Визначення синуса та косинуса. Cинус, косинус, тангенс і котангенс - все, що потрібно знати на ЄДІ з математики (2020)

Вчителі вважають, що кожен школяр повинен уміти проводити розрахунки, знати тригонометричні формули, але не кожен викладач пояснює, що таке синус і косинус. Який їхній зміст, де вони використовуються? Чому ми говоримо про трикутники, а в підручнику намальовано коло? Спробуємо пов'язати всі факти докупи.

Шкільний предмет

Вивчення тригонометрії починається зазвичай у 7-8 класі середньої школи. У цей час учням пояснюють, що таке синус та косинус, пропонують вирішувати геометричні завдання із застосуванням цих функцій. Пізніше з'являються складніші формули і вирази, які потрібно алгебраїчним способом перетворювати (формули подвійного і половинного кута, статечні функції), проводиться робота з тригонометричним колом.

Однак вчителі далеко не завжди можуть дохідливо пояснити зміст понять, що використовуються, і застосовність формул. Тому учень часто не бачить сенсу в даному предметі, а завчена інформація швидко забувається. Однак варто один раз пояснити старшокласнику, наприклад, зв'язок між функцією та коливальним рухом, і логічний зв'язок запам'ятається на багато років, а жарти на тему марності предмета відійдуть у минуле.

Використання

Заглянемо заради цікавості до різних розділів фізики. Бажаєте визначити дальність польоту снаряда? Чи вираховуєте силу тертя між об'єктом та якоюсь поверхнею? Розгойдуєте маятник, стежите за променями, що проходять крізь скло, вираховуєте індукцію? Практично у будь-якій формулі фігурують тригонометричні поняття. То що таке синус та косинус?

Визначення

Синус кута є відношенням протилежного катета до гіпотенузи, косинус - прилеглого катета все до тієї ж гіпотенузи. Тут немає нічого складного. Можливо, учнів зазвичай бентежать значення, які вони бачать у тригонометричній таблиці, адже там фігурує квадратне коріння. Так, отримувати з них десяткові дроби не дуже зручно, але хто сказав, що всі числа в математиці мають бути рівними?

Насправді в задачках по тригонометрії можна знайти кумедну підказку: більшість відповідей тут рівні і в гіршому випадку містять корінь із двох або з трьох. Висновок простий: якщо у вас у відповіді вийшов «багатоповерховий» дріб, перевірте ще раз рішення на предмет помилок у розрахунках або в міркуваннях. І ви їх, найімовірніше, знайдете.

Що потрібно запам'ятати

Як і будь-якій науці, в тригонометрії є такі дані, які необхідно вивчити.

По-перше, слід запам'ятати числові значення для синусів, косінусів прямокутного трикутника 0 та 90, а також 30, 45 та 60 градусів. Ці показники зустрічаються у дев'яти із десяти шкільних завдань. Підглядаючи ці значення в підручнику, ви втратите багато часу, а на контрольній чи іспиті подивитися взагалі буде ніде.

Слід пам'ятати, що значення обох функцій неспроможна перевищувати одиницю. Якщо де-небудь у розрахунках ви отримаєте значення, що виходить за межі діапазону 0-1, зупиніться та вирішіть задачу заново.

Сума квадратів синуса та косинуса дорівнює одиниці. Якщо ви вже знайшли одне із значень, скористайтеся цією формулою для знаходження того, що залишилося.

Теореми

У базовій тригонометрії є дві основні теореми: синусів і косінусів.

Перша говорить, що відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута однаково. Друга - що квадрат будь-якої сторони можна отримати, якщо скласти квадрати двох сторін, що залишилися, і відняти подвоєний їх твір, помножений на косинус кута, що лежить між ними.

Таким чином, якщо в теорему косінусів підставити значення кута в 90 градусів, ми отримаємо теорему Піфагора. Тепер, якщо потрібно вирахувати площу фігури, яка не є прямокутним трикутником, можна більше не переживати - дві розглянуті теореми суттєво спростять розв'язання задачі.

Цілі і завдання

Вивчення тригонометрії значно спроститься, коли ви усвідомлюєте один простий факт: всі дії, що ви виконуєте, спрямовані на досягнення всього однієї мети. Будь-які параметри трикутника можуть бути знайдені, якщо ви знаєте про нього мінімум інформації - це може бути величина одного кута і довжини двох сторін або, наприклад, три сторони.

Для визначення синуса, косинуса, тангенса будь-якого кута цих даних достатньо, з їх допомогою можна легко вирахувати площу фігури. Практично завжди як відповідь потрібно навести одне зі згаданих значень, а знайти їх можна за одним і тим самим формулами.

Нестиковки щодо тригонометрії

Одним із незрозумілих питань, яких школярі вважають за краще уникати, є виявлення зв'язку між різними поняттями у тригонометрії. Здавалося б, вивчення синусів і косінусів кутів використовуються трикутники, але позначення чомусь часто зустрічаються малюнку з окружностью. Крім того, існує і зовсім незрозумілий хвилеподібний графік під назвою синусоїда, який не має жодної зовнішньої подібності ні з колом, ні з трикутниками.

Більше того, кути вимірюються то в градусах, то в радіанах, а число Пі, яке записується просто як 3,14 (без одиниць виміру), чомусь фігурує у формулах, відповідаючи 180 градусам. Як усе це пов'язано?

Одиниці виміру

Чому число Пі дорівнює саме 3,14? Чи пам'ятаєте ви, що це за значення? Це кількість радіусів, що уміщаються в дузі на половині кола. Якщо діаметр кола - 2 сантиметри, довжина кола становитиме 3,14*2, або 6,28.

Другий момент: можливо, ви помічали схожість слів «радіан» та «радіус». Справа в тому, що один радіан чисельно дорівнює величині кута, відкладеного з центру кола на дугу завдовжки один радіус.

Тепер сумісний отримані знання і зрозуміємо, чому зверху на осі координат у тригонометрії пишеться «Пі навпіл», а ліворуч – «Пі». Це кутова величина, виміряна у радіанах, адже півколо – це 180 градусів, або 3,14 радіана. А там, де є градуси, є синуси та косинуси. Трикутник легко провести від потрібної точки, відклавши відрізки до центру і на вісь координат.

Зазирнемо у майбутнє

Тригонометрія, що вивчається в школі, має справу з прямолінійною системою координат, де, хоч як це дивно не звучало, пряма - це пряма.

Але є і більш складні способи роботи з простором: сума кутів трикутника тут буде більше 180 градусів, а пряма в нашому уявленні буде виглядати як справжнісінька дуга.

Перейдемо від слів до діла! Візьміть яблуко. Зробіть ножем три надрізи, щоб при погляді зверху виходив трикутник. Вийміть шматок яблука, що вийшов, і подивіться на «ребра», де закінчується шкірка. Вони зовсім не прямі. Фрукт у ваших руках умовно можна назвати круглим, а тепер уявіть, якими складними мають бути формули, за допомогою яких можна знайти площу вирізаного шматка. Адже деякі фахівці вирішують такі завдання щодня.

Тригонометричні функції у житті

Чи звертали ви увагу, що найкоротший маршрут літака з точки А до точки Б на поверхні нашої планети має яскраво виражену форму дуги? Причина проста: Земля має форму кулі, отже, з допомогою трикутників багато чого не обчислиш - тут доводиться використовувати складніші формули.

Не обійтися без синуса/косинусу гострого кута у будь-яких питаннях, пов'язаних із космосом. Цікаво, що тут сходиться безліч факторів: тригонометричні функції потрібні при розрахунках руху планет по колам, еліпсам і різним траєкторіям складніших форм; процесу запуску ракет, супутників, шатлів, відстикування дослідницьких апаратів; спостереженні за далекими зірками та вивченні галактик, до яких людина в найближчому майбутньому дістатися не зможе.

Загалом поле для діяльності людини, яка володіє тригонометрією, дуже широко і, мабуть, згодом лише розширюватиметься.

Висновок

Сьогодні ми дізналися або, принаймні, повторили, що таке синус та косинус. Це поняття, яких не треба боятися – варто захотіти, і ви зрозумієте їхній зміст. Пам'ятайте, що тригонометрія – це не мета, а лише інструмент, який можна використовувати для задоволення реальних людських потреб: будувати будинки, забезпечувати безпеку руху, навіть освоювати простори всесвіту.

Дійсно, сама по собі наука може здаватися нудною, але як тільки ви знайдете в ній спосіб досягнення власної мети, самореалізації, процес навчання стане цікавим, а ваша особиста мотивація зросте.

Як домашнє завдання спробуйте знайти способи застосувати тригонометричні функції у сфері діяльності, яка цікава особисто вам. Пофантазуйте, увімкніть уяву, і тоді напевно виявиться, що нові знання стануть вам у нагоді в майбутньому. Та й, крім того, математика корисна для загального розвитку мислення.

|BD|- Довжина дуги кола з центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Сінус ( sin α) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини гіпотенузи | AC |
Косинус ( cos α) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

	y = sin x	y = cos x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Зростання
Зменшення
Максимуми, y = 1
Мінімуми, y = - 1
Нулі, y = 0
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косинусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціями до синуса і косинус є арксинус і арккосинус, відповідно.

Арксінус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Також: Для вирішення деяких завдань буде корисною таблиця тригонометричних тотожностей, яка дозволить набагато простіше здійснювати перетворення функцій:

Найпростіші тригонометричні тотожності

Приватне від ділення синуса кута альфа на косинус того ж кута дорівнює тангенсу цього кута (Формула 1). також доказ правильності перетворення найпростіших тригонометричних тотожностей.
Приватне від розподілу косинуса кута альфа на синус того ж кута дорівнює котангенсу цього ж кута (Формула 2)
Секанс кута дорівнює одиниці, поділеній на косинус цього самого кута (Формула 3)
Сума квадратів синуса і косинуса одного й того самого кута дорівнює одиниці (Формула 4). див. також доказ суми квадратів косинуса та синуса.
Сума одиниці та тангенсу кута дорівнює відношенню одиниці до квадрату косинуса цього кута (Формула 5)
Одиниця плюс котангенс кута дорівнює частці від поділу одиниці на синус квадрат цього кута (Формула 6)
Твір тангенсу на котангенс одного й того самого кута дорівнює одиниці (Формула 7).

Перетворення негативних кутів тригонометричних функцій (парність та непарність)

Для того, щоб позбутися від негативного значення градусної міри кута при обчисленні синуса, косинуса або тангенсу, можна скористатися такими тригонометричними перетвореннями (тотожностями), заснованими на принципах парності або непарності тригонометричних функцій.

Як видно, косинусі секанс є парною функцією, синус, тангенс та котангенс - непарні функції.

Синус негативного кута дорівнює негативному значенню синуса цього самого позитивного кута (мінус синус альфа).
Косинус "мінус альфа" дасть те саме значення, що і косинус кута альфа.
Тангенс мінус альфа дорівнює мінус тангенс альфа.

Формули приведення подвійного кута (синус, косинус, тангенс та котангенс подвійного кута)

Якщо необхідно розділити кут навпіл, або, навпаки, перейти від подвійного кута до одинарного, можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:

Перетворення подвійного кута (синуса подвійного кута, косинуса подвійного кута та тангенсу подвійного кута) в одинарний відбувається за такими правилами:

Синус подвійного кутадорівнює подвійному добутку синуса на косинус одинарного кута

Косинус подвійного кутадорівнює різниці квадрата косинуса одинарного кута і квадрата синуса цього кута

Косинус подвійного кутадорівнює подвоєному квадрату косинуса одинарного кута мінус одиниця

Косинус подвійного кутадорівнює одиниці мінус подвійний синус квадрат одинарного кута

Тангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - подвоєний тангенс одинарного кута, а знаменник дорівнює одиниці мінус тангенс квадрат одинарного кута.

Котангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - квадрат котангенсу одинарного кута мінус одиниця, а знаменник дорівнює подвійному котангенсу одинарного кута

Формули універсальної тригонометричної підстановки

Наведені нижче формули перетворення можуть стати в нагоді, коли потрібно аргумент тригонометричної функції (sin α, cos α, tg α) розділити на два і привести вираз до значення половини кута. Зі значення α отримуємо α/2 .

Дані формули називаються формулами універсальної тригонометричної підстановки. Їхня цінність полягає в тому, що тригонометричний вираз за їх допомогою зводиться до вираження тангенсу половини кута, незалежно від того, які тригонометричні функції (sin cos tg ctg) були у виразі спочатку. Після цього рівняння з тангенсом половини кута вирішити набагато простіше.

Тригонометричні тотожності перетворення половини кута

Наведені нижче формули тригонометричного перетворення половинної величини кута для його цілого значення.
Значення аргументу тригонометричної функції α/2 наводиться значення аргументу тригонометричної функції α.

Тригонометричні формули складання кутів

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

Тангенс та котангенс суми кутівальфа та бета можуть бути перетворені за такими правилами перетворення тригонометричних функцій:

Тангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого - сума тангенсу першого і тангенсу другого кута, а знаменник - одиниця мінус добуток тангенсу першого кута на тангенс другого кута.

Тангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює різниці тангенсу кута, що зменшується, і тангенса віднімається кута, а знаменник - одиниці плюс добуток тангенсів цих кутів.

Котангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку котангенсів цих кутів плюс одиниця, а знаменник дорівнює різниці котангенсу другого кута та котангенсу першого кута.

Котангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого - добуток котангенсів цих кутів мінус одиниця, а знаменник дорівнює сумі котангенсів цих кутів.

Ці тригонометричні тотожності зручно застосовувати, коли потрібно обчислити, наприклад, тангенс 105 градусів (tg 105). Якщо його уявити як tg (45 + 60), можна скористатися наведеними тотожними перетвореннями тангенса суми кутів, після чого просто підставити табличні значення тангенса 45 і тангенса 60 градусів.

Формули перетворення суми чи різниці тригонометричних функцій

Вирази, які є сумою виду sin α + sin β можна перетворити за допомогою наступних формул:

Формули потрійного кута - перетворення sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Іноді необхідно перетворити потрійну величину кута так, щоб аргументом тригонометричної функції замість 3 став кут α.
У цьому випадку можна скористатися формулами (тотожностями) перетворення потрійного кута:

Формули перетворення твору тригонометричних функцій

Якщо виникає необхідність перетворити добуток синусів різних кутів косинусів різних кутів або навіть твори синуса на косинус, то можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:


У цьому випадку добуток функцій синуса, косинуса або тангенсу різних кутів буде перетворено на суму або різницю.

Формули наведення тригонометричних функцій

Користуватися таблицею приведення слід так. У рядку вибираємо функцію, яка нас цікавить. У стовпці – кут. Наприклад, синус кута (α+90) на перетині першого рядка та першого стовпця з'ясовуємо, що sin (α+90) = cos α.

Тригонометрія - розділ математичної науки, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання у геометрії. Розвиток тригонометрії почався ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесок у розвиток цієї науки зробили вчені Близького Сходу та Індії.

Ця стаття присвячена базовим поняттям та визначенням тригонометрії. У ній розглянуто визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Роз'яснено та проілюстровано їх зміст у контексті геометрії.

Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій

Синус кута (sin α) - відношення катета, що протилежить цьому куту, до гіпотенузи.

Косинус кута (cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс кута (t g α) - відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.

Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!

Наведемо ілюстрацію.

У трикутнику ABC з прямим кутом С синус кута дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузи AB.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.

Важливо пам'ятати!

Область значень синуса та косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус набувають значення від -1 до 1. Область значень тангенсу та котангенсу - вся числова пряма, тобто ці функції можуть приймати будь-які значення.

Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутів. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів.

У цьому контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута довільної величини. Уявімо одиничне коло з центром на початку декартової системи координат.

Початкова точка A з координатами (1 , 0) повертається навколо центру одиничного кола на деякий кут і переходить в точку A 1 . Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).

Синус (sin) кута повороту

Синус кута повороту - це ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) кута повороту

Косинус кута повороту α - це абсцис точки A 1 (x, y). cos α = х

Тангенс (tg) кута повороту

Тангенс кута повороту - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсцисі. t g α = y x

Котангенс (ctg) кута повороту

Котангенс кута повороту - це відношення абсциси точки A 1 (x, y) до її ординаті. c t g α = x y

Синус та косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсцису та ординату точки після повороту можна визначити за будь-якого вугілля. Інакше справа з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначено, коли точка після повороту перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0 , 1) і (0 , - 1). У таких випадках вираз для тангенсу t g α = y x просто не має сенсу, оскільки в ньому є поділ на нуль. Аналогічно ситуація із котангенсом. Відмінністю у тому, що котангенс не визначено у випадках, як у нуль звертається ордината точки.

Важливо пам'ятати!

Синус та косинус визначені для будь-яких кутів α.

Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс визначений для всіх кутів, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При вирішенні практичних прикладів не говорять "синус кута повороту". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йдеться.

Числа

Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа, а не кута повороту?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу в tрадіан.

Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Розглянемо його докладніше.

Будь-якому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс та котангенс визначаються через координати цієї точки.

Початкова точка на колі - точка A з координатами (1, 0).

Позитивного числа t

Негативному числу tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо рухатиметься по колу проти годинникової стрілки та пройде шлях t .

Тепер, коли зв'язок числа та точки на колі встановлено, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Синус (sin) числа t

Синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t- абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t- відношення ординати до абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t

Останні визначення знаходяться у відповідності та не суперечать визначенню, даному на початку цього пункту. Крапка на колі, що відповідає числу tзбігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Кожному значенню кута відповідає певне значення синуса і косинуса цього кута. Також, як усім кутам α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) відповідає певне значення тангенсу. Котангенс, як сказано вище, визначений для всіх α, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.

Аналогічно можна говорити про синус, косинус, тангенс і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса чи косинуса числа t. Усім числам, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенсу. Котангенс, аналогічно, визначено всім чисел, крім π · k , k ∈ Z.

Основні функції тригонометрії

Синус, косинус, тангенс та котангенс - основні тригонометричні функції.

З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент чи числовий аргумент) ми маємо справу.

Повернемося до даних на самому початку визначенням і кутку альфа, що лежить у межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника. Покажемо це.

Візьмемо одиничне коло з центром у прямокутній декартовій системі координат. Повернемо початкову точку A (1 , 0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A 1 (x , y) перпендикуляр осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює куту повороту α довжина катета O H дорівнює абсцисі точки A 1 (x , y) . Довжина катета, що протилежить куту, дорівнює ординаті точки A 1 (x , y) , а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола.

Відповідно до визначення з геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значить, визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів.

Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенсу та котангенсу.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенса є основними категоріями тригонометрії - розділ математики, і нерозривно пов'язані з визначенням кута. Володіння цією математичною наукою вимагає запам'ятовування та розуміння формул та теорем, а також розвиненого просторового мислення. Саме тому у школярів та студентів тригонометричні обчислення нерідко викликають труднощі. Щоб подолати їх, слід докладніше познайомитись із тригонометричними функціями та формулами.

Поняття у тригонометрії

Щоб розібратися в базових поняттях тригонометрії, слід спочатку визначитися з тим, що таке прямокутний трикутник і кут в колі, і саме з ними пов'язані всі основні тригонометричні обчислення. Трикутник, у якому один із кутів має величину 90 градусів, є прямокутним. Історично ця фігура часто використовувалася людьми в архітектурі, навігації, мистецтві, астрономії. Відповідно, вивчаючи та аналізуючи властивості цієї фігури, люди прийшли до обчислення відповідних співвідношень її параметрів.

Основні категорії, пов'язані з прямокутними трикутниками - гіпотенуза та катети. Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить проти прямого кута. Катети, відповідно, це решта двох сторін. Сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 градусів.

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, який не вивчається в школі, однак у прикладних науках на кшталт астрономії та геодезії, вчені користуються саме ним. Особливість трикутника у сферичній тригонометрії в тому, що він завжди має суму кутів понад 180 градусів.

Кути трикутника

У прямокутному трикутнику синусом кута є відношення катета, що протилежить шуканому куту, до гіпотенузи трикутника. Відповідно, косинус - це відношення прилеглого катета та гіпотенузи. Обидва ці значення мають величину менше одиниці, оскільки гіпотенуза завжди довше катета.

Тангенс кута - величина, що дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета шуканого кута, або синуса до косінус. Котангенс, своєю чергою, це ставлення прилеглого катета шуканого кута до протилежного кактету. Котангенс кута можна отримати, розділивши одиницю на значення тангенса.

Одиничне коло

Одиничне коло в геометрії - коло, радіус якого дорівнює одиниці. Таке коло будується в декартовій системі координат, при цьому центр кола збігається з точкою початку координат, а початкове положення вектора радіусу визначено за позитивним напрямом осі Х (осі абсцис). Кожна точка кола має дві координати: ХХ та YY, тобто координати абсцис та ординат. Вибравши на колі будь-яку точку в площині ХХ, і опустивши з неї перпендикуляр на вісь абсцис, отримуємо прямокутний трикутник, утворений радіусом до обраної точки (позначимо її буквою С), перпендикуляром, проведеним до осі Х (точка перетину позначається буквою G), а відрізком осі абсцис між початком координат (точка позначена буквою А) та точкою перетину G. Отриманий трикутник АСG — прямокутний трикутник, вписаний у коло, де AG — гіпотенуза, а АС та GC — катети. Кут між радіусом кола АС та відрізком осі абсцис з позначенням AG, визначимо як α (альфа). Так, cos = AG/AC. Враховуючи, що АС - це радіус одиничного кола, і він дорівнює одиниці, вийде, що cos α = AG. Аналогічно, sin = CG.

Крім того, знаючи ці дані, можна визначити координату точки С на колі, оскільки cos α=AG, а sin α=CG, отже, точка має задані координати (cos α;sin α). Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинус, можна визначити, що tg α = y/х, а ctg α = х/y. Розглядаючи кути у негативній системі координат, можна розрахувати, що значення синуса та косинуса деяких кутів можуть бути негативними.

Обчислення та основні формули

Значення тригонометричних функцій

Розглянувши сутність тригонометричних функцій через одиничне коло, можна вивести значення цих функцій деяких кутів. Значення наведені в таблиці нижче.

Найпростіші тригонометричні тотожності

Рівняння, у яких під знаком тригонометричної функції є невідоме значення, називаються тригонометричними. Тотожності зі значенням sin х = α, k — будь-яке ціле число:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin х = а, | > 1, немає рішень.
5. sin х = а, | ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тотожності зі значенням cos х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, | > 1, немає рішень.
5. cos х = а, | ≤ 1, х = ± arccos α + 2πk.

Тотожності зі значенням tg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тотожності зі значенням ctg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формули наведення

Ця категорія постійних формул означає методи, за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу, тобто привести синус, косинус, тангенс і котангенс кута будь-якого значення до відповідних показників кута інтервалу від 0 до 90 градусів для більшої зручності обчислень.

Формули приведення функцій для синуса кута виглядають таким чином:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса кута:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Використання вищевказаних формул можливе за дотримання двох правил. По-перше, якщо кут можна представити як значення (π/2±a) або (3π/2±a), значення функції змінюється:

• з sin на cos;
• з cos на sin;
• з tg на ctg;
• із ctg на tg.

Значення функції залишається незмінним, якщо кут може бути як (π ± a) або (2π ± a).

По-друге, знак наведеної функції не змінюється: якщо він спочатку був позитивним, таким залишається. Аналогічно із негативними функціями.

Формули додавання

Ці формули виражають величини синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу суми та різниці двох кутів повороту через їх тригонометричні функції. Зазвичай кути позначаються як і β.

Формули мають такий вигляд:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg(α±β) = (tgα±tgβ)/(1∓tgα*tgβ).
4. ctg(α±β) = (-1±ctgα*ctgβ)/(ctgα±ctgβ).

Ці формули справедливі будь-яких величин кутів α і β.

Формули подвійного та потрійного кута

Тригонометричні формули подвійного та потрійного кута — це формули, які пов'язують функції кутів 2α та 3α відповідно, з тригонометричними функціями кута α. Виводяться з формул додавання:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα/(1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Перехід від суми до твору

Враховуючи, що 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), спростивши цю формулу, отримуємо тотожність sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогічно sinα - sinβ = 2sin(α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓α) = √2cos(π/4±α).

Перехід від твору до суми

Ці формули випливають з тотожностей переходу суми до твір:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Формули зниження ступеня

У цих тотожностях квадратний і кубічний ступінь синуса і косинуса можна виразити через синус і косинус першого ступеня кратного кута:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Універсальна підстановка

Формули універсальної тригонометричної підстановки виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при цьому х = π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), при цьому х = π + 2πn.

Приватні випадки

Окремі випадки найпростіших тригонометричних рівнянь наведені нижче (k - будь-яке ціле число).

Приватні для синусу:

Значення sin x	Значення x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk або 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk або -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk або 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk або -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk або 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk або -2π/3 + 2πk

Приватні для косинуса:

Значення cos x	Значення х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Приватні для тангенсу:

Значення tg x	Значення х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Приватні для котангенсу:

Значення ctg x	Значення x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теореми

Теорема синусів

Існує два варіанти теореми - простий та розширений. Проста теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При цьому a, b, c — сторони трикутника, і α, β, γ — відповідно кути, що протилежать.

Розширена теорема синусів для довільного трикутника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. У цьому тотожності R позначає радіус кола, який вписаний заданий трикутник.

Теорема косінусів

Тотожність відображається так: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. У формулі a, b, c — сторони трикутника, і α — кут, що протилежить стороні а.

Теорема тангенсів

Формула виражає зв'язок між тангенсами двох кутів, і довжиною сторін, що їм протилежні. Сторони позначені як a, b, c, а відповідні протилежні кути – α, β, γ. Формула теореми тангенсів: (a - b) / (a ​​+ b) = tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

Теорема котангенсів

Зв'язує радіус вписаного в трикутник кола з довжиною його сторін. Якщо a, b, c — сторони трикутника, і А, В, С, відповідно, протилежні кути, r — радіус вписаного кола, і p — напівпериметр трикутника, справедливі такі тотожності:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладне застосування

Тригонометрія - не лише теоретична наука, пов'язана з математичними формулами. Її властивостями, теоремами і правилами користуються практично різні галузі людської діяльності — астрономія, повітряна і морська навігація, теорія музики, геодезія, хімія, акустика, оптика, електроніка, архітектура, економіка, машинобудування, вимірювальні роботи, комп'ютерна графіка, картографія, океанографія, і багато інших.

Синус, косинус, тангенс і котангенс - основні поняття тригонометрії, за допомогою яких математично можна виразити співвідношення між кутами та довжинами сторін у трикутнику, і знайти шукані величини через тотожність, теореми та правила.