Merkezli ve normalleştirilmiş rastgele değişkenler. Normasyonlu rastgele değişkenler

Rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki fark sapma veya merkezli rastgele değişken:

Merkezli bir rastgele değişkenin dağıtım satırı formu vardır:

Özellikleri Merkezli rastgele değişken:

1. Sapma matematiksel beklentisi 0:

2. Rastgele varyansın dağılması H. Matematiksel beklentisinden, en rastgele değişken X'in dağılımına eşittir:

Başka bir deyişle, rastgele değişkenin dağılması ve sapmasının dağılımı birbirine eşittir.

4.2. Sapma ise H. M (x)ortalama ikinci dereceden sapmaya bölün  (X), sonra aradığımız boyutsuz merkezli rasgele miktar alıyoruz Standart (normalize) rastgele değişken:

Özellikleri Standart rastgele değişken:

Standart rasgele değişkenin matematiksel beklentisi sıfırdır: M.(Z.) =0.

Standart rastgele değişkenin dağılması 1: D.(Z.) =1.

Öz Çözümler İçin Görevler

Maliyeti 210 ve 60 Cu olan 100 bilet için piyangoda iki şey oynanır. Sahip olan kişinin kazanma miktarının hareket dağılımını yapın: a) 1 bilet, b) 2 bilet. Sayısal özellikleri bulun.

İki ok bir kez hedefi vurur. Rastgele değer H.- İlk atıcı ile bir vuruştan çıkan nokta sayısı - bir dağıtım hukuku var:

Z. - Her iki okla birlikte çalınan nokta miktarı. Sayısal özellikleri belirleyin.

İki atıcı hedeflerini vurarak birbirlerinden bağımsız bir şekilde vurdu. Hedefe ilk ok için vurma olasılığı, ikinci - 0.8 için 0,7'dir. Rastgele değer H. 1 - İlk okun ok sayısı, H. 2  İkinci okun ulaşan sayısı. Dağıtım Kanunu'nu bulun: a) Toplam isabet sayısı; b) Rastgele değişken Z.=3H. 1  2H. 2 . Toplam isabet sayısının sayısal özelliklerini belirler. Matematiksel beklenti ve dağılımın özelliklerinin yürütülmesini kontrol edin: M.(3 X.  2 Y.)=3 M.(X.)  2 M.(Y.), D.(3 X.  2 Y.)=9 D.(X.)+4 D.(Y.).

Rastgele değer H.- Şirket Geliri - Dağıtım Hukuku Var:

Rastgele değişken için dağıtım yasasını bulun Z. - Kar şirketi. Sayısal özelliklerini belirler.

Rastgele değişkenler H. ve W. Bağımsız ve aynı dağıtım hukukuna sahip:

Aynı dağıtım yasalarının rastgele değişkenleri 2 vardır H. ve H. + W. ?

Standart rasgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfır olduğunu ve dispersiyonun 1'e eşit olduğunu kanıtlayın.

Yukarıda, rastgele değişkenlerin dağılımının yasalarıyla tanıştık. Her dağıtım yasası, rastgele bir değişken olasılıklarının özelliklerini açıkça tanımlar ve rastgele bir değişkenle ilgili herhangi bir olayın olasılığını hesaplamayı mümkün kılar. Bununla birlikte, birçok uygulamada, bu kadar eksiksiz bir açıklamaya gerek yoktur ve genellikle yalnızca temel dağıtım özelliklerini karakterize eden bireysel sayısal parametreleri belirlemek için yeterlidir. Örneğin, rastgele bir değişkenin değerlerinin dağınık olduğu ortalama, bu saçılımın büyüklüğünü karakterize eder. Bu sayılar, sıkıştırılmış bir formda en önemli dağıtım özelliklerinde ifade etmek için tasarlanmıştır ve denir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında, öncelikle, rastgele değişkenin pozisyonunu sayısal eksendeki konumunu kilitleyen özellikleri kabul edilir. Olası değerlerinin gruplandırıldığı rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olasılık teorisindeki pozisyonun özelliklerinden en büyük rol oynar beklenen değerBazen sadece rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılır.

Diyelim ki ayrık SV?, Değerler alır x (, x 2, ..., x n Olasılıkla rj, p 2, ... PTV şunlar. Bir dizi dağıtım ayarla

Bu deneylerde değerde olması mümkündür. x. gözlemlenen N ( zaman, anlam x 2 - n 2 kere, ..., anlamı x n - n n zaman. Aynı zamanda +. N 2. +... + N n \u003d n.

Gözlemlerin ortalama aritmetik sonuçları

Eğer bir N. Veliko, yani N. - "OO, o zaman

dağıtım Merkezini tanımlamak. Böylece, rastgele bir değişkenin ortalama değeri matematiksel beklenti denir. Sözlü tanım formülasyonu verelim.

Tanım 3.8. Matematiksel beklenti (MO) Ayrık Aziz%, bu değerlerin olasılığındaki tüm olası değerlerinin ürünlerinin miktarına eşit bir sayı olarak adlandırılır (Tarım M;):

Şimdi, ayrık SV'nin olası değerlerinin sayısının sayısını sayarken, yani, yani. PP'imiz var

Matematiksel beklenti için formül aynı, yalnızca tutarın üst sınırında aynı kalır p OO ile değiştirildi, yani.

Bu durumda, zaten yapabilecek ve dağılabilecek bir numara alıyoruz, yani. İlgili SV ^ matematiksel beklentiye sahip olmayabilir.

Örnek 3.8. SV?, Bir dizi dağıtım ayarla

Bu St.'in Mo'yu bulacağız.

Karar. A-Priory. şunlar. Mt, mevcut değil.

Böylece, sayılabilir değer sayısı durumunda, aşağıdaki tanımlar.

Tanım 3.9. Matematiksel beklentiya da ortalama, ayrık SV, Bu dizinin kesinlikle birleşmesi şartıyla, tüm olası değerlerinin birkaç eserinin toplamına eşit olan sayıları olarak adlandırılan sayım sayısına sahip olmak, yani.

Bu seri ayrılırsa veya yakınsama yaparsa, SV ^'nin matematiksel bir beklentisi olmadığını söylüyorlar.

Ayrık SV'den sürekli olarak yoğunluğa gidelim p (x).

Tanım 3.10. Matematiksel beklentiya da ortalama, sürekli St. eşit bir sayı olarak adlandırılır

bu ayrılmazlığın kesinlikle birleşmesi şartıyla.

Bu ayrılmaz farklılaşmış veya koşullu olarak inşa edilirse, sürekli SV'nin matematiksel bir beklentisi olmadığını söylüyorlar.

Not 3.8. Rasgele değişkenin olası tüm değerleri J;

sadece aralığa aittir ( fakat; B) bu

Matematiksel beklenti, olasılık teorisinde kullanılan pozisyonun tek özelliği değildir. Bazen moda ve medyan gibi kullanılır.

Tanım 3.11. Modo Sv ^ (atama MOT,) En muhtemel değeri, yani denir. o zaman hangi olasılık p i. veya olasılık yoğunluğu p (x) En büyük değere ulaşır.

Tanım 3.12. Medyan Sv?, (Atama Tanışmak) Bunun için değeri denir. P (t\u003e Met) \u003d P (?\u003e Tanışmak) = 1/2.

Sürekli sv medyan için geometrik olarak - bu, eksen noktasının abscısasıdır. Oh, Solda ve sağda bulunan karelerin, 1/2'ye eşit ve aynıdır.

Örnek 3.9. St.t Çok sayıda dağıtım var

Matematiksel beklentiyi, moda ve medyanı buluruz

Karar. M, \u003d 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 \u003d 1.6. L / o? \u003d 2. Ben (?) Yok.

Örnek 3.10. Sürekli Aziz% bir yoğunluğu var

Matematiksel beklenti, medyan ve moda buluyoruz.

Karar.

p (x) Maksimuma ulaşır, açıkça bir medyan da, hattın sağa ve sol tarafına göre sol tarafa göre olan alan eşittir.

Olasılık teorisindeki pozisyonun özelliklerine ek olarak, çeşitli amaçların başka bir sayıda sayısal özelliği tüketilir. Bunlar arasında anlar için özel ve merkezi ve merkezidir.

Tanım 3.13. K-th emrinin ilk anı SV?, Matematiksel beklenti denilen k-j. Bu değerin derecesi: \u003d M (t\u003e k).

Ayrık ve sürekli rastgele değişkenler için matematiksel beklentinin belirlenmesinden

Not 3.9. Açıkçası, ilk siparişin ilk anı matematiksel bir beklentidir.

Merkez anın belirlenmesini yapmadan önce, merkezli rastgele bir değişkenin yeni bir kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 3.14. Merkezli SV, matematiksel beklentisinden rastgele bir değişkenin sapması denir, yani.

Emin olmak kolaydır

Rastgele bir değişkenin merkezlenmesi açıkça referansın başlangıcının M noktasına aktarılmasına eşdeğerdir; Merkezli rastgele değişkenin anları denir merkezi anlar.

Tanım 3.15. Merkez anı K-th emri Aziz Matematiksel Beklenti denir k-j. Merkezli rastgele değişken derecesi:

Matematiksel beklentinin belirlenmesinden itibaren

Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken için ^ 1. sıranın merkezi anı sıfırdır: h. ile \u003d M (? 0) \u003d 0.

Uygulamanın özel önemi ikinci merkezi anı var c 2.Bu dispersiyon denir.

Tanım 3.16. Dağılım SV?, Karşılık gelen merkezli değerin karesinin matematiksel beklentisi denir (atama) D?)

Dispersiyonu hesaplamak için aşağıdaki formülleri doğrudan tanımdan alabilirsiniz:

Dönüştürme Formülü (3.4), hesaplamak için aşağıdaki formülü alabilirsiniz. DL ;.

Dispersiyon SV karakteristik dağılım, matematiksel beklentisinin yakınında rastgele değerlerin saçılması.

Dispersiyon, her zaman uygun olmayan rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. Bu nedenle, bir dispersiyonun özelliği olarak netlik için, boyutunu, boyutunu, rasgele bir değişkenin boyutuyla çakışan boyutunu kullanmak uygundur. Bunun için, karekök dispersiyondan çıkarılır. Değer denir orta ikinci dereceden sapma rastgele değişken. Bunu söyleyeceğiz: a \u003d l / s.

Negatif olmayan SV?, Karakteristik olarak, bazen kullanılır varyasyon katsayısıOrtalama ikinci dereceden sapmanın matematiksel beklentiye oranına eşit:

Matematiksel beklentiyi bilmek ve rastgele bir değişkenin ortalama ikinci dereceden sapması, olası değerlerinin aralığının yaklaşık bir gösterimi olabilir. Birçok durumda, rasgele değişkenin değerlerinin sadece zaman zaman aralığın ötesine geçtiğini varsayabiliriz; ± için. Bu kural, gelecekte utanacağımız normal dağılım için, ismi giyer Üç Sigm.

Matematiksel beklenti ve dispersiyon - rastgele bir değişkenin en sık olduğu sayısal özellikler. Matematiksel beklentilerin ve dağılımın belirlenmesinden, bu sayısal özelliklerin bazı basit ve yeterince belirgin özellikleri izlenir.

En basitmatematiksel beklenti ve dağılımın özellikleri.

1. Rastgele olmayan matematiksel beklenti dan İle eşit derecede değer: M (c) \u003d s.

Gerçekten değerden beri dan 1, daha sonra m (c) olasılığı olan sadece bir değer alır. dan 1 \u003d s.

2. Rasgele olmayan değerin sıfır ile dağılması, yani D (c) \u003d 0.

Gerçekten mi, DC \u003d M (C - MS) 2 \u003d M (ile - c) 2 \u003d M (0) = 0.

3. Rastgele olmayan çarpan, matematiksel beklentinin bir işareti için yapılabilir: M (s ^) \u003d ile M (?,).

Ayrık St. örneği üzerine bu mülkün adaleti gösteriyoruz.

Bir dizi dağıtım ayarlasın

Sonra

Dolayısıyla

Benzer şekilde, mülk, kanıtlanmış ve sürekli rastgele bir değişken içindir.

4. Rastgele olmayan çarpan, meydandaki dispersiyon işareti için yapılabilir:

Rastgele varyansın daha fazla anları bilinirse, dağıtım hukukunun daha ayrıntılı bir fikri.

Olasılık teorisinde ve uygulamalarında, 3. ve 4. emirlerin merkezi noktalarına dayanan rasgele bir değişkenin iki sayısal özelliği, asimetri katsayısıdır)