İstatistiksel yöntemler. Olasılık ve İstatistik - Temel Gerçekler Olasılık İstatistiksel Araştırma Yöntemleri

Madencilik biliminde birçok durumda sadece deterministik değil, aynı zamanda rastgele süreçleri de araştırmak gerekir. Tüm jeomekanik süreçler, belirli olayların olabileceği veya olmayabileceği sürekli değişen koşullarda gerçekleşir. Bu durumda rastgele bağlantıları analiz etmek gerekli hale gelir.

Olayların rastgele doğasına rağmen, olaylarda dikkate alınan belirli kalıplara uyarlar. olasılık teorisi , rastgele değişkenlerin teorik dağılımlarını ve özelliklerini inceleyen . Matematiksel istatistik olarak adlandırılan başka bir bilim, rastgele ampirik olayları işleme ve analiz etme yöntemleriyle ilgilenir. Bu iki ilgili bilim, bilimsel araştırmalarda yaygın olarak kullanılan toplu rastgele süreçlerin birleşik bir matematiksel teorisini oluşturur.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik unsurları. Altında agrega rastgele bir değişkenin bir dizi homojen olayını anlamak NS, birincil istatistiksel materyali oluşturur. Popülasyon genel olabilir (büyük örneklem n), kütle olgusunun en çeşitli varyantlarını içeren ve seçici (küçük örnek n 1), genel nüfusun sadece bir parçasıdır.

olasılık r(NS) gelişmeler NS vaka sayısının oranıdır n(NS), olayın meydana gelmesine neden olan NS, olası toplam vaka sayısına n:

Matematiksel istatistikte, olasılık analogu, bir olayın meydana geldiği durum sayısının toplam olay sayısına oranı olan bir olayın sıklığı kavramıdır:

Olay sayısında sınırsız bir artışla, frekans olasılığa yönelir. r(NS).

Şekil 2'de bir dağılım serisi (histogram) şeklinde sunulan bazı istatistiksel veriler olduğunu varsayalım. 4.11, daha sonra frekans, aralıkta rastgele bir değişkenin ortaya çıkma olasılığını karakterize eder. і , ve düzgün eğriye dağıtım fonksiyonu denir.

Rastgele bir değişkenin olasılığı, meydana gelme olasılığının nicel bir tahminidir. inandırıcı bir olay r= 1, imkansız olay - r= 0. Bu nedenle, rastgele bir olay için ve tüm olası değerlerin olasılıklarının toplamı.

Çalışmalarda bir dağılım eğrisine sahip olmak yeterli değildir, ancak özelliklerini bilmeniz gerekir:

a) aritmetik ortalama -; (4.53)

b) kapsam - r= x maksimum - x olayların varyasyonunu kabaca tahmin etmek için kullanılabilen min. x maksimum ve x min - ölçülen değerin aşırı değerleri;

c) matematiksel beklenti -. (4.54)

Sürekli rastgele değişkenler için beklenti şu şekilde yazılır:

, (4.55)

onlar. gözlemlenen olayların gerçek değerine eşittir NS, ve beklentiye karşılık gelen apsise dağıtım merkezi denir.

d) varyans - , (4.56)

matematiksel beklenti ile ilgili olarak rastgele bir değişkenin saçılmasını karakterize eden. Rastgele bir değişkenin varyansına ikinci dereceden merkezi moment de denir.

Sürekli bir rastgele değişken için varyans

; (4.57)

e) standart sapma veya standart -

f) varyasyon katsayısı (bağıl saçılma) -

, (4.59)

Bu, farklı popülasyonlardaki saçılma yoğunluğunu karakterize eder ve bunları karşılaştırmak için kullanılır.

Dağılım eğrisinin altındaki alan bire karşılık gelir, bu da eğrinin rastgele değişkenlerin tüm değerlerini kapsadığı anlamına gelir. Ancak alanı bire eşit olacak bu tür eğriler çok sayıda oluşturulabilir, yani. farklı saçılmalara sahip olabilirler. Saçılma ölçüsü, varyans veya standart sapmadır (Şekil 4.12).

Yukarıda, olasılık teorisi tarafından analiz edilen teorik dağılım eğrisinin ana özelliklerini inceledik. İstatistikte ampirik dağılımlar kullanılır ve istatistiğin ana görevi, mevcut ampirik dağılım yasasına göre teorik eğrilerin seçilmesidir.

Rastgele bir değişkenin n ölçümünün sonucunda bir varyasyon serisi elde edilsin. NS 1 , NS 2 , NS 3 , …x n... Bu tür satırların işlenmesi aşağıdaki işlemlere indirgenmiştir:

- grup x ben aralıkta ve her biri için mutlak ve bağıl frekansları ayarlayın;

- değerler, kademeli bir histogram oluşturmak için kullanılır (Şekil 4.11);

- ampirik dağılım eğrisinin özelliklerini hesaplayın: aritmetik ortalama varyans NS=; standart sapma.

değerler, NS ve s ampirik dağılımlar değerlere karşılık gelir, NS(NS) ve s(NS) teorik dağılım.

Ana teorik dağılım eğrilerini düşünün. Çoğu zaman araştırmada, denklemi şu şekilde olan normal dağılım yasası kullanılır (Şekil 4.13):

(4.60)

Koordinat eksenini noktayla hizalarsanız m, yani kabul etmek m(x) = 0 ve kabul edin, normal dağılım yasası daha basit bir denklemle açıklanacaktır:

Saçılımı tahmin etmek için genellikle değer kullanılır. ... Daha az s, daha az saçılma, yani. gözlemler birbirinden çok az farklıdır. büyütme ile s saçılma artar, hata olasılığı artar ve eşit olan eğrinin (ordinat) maksimumu azalır. Bu nedenle değer NS= 1 / 1 için doğruluk ölçüsü denir. Kök-ortalama-kare sapmaları ve dağılım eğrisinin bükülme noktalarına (Şekil 4.12'deki gölgeli alan) karşılık gelir.

Birçok rastgele kesikli süreci analiz ederken, Poisson dağılımı (birim zaman başına meydana gelen kısa süreli olaylar) kullanılır. Nadir olayların sayısının meydana gelme olasılığı NS= 1, 2, ... belirli bir süre için Poisson yasası ile ifade edilir (bkz. Şekil 4.14):

, (4.62)

nerede NS- belirli bir süre için olay sayısı T;

λ - yoğunluk, yani zaman birimi başına ortalama olay sayısı;

- zaman için ortalama olay sayısı T;

Poisson yasasına göre varyans, zaman içindeki olayların oluşum sayısının matematiksel beklentisine eşittir. T, yani ...

Bazı süreçlerin nicel özelliklerini (makine arıza süresi vb.) incelemek için, dağılım yoğunluğu bağımlılıkla ifade edilen üstel bir dağılım yasası kullanılır (Şekil 4.15).

nerede λ - zaman birimi başına olayların yoğunluğu (ortalama sayısı).

Üstel dağılımda, yoğunluk λ matematiksel beklentinin karşılığıdır λ = 1/m(x). Ayrıca oran doğrudur.

Çeşitli araştırma alanlarında, Weibull dağıtım yasası yaygın olarak kullanılmaktadır (Şekil 4.16):

, (4.64)

nerede n, μ , - yasanın parametreleri; NS- bir argüman, çoğu zaman zaman.

Parametrelerde kademeli bir azalma (zaman içinde kayaların mukavemetinde bir azalma vb.) ile ilgili süreçleri araştırırken, gama dağılımı yasası uygulanır (Şekil 4.17):

, (4.65)

nerede λ , a- parametreler. Eğer a= 1, fonksiyonun gaması üstel bir yasaya dönüşür.

Yukarıdaki yasalara ek olarak, diğer dağıtım türleri de kullanılır: Pearson, Rayleigh, beta dağıtımı, vb.

Varyans analizi. Araştırmada genellikle şu soru ortaya çıkar: Bu veya bu rastgele faktör, incelenen süreci ne ölçüde etkiler? Ana faktörleri belirleme yöntemleri ve incelenen süreç üzerindeki etkileri, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik - varyans analizinin özel bir bölümünde ele alınmaktadır. Bir şey var - ve çok değişkenli analiz. Varyans analizi, normal dağılım yasasının kullanımına ve rastgele değişkenlerin normal dağılım merkezlerinin eşit olduğu hipotezine dayanır. Bu nedenle, tüm ölçümler aynı normal popülasyondan bir örnek olarak görülebilir.

Güvenilirlik teorisi. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik yöntemleri, bilim ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılan güvenilirlik teorisinde sıklıkla kullanılmaktadır. Güvenilirlik, bir nesnenin gerekli bir süre boyunca belirli işlevleri yerine getirme (kurulu performans göstergelerini sürdürme) özelliği olarak anlaşılır. Güvenilirlik teorisinde, arızalar rastgele olaylar olarak ele alınır. Arızaların nicel bir açıklaması için matematiksel modeller kullanılır - zaman aralıklarının dağılım fonksiyonları (normal ve üstel dağılım, Weibull, gama dağılımı). Görev, çeşitli göstergelerin olasılıklarını bulmaktır.

Monte Carlo yöntemi. Olasılıklı bir yapıya sahip karmaşık süreçleri incelemek için, incelenen seçenekler kümesinden en iyi çözümü bulma problemini çözmek için Monte Carlo yöntemi kullanılır.

Monte Carlo yöntemine istatistiksel modelleme yöntemi de denir. Bu, olasılıksal süreçleri simüle eden rasgele sayıların kullanımına dayanan sayısal bir yöntemdir. Yöntemin matematiksel temeli, aşağıdaki gibi formüle edilen büyük sayılar yasasıdır: çok sayıda istatistiksel testle, rastgele bir değişkenin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentisine yönelme olasılığı, 1'e eşittir:

, (4.64)

burada ε herhangi bir küçük pozitif sayıdır.

Monte Carlo yöntemiyle problem çözme sırası:

- istatistiksel gözlemlerin toplanması, işlenmesi ve analizi;

- ana faktörlerin seçilmesi ve ikincil faktörlerin atılması ve matematiksel bir modelin oluşturulması;

- bilgisayarda algoritmalar oluşturmak ve problemleri çözmek.

Problemleri Monte Carlo yöntemiyle çözmek için istatistiksel bir seriye sahip olmak, dağılım yasasını, ortalama değerini, matematiksel beklentiyi ve standart sapmayı bilmek gerekir. Çözüm, yalnızca bir bilgisayar kullanımıyla etkilidir.

3. Olasılıksal ve istatistiksel yöntemlerin özü

Veri işlemede kullanılan olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin yaklaşımları, fikirleri ve sonuçları - pratik olarak önemli kararlar vermek için gözlemlerin, ölçümlerin, testlerin, analizlerin, deneylerin sonuçları nasıldır?

Temel, gerçek bir fenomenin veya sürecin olasılıksal bir modelidir, yani. nesnel ilişkilerin olasılık teorisi cinsinden ifade edildiği matematiksel bir model. Olasılıklar, öncelikle karar verirken dikkate alınması gereken belirsizlikleri tanımlamak için kullanılır. Bu, hem istenmeyen fırsatları (riskler) hem de çekici olanları ("şanslı şans") ifade eder. Bazen rastgelelik, örneğin kura çekerek, kontrol edilecek birimleri rastgele seçerek, piyangolar düzenleyerek veya tüketici anketleri düzenleyerek bir duruma kasıtlı olarak dahil edilir.

Olasılık teorisi, araştırmacının ilgisini çeken diğer olasılıkları hesaplamaya izin verir. Örneğin, bir armanın düşme olasılığına dayanarak, 10 yazı tura ile en az 3 armanın düşme olasılığını hesaplayabilirsiniz. Böyle bir hesaplama, yazı tura atışlarının bağımsız testler şeması ile tanımlandığı, ayrıca arma ve kafesin eşit derecede mümkün olduğu ve bu nedenle bu olayların her birinin olasılığı ½ olan olasılıklı bir modele dayanmaktadır. Daha karmaşık bir model, bozuk para atmak yerine, çıktı biriminin kalitesini kontrol etmenin düşünüldüğü bir modeldir. Karşılık gelen olasılık modeli, çeşitli üretim kalemlerinin kalite kontrolünün bağımsız bir test şeması tarafından tanımlandığı varsayımına dayanmaktadır. Yazı tura modelinin aksine, yeni bir parametre tanıtılmalıdır - olasılık röğenin kusurlu olduğunu. Tüm öğelerin aynı kusurlu olma olasılığına sahip olduğu varsayılırsa, model tam olarak tanımlanacaktır. İkinci varsayım yanlışsa, model parametrelerinin sayısı artar. Örneğin, her ürünün kendi kusurlu olma olasılığı olduğunu varsayabilirsiniz.

Tüm ürün birimleri için ortak kusur olasılığı olan bir kalite kontrol modelini tartışalım. r... Modeli analiz ederken "sayıya ulaşmak" için, değiştirmek gerekir. r belirli bir anlam için. Bunu yapmak için olasılıksal modelin ötesine geçmek ve kalite kontrol sırasında elde edilen verilere yönelmek gerekir. Matematiksel istatistik, olasılık teorisiyle ilgili ters problemi çözer. Amacı, gözlemlerin (ölçümler, analizler, testler, deneyler) sonuçlarına dayanarak olasılık modelinin altında yatan olasılıklar hakkında sonuçlar çıkarmaktır. Örneğin, muayene sırasında kusurlu ürünlerin meydana gelme sıklığına bağlı olarak, kusurlu olma olasılığı hakkında sonuçlar çıkarılabilir (Bernoulli teoremi kullanılarak yukarıdaki tartışmaya bakınız). Chebyshev'in eşitsizliğine dayanarak, kusurlu ürünlerin ortaya çıkma sıklığının, kusurlu olma olasılığının belirli bir değer aldığı hipotezine uygunluğu hakkında sonuçlar çıkarıldı.

Bu nedenle, matematiksel istatistiklerin uygulanması, bir fenomen veya sürecin olasılıksal bir modeline dayanır. Teoriyle ilgili (olasılık modeli) ve uygulamayla ilgili (gözlem sonuçları örneği) olmak üzere iki paralel kavram dizisi kullanılır. Örneğin teorik olasılık, örnekten bulunan frekansa karşılık gelir. Matematiksel beklenti (teorik seri), örnek aritmetik ortalamaya (pratik seri) karşılık gelir. Tipik olarak, numune özellikleri teorik tahminlerdir. Aynı zamanda, “araştırmacıların kafasında” teorik dizi ile ilgili değerler, fikir dünyasına atıfta bulunur (eski Yunan filozofu Plato'ya göre) ve doğrudan ölçüm için erişilemez. Araştırmacılar, yalnızca teorik olasılıksal modelin kendilerini ilgilendiren özelliklerini oluşturmaya çalıştıkları örnek verilere sahiptir.

Olasılıksal bir modele neden ihtiyaç duyulur? Gerçek şu ki, yalnızca onun yardımıyla, belirli bir örneğin analizinin sonuçlarıyla oluşturulan özelliklerin diğer örneklere ve ayrıca sözde genel popülasyonun tamamına aktarılması mümkündür. "Genel nüfus" terimi, büyük ama sınırlı bir ilgi birimi popülasyonuna atıfta bulunulduğunda kullanılır. Örneğin, Rusya'nın tüm sakinlerinin toplamı veya Moskova'daki tüm hazır kahve tüketicilerinin toplamı hakkında. Pazarlama veya kamuoyu yoklamalarının amacı, yüzlerce veya binlerce kişiden oluşan bir örneklemden ifadeleri birkaç milyonluk nüfusa aktarmaktır. Kalite kontrolünde, bir ürün partisi genel bir popülasyon olarak hareket eder.

Bir örneklemden daha büyük bir popülasyona sonuçları aktarmak için, örnek özelliklerinin bu daha büyük popülasyonun özellikleri ile ilişkisi hakkında şu veya bu varsayım gereklidir. Bu varsayımlar uygun bir olasılık modeline dayanmaktadır.

Elbette, belirli bir olasılık modeli kullanmadan örnek verileri işlemek mümkündür. Örneğin, örnek aritmetik ortalamasını hesaplayabilir, belirli koşulların yerine getirilme sıklığını vb. hesaplayabilirsiniz. Bununla birlikte, hesaplama sonuçları yalnızca belirli bir örnekle ilgili olacaktır; onların yardımıyla elde edilen sonuçların başka bir popülasyona aktarılması yanlıştır. Bu faaliyet bazen “veri madenciliği” olarak adlandırılır. Olasılıksal-istatistiksel yöntemlerle karşılaştırıldığında, veri analizi sınırlı bilişsel değere sahiptir.

Bu nedenle, örnek özelliklerini kullanarak hipotezleri değerlendirmeye ve test etmeye dayalı olasılıksal modellerin kullanımı, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin özüdür.

Teorik modellere dayalı kararlar almak için örnek özellikleri kullanma mantığının, biri olasılıksal modellere ve ikincisi örnek verilere karşılık gelen iki paralel kavram dizisinin eşzamanlı kullanımını içerdiğini vurguluyoruz. Ne yazık ki, genellikle modası geçmiş veya reçete ruhuyla yazılmış bir dizi edebi kaynakta, seçici ve teorik özellikler arasında hiçbir ayrım yapılmamaktadır, bu da okuyucuları şaşkınlığa ve istatistiksel yöntemlerin pratik kullanımında hatalara yol açmaktadır.

Öncesi

Bölüm 1. Uygulamalı İstatistiklerin Temelleri

1.2.3. Olasılıksal ve istatistiksel karar verme yöntemlerinin özü

Karar vermede olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin yaklaşımları, fikirleri ve sonuçları nasıl kullanılır?

Tüm ürün birimleri için ortak kusur olasılığı olan bir kalite kontrol modelini tartışalım. r... Modeli analiz ederken "sayıya ulaşmak" için değiştirmek gerekir. r belirli bir anlam için. Bunu yapmak için olasılıksal modelin ötesine geçmek ve kalite kontrol sırasında elde edilen verilere yönelmek gerekir. Matematiksel istatistik, olasılık teorisiyle ilgili ters problemi çözer. Amacı, gözlemlerin (ölçümler, analizler, testler, deneyler) sonuçlarına dayanarak olasılık modelinin altında yatan olasılıklar hakkında sonuçlar çıkarmaktır. Örneğin, muayene sırasında kusurlu ürünlerin meydana gelme sıklığına bağlı olarak, kusurlu olma olasılığı hakkında sonuçlar çıkarılabilir (yukarıdaki Bernoulli teoremi bakınız). Chebyshev'in eşitsizliğine dayanarak, kusurlu ürünlerin ortaya çıkma sıklığının, kusurlu olma olasılığının belirli bir değer aldığı hipotezine uygunluğu hakkında sonuçlar çıkarıldı.

Bu nedenle, matematiksel istatistiklerin uygulanması, bir fenomen veya sürecin olasılıksal bir modeline dayanmaktadır. Teoriyle ilgili (olasılık modeli) ve uygulamayla ilgili (gözlem sonuçları örneği) olmak üzere iki paralel kavram dizisi kullanılır. Örneğin teorik olasılık, örnekten bulunan frekansa karşılık gelir. Matematiksel beklenti (teorik seri), örnek aritmetik ortalamaya (pratik seri) karşılık gelir. Tipik olarak, numune özellikleri teorik tahminlerdir. Aynı zamanda, “araştırmacıların kafasında” teorik dizi ile ilgili değerler, fikir dünyasına atıfta bulunur (eski Yunan filozofu Platon'a göre) ve doğrudan ölçüm için erişilemez. Araştırmacılar, yalnızca teorik olasılıksal modelin kendilerini ilgilendiren özelliklerini oluşturmaya çalıştıkları örnek verilere sahiptir.

Elbette, belirli bir olasılık modeli kullanmadan örnek verileri işlemek mümkündür. Örneğin, örnek aritmetik ortalamasını hesaplayabilir, belirli koşulların yerine getirilme sıklığını vb. hesaplayabilirsiniz. Bununla birlikte, hesaplama sonuçları yalnızca belirli bir örnekle ilgili olacaktır; onların yardımıyla elde edilen sonuçların başka herhangi bir popülasyona aktarılması yanlıştır. Bu faaliyet bazen “veri madenciliği” olarak adlandırılır. Olasılıksal istatistiksel yöntemlerle karşılaştırıldığında, veri analizi sınırlı bilişsel değere sahiptir.

Öncesi

Ekonomik sistemleri modellemek için olasılıksal ve istatistiksel yöntemler

Tanıtım

Gözlenen bir rasgele değişkenin dağılım yasasını belirleme sorunu (yapısal-parametrik tanımlama), genellikle, deneysel gözlemlerin sonuçlarıyla en iyi eşleşen olasılık dağılım yasasının parametrik bir modelini seçme sorunu olarak anlaşılır. Ölçü aletlerinin rastgele hataları genellikle normal yasaya uymaz veya daha doğrusu normal yasa modeli tarafından çok sık iyi tanımlanmaz. Ölçüm cihazları ve sistemleri, farklı fiziksel prensiplere, farklı ölçüm yöntemlerine ve ölçüm sinyallerinin farklı dönüşümlerine dayanmaktadır. Nicelik olarak ölçüm hataları, rastgele ve rastgele olmayan, sürekli veya düzensiz hareket eden birçok faktörün etkisinin sonucudur. Bu nedenle, yalnızca belirli ön koşullar (teorik ve teknik) karşılandığında, ölçüm hatalarının normal yasa modeli tarafından yeterince iyi tanımlandığı açıktır.

Genel olarak, belirli bir ölçüm sisteminin hatalarını tanımlayan gerçek dağıtım yasasının (eğer varsa, elbette), tüm tanımlama girişimlerimize rağmen bilinmediği (kalacağı) anlaşılmalıdır. Bu ölçümlere ve teorik düşüncelere dayanarak, yalnızca bir anlamda bu gerçek yasaya en iyi şekilde yaklaşan olasılıksal bir model seçebiliriz. Oluşturulan model yeterliyse, yani uygulanan kriterler reddedilmesine gerekçe göstermiyorsa, o zaman bu modele dayanarak, ölçüm aracının hatasının rastgele bileşeninin tüm olasılık özelliklerini hesaplamak mümkündür. sadece hariç tutulmayan sistematik (gözlemlenemeyen veya kaydedilmemiş) nedeniyle gerçek değerlerden farklı olacak olan bizi ilgilendiriyor ) ölçüm hatasının bileşeni. Küçüklüğü, ölçümlerin doğruluğunu karakterize eder. Gözlenen rasgele değişkenleri tanımlamak için kullanılabilecek olası olasılık dağılımı yasaları sınırlı değildir. Gözlenen miktarın gerçek dağılım yasasını bulmak için tanımlama probleminin amacını belirlemenin bir anlamı yoktur. Sadece belirli bir setten en iyi modeli seçme problemini çözebiliriz. Örneğin, bu parametrik yasalar kümesinden ve uygulamalarda kullanılan ve literatürde bulunabilen dağılımların

Dağılım yasasının yapısal ve parametrik tanımlanmasına klasik yaklaşım. Klasik yaklaşımla, tamamen matematiksel istatistik aygıtına dayanan bir dağıtım kanunu seçme algoritmasını kastediyoruz.

1. Rastgele olaylar, miktarlar ve fonksiyonlarla ilgili temel kavramlar

Birçok deney için olayların olasılıklarının hesaplanmasında hiçbir fark olmadığını, bu deneylerdeki temel sonuçların çok farklı olduğunu zaten gördük. Ancak, temel sonuçların uzayının yapısıyla değil, olayların olasılıklarıyla ilgilenmeliyiz. Bu nedenle, tüm bu "benzer" deneylerde, örneğin çok farklı temel sonuçlar yerine sayıları kullanmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, her temel sonuca karşılık gelen bazı gerçek sayılar koyun ve yalnızca sayılarla çalışın.

Olasılık uzayı verilsin.

Tanım 26.İşlev isminde rastgele değişkeneğer herhangi bir Borel seti için bir demet bir olaydır, yani ait - cebir .

Bir demet bu temel sonuçlardan oluşan hangisi için ait , kümenin tam ön görüntüsü olarak adlandırılır.

Açıklama 9 . Genel olarak, işleve izin verin birçoğundan hareketler çokluk içinde , ve verilen -cebirler ve alt kümeler ve sırasıyla. İşlev isminde ölçülebilireğer herhangi bir set için onun tam prototipi aittir.

10. ile ilgili soyutlamalarla uğraşmak istemeyen okuyucu, - Olayların cebirleri ve ölçülebilirliği, herhangi bir temel sonuç kümesinin bir olay olduğunu güvenle varsayabilir ve bu nedenle rastgele bir değişken keyfiişlev içinde ... Pratikte, bu herhangi bir sorun yaratmaz, bu nedenle bu paragrafta daha fazla olan her şey atlanabilir.

Şimdi, meraklı okuyuculardan kurtulduktan sonra, rastgele bir değişkenin neden ölçülebilirliğe ihtiyacı olduğunu anlamaya çalışalım.

Rastgele bir değişken verilirse , formun olasılıklarını hesaplamamız gerekebilir , , , (ve genel olarak, çizgideki Borel kümelerine düşme olasılıkları çok farklıdır). Bu, yalnızca olasılık işaretinin altındaki kümeler olaylarsa mümkündür - sonuçta olasılıksadece üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon var -olayların cebiri. Ölçülebilirlik gerekliliği, herhangi bir Borel kümesi için olasılık belirlenir.

Tanım 26'da başka bir şey isteyebilirsiniz. Örneğin, bir olayın herhangi bir aralıkta isabet olması için: , veya herhangi bir yarım aralıkta:.

Örneğin, Tanım 26 ve 27'nin eşdeğer olduğunu doğrulayalım:

Tanım 27. İşlev herhangi bir gerçek için rastgele değişken olarak adlandırılır bir demet -cebire ait .

Kanıt tanımların denkliği 26, 27.

Eğer Tanım 26 anlamında bir rasgele değişken ise, o zaman Tanım 27 anlamında rasgele bir değişken olacaktır, çünkü herhangi bir aralık bir Borel kümesidir.

Bunun tersinin de doğru olduğunu ispatlayalım. Herhangi bir aralık için izin ver gerçekleştirilen ... Aynı şeyin Borel kümeleri için de geçerli olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Bir sette toplayın ters görüntüleri olay olan gerçek çizginin tüm alt kümeleri. Bir demet zaten tüm aralıkları içeriyor ... Şimdi kümenin olduğunu gösterelim. bir -cebir. Tanım olarak, eğer ve sadece küme aittir.

1. emin olalım ... Fakat ve bu nedenle.

2. emin olalım herkes için ... İzin vermek ... Sonra , olarak - -cebir.

3. emin olalım herhangi ... İzin vermek hepsi için ... Fakat - -cebir, bu nedenle

bunu kanıtladık - -cebir ve satırındaki tüm aralıkları içerir. Fakat en küçüğüdür -doğrudaki tüm aralıkları içeren cebirler. Sonuç olarak, içerir: .

Ölçülebilir ve ölçülemeyen fonksiyonlara örnekler verelim.

Örnek 25. Zarı atıyoruz. İzin vermek , ve iki işlev içinde şöyle ayarlanır: , ... Henüz ayarlanmadı -cebir , ölçülebilirlikten söz edilemez. Bazılarına göre ölçülebilir bir fonksiyon -cebirler diğeri için aynı olmayabilir.

Eğer tüm alt kümelerin bir kümesi var , Daha sonra ve herhangi bir temel sonuç kümesi ait olduğu için rastgele değişkenlerdir. dahil olmak üzere veya ... Rastgele değişkenlerin değerleri arasındaki yazışmaları yazabilirsiniz ve ve olasılıklar bu değerleri formda alır "Olasılık tabloları"veya kısaca "tahsis tabloları":

Buraya .

2. İzin ver -olayların cebiri dört setten oluşur:

onlar. bir olay, güvenilir ve imkansız olaylara ek olarak, çift veya tek sayıda puandır. Emin olalım ki, böylesine görece yoksul bir -cebir ne de ne de ölçülemez oldukları için rastgele değişkenler değildir. Al, söyle, ... Bunu görüyoruz ve

2. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Beklenen değer.pi olasılıkları ile sonlu sayıda xi değeri alan ayrık bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, toplamıdır:

(6a)

Sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, x değerlerinin çarpımının olasılık dağılım yoğunluğu f (x) ile integralidir:

(6b)

Uygun olmayan integralin (6b) mutlak yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde M(X) matematiksel beklentisinin olmadığı söylenir). Matematiksel beklenti, X rastgele değişkeninin ortalama değerini karakterize eder. Boyutu, rastgele değişkenin boyutuyla çakışır. Matematiksel beklenti özellikleri:

Dağılım.X rastgele değişkeninin varyansı bir sayıdır:

Dağılım, rastgele bir değişken X'in değerlerinin, ortalama değerine M (X) göre saçılmasının bir özelliğidir. Varyansın boyutu, rastgele değişkenin karesinin boyutuna eşittir. Kesikli bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) matematiksel beklentiye dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:

Burada m = M(X).

Dağılım özellikleri:

(10)

Ortalama kare sapma:

(11)

Standart sapmanın boyutu rastgele bir değişkenin boyutuyla aynı olduğundan, saçılma ölçüsü olarak kullanılan varyanstan daha sık kullanılır.

Dağıtım anları.Matematiksel beklenti ve varyans kavramları, rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri - dağılım anları için daha genel bir kavramın özel durumlarıdır. Rastgele bir değişkenin dağılım anları, bir rastgele değişkenin en basit fonksiyonlarından bazılarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılır. Yani, x0 noktasına göre k dereceli moment, M (X - x0) k matematiksel beklentisidir. x = 0 orijine göre momentlere başlangıç momentleri denir ve şu şekilde gösterilir:

(12)

Birinci derecenin ilk anı, dikkate alınan rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:

(13)

x = m dağılımının merkezi etrafındaki momentlere merkezi momentler denir ve şu şekilde gösterilir:

(14)

(7)'den birinci mertebenin merkezi momentinin her zaman sıfır olduğu sonucu çıkar:

(15)

Merkezi momentler, rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir, çünkü sabit bir C değeri ile kaydırıldığında, dağıtım merkezi aynı C değeri ile kayar ve merkezden sapma değişmez:

X - m = (X - C) - (m - C).

Artık varyansın ikinci dereceden bir merkezi an olduğu açıktır:

(16)

Asimetri.Üçüncü mertebenin merkezi momenti:

(17)

dağılımın asimetrisini değerlendirmeye yarar. Dağılım x = m noktası etrafında simetrik ise, üçüncü dereceden merkezi moment sıfır olacaktır (tüm tek sıralı merkezi momentler gibi). Bu nedenle, üçüncü mertebenin merkezi momenti sıfır değilse, dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü, boyutsuz asimetri katsayısı kullanılarak tahmin edilir:

(18)

Asimetri katsayısının (18) işareti, sağ veya sol taraflı asimetriyi gösterir (Şekil 2).

Pirinç. 1. Dağılımların asimetri türleri

AŞIRI.Dördüncü mertebenin merkezi momenti:

(19)

normal dağılım eğrisine göre dağılım merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (dorukluk) derecesini belirleyen basıklık denen durumu değerlendirmeye hizmet eder. Normal dağılım için , sonra değer basıklık olarak alınır:

(20)

İncirde. Şekil 3, farklı basıklık değerlerine sahip dağılım eğrilerinin örneklerini göstermektedir. Normal dağılım için, E = 0. Normalden daha tepeli olan eğriler pozitif basıklığa, daha düz tepeli - negatife sahiptir.

Pirinç. 2. Farklı derecelerde diklik (basıklık) ile dağılım eğrileri

Matematiksel istatistiklerin mühendislik uygulamalarında genellikle yüksek dereceli momentler kullanılmaz.

Modakesikli rastgele değişken en olası değeridir. Sürekli bir rastgele değişkenin modu, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değeridir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa, dağılım tek modlu olarak adlandırılır. Dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa, dağılım polimodal olarak adlandırılır. Bazen eğrileri maksimum değil, minimum olan dağılımlar vardır. Bu tür dağıtımlara anti-modal denir. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Belirli bir durumda, bir mod için, yani. bir mod, simetrik dağılıma sahip ve matematiksel bir beklenti olması koşuluyla ikincisi, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşmektedir.

Medyanbir rastgele değişken X'in değeri Me'dir, bu eşitlik için geçerlidir: onlar. X rasgele değişkeninin Me'den daha küçük veya daha büyük olması eşit derecede olasıdır. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi altındaki alanın yarıya bölündüğü noktanın apsisidir. Simetrik bir mod dağılımı durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.

... Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarının istatistiksel tahmini

Genel küme - incelenecek tüm nesnelerin toplamı veya aynı koşullar altında bir nesne üzerinde yapılan tüm gözlemlerin olası sonuçları olarak adlandırılır.

Örnek popülasyon veya bir örnek, genel popülasyondan rastgele seçilen bir nesne kümesi veya bir nesnenin gözlem sonuçlarıdır.

Örnek boyutörnekteki nesnelerin veya gözlemlerin sayısıdır.

Numunenin spesifik değerlerine rastgele değişken X'in gözlenen değerleri denir. Gözlenen değerler protokole kaydedilir. Protokol bir tablodur. Hazırlanan protokol, alınan malzemenin işlenmesini kaydetmenin birincil şeklidir. Güvenilir, güvenilir sonuçlar elde etmek için örneklem büyüklüğü yeterince temsil edici olmalıdır. Büyük bir örnek, sırasız bir sayı kümesidir. Araştırma için numune görsel olarak sıralı bir forma getirilir. Bunun için rastgele değişkenin en büyük ve en küçük değerleri protokolde bulunur. Artan düzende sıralanan örnek Tablo 1'de gösterilmektedir.

Tablo 1. Protokol

8,66-5,49-4,11-3,48-2,9-2,32-1,82-1,09-0,440,64-8,31-4,71-3,92-3,41-2,85-2,31-1,82-1,01-0,430,71-8,23-4,68-3,85-3,33-2,83-2,29-1,8-0,99-0,430,73-7,67-4,6-3,85-3,25-2,77-2,27-1,77-0,95-0,310,99-6,64-4,43-3,81-3,08-2,72-2,25-1,73-0,89-0,31,03-6,6-4,38-3,8-3,07-2,67-2,19-1,38-0,70,041,05-6,22-4,38-3,77-3,01-2,6-2,15-1,32-0,560,081,13-5,87-4,25-3,73-3,01-2,49-2,09-1,3-0,510,151,76-5,74-4,18-3,59-2,99-2,37-2,01-1,28-0,490,262,95-5,68-4,14-3,49-2,98-2,33-1,91-1,24-0,480,534,42

Örnekleme aralığıX rastgele değişkeninin en büyük ve en küçük değeri arasındaki farka denir:

Örnek yayılımı k aralığa bölünmüştür - bit. Basamak sayısı örnekleme aralığının büyüklüğüne bağlı olarak 8'den 25'e ayarlanır, bu derste k = 10 alacağız.

O zaman aralığın uzunluğu şuna eşit olacaktır:

Protokolde, her aralığa düşen gözlemlenen değerlerin sayısını sayacağız, bunları m1, m2,…, m10 ile ifade edeceğiz. ...

mi diyoruz isabet oranıi aralığında rastgele değişken. Rastgele değişkenin gözlenen herhangi bir değeri aralığın sonu ile çakışıyorsa, rastgele değişkenin bu değeri, geleneksel olarak aralıklardan birine atıfta bulunur.

Mi frekanslarını belirledikten sonra, Sıklıkrastgele değişken, yani mi frekanslarının toplam gözlenen değer sayısına oranını bulun n.

Frekans, tamlık koşulu -

Her aralığın ortasını bulalım:

2. tabloyu oluşturalım

Aralık Sınır Değerleri Tablosu ve karşılık gelen frekanslar , burada i = 1, 2, 3,…, k, istatistiksel seri olarak adlandırılır. İstatistiksel bir serinin grafiksel temsiline histogram denir. Aşağıdaki gibi inşa edilmiştir: aralıklar apsis ekseni boyunca çizilir ve her bir aralıkta, tabanda olduğu gibi, alanı karşılık gelen frekansa eşit olan bir dikdörtgen oluşturulur.

, - dikdörtgenin yüksekliği,.

Tablo 2

Aralık sayısı Aralığın sol sınırı Aralığın sağ sınırı Aralık Aralığın orta noktası Aralık frekansı Aralık frekansı Dikdörtgen yüksekliği 1-8.66-7.352 (-8.66; -7.352) -8.00640.040.03062-7.352-6.044 (-7.352; -6.044) -6.69830 , 030.02293-6.044-4.736 (-6.044; -4.736) -5.3940.040.03064-4.736-3.428 (-4.736; -3.428) -4.082200.20.15295-3.428-2.12 (- 3.428; -2.12) -2.774260.260.19886-2.12-0.812 (-2.12; -0.812) -1.466180.180.13767-0.8120.496 (-0.812; 0.496) -0.158140.140.107080.4961.804 (0.496; 1.804) 1.1590.090.068891.8043.112 (1.804; 3.112) 2.45810.010.0076103.1124.42 (3.112; 4.42) 3,76610,010,0076 Toplam 1001

Figür 3

İstatistiksel dağılım işlevi, belirli bir X değerini aşmayan rastgele bir değişkenin frekansıdır:

Kesikli bir rasgele değişken X için, istatistiksel dağılım işlevi şu formülle bulunur:

İstatistiksel dağılım fonksiyonunu genişletilmiş biçimde yazalım:

nerede i aralığının ortasıdır ve karşılık gelen frekanslardır, burada i = 1, 2,…, k.

İstatistiksel dağılım fonksiyonunun grafiği, kırılma noktaları aralıkların orta noktaları olan ve son sıçramalar karşılık gelen frekanslara eşit olan kademeli bir çizgidir.

Figür 3

İstatistiksel bir serinin sayısal özelliklerinin hesaplanması

İstatistiksel matematiksel beklenti,

İstatistiksel varyans,

İstatistiksel standart sapma.

İstatistiksel beklentiveya istatistiksel ortalamaX rastgele değişkeninin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması olarak adlandırılır.

istatistiksel varyansmiktarın aritmetik ortalaması veya

Büyük bir örneklem büyüklüğü ile formüllerle hesaplamalar ve hantal hesaplamalara yol açar. Hesaplamaları basitleştirmek için sınırları olan istatistiksel bir seri kullanılır ve sık , burada i = 1, 2, 3, ..., k, aralıkların orta noktalarını bulun ve ardından tüm seçim öğeleri aralığına denk gelen , tek bir değerle değiştirilir , o zaman bu tür değerler olacak her aralıkta.

nerede karşılık gelen aralığın ortalama değeridir ;- aralığın sıklığı

Tablo 4. Sayısal özellikler

PiXiPi (Xi-m) ^ 2 (Xi-m) ^ 2 * Pi1-8.0060.04-0.320231.486911.25952-6.6980.03-0.200918.518560.55563-5.390.04 -0.21568.971940.35894 -4.0820.20-0.81642. 847050.56945-2.7740.26-0.72120.143880.03746-1.4660.18-0.26390.862450.15527 -0,1580,14-0,02215,002740,700481,150,090,103512,564761,130892,4580,010,024623,548500,2355103, 7660,010,037737,953980,3795 İstatistiksel beklenti -2.3947 İstatistiksel varyans 5.3822 İstatistiksel standart sapma 2.3200

Rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin gruplandırılmasının merkezinin konumunu belirler.

, etrafındaki rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin saçılmasını karakterize eder

Herhangi bir istatistiksel dağılım kaçınılmaz olarak şans unsurlarını içerir. Bununla birlikte, çok sayıda gözlemle, bu kazalar yumuşatılır ve rastgele fenomenler, doğal düzenliliklerini ortaya çıkarır.

İstatistiksel malzeme işlenirken, belirli bir istatistiksel seri için teorik bir eğrinin nasıl seçileceğine karar verilmelidir. Bu teorik dağılım eğrisi, istatistiksel dağılımın temel özelliklerini ifade etmelidir - bu göreve istatistiksel serileri düzleştirme veya düzleştirme sorunu denir.

Bazen bir rasgele değişken X'in dağılımının genel biçimi, bu rasgele değişkenin doğasından kaynaklanır.

Rastgele değişken X, cihazın bazı fiziksel miktarlarını ölçmenin sonucu olsun.

X = fiziksel miktarın tam değeri + cihaz hatası.

Ölçüm sırasında cihazın rastgele hatası toplam bir yapıya sahiptir ve normal yasaya göre dağıtılır. Sonuç olarak, aynı dağılım bir rastgele değişken X'e sahiptir, yani. olasılık yoğunluğu ile normal dağılım:

Neresi , , .

parametreler ve teorik dağılımın sayısal özellikleri, istatistiksel dağılımın karşılık gelen sayısal özelliklerine eşit olacak şekilde belirlenir. Normal dağılım altında, olduğu varsayılır. ,,, o zaman normal dağılım işlevi şu şekli alacaktır:

Tablo 5. Denkleştirme Eğrisi

Aralık sayısı Xi aralığının orta noktası Tablo işlevi Normal eğri 1-8.0060-2.41870.02140.00922-6.6980-1.85490.07140.03083-5.3900-1.29110.17340.07474-4.0820-0.72730.30620.13205- 2.7740-0.16350.39360.1697M-2.394700.39890.17206-1.46600.40030,368800,15877-0. ,96410,25070,108081,15001,52790,12420,053592,45802, 09170,04480,0193103,76602,65550.01170,0051

Noktalara göre teorik normal eğriyi çizin istatistik serisinin histogramı ile aynı grafikte (Hata! Referans kaynağı bulunamadı).

Şekil 6

İstatistiksel dağılım fonksiyonunun eşitlenmesi

İstatistiksel dağılım işlevi normal yasanın dağıtım işleviyle uyumluyuz:

nerede ,,Laplace fonksiyonudur.

Tablo 7. Dağıtım işlevi

Aralık sayısı Xi aralığının orta noktası Laplace işlevi Dağıtım işlevi 1-8.0060-2.4187-0.49220.00782-6.6980-1.8549-0.46820.03183-5.3900-1.2911-0.40170.09834-4.0820-0, 7273-0.26650.23355-2.7740-0.1635-0.06490.4351m-2.3947000.50006-1.46600, 40030,15550,65557-0,15800,96410,33250,832581,15001, 52790,43670,936792,45802,09170,48180,9818103,76602,65550,49600,9960

İstatistiksel dağılım fonksiyonunun bir grafiği ile birlikte noktalara göre teorik dağılım fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz.

Şekil 6

Rastgele bir X değişkeni matematiksel bir beklenti ile çalışılsın ve varyans , her iki parametre de bilinmiyor.

x1, x2, x3, ..., xn, X rastgele değişkeninin n bağımsız gözlemi sonucunda elde edilen örnek olsun. x1, x2, x3, ..., xn değerlerinin rastgele doğasını vurgulamak için , onları şu şekilde yeniden yazıyoruz:

X1, X2, X3, ..., Xn, burada Xi, i-inci deneydeki X rastgele değişkeninin değeridir.

Bu deneysel verilere dayanarak, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını tahmin etmek gerekir. Bu tür tahminlere nokta tahminleri denir; istatistiksel matematiksel beklenti, m ve D'nin tahmini olarak alınabilir. ve istatistiksel varyans, nerede

Deneyden önce, X1, X2, X3, ..., Xn örneği, matematiksel bir beklentiye ve varyansa sahip bir dizi bağımsız rastgele değişkendir, yani olasılık dağılımı X rastgele değişkeninin kendisiyle aynıdır.

Burada ben = 1, 2, 3,…, n.

Buna dayanarak, rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını buluruz. (matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak).

Böylece, istatistiksel ortalamanın matematiksel beklentisi, ölçülen değerin matematiksel beklentisinin m tam değerine ve istatistiksel ortalamanın varyansına eşittir Bireysel ölçüm sonuçlarının varyansından n kat daha az.

Bu, büyük bir numune boyutu N için istatistiksel ortalamanın neredeyse rastgele olmayan bir değerdir, rastgele değişken m'nin tam değerinden sadece biraz sapar. Bu yasaya Chebyshev'in büyük sayılar yasası denir.

Matematiksel beklenti ve varyansın bilinmeyen değerlerinin nokta tahminleri, statik verilerin işlenmesinin ilk aşamasında büyük önem taşır. Dezavantajları ise tahmin edilen parametreyi hangi hassasiyette verdiklerinin bilinmemesidir.

Verilen örnek X1, X2, X3, ..., Xn için kesin istatistiksel tahminler elde edilsin ve , o zaman rastgele değişken X'in sayısal özellikleri yaklaşık olarak eşit olacaktır. ... Küçük boyutlu bir örnek için, tahminin doğruluğu sorunu önemlidir, çünkü m ile arasında , D ve yetersiz sapmalar olacaktır. Ayrıca, pratik problemleri çözerken, sadece m ve D'nin yaklaşık değerlerini bulmak değil, aynı zamanda doğruluk ve güvenilirliklerini de değerlendirmek gerekir. İzin vermek , yani m için bir nokta tahminidir. bariz ki m'yi ne kadar doğru belirlerse, farkın modülü o kadar küçük olur ... İzin vermek , nerede ?>0, o zaman daha az ?, daha doğru m tahmini. Böylece, ?>0 parametre tahmininin doğruluğunu karakterize eder. Bununla birlikte, istatistiksel yöntemler, m'nin gerçek değerinin tahmininin tatmin edici olduğunu kategorik olarak iddia etmeye izin vermez. , sadece olasılık hakkında konuşabiliriz ?, bu eşitsizliğin sahip olduğu:

Böylece, ?- Bu güven seviyesiveya değerlendirmenin güvenilirliği, anlam ? çözülmekte olan probleme bağlı olarak önceden seçilir. Güvenilirlik ? 0.9'u seçmek gelenekseldir; 0.95; 0.99; 0,999. Bu olasılığa sahip olaylar pratik olarak kesindir. Belirli bir güven düzeyi için sayı bulunabilir mi?> 0 itibaren .

Sonra aralığı alırız hangi olasılık ile kapsar ? matematiksel beklentinin gerçek değeri m, bu aralığın uzunluğu 2'dir. ?. Bu aralığa denir güven aralığı... Ve bilinmeyen parametre m'yi tahmin etmenin bu yolu - Aralık.

Bir X1, X2, X3, ..., Xn örneği verilsin ve bu örnek için bulunsun, ,.

Güven aralığını bulmak gerekir matematiksel beklenti m için bir güven düzeyi ile ?. Miktar matematiksel beklenti ile rastgele bir miktar var, .

rastgele değer kümülatif bir yapıya sahiptir, büyük bir örneklem büyüklüğü ile normale yakın bir yasaya göre dağıtılır. O zaman aralığa düşen rastgele bir değişkenin olasılığı şuna eşit olacaktır:

Neresi

Neresi Laplace fonksiyonudur.

Formül (3) ve Laplace fonksiyonunun tablolarından sayıyı buluyoruz. ?>0 ve kesin değer için güven aralığını yazın güvenilir rasgele değişken X?.

Bu dönem makalesinde, değer ? yer değiştirmek , ve ardından formül (3) şu şekli alacaktır:

Güven aralığını bulun , matematiksel beklentinin bulunduğu yer. NS ? = 0.99, n = 100, ,.

Bulduğumuz Laplace tablolarına göre:

Buradan? = 0,5986.

Matematiksel beklentinin tam değerinin %99 olasılıkla bulunduğu güven aralığı.

Çözüm

rastgele değişken ekonomik dağılım

Kural olarak metrologların sahip olduğu sınırlı örneklem boyutlarıyla yapısal-parametrik tanımlama problemlerini çözmek, sorunu daha da kötüleştirir. Bu durumda, istatistiksel analiz yöntemlerinin uygulanmasının doğruluğu daha da önemlidir. en iyi istatistiksel özelliklere ve en büyük güce sahip kriterlere sahip tahminlerin kullanılması.

Tanımlama problemlerini çözerken klasik yaklaşıma güvenmek tercih edilir. Tanımlarken, kanun karışımları şeklindeki modeller de dahil olmak üzere daha geniş bir dağıtım kanunları setinin dikkate alınması tavsiye edilir. Bu durumda, herhangi bir ampirik dağılım için, her zaman yeterli, istatistiksel olarak çok daha fazla doğrulanmış bir matematiksel model oluşturabiliriz.

Modern istatistik yöntemleri de dahil olmak üzere, her türlü kayıtlı gözlem (ölçüm) için dağıtım yasalarının yapısal ve parametrik tanımlama sorunlarının çözümünü sağlayan yazılım sistemlerinin kullanımına ve geliştirilmesine odaklanmak gerekir. analitik analiz, araştırmalarda bilgisayar modelleme yöntemlerinin geniş ama doğru kullanımına odaklanır. Birçok deney için olayların olasılıklarının hesaplanmasında hiçbir fark olmadığını, bu deneylerdeki temel sonuçların çok farklı olduğunu zaten gördük. Ancak, temel sonuçların uzayının yapısıyla değil, olayların olasılıklarıyla ilgilenmeliyiz. Bu nedenle, tüm bu "benzer" deneylerde, örneğin çok farklı temel sonuçlar yerine sayıları kullanmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, her temel sonuca karşılık gelen bazı gerçek sayılar koyun ve yalnızca sayılarla çalışın.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler nasıl kullanılır? Bu disiplinler, olasılıksal-istatistiksel yöntemlerin temelidir. karar verme... Matematiksel aygıtlarını kullanmak için problemlere ihtiyacınız var. karar verme olasılıksal-istatistiksel modeller cinsinden ifade edilir. Belirli bir olasılıksal-istatistiksel yöntemin uygulanması karar vermeüç aşamadan oluşur:

ekonomik, yönetsel, teknolojik gerçeklikten soyut bir matematiksel ve istatistiksel şemaya geçiş, yani. bir kontrol sisteminin olasılıksal bir modelini oluşturmak, teknolojik süreç, karar verme prosedürleriözellikle, istatistiksel kontrol, vb. sonuçlarına dayanarak;
olasılıksal bir model çerçevesinde tamamen matematiksel yollarla hesaplamalar yapmak ve sonuçlar elde etmek;
gerçek bir durumla ilgili olarak matematiksel ve istatistiksel sonuçların yorumlanması ve uygun bir karar verilmesi (örneğin, ürün kalitesinin belirlenmiş gerekliliklere uygunluğu veya uygunsuzluğu, teknolojik süreci ayarlama ihtiyacı vb.), özellikle, sonuçlar (bir partideki kusurlu ürün birimlerinin oranı, belirli dağıtım yasaları şekli hakkında) izlenen parametreler teknolojik süreç, vb.)

Matematiksel istatistik, olasılık teorisinin kavramlarını, yöntemlerini ve sonuçlarını kullanır. Olasılıksal modeller oluşturmanın ana konularını düşünün karar verme ekonomik, yönetsel, teknolojik ve diğer durumlarda. Olasılıksal-istatistiksel yöntemlere ilişkin normatif-teknik ve öğretimsel-metodolojik belgelerin aktif ve doğru kullanımı için karar vermeön bilgi gerektirir. Bu nedenle, belirli bir belgenin hangi koşullar altında uygulanması gerektiğini, seçimi ve uygulaması için hangi ilk bilgilere sahip olunması gerektiğini, veri işleme sonuçlarına göre hangi kararların alınması gerektiğini vb. bilmeniz gerekir.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik uygulama örnekleri... Olasılıksal-istatistiksel modellerin yönetim, üretim, ekonomik ve ulusal ekonomik sorunları çözmek için iyi bir araç olduğu birkaç örneği ele alalım. Örneğin, A.N.'nin romanında. Tolstoy'un "Acı içinde yürümek" (v. 1) şöyle diyor: "atölye evliliğin yüzde yirmi üçünü veriyor ve siz bu rakama bağlı kalıyorsunuz," dedi Strukov Ivan Ilyich'e.

Bir üretim birimi %23 kusurlu olamayacağından, fabrika yöneticilerinin konuşmasında bu sözlerin nasıl anlaşılacağı sorusu ortaya çıkıyor. İyi veya kusurlu olabilir. Muhtemelen Strukov, büyük bir partinin kusurlu ürünlerin yaklaşık %23'ünü içerdiğini kastetmişti. Sonra soru ortaya çıkıyor, "hakkında" ne anlama geliyor? Test edilen 100 üretim biriminden 30'unun kusurlu veya 1000-300'den veya 100.000-30000'den vb. Çıkmasına izin verin, Strukov yalan söylemekle suçlanmalı mı?

Veya başka bir örnek. Lot olarak kullanılacak madeni paranın "simetrik" olması, yani. atıldığında, ortalama olarak, vakaların yarısında arma düşmeli ve vakaların yarısında - kafes (kuyruk, sayı). Ama "ortalama" ne anlama geliyor? Her seride çok sayıda 10 atış serisi gerçekleştirirseniz, genellikle jetonun amblemle 4 kez düştüğü seriler olacaktır. Simetrik bir madeni para için bu, serinin %20,5'inde meydana gelecektir. Ve 100.000 atış başına 40.000 arma varsa, madeni para simetrik olarak kabul edilebilir mi? prosedür karar verme olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler temelinde inşa edilmiştir.

Söz konusu örnek yeterince ciddi görünmeyebilir. Ancak öyle değil. Lot çizimi, endüstriyel teknik ve ekonomik deneylerin organizasyonunda, örneğin, çeşitli teknolojik faktörlere (koruma ortamının etkisi, yöntemler) bağlı olarak rulmanların kalite göstergesini (sürtünme momenti) ölçme sonuçlarını işlerken yaygın olarak kullanılmaktadır. rulmanların ölçümden önce hazırlanması, ölçüm sırasında rulman yükünün etkisi vb.) NS.). Farklı koruyucu yağlarda, yani; bileşim yağlarında ve. Böyle bir deney planlanırken, bileşimin yağına hangi yatakların, hangilerinin - bileşimin yağına, ancak öznellikten kaçınacak ve kararın nesnelliğini sağlayacak şekilde yerleştirilmesi gerektiği sorusu ortaya çıkar.

Bu sorunun cevabı kura ile alınabilir. Benzer bir örnek herhangi bir ürünün kalite kontrolü ile verilebilir. Kontrollü bir ürün partisinin belirlenmiş gereksinimleri karşılayıp karşılamadığına karar vermek için bir numune alınır. Örnekleme sonuçlarına dayanarak, tüm parti hakkında bir sonuca varılır. Bu durumda örneklem seçiminde öznellikten kaçınmak çok önemlidir, yani. kontrol edilen partideki her bir kalemin numunede aynı seçilme olasılığına sahip olması gerekir. Üretim koşullarında, numunedeki üretim birimlerinin seçimi genellikle parti ile değil, özel rasgele sayı tabloları veya bilgisayar rasgele sayı sensörleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Farklı şemaları karşılaştırırken karşılaştırmanın nesnelliğini sağlamada benzer sorunlar ortaya çıkar. üretim organizasyonu, ücretlendirme, ihale ve yarışmalar sırasında, boş pozisyonlar için aday seçimi vb. Her yerde çekiliş veya benzeri prosedürlere ihtiyaç vardır. Olimpik sisteme göre bir turnuva düzenlerken (kaybeden elenir) en güçlü ve ikinci en güçlü takımları belirleme örneği ile açıklayalım. Bırakın güçlü takım her zaman zayıf olanı kazansın. En güçlü takımın kesinlikle şampiyon olacağı açıktır. İkinci en güçlü takım, ancak ve ancak finalden önce geleceğin şampiyonu ile maçı yoksa finale çıkacaktır. Böyle bir oyun planlanırsa, en güçlü ikinci takım finale kalamaz. Bir turnuva planlayan herkes, liderle ilk toplantıda bir araya getirerek turnuvadaki en güçlü ikinci takımı programdan "nakavt edebilir" veya finale kadar daha zayıf takımlarla toplantılar sağlayarak ikinciliği garanti edebilir. Öznellikten kaçınmak için kura çekin. 8 takımlı bir turnuva için, en güçlü iki takımın finalde karşılaşma olasılığı 4/7'dir. Buna göre, 3/7 olasılıkla en güçlü ikinci takım turnuvayı planlanandan önce terk edecek.

Ürün birimlerinin herhangi bir ölçümünde (bir kumpas, mikrometre, ampermetre vb. kullanılarak) hatalar vardır. Sistematik hataların olup olmadığını anlamak için, özellikleri bilinen (örneğin standart bir numune) bir üretim biriminin birden fazla ölçümünü yapmak gerekir. Unutulmamalıdır ki sistematiğe ek olarak rastgele bir hata da vardır.

Bu nedenle, ölçüm sonuçlarından sistematik bir hata olup olmadığının nasıl öğrenileceği sorusu ortaya çıkmaktadır. Sadece bir sonraki ölçüm sırasında elde edilen hatanın pozitif mi yoksa negatif mi olduğuna dikkat edersek, bu sorun bir öncekine indirgenebilir. Aslında, ölçümü yazı tura atmakla, pozitif hatayı - armanın düşmesiyle, negatifi - kafesle karşılaştıralım (yeterli sayıda ölçek bölümü ile sıfır hata pratikte hiçbir zaman gerçekleşmez). Daha sonra sistematik bir hatanın olmadığını kontrol etmek, madalyonun simetrisini kontrol etmekle eşdeğerdir.

Bu akıl yürütmenin amacı, sistematik bir hatanın yokluğunu kontrol etme problemini, bir madeni paranın simetrisini kontrol etme problemine indirgemektir. Yukarıdaki akıl yürütme, matematiksel istatistiklerde sözde "işaret kriteri"ne yol açar.

Teknolojik süreçlerin matematiksel istatistik yöntemleri temelinde istatistiksel olarak düzenlenmesiyle, teknolojik süreçlerdeki aksaklıkların zamanında tespit edilmesini, bunları ayarlamak için önlemler alınmasını ve ürünlerin serbest bırakılmasını önlemeyi amaçlayan süreçlerin istatistiksel kontrolü için kurallar ve planlar geliştirilir. belirlenmiş gereksinimleri karşılamıyor. Bu önlemler, üretim maliyetlerini ve standart altı birimlerin tedarikinden kaynaklanan kayıpları azaltmayı amaçlamaktadır. İstatistiksel kabul kontrolü ile, matematiksel istatistik yöntemlerine dayalı olarak, ürün partilerinden numuneler analiz edilerek kalite kontrol planları geliştirilir. Zorluk, olasılıksal ve istatistiksel modelleri doğru bir şekilde oluşturabilmekte yatmaktadır. karar verme, buna dayanarak yukarıdaki soruları cevaplayabilirsiniz. Matematiksel istatistiklerde, bunun için hipotezleri test etmek için olasılıksal modeller ve yöntemler geliştirilmiştir, özellikle, hatalı üretim birimlerinin oranının belirli bir sayıya eşit olduğu hipotezleri, örneğin (AN'ın romanından Strukov'un sözlerini hatırlayın). Tolstoy).

Değerlendirme görevleri... Bir dizi yönetimsel, üretim, ekonomik ve ulusal ekonomik durumda, farklı türde sorunlar ortaya çıkar - olasılık dağılımlarının özelliklerini ve parametrelerini değerlendirme sorunu.

Bir örneğe bakalım. İnceleme için bir grup N ampulün alındığını varsayalım. Bu partiden rastgele n ampul örneği seçildi. Bir dizi doğal soru ortaya çıkıyor. Örnek elemanların test sonuçlarına dayanarak, elektrik lambalarının ortalama hizmet ömrü nasıl belirlenir ve bu özellik hangi doğrulukla tahmin edilebilir? Daha büyük bir örnek alırsanız doğruluk nasıl değişir? Ampullerin en az %90'ının bir saatten fazla dayanacağı kaç saatte garanti edilebilir?

Bir miktar elektrik lambasıyla bir numuneyi test ederken, elektrik lambalarının arızalı olduğunu varsayalım. Sonra aşağıdaki sorular ortaya çıkıyor. Bir partideki kusurlu ampul sayısı, kusur düzeyi vb. için hangi sınırlar belirlenebilir?

Veya teknolojik süreçlerin doğruluğunun ve kararlılığının istatistiksel analizinde, kalite göstergeleri kast ettiğim gibi izlenen parametre ve incelenen süreçte yayılma derecesi. Olasılık teorisine göre, matematiksel beklentisini rastgele bir değişkenin ortalama değeri ve varyans, standart sapma veya varyasyon katsayısı... Bu şu soruyu gündeme getiriyor: bu istatistiksel özelliklerin örnek verilerden nasıl değerlendirileceği ve bu hangi doğrulukla yapılabilir? Buna benzer birçok örnek var. Burada, ürün kalitesinin istatistiksel yönetimi alanında kararlar alınırken, olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin üretim yönetiminde nasıl kullanılabileceğini göstermek önemliydi.

"Matematiksel istatistik" nedir? Matematiksel istatistik, "istatistiksel verilerin toplanması, sistemleştirilmesi, işlenmesi ve yorumlanmasının yanı sıra bunları bilimsel veya pratik sonuçlar için kullanmak için matematiksel yöntemlere ayrılmış bir matematik bölümü olarak anlaşılır. Matematiksel istatistiklerin kuralları ve prosedürleri, olasılık teorisine dayanır. mevcut istatistiksel materyale dayanarak her problemde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılan "[[2.2], s. 326]. Bu durumda, istatistiksel verilere, belirli özelliklere sahip, az ya da çok kapsamlı bir kümedeki nesnelerin sayısı hakkında bilgi denir.

Çözülmekte olan problemlerin türüne göre, matematiksel istatistikler genellikle üç bölüme ayrılır: veri tanımı, tahmin ve hipotez testi.

İşlenen istatistiksel verilerin türüne göre, matematiksel istatistikler dört alana ayrılır:

gözlem sonucunun gerçek bir sayı ile tanımlandığı tek boyutlu istatistikler (rastgele değişkenlerin istatistikleri);
bir nesne üzerindeki gözlemin sonucunun birkaç sayı (vektör) ile tanımlandığı çok değişkenli istatistiksel analiz;
gözlem sonucunun bir fonksiyon olduğu rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri;
gözlem sonucunun sayısal olmayan bir yapıya sahip olduğu, örneğin bir küme (geometrik şekil), bir sıralama olduğu veya nitel bir temelde ölçüm sonucunda elde edildiği sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri .

Tarihsel olarak, sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin bazı istatistik alanları (özellikle, evlilik oranını tahmin etme ve bununla ilgili hipotezleri test etme sorunları) ve tek boyutlu istatistikler ilk ortaya çıkanlardı. Matematiksel aparat onlar için daha basittir, bu nedenle örnekleriyle genellikle matematiksel istatistiklerin temel fikirleri gösterilir.

Yalnızca bu veri işleme yöntemleri, yani matematiksel istatistikler, ilgili gerçek fenomen ve süreçlerin olasılıksal modellerine dayanan kanıtlardır. Tüketici davranış modelleri, risklerin ortaya çıkması, teknolojik ekipmanın işleyişi, deneysel sonuçların elde edilmesi, hastalığın seyri vb. Gerçek bir olgunun olasılıklı modeli, eğer incelenen nicelikler ve aralarındaki ilişkiler olasılık teorisi ile ifade ediliyorsa, oluşturulmuş olarak kabul edilmelidir. Gerçekliğin olasılıksal modeline uygunluk, yani. yeterliliği, özellikle hipotezleri test etmek için istatistiksel yöntemler yardımıyla doğrulanır.

Olası olmayan veri işleme yöntemleri keşif amaçlıdır; sınırlı istatistiksel malzeme temelinde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılmadıkları için yalnızca ön veri analizi için kullanılabilirler.

olasılıksal ve istatistiksel yöntemler bir fenomen veya sürecin olasılıksal bir modelini oluşturmanın ve doğrulamanın mümkün olduğu her yerde uygulanabilir. Bir veri örneğinden elde edilen sonuçlar tüm popülasyona aktarıldığında (örneğin, bir örnekten tüm ürün serisine) bunların kullanımı zorunludur.

Belirli uygulama alanlarında, olasılıksal olarak kullanılırlar. istatistiksel yöntemler yaygın kullanım ve özel. Örneğin, ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerine ayrılmış üretim yönetimi bölümünde, uygulamalı matematiksel istatistikler (deneylerin planlanması dahil) kullanılır. Onun yöntemlerinin yardımıyla, istatistiksel analiz teknolojik süreçlerin doğruluğu ve kararlılığı ve istatistiksel kalite değerlendirmesi. Spesifik yöntemler, ürün kalitesinin istatistiksel kabul kontrolü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlemesi, güvenilirliğin değerlendirilmesi ve kontrolü vb. yöntemlerini içerir.

Güvenilirlik teorisi ve kuyruk teorisi gibi uygulamalı olasılıksal ve istatistiksel disiplinler yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ilkinin içeriği adından açıktır, ikincisi, aramaların rastgele zamanlarda geldiği bir telefon santrali gibi sistemleri incelemektir - telefonlarında numara çeviren abonelerin gereksinimleri. Bu iddialara hizmet süresi, yani. konuşmaların süresi de rastgele değişkenlerle modellenmiştir. Bu disiplinlerin gelişimine büyük katkı, SSCB Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi A.Ya. Khinchin (1894-1959), Ukrayna SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) ve diğer yerli bilim adamları.

Kısaca matematiksel istatistiklerin tarihi hakkında... Bir bilim olarak matematiksel istatistik, olasılık teorisine dayanarak araştıran ve doğrulayan ünlü Alman matematikçi Karl Friedrich Gauss'un (1777-1855) çalışmalarıyla başlar. en küçük kareler yöntemi, onun tarafından 1795'te yaratıldı ve astronomik verileri işlemek için kullanıldı (küçük gezegen Ceres'in yörüngesini netleştirmek için). Adı genellikle en popüler olasılık dağılımlarından biri olarak adlandırılır - normal ve rastgele süreçler teorisinde çalışmanın ana amacı Gauss süreçleridir.

XIX yüzyılın sonunda. - yirminci yüzyılın başı. matematiksel istatistiklere büyük bir katkı, başta K. Pearson (1857-1936) ve R.A. olmak üzere İngiliz araştırmacılar tarafından yapılmıştır. Fischer (1890-1962). Özellikle, Pearson istatistiksel hipotezler için ki-kare testini geliştirdi ve Fisher, varyans analizi, deney planlama teorisi, maksimum olabilirlik parametre tahmin yöntemi.

Yirminci yüzyılın 30'larında. Pole Jerzy Neumann (1894-1977) ve İngiliz E. Pearson, istatistiksel hipotezleri test etmek için genel bir teori geliştirdi ve Sovyet matematikçileri Akademisyen A.N. Kolmogorov (1903-1987) ve SSCB Bilimler Akademisi N.V. Smirnov (1900-1966) parametrik olmayan istatistiklerin temellerini attı. Yirminci yüzyılın kırklarında. Rumen A. Wald (1902-1950) sıralı istatistiksel analiz teorisi oluşturdu.

Matematiksel istatistikler günümüzde hızla gelişmektedir. Dolayısıyla, son 40 yılda, temelde yeni dört araştırma alanı ayırt edilebilir [[2.16]]:

deneyleri planlamak için matematiksel yöntemlerin geliştirilmesi ve uygulanması;
uygulamalı matematiksel istatistikte bağımsız bir yön olarak sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistiklerinin geliştirilmesi;
kullanılan olasılıksal modelden küçük sapmalara göre kararlı olan istatistiksel yöntemlerin geliştirilmesi;
verilerin istatistiksel analizine yönelik bilgisayar yazılım paketlerinin oluşturulmasına yönelik çalışmaların yaygın olarak geliştirilmesi.

Olasılıksal-istatistiksel yöntemler ve optimizasyon... Optimizasyon fikri, modern uygulamalı matematiksel istatistiklere ve diğer istatistiksel yöntemler... Yani, deney planlama yöntemleri, istatistiksel kabul kontrolü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlenmesi vb. Öte yandan, teoride optimizasyon ifadeleri karar vermeörneğin, ürün kalitesinin uygulamalı optimizasyon teorisi ve standartların gereklilikleri, öncelikle uygulamalı matematiksel istatistikler olmak üzere olasılıklı ve istatistiksel yöntemlerin yaygın şekilde kullanılmasını sağlar.

Üretim yönetiminde, özellikle ürün kalitesi ve standartların gerekliliklerini optimize ederken, uygulanması özellikle önemlidir. istatistiksel yöntemlerürün yaşam döngüsünün ilk aşamasında, yani. deneysel tasarım geliştirmelerinin araştırma hazırlığı aşamasında (ürünler için umut verici gereksinimlerin geliştirilmesi, ön tasarım, deneysel tasarım geliştirme için teknik özellikler). Bunun nedeni, ürün yaşam döngüsünün ilk aşamasında mevcut olan sınırlı bilgi ve gelecek için teknik yetenekleri ve ekonomik durumu tahmin etme ihtiyacıdır. İstatistiksel Yöntemler optimizasyon problemini çözmenin tüm aşamalarında kullanılmalıdır - değişkenleri ölçeklerken, ürün ve sistemlerin işleyişi için matematiksel modeller geliştirirken, teknik ve ekonomik deneyler yaparken vb.

Ürün kalitesinin optimizasyonu ve standartların gereklilikleri de dahil olmak üzere, tüm istatistik alanları optimizasyon problemlerinde kullanılmaktadır. Yani - rastgele değişkenlerin istatistikleri, çok boyutlu istatistiksel analiz, rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri, sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri. Spesifik verilerin analizi için istatistiksel bir yöntem seçiminin tavsiyelere göre yapılması tavsiye edilir [