Derecenin kökü n: temel tanımlar. Kök n: temel tanımlar Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için

Tebrikler: bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan kökleri analiz edeceğiz. :)

Pek çok insanın kökler hakkında kafası karışır, karmaşık oldukları için değil (ki bu karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha vardır), ancak çoğu okul ders kitabında kökler öyle vahşi yollarla tanımlanır ki, sadece ders kitaplarının yazarlarının kendilerinin kendilerinin bu karalamayı anlayabilir. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.

Ama önce, birçok ders kitabı derleyicisinin nedense “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$ yanı sıra herhangi bir $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (herhangi bir $\sqrt(a)$) olabilir , $\ sqrt(a)$ vb.). Ve tek bir derecenin kökünün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.

İşte bu lanet olası "biraz farklı", köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların muhtemelen% 95'ini gizliyor. Öyleyse terminolojiyi bir kez ve herkes için netleştirelim:

Tanım. Hatta kök n$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$((b)^(n))=a$ olacak şekilde bir $b$ sayısı. Ve aynı $a$ sayısından tek bir derecenin kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda, kök şu şekilde gösterilir:

\(a)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üs, $a$ sayısına ise kök ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift derecenin köküdür) ve $n=3$ için bir kübik kök (tek derece) elde ederiz. ayrıca genellikle problemlerde ve denklemlerde bulunur.

Örnekler Klasik karekök örnekleri:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizalama)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $(0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizalama)\]

Eh, birkaç "egzotik örnek":

\[\begin(hizalama) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizalama)\]

Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada, çift ve tek üsler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.

Neden köklere ihtiyacımız var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci soracaktır: “Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?” Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?

Bu soruyu cevaplamak için bir an için ilkokula geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Eh, "beşte beş - yirmi beş" ruhu içinde bir şey, hepsi bu. Ancak sonuçta, sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtler ve genellikle tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(hizalama) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklı: matematikçiler tembel insanlar, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:

Böylece derecelerle geldiler. Neden faktörlerin sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar birkaç kez azaltılır ve 5 183 yazmak için bir avuç parşömen yaprağını harcayamazsınız. Böyle bir girişe bir sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Derecelerin "keşfi" üzerine düzenlenen görkemli bir içkiden sonra, özellikle kafayı sıyırmış bir matematikçi birdenbire sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisini bilmiyorsak?" Gerçekten de, örneğin belirli bir $b$ sayısının 5. kuvveti 243'e verdiğini biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü “hazır” derecelerin çoğunluğu için böyle bir “ilk” sayıların olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizalama)\]

$((b)^(3))=50$ ise ne olur? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? Açıkça 3'ten büyüktür çünkü 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - ŞEKİL anlayacaksınız.

İşte tam da bu yüzden matematikçiler $n$-th köklerini buldular. Bu nedenle $\sqrt(*)$ radikal simgesi tanıtıldı. Belirtilen güce göre bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: genellikle bu kökler kolayca kabul edilir - yukarıda böyle birkaç örnek gördük. Ama yine de, çoğu durumda, keyfi bir sayı düşünürseniz ve ondan keyfi bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile bizim olağan formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu sayıyı bir hesap makinesine yazarsanız şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi, ondalık noktadan sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1.4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1.73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü belirgin olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, karşılaştırma ve yuvarlama becerisi mutlaka profil sınavında kontrol edilir).

Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapılamaz - bunlar, bize uzun süredir aşina olduğumuz kesirler ve tam sayıların yanı sıra $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Kökü $\frac(p)(q)$ formunun bir kesri olarak göstermenin imkansızlığı, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikal veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapılar (logaritmalar, dereceler, limitler vb.) Ama daha fazlası başka bir zaman.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\yaklaşık 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(hizalama)\]

Doğal olarak, kökün görünümünden, ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak, bir hesap makinesinde hesaplamak mümkündür, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize bir irrasyonel sayının yalnızca ilk birkaç basamağını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ olarak yazmak çok daha doğrudur.

Bunun için icat edildiler. Cevapları yazmayı kolaylaştırmak için.

Neden iki tanım gerekli?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökleri kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır - hatta pozitif, hatta negatif.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$'ı hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafiğin üzerine, parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ (kırmızı ile işaretlenmiş) çizgisi çizilir: $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı, çünkü

İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:

Ama o zaman ikinci nokta ile ne yapmalı? 4'ün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 de elde ederiz. O zaman neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yemek istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)

Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacak - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların kökleri olmayacak - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez y, yani negatif değerler almaz.

Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:

1. Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının çift üssü $n$ olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ bile olan kök hiç çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$ çift derecenin kökünün tanımı, cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini özellikle şart koşar. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atalım:

Kübik parabol herhangi bir değeri alır, böylece küp kökü herhangi bir sayıdan alınabilir.

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normalden farklı olarak, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Bu nedenle, küp kökü her zaman, kesinlikle herhangi bir sayıdan alınabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişme her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alacağınızı ve hangisini puanlayacağınızı düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunun hakkında ayrı bir derste ayrıntılı olarak konuşacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz, $n$-th çokluğunun köklerine dair tüm düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.

Ve anlaman gereken tek şey, çift ve tek sayılar arasındaki farktır. Bu nedenle, kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayacağız:

1. Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan bulunur ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi de herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, üst sınırın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Temizlemek? Evet, bariz! Bu nedenle, şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve kısıtlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve kısıtlaması vardır - bu ayrı bir ders olacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "çipi" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazıyoruz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sol| x\sağ|\]

Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir kuvvete yükseltirsek ve sonra bundan aynı derecenin kökünü çıkarırsak, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, ispatı kolay basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'ı ayrı ayrı ele almak ve sonra negatif olanları ayrı ayrı ele almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşur, her okul ders kitabında verilir. Fakat sıra irrasyonel denklemleri (yani radikalin işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez öğrenciler bu formülü birlikte unuturlar.

Konuyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı önde saymaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=?\]

Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde birçok sopa var. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edilecektir;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü derecenin kökünü çıkarmak gerekiyor. Şunlar. köklerin ve derecelerin "indirgenmesi" yoktur - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeyle ilgilenelim: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarırız:

Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:

\[((\sol(-3 \sağ))^(4))=\sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \ sol(-3 \sağ)=81\]

Üründeki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı elde ettik ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Ardından, kökü tekrar çıkarın:

Prensip olarak, cevabın aynı olacağı akıl almaz olduğu için bu satır yazılamaz. Şunlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri "yakar" ve bu anlamda sonuç normal modülden ayırt edilemez:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\sağ|=3; \\ & \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=\sol| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizalama)\]

Bu hesaplamalar, çift derecenin kökünün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Aksi takdirde, kök tanımlanmaz.

İşlem sırasına ilişkin not

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $((a)^(2))\ge 0$ zaten;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu, tanımın içine yerleştirilmiş zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalı, böylece orijinal ifadeyi sözde "basitleştirmemelidir". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, birçok sorunla karşılaşırız.

Ancak, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi özellikleri vardır. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası, tek dereceli köklerin işaretinin altından bir eksi çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \sağ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizaya)\]

Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmenize gerek yok: Ya kökün altına olumsuz bir ifade girdiyse ve kökteki derece eşit çıktıysa? Köklerin dışındaki tüm eksileri “atmak” yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle “klasik” kökler söz konusu olduğunda bizi bir sonuca götürmesi garanti edilen birçok şüpheli şey yapabilir. hata.

Ve burada sahneye başka bir tanım giriyor - çoğu okulun irrasyonel ifadeleri incelemeye başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Tanışmak!

aritmetik kök

Bir an için sadece pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın kökün işaretinin altında olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelerine puan verelim, yukarıda verilen tüm tanımlara puan verelim - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Ve sonra aritmetik kökü elde ederiz - kısmen "standart" tanımlarımızla kesişir, ancak yine de onlardan farklıdır.

Tanım. Negatif olmayan bir $a$ sayısının $n$inci derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, bize zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabolün grafiklerine bakın:

Kök arama alanı - negatif olmayan sayılar

Gördüğünüz gibi, bundan böyle, yalnızca $x$ ve $y$ koordinatlarının pozitif (veya en az sıfır) olduğu ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz. Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyoruz?"

Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Lütfen dikkat: Kök ifadesini herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizalama)\]

Sorun ne? Neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $\sqrt(-2)$ bizim klasik anlayışımızda oldukça normal olan ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez bir sayıdır. Onu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\sol(-2 \sağ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(hiza)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Şunlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık vermeye başlar.

İşte böyle bir belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler ürettiler. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.

Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için

Uzun süre düşündüm: Bu konuyu ayrı bir paragrafta yapmak ya da yapmamak. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - ortalama “okul” düzeyinde değil, Olimpiyat'a yakın düzeyde.

Yani: bir sayıdan $n$-th derecesinin kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır ve diğer incelikler. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$-th kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayılarının kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle üstüne bir tire koymanız yeterlidir:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \sağ. \sağ\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Ve gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme sadece üç türdendir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde ortaya çıkar;
2. Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırdan gelen çift kuvvetlerin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - aynı $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ikinci dereceden fonksiyon grafiği. Buna göre, böyle bir hizalama ancak bir çift derecenin kökünü pozitif bir sayıdan çıkarırken mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. Hesaplama ifadeleri:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\[\overline(\sqrt(4))=\sol\( 2;-2 \sağ\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört veriyor.

\[\overline(\sqrt(-27))=\sol\( -3 \sağ\)\]

Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Bu oldukça mantıklı, çünkü kökün üssü tuhaf.

Son olarak, son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varhiçbir şey \]

Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani, hatta!) Kuvvet'e yükseltildiğinde bize negatif bir sayı -16 verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok garip şeyi hesaplamak oldukça mümkündür.

Bununla birlikte, modern okul matematik müfredatında karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz konuyu "anlaşılması çok zor" olarak değerlendirdiği için çoğu ders kitabından çıkarılmıştır.

Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)

Bölüm ilk.

Tek terimli cebirsel ifadelerin karesine yükseltme.

152. Derecenin belirlenmesi.İki özdeş sayının çarpımı olduğunu hatırlayın. aa bir sayının ikinci kuvveti (veya karesi) denir a , üç özdeş sayının çarpımı ahh bir sayının üçüncü kuvveti (veya küpü) denir a ; Genel çalışma n aynı sayılar Ah ah aranan n -inci sayı derecesi a . Belirli bir sayının kuvvetinin bulunduğu eyleme, bir kuvvete yükseltme (ikinci, üçüncü vb.) denir. Tekrarlanan faktöre derecenin tabanı denir ve aynı faktörlerin sayısına üs denir.

Dereceler aşağıdaki gibi kısaltılır: bir 2 bir 3 bir 4 ... vb.

İlk önce en basit üs alma durumu hakkında konuşacağız, yani kareye yükselmek; ve sonra başka derecelere yüceltmeyi ele alacağız.

153. Bir kareye yükselirken işaretlerin kuralı. Göreli sayıların çarpma kuralından şu sonuç çıkar:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Bu nedenle, herhangi bir göreli sayının karesi pozitif bir sayıdır.

154. Çarpımın karesine yükseltme, derece ve kesir.

a)Örneğin, birkaç faktörün çarpımının karesini almak istensin. karın kasları . Bu, gerekli olduğu anlamına gelir karın kasları ile çarpmak karın kasları . Ama ürünle çarpmak karın kasları , çarpanı ile çarpabilirsiniz a , sonucu ile çarpın B ve ne ile çarpılabilir İle .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(ifadenin anlamını değiştirmeyeceği için son parantezleri kaldırdık). Şimdi, çarpmanın birleştirici özelliğini kullanarak (bölüm 1 § 34, b), çarpanları aşağıdaki gibi gruplandırıyoruz:

(aa) (bb) (ss),

şu şekilde kısaltılabilir: a 2 b 2 c 2 .

Anlamına geliyor, çarpımı karelemek için her faktörü ayrı ayrı kareleyebilirsiniz
(Konuşmayı kısaltmak için, bu kural, bir sonraki gibi tam olarak ifade edilmemiştir; şunu da eklemek gerekir: “ve elde edilen sonuçları çarpın.” Bunun eklenmesi açıktır ..)

Böylece:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y2; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; vb.

B)Örneğin, bir dereceye kadar gerekli olsun. a 3 , kareye. Bu şu şekilde yapılabilir:

(a 3) 2 \u003d 3 a 3 \u003d 3 + 3 \u003d 6.

Bunun gibi: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Anlamına geliyor, Üssün karesini almak için üssü 2 ile çarpabilirsiniz. .

Böylece, bu iki kuralı uygulayarak, örneğin:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 bir 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 bir 2 x 4 y 6

v) Bazı kesirlerin karesinin alınması gerektiğini varsayalım. a / B . Ardından, bir kesri bir kesirle çarpma kuralını uygulayarak şunu elde ederiz:

Anlamına geliyor, Bir kesrin karesini almak için pay ve paydanın karesini ayrı ayrı alabilirsiniz.

Örnek.

İkinci bölüm.

Bir polinomun karesini alma.

155. Bir formülün türetilmesi. Formülü kullanarak (bölüm 2 bölüm 3 § 61):

(a + b) 2 = bir 2 + 2ab + b 2 ,

üç terimlinin karesini alabiliriz a + b + c bir iki terimli olarak düşünüldüğünde (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = bir 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

Böylece, iki terimlinin eklenmesiyle bir + b üçüncü üye İle yükseltmeden sonra kareye 2 terim eklendi: 1) üçüncü terimin ilk iki terimin toplamının çift çarpımı ve 2) üçüncü terimin karesi. Şimdi üç terimliye uygulayalım a + b + c dördüncü üye D ve dörtgeni yükseltmek a + b + c + D karesi alınır, toplamı alınır a + b + c bir üye için.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2

yerine ikame (a + b + c) 2 yukarıda aldığımız ifadeyi buluyoruz:

(a + b + c + d) 2 = bir 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Yine, karesindeki yüksek polinoma yeni bir terimin eklenmesiyle 2 terimin eklendiğini görüyoruz: 1) önceki terimlerin toplamının çift çarpımı ve yeni terim ve 2) yeni terimin karesi. Açıktır ki, bu iki terimin eklenmesi, yüce polinoma daha fazla terim eklendikçe devam edecektir. Anlamına geliyor:

Bir polinomun karesi: 1. terimin karesi, artı 1. terimin ve 2. terimin çarpımının iki katı, artı 2. terimin karesi, artı ilk iki terimin toplamının ve 3. terimin çarpımının iki katıdır. terim, artı 3. terimin karesi, artı ilk üç terimin toplamının iki katı ve 4. terim artı 4. terimin karesi, vb. Tabii ki, bir polinomun terimleri de negatif olabilir.

156. İşaretler hakkında bir not. Artı işaretli nihai sonuç, ilk olarak, polinomun tüm terimlerinin kareleri ve ikinci olarak, aynı işaretlerle terimlerin çarpılmasından elde edilen iki katına çıkan ürünler olacaktır.

Örnek.

157. Tam sayıların kısaltılmış karesi. Bir polinomun karesi formülünü kullanarak, herhangi bir tam sayıyı normal çarpmadan farklı bir şekilde karelemek mümkündür. Örneğin, karenin gerekli olduğunu varsayalım. 86 . Bu sayıyı rakamlara ayıralım:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 aralık + 6 birim.

Şimdi, iki sayının toplamının karesi formülünü kullanarak şunu yazabiliriz:

(8 aralık + 6 adet) 2 \u003d (8 aralık) 2 + 2 (8 aralık) (6 adet) + (6 adet) 2 .

Bu toplamı hızlı bir şekilde hesaplamak için, onlukların karesinin yüzlerce olduğunu (fakat binlerce olabilir) hesaba katalım; Örneğin. 8 ara. kare formu 64 yüz, Çünkü 80 2 = b400; onlarca birimin çarpımı onlarcadır (ancak yüzlerce olabilir), ör. 3 Aralık 5 adet \u003d 15 ara, 30'dan beri 5 \u003d 150; ve birimlerin karesi birimlerdir (ancak onlarca olabilir), ör. 9 adet kare = 81 birim. Bu nedenle, hesaplamayı aşağıdaki gibi düzenlemek daha uygundur:

yani önce ilk basamağın (yüz) karesini yazıyoruz; bu sayının altına ikinci (onlar) ile birinci basamağın çift çarpımını yazıyoruz, bu çarpımın son basamağının üst sayının son basamağının bir sağında olduğunu gözlemliyoruz; ayrıca, yine son rakamla bir basamak geriye giderek ikinci basamağın (bir) karesini koyarız; ve tüm yazılı sayıları bir toplama ekleyin. Tabii ki, bu sayılar uygun sayıda sıfırla doldurulabilir, yani şöyle yazılabilir:

ancak, her seferinde (son haneye göre) bir basamak sağa doğru geri giderek, yalnızca sayıları birbiri altında doğru bir şekilde imzalarsak, bu işe yaramaz.

Hala kare gerekli olsun 238 . Çünkü:

238 = 2 yüz. + 3 aralık + 8 adet, sonra

Ama yüzlerin karesi onbinleri verir (örneğin 5 yüzün karesi 25 onbindir, çünkü 500 2 = 250.000), yüzlerin onlarla çarpımı binlerce verir (örneğin 500 30 = 15.000), vb.

Örnekler

Üçüncü bölüm.

y = x 2 ve y=ah 2 .

158. Bir fonksiyonun grafiği y = x 2 . Bakalım sayı ne zaman yükselecek x kare değişir x 2 (örneğin, bir karenin kenarını değiştirmenin alanını nasıl değiştirdiği). Bunu yapmak için öncelikle işlevin aşağıdaki özelliklerine dikkat edin. y = x 2 .

a) her anlam için x fonksiyon her zaman mümkündür ve her zaman sadece bir tanımlı değer alır. Örneğin, ne zaman x = - 10 fonksiyon (-10) 2 = 100 ,
x =1000 fonksiyon 1000 2 =1 000 000 , vb.

B)Çünkü (- x ) 2 = x 2 , ardından iki değer için x , sadece işaretlerde farklılık gösteren iki özdeş pozitif değer elde edilir de ; örneğin, ne zaman x = - 2 ve x = + 2 anlam de tamamen aynı olacak 4 . için negatif değerler de asla başarılı olmaz.

v) x'in mutlak değeri sonsuza kadar artarsa, o zaman de süresiz olarak artar. Yani, eğer için x sınırsız artan bir dizi pozitif değer vereceğiz: 1, 2, 3, 4... veya sınırsız olarak azalan bir dizi negatif değer: -1, -2, -3, -4..., sonra için de süresiz olarak artan bir dizi değer elde ederiz: 1, 4, 9, 16, 25 ... Bunlar kısaca şu şekilde ifade edilir: x = + ∞ ve x = - ∞ işlev de bitti + ∞ .

G) x de . Yani, eğer değer x = 2 , artıralım, koyalım, 0,1 (yani yerine x = 2 Hadi alalım x = 2.1 ), sonra de onun yerine 2 2 = 4 eşit olur

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Anlamına geliyor, de ile artacak 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Eğer aynı değer x daha da küçük bir artış verelim, koyalım 0,01 , o zaman y eşittir

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

O zaman y artacak 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , yani eskisinden daha az artacaktır. Genel olarak, artırdığımız daha küçük kesir x , küçük sayı artacak de . Yani, bunu hayal edersek x 2'den büyük tüm değerlerden geçerek (2 değerinden varsayılarak) sürekli artar, sonra de 4'ten büyük tüm değerlerden geçerek de sürekli artacaktır.

Tüm bu özellikleri fark ettikten sonra, bir fonksiyon değerleri tablosu yapacağız. y = x 2 , örneğin, şöyle:

Şimdi bu değerleri çizimde apsisleri yazılı değerler olacak noktalar olarak gösterelim. x , ve ordinatlar karşılık gelen değerlerdir de (çizimde uzunluk birimi olarak bir santimetre aldık); elde edilen noktalar bir eğri ile özetlenecektir. Bu eğriye parabol denir.

Bazı özelliklerini ele alalım.

a) Bir parabol sürekli bir eğridir, çünkü apsiste sürekli bir değişiklik vardır. x (hem pozitif hem de negatif yönde) şimdi gördüğümüz gibi, ordinat da sürekli değişir.

B) Tüm eğri eksenin aynı tarafındadır x -ov, tam olarak koordinatların pozitif değerlerinin bulunduğu tarafta.

v) Parabol eksene bölünür de -ov iki parçaya (dallara) bölünür. Nokta Ö bu dalların birleştiği yere parabolün tepe noktası denir. Bu nokta, parabol ve eksen için ortak olan tek noktadır. x -ov; yani bu noktada parabol eksene değiyor x -ov.

G) Her iki dal da sonsuzdur, çünkü x ve de süresiz olarak artabilir. Dallar eksenden yükselir x -s süresiz olarak yukarı doğru, aynı zamanda eksenden süresiz olarak uzaklaşıyor y -ov sağ ve sol.

e) eksen y -ov, parabol için bir simetri ekseni görevi görür, böylece çizimi bu eksen boyunca bükerek çizimin sol yarısı sağa düşerse, her iki dalın da birleştirileceğini göreceğiz; örneğin, apsisi - 2 ve ordinatı 4 olan bir nokta, apsisi +2 olan bir nokta ve aynı ordinat 4 ile uyumlu olacaktır.

e) saat x = 0 ordinat da 0'dır. Dolayısıyla, x = 0 fonksiyon mümkün olan en küçük değere sahiptir. Eğrinin koordinatları süresiz olarak arttığı için fonksiyon en büyük değere sahip değildir.

159. Formun bir fonksiyonunun grafiğiy=ah 2 . önce varsayalım ki a pozitif bir sayıdır. Örneğin, şu 2 işlevi alın:

1) y= 1 1 / 2 x 2 ; 2) y= 1 / 3 x 2

Bu işlevlerin değer tablolarını yapalım, örneğin aşağıdakiler:

Tüm bu değerleri çizimin üzerine koyalım ve eğrileri çizelim. Karşılaştırma için, aynı çizime (kesik çizgi) fonksiyonun başka bir grafiğini yerleştirdik:

3) y=x 2

Aynı apsis ile 1. eğrinin koordinatının da olduğu çizimden görülebilir. 1 1 / 2 , kat daha fazla ve 2. eğrinin koordinatı 3 3. eğrinin koordinatından kat daha az. Sonuç olarak, tüm bu eğriler genel bir karaktere sahiptir: sonsuz sürekli dallar, bir simetri ekseni, vb. bir > 1 eğrinin dalları daha yüksek ve ne zaman a< 1 eğriden daha fazla eğilirler y=x 2 . Tüm bu eğrilere parabolam denir.

Şimdi katsayının olduğunu varsayalım. a negatif bir sayı olacaktır. Örneğin, y=- 1 / 3 x 2 . Bu işlevi bununla karşılaştırmak: y = + 1 / 3 x 2 aynı değer için unutmayın x her iki fonksiyon da aynı mutlak değere sahiptir, ancak zıt işaretlidir. Bu nedenle, fonksiyon çiziminde y=- 1 / 3 x 2 fonksiyonla aynı parabolü elde ederiz y= 1 / 3 x 2 sadece aksın altında bulunur x -ov bir parabol ile simetriktir y= 1 / 3 x 2 . Bu durumda, fonksiyonun tüm değerleri negatiftir, biri hariç, sıfıra eşittir. x = 0 ; bu son değer hepsinin en büyüğüdür.

Yorum Yap. İki değişken arasındaki ilişki ise de ve x eşitlikle ifade edilir: y=ah 2 , nerede a bir sabit sayı, o zaman değerin olduğunu söyleyebiliriz de değerin karesi ile orantılı x , çünkü bir artış veya azalma ile x 2 kat, 3 kat vb. değer de 4 kat, 9 kat, 16 kat vb. artar veya azalır. Örneğin, bir dairenin alanı π R 2 , nerede r dairenin yarıçapı ve π sabit bir sayı (yaklaşık 3.14'e eşit); Bu nedenle, bir dairenin alanının yarıçapının karesiyle orantılı olduğunu söyleyebiliriz.

Bölüm dört.

Küpe ve tek terimli cebirsel ifadelerin diğer güçlerine yüceltme.

160. Bir dereceye kadar yükseltirken işaretlerin kuralı. Göreceli sayılar için çarpma kuralından şunu çıkar:

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; vb.

Anlamına geliyor, Negatif bir sayıyı çift üslü bir kuvvete yükseltmek pozitif bir sayı üretir ve onu tek üslü bir kuvvete yükseltmek negatif bir sayı üretir.

161. Ürün, derece ve kesir derecesine yükselme. Bir derecenin ve bir kesrin çarpımını bir dereceye kadar yükseltirken, onu bir kareye () yükseltirken yaptığımızın aynısını yapabiliriz. Böyle:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

Beşinci Bölüm.

Fonksiyonların grafik gösterimi: y = x 3 ve y = eksen 3 .

162. Bir fonksiyonun grafiği y = x 3 . Sayı arttığında yüce sayının küpünün nasıl değiştiğini (örneğin, küpün kenarı değiştiğinde küpün hacminin nasıl değiştiğini) ele alalım. Bunu yapmak için önce fonksiyonun aşağıdaki özelliklerini belirtiyoruz. y = x 3 (fonksiyonun özelliklerini anımsatan y = x 2 , daha önce tartışıldı, ):

a) her anlam için x işlev y = x 3 mümkündür ve tek bir anlamı vardır; yani, (+ 5) 3 \u003d +125 ve + 5 sayısının küpü başka bir sayıya eşit olamaz. Benzer şekilde, (- 0.1) 3 = - 0.001 ve -0.1'in küpü başka bir sayıya eşit olamaz.

B) iki değerle x , sadece işaretlerde farklılık gösteren fonksiyon x 3 sadece işaretlerde birbirinden farklı değerler alır; yani x = 2 işlev x 3 eşittir 8, ve x = - 2 eşittir 8 .

v) x arttıkça, fonksiyon x 3 artar ve daha hızlı x , ve hatta daha hızlı x 2 ; yani

x = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 irade = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G) Değişken sayıda çok küçük bir artış x fonksiyonun çok küçük bir artışına karşılık gelir x 3 . Yani eğer değer x = 2 kesirli artış 0,01 , yani eğer yerine x = 2 Hadi alalım x = 2,01 , ardından fonksiyon de olmayacak 2 3 (yani değil 8 ), a 2,01 3 , hangi tutarda olacak 8,120601 . Yani bu fonksiyon daha sonra artacak 0,120601 . eğer değer x = 2 daha da az artırın, örneğin 0,001 , sonra x 3 eşit olur 2,001 3 , hangi tutarda olacak 8,012006001 , ve bu nedenle, de sadece artacak 0,012006001 . Bu nedenle, değişken bir sayının artışının x giderek daha az olacak, ardından artış x 3 giderek daha az olacaktır.

Fonksiyonun bu özelliğinin fark edilmesi y = x 3 Onun grafiğini çizelim. Bunu yapmak için önce bu işlev için bir değerler tablosu derleriz, örneğin aşağıdakiler:

163. Bir fonksiyonun grafiği y \u003d eksen 3 . Bu iki işlevi alalım:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

Bu işlevleri daha basit bir işlevle karşılaştırırsak: y = x 3 , aynı değer için not ediyoruz x ilk işlev, işlevin iki katı kadar küçük ve ikincisi iki katı kadar büyük değerler alır. y \u003d eksen 3 , aksi takdirde bu üç işlev birbirine benzer. Grafikleri, aynı çizim üzerinde karşılaştırma için gösterilmiştir. Bu eğriler denir 3. dereceden paraboller.

Altıncı bölüm.

Kök çıkarmanın temel özellikleri.

164. Görevler.

a) Alanı 16 cm ve yüksekliği 4 cm olan bir dikdörtgenin alanına eşit olan bir karenin kenarını bulun.

Harf ile istenilen karenin kenarını gösteren x (cm), aşağıdaki denklemi elde ederiz:

x 2 =16 4, yani x 2 = 64.

bu şekilde görüyoruz x ikinci güce yükseltildiğinde 64 ile sonuçlanan bir sayı vardır. Böyle bir sayıya 64'ün ikinci kökü denir. + 8 veya - 8'e eşittir, çünkü (+ 8) 2 \u003d 64 ve (- 8) 2 \u003d 64. Negatif sayı - 8, görevimiz için uygun değildir, çünkü karenin kenarı sıradan bir aritmetik sayı ile ifade edilmelidir.

B) 1 kg 375 gr (1375 gr) ağırlığındaki kurşun parça bir küp şeklindedir. 1 küp olduğu biliniyorsa bu küpün kenarının ne kadar büyük olduğu. cm kurşun 11 gram ağırlığında mı?

Küpün kenar uzunluğu olsun x cm O zaman hacmi eşit olacaktır x 3 küp cm ve ağırlığı 11 olacak x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

bu şekilde görüyoruz x üçüncü güce yükseltildiğinde, bir sayı var 125 . Böyle bir numara denir üçüncü kök 125 üzerinden. Tahmin edebileceğiniz gibi, 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125'ten beri 5'e eşittir. Bu nedenle, problemde belirtilen küpün kenarı 5 cm uzunluğa sahiptir.

165. Kökün tanımı. Bir sayının ikinci kökü (veya karesi) a karesi eşit olan sayı a . Yani, 49'un karekökü 7 ve ayrıca - 7, çünkü 7 2 \u003d 49 ve (- 7) 2 \u003d 49. Sayının üçüncü derece (kübik) kökü a küpü eşit olan sayı denir a . Yani -125'in küp kökü -5'tir, çünkü (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Genel olarak kök n arasından inci derece a bir numara aradı n-inci derece eşittir a.

Numara n , kökün ne derece olduğu anlamına gelir kök göstergesi.

Kök, √ işaretiyle gösterilir (kökün işareti, yani kökün işareti). latince kelime sayı tabanı kök demektir. İşaret√ ilk 15. yüzyılda tanıtıldı.. Yatay çizginin altına kökün bulunduğu sayıyı (radikal sayı) yazarlar ve kök indeksi açı deliğinin üzerine yerleştirilir. Böyle:

27'nin küp kökü gösterilir ..... 3 √27;

32'nin dördüncü kökü gösterilir... 3 √32.

Örneğin, karekök üssünü hiç yazmamak gelenekseldir.

2 √16 yerine √16 yazarlar.

Kökün bulunma işlemine kök çıkarma denir; bir dereceye yükseltmenin zıttıdır, çünkü bu eylem vasıtasıyla bir dereceye yükselme sırasında verilen, yani duvarın temeli aranır ve verilen, bir dereceye çıkarken bulunandır. yani derecenin kendisi. Bu nedenle, kökü bir dereceye kadar yükselterek çıkarmanın doğruluğunu her zaman doğrulayabiliriz. Örneğin, kontrol etmek için

eşitlik: 3 √125 = 5, 5'i bir küp haline getirmek yeterlidir: 125 radikal sayısını aldıktan sonra, 125'in küp kökünün doğru şekilde çıkarıldığı sonucuna varırız.

166. Aritmetik kök. Bir kök pozitif bir sayıdan çıkarılırsa ve kendisi de pozitif bir sayıysa aritmetik olarak adlandırılır. Örneğin, 49'un aritmetik karekökü 7 iken, aynı zamanda 49'un karekökü olan 7 sayısı aritmetik olarak adlandırılamaz.

Bir aritmetik kökün aşağıdaki iki özelliğini gösteriyoruz.

a) √49 aritmetiğinin bulunması istensin. Böyle bir kök 7 olacaktır, çünkü 7 2 \u003d 49. Başka bir pozitif sayı bulmanın mümkün olup olmadığını kendimize soralım. x , bu da √49 olur. Diyelim ki böyle bir sayı var. O zaman ya 7'den küçük ya da 7'den büyük olmalıdır. x < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, o zaman x 2 >49. Bu, ne 7'den küçük ne de 7'den büyük hiçbir pozitif sayının √49'a eşit olamayacağı anlamına gelir. Bu nedenle, belirli bir sayıdan belirli bir derecenin yalnızca bir aritmetik kökü olabilir.

Kökün olumlu anlamından değil de bir şeyden bahsediyor olsaydık farklı bir sonuca varırdık; yani, √49, hem 7 2 \u003d 49 hem de (- 7) 2 \u003d 49 olduğundan, hem 7 sayısına hem de - 7 sayısına eşittir.

B)Örneğin, eşit olmayan iki pozitif sayıyı alın. 49 ve 56. 49'dan< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Gerçekten: 3 √64 = 4 ve 3 √125 = 5 ve 4< 5. Вообще daha küçük bir pozitif sayı, daha küçük bir aritmetik köke karşılık gelir (aynı dereceden).

167. Cebirsel kök. Bir kök, pozitif bir sayıdan çıkarılması ve kendisinin pozitif olması gerekmiyorsa cebirsel olarak adlandırılır. Böylece, eğer ifadenin altında n √a elbette cebirsel kök n inci derece, bu sayı anlamına gelir a hem pozitif hem de negatif olabilir ve kökün kendisi hem pozitif hem de negatif olabilir.

Bir cebirsel kökün aşağıdaki 4 özelliğini belirtiyoruz.

a) Pozitif bir sayının tek kökü pozitif bir sayıdır .

Böyle, 3 √8 pozitif bir sayı olmalıdır (2'ye eşittir), çünkü tek üslü bir kuvvete yükseltilmiş negatif bir sayı, negatif bir sayı verir.

B) Negatif bir sayının tek kökü negatif bir sayıdır.

Böyle, 3 √-8 negatif bir sayı olmalıdır (-2'ye eşittir), çünkü herhangi bir kuvvete yükseltilmiş pozitif bir sayı negatif değil, pozitif bir sayı verir.

v) Pozitif bir sayının çift derecesinin kökü, zıt işaretli ve aynı mutlak değere sahip iki değere sahiptir.

Evet, √ +4 = + 2 ve √ +4 = - 2 , çünkü (+ 2 ) 2 = + 4 ve (- 2 ) 2 = + 4 ; benzer 4 √+81 = + 3 ve 4 √+81 = - 3 çünkü her iki derece (+3) 4 ve (-3) 4 aynı sayıya eşittir. Kökün çift değeri genellikle kökün mutlak değerinin önüne iki işaret koyarak belirtilir; şöyle yazıyorlar:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

G) Negatif bir sayının çift kökü, herhangi bir pozitif veya negatif sayıya eşit olamaz. , çünkü her ikisi de çift üslü bir kuvvete yükseltildikten sonra, negatif değil, pozitif bir sayı verir. Örneğin, √ -9 +3 veya -3 veya başka bir sayıya eşit değildir.

Negatif bir sayının çift köküne hayali sayı denir; bağıl sayılara gerçek sayılar denir veya geçerli, sayılar.

168. Bir üründen, bir dereceden ve bir kesirden kök çıkarma.

a)Ürünün karekökünü alalım karın kasları . Çarpımı karelemek istiyorsanız, gördüğümüz gibi (), her faktörü ayrı ayrı kareleyebilirsiniz. Bir kök çıkarmak, bir güce yükseltmenin tersi olduğundan, bir üründen bir kök çıkarmak için, kişinin onu her bir faktörden ayrı ayrı çıkarabileceğini beklemeliyiz, yani.

√ABC = √a √B √C .

Bu eşitliğin doğruluğunu doğrulamak için sağ tarafını kareye kaldırıyoruz (teoreme göre: ürünü bir güce yükseltmek için ...):

(√a √B √C ) 2 = (√a ) 2 (√B ) 2 (√C ) 2

Ancak kökün tanımına göre,

(√a ) 2 = a, (√B ) 2 = B, (√C ) 2 = C

Buradan

(√a √B √C ) 2 = karın kasları .

Ürünün karesi ise √ a √B √C eşittir karın kasları , o zaman bu, ürünün kareköküne eşit olduğu anlamına gelir. ABC .

Bunun gibi:

3 √ABC = 3 √a 3 √B 3 √C ,

(3 √a 3 √B 3 √C ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √B ) 3 (3 √C ) 3 = ABC

Anlamına geliyor, üründen kökü çıkarmak için her faktörden ayrı ayrı çıkarmak yeterlidir.

B) Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu kontrol etmek kolaydır:

√a 4 = a 2 , Çünkü 2 ) 2 = a 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; vb.

Anlamına geliyor, Üssü kökün üssüne bölünebilen bir kuvvetin kökünü almak için, üs kökün üssüne bölünebilir.

v) Aşağıdaki eşitlikler de doğru olacaktır:

Anlamına geliyor, bir kesrin kökünü çıkarmak için pay ve paydayı ayrı ayrı kullanabilirsiniz.

Bu gerçeklerde aritmetiğin köklerinden bahsettiğimizin varsayıldığına dikkat edin.

Örnekler.

1) √9a 4 B 6 = √9 √a 4 √B 6 = 3a 2 B 3 ;

2) 3 √125a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5a 2 x 3

Açıklama İstenen çift derece kökünün cebirsel olduğu varsayılırsa, bulunan sonucun önüne bir çift işaret gelmelidir ± Yani,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Radikallerin en basit dönüşümleri,

a) Radikal işaretinin çarpanlara ayrılması. Köklü ifade, bazılarından bir kök çıkarılabilecek şekilde faktörlere ayrıştırılırsa, bu tür faktörler, onlardan kök çıkarıldıktan sonra, kök işaretinden önce yazılabilir (radikal işaretten çıkarılabilir).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = a √a .

2) √24a 4 x 3 = √4 6 bir 4 x 2 x = 2a 2x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2x 3 x = 2 kere 3 √2 x

B) Faktörleri radikalin işareti altına getirmek. Bazen, tam tersine, radikal işareti altında kendisinden önce gelen faktörleri çıkarmak yararlıdır; Bunu yapmak için, bu tür çarpanları üssü kökün üssüne eşit bir kuvvete yükseltmek ve sonra çarpanları radikal işaretinin altına yazmak yeterlidir.

Örnekler

1) a 2 √a = √(a 2 ) 2 a = √a 4 a = √a 5 .

2) 2 kere 3 √x = 3 √(2 kere ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

v) Paydalardan serbest radikal ifade. Bunu aşağıdaki örneklerle gösterelim:

1) Kesri, paydadan karekök elde edilebilecek şekilde dönüştürün. Bunu yapmak için, kesrin her iki terimini de 5 ile çarpın:

2) Kesrin her iki terimini de ile çarpın 2 , üzerinde a ve üzerinde x , yani 2Ey :

Yorum Yap. Cebirsel toplamdan kökü çıkarmak gerekiyorsa, her terimden ayrı ayrı çıkarmak yanlış olur. Örn.√ 9 + 16 = √25 = 5 , Halbuki
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; dolayısıyla toplama (ve çıkarma) ile ilgili olarak kökü çıkarma eylemi dağılma özelliği yoktur(ayrıca bir dereceye kadar yükselme, bölüm 2 bölüm 3 § 61, açıklama).

Örnekler:

\(\sqrt(16)=2\) çünkü \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , çünkü \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

N'inci derecenin kökü nasıl hesaplanır?

\(n\)-th kökünü hesaplamak için kendinize şu soruyu sormalısınız: kök altında \(n\)-th derecesine hangi sayı verilecek?

Örneğin. \(n\)inci kökü hesaplayın: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) \(4\)'inci kuvvete \(16\) hangi sayıyı verir? Açıkçası, \(2\). Böyle:

b) \(3\)'inci kuvvete \(-64\) hangi sayıyı verir?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) \(5\)inci kuvvete hangi sayı \(0.00001\) verir?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) \(3\)-inci dereceye hangi sayı \(8000\) verir?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(4\)'inci güce hangi sayı \(\frac(1)(81)\) verir?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

\(n\)-th derece kökü olan en basit örnekleri ele aldık. \(n\)-th derece kökleriyle daha karmaşık problemleri çözmek için onları bilmek hayati önem taşır.

Örnek. Hesaplamak:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Şu anda, köklerin hiçbiri hesaplanamaz. Bu nedenle, \(n\)-th derece kökünün özelliklerini uygularız ve ifadeyi dönüştürürüz. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) çünkü \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Birinci terimdeki çarpanları, \(n\)inci derecenin karekökü ve kökü yan yana olacak şekilde yeniden düzenleyelim. Bu, özelliklerin uygulanmasını kolaylaştıracaktır. \(n\)th köklerinin çoğu özelliği yalnızca aynı dereceden köklerle çalışır. Ve 5. derecenin kökünü hesaplıyoruz.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		\(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) özelliğini uygulayın ve parantezi genişletin
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		\(\sqrt(81)\) ve \(\sqrt(-27)\) hesaplayın
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

n'inci kök ve karekök ilişkili mi?

Her durumda, herhangi bir dereceden herhangi bir kök, sizin için alışılmadık bir biçimde yazılmış olsa da, yalnızca bir sayıdır.

n'inci kökün tekilliği

Tek \(n\) ile bir \(n\)-th kökü herhangi bir sayıdan alınabilir, hatta negatif olanlar bile (başlangıçtaki örneklere bakın). Ancak \(n\) çift ise (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), o zaman böyle bir kök yalnızca şu durumlarda çıkarılır: \( a ≥ 0\) (bu arada, karekök aynıdır). Bunun nedeni, kök çıkarmanın üs almanın tersi olmasıdır.

Ve eşit bir güce yükseltmek, negatif bir sayıyı bile pozitif yapar. Gerçekten de, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Bu nedenle, çift derecenin kökü altında negatif bir sayı elde edemeyiz. Bu, negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramayacağımız anlamına gelir.

Tek bir gücün böyle bir kısıtlaması yoktur - tek bir güce yükseltilmiş negatif bir sayı negatif kalacaktır: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2 ) \ cdot(-2)=-32\). Bu nedenle, tek bir derecenin kökü altında negatif bir sayı elde edebilirsiniz. Bu, onu negatif bir sayıdan çıkarmanın da mümkün olduğu anlamına gelir.