Бісектриса кута. Повні уроки - Гіпермаркет знань

Сьогодні буде дуже легкий урок. Ми розглянемо всього один об'єкт — бісектрису кута — і доведемо найважливішу її властивість, яка стане в нагоді нам у майбутньому.

Тільки не треба розслаблятися: іноді учні, які бажають отримати високий бал на тому ж ОДЕ або ЄДІ, на першому занятті навіть не можуть точно сформулювати визначення бісектриси.

І замість того, щоб займатися справді цікавими завданнями, ми витрачаємо час на такі прості речі. Тому читайте, дивіться і беріть на озброєння.:)

Спочатку трохи дивне питання: що таке кут? Правильно: кут — це просто два промені, що виходять із однієї точки. Наприклад:

Приклади кутів: гострий, тупий та прямий

Як видно з картинки, кути можуть бути гострими, тупими, прямими — зараз це неважливо. Часто для зручності кожному промені відзначають додаткову точку і кажуть, мовляв, перед нами кут $AOB$ (записується як $angle AOB$).

Капітан очевидність натякає, що крім променів $OA$ і $OB$ з точки $O$ завжди можна провести ще купу променів. Але серед них буде один особливий — його й називають бісектрисою.

Визначення. Бісектриса кута - це промінь, який виходить з вершини цього кута і ділить кут навпіл.

Для наведених вище кутів бісектриси виглядатимуть так:

Приклади бісектрис для гострого, тупого та прямого кута.

Оскільки на реальних кресленнях далеко не завжди очевидно, що якийсь промінь (у нашому випадку це промінь $ OM $) розбиває вихідний кут на два рівні, в геометрії прийнято помічати рівні кути однаковою кількістю дуг (у нас на кресленні це 1 дуга для гострого кута, дві – для тупого, три – для прямого).

Добре, із визначенням розібралися. Тепер потрібно зрозуміти, які властивості є у бісектриси.

Основна властивість бісектриси кута

Насправді у бісектриси купа властивостей. І ми обов'язково розглянемо їх у наступному уроці. Але є одна фішка, яку потрібно зрозуміти прямо зараз:

Теорема. Бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін даного кута.

У перекладі з математичної на російську це означає відразу два факти:

Будь-яка точка, що лежить на бісектрисі деякого кута, знаходиться на однаковій відстані від сторін цього кута.
І навпаки: якщо точка лежить на однаковій відстані від сторін даного кута, то вона гарантовано лежить на бісектрисі цього кута.

Перш ніж доводити ці твердження, давайте уточнимо один момент: а що, власне, називається відстанню від точки до боку кута? Тут нам допоможе старе-добре визначення відстані від точки до прямої:

Визначення. Відстань від точки до прямої - це довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Наприклад, розглянемо пряму $l$ і точку $A$, що не лежить на цій прямій. Проведемо перпендикуляр $AH$, де $H\in l$. Тоді довжина цього перпендикуляра і буде відстанню від точки $A$ до прямої $l$.

Графічне уявлення відстані від точки до прямої

Оскільки кут – це просто два промені, а кожен промінь – це шматок прямий, легко визначити відстань від точки до сторін кута. Це просто два перпендикуляри:

Визначаємо відстань від точки до сторін кута

От і все! Тепер ми знаємо, що таке відстань і що таке бісектриса. Тому можна доводити основну властивість.

Як і обіцяв, розіб'ємо доказ на дві частини:

1. Відстань від точки на бісектрисі до сторін кута однакові

Розглянемо довільний кут з вершиною $O$ і бісектрисою $OM$:

Доведемо, що ця точка $M$ знаходиться на однаковій відстані від сторін кута.

Доведення. Проведемо з точки $M$ перпендикуляри до сторін кута. Назвемо їх $M((H)_(1))$ і $M((H)_(2))$:
Провели перпендикуляри до сторін кута.
Отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. У них загальна гіпотенуза $OM$ і рівні кути:

$\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ за умовою (оскільки $OM$ - бісектриса);

$\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ по побудові;

$\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює 90 градусів.

Отже, трикутники рівні по стороні та двом прилеглим кутам (див. ознаки рівності трикутників). Тому, зокрема, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, тобто. відстані від точки $O$ до сторін кута справді рівні. Що і потрібно було довести.:)

2. Якщо відстані рівні, то точка лежить на бісектрисі

Тепер зворотна ситуація. Нехай дано кут $O$ і точка $M$, рівновіддалена від сторін цього кута:

Доведемо, що промінь $ OM $ - бісектриса, тобто. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Доведення. Для початку проведемо цей самий промінь $ OM $, інакше доводити буде нічого:
Провели промінь $OM$ усередині кута
Знову отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно, що вони рівні, оскільки:

Гіпотенуза $ OM $ - загальна;

Катети $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ за умовою (адже точка $M$ рівновіддалена від сторін кута);

Решта катети теж рівні, т.к. за теоремою Піфагора $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Отже, трикутники $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$ по трьох сторонах. Зокрема, рівні їх кути: $ \ angle MO ((H)_ (1)) = \ angle MO ((H)_ (2)) $. А це якраз і означає, що $OM$ - бісектриса.

На закінчення докази відзначимо червоними дугами рівні кути, що утворилися:
Бісектриса розбила кут $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два рівні

Як бачите, нічого складного. Ми довели, що бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених до сторін цього кута.

Тепер, коли ми більш-менш визначилися з термінологією, настав час переходити на новий рівень. У наступному уроці ми розберемо складніші властивості бісектриси і навчимося застосовувати їх для вирішення справжніх завдань.

Бісектрисою трикутника називається відрізок, який ділить кут трикутника на два рівні кути. Наприклад, якщо кут трикутника 120 0 то провівши бісектрису, ми побудуємо два кути по 60 0 .

А оскільки в трикутнику є три кути, то можна провести три бісектриси. Усі вони мають одну точку запобіжного заходу. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. Інакше цю точку перетинів називають інцентром трикутника.

При перетині двох бісектрис внутрішнього та зовнішнього кута, виходить кут 90 0 . Зовнішній кут у трикутнику кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника.

Мал. 1. Трикутник, у якому проведено 3 бісектриси

Бісектриса ділить протилежну сторону на два відрізки, які мають зв'язок зі сторонами:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Точки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, це означає, що вони знаходяться на однаковій відстані від сторін кута. Тобто, якщо з будь-якої точки бісектриси опустити перпендикуляри на кожну зі сторін кута трикутника, ці перпендикуляри будуть рівні.

Якщо з однієї вершини провести медіану, бісектрису та висоту, то медіана буде найдовшим відрізком, а висота – найкоротшим.

Деякі властивості бісектриси

У певних видах трикутників бісектриса має особливі властивості. Насамперед це стосується рівнобедреного трикутника. Ця фігура має дві однакові бічні сторони, а третя називається основою.

Якщо з вершини кута рівнобедреного трикутника провести бісектрису до основи, то вона матиме властивості одночасно і висоти та медіани. Відповідно, довжина бісектриси збігається з довжиною медіани та висоти.

Визначення:

Висота– перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до протилежної сторони.
Медіана– відрізок, який з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони.

Мал. 2. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику

Це стосується і рівностороннього трикутника, тобто трикутника, у якому всі три сторони рівні.

Приклад завдання

У трикутнику ABC: BR бісектриса, причому AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Відняти довжину третьої сторони.

Мал. 3. Бісектриса в трикутнику

Рішення:

Бісектриса ділить сторону трикутника у певній пропорції. Скористаємося цією пропорцією та висловимо AR. Після цього знайдемо довжину третьої сторони як суму відрізків, на які цю сторону поділила бісектриса.

$(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
$RC=(6\over(4))*2=3 см$

Тоді весь відрізок AC = RC + AR

AC = 3+2 = 5 див.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, ділить трикутник на два рівні прямокутні трикутники.

Що ми дізналися?

Вивчивши тему бісектриси, ми дізналися, що вона ділить кут на два рівні кути. А якщо її провести в рівнобедреному або рівносторонньому трикутнику до основи, то вона матиме властивості і медіани та висоти одночасно.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.2. Усього отримано оцінок: 157.

Бісектриса трикутника - поширене геометричне поняття, яке не викликає особливих труднощів у вивченні. Володіючи знаннями про її властивості, з вирішенням багатьох завдань можна впоратися без особливих зусиль. Що таке бісектриса? Постараємося ознайомити читача з усіма секретами цієї математичної прямої.

Вконтакте

Суть поняття

Найменування поняття походить від використання слів латиною, значення яких полягає «бі» - дві, «сектіо» - розрізати. Вони безпосередньо вказують на геометричний сенс поняття - розбиття простору між променями. на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника - відрізок, який бере початок з вершини фігури, а інший кінець розміщений на боці, що розташована навпроти нього, при цьому поділяє простір на дві однакові частини.

Багато педагогів для швидкого асоціативного запам'ятовування учнями математичних понять користуються різною термінологією, яка відображена у віршах чи асоціаціях. Звісно, використовувати таке визначення рекомендується для дітей старшого віку.

Як позначається ця пряма? Тут спираємося на правила позначення відрізків чи променів. Якщо йдеться про позначення бісектриси кута трикутної фігури, то зазвичай її записують як відрізок, кінці якого є вершиною та точкою перетину з протилежною вершині стороною. Причому початок позначення записується саме з вершини.

Увага!Скільки бісектрис має трикутник? Відповідь очевидна: стільки ж, скільки вершин – три.

Властивості

Крім визначення, у шкільному підручнику можна знайти не так багато властивостей даного геометричного поняття. Перше властивість бісектриси трикутника, з яким знайомлять школярів, – центр вписаної, а друге, безпосередньо пов'язане з ним, – пропорційність відрізків. Суть полягає в наступному:

Яка б не була пряма, що розділяє, на ній розташовані точки, які знаходяться на однаковій відстані від сторінякі складають простір між променями.
Для того щоб вписати в трикутну фігуру коло, необхідно визначити точку, в якій перетинатимуться ці відрізки. Це і є центральна точка кола.
Частини сторони трикутної геометричної фігури, на які розбиває її пряма, що розділяє, знаходяться у пропорційній залежності від утворюють кут сторін.

Постараємося привести в систему інші особливості та подати додаткові факти, які допоможуть глибше пізнати переваги цього геометричного поняття.

Довжина

Одним із видів завдань, які викликають утруднення у школярів, є знаходження довжини бісектриси кута трикутника. Перший варіант, в якому знаходиться її довжина, містить такі дані:

величина простору між променями, з вершини якого виходить цей відрізок;
довжини сторін, що утворюють цей кут.

Для вирішення поставленого завдання використовується формула, зміст якої полягає у знаходженні відносини збільшеного у 2 рази добутку значень сторін, що становлять кут, на косинус його половини до суми сторін.

Розглянемо певному прикладі. Припустимо, дана фігура АВС, у якій відрізок проведений з кута А і перетинає сторону ВС у точці К. Значення А позначимо Y. Виходячи з цього, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+ АС).

Другий варіант задачі, в якому визначається довжина бісектриси трикутника, містить такі дані:

відомі значення всіх сторін фігури.

При розв'язанні задачі такого типу спочатку визначаємо напівпериметр. Для цього необхідно скласти значення всіх сторін і розділити навпіл: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далі застосовуємо обчислювальну формулу, за допомогою якої визначалася довжина даного відрізка попереднього завдання. Необхідно тільки внести деякі зміни до суті формули відповідно до нових параметрів. Отже, необхідно знайти відношення збільшеного вдвічі кореня другого ступеня з добутку довжин сторін, які прилягають до вершини, на півпериметр і на різницю напівпериметра і довжини протилежної сторони до суми сторін, що складають кут. Тобто АК=(2?АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Увага!Щоб легше освоїти матеріал, можна звернутися до жартівливих казок, що є в Інтернеті, що розповідають про «пригоди» цієї прямої.

Приватні випадки

Бісектриса прямокутного трикутника має всі загальні властивості. Але слід зазначити окремий випадок, який властивий тільки їй: при перетині відрізків, основи яких є вершинами гострих прямокутного трикутника, між променями виходить 45 град.

Бісектриса рівнобедреного трикутника також має свої особливості:

Якщо основа цього відрізка – вершина, що протилежить основі, то вона є і висотою, і медіаною.
Якщо відрізки проведені з вершин кутів на підставі, їх довжини рівні між собою.

Урок геометрії, вивчаємо властивості бісектриси

Властивості бісектриси трикутника

що таке бісектриса кута?

Бесектриса - це щур, який ходить по кутах і ділить кут навпіл
Властивості бісектрис

a2a1=cb
la=c+bcb(b+c+a)(b+ca)
la=c+b2bc cos2
la=hacos2
la=bca1a2
Де:
ось так якось))
Бесектриса розгорнутого кута поділяє його на 2 прямі кути.
це щур ділить на попалам
Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
Бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут по підлогах
промінь ділить кут на 2 рівні кути
Бісектриса-це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл!
😉
Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).
Визначення. Бісектриса кута трикутника - це відрізок бісектриси цього кута, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні.
Будь-яка з трьох бісектрис внутрішніх кутів трикутника називається бісектрисою трикутника.
Бісектриса кута трикутника може позначати одне з двох: промінь бісектриса цього кута або відрізок бісектриси цього кута до її перетину зі стороною трикутника.
Властивості бісектрис
Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.
Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.
Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.
Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.
Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка центр однієї з трьох вписаних кіл цього трикутника.
Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.
a2a1=cb
la=c+bcb(b+c+a)(b+c#8722;a)
la=c+b2bc cos2
la = hacos2 # 8722;
la=bc#8722;a1a2
Де:
la бісектриса, проведена до сторони a,
a,b,c сторони трикутника проти вершин A,B,C відповідно,
al,a 2 відрізки, на які бісектриса lc ділить сторону c,
внутрішні кути трикутника при вершинах a, b, c відповідно,
ha висота трикутника, опущена убік a.
бісектриса це лінія яка ділить кут по палях
Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).
Бісектриса-це щур який ходить по кутах, ділить кут навпіл
бісектриса, такий щур, бігає по кутах і ділить кут попалам)
Ділить кут навпіл
лінія, яка його (кут) навпіл ділить.
Бісектрис - це щур бігає по кутах і ділить їх навпіл

Бісектриса - це лінія, яка ділить кут навпіл.

Тобі зустрілася в задачі бісектриса? Намагайся застосувати одне (а іноді можеш і кілька) з наступних приголомшливих властивостей.

1. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику.

Чи не боїшся слова «теорема»? Якщо боїшся, то дарма. Теорема математики звикли називати будь-яке твердження, яке можна вивести з інших, більш простих тверджень.

Так ось, увага, теорема!

Доведемоцю теорему, тобто зрозуміємо, чому так виходить? Подивися на рівнобедрений.

Давай подивимось на них уважно. І тоді побачимо, що

- загальна.

А це означає (скоріше згадуй першу ознаку рівності трикутників!), що.

Ну і що? Хочеться тобі сказати? А те, що ми ще не дивилися на треті сторони і кути цих трикутників, що залишилися.

А ось тепер побачимо. Раз, то абсолютно точно і навіть на додаток, .

Ось і вийшло, що

розділила бік навпіл, тобто виявилася медіаною
, А значить, вони обидва, оскільки (глянь ще раз на малюнок).

Ось і виявилася бісектриса і висотою теж!

Ура! Довели теорему. Але уявляєш, це ще не все. Вірна ще й зворотна теорема:

Доведення? Невже тобі цікаво? Читай наступний рівень теорії!

А якщо нецікаво, то твердо запам'ятай:

Навіщо це твердо запам'ятовувати? Як це може допомогти? А ось уяви, що в тебе завдання:

Дано: .

Знайти: .

Ти тут же розумієш, бісектриса і, о диво, вона розділила бік навпіл! (за умовою…). Якщо ти твердо пам'ятаєш, що таке буває тількив рівнобедреному трикутнику, то робиш висновок, що означає, пишеш відповідь: . Здорово, правда? Звичайно, не у всіх завданнях буде так легко, але знання обов'язково допоможе!

А тепер така властивість. Готовий?

2. Бісектриса кута - геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.

Злякався? Насправді, нічого страшного. Ледачі математики у двох рядках сховали чотири. Отже, що ж означає, «Бісектриса - геометричне місце точок»? А це означає, що виконуються одразу двазатвердження:

Якщо точка лежить на бісектрисі, то відстані від неї до сторін кута рівні.
Якщо якась точка відстані до сторін кута дорівнює, то ця точка обов'язковолежить на бісектрисі.

Бачиш різницю між твердженнями 1 та 2? Якщо не дуже, то згадай Капелюшника з «Аліси в країні чудес»: "Так ти ще чого доброго скажеш, ніби "Я бачу те, що їм" і "Я їм те, що бачу" - одне й те саме!

Отже, нам потрібно довести твердження 1 і 2, і тоді твердження: "бісектриса - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута" буде доведено!

Чому ж правильно 1?

Візьмемо будь - яку точку на бісектрисі і назвемо її .

Опустимо з цієї точки перпендикуляри та на сторони кута.

А тепер … приготувалися згадувати ознаки рівності прямокутних трикутників! Якщо ти їх призабув, то заглянь у розділ .

Отже…два прямокутні трикутники: і. У них:

Загальна гіпотенуза.
(Бо - бісектриса!)

Значить, - по куту та гіпотенузі. Тому й відповідні катети у цих трикутників – рівні! Тобто.

Довели, що точка однаково (або одно) віддалена від сторін кута. З пунктом 1 розібралися. Тепер перейдемо до пункту 2.

Чому ж вірно 2?

І з'єднаємо точки в.

Значить, тобто лежить на бісектрисі!

От і все!

Як же все це застосувати під час вирішення завдань? Ось наприклад, у завданнях часто буває така фраза: «Кількість стосується сторін кута….». Ну і знайти треба щось.

То швидко розумієш, що

І можна скористатися рівністю.

3. Три бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці

З якості бісектриси бути геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, випливає таке твердження:

Як саме витікає? А ось дивись: дві бісектриси точно перетнуться, правда?

А третя бісектриса могла б пройти так:

Але насправді все набагато краще!

Давай розглянемо точку перетину двох бісектрис. Назвемо її.

Що ми тут обидва рази застосовували? Так пункт 1, звичайно ж! Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона однаково віддалена від сторін кута.

Ось і вийшло в.

Але глянь уважно на ці дві рівності! Адже їх слід, що й, отже, .

А ось тепер у справу піде пункт 2: якщо відстані до сторін кута рівні, то точка лежить на бісектрисі ... якого ж кута? Ще раз дивись на картинку:

і - відстані до сторін кута, і вони рівні, отже, точка лежить на бісектрисі кута. Третя бісектриса пройшла через ту саму точку! Всі три бісектриси перетнулися в одній точці! І, як додатковий подарунок

Радіуси вписаноюкола.

(Для вірності подивися ще тему).

Ну ось, тепер ти ніколи не забудеш:

Точка перетину бісектрис трикутника - центр вписаного в неї кола.

Переходимо до наступної властивості… Ух і багато властивостей у бісектриси, правда? І це чудово, тому що, чим більше властивостей, тим більше інструментів для вирішення задач про бісектрису.

4. Бісектриса та паралельність, бісектриси суміжних кутів

Той факт, що бісектриса ділить кут навпіл, у якихось випадках призводить до зовсім несподіваних результатів. Ось наприклад,

Випадок 1

Здорово, правда? Давай зрозуміємо чому так.

З одного боку, - ми ж проводимо бісектрису!

Але, з іншого боку, - як навхрест кути, що лежать (згадуємо тему).

І тепер виходить, що; викидаємо середину: ! - рівнобедрений!

Випадок 2

Уяви трикутник (або подивися на картинку)

Давай продовжимо бік за крапку. Тепер вийшло два кути:

- внутрішній кут
- Зовнішній кут - він же зовні, вірно?

Так от, а тепер комусь захотілося провести не одну, а одразу дві бісектриси: і для, і для. Що ж вийде?

А вийде прямокутний!

Дивно, але це так.

Розбираємось.

Як ти думаєш, чому дорівнює сума?

Звичайно ж, - адже вони всі разом становлять такий кут, що виходить пряма.

А тепер пригадаємо, що і -бісектриси і побачимо, що всередині кута знаходиться рівно половинавід суми всіх чотирьох кутів: і - тобто рівно. Можна написати і рівнянням:

Отже, неймовірно, але факт:

Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кута трикутника дорівнює.

Випадок 3

Бачиш, що тут так само, як і для внутрішнього і зовнішнього кутів?

Або ще раз подумаємо, чому так виходить?

Знову, як і для суміжних кутів,

(як відповідні за паралельних підставах).

І знову, складають рівно половинувід суми

Висновок:Якщо в завданні зустрілися бісектриси суміжнихкутів або бісектриси відповіднихкутів паралелограма або трапеції, то в цьому завданні неодміннобере участь прямокутний трикутник, а може навіть цілий прямокутник.

5. Бісектриса та протилежна сторона

Виявляється, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону не якось, а спеціальним і дуже цікавим чином:

Тобто:

Дивний факт, чи не так?

Зараз ми цей факт доведемо, але приготуйся: буде трохи важче, ніж раніше.

Знову – вихід у «космос» – додаткова побудова!

Проведемо пряму.

Навіщо? Зараз побачимо.

Продовжимо бісектрису до перетину з прямою.

Знайоме зображення? Так-так-так, так само, як у пункті 4, випадок 1 - виходить, що (- бісектриса)

Як навхрест лежать

Значить, це теж.

А тепер подивимося на трикутники в.

Що про них можна сказати?

Вони... подібні. Так, у них і кути рівні як вертикальні. Значить, по двох кутах.

Наразі маємо право писати стосунки відповідних сторін.

А тепер у коротких позначеннях:

Ой! Щось нагадує, правда? Чи не саме це ми хотіли довести? Так-так, саме це!

Бачиш, як чудово виявив себе «вихід у космос» - побудова додаткової прямої - без неї нічого б не вийшло! А так ми довели, що

Тепер можеш сміливо використати! Розберемо ще одну властивість бісектрис кутів трикутника – не лякайся, тепер найскладніше скінчилося – буде простіше.

Отримуємо, що

Це знання можна застосувати в тих завданнях, де беруть участь дві бісектриси і дано лише кут, а шукані величини витримуються через або, навпаки, дано, а потрібно знайти щось за участю кута.

Основні знання про бісектрису закінчилися. Комбінуючи ці факти, ти знайдеш ключ до будь-якого завдання про бісектрису!

БІСЕКТРИСА. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6: