Похідна функції y x c дорівнює. Похідна складної функції
На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися із правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезгаданим уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад – матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.
На практиці з похідною складною функцією доводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав би, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.
Дивимося в таблицю правило (№5) диференціювання складної функції:
Розбираємось. Насамперед звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.
Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.
! Дані визначення не є теоретичними та не повинні фігурувати у чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази "зовнішня функція", "внутрішня" функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.
Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:
Приклад 1
Знайти похідну функції
Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:
У цьому прикладі з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньої функцією (вкладенням), а – зовнішньої функцією.
Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.
У разі простих прикладів зрозуміло, що під синус вкладений многочлен . А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.
Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).
Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією : 
У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньою функцією: 
Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньою та зовнішньою функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції 
.
Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч вгорі штрих:
Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:
Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.
Ну і цілком очевидно, що
Результат застосування формули 
у чистовому оформленні виглядає так:
Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:
Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і прочитайте пояснення.
Приклад 2
Знайти похідну функції
Приклад 3
Знайти похідну функції
Як завжди записуємо: 
Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? В першу чергу потрібно порахувати чому рівна основа: , отже, багаточлен - і є внутрішня функція: 
І тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція: 
Згідно з формулою 
, спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці необхідну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблична формула справедлива не тільки для «ікс», але і для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний:
Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється: 
Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «зачесати» результат:
Приклад 4
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?
Приклад 5
а) Знайти похідну функції
б) Знайти похідну функції
Приклад 6
Знайти похідну функції 
Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вигляд:
Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції 
:
Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:
Готово. Можна ще у дужках привести вираз до спільного знаменника та записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).
Приклад 7
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного 
Але таке рішення буде виглядати як збочення незвичайно. Ось характерний приклад:
Приклад 8
Знайти похідну функції
Тут можна використовувати правило диференціювання приватного 
, але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:
Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо до чисельника:
Косинус - внутрішня функція, зведення в ступінь - зовнішня функція.
Використовуємо наше правило 
:
Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад донизу:
Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила 
, відповіді повинні збігтися.
Приклад 9
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.
Приклад 10
Знайти похідну функції
Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?
Спочатку потрібно знайти , отже, арксинус - найглибше вкладення:
Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:
І, нарешті, сімку зводимо в ступінь: 
Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому, внутрішньою функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.
Починаємо вирішувати
Відповідно до правила 
Спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний.
Запам'ятати дуже просто.
Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:
У нашому випадку основою є число:
Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.
Чому дорівнює? Звичайно ж, .
Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:
Приклади:
- Знайди похідну функцію.
- Чому дорівнює похідна функції?
Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.
Правила диференціювання
Правила чого? Знову новий термін, знову?!
Диференціювання- Це процес знаходження похідної.
Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.
При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:
Усього є 5 правил.
Константа виноситься за знак похідної.
Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.
Очевидно, це правило працює і для різниці: .
Доведемо. Нехай, чи простіше.
приклади.
Знайдіть похідні функції:
- у точці;
- у точці;
- у точці;
- у точці.
Рішення:
- (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);
Похідна робота
Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:
Похідна:
Приклади:
- Знайдіть похідні функцій та;
- Знайдіть похідну функцію в точці.
Рішення:
Похідна показової функції
Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).
Отже, де – це якесь число.
Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:
І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:
Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.
Вийшло?
Ось, перевір себе:
Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.
Приклади:
Знайди похідні функції:
Відповіді:
Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.
Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:
У цьому прикладі добуток двох функцій:
Похідна логарифмічна функція
Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:
Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:
Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:
Тільки тепер замість писатимемо:
У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:
Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.
Похідна складна функція.
Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції можуть бути складні для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з погляду математики слово «складна» не означає «важка».
Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.
Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.
Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .
Для прикладу, .
Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.
Другий приклад: (те саме). .
Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).
Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:
Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції
- Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
А вихідна функція є їх композицією: . - Внутрішня: ; зовнішня: .
Перевірка: . - Внутрішня: ; зовнішня: .
Перевірка: . - Внутрішня: ; зовнішня: .
Перевірка: . - Внутрішня: ; зовнішня: .
Перевірка: .
виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.
Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:
Інший приклад:
Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:
Алгоритм знаходження похідної складної функції:
Начебто все просто, так?
Перевіримо на прикладах:
Рішення:
1) Внутрішня: ;
Зовнішня: ;
2) Внутрішня: ;
(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)
3) Внутрішня: ;
Зовнішня: ;
Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.
Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.
У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:
Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:
Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.
1. Підкорене вираз. .
2. Корінь. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Збираємо все до купи:
ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:
Базові похідні:
Правила диференціювання:
Константа виноситься за знак похідної:
Похідна сума:
Похідна робота:
Похідна приватна:
Похідна складної функції:
Алгоритм знаходження похідної від складної функції:
- Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
- Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
- Помножуємо результати першого та другого пунктів.
Напевно, поняття похідної знайоме кожному з нас зі школи. Зазвичай в учнів виникають труднощі з розумінням цієї, безперечно, дуже важливої речі. Вона активно застосовується в різних сферах життя людей, і багато інженерних розробок були засновані саме на математичних розрахунках, отриманих за допомогою похідної. Але перш ніж перейти до розбору того, що ж таке похідні чисел, як їх обчислювати і де вони нам знадобляться, зануримося трохи в історію.
Історія
Що є основою математичного аналізу, було відкрито (краще навіть сказати "винайдено", тому що в природі воно як таке не існувало) Ісааком Ньютоном, якого ми всі знаємо щодо відкриття закону всесвітнього тяжіння. Саме він уперше застосував у фізиці це поняття для зв'язування природи швидкості та прискорення тіл. І багато вчених досі вихваляють Ньютона за цей чудовий винахід, адже по суті він винайшов основу диференціального та інтегрального обчислення, фактично основу цілої галузі математики під назвою "математичний аналіз". Якби в той час була Нобелівська премія, Ньютон з великою ймовірністю отримав би її кілька разів.
Не обійшлося і без інших великих умів. Крім Ньютона над розвитком похідної та інтеграла попрацювали такі імениті генії математики, як Леонард Ейлер, Луї Лагранж та Готфрід Лейбніц. Саме завдяки ним ми отримали теорію у такому вигляді, в якому вона існує до сьогодні. До речі, це Лейбніц відкрив геометричний зміст похідної, яка виявилася нічим іншим, як тангенсом кута нахилу щодо графіку функції.
Що таке похідні чисел? Трохи повторимо те, що проходили у школі.
Що таке похідна?
Визначати це поняття можна кількома різними способами. Найпростіше пояснення: похідна – це швидкість зміни функції. Представимо графік якоїсь функції y від x. Якщо це не пряма, то вона має деякі вигини у графіку, періоди зростання та спадання. Якщо брати який-небудь нескінченно малий проміжок цього графіка, він буде відрізком прямий. Так ось, відношення розміру цього нескінченно малого відрізка по координаті y до розміру по координаті x і буде похідною цієї функції в даній точці. Якщо розглядати функцію загалом, а чи не у конкретній точці, ми отримаємо функцію похідної, тобто певну залежність ігорок від икс.
До того ж крім швидкості зміни функції є ще й геометричний зміст. Про нього ми зараз і поговоримо.
Геометричний зміст
Похідні чисел власними силами є деяке число, яке без належного розуміння несе ніякого сенсу. Виявляється, похідна не тільки показує швидкість зростання або зменшення функції, а також тангенс кута нахилу щодо графіку функції в даній точці. Не зовсім зрозуміле визначення. Розберемо його докладніше. Допустимо, у нас є графік будь-якої функції (для інтересу візьмемо криву). На ній є безліч точок, але є такі області, де тільки одна єдина точка має максимум або мінімум. Через будь-яку таку точку можна провести пряму, яка була перпендикулярна графіку функції в цій точці. Така лінія називатиметься дотичною. Допустимо, ми провели її до перетину з віссю OX. Так ось, отриманий між дотичною і віссю OX кут буде визначатися похідною. А точніше, тангенс цього кута дорівнюватиме їй.
Поговоримо трохи про окремі випадки і розберемо похідні чисел.
Приватні випадки
Як ми вже казали, похідні чисел – це значення похідної у конкретній точці. Ось, наприклад, візьмемо функцію y=x 2 . Похідна x - число, а в загальному випадку - функція, що дорівнює 2 * x. Якщо нам необхідно обчислити похідну, скажімо, в точці x 0 = 1, то отримуємо y"(1) = 2 * 1 = 2. Все дуже просто. Цікавий випадок представляє похідна Вдаватися в докладне пояснення того, що таке комплексне число, ми не Скажемо лише, що це число, яке містить у собі так звану уявну одиницю - число, квадрат якого дорівнює -1 Обчислення такої похідної можливе лише за наявності наступних умов:
1) Повинні існувати приватні похідні першого порядку від дійсної та уявної частини за ігроками та ікс.
2) Виконуються умови Коші-Рімана, пов'язані з рівністю приватних похідних, описаних у першому пункті.
Іншим цікавим випадком, хоча й таким складним як попередній, є похідна негативного числа. Насправді будь-яке негативне число можна як позитивне, помножене на -1. Ну а похідна постійної та функції дорівнює постійній, помноженій на похідну функції.
Цікаво буде дізнатися про роль похідної у повсякденному житті, і саме це зараз обговоримо.
Застосування
Напевно, кожен із нас хоч раз у житті ловить себе на думці, що математика навряд чи знадобиться йому. А така складна штука, як похідна, мабуть взагалі не має застосування. Насправді математика - і всі її плоди розвиває в основному фізика, хімія, астрономія і навіть економіка. Похідна започаткувала що дала нам можливість робити висновки з графіків функцій, і ми навчилися інтерпретувати закони природи та звертати їх на свою користь завдяки йому.
Висновок
Звичайно, не кожному, можливо, стане в нагоді похідна в реальному житті. Але математика розвиває логіку, яка точно буде потрібна. Адже не дарма математику називають царицею наук: з неї складаються основи розуміння інших галузей знань.
Вирішувати фізичні завдання або приклади з математики неможливо без знань про похідну і методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?
Геометричний та фізичний зміст похідної
Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:
Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.
Інакше це можна записати так:
Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:
похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.
Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.
Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:
Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:
Правило перше: виносимо константу
Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .
приклад. Обчислимо похідну:
Правило друге: похідна суми функцій
Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.
Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.
Знайти похідну функції:
Правило третє: похідна робота функцій
Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:
Приклад: знайти похідну функції:
Рішення: 
Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.
У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:
В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.
Правило четверте: похідна приватного двох функцій
Формула для визначення похідної від частки двох функцій:
Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.
З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентський сервіс. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.
Завантаження...