluşturulan bir alanın etkisi altında, kendisine getirilen gövde üzerinde indüklenen (bir iletken üzerinde) veya bağlı (bir dielektrik üzerinde) yükler ortaya çıkar (Şekil 15.5). İletken q'nun yüküne zıt işaretli yükler, iletkene q ile aynı adı taşıyanlara göre daha yakın yerleştirilir ve bu nedenle potansiyeli üzerinde büyük bir etkiye sahiptir.

Bu nedenle yüklü bir iletkenin yanına bir cisim getirildiğinde alan kuvveti azalır ve buna bağlı olarak iletkenin potansiyeli azalır. Denkleme göre bu, iletkenin kapasitansında bir artış anlamına gelir.

Kapasitör, bir dielektrik katmanla ayrılmış iki iletkenden (plaka) (Şekil 15.6) oluşur. Bir iletkene belirli bir potansiyel farkı uygulandığında, iletkenin plakaları zıt işaretli eşit yüklerle yüklenir. Bir kapasitörün elektrik kapasitansı, q yüküyle orantılı ve plakalar arasındaki potansiyel farkla ters orantılı olan fiziksel bir miktar olarak anlaşılır.

Düz bir kapasitörün kapasitansını belirleyelim.

Plakanın alanı S ve üzerindeki yük q ise plakalar arasındaki alan kuvveti

Öte yandan plakalar arasındaki potansiyel fark

Nokta yükleri, yüklü bir iletken ve bir kapasitörden oluşan bir sistemin enerjisi.

Herhangi bir yük sistemi, bu sistemin yaratılması için harcanan işe eşit olan bir miktar potansiyel etkileşim enerjisine sahiptir. Bir nokta yük sisteminin enerjisi Q 1 , Q 2 , Q 3 ,… Q Nşu şekilde tanımlanır:

Nerede φ 1 - hariç tüm yüklerin yarattığı elektrik alanının potansiyeli Q Yükün olduğu noktada 1 Q 1 vb. Yük sisteminin konfigürasyonu değişirse sistemin enerjisi de değişir. Sistemin konfigürasyonunu değiştirmek için çalışma yapılması gerekir.

Bir nokta yük sisteminin potansiyel enerjisi başka bir şekilde hesaplanabilir. İki nokta yükünün potansiyel enerjisi Q 1 , Q Birbirine uzaklığı 2'ye eşittir. Birden fazla yük varsa, bu yük sisteminin potansiyel enerjisi, bu sistem için derlenebilecek tüm yük çiftlerinin potansiyel enerjilerinin toplamı olarak tanımlanabilir. Yani, üç pozitif yükten oluşan bir sistem için sistemin enerjisi eşittir:

Yüklü bir yalnız iletken ve kapasitörün enerjisi

Tek bir iletkenin q yükü varsa, çevresinde iletkenin yüzeyinde potansiyeli ve kapasitansı C olan bir elektrik alanı vardır. Yükü dq kadar artıralım. Dq yükünü sonsuzdan aktarırken, eşit iş . Ancak belirli bir iletkenin elektrostatik alanının sonsuzdaki potansiyeli sıfıra eşittir. Daha sonra

Dq yükü iletkenden sonsuza aktarıldığında, aynı iş elektrostatik alan kuvvetleri tarafından da yapılır. Sonuç olarak, iletkenin yükünün dq kadar artmasıyla alanın potansiyel enerjisi artar, yani.

Bu ifadeyi entegre ederek, yüklü bir iletkenin yükü sıfırdan q'ya arttıkça elektrostatik alanının potansiyel enerjisini buluruz:

İlişkiyi uygulayarak, potansiyel enerji W için aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

Yüklü bir kapasitör için potansiyel fark (voltaj), elektrostatik alanının toplam enerjisinin oranına eşittir ve şu şekildedir:

En zor olanı, homojen olmayan bir elektriksel ortamda elektriksel olayların incelenmesidir. Böyle bir ortamda ε, dielektriklerin sınırında aniden değişen farklı değerlere sahiptir. İki ortam arasındaki arayüzdeki alan gücünü belirlediğimizi varsayalım: ε 1 =1 (vakum veya hava) ve ε 2 =3 (sıvı - yağ). Ara yüzeyde, vakumdan dielektriklere geçiş sırasında alan kuvveti üç kat azalır ve kuvvet vektörünün akısı aynı miktarda azalır (Şekil 12.25, a). İki ortam arasındaki arayüzde elektrostatik alan kuvvetinin vektöründeki ani bir değişiklik, alanların hesaplanmasında bazı zorluklar yaratır. Gauss teoremine gelince, bu koşullar altında genellikle anlamını kaybeder.

Farklı dielektriklerin polarize edilebilirliği ve yoğunluğu farklı olduğundan, her bir dielektrikteki alan çizgilerinin sayısı da farklı olacaktır. Bu zorluk, alanın yeni bir fiziksel özelliği olan elektrik indüksiyonu D (veya vektör) tanıtılarak ortadan kaldırılabilir. elektriksel yer değiştirme ).

Formüle göre

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d sabit

Bu eşitliklerin tüm kısımlarını elektrik sabiti ε 0 ile çarparsak şunu elde ederiz:

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 =sabit

ε 0 εЕ=D notasyonunu tanıtalım, o zaman sondan bir önceki ilişki şu formu alacaktır

D 1 = D 2 = D 0 = sabit

Dielektrikteki elektrik alan kuvveti ile mutlak geçirgenliğinin çarpımına eşit olan D vektörüne denir.elektrik yer değiştirme vektörü

(12.45)

Elektriksel yer değiştirme birimi metrekare başına kolye(C/m2).

Elektriksel yer değiştirme vektörel bir büyüklüktür ve şu şekilde de ifade edilebilir:

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

E geriliminin aksine, D elektriksel yer değiştirmesi tüm dielektriklerde sabittir (Şekil 12.25, b). Bu nedenle, homojen olmayan bir dielektrik ortamda elektrik alanını yoğunluk E ile değil, yer değiştirme vektörü D ile karakterize etmek uygundur. D vektörü, serbest yüklerin (yani vakumda) yarattığı elektrostatik alanı tanımlar, ancak dielektriklerde ortaya çıkan bağlı yükler, bir alan oluşturan serbest yüklerin yeniden dağılımına neden olabileceğinden, uzayda bir dielektrik varlığında olduğu gibi bir dağılıma sahiptir. .

Vektör alanı alanla aynı şekilde elektrik yer değiştirme çizgileri ile grafiksel olarak temsil edilir kuvvet çizgileriyle temsil edilir.

Elektrik deplasman hattı her noktada teğetleri elektrik yer değiştirme vektörü yönünde çakışan çizgilerdir.

E vektörünün çizgileri herhangi bir yükte (serbest ve sınırlı) başlayıp bitebilirken, vektörün çizgileri herhangi bir yükte başlayıp bitebilir.D- yalnızca ücretsiz ücretlerle. Vektör çizgileriDgerilim çizgilerinin aksine süreklidir.

Elektriksel yer değiştirme vektörü iki ortam arasındaki arayüzde bir süreksizlik yaşamadığından, kapalı bir yüzeyle çevrelenmiş yüklerden gelen tüm indüksiyon çizgileri ona nüfuz edecektir. Bu nedenle, elektrik yer değiştirme vektörü için Gauss teoremi, homojen olmayan bir dielektrik ortam için anlamını tamamen korur.

Dielektrikteki elektrostatik alan için Gauss teoremi : Elektrik yer değiştirme vektörünün rastgele kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin içinde bulunan yüklerin cebirsel toplamına eşittir.

(12.47)

Dersin amacı: Ostrogradsky-Gauss teoremi, Rus matematikçi ve tamirci Mikhail Vasilievich Ostrogradsky tarafından bazı genel matematik teoremleri şeklinde ve Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss tarafından oluşturulmuştur. Bu teorem, elektrik alanlarının daha rasyonel hesaplanmasına izin verdiği için profil düzeyinde fizik çalışmalarında kullanılabilir.

Ostrogradsky-Gauss teoremini türetmek için, elektrik indüksiyon vektörü ve bu vektör F'nin akısı gibi önemli yardımcı kavramları tanıtmak gerekir.

Elektrostatik alanın sıklıkla kuvvet çizgileri kullanılarak tasvir edildiği bilinmektedir. İki ortamın (hava (=1) ve su (=81) arasındaki arayüzde yer alan bir noktadaki gerilimi belirlediğimizi varsayalım. Bu noktada havadan suya geçerken formüle göre elektrik alan şiddeti 81 kat azalacak. Suyun iletkenliğini ihmal edersek kuvvet çizgilerinin sayısı aynı oranda azalacaktır. Alanları hesaplamak için çeşitli problemleri çözerken, ortam ve dielektrikler arasındaki arayüzdeki kuvvet vektörünün süreksizliği nedeniyle bazı rahatsızlıklar yaratılır. Bunlardan kaçınmak için, elektrik indüksiyon vektörü adı verilen yeni bir vektör tanıtılmıştır:

Elektrik indüksiyon vektörü, vektörün çarpımına ve elektrik sabitine ve ortamın belirli bir noktadaki geçirgenliğine eşittir.

Açıkçası, iki dielektrik sınırından geçerken, noktasal yükün (1) alanı için elektrik indüksiyon hatlarının sayısı değişmez.

SI sisteminde, elektrik indüksiyon vektörü metrekare başına coulomb (C / m2) cinsinden ölçülür. İfade (1), vektörün sayısal değerinin ortamın özelliklerine bağlı olmadığını göstermektedir. Vektör alanı, gerilim alanına benzer şekilde grafiksel olarak gösterilmektedir (örneğin, bir nokta yükü için, bkz. Şekil 1). Bir vektör alanı için süperpozisyon ilkesi gerçekleşir:

Elektrik indüksiyon akısı

Elektrik indüksiyon vektörü, uzaydaki her noktadaki elektrik alanını karakterize eder. Vektörün değerlerine bağlı olarak bir noktada değil, düz kapalı bir konturla sınırlanan yüzeyin tüm noktalarında bir miktar daha eklenebilir.

Bunu yapmak için, düzgün bir elektrik alanına yerleştirilmiş S yüzey alanına sahip düz, kapalı bir iletkeni (devre) düşünün. İletken düzleminin normali, elektrik indüksiyon vektörünün yönü ile bir açı yapar (Şekil 2).

S yüzeyinden elektriksel indüksiyon akışına, indüksiyon vektörünün modülü ile S alanının ve vektör ile normal arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit bir değer denir:

Bu teorem, içinde elektrik yüklerinin bulunduğu kapalı bir yüzey boyunca elektrik indüksiyon vektörünün akışını bulmanızı sağlar.

İlk olarak q noktasal yükünün yarıçapı r1 olan bir kürenin merkezine yerleştirilmesine izin verin (Şekil 3). Daha sonra ; . Bu kürenin tüm yüzeyinden geçen toplam indüksiyon akısını hesaplayalım: ; (). Yarıçaplı bir küre alırsak o zaman Ф = q da olur. Q yükünü kapsamayan bir küre çizersek, o zaman toplam akış Ф \u003d 0 (çünkü her çizgi yüzeye girecek ve başka bir zaman onu terk edecektir).

Dolayısıyla, eğer yük kapalı yüzeyin içindeyse Ф = q, eğer yük kapalı yüzeyin dışındaysa Ф = 0 olur. Akı F yüzeyin şekline bağlı değildir. Aynı zamanda yüzey içindeki yüklerin düzenine de bağlı değildir. Bu, elde edilen sonucun yalnızca bir yük için değil, aynı zamanda keyfi olarak yerleştirilmiş herhangi bir sayıda yük için de geçerli olduğu anlamına gelir; eğer q ile yalnızca yüzeyin içinde bulunan tüm yüklerin cebirsel toplamını kastediyorsak.

Gauss teoremi: Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen elektriksel indüksiyon akışı, yüzey içindeki tüm yüklerin cebirsel toplamına eşittir: .

Formülden elektrik akışının boyutunun elektrik yükünün boyutuyla aynı olduğu görülebilir. Bu nedenle, elektriksel indüksiyon akışının birimi kolyedir (C).

Not: Alan homojen değilse ve akışın belirlendiği yüzey bir düzlem değilse, bu yüzey sonsuz küçük ds elemanlarına bölünebilir ve her eleman düz kabul edilebilir ve yakınındaki alan homojendir. Bu nedenle, herhangi bir elektrik alanı için, elektrik indüksiyon vektörünün yüzey elemanı boyunca akışı şöyledir: dФ=. Entegrasyonun bir sonucu olarak, herhangi bir homojen olmayan elektrik alanında kapalı bir S yüzeyinden geçen toplam akı şuna eşittir: q, kapalı bir S yüzeyi tarafından çevrelenen tüm yüklerin cebirsel toplamıdır. Son denklemi elektrik alan kuvveti cinsinden ifade ederiz (vakum için): .

Bu Maxwell'in elektromanyetik alan için integral formda yazılmış temel denklemlerinden biridir. Zaman içinde sabit bir elektrik alanının kaynağının hareketsiz elektrik yükleri olduğunu göstermektedir.

Şimdi Ostrogradsky-Gauss teoremini kullanarak bazı durumlar için alan gücünü belirleyelim.

1. Düzgün yüklü küresel bir yüzeyin elektrik alanı.

R yarıçaplı bir küre. +q yükünün, R yarıçaplı küresel bir yüzey üzerinde düzgün şekilde dağıldığını varsayalım. Yüzey üzerindeki yük dağılımı, yüzey yük yoğunluğu ile karakterize edilir (Şekil 4). Yüzey yük yoğunluğu, yükün dağıldığı yüzey alanına oranıdır. . SI'da.

Alan gücünü belirleyelim:

a) küresel yüzeyin dışında,
b) küresel bir yüzeyin içinde.

a) Yüklü küresel yüzeyin merkezinden r>R uzaklıkta olan A noktasını alalım. Yüklü bir küresel yüzey ile ortak bir merkeze sahip olan r yarıçaplı küresel bir S yüzeyini zihinsel olarak çizelim. Simetri değerlendirmelerinden, kuvvet çizgilerinin S yüzeyine dik radyal düz çizgiler olduğu ve bu yüzeye düzgün bir şekilde nüfuz ettiği açıktır; Bu yüzeyin tüm noktalarındaki gerilimin büyüklüğü sabittir. Ostrogradsky-Gauss teoremini r yarıçaplı bu küresel S yüzeyine uygulayalım. Yani küredeki toplam akış N = E midir? S; N=E. Diğer tarafta . Kıyaslanmak: . Dolayısıyla: r>R için.

Böylece: Dışında eşit olarak yüklenen küresel bir yüzeyin yarattığı gerilim, sanki tüm yük merkezdeymiş gibi aynıdır (Şekil 5).

b) Yüklü küresel yüzeyin içinde yer alan noktalardaki alan kuvvetini bulalım. Kürenin merkezinden belirli bir uzaklıkta ayrılmış bir B noktası alalım. . O zaman r için E = 0

2. Düzgün yüklü sonsuz bir düzlemin alan kuvveti

Düzlemin her noktasında sabit bir yoğunlukla yüklenen sonsuz bir düzlemin yarattığı elektrik alanını düşünün. Simetri nedeniyle, gerilim çizgilerinin düzleme dik olduğunu ve düzlemden her iki yöne yönlendirildiğini varsayabiliriz (Şekil 6).

Düzlemin sağında bir A noktası seçiyoruz ve bu noktada Ostrogradsky-Gauss teoremini kullanarak hesaplama yapıyoruz. Kapalı yüzey olarak silindirin yan yüzeyi kuvvet çizgilerine, tabanları da düzleme paralel olacak ve tabanı A noktasından geçecek şekilde silindirik bir yüzey seçiyoruz (Şekil 7). Söz konusu silindirik yüzey boyunca gerilim akışını hesaplayalım. Yan yüzeyden geçen akış 0 olduğundan Gerilme çizgileri yan yüzeye paraleldir. Bu durumda toplam akış, silindir tabanlarından geçen akışların toplamıdır ve . Bu akışların her ikisi de pozitiftir =+; =; =; ==; N=2.

- seçilen silindirik yüzeyin içinde kalan düzlemin bir bölümü. Bu yüzeyin içindeki yük q’dur.

Daha sonra ; - A noktası ile noktasal yük olarak alınabilir. Toplam alanı bulmak için, her elemanın oluşturduğu tüm alanları geometrik olarak toplamak gerekir: ; .

Genel formülasyon: Elektrik alan kuvveti vektörünün rastgele seçilen herhangi bir kapalı yüzeyden akışı, bu yüzeyin içinde bulunan elektrik yüküyle orantılıdır.

GSSE sisteminde:

SI sisteminde:

elektrik alan şiddeti vektörünün kapalı bir yüzey boyunca akışıdır.

yüzeyi sınırlayan hacmin içerdiği toplam yüktür.

elektriksel sabittir.

Bu ifade Gauss teoreminin integral formundadır.

Diferansiyel formda Gauss teoremi, Maxwell denklemlerinden birine karşılık gelir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.

SI sisteminde:

,

GSSE sisteminde:

Burada hacimsel yük yoğunluğu (ortam olması durumunda serbest ve bağlı yüklerin toplam yoğunluğu) ve nabla operatörüdür.

Gauss teoremi için süperpozisyon ilkesi geçerlidir, yani stres vektörünün yüzeyden akışı yüzey içindeki yük dağılımına bağlı değildir.

Gauss teoreminin fiziksel temeli Coulomb yasasıdır veya Gauss teoremi Coulomb yasasının tamamlayıcı bir formülasyonudur.

Elektrik indüksiyonu için Gauss teoremi (elektriksel yer değiştirme).

Bir maddedeki alan için Gauss'un elektrostatik teoremi, elektrik yer değiştirme vektörünün akışı (elektriksel indüksiyon) aracılığıyla başka bir şekilde yazılabilir. Bu durumda teoremin formülasyonu şu şekildedir: Elektrik yer değiştirme vektörünün kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzey içindeki serbest elektrik yüküyle orantılıdır:

Bir maddedeki alan kuvveti teoremini düşünürsek, Q yükü olarak yüzeyin içinde bulunan serbest yükün ve dielektrikin polarizasyon (indüklenen, bağlı) yükünün toplamını almak gerekir:

,

Nerede ,
dielektrik polarizasyon vektörüdür.

Manyetik indüksiyon için Gauss teoremi

Manyetik indüksiyon vektörünün herhangi bir kapalı yüzeyden akısı sıfırdır:

.

Bu, tıpkı elektrik yüklerinin bir elektrik alanı yaratması gibi, doğada manyetik alan yaratacak "manyetik yüklerin" (monopollerin) bulunmadığı gerçeğine eşdeğerdir. Başka bir deyişle, manyetik indüksiyon için Gauss teoremi, manyetik alanın girdap olduğunu gösterir.

Gauss teoreminin uygulanması

Elektromanyetik alanları hesaplamak için aşağıdaki miktarlar kullanılır:

Toplu yük yoğunluğu (yukarıya bakın).

Yüzey yük yoğunluğu

burada dS yüzeyin sonsuz küçük bir alanıdır.

Doğrusal yük yoğunluğu

burada dl sonsuz küçük bir parçanın uzunluğudur.

Sonsuz homojen yüklü bir düzlemin yarattığı alanı düşünün. Düzlemin yüzey yük yoğunluğunun σ ile aynı ve eşit olmasına izin verin. Zihinsel olarak jeneratörleri düzleme dik olan ve düzleme göre simetrik olarak yerleştirilmiş ΔS tabanına sahip bir silindir hayal edin. Simetriden dolayı. Yoğunluk vektörü akısı eşittir. Gauss teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:

,

olan

GSSE sisteminde

Evrenselliğine ve genelliğine rağmen, integral formdaki Gauss teoreminin, integrali hesaplamanın zorluğundan dolayı nispeten sınırlı bir uygulamaya sahip olduğunu belirtmek önemlidir. Ancak simetrik bir problem durumunda çözümü süperpozisyon ilkesini kullanmaktan çok daha basit hale gelir.