Рівнобедрений трикутник та його сторони. Ознаки, складові елементи та властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник- це трикутник, у якому дві сторони рівні між собою по довжині. Рівні сторони називаються бічними, а остання – основою. За визначенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але зворотне твердження неправильне.

Властивості

Кути, що протилежать рівним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Також рівні бісектриси, медіани та висоти, проведені з цих кутів.
Бісектриса, медіана, висота та серединний перпендикуляр, проведені до основи, збігаються між собою. Центри вписаного та описаного кіл лежать на цій лінії.
Кути, що протилежать рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їх рівності).

Нехай a- Довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, b- Довжина третьої сторони, α і β - відповідні кути, R- радіус описаного кола, r- Радіус вписаної.

Сторони можуть бути знайдені таким чином:

Кути можуть бути виражені такими способами:

Периметр рівнобедреного трикутника може бути обчислений будь-яким із наступних способів:

Площа трикутника може бути обчислена одним із наступних способів:

(Формула Герона).

Ознаки

Два кути трикутника рівні.
Висота збігається із медіаною.
Висота збігається з бісектрисою.
Бісектриса збігається з медіаною.
Дві висоти рівні.
Дві медіани рівні.
Дві бісектриси рівні (теорема Штейнера – Лемуса).

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Рівностегновий трикутник" в інших словниках:

РІВНОСКЛАДНИЙ ТРИКУТНИК, ТРИКУТНИК, що має дві рівні по довжині сторони; кути при цих сторонах також рівні. Науково-технічний енциклопедичний словник

І (простий) трикутник, трикутника, чоловік. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома взаємно перетинаються прямими, що утворюють три внутрішні кути (мат.). Тупокутний трикутник. Гострокутний трикутник. Прямокутний трикутник.… … Тлумачний словник Ушакова

РІВНОБЕДРЕНИЙ, ая, ое: рівнобедрений трикутник має дві рівні сторони. | сущ. рівнобедреність, і, дружин. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

трикутник- ▲ багатокутник, що має, три, кут трикутник найпростіший багатокутник; задається 3 точками, що не лежать на одній прямій. трикутний. гострокутник. гострокутний. прямокутний трикутник: катет. гіпотенуза. рівнобедрений трикутник. ▼… … Ідеографічний словник української мови

трикутник- ТРИКУТНИК1, а, м чого або з опр. Предмет, що має форму геометричної фігури, обмеженої трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішніх кута. Вона перебирала листи чоловіка пожовклі фронтові трикутники. ТРИКУТНИК2, а, м… … Тлумачний словник російських іменників

Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

Трикутник (багатокутник)- трикутники: 1 гострокутний, прямокутний та тупокутний; 2 правильний (рівносторонній) та рівнобедрений; 3 бісектриси; 4 медіани та центр ваги; 5 висоти; 6 ортоцентр; 7 середня лінія. ТРИКУТНИК, багатокутник з 3 сторонами. Іноді під ... Ілюстрований енциклопедичний словник

Енциклопедичний словник

трикутник- а; м. 1) а) Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений трикутник. Обчислити площу трикутника. б) отт. чого або з опр. Фігура або предмет такої форми. Словник багатьох виразів

А; м. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений т. Обчислити площу трикутника. // Чого або з опр. Фігура чи предмет такої форми. Т. даху. Т.… … Енциклопедичний словник

Властивості рівнобедреного трикутника.
Ознаки рівнобедреного трикутника.
Формули рівнобедреного трикутника:
- формули довжини сторони;
- формули довжини рівних сторін;
- формули висоти, медіани, бісектриси рівнобедреного трикутника

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, а третя сторона - основою.

АВ = ВС - бічні сторони

АС - основа

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника виражаються через 5 теорем:

Теорема 1.У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Доказ теореми:

Розглянемо рівнобедрений Δ ABC з основою АС .

Бічні сторони рівні АВ = НД ,

Отже кути при основі ∠ BAC = ∠ BСA .

Теорема про бісектрису, медіану, висоту, проведену до основи рівнобедреного трикутника

Теорема 2.У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.
Теорема 3.У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.
Теорема 4.У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною.

Доказ теореми:

Даний Δ ABC .
З точки У проведемо висоту BD.
Трикутник розділився на Δ ABD та Δ CBD. Ці трикутники рівні, т.к. гіпотенузи та загальний катет у них рівні ().
Прямі АС і BD називаються перпендикуляром.
У Δ ABD та Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (З Теореми 1).
АВ = ВС - Бічні сторони рівні.
Сторони АD = СD, т.к. крапка D відрізок ділить навпіл.
Отже Δ ABD = Δ BCD.
Бісектриса, висота та медіана це один відрізок - BD

Висновок:

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною та бісектрисою.
Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою та бісектрисою.
Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною та висотою.

Запам'ятай!При вирішенні таких завдань опусти висоту на основу рівнобедреного трикутника. Щоб розділити його на два рівні прямокутні трикутники.

Теорема 5.Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доказ теореми:

Дано два ABC і A 1 B 1 C 1 . Сторони AB = A 1 B 1; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1 .

Доказ протилежного.

Нехай трикутники не рівні (а то трикутники дорівнювали за першою ознакою).
Нехай A 1 B 1 C 2 = ABC, у якого вершина C 2 лежить в одній напівплощині з вершиною C 1 щодо прямої A 1 B 1 . Припущення вершини C 1 і C 2 не збігаються. Нехай D – середина відрізка C1C2. Δ A 1 C 1 C 2 і Δ B 1 C 1 C 2 – рівнобедрені із загальною основою C 1 C 2 . Тому медіани A 1 D і B 1 D є висотами. Отже, прямі A 1 D і B 1 D перпендикулярні до прямої C 1 C 2 . A 1 D і B 1 D мають різні точки A 1 і B 1 отже не збігаються. Але через точку D прямий C 1 C 2 можна провести лише одну перпендикулярну до неї пряму.
Звідси дійшли протиріччя і теорему довели.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Якщо у трикутнику два кути рівні.
Сума кутів трикутника 180 °.
Якщо в трикутнику бісектриса є медіаною або висотою.
Якщо в трикутнику медіана є бісектриса або висота.
Якщо в трикутнику висота є медіаною чи бісектрисою.

Формули рівнобедреного трикутника

b- Сторона (підстава)
а- рівні сторони
a - кути при основі
b

Формули довжини сторони(підстави - b):

b = 2a \sin(\beta /2)= a \sqrt (2-2 \cos \beta )
b = 2a \cos \alpha

Формули довжини рівних сторін - (а):

a = frac ( b ) ( 2 \ sin ( \ beta / 2 ) ) = \ frac ( b ) ( \ sqrt ( 2-2 \ cos \ beta ) )
a = frac (b) (2 \ cos \ alpha)

L- висота = бісектриса = медіана
b- Сторона (підстава)
а- рівні сторони
a - кути при основі
b - Кут утворений рівними сторонами

Формули висоти, бісектриси та медіани, через бік та кут, ( L):

L = a sin a
L = \frac (b) (2) *\tg\alpha
L = a \sqrt ((1 + \cos \beta)/2) =a \cos (\beta)/2)

Формула висоти, бісектриси та медіани, через сторони, ( L):

L = \sqrt (a^(2)-b^(2)/4)

b- Сторона (підстава)
а- рівні сторони
h- Висота

Формула площі трикутника через висоту h і основу b ( S):

S=\frac ( 1 ) ( 2 ) *bh

На цьому уроці буде розглянута тема «Рівностегновий трикутник та його властивості». Ви дізнаєтеся, як виглядають і чим характеризуються рівнобедрений та рівносторонній трикутники. Доведіть теорему про рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника. Розгляньте також теорему про бісектрису (медіану і висоту), проведену до основи рівнобедреного трикутника. Наприкінці уроку ви розберете дві задачі з використанням визначення та властивостей рівнобедреного трикутника.

Визначення:Рівностегновимназивається трикутник, у якого рівні дві сторони.

Мал. 1. Рівностегновий трикутник

АВ = АС – бічні сторони. НД - основа.

Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

Визначення:Рівностороннімназивається трикутник, у якого всі три сторони рівні.

Мал. 2. Рівносторонній трикутник

АВ = ВС = СА.

Теорема 1:У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Дано:АВ = АС.

Довести:∠В =∠С.

Мал. 3. Креслення до теореми

Доведення:трикутник АВС = трикутнику АСВ за першою ознакою (за двома рівними сторонами і кутом між ними). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. Отже, ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Теорема 2:У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаноюі заввишки.

Дано:АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Довести:ВD = DC, AD перпендикулярно до BC.

Мал. 4. Креслення до теореми 2

Доведення:трикутник ADB = трикутнику ADC за першою ознакою (AD - загальна, АВ = АС за умовою, ∠BAD = ∠DAC). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. BD = DC, оскільки вони лежать проти рівних кутів. Отже, AD є медіаною. Також ∠3 = ∠4, оскільки вони лежать проти рівних сторін. Але, до того ж, вони у сумі дорівнюють . Отже, ∠3 = ∠4 = . Отже, AD є висотою трикутника, що потрібно довести.

В одному випадку a = b = . У цьому випадку прямі АС та ВD називаються перпендикулярними.

Оскільки бісектрисою, висотою і медіаною є той самий відрізок, то справедливі й такі твердження:

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною та бісектрисою.

Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою та бісектрисою.

Приклад 1:У рівнобедреному трикутнику основа вдвічі менша від бічної сторони, а периметр дорівнює 50 см. Знайдіть сторони трикутника.

Дано:АВ = АС, НД = AC. Р = 50 див.

Знайти:НД, АС, АВ.

Рішення:

Мал. 5. Креслення для прикладу 1

Позначимо основу ВС як а, тоді АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50

5а = 50 а = 10.

Відповідь:НД = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Приклад 2:Доведіть, що у рівносторонньому трикутнику усі кути рівні.

Дано:АВ = ВС = СА.

Довести:∠А = ∠В = ∠С.

Доведення:

Мал. 6. Креслення наприклад

∠В = ∠С, оскільки АВ = АС, а ∠А = ∠В, оскільки АС = ВС.

Отже, ∠А = ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Відповідь:Доведено.

На сьогоднішньому уроці ми розглянули рівнобедрений трикутник, вивчили його основні властивості. На наступному уроці ми вирішуємо завдання на тему рівнобедреного трикутника, на обчислення площ рівнобедреного і рівностороннього трикутника.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. та ін. Геометрія 7. - М: Просвітництво.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін. Геометрія 7. 5-е вид. - М: Просвітництво.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

Словники та енциклопедії на «Академіці» ().
Фестиваль педагогічної ідеї "Відкритий урок" ().
().

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 35 см, а основа втричі менша від бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника.

3. Дано: АВ = НД. Доведіть, що ∠1 = ∠2.

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, одна з його сторін у два рази більша за іншу. Знайдіть сторони трикутника. Скільки розв'язків має завдання?

Властивості рівнобедреного трикутника виражають такі теореми.

Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.

Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.

Теорема 4. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною.

Доведемо одну з них, наприклад, теорему 2.5.

Доведення. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD – бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD – загальна сторона, ∠1 = ∠2, оскільки AD – бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що В = ∠С. Теорема доведена.

З використанням теореми 1 встановлюється така теорема.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).

Зауваження. Пропозиції, встановлені у прикладах 1 та 2, виражають властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій випливає, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

приклад 1.Довести, що точка площини, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), тобто AM = ВМ.

Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М та середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, отже (теорема 3), і висота, т. е. пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізку АВ.

приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.

Рішення. Нехай р – серединний перпендикуляр до відрізка АВ та точка О – середина відрізка АВ (див. рис. 3).

Розглянемо довільну точку М, що лежить прямий р. Проведемо відрізки AM та ВМ. Трикутники АОМ і ВОМ рівні, оскільки вони кути при вершині О прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ та ВОМ випливає, що AM = ВМ.

приклад 3.У трикутнику ABC (див. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; у трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Порівняти трикутники ABC та DEF. Знайти відповідно рівні кути.

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А та Е (лежать проти рівних сторін ВС та FD), В та F (лежать проти рівних сторін АС та DE), С та D (лежать проти рівних сторін АВ та EF).

приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, НД = AD, ∠B = 100°.

Знайти кут D.

Рішення. Розглянемо трикутники ABC та ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD за умовою та сторона АС – загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, отже, і кут D дорівнює 100 °.

Приклад 5.У рівнобедреному трикутнику ABC із основою AC зовнішній кут при вершині C дорівнює 123°. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Відео-рішення.

Перші історики нашої цивілізації – давні греки – згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не погодитися, знаючи, з якою приголомшливою точністю зведені гігантські усипальниці фараонів. Взаємне розташування площин пірамід, їх пропорції, орієнтація з боків світу - досягти такої досконалості було б немислимо, не знаючи основ геометрії.

Саме слово "геометрія" можна перекласти як "вимір землі". Причому слово «земля» виступає як планета - частина Сонячної системи, бо як площину. Розмітка площ під ведення сільського господарства, швидше за все, і є найпершою основою науки про геометричні фігури, їх види та властивості.

Трикутник - найпростіша просторова фігура планіметрії, що містить лише три точки - вершини (менше не буває). Основа основ, можливо, тому й мерехтить у ньому щось таємниче і давнє. Всевидюче око всередині трикутника - один із найраніших з відомих окультних знаків, причому географія його поширення та часові рамки просто вражають уяву. Від стародавніх єгипетських, шумерських, ацтекських та інших цивілізацій до більш сучасних спільнот любителів окультизму, розкиданих по всій земній кулі.

Якими бувають трикутники

Звичайний різносторонній трикутник - це замкнута геометрична фігура, що складається з трьох відрізків різної довжини та трьох кутів, жоден з яких не є прямим. Крім нього, розрізняють кілька особливих видів.

Трикутник гострокутний має всі кути завбільшки менше 90 градусів. Іншими словами – всі кути такого трикутника гострі.

Прямокутний трикутник, над яким у всі часи плакали школярі через велику кількість теорем, має один кут з величиною 90 градусів або, як його ще називають, прямий.

Тупокутний трикутник відрізняється тим, що один з його кутів тупий, тобто його величина - більше 90 градусів.

Рівносторонній трикутник має три сторони однакової довжини. У такої фігури рівні також усі кути.

І нарешті, у рівнобедреного трикутника з трьох сторін дві рівні між собою.

Відмінні особливості

Властивості рівнобедреного трикутника визначають і його основна, головна відмінність - рівність двох сторін. Ці рівні один одному сторони прийнято називати стегнами (або, частіше, бічними сторонами), а третя сторона носить назву «основа».

На аналізованому малюнку a = b.

Друга ознака рівнобедреного трикутника випливає з теореми синусів. Так як рівні сторони a і b, рівні синуси їх протилежних кутів:

a/sin γ = b/sin α, звідки маємо: sin γ = sin α.

З рівності синусів випливає рівність кутів: γ = α.

Отже, другою ознакою рівнобедреного трикутника є рівність двох кутів, що прилягають до основи.

Третя ознака. У трикутнику розрізняють такі елементи, як висота, бісектриса та медіана.

Якщо в процесі розв'язання задачі з'ясовується, що в трикутнику два будь-яких з цих елементів збігаються: висота з бісектрисою; бісектриса з медіаною; медіана з висотою – однозначно можна робити висновок, що трикутник рівнобедрений.

Геометричні властивості фігури

1. Властивості рівнобедреного трикутника. Однією з відмінних якостей фігури є рівність кутів, що прилягають до основи:

<ВАС = <ВСА.

2. Ще одна властивість розглянуто вище: медіана, бісектриса та висота в рівнобедреному трикутнику збігаються, якщо вони побудовані від його вершини до основи.

3. Рівність бісектрис, проведених з вершин на підставі:

Якщо АЕ – бісектриса кута ВАС, а CD – бісектриса кута BCA, то: AE = DC.

4. Властивості рівнобедреного трикутника передбачають також рівність висот, які проведені з вершин на підставі.

Якщо побудувати висоти трикутника АВС (де АВ = ВС) з вершин А та С, то отримані відрізки CD та АЕ дорівнюватимуть.

5. Рівними також виявляться і медіани, проведені з кутів на підставі.

Тож якщо АЕ і DC - медіани, тобто AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.

Висота рівнобедреного трикутника

Рівність бічних сторін і кутів при них привносить деякі особливості обчислення довжин елементів аналізованої фігури.

Висота в рівнобедреному трикутнику ділить фігуру на 2 симетричні прямокутні трикутники, гіпотенузами у яких виступають бічні сторони. Висота в такому випадку визначається згідно з теоремою Піфагора, як катет.

У трикутника можуть бути рівними всі три сторони, тоді він називатиметься рівностороннім. Висота в рівносторонньому трикутнику визначається аналогічно, тільки для розрахунків достатньо знати лише одне значення - довжину сторони цього трикутника.

Можна визначити висоту та іншим шляхом, наприклад знаючи основу та прилеглий до нього кут.

Медіана рівнобедреного трикутника

Розглянутий тип трикутника завдяки геометричним особливостям вирішується досить просто за мінімальним набором вихідних даних. Так як медіана в рівнобедреному трикутнику дорівнює його висоті, і його бісектрисі, то алгоритм її визначення нічим не відрізняється від порядку обчислення даних елементів.

Наприклад, визначити довжину медіани можна по відомій бічній стороні та величині кута при вершині.

Як визначити периметр

Так як у планіметричної фігури, що розглядається, дві сторони завжди рівні, то для визначення периметра достатньо знати довжину основи і довжину однієї зі сторін.

Розглянемо приклад, коли потрібно визначити периметр трикутника за відомою основою та висотою.

Периметр дорівнює сумі основи та подвоєної довжини бічної сторони. Бічна сторона, своєю чергою, визначається з допомогою теореми Піфагора як гіпотенуза прямокутного трикутника. Довжина її дорівнює кореню квадратному із суми квадрата висоти та квадрата половини основи.

Площа рівнобедреного трикутника

Не викликає, як правило, труднощів та обчислення площі рівнобедреного трикутника. Універсальне правило визначення площі трикутника як половини твору основи на його висоту можна застосувати, звичайно ж, і в нашому випадку. Однак властивості рівнобедреного трикутника знову полегшують завдання.

Припустимо, що відомі висота та кут, що прилягає до основи. Необхідно визначити площу фігури. Зробити це можна в такий спосіб.

Так як сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, то визначити величину кута не складе труднощів. Далі, скориставшись пропорцією, складеною згідно з теоремою синусів, визначається довжина основи трикутника. Все, основа та висота - достатні дані для визначення площі - є.

Інші властивості рівнобедреного трикутника

Положення центру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, залежить від величини кута вершини. Так, якщо рівнобедрений трикутник гострокутний, центр кола розташовується усередині фігури.

Центр кола, що описано навколо тупокутного рівнобедреного трикутника, лежить поза ним. І, нарешті, якщо величина кута при вершині дорівнює 90°, центр лежить рівно на середині основи, а через саму основу проходить діаметр кола.

Для того щоб визначити радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника, достатньо розділити довжину бокової сторони на подвоєний косинус половини величини кута при вершині.