Геометрія - одна з наук, із застосуванням якої на практиці людина стикається практично щодня. Серед різноманіття геометричних постатей окремої уваги заслуговує і трапеція. Вона є опуклою фігурою з чотирма сторонами, з яких дві паралельні між собою. Останні називаються основами, а дві – бічними сторонами. Відрізок, перпендикулярний основ і визначальний величину проміжку між ними, буде висотою трапеції. Яким чином можна обчислити його довжину?

Знайти висоту довільної трапеції

Базуючись на вихідних даних, визначення висоти фігури можливе декількома способами.

Відома площа

Якщо довжина паралельних сторін відома, а також вказана площа фігури, то для визначення перпендикуляра, що шукається, можна скористатися наступним співвідношенням:

S=h*(a+b)/2,
h - потрібна величина (висота),
S – площа фігури,
a та b – сторони, паралельні одна одній.
З наведеної формули випливає, що h=2S/(a+b).

Відома величина середньої лінії

Якщо серед вихідних даних крім площі трапеції (S) відома, і довжина її лінії середини (l), то обчислень знадобиться інша формула. Насамперед варто уточнити, що таке середня лінія для цього виду чотирикутника. Термін визначає частину прямої, що з'єднує середини бокових сторін фігури.

З властивості трапеції l=(a+b)/2,
l – лінія середини,
a, b – сторони-основи чотирикутника.
Тому h=2S/(a+b)=S/l.

Відомі 4 сторони фігури

У разі допоможе теорема Піфагора. Опустивши перпендикуляри на велику сторону-основу, скористайтеся нею для двох прямокутних трикутників, що вийшли. Підсумковий вираз матиме вигляд:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,

c та d – 2 інші сторони.

Кути в основі

За наявності даних про кути на основі, скористайтеся тригонометричними функціями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α та β – кути в основі чотирикутника,
c та d – його бічні сторони.

Діагоналі фігури та кути, які перетинаючи вони утворюють

Довжина діагоналі - Довжина відрізка, що з'єднує протилежні вершини фігури. Позначимо дані величини символами d1 та d2, а кути між ними γ та φ. Тоді:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a і b - сторони-основи фігури,
d1 та d2 – діагоналі трапеції,
γ та φ – кути між діагоналями.

Висота фігури та радіус кола, яке в неї вписано

Як випливає з визначення такого роду кола, вона стосується кожної основи в 1 точці, які є частиною однієї прямої. Тому відстань між ними – діаметр – шукана висота фігури. Оскільки діаметр – подвоєний радіус, то:

h = 2 * r,
r – радіус кола, яке вписали у цю трапецію.

Знайти висоту рівнобедреної трапеції

• Як і випливає з формулювання, характерною характеристикою рівнобедреної трапеції є рівність її бічних сторін. Тому знаходження висоти фігури скористайтеся формулою визначення даної величини у разі, коли відомі сторони трапеції.

Отже, якщо с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - сторони-основи чотирикутника,
c = d – його бічні сторони.

• За наявності величини кутів, утворених двома сторонами (підставою та бічною), висоту трапеції визначає наступне співвідношення:

h = c* sinα,
h = з * tgα *cosα = з * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – кут в основі фігури,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – його бічні сторони.

• Якщо дані величини діагоналей фігури, то вираз перебування висоти фігури видозміниться, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

З такою формою, як трапеція, ми зустрічаємося в житті досить часто. Наприклад, будь-який міст, який виконаний з бетонних блоків, є яскравим прикладом. Найбільш наочним варіантом можна вважати кермо кожного транспортного засобу та інше. Про властивості фігури було відомо ще у Стародавній Греції, яку детальніше описав Аристотель у своїй науковій праці «Початку». І знання, виведені тисячі років тому актуальні й до сьогодні. Тому ознайомимося з ними детальніше.

Вконтакте

Основні поняття

1. Класична форма трапеції.

Трапеція за своєю суттю є чотирикутником, що складається з двох відрізків, які паралельні, та двох інших, які не паралельні. Говорячи про цю фігуру завжди необхідно пам'ятати про такі поняття як: основи, висота та середня лінія. Два відрізки чотирикутника, які один одному називаються основами (відрізки AD і BC). Висотою називають відрізок перпендикулярний кожній із основ (EH), тобто. перетинаються під кутом 90° (як показано на рис.1).

Якщо скласти всі градусні заходи внутрішніх, то сума кутів трапеції дорівнюватиме 2π (360°), як і у будь-якого чотирикутника. Відрізок, кінці якого є серединами боковин (IF) називають середньою лінією.Довжина цього відрізка становить суму підстав BC і AD поділену на 2.

Існує три види геометричної фігури: пряма, звичайна та рівнобока. Якщо хоч один кут при вершинах основи буде прямий (наприклад, якщо ABD = 90 °), такий чотирикутник називають прямою трапецією. Якщо бічні відрізки рівні (AB і CD), вона називається равнобедренной (відповідно кути при підставах рівні).

Як знайти площу

Для того, щоб знайти площу чотирикутника ABCD користуються такою формулою:

Рисунок 2. Розв'язання задачі на пошук площі

Для наочного прикладу вирішимо легке завдання. Наприклад, нехай верхня і нижня основи дорівнюють по 16 і 44 см відповідно, а бічні сторони – 17 і 25 см. Побудуємо перпендикулярний відрізок з вершини D таким чином, щоб DE II BC (як це зображено на малюнку 2). Звідси отримуємо, що

Нехай DF – буде. З ΔADE (який буде рівнобоким), отримаємо наступне:

Тобто, висловлюючись простою мовою, ми спочатку знайшли висоту ΔADE, яка за сумісництвом є і висотою трапеції. Звідси обчислимо за відомою формулою площа чотирикутника ABCD, з відомим значенням висоти DF.

Звідси шукана площа ABCD дорівнює 450 см³. Тобто можна з упевненістю сказати, що для того, щоб обчислити площу трапеції потрібно лише сума підстав і довжина висоти.

Важливо!При вирішенні завдання не обов'язково знайти значення довжин окремо, цілком допускається, якщо будуть застосовані й інші параметри фігури, які за відповідного доказу дорівнюватимуть сумі підстав.

Види трапецій

Залежно від того, які сторони має фігура, які кути утворені на підставах, виділяють три види чотирикутника: прямокутна, різнобока і рівнобока.

Різнобока

Існує дві форми: гострокутна та тупокутна. ABCD гострокутна тільки в тому випадку, коли кути при основі (AD) гострі, а довжини сторін різні. Якщо величина одного кута число Пі/2 більша (градусна міра більше 90°), то отримаємо тупокутну.

Якщо боковини по довжині рівні

Рисунок 3. Вид рівнобічної трапеції

Якщо непаралельні сторони дорівнюють довжині, тоді ABCD називається рівнобокою (правильною). При цьому у такого чотирикутника градусна міра кутів при підставі однакова, їх кут буде завжди меншим за прямий. Саме з цієї причини рівнобедрена ніколи не ділиться на гострокутні та тупокутні. Чотирьохкутник такої форми має свої специфічні відмінності, до яких відносять:

1. Відрізки, що з'єднують протилежні вершини, рівні.
2. Гострі кути при більшому підставі становлять 45° (наочний приклад малюнку 3).
3. Якщо скласти градусні заходи протилежних кутів, то сумі вони давати 180°.
4. Навколо будь-якої правильної трапеції можна побудувати.
5. Якщо скласти градусну міру протилежних кутів, вона дорівнює π.

Більше того, через своє геометричне розташування точок існують основні властивості рівнобедреної трапеції:

Значення кута на підставі 90°

Перпендикулярність збоку основи — ємна характеристика поняття «прямокутна трапеція». Двох бокових сторін з кутами на підставі бути не може,тому що інакше це буде вже прямокутник. У чотирикутниках такого типу друга бічна сторона завжди утворюватиме гострий кут з великою основою, а з меншою — тупою. При цьому перпендикулярна сторона також буде і висотою.

Відрізок між серединами боковин

Якщо з'єднати середини бічних сторін, і отриманий відрізок буде паралельний основам, і дорівнює по довжині половини їх суми, то утворена пряма буде середньою лінією.Значення цієї відстані обчислюється за такою формулою:

Для наочного прикладу розглянемо завдання із застосуванням середньої лінії.

Завдання. Середня лінія трапеції дорівнює 7 см, відомо, що одна зі сторін більша за іншу на 4 см (рис.4). Знайти довжину основ.

Рисунок 4. Розв'язання задачі на пошук довжин основ

Рішення. Нехай менша основа DC дорівнює x см, тоді більша основа дорівнюватиме відповідно (x+4) см. Звідси, використовуючи формулу середньої лінії трапеції отримаємо:

Виходить, що менша основа DC дорівнює 5 см, а більша дорівнює 9 см.

Важливо!Поняття середньої лінії є ключовим під час вирішення багатьох завдань з геометрії. З її визначення, будуються багато докази інших фігур. Використовуючи поняття на практиці, можливо більш раціональне рішення та пошук необхідної величини.

Визначення висоти та способи як її знайти

Як зазначалося раніше, висота є відрізок, який перетинає підстави під кутом 2Пи/4 і є найкоротшим відстанню з-поміж них. Перед тим як знайти висоту трапеції,слід визначити які дані вхідні значення. Для найкращого розуміння розглянемо завдання. Знайти висоту трапеції за умови, що основи дорівнюють 8 і 28 см, бічні сторони 12 і 16 см відповідно.

Рисунок 5. Розв'язання задачі на пошук висоти трапеції

Проведемо відрізки DF і CH під прямими кутами до основи AD. Згідно з визначенням, кожен з них буде висотою заданої трапеції (рис.5). У такому разі, знаючи довжину кожної боковини, за допомогою теореми Піфагора, знайдемо, чому дорівнює висота в трикутниках AFD і BHC.

Сума відрізків AF і HB дорівнює різниці підстав, тобто:

Нехай довжина AF дорівнюватиме x cм, тоді довжина відрізка HB=(20 – x)див. Як було встановлено, DF = CH, звідси.

Тоді отримаємо наступне рівняння:

Виходить, що відрізок AF у трикутнику AFD дорівнює 7,2 см, звідси обчислимо за тією самою теореми Піфагора висоту трапеції DF:

Тобто. висота трапеції ADCB дорівнюватиме 9,6 см. Як можна переконатися, що обчислення висоти - процес більш механічний, і ґрунтується на обчисленнях сторін і кутів трикутників. Але, у ряді завдань з геометрії, можуть бути відомі лише градуси кутів, у такому разі обчислення будуть проводитись через співвідношення сторін внутрішніх трикутників.

Важливо!По суті, трапецію часто розглядають як два трикутники, або як комбінацію прямокутника і трикутника. Для вирішення 90% всіх завдань, що зустрічаються у шкільних підручниках, властивості та ознаки цих фігур. Більшість формул, при цьому ГМТ, виведені покладаючись на «механізми» для зазначених двох типів фігур.

Як швидко обчислити довжину основи

Перед тим, як знайти основу трапеції, необхідно визначити які параметри вже дано, і як їх раціонально використовувати. Практичним підходом є вилучення довжини невідомої основи формули середньої лінії. Для чіткішого сприйняття картинки покажемо з прикладу завдання, як і можна зробити. Нехай відомо, що середня лінія трапеції становить 7 см, а одна з основ 10 см. Знайти довжину другої основи.

Рішення: Знаючи, що середня лінія дорівнює половині суми основ, можна стверджувати, що їхня сума дорівнює 14 см.

(14 см = 7 см × 2). З умови завдання, ми знаємо, що одне з одно 10 см, звідси менша сторона трапеції дорівнюватиме 4 см (4 см = 14 – 10).

Більш того, для більш комфортного вирішення завдань такого плану, рекомендуємо добре вивчити такі формули з області трапеції як:

• середня лінія;
• площа;
• висота;
• діагоналі.

Знаючи суть (саме суть) цих обчислень можна без особливих зусиль дізнатися шукане значення.

Відео: трапеція та її властивості

Відео: особливості трапеції

Висновок

З розглянутих прикладів завдань можна зробити нехитрий висновок, що трапеція в плані обчислення завдань є однією з найпростіших фігур геометрії. Для успішного вирішення завдань перш за все не варто визначитися з тим, яка інформація відома про описуваний об'єкт, в яких формулах їх можна застосувати, і визначитися з тим, що потрібно знайти. Виконуючи цей простий алгоритм, жодна задача із застосуванням цієї геометричної фігури не становитиме зусиль.

Трапецією називається рельєфний чотирикутник, у якого паралельні дві протилежні сторони та непаралельні дві інші. Якщо всі протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, це паралелограм.

Вам знадобиться

• – усі сторони трапеції (AB, BC, CD, DA).

Інструкція

1. Непаралельні сторони трапеціїназиваються бічними сторонами, а паралельні - основами. Лінія між основами, перпендикулярна до них – висота трапеції. Якщо бічні сторони трапеціїрівні, вона називається равнобедренной. Спочатку розглянемо рішення для трапеціїяка не є рівнобедреною.

2. Проведіть відрізок BE з точки B до нижньої основи AD паралельно бічній стороні трапеції CD. Від того, що BE і CD паралельні і проведені між паралельними основами трапеції BC і DA, то BCDE – паралелограм, та його протилежні сторони BE та CD рівні. BE = CD.

3. Розгляньте трикутник ABE. Обчисліть бік AE. AE = AD-ED. Підстави трапеції BC і AD відомі, а в паралелограмі BCDE протилежні сторони ED та BC рівні. ED=BC, отже, AE=AD-BC.

4. Тепер дізнайтесь площу трикутника ABE за формулою Герона, обчисливши напівпериметр. S=корінь(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). У цій формулі p – напівпериметр трикутника ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Для обчислення площі вам відомі всі необхідні дані: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Виразіть із цієї формули висоту трикутника, яка є і висотою трапеції. BH = 2 * S / AE. Обчисліть її.

7. Якщо трапеція рівнобедрена, рішення можна виконати інакше. Розгляньте трикутник ABH. Він прямокутний, тому що один із кутів, BHA, прямий.

8. Проведіть із вершини C висоту CF.

9. Вивчіть фігуру HBCF. HBCF прямокутник, тому що дві його сторони- Висоти, а інші дві є підставами трапеції, тобто кути прямі, а протилежні сторонипаралельні. Це означає, що BC = HF.

10. Подивіться прямокутні трикутники ABH і FCD. Кути при висотах BHA і CFD прямі, а кути при бічних стороних BAH і CDF рівні, тому що трапеція ABCD рівнобедрена, отже, трикутники подібні. Тому що висоти BH і CF рівні або бічні сторонирівнобедреної трапеції AB і CD рівні, і подібні трикутники рівні. Значить, їх сторони AH та FD теж рівні.

11. Виявіть AH. AH+FD=AD-HF. Оскільки паралелограма HF=BC, та якщо з трикутників AH=FD, то AH=(AD-BC)*1/2.

Трапеція - геометрична фігура, що є чотирикутником, у якого дві сторони, які називаються основами, паралельні, а дві інші - не паралельні. Їх називають бічними сторонами трапеції. Проведений через середини бічних сторін відрізок називається середньою лінією трапеції. Трапеція може мати різні довжини бічних сторін чи ідентичні, у разі вона називається равнобокой. Якщо одна із сторін – перпендикулярна до основи, то трапеція буде прямокутною. Але куди практичніше знати, як виявити площа трапеції .

Вам знадобиться

• Лінійка з міліметровими поділками

Інструкція

1. Виміряйте всі сторони трапеції: AB, BC, CD та DA. Запишіть результати своїх вимірів.

2. На відрізку AB позначте середину – точку K. На відрізку DA позначте точку L, яка також знаходиться на середині відрізка AD. Об'єднайте точки K та L, отриманий відрізок KL буде середньою лінією трапеції ABCD. Виміряйте відрізок KL.

3. З вершини трапеції– туги С опустіть перпендикуляр на її підставу AD про відрізок РЄ. Він буде висотою трапеції ABCD. Виміряйте відрізок РЄ.

4. Назвемо відрізок KL буквою m, а відрізок РЄ – буквою h, тоді площа S трапеції ABCD обчисліть за такою формулою: S=m*h, де m – середня лінія трапеції ABCD , h – висота трапеції ABCD.

5. Є ще одна формула, що дозволяє розрахувати площа трапеції ABCD. Нижня основа трапеції– AD назвемо літерою b, а верхню основу BC – літерою а. Площу визначимо за формулою S=1/2*(a+b)*h, де a та b – підстави трапеції, h – висота трапеції .

Відео на тему

Порада 3: Як виявити висоту трапеції, якщо вести площу

Під трапецією мається на увазі чотирикутник, у якого дві з чотирьох його сторін паралельні між собою. Паралельні сторони є підставами даної трапеції, дві інші ж є бічними сторонами даної трапеції. Виявити висоту трапеції, якщо вести її площа, буде дуже легко.

Інструкція

1. Потрібно розібратися, як можна обчислити площу початкової трапеції. І тому існують кілька формул, залежно від початкових даних:S = ((a+b)*h)/2, де a і b – довжини підстав трапеції, а h – її висота (Висота трапеції– перпендикуляр, опущений від однієї основи трапеціїдо іншого); S = m * h, де m - середня лінія трапеції(Середня лінія – відрізок, паралельний основам трапеціїі що з'єднує середини її бокових сторін).

2. Зараз, знаючи формули для обчислення площі трапеції, можна з них вивести нові, для знаходження висоти трапеції: h = (2 * S) / (a ​​+ b); h = S / m.

3. Для того, щоб було чіткіше, як вирішувати подібні завдання, можна розглянути приклади: Приклад 1: Дана трапеція, у якої площа дорівнює 68 см?, Середня лінія якої дорівнює 8 см, потрібно виявити висотуданої трапеції. Для того, щоб вирішити це завдання, потрібно скористатися раніше виведеною формулою: h = 68/8 = 8.5 см Відповідь: висота цієї трапеціїскладає 8.5 смПриклад 2: Нехай у трапеціїплоща дорівнює 120 см?, Довжини підстав даної трапеціїрівні 8 см і 12 см відповідно, потрібно виявити висотуцією трапеції. Для цього потрібно застосувати одну з виведених формул: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 см Відповідь: висота заданої трапеціїдорівнює 12 см

Відео на тему

Зверніть увагу!
Кожна трапеція має ряд властивостей: - середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ; - відрізок, який з'єднує між собою діагоналі трапеції, дорівнює половині різниці його основ; - якщо через середини основ провести пряму, то вона перетне точку перетину діагоналей трапеції; у трапецію можна вписати окружність у тому випадку, якщо сума підстав цієї трапеції дорівнює сумі її бічних сторін. Користуйтеся цими властивостями при вирішенні завдань.

Порада 4: Як виявити висоту трикутника, якщо дані координати точок

Висотою у трикутнику називають відрізок прямої лінії, що з'єднує вершину фігури з протилежною стороною. Цей відрізок обов'язково повинен бути перпендикулярний стороні, тому з будь-якої вершини можна провести лише одну висоту. Від того, що вершин у цій фігурі три, висот у ньому стільки ж. Якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, обчислення довжини будь-якої з висот можна зробити, скажімо, скориставшись формулою знаходження площі і розрахувавши довжини сторін.

Інструкція

1. Виходьте в розрахунках з того, що площа трикутникадорівнює половині добутку довжини кожен із його сторін на довжину висоти, опущеної з цього боку. З цього визначення випливає, що для знаходження висоти треба знати площу фігури та довжину сторони.

2. Почніть з обчислення довжин сторін трикутника. Позначте координати вершин фігури так: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) і C(X?,Y?,Z?). Тоді довжину сторони AB ви зумієте розрахувати за формулою AB = ?((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?). Для 2-х інших сторін ці формули виглядатимуть так: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) і AC = ?((X ?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?). Скажімо, для трикутниказ координатами A(3,5,7), B(16,14,19) і C(1,2,13) ​​довжина сторони AB складе?((3-16)? + (5-14)? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. Довжини сторін BC і AC, розраховані таким самим методом, дорівнюватимуть?(15? + 12? + 6?) = ?405 ? 20,12 і? (2? + 3? + (-6?)) =? 49 = 7.

3. Вміння довжин 3 сторін, отриманих на попередньому кроці, достатньо для обчислення площі трикутника(S) за формулою Герона: S =? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Скажімо, пізніше підстановки до цієї формули значень, отриманих з координат трикутника-Прикладу з попереднього кроку, ця формула дасть таке значення: S = ? *? ((19,85 +20,12 +7) * (20,12 +7-19,85) * (19,85 +7-20 ,12) * (19,85 +20,12-7)) =? *? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97)? ?*?75768,55 ? ? * 275,26 = 68,815.

4. Виходячи з площі трикутника, розрахованої на попередньому кроці, та довжин сторін, отриманих на другому кроці, обчисліть висоти для будь-якої зі сторін. Тому що площа дорівнює половині добутку висоти на довжину сторони, до якої вона проведена, для знаходження висоти поділяєте подвоєну площу на довжину необхідної сторони: H = 2*S/a. Для використаного вище прикладу висота, опущена на бік AB, складе 2*68,815/16,09 ? 8,55, висота до сторони ПС матиме довжину 2*68,815/20,12 ? 6,84, а боку АС ця величина дорівнюватиме 2*68,815/7 ? 19,66.

Трапецією називається такий чотирикутник, дві сторони якого паралельні (це підстави трапеції, позначені малюнку a і b), інші два - немає (на малюнку АТ і CB). Висота трапеції – це відрізок h, проведений перпендикулярно до основ.

Як знайти висоту трапеції при відомих величинах площі трапеції та довжин основ?

Для обчислення площі S трапеції ABCD скористаємося формулою:

S = ((a+b) × h)/2.

Тут відрізки a і b – це основи трапеції, h – це висота трапеції.

Перетворюючи цю формулу, можемо записати:

Використовуючи цю формулу, отримаємо значення h, якщо відомі величина площі S та величини довжин основ a та b.

приклад

Якщо відомо, що площа трапеції S дорівнює 50 см², довжина основи a становить 4 см, довжина основи b становить 6 см, то, щоб знайти висоту h використовуємо формулу:

Підставляємо у формулу відомі величини.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 см

Відповідь: висота трапеції становить 10 див.

Як знаходити висоту трапеції, якщо дані величини площі трапеції та довжина середньої лінії?

Скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Тут m – середня лінія, h – висота трапеції.

Якщо виникає питання, як знайти висоту трапеції, то формула:

h = S/m, буде відповіддю.

Таким чином можемо знайти величину висоти трапеції h, маючи відомі величини площі S і відрізка середньої лінії m.

приклад

Відома довжина середньої лінії трапеції m, яка становить 20 см, і площа S, що дорівнює 200 см². Знайдемо значення величини висоти трапеції h.

Підставивши значення S та m, отримаємо:

h = 200/20 = 10 см

Відповідь: висота трапеції становить 10 см

Як знайти висоту прямокутної трапеції?

Якщо трапеція – це чотирикутник, з двома паралельними сторонами (підставами) трапеції. То діагональ - це відрізок, який з'єднує дві протилежні вершини кутів трапеції (відрізок АС малюнку). Якщо трапеція прямокутна, за допомогою діагоналі знайдемо величину висоти трапеції h.

Прямокутною трапецією називається така трапеція, де одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. І тут її довжина (АТ) збігається з висотою h.

Отже, розглянемо прямокутну трапецію ABCD, де AD – це висота, DC – це основа, AC – це діагональ. Скористайтеся теоремою Піфагора. Квадрат гіпотенузи AC прямокутного трикутника ADC дорівнює сумі квадратів його катетів AB та BC.

Тоді можна записати:

AC² = AD²+DC².

AD - це катет трикутника, бічна сторона трапеції і водночас її висота. Адже відрізок АТ перпендикулярний до підстав. Його довжина становитиме:

AD = √(AC² - DC²)

Отже, маємо формулу для обчислення висоти трапеції.

приклад

Якщо довжина основи прямокутної трапеції (DC) дорівнює 14 см, а діагональ (AC) становить 15 см, для отримання значення висоти (AD -бічної сторони) скористаємося теоремою Піфагора.

Нехай х – це невідомий катет прямокутного трикутника (AD), тоді

AC² = AD² + DC² можна записати

15² = 14² + х²,

х = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 см

Відповідь: висота прямокутної трапеції (АВ) складе √29 см, що приблизно становитиме, 5.385 см

Як знайти висоту рівнобедреної трапеції?

Рівностегнової трапецією називають трапецію, у якої довжини бічних сторін рівні між собою. Пряма, проведена через середини основ такої трапеції буде віссю симетрії. Приватним випадком є ​​трапеція, діагоналі якої перпендикулярні один одному, тоді висота h дорівнюватиме напівсумі основ.

Розглянемо випадок, якщо діагоналі не перпендикулярні одна одній. У рівнобічної (рівностегнової) трапеції рівні кути при основах та довжини діагоналей рівні. Також відомо, що всі вершини рівнобічної трапеції стосуються лінії кола, проведеного навколо цієї трапеції.

Розглянемо рисунок. ABCD-рівнобедрова трапеція. Відомо, що основи трапеції паралельні, отже, BC = b паралельно AD = a, сторона AB = CD = c, отже, кути при основах відповідно дорівнюють, можна записати кут BAQ = CDS = α, і кут ABC = BCD = β. Таким чином, робимо висновок про рівність трикутника ABQ трикутнику SCD, отже, відрізок

AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.

Маючи за умовою задачі величини основ a і b, і довжину бічної сторони знайдемо висоту трапеції h, рівну відрізку BQ.

Розглянемо прямокутний трикутник ABQ. ВО - висота трапеції, перпендикулярна основи AD, отже і відрізку AQ. Сторону AQ трикутника ABQ, знайдемо, скориставшись виведеною раніше формулою:

Маючи значення двох катет прямокутного трикутника, знайдемо гіпотенузу BQ = h. Використовуємо теорему Піфагора.

AB²= AQ² + BQ²

Підставимо дані завдання:

c? = AQ? + h?.

Отримаємо формулу для знаходження висоти рівнобедреної трапеції:

h = √(c²-AQ²).

приклад

Дано рівнобедрену трапецію ABCD, де основа AD = a = 10см, основа BC = b = 4см, а бічна сторона AB = c = 12см. За таких умов розглянемо на прикладі, як знайти трапеції висоту, рівнобедреної трапеції АВСД.

Знайдемо сторону AQ трикутника ABQ, підставивши відомі дані:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3см.

Тепер підставимо значення сторін трикутника до формули теореми Піфагора.

h = √(c²-AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6см.

Відповідь. Висота h рівнобедреної трапеції ABCD становить 11.6 див.