Знайти довжину вектора відомі координати точок. Знаходження довжини вектора по координатам

Знайдемо довжину вектора по його координатами (в прямокутній системі координат), за координатами точок початку і кінця вектора і по теоремі косинусів (задано 2 вектора і кут між ними).

вектор - це спрямований відрізок прямої.Довжина цього відрізка визначає числове значення вектора і називаєтьсядовжиною вектора або модулем вектора.

1. Обчислення довжини вектора по його координатами

Якщо дані координати вектора в плоскій (двомірної) прямокутної системі координат, тобто відомі a x і a y, то довжину вектора можна знайти за формулою

У разі вектора в просторі додається третя координата

В MS EXCEL вираз \u003d КОРІНЬ (СУММКВ (B8: B9)) дозволяє обчислити модуль вектора (передбачається, що координатори вектора введені в комірки B8: B9, См. Файл прикладу).

Функція СУММКВ () повертає суму квадратів аргументів, тобто в даному випадку еквівалентна формулі \u003d B8 * B8 + B9 * B9.

У файлі прикладу також обчислена довжина вектора в просторі.

Альтернативною формулою є вираз \u003d КОРІНЬ (СУММПРОИЗВ (B8: B9; B8: B9)).

2. Знаходження довжини вектора через координати точок

якщо вектор заданий через координати точок його початку і кінця, то формула буде інший \u003d КОРІНЬ (СУММКВРАЗН (C28: C29; B28: B29))

У формулі передбачається, що координати точок початку і кінця введені в діапазони C28: C29 і B28: B29 відповідно.

функція СУММКВРАЗН () возвращает суму квадратів різниць відповідних значень у двох масивах.

По суті, у формулі спочатку обчислюються координати вектора (різниці відповідних координат точок), потім обчислюється сума їх квадратів.

3. Знаходження довжини вектора по теоремі косинусів

Якщо потрібно знайти довжину вектора по теоремі косинусів, то зазвичай задані 2 вектора (їх модулі і кут між ними).

Знайдемо довжину вектора з використовуючи формулу \u003d КОРІНЬ (СУММКВ (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

В осередках B43: B43 містяться довжини векторів а і b, а в осередку В45 - кут між ними в радіанах (в частках числа ПІ ()).

Якщо кут заданий в градусах, то формула буде трохи відрізнятися \u003d КОРІНЬ (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * ПІ () / 180))

Примітка: Для наочності в осередку зі значенням кута в градусах можна застосувати, див., Наприклад, статтю

Перш за все треба розібрати саме поняття вектора. Для того, щоб ввести визначення геометричного вектора згадаємо, що таке відрізок. Введемо таке визначення.

визначення 1

Відрізком будемо називати частина прямої, яка має два кордони у вигляді точок.

Відрізок може мати 2 напрямки. Для позначення напрямку будемо називати одну з меж відрізка його початком, а інший кордон - його кінцем. Напрямок вказується від його початку до кінця відрізка.

визначення 2

Вектором або спрямованим відрізком будемо називати такий відрізок, для якого відомо, яка з меж відрізка вважається початком, а яка його кінцем.

Позначення: Двома літерами: $ \\ overline (AB) $ - (де $ A $ його початок, а $ B $ - його кінець).

Однією маленькою буквою: $ \\ overline (a) $ (рис. 1).

Введемо тепер, безпосередньо, поняття довжин вектора.

визначення 3

Довжиною вектора $ \\ overline (a) $ будемо називати довжину відрізка $ a $.

Позначення: $ | \\ overline (a) | $

Поняття довжини вектора пов'язано, наприклад, з таким поняттям, як рівність двох векторів.

визначення 4

Два вектора будемо називати рівними, якщо вони задовольняють двох умов: 1. Вони сонаправлени; 1. Їх довжини рівні (рис. 2).

Для того, щоб визначати вектори вводять систему координат і визначають координати для вектора у введеної системі. Як ми знаємо, будь-який вектор можна розкласти у вигляді $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $, де $ m $ і $ n $ - дійсні числа, а $ \\ overline (i ) $ і $ \\ overline (j) $ - одиничні вектори на осі $ Ox $ і $ Oy $, відповідно.

визначення 5

Коефіцієнти розкладання вектора $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $ будемо називати координатами цього вектора у введеної системі координат. математично:

$ \\ Overline (c) \u003d (m, n) $

Як знайти довжину вектора?

Для того, щоб вивести формулу для обчислення довжини довільного вектора за даними його координатами розглянемо наступну задачу:

приклад 1

Дано: вектор $ \\ overline (α) $, що має координати $ (x, y) $. Знайти: довжину цього вектора.

Введемо на площині декартову систему координат $ xOy $. Від початків введеної системи координат відкладемо $ \\ overline (OA) \u003d \\ overline (a) $. Побудуємо проекції $ OA_1 $ і $ OA_2 $ побудованого вектора на осі $ Ox $ і $ Oy $, відповідно (рис. 3).

Побудований нами вектор $ \\ overline (OA) $ буде радіус вектором для точки $ A $, отже, вона буде мати координати $ (x, y) $, значить

$ \u003d X $, $ [OA_2] \u003d y $

Тепер ми легко можемо знайти шукану довжину за допомогою теореми Піфагора, отримаємо

$ | \\ Overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ Overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ Overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Відповідь: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

висновок:Щоб знайти довжину вектора, у якого заданий його координати, необхідно знайти корінь з квадрата суми цих координат.

приклад завдань

приклад 2

Знайдіть відстань між точками $ X $ і $ Y $, які мають такі координати: $ (- 1,5) $ і $ (7,3) $, відповідно.

Будь-які дві точки можна легко зв'язати з поняттям вектора. Розглянемо, наприклад, вектор $ \\ overline (XY) $. Як ми вже знаємо, координати такого вектора можна знайти, вирахувавши з координат кінцевої точки ($ Y $) відповідні координати початкової точки ($ X $). Отримаємо, що

визначення 1

Відрізком будемо називати частина прямої, яка має два кордони у вигляді точок.

визначення 2

Позначення: Двома літерами: $ \\ overline (AB) $ - (де $ A $ його початок, а $ B $ - його кінець).

Однією маленькою буквою: $ \\ overline (a) $ (рис. 1).

Введемо тепер, безпосередньо, поняття довжин вектора.

визначення 3

Довжиною вектора $ \\ overline (a) $ будемо називати довжину відрізка $ a $.

Позначення: $ | \\ overline (a) | $

Поняття довжини вектора пов'язано, наприклад, з таким поняттям, як рівність двох векторів.

визначення 4

визначення 5

$ \\ Overline (c) \u003d (m, n) $

Як знайти довжину вектора?

приклад 1

Дано: вектор $ \\ overline (α) $, що має координати $ (x, y) $. Знайти: довжину цього вектора.

$ \u003d X $, $ [OA_2] \u003d y $

Тепер ми легко можемо знайти шукану довжину за допомогою теореми Піфагора, отримаємо

$ | \\ Overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ Overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ Overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Відповідь: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

приклад завдань

приклад 2

Знайдіть відстань між точками $ X $ і $ Y $, які мають такі координати: $ (- 1,5) $ і $ (7,3) $, відповідно.

Стандартне визначення: «Вектор - це спрямований відрізок». Зазвичай цим і обмежуються знання випускника про вектори. Кому потрібні якісь «спрямовані відрізки»?

А справді, що таке вектори і навіщо вони?
Прогноз погоди. «Вітер північно-західний, швидкість 18 метрів в секунду». Погодьтеся, має значення і напрямок вітру (звідки він дме), і модуль (тобто абсолютна величина) його швидкості.

Величини, що не мають напрямки, називаються скалярними. Маса, робота, електричний заряд нікуди не спрямовані. Вони характеризуються лише числовим значенням - «скільки кілограм» або «скільки джоулів».

Фізичні величини, які мають не тільки абсолютне значення, а й напрямок, називаються векторними.

Швидкість, сила, прискорення - вектори. Для них важливо «скільки» і важливо «куди». Наприклад, прискорення вільного падіння направлено до поверхні Землі, а величина його дорівнює 9,8 м / с 2. Імпульс, напруженість електричного поля, індукція магнітного поля - теж векторні величини.

Ви пам'ятаєте, що фізичні величини позначають буквами, латинськими або грецькими. Стрілочка над буквою показує, що величина є векторної:

Ось ще один приклад.
Автомобіль рухається з A в B. Кінцевий результат - його переміщення з точки A в точку B, тобто переміщення на вектор .

Тепер зрозуміло, чому вектор - це спрямований відрізок. Зверніть увагу, кінець вектора - там, де стрілочка. довжиною вектора називається довжина цього відрізка. Позначається: або

До сих пір ми працювали з скалярними величинами, за правилами арифметики і елементарної алгебри. Вектори - нове поняття. Це інший клас математичних об'єктів. Для них свої правила.

Колись ми і про числах нічого не знали. Знайомство з ними почалося в молодших класах. Виявилося, що числа можна порівнювати один з одним, складати, віднімати, множити і ділити. Ми дізналися, що є число одиниця і число нуль.
Тепер ми знайомимося з векторами.

Поняття «більше» і «менше» для векторів не існує - адже напрямки їх можуть бути різними. Порівнювати можна тільки довжини векторів.

А ось поняття рівності для векторів є.
рівними називаються вектори, які мають однакові довжини і однаковий напрямок. Це означає, що вектор можна перенести паралельно собі в будь-яку точку площини.
одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює 1. Нульовим - вектор, довжина якого дорівнює нулю, тобто його початок збігається з кінцем.

Найзручніше працювати з векторами в прямокутній системі координат - тій самій, в якій малюємо графіки функцій. Кожній точці в системі координат відповідають два числа - її координати по x і y, абсциса і ордината.
Вектор також задається двома координатами:

Тут в дужках записані координати вектора - по x і по y.
Знаходяться вони просто: координата кінця вектора мінус координата його початку.

Якщо координати вектора задані, його довжина знаходиться за формулою

Сума векторів

Для додавання векторів є два способи.

1. Правило паралелограма. Щоб скласти вектори і, поміщаємо початку обох в одну точку. Добудовуємо до паралелограма і з тієї ж точки проводимо діагональ паралелограма. Це і буде сума векторів і.

Пам'ятаєте байку про лебедя, рака і щуку? Вони дуже старалися, але так і не зрушили віз з місця. Адже векторна сума сил, прикладених ними до воза, дорівнювала нулю.

2. Другий спосіб додавання векторів - правило трикутника. Візьмемо ті ж вектори і. До кінця першого вектора влаштуємо початок другого. Тепер з'єднаємо початок першого і кінець другого. Це і є сума векторів і.

За тим же правилом можна скласти і кілька векторів. Пристроюємо їх один за іншим, а потім з'єднуємо початок першого з кінцем останнього.

Уявіть, що ви йдете з пункту А в пункт В, з В в С, з З в D, потім в Е і в F. Кінцевий результат цих дій - переміщення з А в F.

При додаванні векторів і отримуємо:

віднімання векторів

Вектор спрямований протилежно вектору. Довжини векторів та є рівними.

Тепер зрозуміло, що таке віднімання векторів. Різниця векторів і - це сума вектора і вектора.

Множення вектора на число

При множенні вектора на число k виходить вектор, довжина якого в k раз відрізняється від довжини. Він сонаправлени з вектором, якщо k більше нуля, і спрямований протилежно, якщо k менше нуля.

Скалярний добуток векторів

Вектори можна множити не тільки на числа, а й друг на друга.

Скалярним добутком векторів називається твір довжин векторів на косинус кута між ними.

Зверніть увагу - перемножили два вектора, а вийшов скаляр, тобто число. Наприклад, у фізиці механічна робота дорівнює скалярному добутку двох векторів - сили і переміщення:

Якщо вектори перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю.
А ось так скалярний твір виражається через координати векторів і:

З формули для скалярного твори можна знайти кут між векторами:

Ця формула особливо зручна в стереометрії. Наприклад, в завданні 14 профільного ЄДІ з математики потрібно знайти кут між перехресними прямими або між прямою і площиною. Часто завдання 14 вирішується в кілька разів швидше, ніж класичним.

В шкільній програмі з математики вивчають тільки скалярний добуток векторів.
Виявляється, крім скалярного, є ще і векторний добуток, коли в результаті множення двох векторів виходить вектор. Хто здає ЄДІ з фізики, знає, що таке сила Лоренца і сила Ампера. У формули для знаходження цих сил входять саме векторні твори.

Вектори - найкорисніший математичний інструмент. У цьому ви переконаєтеся на першому курсі.