Яким може бути значення середнього арифметичного. Як знайти середнє арифметичне і середнє геометричне чисел? Середня арифметична проста

) І вибіркове середнє (вибірки).

енциклопедичний YouTube

1 / 5
Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), Тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною рискою над змінної (, вимовляється « xз межею »).
Для позначення середнього арифметичного всієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, для якої визначено середнє значення, μ є розподіл усіх середнєабо математичне очікування випадкової величини. якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iз цієї сукупності μ = E ( x i) Є математичне очікування цієї вибірки.
На практиці різниця між μ та x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))в тому, що μ є типовою змінної, тому що бачити якомога швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (в термінах теорії ймовірностей), тоді x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(Але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).
Обидві ці величини обчислюються одним і тим же способом:
x ¯ = 1 n Σ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
приклади
- Для трьох чисел необхідно скласти їх і розділити на 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і розділити на 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Або простіше 5 + 5 = 10, 10: 2. Тому що ми складали 2 числа, а значить, скільки чисел складаємо, на стільки і ділимо.

Безперервна випадкова величина
f (x) ¯ [a; b] = 1 ba ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)
Деякі проблеми застосування середнього

відсутність робастности

Хоча середнє арифметичне часто використовується в якості середніх значень або центральних тенденцій, це поняття не відноситься до робастной статистикою, що означає, що середнє арифметичне схильне сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастной статистики (наприклад, медіана) може краще описувати центральну тенденцію.
Класичним прикладом є підрахунок середнього доходу. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіани, через що може бути зроблений висновок, що людей з великим доходом більше, ніж насправді. «Середній» дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (в сенсі середнього арифметичного) дохід є вище, ніж доходи більшості людей, так як високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід по медіані «чинить опір» такому перекосу). Однак, цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно віднестися до понять «середнього» і «більшість народу», то можна зробити неправильний висновок про те, що більшість людей мають доходи вище, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середньому» чистому доході в Медині, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, дасть на подив велике числочерез Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне одно 3.17, але п'ять значень з шести нижче цього середнього.

складний відсоток

якщо числа перемножать, а не складати, Потрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найбільш часто цей казус трапляється при розрахунку окупності інвестицій в фінансах.
Наприклад, якщо акції в перший рік впали на 10%, а в другий рік зросли на 30%, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення за ці два роки як середнє арифметичне (-10% + 30%) / 2 = 10%; правильне середнє значення в цьому випадку дають сукупні щорічні темпи зростання, за якими річне зростання виходить тільки близько +8,16653826392% ≈ 8,2%.
Причина цього в тому, що відсотки мають щораз нову стартову точку: 30% - це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції на початку коштували $ 30 і впали на 10%, вони на початку другого року коштують $ 27. Якщо акції виросли на 30%, вони в кінці другого року коштують $ 35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції виросли за 2 роки всього на $ 5.1, середнє зростання в 8,2% дає кінцевий результат $ 35.1:
[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. Якщо ж використовувати таким же чином середнє арифметичне значення 10%, ми не отримаємо фактичне значення: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].
Складний відсоток в кінці 2 роки: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ approx 108.2 \%), Тобто середньорічний приріст 8,2% .. Це число невірно з двох причин.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульне відстань (тобто, відстань по колу). Наприклад, модульне відстань між 1 ° та 359 ° дорівнює 2 °, а не 358 ° (на колі між 359 ° і 360 ° == 0 ° - один градус, між 0 ° і 1 ° - теж 1 °, в сумі - 2 °).

Сутність і значення середніх величин.

Абсолютні і відносні величини.

Види угруповань.

Залежно від завдань, що вирішуються за допомогою угруповань виділяють наступні їх види:

типологічні

структурні

аналітичні

Головне завдання типологічної полягає в класифікації соціально-економічних явищ шляхом виділення однорідних до якісних відносин груп.

Якісна однорідність при цьому розуміється в тому сенсі, що по відношенню до досліджуваного властивості все одиниці сукупності підпорядковуються одному закону розвитку. наприклад:угруповання підприємствам галузей економіки.

Абсолютною величиною називається показник, що виражає розміри соціально-економічного явища.

Відносною величиною в статистиці називається показник, що виражає кількісне співвідношення між явищами. Він виходить в результаті поділу однієї абсолютної величини на іншу абсолютну величину. Величина з якою ми виробляємо порівняння називається підставоюабо базою порівняння.

Абсолютні величини - завжди величини іменовані.

Відносні величини виражаються в коефіцієнтах, відсотках, промити і т.д.

Відносна величина показує, у скільки разів, або на скільки відсотків порівнювана величина більше або менше бази порівняння.

У статистиці розрізняють 8 видів відносних величин:

Середні величини є одними з найбільш поширених узагальнюючих статистичних показників. Вони мають на меті одним числом охарактеризувати статистичну сукупність складається з меншості одиниць. Середні величини тісно пов'язані з законом великих чисел. Сутність цієї залежності полягає в тому, що при великій кількості спостережень випадкові відхилення від загальної статистики взаимопогашающиеся і в середньому більш чітко проявляється статистична закономірність.

За допомогою методу середніхвирішуються такі основні завдання:

1. Характеристика рівня розвитку явищ.

2. Порівняння двох або кількох рівнів.

3. Вивчення взаємозв'язків соціально-економічних явищ.

4. Аналіз розміщення соціально-економічних явищ в просторі.

Для вирішення цих завдань статистична методологія розробила різні види середніх.

Для з'ясування методики розрахунку середньої арифметичної використовуємо такі позначення:

X - арифметичний ознака

X (X1, X2, ... X3) - варіанти певної ознаки

n - число одиниць сукупності

Середня величина ознаки

Залежно від вихідних даних середня арифметична може бути розрахована двома способами:

1. Якщо дані статистичного спостереження на згруповані, або згруповані варіанти мають однакові частоти, то розраховується середня арифметична проста:

2. Якщо частоти згруповані в даних різні, то розраховується середнє арифметичне взвешанной:

Чисельність (частоти) варіантів

сума частот

Середнє арифметичне розраховується по різному в дискретних та інтервальних варіаційних рядах.

У дискретних рядах варіанти ознаки множаться на частоти, ці твори підсумовуються і отримана сума творів ділиться на суму частот.

Розглянемо приклад обчислення середньої арифметичної в дискретному ряду:

В інтервальних рядах значення ознаки задано, як відомо, у вигляді інтервалів, тому, перш ніж розраховувати середню арифметичну, потрібно перейти від інтервального ряду до дискретного.

Як варіанти Xi використовується середина відповідних інтервалів. Вони визначаються як полусумма нижньої і верхньої меж.

Якщо у інтервалу відсутня нижня межа, то його середина визначається як різниця між верхньою межею і половиною величини наступних інтервалів. При відсутності верхніх меж, середина інтервалу визначається як сума нижньої межі і половини величини попереднього інтервалу. Після переходу до дискретного ряду подальші обчислення відбуваються за методикою розглянутим вище.

якщо ваги fi задані не в абсолютних показниках, а в відносних, то формула розрахунку середньої арифметичної буде наступною:

pi - відносні величини структури, що показують, який відсоток складають частоти варіантів в сумі всіх частот.

Якщо відносні величини структури задані не в процентах, а в частках, то середнє арифметичне буде розраховуватися за формулою:

Середнє значення

Середнє значення- числова характеристика безлічі чисел або функцій (в математиці); - деяке число, укладену між найменшим і найбільшим з їх значень.

Основні відомості

Вихідним пунктом становлення теорії середніх величин стало дослідження пропорцій школою Піфагора. При цьому не проводилося суворого відмінності між поняттями середньої величини і пропорції. Значний поштовх розвитку теорії пропорцій з арифметичної точки зору був дан грецькими математиками - Нікомаха Герасскім (кінець I - початок II ст. Н. Е.) І Паппом Олександрійським (III в. Н. Е.). Першим етапом розвитку поняття середньої є етап, коли середня стала вважатися центральним членом безперервної пропорції. Але поняття середньої як центрального значення прогресії не дає можливості вивести поняття середньої по відношенню до послідовності n членів, незалежно від того, в якому порядку вони слідують один за одним. Для цієї мети необхідно вдатися до формального узагальнення середніх. Наступний етап - перехід від безперервних пропорцій до прогресу - арифметичної, геометричної і гармонійної ( англ.).

В історії статистики вперше широке вживання середніх величин пов'язано з ім'ям англійського вченого У. Петті. У. Петті один з перших намагався надати середній величині статистичний сенс, зв'язавши її з економічними категоріями. Але опису поняття середньої величини, його виділення, Петті НЕ справив. Родоначальником теорії середніх величин прийнято вважати А. Кетле. Він одним з перших почав послідовно розробляти теорію середніх величин, намагаючись підвести під неї математичну базу. А. Кетле виділяв два види середніх величин - власне середні і середні арифметичні. Власне середні представляють річ, число, дійсно існуючі. Власне середні або середні статистичні повинні виводитися з явищ однокачественностью, однакових за своїм внутрішнім значенням. Середні арифметичні - числа, що дають можливо близьке уявлення про багатьох числах, різних, хоча і однорідних.

Кожен з видів середньої може виступати або у формі простої, або в формі зваженої середньої. Правильність вибору форми середньої випливає з матеріальної природи об'єкта дослідження. Формули простих середніх застосовуються в разі, якщо індивідуальні значення усредняемого ознаки не повторюються. Коли в практичних дослідженнях окремі значення досліджуваної ознаки зустрічаються кілька разів у одиниць досліджуваної сукупності, тоді частота повторень індивідуальних значень ознаки присутня в розрахункових формулах статечних середніх. У цьому випадку вони називаються формулами зважених середніх.

Ієрархія середніх значень в математиці
- середнє значення функції - поняття, яке визначається багатьма способами.
  - Більш конкретно, але на основі довільних функцій, визначаються середні Колмогорова для набору чисел.
    - середнє статечне - окремий випадок середніх Колмогорова при φ (x) = x α (\ displaystyle \ phi (x) = x ^ (\ alpha)). Середні різних ступенів пов'язує між собою нерівність про середні. Найбільш поширені окремі випадки:
      1. середнє арифметичне (α = 1 (\ displaystyle \ alpha = 1));
      2. середньоквадратичне (α = 2 (\ displaystyle \ alpha = 2));
      3. середнє гармонійне (α = - 1 (\ displaystyle \ alpha = -1));
      4. по безперервності при α → 0 (\ displaystyle \ alpha \ to 0) доопределяется середнє геометричне, яке також є колмогоровской середнім при φ (x) = log ⁡ x (\ displaystyle \ phi (x) = \ log x)
- Середня зважена - узагальнення середньої величини на випадок довільної лінійної комбінації:
  - Середнє арифметичне зважене.
  - Середнє геометричне зважене.
  - Середнє гармонійне зважене.
- середнє хронологічне - узагальнює значення ознаки для однієї і тієї ж одиниці або сукупності в цілому, що змінюються в часі.
- середнє логарифмічна, що визначається за формулою a ¯ = a 1 - a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\ textstyle (\ bar (a)) = (\ frac (a_ (1) -a_ (2)) (\ ln (a_ (1) / a_ (2))))), використовується в теплотехніки
- середнє логарифмічна, яке визначається в електроізоляції відповідно до ГОСТ 27905.4-88 визначається як l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 +. . . +. . . l o g a n a 1 + a 2 +. . . + An (\ textstyle log (\ bar (a)) = (\ frac (\ log a_ (1) + loga_ (2) + ... + ... loga_ (n)) (a_ (1) + a_ ( 2) + ... + a_ (n)))) (логарифм за будь-якої підстави)
У теорії ймовірностей і статистиці
Основна стаття: Показники центру розподілу
- непараметричні середні - мода, медіана.
- середнє значення випадкової величини - то ж, що математичне сподівання випадкової величини. По суті - середнє значення її функції розподілу.
Яким знаком позначається середнє арифметичне значення?

Ось, скажімо, сума - це епсилон прописна ...

Ксенія

Середня арифметична - це та межа, біля якого групуються окремі значення спостережуваних і досліджуваних характеристик, середня арифметична - частка від ділення суми значень кого-небудь ознаки на число елементів сукупності. У статистиці середня арифметична зазвичай позначається через окремі значення ознаки (або приватні результати досвіду) - через x1, x2, x3 і т. Д., А загальні кількість ознак (або кількість дослідів) - n.
при великій кількостівимірювань позитивні і негативні випадкові похибки зустрічаються однаково часто. За багаторазовим вимірюванням будь-якої фізичної величиниможна визначити її середнє арифметичне значення. Багаторазові вимірювання також дають можливість встановити точність вимірювання, як для остаточного результату, так і для окремих вимірювань, т. Е. Знайти ті межі, в яких знаходиться отриманий результат вимірюваної величини.
При п вимірах деякої величини ми отримаємо п різних її значень. Найбільш близьким до істинного значення вимірюваної величини буде середнє арифметичне значення всіх вимірювань.
Якщо позначити окремі вимірювання через а \, az, a3, ..ап, то середньоарифметичне значення вимірюваної величини визначиться за формулою:
п
п - at + аг + - + Д "_ \ 1 а, -
а _ ------------------
= Y- ^
^ J П
Значення окремих вимірювань відрізняються від середньоарифметичного значення а0 на наступні величини:
Абсолютні значення різниць (Так ^ Даг, ...) між середнім арифметичним значенням вимірюваної величини і величиною окремих вимірювань називають абсолютними похибками окремих вимірювань. Середнє арифметичне абсолютних похибок всіх вимірювань, яке необхідно для визначення відносної похибки вимірювань і запису остаточного результату, обчислюється за формулою:
^-. (2)
Цю похибку називають середньої абсолютної похибкою вимірювання. Беручи один знак абсолютних похибок, ми тим самим свідомо беремо найбільшу з можливих похибок.
Що таке середнє арифметичне? Як знайти середнє арифметичне?

Формула середнього арифметичного чисел?

Алекс-89

Середнє арифметичне кількох чисел - це сума цих чисел, поділена на їх кількість.

x ср - середнє арифметичне

S - сума чисел

n - кількість чисел.

Наприклад, нам потрібно знайти середнє арифметичне чисел 3, 4, 5 і 6.

Для цього нам потрібно їх скласти і отриману суму розділити на 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Алсу - ш

Мені, як математику, цікаві питання з даного предмета.

Почну з історії питання. Над середніми величинами замислювалися з давніх времм. Середнє арифметичне, середнє геометоіческое, середнє гармонійне. Ці поняття запропоновані в стародавньої Греціїпифагорийцев.

А тепер нас цікавить. Що ж розуміється під середнім аріфметічскім кількох чисел:

Отже, для знаходження середнього арифметичного чисел потрібно додати всі числа і розділити отриману суму на кількість доданків.

Має місце формула:

Приклад.Знайти середнє арифметичне чисел: 100, 175, 325.

Скористаємося формулою знаходження середнього арифметичного трьох чисел (тобто замість n буде 3; потрібно скласти всі 3 числа і розділити отриману суму на їх кількість, тобто на 3). Маємо: х = (100 + 175 + 325) / 3 = 600/3 = 200.

Відповідь: 200.

Арифметика вважається самим елементарним розділом математики і вивчає прості дії з числами. Тому і середнє арифметичне також знаходиться дуже просто. Почнемо з визначення. Середнє арифметичне - це величина, яка показує яка кількість найближче до істини при декількох послідовних однотипних діях. Наприклад при бігу на сто метрів людина щоразу показує різний час, але середня величина буде в межах наприклад 12 секунд. Знаходження середнього арифметичного таким чином зводиться в послідовному підсумовування всіх чисел певного ряду (результатів забігів) і розподіл цієї суми на кількість цих збігів (спроб, чисел). У вигляді формули це виглядає так:

Sаріф = (Х1 + Х2 + .. + Хn) / n

Середнє арифметичне - це середнє число між декількома числами.

Наприклад між числами 2 і 4 середнє число 3.

Формула знаходження середнього арифметичного така:

Потрібно скласти всі числа і розділити на кількість цих чисел:

Наприклад у нас 3 числа: 2, 5 і 8.

Знаходимо середнє арифметичне:

X = (2 + 5 + 8) / 3 = 15/3 = 5

Область застосування середнього арифметичного досить широка.

Наприклад можна знаючи координати двох точок відрізка знайти координати середини цього відрізка.

Наприклад координати відрізка: (X1, Y1, Z1) - (X2, Y2, Z2).

Позначимо середину цього відрізка координатами X3, Y3, Z3.

Окремо знаходимо середину для кожної координати:

красива поляна

Середньо арифметичне число, це числа складені разом і поділені на їх кількість, отриману відповідь і є середньо арифметичне число.

Наприклад: Катя поклала у скарбничку 50 рублів, Максим 100 рублів, а Саша поклав до скарбнички 150 рублів. 50 + 100 + 150 = 300 рублів в скарбничці, тепер ділимо цю суму на три (три людини поклали гроші). Отже 300: 3 = 100 рублів. Ці 100 рублів і буде середньо арифметично, кожен з них поклав до скарбнички.

Є такий простий приклад: одна людина їсть м'ясо, інша людина їсть капусту, а середньо арифметично вони обидва їдять голубці.

Таким же чином розраховують середню зарплату ...

Середньоарифметичне-це середнє значення із заданих ...

Тобто по простому маємо кількість паличок різної довжини і хочемо дізнатися їх середнє значення ..

Логічно, що для цього ми їх зводимо разом, отримуючи довгу палицю, а потім ділимо її на необхідне число частин ..

Ось і виходить середньоарифметичне ..

Ось так і виводиться формула: Sa = (S (1) + .. S (n)) / n ..

Птічка2014

Середнє арифметичне - це сума всіх значень і поділене на їх кількість.

Наприклад числа 2, 3, 5, 6. Потрібно їх скласти 2 + 3 + 5 + 6 = 16

16 ділимо на 4 і отримуємо відповідь 4.

4 і є середнє арифметичне цих чисел.

Azamatik

Середнім арифметичним називають суму чисел, розділене на кількість цих самих чисел. А знайти середнє арифметичне дуже просто.

Як випливає з визначення ми повинні взяти числа, скласти їх і розділити на їх кількість.

Наведемо приклад: дається числа 1, 3, 5, 7 і нам треба знайти середнє арифметичне цих чисел.
- спочатку складаємо ці числа (1 + 3 + 5 + 7) і отримуємо 16
- отриманий результат нам треба розділити на 4 (кол - во): 16/4 і отримуємо результат 4.
Отже, середнє арифметичне чисел 1, 3, 5 і 7 - це 4.

Середнє арифметичне - середнє значення серед заданих показників.

Воно знаходиться шляхом ділення суми всіх показників на їх кількість.

Наприклад, у мене є 5 яблук вагою 200, 250, 180, 220 і 230 грам.

Середня вага 1 яблука знаходимо так:
- шукаємо загальна вага всіх яблук (суму всіх показників) - він дорівнює 1080 грамів,
- ділимо загальна вага на кількість яблук 1080 5 = 216 грамів. Це і є середнє арифметичне.
Це найбільш часто вживаний в статистиці показник.

зелений чебуречек

Це ми знаємо зі шкільної лави. У кого був хороший учитель з математики, то запам'ятати це нехитре дію можна було з першого разу.

При знаходженні середнього арифметичного необхідно скласти всі наявні числа і розділити на їх кількість.

Наприклад, я купила в магазині 1 кг яблук, 2 кг бананів, 3 кг апельсинів і 1 кг ківі. Скільки кілограмів в середньому я купила фруктів.

7/4 = 1,8 кілограмів. Це і буде середньоарифметичним значенням.

Бьемон ЕПУ

Пам'ятаю як підсумкову контрольну з математики здавав

Так там потрібно було середнє арифметичне знайти.

Добре що добрі люди підказали що робити, інакше біда.

Наприклад у нас 4 числа.

Складаємо числа і ділимо на їх кількість (в даному випадку 4)

Наприклад цифри 2,6,1,1. Складаємо 2 + 6 + 1 + 1 і ділимо на 4 = 2.5

Як бачите нічого складного. Так що середнє арифметичне - це середнє значення всіх чисел.

В математиці середнє арифметичне значення чисел (або просто середнє) - це сума всіх чисел в даному наборі, розділена на їх кількість. Це найбільш узагальнене і поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти середнє значення, потрібно підсумувати всі дані вам числа, а отриманий результат розділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їх середнє значення.

Рішення.

Для початку знайдемо суму всіх даних чисел.

Тепер розділимо отриману суму на кількість доданків. Так як у нас доданків три, відповідно, ми будемо ділити на три.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 і 11 - це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 і 11 буде така ж, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує «вирівнювання» ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

Приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їх середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (в цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного ряду чисел дорівнює 22.

тепер розглянемо негативні числа. Згадаймо, як їх підсумовувати. Наприклад, у вас є два числа 1 і -4. Знайдемо їх суму.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

Приклад 3.Знайти середнє значення ряду чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо отриману суму на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 одно 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовувати для знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel - одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко і просто. Тим більше, ця програма входить в пакет програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкцію, як знайти середнє арифметичне значення за допомогою цієї програми.

Для того щоб порахувати середнє значення ряду чисел, необхідно використовувати функцію AVERAGE. Синтаксис для цієї функції:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
де argument1, argument2, ... argument255 - це або числа, або посилання на комірки (під осередками маються на увазі діапазони і масиви).

Щоб було зрозуміліше, випробуємо отримані знання.
1. Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 в осередку С1 - С6.
2. Виділіть клітинку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
3. Клацніть на вкладці «Формули».
4. Виберіть More Functions> Statistical для того, щоб відкрити список, що випадає.
5. Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
6. Виділіть і перетягніть туди осередку С1-С6, щоб задати діапазон в діалоговому вікні.
7. Підтвердіть свої дії клавішею «ОК».
8. Якщо ви все зробили правильно, в осередку С7 у вас повинен з'явитися відповідь - 13,7. При натисканні на осередок C7 функція (= Average (C1: C6)) буде відображатися в рядку формул.
Дуже зручно використовувати цю функцію для ведення обліку, накладних або коли вам просто потрібно знайти середнє значення з дуже довгого ряду чисел. Тому її часто використовують в офісах і великих компаніях. Це дозволяє зберігати порядок в записах і дає можливість швидко порахувати що-небудь (наприклад, середній дохід за місяць). Також за допомогою Excel можна знайти середнє значення функції.

Середнє арифметичне
Цей термін має також інші значення див. Середнє значення.
Середнє арифметичне(В математиці і статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є однією з найбільш поширених заходів центральної тенденції.

Запропоновано (поряд із середнім геометричним і середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Окремими випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) і вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), Тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною рискою над змінної (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), вимовляється « xз межею »).

Для позначення середнього арифметичного всієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, для якої визначено середнє значення, μ є розподіл усіх середнєабо математичне сподівання випадкової величини. якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iз цієї сукупності μ = E ( x i) Є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ та x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) в тому, що μ є типовою змінної, тому що бачити якомога швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (в термінах теорії ймовірностей), тоді x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються одним і тим же способом:
X ¯ = 1 n Σ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
якщо X- випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень в повторюваних вимірах величини X. Це є проявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується для оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середнє n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і тільки тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, Тим менше розходження між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, в тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє і різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

приклади
- Для трьох чисел необхідно скласти їх і розділити на 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і розділити на 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Або простіше 5 + 5 = 10, 10: 2. Тому що ми складали 2 числа, а значить, скільки чисел складаємо, на стільки і ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f (x) (\ displaystyle f (x)) середнє арифметичне на відрізку [a; b] (\ displaystyle) визначається через певний інтеграл:
F (x) ¯ [a; b] = 1 ba ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)
Деякі проблеми застосування середнього

відсутність робастности
Основна стаття: Робастність у статистиці
Хоча середнє арифметичне часто використовується в якості середніх значень або центральних тенденцій, це поняття не відноситься до робастной статистикою, що означає, що середнє арифметичне схильне сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастной статистики (наприклад, медіана) може краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього доходу. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіани, через що може бути зроблений висновок, що людей з великим доходом більше, ніж насправді. «Середній» дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (в сенсі середнього арифметичного) дохід є вище, ніж доходи більшості людей, так як високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід по медіані «чинить опір» такому перекосу). Однак, цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно віднестися до понять «середнього» і «більшість народу», то можна зробити неправильний висновок про те, що більшість людей мають доходи вище, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середньому» чистому доході в Медині, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, дасть на превеликий подив велика кількість з-за Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне одно 3.17, але п'ять значень з шести нижче цього середнього.

складний відсоток
Основна стаття: окупність інвестицій
якщо числа перемножать, а не складати, Потрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найбільш часто цей казус трапляється при розрахунку окупності інвестицій в фінансах.

Наприклад, якщо акції в перший рік впали на 10%, а в другий рік зросли на 30%, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення за ці два роки як середнє арифметичне (-10% + 30%) / 2 = 10%; правильне середнє значення в цьому випадку дають сукупні щорічні темпи зростання, за якими річне зростання виходить тільки близько +8,16653826392% ≈ 8,2%.

Причина цього в тому, що відсотки мають щораз нову стартову точку: 30% - це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції на початку коштували $ 30 і впали на 10%, вони на початку другого року коштують $ 27. Якщо акції виросли на 30%, вони в кінці другого року коштують $ 35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції виросли за 2 роки всього на $ 5.1, середнє зростання в 8,2% дає кінцевий результат $ 35.1:

[$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. Якщо ж використовувати таким же чином середнє арифметичне значення 10%, ми не отримаємо фактичне значення: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].

Складний відсоток в кінці 2 роки: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ approx 108.2 \%) , тобто середньорічний приріст 8,2%.

напрями
Основна стаття: Статистика напрямків
При розрахунку середнього арифметичного значень деякої змінної, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1 ° і 359 ° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Це число невірно з двох причин.
- По-перше, кутові заходи визначені тільки для діапазону від 0 ° до 360 ° (або від 0 до 2π при вимірюванні в радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 ° і -1 °) або як (1 ° і 719 °). Середні значення кожної з пар будуть відрізнятися: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)).
- По-друге, в даному випадку, значення 0 ° (еквівалентну 360 °) буде геометрично кращим середнім значенням, так як числа відхиляються від 0 ° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0 ° найменша дисперсія). Порівняйте:
  - число 1 ° відхиляється від 0 ° всього на 1 °;
  - число 1 ° відхиляється від обчисленого середнього, рівного 180 °, на 179 °.
Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульне відстань (тобто, відстань по колу). Наприклад, модульне відстань між 1 ° та 359 ° дорівнює 2 °, а не 358 ° (на колі між 359 ° і 360 ° == 0 ° - один градус, між 0 ° і 1 ° - теж 1 °, в сумі - 2 °).

Середньозважене значення - що це і як його обчислити?

У процесі вивчення математики школярі знайомляться з поняттям середнього арифметичного. Надалі в статистиці і деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших середніх значень. Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

Середні величини: сенс і відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Для того щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно часом аналізувати величезну кількість цифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію в загальному і цілому.

Зі шкільних часів багато дорослих пам'ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто обчислити - сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, то необхідно вирішити вираз (27 + 22 + 34 + 37) / 4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина буде дорівнює 30.

Часто в рамках шкільного курсу вивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значення базується на добуванні кореня n-ного ступеняз твору n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень буде дорівнює 29,4.

Середнє гармонійне в загальноосвітній школізазвичай не є предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернено середньому арифметичному і розраховується як частка від n - кількості значень і суми 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Якщо знову брати той же ряд чисел для розрахунку, то гармонійне складе 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Однак всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, в статистиці при розрахунку деяких середніх значень важливу роль має "вагу" кожного числа, використовуваного в обчисленнях. Результати є більш показовими і коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальну назву "середньозважене значення". Їх в школі не проходять, тому на них варто зупинитися детальніше.

Перш за все, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Два рази на день в лікарні відбувається завмер температури тіла у кожного пацієнта. З 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура - 36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення - 37,2, у 14 - 38, у 7 - 38,5, у 3 - 39, і у двох, що залишилися - 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина в загальному по лікарні становитиме більше 38 градусів! А адже майже у половини пацієнтів абсолютно нормальна температура. І тут коректніше буде використовувати середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вага" може бути прийнято кількість відвантажень, число працюючих в той чи інший день людей, в загальному, все що завгодно, що може бути виміряна і вплинути на кінцевий результат.

різновиди

Середньозважене значення співвідноситься із середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Однак перша величина, як уже було сказано, враховує також вага кожного числа, використаного в розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне і гармонійне значення.

Є ще одна цікава різновид, яка використовується в рядах чисел. Йдеться про зважений ковзному середньому значенні. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень і їх ваги там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь момент часу також враховуються величини за попередні часові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не так вже й складний, однак на практиці зазвичай використовується тільки звичайне середньозважене значення.

способи розрахунку

У століття повальної комп'ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак не зайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити і при необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше буде розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці на цьому підприємстві з урахуванням кількості робітників, які отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення проводиться за допомогою такої формули:

x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Для прикладу ж обчислення буде таким:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів з тим, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула ж для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чисел; ряд ваг) / СУММ (ряд ваг).

Як знайти середнє значення в excel?

як знайти середнє арифметичне в excel?

Владімір09854

Простіше простого. Для того, щоб знайти середнє значення в excel, знадобиться всього лише 3 осередки. В першу ми запишемо одне число, в другу - інше. А в третій клітинці ми заб'ємо формулу, яка нам видасть середнє значення між цими двома числами з першої і другої комірки. Якщо осередок №1 називається А1, осередок №2 називається B1, то в осередку з формулою потрібно записати так:

Такою формулою обчислюється середнє арифметичне двох чисел.

Для краси наших обрахунків можна виділити осередки лініями, у вигляді таблички.

Є ще в самому екселя функція визначення середнього значення, але я користуюся дідівським методом і ввожу потрібну мені формулу. Таким чином я впевнений, що Ексель вважатиме саме так як мені треба, а не придумає якусь там своє округлення.

M3sergey

Це дуже просто, якщо дані вже внесені в осередку. Якщо вас цікавить просто число, досить виділити потрібний діапазон / діапазони, і внизу праворуч у рядку стану з'явиться значення суми цих чисел, їх середнє арифметичне і їх кількість.

Можна виділити вільну позицію, натиснути на трикутничок (список, що розкривається) "Автосумма" і вибрати там "Середнє", після чого погодиться із запропонованим діапазоном для розрахунку, або вибрати свій.

Нарешті, можна скористатися формулами безпосередньо - натиснути "Вставити функцію" поруч з рядком формул і адресою комірки. Функція СРЗНАЧ знаходиться в категорії "Статистичні", і приймає в якості аргументів як числа, так і посилання на комірки і ін. Там же можна вибрати більш складні варіанти, наприклад, СРЗНАЧЕСЛІ - розрахунок середнього по умові.

Знайти середнє значення в excelє досить простим завданням. Тут потрібно розуміти - чи хочете ви використовувати це середнє значення в якихось формулах чи ні.

Якщо вам потрібно отримати тільки значення, то досить виділити необхідний діапазон чисел, після чого excel автоматично порахує середнє значення - воно буде виводиться в рядку стану, заголовок "Середнє".

У тому випадку, коли ви хочете використовувати отриманий результат в формулах, можна вчинити так:

1) Підсумувати осередки за допомогою функції СУММ і розділити все це на кількість чисел.

2) Більш правильний варіант - скористатися спеціальною функцією, яка називається СРЗНАЧ. Аргументами даної функції можуть бути числа, задані послідовно, або діапазон чисел.

Володимир тихонов

обводьте значення, які будуть брати участь в розрахунку, натискаєте вкладку "Формули", там побачите зліва є "Автосумма" і поряд з нею трикутник, спрямований вниз. Натискаючи на цей трикутник і вибираєте "Середнє". Вуаля, готове) внизу стовпчика побачите середнє значення :)

Катерина муталапова

Почнемо спочатку і по порядку. Що значить середнє значення?

Середнє значення - це значення, яке є середнім арифметичним значенням, тобто обчислюється складанням набору чисел з наступним розподілом всієї суми чисел на їх кількість. Наприклад, для чисел 2, 3, 6, 7, 2 буде 4 (суму чисел 20 ділимо на їх кількість 5)

У таблиці Excel особисто мені, найпростіше було користуватися формулою = СРЗНАЧ. Щоб розрахувати середнє значення, необхідно ввести дані в таблицю, під стовпцем даних написати функцію = СРЗНАЧ (), а в дужках вказуємо діапазон чисел в осередках, виділивши стовпець з даними. Після цього натискаємо ВВЕДЕННЯ, або просто натискаємо лівою кнопкою мишки на будь-якому осередку. Результат відобразиться в осередку під стовпцем. На вигляд описано незрозуміло, але по факту - хвилинна справа.

Шукач пригод 2000

Програма Ecxel є різноманітною, тому є кілька варіантів, які дозволять вам знайти середні значення:

Перший варіант. Ви просто додаєте все осередки і ділите на їх кількість;

Другий варіант. Скористатися спеціальною командою, напишете в необхідного елементу формулу "= СРЗНАЧ (а тут вкажіть діапазон комірок)";

Третій варіант. Якщо ви виділите необхідний діапазон, то зверніть увагу, що на сторінці внизу, також виводиться середнє значення в даних осередках.

Таким чином, способів знайти середнє значення дуже багато, вам просто потрібно вибрати оптимальний для вас і користуватися ним постійно.

В Excel c допомогою функції СРЗНАЧ можна розрахувати середнє арифметичне просте. Для цього потрібно вбити ряд значень. Натиснути одно і вибрати в Категорії Статистичні, серед яких вибрати функцію СРЗНАЧ

Також за допомогою статистичних формул можна розрахувати середнє арифметичне зважене, яке вважається більш точним. Для його розрахунку нам знадобляться значення показника і частота.

Як знайти середнє значення в Excel?

Ситуація така. Є така таблиця:
У стовпчиках, зафарбованих червоним кольором містяться чисельні значення оцінок з предметів. У стовпці " Середній бал"Потрібно підрахувати їх середнє значення.
Проблема ось у чому: всього предметів 60-70 і частина з них на іншому аркуші.
Я дивилася в іншому документі вже підраховано середнє, а в осередку варто формула типу
= "Ім'я листа"! | Е12
але це робив якийсь програміст, якого звільнили.
Підкажіть, будь ласка, хто розбирається в цьому.

Гектор

У рядку фцнкцій вставляєш з предложеннвх функцій "СРЗНАЧ" і вибираєш звідки ті треба вирахувати (B6: N6) для Іванова, наприклад. Про сусідні листи точно не знаю, але напевно це міститься в стандартній віндовскій довідці
Підкажіть як обчислити середнє значення в ворде

Підкажіть будь ласка як обчислити середнє значення в ворде. А саме середнє значення оцінок, а не кількості людей отримали оцінки.

Юля павлова

Word може багато за допомогою макросів. Натисни ALT + F11 і пиши програму-макрос ..
Крім того Вставка-Об'єкт ... дозволить використовувати інші програми, хоч Excel, для створення листа з таблицею всередині Word-документа.
Але в даному випадку тобі треба в колонці таблиці записати твої числа, а в нижню осередок тієї ж колонки занести середнє, правильно?
Для цього в нижню осередок вставляєш поле.
Вставка-Поле ...-формули
вміст поля
[= AVERAGE (ABOVE)]
видає середнє від суми вище лежачих осередків.
Якщо поле виділити і натиснути праву кнопку миші, то його можна Оновлювати, якщо числа змінилися,
переглядати код або значення поля, змінювати код безпосередньо в полі.
Якщо щось зіпсується, видали все поле в осередку і створи заново.
AVERAGE означає середнє, ABOVE - близько, тобто ряд вище лежачих осередків.
Все це я не знала сама, але легко виявила в HELP, зрозуміло, трохи міркуючи.

У більшості випадків дані концентруються навколо якоїсь центральної точки. Таким чином, щоб описати будь-який набір даних, досить вказати середньо значення. Розглянемо послідовно три числові характеристики, які використовуються для оцінки середнього значення розподілу: середнє арифметичне, медіана і мода.

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне (часто зване просто середнім) - найбільш поширена оцінка середнього значення розподілу. Вона є результатом ділення суми всіх спостережуваних числових величин на їх кількість. Для вибірки, що складається з чисел Х 1, Х 2, ..., Хn, Вибіркове середнє (позначається символом ) одно = (Х 1 + Х 2 + ... + Хn) / n, або

де - вибіркове середнє, n- обсяг вибірки, Xi – i-й елементвибірки.

Завантажити замітку в форматі або, приклади в форматі

Розглянемо обчислення середнього арифметичного значення п'ятирічної середньорічної прибутковості 15 взаємних фондів з дуже високим рівнемризику (рис. 1).

Мал. 1. Середньорічна доходність 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику

Вибіркове середнє обчислюється таким чином:

Це хороший дохід, особливо в порівнянні з 3-4% доходу, який отримали вкладники банків або кредитних спілок за той же період часу. Якщо впорядкувати значення прибутковості, то легко помітити, що вісім фондів мають прибутковість вище, а сім - нижче середнього значення. Середнє арифметичне грає роль точки рівноваги, так що фонди з низькими доходами врівноважують фонди з високими доходами. В обчисленні середнього задіяні всі елементи вибірки. Жодна з інших оцінок середнього значення розподілу не володіє цією властивістю.

Коли слід обчислювати середнє арифметичне.Оскільки середнє арифметичне залежить від усіх елементів вибірки, наявність екстремальних значень значно впливає на результат. У таких ситуаціях середнє арифметичне може спотворити зміст числових даних. Отже, описуючи набір даних, що містить екстремальні значення, необхідно вказувати медіану або середнє арифметичне і медіану. Наприклад, якщо видалити з вибірки прибутковість фонду RS Emerging Growth, вибіркове середнє прибутковості 14 фондів зменшиться майже на 1% і складе 5,19%.

медіана

Медіана являє собою серединне значення упорядкованого масиву чисел. Якщо масив не містить повторюваних чисел, то половина його елементів виявиться менше, а половина - більше медіани. Якщо вибірка містить екстремальні значення, для оцінки середнього значення краще використовувати не середнє арифметичне, а медіану. Щоб обчислити медіану вибірки, її спочатку необхідно впорядкувати.

Ця формула неоднозначна. Її результат залежить від парності або непарності числа n:
- Якщо вибірка містить непарну кількість елементів, медіана дорівнює (N + 1) / 2-му елементу.
- Якщо вибірка містить парну кількість елементів, медіана лежить між двома середніми елементами вибірки і дорівнює середньому арифметичному, обчисленому за цим двом елементам.
Щоб обчислити медіану вибірки, що містить дані про прибутковість 15 взаємних фондів з дуже високий рівнем ризику, спочатку необхідно впорядкувати вихідні дані (рис. 2). Тоді медіана буде навпроти номера середнього елемента вибірки; в нашому прикладі №8. В Excel є спеціальна функція = МЕДИАНА (), яка працює і з неврегульованими масивами теж.

Мал. 2. Медіана 15 фондів

Таким чином, медіана дорівнює 6,5. Це означає, що дохідність однієї половини фондів з дуже високим рівнем ризику не перевищує 6,5, а прибутковість другої половини - перевищує її. Зверніть увагу на те, що медіана, рівна 6,5, ненабагато більше середнього значення, рівного 6,08.

Якщо видалити з вибірки прибутковість фонду RS Emerging Growth, то медіана залишилися 14 фондів зменшиться до 6,2%, тобто не так значно, як середнє арифметичне (рис. 3).

Мал. 3. Медіана 14 фондів

Мода

Термін був вперше введений Пирсоном в 1894 р Мода - це число, яке частіше за інших зустрічається у вибірці (найбільш модне). Мода добре описує, наприклад, типову реакцію водіїв на сигнал світлофора про припинення руху. Класичний приклад використання моди - вибір розміру партії, що випускається взуття або кольору шпалер. Якщо розподіл має кілька мод, то кажуть, що воно мультимодальних або многомодальним (має два або більше «піку»). Мультимодальних розподілу дає важливу інформацію про природу досліджуваної змінної. Наприклад, в соціологічних опитуваннях, якщо змінна представляє собою перевагу або ставлення до чогось, то мультимодальних може означати, що існують кілька виразно різних думок. Мультимодальних також служить індикатором того, що вибірка не є однорідною і спостереження, можливо, породжені двома або більше «накладеними» розподілами. На відміну від середнього арифметичного, викиди на моду не впливають. Для безперервно розподілених випадкових величин, наприклад, для показників середньорічної прибутковості взаємних фондів, мода іноді взагалі не існує (або не має сенсу). Оскільки ці показники можуть приймати самі різні значення, що повторюються величини зустрічаються вкрай рідко.

квартили

Квартили - це показники, які найчастіше використовуються для оцінки розподілу даних при описі властивостей великих числових вибірок. У той час як медіана поділяє упорядкований масив навпіл (50% елементів масиву менше медіани і 50% - більше), квартили розбивають упорядкований набір даних на чотири частини. Величини Q 1, медіана і Q 3 є 25-м, 50-м і 75-м перцентилем відповідно. Перший квартиль Q 1 - це число, що розділяє вибірку на дві частини: 25% елементів менше, а 75% - більше першогоквартиля.

Третій квартиль Q 3 - це число, що розділяє вибірку також на дві частини: 75% елементів менше, а 25% - більше третього квартиля.

Для розрахунку квартилей в версіях Excel до 2007 р використовувалася функція = Квартиль (масив; частина). Починаючи з версії Excel2010 застосовуються дві функції:
- = КВАРТІЛЬ.ВКЛ (масив; частина)
- = КВАРТІЛЬ.ІСКЛ (масив; частина)
Ці дві функції дають трохи різні значення(Рис. 4). Наприклад, при обчисленні квартилей вибірки, що містить дані про середньорічної прибутковості 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику Q 1 = 1,8 або -0,7 для КВАРТІЛЬ.ВКЛ і КВАРТІЛЬ.ІСКЛ, відповідно. До речі функція Квартиль, що використовувалась раніше відповідає сучасної функціїКВАРТІЛЬ.ВКЛ. Для розрахунку квартилей в Excel за допомогою вищенаведених формул масив даних годі й упорядковувати.

Мал. 4. Обчислення квартилей в Excel

Підкреслимо ще раз. Excel вміє розраховувати квартили для одновимірного дискретного ряду , Що містить значення випадкової величини. Розрахунок квартилей для розподілу на основі частот наведено нижче в розділі.

середнє геометричне

На відміну від середнього арифметичного середнє геометричне дозволяє оцінити ступінь зміни змінної з плином часу. Середнє геометричне - це корінь n-го ступеня з добутку nвеличин (в Excel використовується функція = СРГЕОМ):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1 / n

Схожий параметр - середнє геометричне значення норми прибутку - визначається формулою:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

де R i- норма прибутку за i-й період часу.

Наприклад, припустимо, що обсяг вкладених коштів у вихідний момент часу дорівнює 100 000 дол. До кінця першого року він падає до рівня 50 000 дол., А до кінця другого року відновлюється до вихідної позначки 100 000 дол. Норма прибутку цієї інвестиції за дворічний період дорівнює 0, оскільки початковий і фінальний обсяг коштів рівні між собою. Однак середнє арифметичне річних нормприбутку одно = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 або 25%, оскільки норма прибутку в перший рік R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5, а в другій R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. У той же час, середнє геометричне значення норми прибутку за два роки так само: G = [(1-0,5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. Таким чином, середнє геометричне точніше відображає зміну (точніше, відсутність змін) обсягу інвестицій за дворічний період, ніж середнє арифметичне.

Цікаві факти.По-перше, середнє геометричне завжди буде менше середнього арифметичного тих же чисел. За винятком випадку, коли всі взяті числа дорівнюють один одному. По-друге, розглянувши властивості прямокутного трикутника, Можна зрозуміти, чому середнє називається геометричним. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу (рис. 5). Це дає геометричний спосіб побудови середнього геометричного двох (довжин) відрізків: потрібно побудувати окружність на сумі цих двох відрізків як на діаметрі, тоді висота, восставленний з точки їх з'єднання до перетину з колом, дасть шукану величину:

Мал. 5. Геометрична природа середнього геометричного (малюнок з Вікіпедії)

Друга важлива властивість числових даних - їх варіація, Що характеризує ступінь дисперсії даних. Дві різні вибірки можуть відрізнятися як середніми значеннями, так і варіаціями. Однак, як показано на рис. 6 і 7, дві вибірки можуть мати однакові варіації, але різні середні значення, або однакові середні значення і абсолютно різні варіації. Дані, яким відповідає полігон В на рис. 7, змінюються набагато менше, ніж дані, за якими побудований полігон А.

Мал. 6. Два симетричних розподілу колоколообразной форми з однаковим розкидом і різними середніми значеннями

Мал. 7. Два симетричних розподілу колоколообразной форми з однаковими середніми значеннями і різним розкидом

Існує п'ять оцінок варіації даних:
- розмах,
- межквартільний розмах,
- дисперсія,
- стандартне відхилення,
- коефіцієнт варіації.
розмах

Розмахом називається різниця між найбільшим і найменшим елементами вибірки:

Розмах = ХMax - ХMin

Розмах вибірки, що містить дані про середньорічної прибутковості 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику, можна обчислити, використовуючи упорядкований масив (див. Рис. 4): розмах = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Це означає, що різниця між найбільшою і найменшою середньорічною прибутковістю фондів з дуже високим рівнем ризику дорівнює 24,6%.

Розмах дозволяє виміряти загальний розкид даних. Хоча розмах вибірки є вельми простий оцінкою загального розкиду даних, його слабкість полягає в тому, що він ніяк не враховує, як саме розподілені дані між мінімальним і максимальним елементами. Цей ефект добре простежується на рис. 8, який ілюструє вибірки, що мають однаковий розмах. Шкала В демонструє, що якщо вибірка містить хоча б одне екстремальне значення, розмах вибірки виявляється вельми неточною оцінкою розкиду даних.

Мал. 8. Порівняння трьох вибірок, що мають однаковий розмах; трикутник символізує опору ваг, і його розташування відповідає середньому значенню вибірки

Межквартільний розмах

Межквартільний, або середній, розмах - це різниця між третім і першим квартилями вибірки:

Межквартільний розмах = Q 3 - Q 1

Ця величина дозволяє оцінити розкид 50% елементів і не враховувати вплив екстремальних елементів. Межквартільний розмах вибірки, що містить дані про середньорічної прибутковості 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику, можна обчислити, використовуючи дані на рис. 4 (наприклад, для функції КВАРТІЛЬ.ІСКЛ): Межквартільний розмах = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Інтервал, обмежений числами 9,8 і -0,7, часто називають середньої половиною.

Слід зазначити, що величини Q 1 і Q 3, а значить, і межквартільний розмах, що не залежать від наявності викидів, оскільки при їх обчисленні не враховується ні одна величина, яка була б менше Q 1 або більше Q 3. сумарні кількісні характеристики, Такі як медіана, перший і третій квартили, а також межквартільний розмах, на які не впливають викиди, називаються стійкими показниками.

Хоча розмах і межквартільний розмах дозволяють оцінити загальний і середній розкид вибірки відповідно, жодна з цих оцінок не враховує, як саме розподілені дані. Дисперсія і стандартне відхиленняпозбавлені цього недоліку. Ці показники дозволяють оцінити ступінь коливання даних навколо середнього значення. вибіркова дисперсіяє наближенням середнього арифметичного, обчисленого на основі квадратів різниць між кожним елементом вибірки і вибірковим середнім. Для вибірки Х 1, Х 2, ... Х n вибіркова дисперсія (позначається символом S 2 задається наступною формулою:

У загальному випадку вибіркова дисперсія - це сума квадратів різниць між елементами вибірки і вибірковим середнім, поділена на величину, що дорівнює обсягу вибірки мінус один:

де - арифметичне середнє, n- обсяг вибірки, X i - i-й елемент вибірки X. В Excel до версії 2007 для розрахунку вибіркової дисперсії використовувалася функція = ДИСП (), з версії 2010 використовується функція = ДІСП.В ().

Найбільш практичною і широко поширеною оцінкою розкиду даних є стандартне вибіркове відхилення. Цей показник позначається символом S і дорівнює квадратному коренюз вибіркової дисперсії:

В Excel до версії 2007 для розрахунку стандартного вибіркового відхилення використовувалася функція = СТАНДОТКЛОН (), з версії 2010 використовується функція = СТАНДОТКЛОН.В (). Для розрахунку цих функцій масив даних може бути неврегульованим.

Ні вибіркова дисперсія, ні стандартне вибіркове відхилення не можуть бути негативними. Єдина ситуація, в якій показники S 2 і S можуть бути нульовими, - якщо всі елементи вибірки рівні між собою. У цьому абсолютно неймовірному випадку розмах і межквартільний розмах також дорівнюють нулю.

Числові дані за своєю природою мінливі. Будь-яка змінна може приймати безліч різних значень. Наприклад, різні взаємні фонди мають різні показники прибутковості і збитків. Внаслідок мінливості числових даних дуже важливо вивчати не тільки оцінки середнього значення, які за своєю природою є сумарними, а й оцінки дисперсії, що характеризують розкид даних.

Дисперсія і стандартне відхилення дозволяють оцінити розкид даних навколо середнього значення, інакше кажучи, визначити, скільки елементів вибірки менше середнього, а скільки - більше. Дисперсія має деякі цінними математичними властивостями. Однак її величина є квадрат одиниці виміру - квадратний відсоток, квадратний долар, квадратний дюйм і т.п. Отже, природною оцінкою дисперсії є стандартне відхилення, яке виражається в звичайних одиницях вимірювань - відсотках доходу, доларах або дюймах.

Стандартне відхилення дозволяє оцінити величину коливань елементів вибірки навколо середнього значення. Практично у всіх ситуаціях основна кількість спостережуваних величин лежить в інтервалі плюс-мінус одне стандартне відхилення від середнього значення. Отже, знаючи середнє арифметичне елементів вибірки і стандартне вибіркове відхилення, можна визначити інтервал, якому належить основна маса даних.

Стандартне відхилення дохідності 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику одно 6,6 (рис. 9). Це означає, що прибутковість основної маси фондів відрізняється від середнього значення не більше ніж на 6,6% (тобто коливається в інтервалі від - S= 6,2 - 6,6 = -0,4 до + S= 12,8). Фактично в цьому інтервалі лежить п'ятирічна середньорічна дохідність 53,3% (8 з 15) фондів.

Мал. 9. Стандартне вибіркове відхилення

Зверніть увагу на те, що в процесі підсумовування квадратів різниць елементи вибірки, що лежать далі від середнього значення, набувають більшої ваги, ніж елементи, що лежать ближче. Ця властивість є основною причиною того, що для оцінки середнього значення розподілу найчастіше використовується середнє арифметичне значення.

Коефіцієнт варіації

На відміну від попередніх оцінок розкиду, коефіцієнт варіації є відносною оцінкою. Він завжди вимірюється у відсотках, а не в одиницях виміру вихідних даних. Коефіцієнт варіації, що позначається символами CV, вимірює розсіювання даних щодо середнього значення. Коефіцієнт варіації дорівнює стандартному відхиленню, поділеній на середнє арифметичне і помноженому на 100%:

де S- стандартне вибіркове відхилення, - вибіркове середнє.

Коефіцієнт варіації дозволяє порівняти дві вибірки, елементи яких виражаються в різних одиницях виміру. Наприклад, керуючий служби доставки кореспонденції має намір оновити парк вантажівок. Під час навантаження пакетів слід враховувати два види обмежень: вага (в фунтах) і обсяг (в кубічних футів) кожного пакета. Припустимо, що у вибірці, що містить 200 пакетів, середня вага дорівнює 26,0 фунтів, стандартне відхилення ваги 3,9 фунтів, середній обсяг пакета 8,8 кубічних футів, а стандартне відхилення обсягу 2,2 кубічних фута. Як порівняти розкид ваги і обсягу пакетів?

Оскільки одиниці виміру ваги і обсягу відрізняються один від одного, керуючий повинен порівняти відносний розкид цих величин. Коефіцієнт варіації ваги дорівнює CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, а коефіцієнт варіації обсягу CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Таким чином, відносний розкид обсягу пакетів набагато більше відносного розкиду їх ваги.

форма розподілу

Третя важлива властивість вибірки - форма її розподілу. Цей розподіл може бути симетричним або асиметричним. Щоб описати форму розподілу, необхідно обчислити його середнє значення і медіану. Якщо ці два показники збігаються, змінна вважається симетрично розподіленої. Якщо середнє значення змінної більше медіани, її розподіл має позитивну асиметрію (рис. 10). Якщо медіана більше середнього значення, розподіл змінної має негативну асиметрію. Позитивна асиметрія виникає, коли середнє значення збільшується до надзвичайно високих значень. Негативна асиметрія виникає, коли середнє значення зменшується до надзвичайно малих значень. Змінна є симетрично розподіленої, якщо вона не приймає ніяких екстремальних значень ні в одному з напрямків, так що великі і малі значення змінної врівноважують один одного.

Мал. 10. Три види розподілів

Дані, зображені на шкалі А, мають негативну асиметрію. На цьому малюнку видно довгий хвіст і перекіс вліво, викликані наявністю незвично малих значень. Ці вкрай малі величини зміщують середнє значення вліво, і воно стає менше медіани. Дані, зображені на шкалі Б, розподілені симетрично. Права та ліва половини розподілу є своїми дзеркальними відображеннями. Великі і малі величини врівноважують один одного, а середнє значення і медіана рівні між собою. Дані, зображені на шкалі В, мають позитивну асиметрію. На цьому малюнку видно довгий хвіст і перекіс вправо, викликані наявністю надзвичайно високих значень. Ці занадто великі величини зміщують середнє значення вправо, і воно стає більше медіани.

В Excel описові статистики можна отримати за допомогою надбудови пакет аналізу. Пройдіть по меню дані → аналіз даних, У вікні, виберіть рядок описова статистикаі натисніть Ok. У вікні описова статистикаобов'язково вкажіть вхідний інтервал(Рис. 11). Якщо ви хочете побачити описові статистики на тому ж аркуші, що і вихідні дані, виберіть перемикач вихідний інтервалі вкажіть клітинку, куди слід помістити лівий верхній кут виведених статистик (в нашому прикладі $ C $ 1). Якщо ви хочете вивести дані на новий лист або в нову книгу, Досить просто вибрати відповідний перемикач. Поставте галочку навпроти Підсумкова статистика. За бажанням також можна вибрати Рівень складності,k-й найменший іk-й найбільший.

Якщо на вкладі данів області аналізу вас не відображається піктограма аналіз даних, Потрібно попередньо встановити надбудову пакет аналізу(Див., Наприклад,).

Мал. 11. Описові статистики п'ятирічної середньорічної прибутковості фондів з дуже високим рівнями ризику, обчислені за допомогою надбудови аналіз данихпрограми Excel

Excel обчислює цілий ряд статистик, розглянутих вище: середня, медіану, моду, стандартне відхилення, дисперсію, розмах ( інтервал), Мінімум, максимум і обсяг вибірки ( рахунок). Крім того, Excel обчислює деякі нові для нас статистики: стандартну помилку, ексцес і асиметричність. стандартна помилкадорівнює стандартному відхиленню, поділеній на квадратний корінь обсягу вибірки. асиметричністьхарактеризує відхилення від симетричності розподілу і є функцією, яка залежить від куба різниць між елементами вибірки і середнім значенням. Ексцес являє собою міру відносної концентрації даних навколо середнього значення в порівнянні з хвостами розподілу і залежить від різниць між елементами вибірки і середнім значенням, зведених в четверту ступінь.

Обчислення описових статистик для генеральної сукупності

Середнє значення, розкид і форма розподілу, розглянуті вище, являють собою характеристики, що визначаються за вибіркою. Однак, якщо набір даних містить числові вимірюваннявсій генеральної сукупності, можна обчислити її параметри. До числа таких параметрів відносяться математичне очікування, дисперсія і стандартне відхилення генеральної сукупності.

Математичне очікуваннядорівнює сумі всіх значень генеральної сукупності, поділеній на обсяг генеральної сукупності:

де µ - математичне очікування, Xi- i-е спостереження змінної X, N- обсяг генеральної сукупності. В Excel для обчислення математичного очікування використовується та ж функція, що і для середнього арифметичного: = СРЗНАЧ ().

Дисперсія генеральної сукупностідорівнює сумі квадратів різниць між елементами генеральної сукупності і мат. очікуванням, поділеній на обсяг генеральної сукупності:

де σ 2- дисперсія генеральної сукупності. В Excel до версії 2007 для обчислення дисперсії генеральної сукупності використовується функція = ДІСПР (), починаючи з версії 2010 = ДІСП.Г ().

Стандартне відхилення генеральної сукупностіодно квадратному кореню, витягнутої з дисперсії генеральної сукупності:

В Excel до версії 2007 для обчислення стандартного відхилення генеральної сукупності використовується функція = СТАНДОТКЛОНП (), починаючи з версії 2010 = СТАНДОТКЛОН.Г (). Зверніть увагу на те, що формули для дисперсії і стандартного відхилення генеральної сукупності відрізняються від формул для обчислення вибіркової дисперсії і стандартного відхилення. При обчисленні вибіркових статистик S 2і Sзнаменник дробу дорівнює n - 1, А при обчисленні параметрів σ 2і σ - обсягом генеральної сукупності N.

емпіричне правило

У більшості ситуацій велика частка спостережень концентрується навколо медіани, утворюючи кластер. У наборах даних, що мають позитивну асиметрію, цей кластер розташований лівіше (тобто нижче) математичного очікування, а в наборах, що мають негативну асиметрію, цей кластер розташований правіше (тобто вище) математичного очікування. У симетричних даних математичне очікування і медіана збігаються, а спостереження концентруються навколо математичного очікування, формуючи дзвіноподібний розподіл. Якщо розподіл не має яскраво вираженої асиметрії, а дані концентруються навколо якогось центру ваги, для оцінки мінливості можна застосовувати емпіричне правило, яке свідчить: якщо дані мають дзвіноподібний розподіл, то приблизно 68% спостережень відстоять від математичного очікування не більше ніж на одне стандартне відхилення, приблизно 95% спостережень відстоять від математичного очікування не більше ніж на два стандартних відхилення і 99,7% спостережень відстоять від математичного очікування не більше ніж на три стандартних відхилення.

Таким чином, стандартне відхилення, що представляє собою оцінку середнього коливання навколо математичного очікування, допомагає зрозуміти, як розподілені спостереження, і ідентифікувати викиди. З емпіричного правила випливає, що для колоколообразний розподілів лише одне значення з двадцяти відрізняється від математичного очікування більше, ніж на два стандартних відхилення. Отже, значення, що лежать за межами інтервалу μ ± 2σ, Можна вважати викидами. Крім того, тільки три з 1000 спостережень відрізняються від математичного очікування більше ніж на три стандартних відхилення. Таким чином, значення, що лежать за межами інтервалу μ ± 3σпрактично завжди є викидами. Для розподілів, що мають сильну асиметрію або не мають колоколообразной форми, можна застосовувати емпіричне правило Бьенаме-Чебишева.

Понад сто років тому математики Бьенаме і Чебишев незалежно один від одного відкрили корисна властивістьстандартного відхилення. Вони виявили, що для будь-якого набору даних, незалежно від форми розподілу, відсоток спостережень, що лежать на відстані не перевищує kстандартних відхилень від математичного очікування, що не менше (1 – 1/ k 2) * 100%.

Наприклад, якщо k= 2, правило Бьенаме-Чебишева говорить, що як мінімум (1 - (1/2) 2) х 100% = 75% спостережень має лежати в інтервалі μ ± 2σ. Це правило справедливо для будь-якого k, Що перевищує одиницю. Правило Бьенаме-Чебишева носить досить загальний характер і справедливо для розподілів будь-якого виду. Воно вказує мінімальну кількість спостережень, відстань від яких до математичного очікування не перевищує заданої величини. Однак, якщо розподіл має колоколообразную форму, емпіричне правило більш точно оцінює концентрацію даних навколо математичного очікування.

Обчислення описових статистик для розподілу на основі частот

Якщо вихідні дані недоступні, єдиним джерелом інформації стає розподіл частот. У таких ситуаціях можна обчислити наближені значення кількісних показників розподілу, таких як середнє арифметичне, стандартне відхилення, квартили.

Якщо вибіркові дані представлені в вигляді розподілу частот, наближене значення середнього арифметичного можна обчислити, припускаючи, що всі значення всередині кожного класу зосереджені в середній точці класу:

де - вибіркове середнє, n- кількість спостережень, або обсяг вибірки, з- кількість класів у розподілі частот, m j- середня точка j-гo класу, fj- частота, відповідна j-му класу.

Для обчислення стандартного відхилення за розподілом частот також передбачається, що всі значення всередині кожного класу зосереджені в середній точці класу.

Щоб зрозуміти, як визначаються квартили ряду на основі частот, розглянемо розрахунок нижнього квартиля на основі даних за 2013 року про розподіл населення Росії за величиною середньодушових грошових доходів (рис. 12).

Мал. 12. Частка населення Росії із середньодушовими грошовими доходами в середньому за місяць, рублів

Для розрахунку першого квартиля інтервального варіаційного ряду можна скористатися формулою:

де Q1 - величина першого квартиля, хQ1 - нижня межа інтервалу, що містить перший квартиль (інтервал визначається по накопиченої частоті, першої перевищує 25%); i - величина інтервалу; Σf - сума частот всієї вибірки; напевно, завжди дорівнює 100%; SQ1-1 - накопичена частота інтервалу, що передує інтервалу, який містить нижній квартиль; fQ1 - частота інтервалу, що містить нижній квартиль. Формула для третього квартиля відрізняється тим, що у всіх місцях замість Q1 потрібно використовувати Q3, а замість ¼ підставити ¾.

У нашому прикладі (рис. 12) нижній квартиль знаходиться в інтервалі 7000,1 - 10 000, накопичена частота якого дорівнює 26,4%. Нижня межа цього інтервалу - 7000 руб., Величина інтервалу - 3000 руб., Накопичена частота інтервалу, що передує інтервалу, який містить нижній квартиль - 13,4%, частота інтервалу, що містить нижній квартиль - 13,0%. Таким чином: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 руб.

Пастки, пов'язані з описовими статистиками

У цій замітці ми розглянули, як описати набір даних за допомогою різних статистик, які оцінюють його середнє значення, розкид і вид розподілу. Наступним етапом є аналіз і інтерпретація даних. До сих пір ми вивчали об'єктивні властивості даних, а тепер переходимо до їх суб'єктивної трактуванні. Дослідника підстерігають дві помилки: невірно обраний предмет аналізу і неправильна інтерпретація результатів.

Аналіз прибутковості 15 взаємних фондів з дуже високим рівнем ризику є цілком об'єктивним. Він привів до абсолютно об'єктивним висновків: всі взаємні фонди мають різну прибутковість, розкид прибутковості фондів коливається від -6,1 до 18,5, а середня прибутковість дорівнює 6,08. Об'єктивність аналізу даних забезпечується правильним виборомсумарних кількісних показників розподілу. Було розглянуто декілька способів оцінки середнього значення і розкиду даних, вказані їх переваги та недоліки. Як же вибрати правильну статистику, що забезпечує об'єктивний та неупереджений аналіз? Якщо розподіл даних має невелику асиметрію, чи слід вибирати медіану, а не середнє арифметичне? Який показник більш точно характеризує розкид даних: стандартне відхилення або розмах? Чи слід вказувати на позитивну асиметрію розподілу?

З іншого боку, інтерпретація даних є суб'єктивним процесом. Різні людиприходять до різних висновків, витлумачуючи одні і ті ж результати. У кожного своя точка зору. Хтось вважає сумарні показники середньорічної прибутковості 15 фондів з дуже високим рівнем ризику хорошими і цілком задоволений отриманим доходом. Іншим може здатися, що ці фонди мають занадто низьку прибутковість. Таким чином, суб'єктивність слід компенсувати чесністю, нейтральністю і ясністю висновків.

етичні проблеми

Аналіз даних нерозривно пов'язаний з етичними питаннями. Слід критично ставитися до інформації, поширюваної газетами, радіо, телебаченням і інтерент. Згодом ви навчитеся скептично ставитися не тільки до результатів, але і до цілям, предмету і об'єктивності досліджень. Найкраще про це сказав відомий британський політик Бенджамін Дізраелі: «Існують три види брехні: брехня, нахабна брехня і статистика».

Як було відзначено в замітці етичні проблеми виникають при виборі результатів, які слід привести в звіті. Слід публікувати як позитивні, так і негативні результати. Крім того, роблячи доповідь або письмовий звіт, результати необхідно викладати чесно, нейтрально і об'єктивно. Слід розрізняти невдалу і нечесну презентації. Для цього необхідно визначити, які були наміри доповідача. Іноді важливу інформацію доповідач пропускає через невігластво, а іноді - навмисне (наприклад, якщо він застосовує середнє арифметичне для оцінки середнього значення явно асиметричних даних, щоб отримати бажаний результат). Нечесно також замовчувати результати, які не відповідають точці зору дослідника.

Використовуються матеріали книги Левін та ін. Статистика для менеджерів. - М .: Вільямс, 2004. - с. 178-209

Функція Квартиль залишена для суміщення з більш ранніми версіями Excel

Отримана шляхом додавання всіх членів числового ряду і ділення суми на число членів. Наприклад, арифметичне значення 7, 20, 152 і 305 дорівнює 484/4 = 121. Однак середня величина не дозволяє судити про розкид чисел. порівняй: середнє геометричне (geometric mean).

Бізнес. Тлумачний словник. - М .: "ИНФРА-М", Видавництво "Всесвіт". Грехем Бетс, Баррі Брайндлі, С. Вільямс і ін. Загальна редакція: Д.е.н. Осадча І.М.. 1998 .

Дивитися що таке "середнє арифметичне значення" в інших словниках: