Сформулюйте основну властивість розташування точок на прямій. Пряма на площині – необхідні відомості
Пряма на площині необхідні відомості.
У цій статті ми докладно зупинимося на одному з первинних понять геометрії – на понятті прямої лінії на площині. Спочатку визначимося з основними термінами та позначеннями. Далі обговоримо взаємне розташування прямої точки, а також двох прямих на площині, наведемо необхідні аксіоми. На закінчення розглянемо способи завдання прямої на площині і наведемо графічні ілюстрації.
Навігація на сторінці.
- Прямі на площині - концепції.
- Взаємне розташування прямої та точки.
- Взаємне розташування прямої на площині.
- Способи завдання прямої на площині.
Прямі на площині - концепції.
Перш ніж дати поняття прямий на площині, слід чітко уявляти собі, що ж являє собою площину. Уявлення про площинудозволяє отримати, наприклад, рівну поверхню столу або стіни будинку. Слід, однак, мати на увазі, що розміри столу обмежені, а площина простягається і за межі цих кордонів у нескінченність (наче у нас скільки завгодно великий стіл).
Якщо взяти добре заточений олівець і торкнутися його стрижнем до поверхні столу, ми отримаємо зображення точки. Так ми отримуємо уявлення про точку на площині.
Тепер можна переходити і до поняття прямої лінії на площині.
Покладемо на поверхню стола (на площину) аркуш чистого паперу. Для того щоб зобразити пряму лінію, нам необхідно взяти лінійку та провести олівцем лінію на скільки це дозволяють зробити розміри лінійки та аркуша паперу, що використовується. Слід зазначити, що у такий спосіб ми отримаємо лише частину прямої. Пряму лінію цілком, що тягнеться в нескінченність, ми можемо тільки уявити.
На початок сторінки
Взаємне розташування прямої та точки.
Почати слід з аксіоми: на кожній прямій та у кожній площині є точки.
Точки прийнято позначати великими латинськими літерами, наприклад точки Аі F. У свою чергу прямі лінії позначають малими латинськими літерами, наприклад, прямі aі d.
Можливі два варіанти взаємного розташування прямої та точки на площині: або точка лежить на прямій (у цьому випадку також кажуть, що пряма проходить через точку), або точка не лежить на прямій (також кажуть, що точка не належить пряма або пряма не проходить через точку).
Для позначення приналежності точки деякої прямої використовують символ " ". Наприклад, якщо точка Алежить на прямій а, можна записати . Якщо точка Ане належить прямий а, записують .
Справедливе таке твердження: через будь-які дві точки проходить єдина пряма.
Це твердження є аксіомою і його слід сприйняти як факт. До того ж це досить очевидно: відзначаємо дві точки на папері, прикладаємо до них лінійку і проводимо пряму лінію. Пряму, що проходить через дві задані точки (наприклад, через точки Аі У), можна позначати двома цими літерами (у нашому випадку пряма АВабо ВА).
Слід розуміти, що на прямій, заданій на площині, нескінченно лежить багато різних точок, причому всі ці точки лежать в одній площині. Це твердження встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині.
Безліч всіх точок, розташованих між двома заданими на прямій точками, разом з цими точками називають відрізком прямийабо просто відрізком. Крапки, що обмежують відрізок, називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають двома літерами, що відповідають точкам кінців відрізка. Наприклад, нехай крапки Аі Ує кінцями відрізка, тоді цей відрізок можна позначити АВабо ВА. Зверніть увагу, що таке позначення відрізка збігається із позначенням прямої. Щоб уникнути плутанини, рекомендуємо до позначення додавати слово відрізок або пряма.
Для короткого запису приналежності та не приналежності деякої точки деякому відрізку використовують ті самі символи і . Щоб показати, що деякий відрізок лежить або не лежить на прямій, користуються символами і відповідно. Наприклад, якщо відрізок АВналежить прямий аможна коротко записати .
Слід також зупинитися у випадку, коли три різні точки належать одній прямій. У цьому випадку одна, і тільки одна точка лежить між двома іншими. Це є черговою аксіомою. Нехай крапки А, Уі Злежать на одній прямій, причому точка Улежить між точками Аі З. Тоді можна говорити, що точки Аі Ззнаходяться по різні боки від точки У. Також можна сказати, що точки Уі Злежать по один бік то точки А, а крапки Аі Улежать по один бік від точки З.
Для повноти картини зауважимо, що будь-яка точка пряма поділяє цю пряму на дві частини – два променя. Для цього випадку дається аксіома: довільна точка Про, Що належить прямий, ділить цю пряму на два промені, причому дві будь-які точки одного променя лежать по одну сторону від точки Про, а дві будь-які точки різних променів – по різні боки від точки Про.
На початок сторінки
Дане видання допоможе систематизувати отримані раніше знання, а також підготуватися до іспиту чи заліку та успішно їх скласти.
2. Умова перебування трьох точок на одній прямій. Рівняння прямої. Взаємне розташування точок та прямий. Пучок прямий. Відстань від точки до прямої
1. Нехай дані три точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), А 3 (х 3 , у 3), тоді умова знаходження їх на одній прямій:
або ( х 2 – х 1) (у 3 – у 1) – (х 3 – x 1) (у 2 – у 1) = 0.
2. Нехай дані дві точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), тоді у рівняння прямої, що проходить через ці дві точки:
(х 2 – х 1)(у – у 1) – (х – х 1)(у 2 – у 1) = 0 або ( х – х 1) / (х 2 – х 1) = (у – у 1) / (у 2 – у 1).
3. Нехай є крапка М (х 1 , у 1) та деяка пряма L, подана рівнянням у = ах + з. Рівняння прямої, що проходить паралельно даній прямій L через дану точку М:
у – у 1 = а(х – х 1).
Якщо пряма Lзадана рівнянням Ах + Ву + З М, описується рівнянням А(х – х 1) + У(у – у 1) = 0.
Рівняння прямої, що проходить перпендикулярно даній прямій L через дану точку М:
у – у 1 = –(х – х 1) / а
а(у – у 1) = х 1 – х.
Якщо пряма Lзадана рівнянням Ах + Ву + З= 0, то паралельна їй пряма, що проходить через точку М(х 1 , у 1), описується рівнянням А (у – у 1) – У(х – х 1) = 0.
4. Нехай дані дві точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2) і пряма, задана рівнянням Ах + Ву + З = 0. Взаємне розташування точок щодо цієї прямої:
1) точки А 1 , А 2 лежать по одну сторону від даної прямої, якщо вирази ( Ах 1 + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) мають однакові знаки;
2) точки А 1 ,А 2 лежать по різні сторони від цієї прямої, якщо вирази ( Ах 1 + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) мають різні знаки;
3) одна або обидві точки А 1 , А 2 лежать на даній прямій, якщо один або обидва вирази відповідно ( Ах 1 + + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) набувають нульового значення.
5. Центральний пучок- Це безліч прямих, що проходять через одну точку М (х 1 , у 1), звану центром пучка. Кожна з прямих пучок описується рівнянням пучка у – у 1 = до(х – х 1) (параметр пучка додля кожної прямий свій).
Всі прямі пучки можна уявити рівнянням: l(y – y 1) = m(x – x 1), де l, m- Не рівні одночасно нулю довільні числа.
Якщо дві прямі пучки L 1 і L 2 відповідно мають вигляд ( А 1 х + У 1 у+ З 1) = 0 та ( А 2 х+ У 2 у+ З 2) = 0, то рівняння пучка: m 1 (А 1 х + У 1 у + З 1) + m 2 (А 2 х + У 2 у + З 2) = 0. Якщо прямі L 1 і L 2 перетинаються, то центральний пучок, якщо прямі паралельні, то і пучок паралельний.
6. Нехай дані точки М(х 1 ,у 1) і пряма, задана рівнянням Ах + Ву + С = 0. Відстань dвідцією крапки М до прямої:
- 1. Основні поняття. Системи координат. Прямі лінії та їх взаємне розташування
- 2. Умова перебування трьох точок на одній прямій. Рівняння прямої. Взаємне розташування точок та прямий. Пучок прямий. Відстань від точки до прямої
Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців.
На малюнку 7 б відрізок АВ є частиною прямої а. Точка М лежить між точками А та В, а тому належить відрізку АВ; точка К не лежить між точками А та В, тому не належить відрізку АВ.
Аксіома (основна властивість) розташування точок на прямій формулюється так:
З трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.
Наступна аксіома виражає основну властивість виміру відрізків.
Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
Це означає, що й у відрізку МК взяти будь-яку точку З, то довжина відрізка МК дорівнює сумі довжин відрізків МС і СК (рис. 7, в).
Довжину відрізка МК називають також відстанню між точками М та К.
Приклад 1. На прямій дано три точки О, Р та М. Відомо, що . Чи лежить точка Р між О та М? Чи може точка належати відрізку РМ, якщо ? Пояснити відповідь.
Рішення. Точка Р лежить між точками і М, якщо Перевіримо виконання цієї умови: . Висновок: точка Р лежить між точками О та М.
Точка належить відрізку РМ, якщо вона лежить між точками Р і М, тобто перевіримо: , а за умовою . Висновок: точка не належить відрізку РМ.
Приклад 2. Чи можна розташувати на площині 6, 7 і 8 відрізків так, щоб кожен з них перетинався рівно з трьома іншими?
Рішення. 6 відрізків розташувати так можна (рис. 8, о). 8 відрізків так розташувати також можна (рис. 8, б). 7 відрізків так розташувати не можна.
Доведемо останнє твердження. Припустимо, що таке розташування семи відрізків можливе. Занумеруємо відрізки і складемо таку таблицю в клітці на перетині рядка і стовпця поставимо +, якщо відрізок перетинається з j-м, і «-», якщо не перетинається. Якщо теж ставимо Підрахуємо двома способами, скільки знаків у таблиці.
З одного боку, у кожному рядку їх 3, тому всього символів . З іншого боку, таблиця заповнена симетрично щодо діагоналі:
якщо у клітці С: j) стоїть то у клітці теж. Отже, загальна кількість знаків має бути парною. Набули протиріччя.
Тут ми скористалися доказом методом протилежного.
5. Промінь.
Напівпрямий або променем називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по одну сторону від цієї точки. Ця точка називається початковою точкою напівпрямої або початком променя. Різні напівпрямі однієї і тієї ж прямої із загальною початковою точкою називаються додатковими.
Напівпрямі позначаються малими латинськими літерами. Можна позначити напівпряму двома літерами: початковою та ще якоюсь літерою, що відповідає точці, що належить напівпрямій. У цьому початкова точка ставиться першому місці. Наприклад, на малюнку 9, а зображені промені АВ і АС, які є додатковими, на малюнку 9, зображені промені МА, MB і промінь с.
Наступна аксіома відображає основну властивість відкладання відрізків-.
На будь-якій півпрямій від початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.
приклад. Дано дві точки А та В. Скільки прямих можна провести через точки А та В? Скільки існує на прямий АВ променів з початком у точці А, у точці В? Відзначити на прямій АВ дві точки, відмінні від А і В. Чи належать вони відрізку АВ?
Рішення. 1) По аксіомі через точки А та В завжди можна провести пряму, і лише одну.
2) На прямій АВ із початком у точці А існують два промені, які називаються додатковими. Аналогічно і точки В.
3) Відповідь залежить від розташування зазначених точок. Розглянемо можливі випадки (рис. 10). Зрозуміло, що у разі а) точки належать відрізку АВ; у випадках б), в) одна точка
належить відрізку, а інша ні; у випадках г) та д) точки М і N не належать відрізку АВ.
6. Коло. Коло.
Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що знаходяться на даній відстані від цієї точки. Ця точка називається центром кола.
Відстань від точок кола до її центру називається радіусом кола. Радіусом називається також будь-який відрізок, що з'єднує точку кола з її центром.
Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр, називається діаметром.
На малюнку 11, а зображено коло з центром у точці О. Відрізок ОА - радіус цього кола, BD - хорда кола, СМ - діаметр кола.
Навколо називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що знаходяться на відстані, не більшій за дану, від даної точки. Ця точка називається центром кола, а ця відстань - радіусом кола. Кордоном кола є коло з тими ж центром і радіусом (рис. 11, б).
приклад. На яке найбільше різних частин, які мають спільних точок, крім своїх кордонів, можуть розбивати площину: а) пряма і окружність; б) два кола; в) три кола?
Рішення. Зобразимо на малюнку відповідні умови випадки взаємного розташування фігур. Запишемо відповідь: а) чотири частини (рис. 12, о); б) чотири частини (рис. 12, б); в) вісім частин (рис. 12, в).
7. Напівплощина.
Сформулюємо ще одну аксіому геометрії.
Пряма розбиває площину на дві напівплощини.
На малюнку 13 пряма а розбиває площину на дві напівплощини так, що кожна точка площини, що не належить прямої, лежить в одній з них. Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якогось відрізка належать одній напівплощині, то відрізок не перетинається з прямою; якщо кінці відрізка належать різним напівплощин, то відрізок перетинається з прямою. На малюнку 13 точки лежать в одній із напівплощин, на які Пряма а розбиває площину. Тому відрізок АВ не перетинається із прямою а. Точки С та D лежать у різних напівплощинах. Тому відрізок CD перетинає пряму а.
8. Кут. Градусний захід кута.
Кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута та двох різних напівпрямих, що виходять з цієї точки, - сторін кута (рис. 14). Якщо сторони кута є додатковими променями, то кут називається розгорнутим.
Кут позначається або зазначенням його вершини, або зазначенням його сторін, або зазначенням трьох точок; вершини та двох точок на сторонах кута. Слово «кут іноді замінюють символом Z.
Кут малюнку 14 можна позначити трьома способами:
Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута якщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцями на сторонах кута.
На малюнку 15 промінь проходить між сторонами кута , оскільки він перетинає відрізок АВ.
У разі розгорнутого кута будь-який промінь, що виходить з його вершини і відрізняється від його сторін, проходить між сторонами кута.
Кути вимірюються у градусах. Якщо взяти розгорнутий кут і розділити його на 180 рівних кутів, то градусний захід кожного з цих кутів називається градусом.
Основні властивості вимірювання кутів виражені в наступній аксіомі:
Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Це означає, що якщо промінь проходить між сторонами кута, то кут дорівнює сумі кутів.
Градусний захід кута знаходиться за допомогою транспортира.
Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом. Кут, менший за 90°, називається гострим кутом. Кут більший 90° і менший 180° називається тупим.
Сформулюємо основну властивість відкладання кутів.
Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.
Розглянемо напівпряму а. Продовжимо її за початкову точку А. Отримана пряма розбиває площину на дві напівплощини. На малюнку 16 показано, як за допомогою транспортира відкласти від напівпрямої а у верхню напівплощину кут з даною градусною мірою 60°.
Якщо від даної напівпрямої відкласти в одну напівплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної напівпрямої, проходить між сторонами більшого кута.
Нехай кути, відкладені від даної напівпрямої, а в одну напівплощину, і нехай кут менший від кута . У теоремі 1. 2 стверджується, що промінь b проходить між сторонами кута (ас) (рис. 17).
Бісектриса кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл. На малюнку 18 промінь ОМ - бісектриса кута АОВ.
У геометрії існує поняття плоского кута. Плоським кутом називається частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять із однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута. Існують два плоскі кути з цими сторонами. Вони називаються додатковими. На малюнку 19 заштрихований один із плоских кутів зі сторонами а та b.
Якщо плоский кут є частиною напівплощини, його градусною мірою є градусна міра звичайного кута з тими ж сторонами. Якщо плоский кут містить полуплоскость, його градусна міра дорівнює 360° - а, де а - градусна міра додаткового плоского кута.
приклад. Між сторонами кута рівного 120° проходить променя. Знайти кути, якщо їх градусні заходи відносяться як 4:2.
Рішення. Промінь проходить між сторонами кута означає, за основною властивістю вимірювання кутів (див. п. 8)
Оскільки градусні заходи відносяться як 4:2, то
9. Суміжні та вертикальні кути.
Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими. На малюнку 20 кути суміжні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
З теореми 1. 3 випливають властивості:
1) якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні;
2) кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут;
3) кут, суміжний із гострим, є тупим, а суміжний із тупим – гострим.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого. На малюнку 21, а кути вертикальні.
Вертикальні кути рівні.
Очевидно, що дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні і вертикальні кути. Суміжні кути доповнюють Друг Друга до 180 °. Кутова міра меншого їх називається кутом між прямими.
приклад. На малюнку 21, б кут дорівнює 30° Чому рівні кути АОК і
Рішення. Кути COD і АОК вертикальні, отже, по теоремі 1.4 вони рівні, тобто.
10. Центральні та вписані кути.
Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі. Частина кола, розташована всередині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає цьому центральному куту. Градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.
На малюнку 22 кут АОВ - центральний кут кола, його вершина є центром даного кола, а сторони ОА і ОВ перетинають коло. Дуга АВ є частиною кола, розташованого всередині центрального кута.
Градусна міра дуги АВ малюнку 22 дорівнює градусній мірі кута АОВ. Градусний захід дуги АВ позначається АВ.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло. На малюнку 23 зображені вписані кути.
Вписаний в коло кут, сторони якого проходять через дві дані точки кола, дорівнює половині кута між радіусами, проведеними в ці точки, або доповнює цю половину до 180 °.
За доказом теореми 1.5 необхідно розглянути три різні випадки, які зображені на малюнку 23: одна зі сторін вписаного кута проходить через центр кола (рис. 23, с); центр кола лежить усередині вписаного кута (рис. 23, б); центр кола лежить поза вписаним кутом (рис. 23, в).
З теореми 1. 5 випливає слідство: всі вписані в коло кути, сторони яких проходять через дві дані точки кола, а вершини лежать по один бік від прямої, що з'єднує ці точки, рівні; вписані кути, сторони яких проходять через кінці діаметра кола, прямі.
На малюнку 24 сторони вписаного кута ABC проходять через кінці діаметра АС, тому
приклад. Точки А у В і С лежать на колі з центром О. Знайти кут АОС, якщо
Рішення. Кут ABC, вписаний у коло, спирається на дугу АС, а центральний кут цього кола (рис. 25). , Отже, по теоремі 1. 5, бо кут АОС центральний, його градусна міра дорівнює градусної мірі дуги АС, тобто.
11. Паралельні прямі.
Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
На малюнку 26 показано, як за допомогою косинця і лінійки провести через дану точку пряму 6, паралельну даній прямий а.
Для позначення паралельності прямих використається символ II. Запис читається: «Пряма а паралельна до прямої b».
Аксіома паралельності виражає основну властивість паралельних прямих.
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Дві прямі, паралельні третій, паралельні один одному.
На малюнку 27 прямі а і b паралельні до прямої с. Теорема 1. 6 стверджує, що .
Можна довести, що через точку, яка не належить прямої, можна провести пряму, паралельну даній. На малюнку 28 через точку А, що не належить b, проведено пряму а, паралельну прямій b.
Зіставляючи це твердження і аксіому паралельних, приходять до важливого висновку: на площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести паралельну їй пряму, і лише одіу.
Аксіома паралельності у книзі Евкліда «Початку називалася «п'ятий постулат. Геометри давнини намагалися довести єдиність паралельної. Ці безрезультатні спроби тривали понад 2000 років, аж до ХІХ ст.
Великий російський математик М. І. Лобачевський і незалежно від нього угорський математик Я. Бойяї показали, що, прийнявши припущення про можливість проведення через точку кількох прямих, паралельних даній, можна побудувати іншу, так само «правильну» неевклідову геометрію. Так народилася геометрія Лобачевського.
Прикладом теореми, яка використовує поняття паралельності, та її доказ спирається на аксіому паралельних, служить теорема Фалеса. Фалес Мілетський - давньогрецький математик, який жив у 625-547 роках. до зв. е..
Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відсікають рівні відрізки та на іншій стороні (теорема Фалеса).
Нехай точки перетину паралельних прямих з одного зі сторін кута і лежить між (рис. 29). Нехай відповідні точки перетину цих прямих з іншого боку кута. Теорема 1.7 стверджує, що якщо те
Приклад 1. Чи можуть сім прямих перетинатися у восьми точках?
Рішення. Можуть. Наприклад, на малюнку 30 зображено сім таких прямих, три з яких паралельні.
Приклад 2. Довільний відрізок АС поділити на 6 рівних частин.
Рішення. Накреслимо відрізок АС. Проведемо з точки А промінь AM, що не лежить на прямій АС. На промені AM від точки А відкладемо послідовно 6 рівних відрізків (рис. 31). Кінцям відрізків дамо позначення З'єднаємо точку відрізком з точкою З і через точки проведемо прямі, паралельні до прямої . Точки перетину цих прямих з відрізком АС поділять на 6 рівних частин (за теоремою 1. 7).
12. Ознаки паралельності прямих.
Нехай АВ та CD - дві прямі. Нехай АС - третя пряма, що перетинає прямі АВ та CD (рис. 32, с). Пряма АС по відношенню до прямих АВ і CD називається січною. Утворені цими прямими кути часто розглядаються попарно. Пари кутів отримали спеціальні назви. Так, якщо точки В і D лежать в одній напівплощині щодо прямої АС, то кути ВАС та DCA називаються внутрішніми односторонніми (рис. 32, с). Якщо точки В і D лежать у різних напівплощинах щодо прямої АС, то кути ВАС та DCA називаються внутрішніми навхрест лежачими (рис. 32, б).
Січна АС утворює з прямими АВ і CD дві пари внутрішніх односторонніх дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів рис. 32, в).
Якщо внутрішні хрест лежачі кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
На малюнку 32, позначені цифрами чотири пари кутів. Теорема 1.8 стверджує, що якщо або прямі з і b паралельні. Теорема 1.8 також стверджує, що якщо або , то прямі а та b паралельні.
Теореми 1.6 та 1.8 є ознаками паралельності прямих. Вірна і теорема, обернена до теореми 1.8.
Якщо дві паралельні прямі пересічені третьою прямою, то внутрішні навхрест кути, що лежать, рівні, а сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
приклад. Один із внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих третьої прямої, в 4 рази більше за інше. Чому рівні ці кути?
Рішення. По теоремі 1.9 сума внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній дорівнює 180 °. Позначимо ці кути літерами а і Р, тоді а відомо, що а більше в 4 рази, отже, тоді.
13. Перпендикулярні до прямих.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (рис. 33).
Перпендикулярність прямих записується за допомогою символу Запис читається: «Пряма а перпендикулярна до прямої b».
Перпендикуляром до цієї прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даної, що має кінцем їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається основою перпендикуляра.
На малюнку 34 перпендикуляр АВ проведено з точки А до прямої а. Точка В - основа перпендикуляра.
Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, і лише одіу.
З будь-якої точки, що не лежить на дайній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і лише один.
Довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму, називається відстанню від точки до прямої.
Відстанню між паралельними прямими називається відстань від якоїсь точки однієї прямої до іншої прямої.
Нехай ВА - перпендикуляр, опущений з точки на пряму а, С - будь-яка точка прямої с, відмінна від А. Відрізок ВС називається похилою, проведеною з точки В до прямої а (рис. 35). Точка З називається основою похилою. Відрізок АС називається похилою проекцією.
Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляром.
На малюнку 36 пряма перпендикулярна до відрізка АВ і проходить через точку С - середину відрізка АВ, тобто а - серединний перпендикуляр.
приклад. Рівні відрізки AD та СВ, укладені між паралельними прямими АС та BD, перетинаються у точці О. Довести, що .
Рішення. Проведемо з точок А до С перпендикуляри до прямої BD (рис. 37). АК=СМ як відстань між паралельними прямими, ZAKD і ДСЛЯВ прямокутні, вони
рівні по гіпотенузі та катету (див. Т. 1. 25), а значить, рівностегновий (Т. 1.19), а значить, З рівності трикутників АКТ) і СТАВ слід, що , А тоді , тобто А. АОС рівнобедрений , а значить,
14. Дотична до кола. Торкання кіл.
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому ця точка кола називається точкою торкання. На малюнку 38 пряма проведена через точку А кола перпендикулярно до радіуса ОА. Пряма з є дотичною до кола. Точка А є точкою торкання. Можна сказати також, що коло стосується прямої а точці А.
Кажуть, що два кола, що мають спільну точку, стосуються у цій точці, якщо вони мають у цій точці загальну дотичну. Торкання кіл називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по одну сторону від їх загальної дотичної. Торкання кіл називається зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від їх загальної
дотичної. На малюнку 39, з дотиком кіл внутрішнє, а на малюнку 39, б - зовнішній.
Приклад 1. Побудувати коло даного радіусу, що стосується цієї прямої у цій точці.
Рішення. Дотична до кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання. Тому центр шуканого кола лежить на перпендикулярі до даної прямої, що проходить через дану точку, і знаходиться від даної точки на відстані, що дорівнює радіусу. Завдання має два рішення - два кола, симетричні один одному щодо даної прямої (рис. 40).
Приклад 2. Два кола діаметром 4 і 8 см стосуються зовнішнім чином. Чому дорівнює відстань між центрами цих кіл?
Рішення. Радіуси кіл ОА і О, А перпендикулярні загальної дотичної, що проходить через точку А (рис. 41). Тому див.
15. Трикутники.
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами. Трикутник позначається його вершинами. Замість слова «трикутник вживається знак Д.
На малюнку 42 зображено трикутник ABC; А, В, С – вершини цього трикутника; А В, ВС та АС – його сторони.
Кутом трикутника ABC при вершині А називається кут, утворений напівпрямими АВ і АС. Також визначаються кути трикутника при вершинах У до З.
Якщо пряма, що не проходить через одну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.
Висотою трикутника, опущеної з цієї вершини, називається перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. На малюнку 43 з відрізок AD - висота гострокутного A. ABC, а на малюнку 43 б основа висоти тупокутного - точка D - лежить на продовженні сторони ВС.
Бісектриса трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні. На малюнку 44 відрізок AD - бісектриса трикутника АВС.
Медіаною трикутника, проведеної з цієї вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину з серединою
протилежної сторони трикутника. На малюнку 45 відрізок AD – медіана трикутника
Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.
Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
Нехай DE – середня лінія трикутника ABC (рис. 46).
Теорема стверджує, що .
Нерівністю трикутника називається властивість відстаней між трьома точками, яка виражається такою теоремою:
Якими б не були три точки, відстань між будь-якими двома з цих точок не більша за суму відстаней від них до третьої точки.
Нехай три дані точки. Взаємне розташування цих точок може бути різним: а) дві точки з трьох або всі три збігаються, у цьому випадку твердження теореми очевидне; б) точки різні і лежать на одній прямій (рис. 47, а), одна з них, наприклад, лежить між двома іншими, в цьому випадку звідки випливає, що кожна з трьох відстаней не більше суми двох інших; в) точки не лежать
на одній прямій (рис. 47 б), тоді теорема 1.14 стверджує, що .
У разі в) три точки А, В, є вершинами трикутника. Тому в будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.
Приклад 1. Чи існує трикутник АВС зі сторонами: а) ; б)
Рішення. Для сторін трикутника ABC повинні виконуватись нерівності:
У разі а) нерівність (2) не виконується, отже, такого розташування точок не може бути; у разі б) нерівності виконуються, тобто трикутник існує.
Приклад 2. Знайти відстань між пунктами А і розділеними перешкодою.
Рішення. Для знаходження відстані провішуємо базис CD та проводимо прямі ВС та AD (рис. 48). Знаходимо точку М – середину CD. Проводимо і MPAD. Зі сліду, що PN - середня лінія, тобто.
Вимірявши PN, неважко знайти АВ.
16. Рівність трикутників.
Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину. Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.
Трикутники ABC і називаються рівними, якщо
Коротко це висловлюють словами: трикутники рівні, якщо вони відповідні боку і відповідні кути рівні.
Сформулюємо основну властивість існування рівних трикутників (аксіому існування трикутника, що дорівнює цьому):
Яким би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні щодо даної напівпрямої.
Справедливі три ознаки рівності трикутників:
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності трикутників по дві сторони та кут між ними).
Якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно до сторони та прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності трикутників по стороні та прилеглих до неї кутах).
Якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, такі трикутники рівні (ознака рівності трикутників з трьох сторін).
приклад. Точки В і D лежать у різних напівплощинах щодо прямої АС (рис. 49). Відомо, що довести, що
Рішення. за умовою, і оскільки ці кути отримані відніманням з рівних кутів BCD та DAB рівних кутів ВС А та DAC. Крім цього, у зазначених трикутниках сторона АС загальна. Ці трикутники рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї.
17. Рівностегновий трикутник.
Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.
У трикутнику означає ABC рівнобедрений з основою АС.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений (зворотна теоремі Т. 1.18).
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.
Можна також довести, що в рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною. Аналогічно бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, що протилежить підставі, є медіаною та висотою.
Трикутник, у якого усі сторони рівні, називається рівностороннім.
приклад. У трикутнику ADB кут D дорівнює 90°. На продовженні сторони AD відкладено відрізок (точка D лежить між точками А та С) (рис. 51). Довести, що трикутник ABC рівнобедрений.
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.
З теореми 1.22 випливає, що зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.
приклад. У трикутнику
Бісектриса AD цього трикутника відсікає від нього Знайти кути цього трикутника.
Рішення. оскільки AD - бісектриса кута А (див. п. як зовнішній кут по теоремі про суму кутів
19. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.
Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то прямокутний трикутник має лише один прямий кут. Два інші кути прямокутного трикутника гострі, причому вони доповнюють один одного до 90°. Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами. A ABC, зображений малюнку 54, прямокутний, прямий, гіпотенуза, СВ і ВА - катети.
Для прямокутних трикутників можна сформулювати ознаки рівності.
Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності з гіпотенузи та гострого кута).
Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету та протилежному куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності за катетом і протилежним кутом).
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності з гіпотенузи та катету).
У прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, що протилежить атому куту, дорівнює пів шині гіпотенузи.
У трикутнику ABC, зображеному на прямій малюнку, Значить, в цьому трикутнику .
У прямокутному трикутнику справедлива теорема Піфагора, названа на честь давньогрецького вченого Піфагора, який жив у VI ст. до зв. е..
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора).
Нехай ABC - даний прямокутний трикутник із прямим кутом З, катетами а і b і гіпотенузою з (рис. 56). Теорема стверджує, що
З теореми Піфагора випливає, що у прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи.
З теореми Піфагора випливає, що якщо до прямої з однієї точки проведей перпендикуляр і похила, то похильна більше перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції; із двох похилих більше та, у якої проекція більша.
На малюнку 57 з точки О до прямої а проведено перпендикуляр ОА та похилі ОВ, ОС та OD, при цьому на підставі вищесказаного: а)
Периметр прямокутника KDMA дорівнює 18 см
Приклад 3. У колі, радіус якого 25 см, проведено по одну сторону від її центру дві паралельні хорди завдовжки 40 і 30 см. Знайти відстань між цими хордами.
Рішення. Проведемо радіус ОК, перпендикулярний хордам АВ та CD, з'єднаємо центр кола О з точками С, A, D та В (рис. 60). Трикутники COD та АОВ рівнобедрені, оскільки (як радіуси); ОМ та ON - висоти цих трикутників. По теоремі 1.20 кожна з висот є одночасно медіаною відповідного трикутника, тобто
Трикутники ОСМ і AN прямокутні, у яких . ON і ОМ знайдемо за теоремою Піфагора.
20. Кола, вписані в трикутник і описані біля трикутника.
Коло називається описаним біля трикутника, якщо вона проходить через усі його вершини.
Центр кола, описаного біля трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
На малюнку 61 коло описано біля трикутника ABC. Центр цього кола є точкою перетину серединних перпендикулярів ОМ, ON і OJT, проведених відповідно до сторін АВ, ВС і С А.
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.
На малюнку 62 коло вписано в трикутник ABC. Центр цього кола є точкою перетину бісектрис АО, ВО і СО відповідних кутів трикутника.
приклад. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 12 і 16 см. Обчислити радіуси: 1) вписаного в нього кола; 2) описаного кола.
Рішення. 1) Нехай дано трикутник ABC, у якому - центр вписаного кола (рис. 63, а). Периметр трикутника ABC дорівнює сумі подвоєної гіпотенузи та діаметра вписаного в трикутник кола (використовуйте визначення дотичної до кола та рівність прямокутних трикутників АОМ та АОК, МОС та LOC з гіпотенузи та катету).
Таким чином, звідки теорема Піфагора , тобто .
2) Центр описаного біля прямокутного трикутника кола збігається з серединою гіпотенузи, звідки радіус описаного кола см (рис. 63, б).
Завантаження...