Швидкість і прискорення точки, що рухається по колу. Обертальний рух

Рух по колу – окремий випадок криволінійного руху. Швидкість тіла у будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до неї (рис.2.1). Швидкість як вектор може змінюватися і за модулем (величині) і за напрямом. Якщо модуль швидкості залишається незмінним, то говорять про рівномірному криволінійному русі.

Нехай тіло рухається по колу з постійною за величиною швидкістю точки 1 в точку 2.

При цьому тіло пройде шлях, що дорівнює довжині дуги 12 між точками 1 і 2 за часt. За цей же час радіус- вектор R, проведений з центру кола 0 до точки, повернеться на кут Δφ.

Вектор швидкості в точці 2 відрізняється від вектора швидкості в точці 1 напрямкуна величину ΔV:

;

Для характеристики зміни вектора швидкості величину δv введемо прискорення:

(2.4)

Вектор у будь-якій точці траєкторії направлений по радіусуRк центрукола перпендикулярно до вектора швидкості V 2 . Тому прискорення , Що характеризує при криволінійному русі зміна швидкості за напрямом, називають доцентровим або нормальним. Таким чином, рух точки по колу з постійною за модулем швидкістю є прискореним.

Якщо швидкість змінюється не тільки за напрямом, а й за модулем (величиною), то крім нормального прискорення вводять ще й дотичний (тангенціальний)прискорення , що характеризує зміну швидкості за величиною:

або

Направлений вектор по дотичній у будь-якій точці траєкторії (тобто збігається з напрямком вектора ). Кут між векторами і дорівнює 90 0 .

Повне прискорення точки, що рухається криволінійною траєкторією, визначається як векторна сума (рис.2.1.).

.

Модуль вектор
.

Кутова швидкість та кутове прискорення

При русі матеріальної точки по колурадіус-вектор R, проведений з центру кола до точки, повертається на кут Δφ (рис.2.1). Для характеристики обертання вводяться поняття кутової швидкості і кутового прискорення ε.

Кут можна вимірювати в радіанах. 1 радийдорівнює куту, який спирається на дугу ℓ, рівну радіусуRокружності, тобто.

або ℓ 12 = Rφ (2.5.)

Продиференціюємо рівняння (2.5.)

(2.6.)

Розмір dℓ/dt=V мгн. Величину ω = dφ/dt називають кутовий швидкістю(Вимірюється в рад/с). Отримаємо зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями:

Величина векторна. Напрямок вектора визначається правилом гвинта (буравчика): воно збігається з напрямом переміщення гвинта, орієнтованого вздовж осі обертання точки або тіла, що обертається в напрямку повороту тіла (рис.2.2), тобто.
.

Кутовим прискореннямназивається векторна величина похідна від кутової швидкості (миттєве кутове прискорення)

, (2.8.)

Вектор збігається з віссю обертання і спрямований у ту ж сторону, що вектор , якщо прискорене обертання, і в протилежну, якщо обертання уповільнене.

Число обертівnтіла в одиницю часу називаютьчастотою обертання .

Час Т одного повного обороту тіла називаютьперіодом обертання . При цьомуRопише кут Δφ=2π радіан

З урахуванням сказаного

, (2.9)

Рівняння (2.8) можна записати так:

(2.10)

Тоді тангенційна складова прискорення

а  =R(2.11)

Нормальне прискорення а n можна виразити так:

з урахуванням (2.7) та (2.9)

(2.12)

Тоді повне прискорення.

Для обертального руху з постійним кутовим прискоренням можна записати рівняння кінематики за аналогією з рівнянням (2.1) – (2.3) для поступального руху:

,

.

1.Рівномірний рух по колу

2.Кутова швидкість обертального руху.

3.Період обертання.

4. Частота обертання.

5. Зв'язок лінійної швидкості з кутовим.

6.Центрозривне прискорення.

7.Рівнозмінний рух по колу.

8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу.

9.Тангенційне прискорення.

10. Закон рівноприскореного руху по колу.

11. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу.

12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.

1.Рівномірний рух по колу– рух, у якому матеріальна точка за рівні інтервали часу проходить рівні відрізки дуги кола, тобто. точка рухається по колу з постійною модулем швидкістю. І тут швидкість дорівнює відношенню дуги кола, пройденої точкою на час руху, тобто.

і називається лінійною швидкістю руху по колу.

Як і в криволінійному русі вектор швидкості спрямований щодо до кола в напрямку руху (Рис.25).

2. Кутова швидкість в рівномірному русі по колу- Відношення кута повороту радіусу до часу повороту:

У рівномірному русі по колу кутова швидкість стала. У системі СІ кутова швидкість вимірюється(рад/c). Один радіан – радий це центральний кут, що стягує дугу кола довжиною рівною радіусу. Повний кут містить радіан, тобто. за один оберт радіус повертається на кут радіан.

3. Період обертання- Інтервал часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оборот. У системі СІ період вимірюється за секунди.

4. Частота обертів- Число оборотів , що здійснюються за одну секунду. У системі СІ частота вимірюється в герцах (1Гц = 1). Один герц - частота, коли за одну секунду відбувається один оборот. Легко збагнути, що

Якщо за час t точка здійснює n оборотів по колу.

Знаючи період і частоту обертання, кутову швидкість можна обчислювати за такою формулою:

5 Зв'язок лінійної швидкості з кутовим. Довжина дуги кола дорівнює де центральний кут, виражений у радіанах, стягує дугу радіус кола. Тепер лінійну швидкість запишемо у вигляді

Часто зручно використовувати формули: або Кутову швидкість часто називають циклічною частотою, а частоту лінійною частотою.

6. Центрошвидке прискорення. У рівномірному русі по колу модуль швидкості залишається постійним , а напрямок її безперервно змінюється (Рис.26). Це означає, що тіло, що рухається рівномірно по колу, відчуває прискорення, яке спрямоване до центру і називається доцентровим прискоренням.

Нехай за проміжок часу пройшов шлях рівний дузі кола. Перенесемо вектор , залишаючи його паралельним самому собі, так щоб його початок співпав з початком вектора в точці В. Модуль зміни швидкості дорівнює , а модуль доцентрового прискорення дорівнює

На Рис.26 трикутники АОВ і ДВС рівнобедрені і кути при вершинах О і В рівні, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами АВ і ВВ Це означає, що трикутники АОВ і ДВС подібні. Отже Якщо тобто інтервал часу набуває як завгодно малі значення, то дугу можна приблизно вважати рівної хорді АВ, тобто. . Тому можемо записати Враховуючи, що ВД= , ОА=R отримаємо Помножуючи обидві частини останньої рівності на , отримаємо і далі вираз для модуля доцентрового прискорення в рівномірному русі по колу: . Враховуючи, що отримаємо дві часто застосовувані формули:

Отже, в рівномірному русі по колу доцентрове прискорення постійно по модулю.

Легко збагнути, що у межі при , кут . Це означає, що кути виходячи з ДС трикутника ДВС прагнуть значення , а вектор зміни швидкості стає перпендикулярним до вектора швидкості , тобто. спрямований по радіусу до центру кола.

7. Рівноперемінний рух по колу- Рух по колу, при якому за рівні інтервали часу кутова швидкість змінюється на ту саму величину.

8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу- Відношення зміни кутової швидкості до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася, тобто.

де початкове значення кутової швидкості, кінцеве значення кутової швидкості, кутове прискорення в системі СІ вимірюється в . З останньої рівності отримаємо формули для обчислення кутової швидкості

І якщо .

Помножуючи обидві частини цих рівнів і враховуючи, що , - тангенціальне прискорення, тобто. прискорення, спрямоване щодо дотичного до кола, отримаємо формули для обчислення лінійної швидкості:

І якщо .

9. Тангенціальне прискореннячисельно дорівнює зміні швидкості в одиницю часу і направлено вздовж дотичної до кола. Якщо >0, >0, рух рівноприскорений. Якщо<0 и <0 – движение.

10. Закон рівноприскореного руху по колу. Шлях, пройдений по колу за час у рівноприскореному русі, обчислюється за такою формулою:

Підставляючи сюди , скорочуючи на , отримаємо закон рівноприскореного руху по колу:

Або, якщо.

Якщо рух рівносповільнене, тобто.<0, то

11.Повне прискорення у рівноприскореному русі по колу. У рівноприскореному русі по колу доцентрове прискорення з часом зростає, т.к. завдяки тангенційному прискоренню зростає лінійна швидкість. Дуже часто доцентрове прискорення називають нормальним і позначають як . Так як повне прискорення в даний момент визначають теорему Піфагора (Рис.27).

12. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу. Середня лінійна швидкість у рівноприскореному русі по колу дорівнює. Підставляючи сюди і скорочуючи на отримаємо

Якщо то .

12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.

Підставляючи у формулу величини , , , ,

і скорочуючи на , отримаємо

Лекція-4. Динаміка.

1. Динаміка

2. Взаємодія тел.

3. Інерція. Принцип інерції

4. Перший закон Ньютона.

5. Вільна матеріальна точка.

6. Інерційна система відліку.

7. Неінерційна система відліку.

8. Принцип відносності Галілея.

9. Перетворення Галілея.

11. Додавання сил.

13. Щільність речовин.

14. Центр мас.

15. Другий закон Ньютона.

16. Одиниця виміру сили.

17. Третій закон Ньютона

1. Динамікає розділ механіки, що вивчає механічний рух, залежно від сил, що спричиняють зміну цього руху.

2.Взаємодія тел. Тіла можуть взаємодіяти як при безпосередньому зіткненні, так і на відстані за допомогою особливого виду матерії, званого фізичним полем.

Наприклад, всі тіла притягуються один до одного і це тяжіння здійснюється за допомогою гравітаційного поля, а сили тяжіння називаються гравітаційними.

Тіла, що несуть у собі електричний заряд, взаємодіють за допомогою електричного поля. Електричні струми взаємодіють у вигляді магнітного поля. Ці сили називають електромагнітними.

Елементарні частинки взаємодіють за допомогою ядерних полів і ці сили називають ядерними.

3.Інерція. У IV ст. до зв. е.. Грецький філософ Аристотель стверджував, що причиною руху тіла є сила, що діє з боку іншого тіла чи тіл. При цьому, на думку Аристотеля постійна сила повідомляє тілу постійну швидкість і з припиненням дії сили припиняється рух.

У 16 ст. італійський фізик Галілео Галілей, проводячи досліди з тілами, що скочуються по похилій площині і з тілами, що падають, показав, що постійна сила (в даному випадку вага тіла) повідомляє тілу прискорення.

Отже, на основі експериментів Галілей показав, що сила є причиною прискорення тіл. Наведемо міркування Галілея. Нехай дуже гладка куля котиться по гладкій горизонтальній площині. Якщо кулі нічого не заважає, то він може котитися скільки завгодно довго. Якщо ж по дорозі кулі насипати тонкий шар піску, він дуже швидко зупиниться, т.к. на нього вплинула сила тертя піску.

Так Галілей дійшов формулювання принципу інерції, за яким матеріальне тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо не діють зовнішні сили. Часто цю властивість матерії називають інерцією, а рух тіла без зовнішніх впливів-рухом по інерції.

4. Перший закон Ньютона. У 1687 року з урахуванням принципу інерції Галілея Ньютон сформулював перший закон динаміки – перший закон Ньютона:

Матеріальна точка (тіло) перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо її у дію інші тіла, чи сили, діючі із боку інших тіл, врівноважені, тобто. скомпенсовані.

5.Вільна матеріальна точка- Матеріальна точка, на яку не діють інші тіла. Іноді кажуть – ізольована матеріальна точка.

6. Інерційна система відліку (ІСО)– система відліку, щодо якої ізольована матеріальна точка рухається прямолінійно та рівномірно, або перебуває у стані спокою.

Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно та прямолінійно щодо ІСО є інерційною,

Наведемо ще одне формулювання першого закону Ньютона: Існують системи відліку, щодо яких вільна матеріальна точка рухається прямолінійно і рівномірно, або перебуває у стані спокою. Такі системи відліку називаються інерційними. Найчастіше перший закон Ньютона називають законом інерції.

Першому закону Ньютона можна дати ще й таке формулювання: всяке матеріальне тіло чинить опір зміні його швидкості. Ця властивість матерії називається інертністю.

З виявом цього закону ми стикаємось щодня у міському транспорті. Коли автобус різко набирає швидкість, нас притискає до спинки сидіння. Коли ж автобус гальмує, наше тіло заносить по ходу руху автобуса.

7. Неінерційна система відліку –система відліку, що рухається нерівномірно щодо ІСО.

Тіло, яке щодо ІСО знаходиться у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Щодо неінерційної системи відліку рухається нерівномірно.

Будь-яка система відліку, що обертається, є неінерційна система відліку, т.к. у цій системі тіло зазнає доцентрового прискорення.

У природі та техніці немає тіл, які могли б служити як ІСО. Наприклад, Земля обертається навколо своєї осі і будь-яке тіло на її поверхні зазнає доцентрового прискорення. Однак протягом досить коротких проміжків часу систему відліку, пов'язану з поверхнею Землі в деякому наближенні, можна вважати ІСО.

8.Принцип відносності Галілея. ISO може бути сіль завгодно багато. Тому виникає запитання: як виглядають одні й самі механічні явища у різних ІСО? Чи можна, використовуючи механічні явища, виявити рух ІСО, в якій вони спостерігаються.

Відповідь ці питання дає принцип відносності класичної механіки, відкритий Галілеєм.

Сенс принципу відносності класичної механіки полягає у твердженні: всі механічні явища протікають однаково в усіх інерційних системах відліку.

Цей принцип можна сформулювати і так: Усі закони класичної механіки виражаються однаковими математичними формулами. Іншими словами, ніякі механічні досліди не допоможуть нам виявити рух ISO. Це означає, що спроба виявити рух ISO не має сенсу.

З проявом принципу відносності ми стикалися, мандруючи поїздами. У момент, коли наш поїзд стоїть на станції, а поїзд, що стояв на сусідній дорозі, повільно починає рух, то в перші миті нам здається, що рухається наш поїзд. Але буває і навпаки, коли наш поїзд плавно набирає хід, нам здається, що рух розпочав сусідній поїзд.

У наведеному прикладі принцип відносності виявляється протягом малих інтервалів часу. Зі збільшенням швидкості ми починаємо відчувати поштовхи розгойдування вагона, тобто наша система відліку стає неінерційною.

Отже, спроба виявити рух ІСО не має сенсу. Отже, абсолютно байдуже, яку ISO вважати нерухомою, а яку – рухомою.

9. Перетворення Галілея. Нехай дві ІСО і рухаються одна щодо одної зі швидкістю. Відповідно до принципу відносності ми можемо покласти, що ІСО К нерухома, а ІСО рухається відносно зі швидкістю . Для простоти припустимо, що відповідні осі координат систем і паралельні, а осі і збігаються. Нехай у момент початку систем збігаються і рух відбувається вздовж осей і, тобто. (Мал.28)

Рівномірний рух по колу- Це найпростіший приклад. Наприклад, по колу рухається кінець стрілки годинника по циферблату. Швидкість руху тіла по колу зветься лінійна швидкість.

При рівномірному русі тіла по колу модуль швидкості тіла з часом не змінюється, тобто v = const, а змінюється лише напрямок вектора швидкості в цьому випадку відсутня (a r = 0), а зміна вектора швидкості у напрямку характеризується величиною, яка називається доцентрове прискорення() a n або а ЦС. У кожній точці вектор допоміжного прискорення направлений до центру кола по радіусу.

Модуль доцентрового прискорення дорівнює

a ЦС = v 2 / R

Де v – лінійна швидкість, R – радіус кола

Мал. 1.22. Рух тіла по колу.

Коли описується рух тіла по колу, використовується кут повороту радіусу- Кут φ, на який за час t повертається радіус, проведений з центру кола до точки, в якій в цей момент знаходиться тіло, що рухається. Кут повороту вимірюється у радіанах. дорівнює куту між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу кола (рис. 1.23). Тобто якщо l = R, то

1 радіан = l / R

Так як довжина окружностідорівнює

l = 2πR

360 про = 2πR / R = 2π рад.

Отже

1 рад. = 57,2958 про = 57 про 18'

Кутова швидкістьрівномірного руху тіла по колу - це величина ω, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса φ до проміжку часу, протягом якого скоєно цей поворот:

ω = φ / t

Одиниця вимірювання кутової швидкості – радіан за секунду [рад/с]. Модуль лінійної швидкості визначається ставленням довжини пройденого шляху l до проміжку часу t:

v=l/t

Лінійна швидкістьпри рівномірному русі по колу спрямована по дотичній у цій точці колу. При русі точки довжина l дуги кола, пройденої точкою, пов'язана з кутом повороту виразом

l = Rφ

де R – радіус кола.

Тоді у разі рівномірного руху точки лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

v = l / t = Rφ / t = Rω або v = Rω

Мал. 1.23. Радіан.

Період звернення- Це проміжок часу Т, протягом якого тіло (точка) здійснює один оборот по колу. Частота звернення– це величина, зворотна періоду звернення – число оборотів за одиницю часу (за секунду). Частота звернення позначається літерою n.

n = 1/T

За один період кут повороту φ точки дорівнює 2π радий, тому 2π = ωT, звідки

T = 2π/ω

Тобто кутова швидкість дорівнює

ω = 2π / T = 2πn

Центрошвидке прискоренняможна виразити через період Т та частоту звернення n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Мал. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Мал. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, тому що у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор перпендикулярні до дотичної).

Мал. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.

Закони, що визначають рух тіла по колу, аналогічні до законів поступального руху. Рівняння, що описують обертальний рух, можна вивести з рівнянь поступального руху, здійснивши в останні наступні заміни:

Якщо:
переміщення s- Кутове переміщення (кут повороту) ? ,
швидкість u- кутова швидкість ? ,
прискорення a- Кутове прискорення ?

Кут повороту

У всіх рівняння обертального руху кути задаються в радіанах, скорочено (Рад).

Якщо
? - кутове переміщення в радіанах,
s- Довжина дуги, укладеної
між сторонами кута повороту,
r- Радіус,
то за визначенням радіану

Співвідношення між одиницями кута

Зверніть увагу:Найменування одиниці радіан (рад) зазвичай вказується у формулах лише у випадках, коли її можна сплутати з градусом. Оскільки радіан дорівнює відношенню довжин двох відрізків
(1рад = 1м/1м = 1), він не має розмірності.

Співвідношення між кутовою швидкістю, кутовим переміщенням та часом для всіх видів руху по колу наочно видно на графіку кутової швидкості (залежність ? від t). Тому графіку можна визначити, який кутовий швидкістю має тіло в той чи інший момент часу і на який кут з початку руху воно повернулося (він характеризується площею під кривою).

Крім того, для подання співвідношень між названими величинами використовують графік кутового переміщення (залежність ? від t) та графік кутового прискорення (залежність ? від t).

Число обертів

Характеристикою всіх видів обертання є кількість обертів nабо рівноцінна їй характеристика – частота f. Обидві величини характеризують кількість обертів за одиницю часу.

Одиниця СІ частоти (або числа обертів)

У техніці число обертів зазвичай вимірюється в обертах за хвилину (об/хв) = 1/хв.

Таким чином, величина, обернена до оборотів, є тривалістю одного обороту.

Якщо
n- число обертів,
f- Частота,
T- тривалість одного обороту, період,
? - кутове переміщення,
N- Повна кількість оборотів,
t- час, тривалість обертання,
? - Кутова частота,
то

Період

Кутове переміщення

Кутове переміщення дорівнює добутку повного числа оборотів на 2?

Кутова швидкість

З формули для одного обороту випливає:

Зверніть увагу:
формули справедливі всім видів обертального руху - як рівномірного руху, так прискореного. Вони можуть входити постійні величини, середні значення, початкові і кінцеві значення, і навіть миттєві значення.
всупереч своїй назві кількість оборотів n- це число, а фізична величина.
слід розрізняти кількість оборотів nта повна кількість оборотів N.

Рівномірний рух тіла по колу

Говорять, що тіло рухається по колу поступово, якщо його кутова швидкість стала, тобто. тіло за рівні проміжки часу повертається на той самий кут.

? - Кутова швидкість (постійна протягом часу t)
? - кутове переміщення
t- Час повороту на кут ?

Оскільки на графіку кутової швидкості площа прямокутника відповідає кутовому переміщенню, маємо:

Постійна кутова швидкість- є відношення кутового переміщення (кута повороту) на час, витраченому цього переміщення.

Одиниця СІ кутової швидкості:

Поступово прискорений рух по колу без початкової кутової швидкості

Тіло починає рухатися зі стану спокою, та його кутова швидкість поступово зростає.

? - миттєва кутова швидкість тіла на момент часу t
? - кутове прискорення, постійневпродовж часу t
? t, (? у радіанах)
t- час

Оскільки на графіку швидкості кутове переміщення дорівнює площі трикутника, маємо:

Оскільки обертання тіла починається зі стану спокою, зміна кутової швидкості? одно досягнутої в результаті прискорення кутової швидкості? Тому формула набуває такого вигляду:

Поступово прискорений рух по колу з початковою кутовою швидкістю

Початкова швидкість тіла, рівна ?0 у момент t= 0, змінюється рівномірно величину ?? . (Кутове прискорення при цьому постійно.)

?0 - Початкова кутова швидкість
? - Кінцева кутова швидкість
? - кутове переміщення тіла за час tу радіанах
t- час
? - кутове прискорення постійне протягом часу t

Оскільки на графіку швидкості кутове переміщення відповідає площі трапеції під кривою швидкості, маємо:

Так як площа трапеції дорівнює сумі площ, що утворюють її трикутника і прямокутника, отримуємо:

Поєднавши формули ми отримаємо

Після перетворення отримуємо вираз, що не містить часу:

Нерівномірно прискорений рух тіла по колу

Рух тіла по колу буде нерівномірно прискореним, якщо зміна кутової швидкості відбувається не пропорційно до часу, тобто якщо кутове прискорення не залишається постійним. І тут кутова швидкість і кутове прискорення є функціями часу.

Зв'язок величин ? , ? і ? представлено на відповідних графіках.

Миттєва кутова швидкість

Миттєвою кутовою швидкістю називається перша похідна функції ? = ? (t) по часу.

Зверніть увагу:
1) щоб обчислити миттєву кутову швидкість ? необхідно знати залежність кутового переміщення від часу.
2) формула кутового переміщення при рівномірному русі тіла по колу і формула кутового переміщення при рівномірно прискореному русі по колу без початкової кутової швидкості є окремими випадками формули (2) відповідно для ? = 0 і ? = Const.

З формул випливає:

Проінтегрувавши обидві частини виразу, отримаємо

Кутове переміщення є інтегралом за часом від кутової швидкості.

Зверніть увагу:
Для обчислення кутового переміщення? Необхідно знати залежність кутової швидкості від часу.

Середня кутова швидкість

Середня кутова швидкість для деякого інтервалу часу

Середня кількість оборотів визначається аналогічно формулі:

Обертальний рух тіла, формули

Крім того, ці величини пов'язані певним чином з кутовим переміщенням ? , кутовою швидкістю ? та кутовим прискоренням ? .

Примітка: Формули справедливі для постійних, миттєвих та середніх величин, у всіх випадках руху тіла по колу.

Векторні величини, що характеризують обертальний рух тіла

Визначення: Якщо тіло бере участь одночасно в кількох обертальних рухах, то результуюча кутова швидкість визначається за правилом векторного (геометричного) додавання:

Величина результуючої кутової швидкості визначається за аналогією з формулою (Складання рухів):

або якщо осі обертання перпендикулярні один одному

Примітка: Результуюче кутове прискорення визначається таким чином. Графічно результуючу можна знайти як діагональ паралелограма швидкостей чи прискорень.