Розподіл із залишком рішення. Ділення натуральних чисел із залишком: правила, приклади та рішення

Перш ніж ми докладно опишемо всі кроки алгоритму розподілу натуральних чисел із залишком, відповімо на три питання: що нам спочатку відомо, що нам потрібно знайти і виходячи з яких міркувань ми це будемо робити? Спочатку нам відомо ділене a і дільник b. Нам потрібно знайти неповну частку c і залишок d. Рівність a \u003d b · c + d задає зв'язок між діленим, дільником, неповним приватним і залишком. З записаного рівності випливає, що якщо ми уявимо ділене a у вигляді суми b · c + d, в якій d менше, ніж b (так як залишок завжди менше дільника), то ми побачимо і неповну частку c і залишок d.

Залишилося лише розібратися, що ділене a представити у вигляді суми b · c + d. Алгоритм, що дозволяє це зробити, дуже схожий з алгоритмом розподілу натуральних чисел без залишку. Опишемо всі кроки, і одночасно будемо вести рішення прикладу для більшої ясності. Розділимо 899 на 47.

Перші п'ять пунктів алгоритму дозволять уявити ділене у вигляді суми декількох доданків. Потрібно відзначити, що дії з цих пунктів циклічно повторюються знову і знову, поки не будуть знайдені всі складові, що дають в сумі ділене. У заключному шостому пункті отримана сума перетвориться до виду b · c + d (якщо отримана сума вже не буде мати такий вигляд), звідки стають видні шукане неповну частку і залишок.

Отже, приступаємо до подання діленого 899 у вигляді суми декількох доданків.

Спочатку обчислюємо, наскільки кількість знаків у записі діленого більше, ніж кількість знаків у записі подільника, і запам'ятовуємо це число.

У нашому прикладі в запису діленого 3 знаки (899 - тризначне число), а в запису подільника - два знака (47 - двозначне число), отже, в запису діленого на один знак більше, і ми запам'ятовуємо число 1.

Тепер в запису подільника справа дописуємо цифри 0 в кількості, що визначається числом, отриманим в попередньому пункті. При цьому якщо записане число буде більше діленого, то з того, що запам'ятав в попередньому пункті числа потрібно відняти 1.

Повертаємося до нашого прикладу. У записі подільника 47 дописуємо справа одну цифру 0, і отримуємо число 470. Так як 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Після цього до цифри 1 справа приписуємо цифри 0 в кількості, що визначається числом, після успішної реєстрації в попередньому пункті. При цьому отримуємо одиницю розряду, з яким ми будемо працювати далі.

У нашому прикладі до цифри 1 приписуємо 1 цифру 0, при цьому отримуємо число 10, тобто, ми будемо працювати з розрядом десятків.

Тепер послідовно множимо дільник на 1, 2, 3, ... одиниці робочого розряду до того моменту, поки не отримаємо число, яка дорівнює або перевищує делимому.

Ми з'ясували, що в нашому прикладі робочим розрядом є розряд десятків. Тому ми спочатку множимо дільник на одну одиницю розряду десятків, тобто, множимо 47 на 10, отримуємо 47 · 10 \u003d 470. Отримане число 470 менше діленого 899, тому переходимо до множення дільника на дві одиниці розряду десятків, тобто 47 множимо на 20. Маємо 47 · 20 \u003d 940. Ми отримали число, яке більше, ніж 899.

Число, отримане на передостанньому кроці при послідовному збільшенні, є першим з шуканих доданків.

В аналізованому прикладі шуканим складовою є число 470 (це число дорівнює добутку 47 · 100, це рівність ми використовуємо пізніше).

Після цього знаходимо різницю між діленим і першим знайденим складовою. Якщо отримане число більше дільника, то приступаємо до знаходження другого доданка. Для цього повторюємо всі описані кроки алгоритму, але вже в якості діленого приймаємо отримане тут число. Якщо в цьому пункті знову виходить число, більше дільника, то приступаємо до знаходження третього доданка, ще раз повторюючи кроки алгоритму, прийнявши отримане число в якості діленого. І так діємо далі, знаходячи четверте, п'яте і наступні складові, поки отримане в цьому пункті число не буде менше дільника. Як тільки це сталося, то отримане тут число приймаємо в якості останнього шуканого доданка (забігаючи наперед, скажемо, що воно дорівнює залишку), і переходимо до завершального етапу.

Повертаємося до нашого прикладу. На цьому кроці маємо 899-470 \u003d 429. Так як 429\u003e 47, то приймаємо це число як діленого і повторюємо з ним всі етапи алгоритму.

У записі числа 429 на один знак більше, ніж в запису числа 47, тому, запам'ятовуємо число 1.

Тепер в запису діленого справа дописуємо одну цифру 0, отримуємо число 470, яке більше числа 429. Тому, з запомненного в попередньому пункті числа 1 віднімаємо 1, отримуємо число 0, яке і запам'ятовуємо.

Так як в попередньому пункті ми запам'ятали число 0, то до цифри 1 не потрібно справа приписувати жодної цифри 0. При цьому маємо число 1, тобто, робочим розрядом є розряд одиниць.

Тепер послідовно множимо дільник 47 на 1, 2, 3, ... Не будемо зупинятися на цьому докладно. Скажемо лише, що 47 · 9 \u003d 423<429 , а 47·10=470>429. Другим шуканим складовою є число 423 (що дорівнює 47 · 9, що ми використовуємо далі).

Різниця між 429 і 423 дорівнює 6. Це число менше, ніж дільник 47, тому воно є третім (і останнім) шуканим складовою. Тепер ми можемо переходити до завершального етапу.

Ну ось ми і підійшли до заключного етапу. Всі попередні дії були спрямовані на те, щоб представити ділене у вигляді суми декількох доданків. Тепер отриману суму залишилося перетворити до виду b · c + d. З цим завданням нам допоможе впоратися розподільна властивість множення щодо складання. Після цього стане видно шукане неповну частку і залишок.

У нашому прикладі ділене 899 дорівнює сумі трьох доданків 470, 423 і 6. Суму 470 + 423 + 6 можна переписати у вигляді 47 · 10 + 47 · 9 + 6 (пам'ятаєте, ми звертали увагу на рівності 470 \u003d 47 · 10 і 423 \u003d 47 · 9). Тепер застосовуємо властивість множення натурального числа на суму, при цьому отримуємо 47 · 10 + 47 · 9 + 6 \u003d 47 · (10 + 9) + 6 \u003d 47 · 19 + 6. Таким чином, ділене перетворено до потрібного нам вигляду 899 \u003d 47 · 19 + 6, звідки легко знаходиться неповну частку 19 і залишок 6.

Отже, 899: 47 \u003d 19 (ост. 6).

Звичайно ж, при вирішенні прикладів Ви не будете настільки детально описувати процес ділення із залишком.

Прочитайте тему уроку: «Ділення з остачею». Що ви вже знаєте по цій темі?

Чи можете ви розкласти 8 слив порівну на дві тарілки (рис. 1)?

Мал. 1. Ілюстрація до прикладу

У кожну тарілку можна покласти по 4 сливи (рис. 2).

Мал. 2. Ілюстрація наприклад

Дія, яке ми виконали, можна записати так.

8: 2 = 4

Як ви думаєте, чи можна 8 слив порівну розкласти на 3 тарілки (рис. 3)?

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Будемо діяти так. Спочатку в кожну тарілку покладемо по одній сливі, потім по другій зливі. У нас залишиться 2 сливи, але 3 тарілки. Значить, далі порівну ми розкласти не можемо. Ми поклали в кожну тарілку по 2 сливи, і 2 сливи у нас залишилося (рис. 4).

Мал. 4. Ілюстрація наприклад

Продовжимо спостереження.

Прочитайте числа. Серед даних чисел знайдіть ті, які діляться на 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Перевірте себе.

Решта числа (11, 13, 14, 16, 17, 19) на 3 не діляться, або говорять «Діляться із залишком».

Знайдемо значення приватного.

Дізнаємося, скільки разів по 3 міститься в числі 17 (рис. 5).

Мал. 5. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що помістилося по 3 овалу 5 разів і 2 овалу залишилося.

Виконану дію можна записати так.

17: 3 \u003d 5 (ост. 2)

Можна записати і в стовпчик (рис. 6)

Мал. 6. Ілюстрація наприклад

Розгляньте малюнки. Поясніть підписи до цих малюнках (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація наприклад

Розглянемо перший малюнок (рис. 8).

Мал. 8. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що 15 овалів розділили по 2. По 2 повторилося 7 разів, в залишку - 1 овал.

Розглянемо другий малюнок (рис. 9).

Мал. 9. Ілюстрація наприклад

На цьому малюнку 15 квадратів розділили по 4. За 4 повторилося 3 рази, в залишку - 3 квадрата.

Розглянемо третій малюнок (рис. 10).

Мал. 10. Ілюстрація до прикладу

Можна сказати, що 15 овалів розділили по 3. За 3 повторилося 5 разів порівну. У таких випадках кажуть, що залишок - 0.

Виконаємо поділ.

Сім квадратів розділимо по три. Отримаємо дві групи, і один квадрат залишиться. Запишемо рішення (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до прикладу

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів за чотири міститься в числі 10. Бачимо, що в числі 10 по чотири міститься 2 рази і 2 квадрата залишаються. Запишемо рішення (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до прикладу

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів за два міститься в числі 11. Бачимо, що в числі 11 по два міститься 5 разів і 1 квадрат залишається. Запишемо рішення (рис. 13).

Мал. 13. Ілюстрація до прикладу

Зробимо висновок. Розділити із залишком - значить дізнатися, скільки разів дільник міститься в подільному і скільки одиниць залишиться.

Розподіл із залишком можна виконати і на числовому промені.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділу і побачимо, що за три ділення виявилося три рази і одну поділку залишилося (рис. 14).

Мал. 14. Ілюстрація до прикладу

Запишемо рішення.

10: 3 \u003d 3 (ост.1)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділу і побачимо, що за три ділення виявилося три рази і два ділення залишилося (рис. 15).

Мал. 15. Ілюстрація до прикладу

Запишемо рішення.

11: 3 \u003d 3 (ост.2)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділу і побачимо, що отримали рівно 4 рази, залишок відсутній (рис. 16).

Мал. 16. Ілюстрація до прикладу

Запишемо рішення.

12: 3 = 4

Сьогодні на уроці ми познайомилися з розподілом із залишком, навчилися виконувати назване дію за допомогою малюнка і числового променя, потренувалися в рішенні прикладів по темі уроку.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 1. - М .: «Просвещение», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 2. - М .: «Просвещение», 2012.
3. М.І. Моро. Уроки математики: Методичні рекомендації для вчителя. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль і оцінка результатів навчання. - М .: «Просвещение», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. - М .: «Просвещение», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: перевірочні роботи. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницька. Тести. - М .: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Випиши числа, які діляться на 2 без залишку.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Виконай ділення з залишком за допомогою малюнка.

3. Виконай ділення з залишком за допомогою числового променя.

4. Склади завдання для своїх товаришів по темі уроку.

Розподіл із залишком - це поділ одного числа на інше, при якому залишок не дорівнює нулю.

Виконати розподіл не завжди можливо, тому що бувають випадки, коли одне число не ділиться на інше. Наприклад, число 11 не ділиться на 3, так як немає такого натурального числа, при множенні якого на 3 вийшло б 11.

Коли поділ неможливо виконати домовилися ділити не все ділене, а тільки найбільшу його частину, яка тільки може розділитися на дільник. В даному прикладі найбільша частина діленого, яка може бути розділена на 3 - це 9 (в результаті отримаємо 3), що залишилася менша частина діленого - 2 цієї статті не розділиться на 3.

Говорячи про розподіл 11 на 3, 11 як і раніше називається діленим, 3 - дільником, результат ділення - число 3, називають неповним приватним, А число 2 - залишком від ділення. Саме розподіл в цьому випадку називають розподілом із залишком.

Неповним приватним називають найбільше число, Яке при множенні на дільник дає твір, що не перевершує діленого. Різниця між діленим і цим твором називають залишком. Залишок завжди менше дільника, інакше його теж можна було б поділити на дільник.

Розподіл із залишком можна записувати так:

11: 3 \u003d 3 (залишок 2)

Якщо при розподілі одного натурального числа на інше в залишку виходить 0, то говорять, що перше число ділиться на друге остачі. Наприклад, 4 ділиться на 2 без остачі. Число 5 не ділиться на 2 без остачі. Слово без остачі зазвичай опускають для стислості і кажуть: таке-то число ділиться на інше, наприклад: 4 ділиться на 2, а 5 не ділиться на 2.

Перевірка ділення з залишком

Перевірити результат ділення із залишком можна в такий спосіб: Неповне приватне помножити на дільник (або навпаки) і до отриманого добутку додати залишок. Якщо в результаті вийде число, рівне делимому, то розподіл із залишком зроблено вірно:

11: 3 \u003d 3 (залишок 2)

У цій статті ми уважно розглянемо розподіл із залишком. Почнемо з загального уявлення про цю дію, далі з'ясуємо сенс поділу натуральних чисел із залишком, І введемо необхідні терміни. Потім окреслимо коло завдань, що вирішуються за допомогою ділення натуральних чисел із залишком. У висновку зупинимося на всіляких зв'язках між діленим, дільником, неповним приватним і залишком від ділення.

Навігація по сторінці.

відповідь:

Ділене одно 79.

Слід також зазначити, що перевірка результату ділення натуральних чисел із залишком здійснюється перевіркою справедливості отриманого рівності a \u003d b · c + d.

Знаходження залишку, якщо відомо ділене, дільник і неповну частку

За своїм змістом залишок d - це та кількість елементів, яке залишається в вихідному безлічі після виключення з його a елементів b раз по c елементів. Отже, в силу сенсу множення натуральних чисел і сенсу віднімання натуральних чисел справедливо рівність d \u003d a-b · c . Таким чином, залишок d від ділення натурального числа a на натуральне число b дорівнює різниці діленого a і твори подільника b на неповну частку c.

Отримана зв'язок d \u003d a-b · c дозволяє знаходити залишок, коли відомо ділене, дільник і неповну частку. Розглянемо рішення прикладу.

Як навчити дитину поділу? Найпростіший метод - вивчити розподіл стовпчиком. Це набагато простіше, ніж проводити обчислення в розумі, допомагає не заплутатися, не "втратити" цифри і виробити уявну схему, яка в подальшому буде спрацьовувати автоматично.

Вконтакте

як проводиться

Розподіл із залишком - це спосіб, при якому число не можна розділити рівно на кілька частин. В результаті даного математичного дії, крім цілої частини, залишається неподільний шматок.

Наведемо простий приклад того, як ділити з залишком:

Є банку на 5 літрів води і 2 банки по 2 літри. Коли з п'яти літрової банки воду переливають в дволітрові, в п'ятилітрової залишиться 1 літр не використаною води. Це і є залишок. У цифровому варіанті це виглядає так:

5: 2 \u003d 2 ост (1). Звідки 1? 2х2 \u003d 4, 5-4 \u003d 1.

Тепер розглянемо порядок розподілу в стовпчик із залишком. Це візуально полегшує процес розрахунку і допомагає не втратити числа.

Алгоритм визначає розташування всіх елементів і послідовність дій, по якій відбувається обчислення. Як приклад, розділимо 17 на 5.

Основні етапи:

1. Правильний запис. Ділене (17) - розташовується по ліву сторону. Праворуч від діленого пишуть дільник (5). Між ними проводять вертикальну риску (позначає знак ділення), а потім, від цієї риси проводять горизонтальну, підкреслюючи дільник. Основні риси позначена оранжевим кольором.
2. Пошук цілого. Далі, проводять перший і найпростіший розрахунок - скільки подільників уміщається в подільному. Скористаємося таблицею множення і перевіримо по порядку: 5 * 1 \u003d 5 - поміщається, 5 * 2 \u003d 10 - поміщається, 5 * 3 \u003d 15 - поміщається, 5 * 4 \u003d 20 - не поміщається. П'ять разів по чотири - більше ніж сімнадцять, значить, четверта п'ятірка не вміщається. Повертаємося до трьох. У 17 літрову банку влізе 3 п'ятилітрових. Записуємо результат в форму: 3 пишемо під рискою, під дільником. 3 - це неповна частка.
3. Визначення залишку. 3 * 5 \u003d 15. 15 записуємо під діленим. Підводимо риску (позначає знак «\u003d»). Віднімаємо з діленого отримане число: 17-15 \u003d 2. Записуємо результат нижче під рискою - в стовпчик (звідси і назва алгоритму). 2 - це залишок.

Зверніть увагу! При розподілі таким чином, залишок завжди повинен бути менше дільника.

Коли дільник більше діленого

Викликають утруднення випадки, коли дільник виходить більше діленого. десяткові дроби в програмі за 3 клас ще не вивчаються, але, слідуючи логіці, відповідь треба записувати у вигляді дробу - в кращому випадку десяткової, в гіршому - простий. Але (!) Крім програми, методику обчислення обмежує поставлена \u200b\u200bзадача: Необхідно не розділити, а знайти залишок! частина ним не є! Як вирішити таку задачу?

Зверніть увагу! Існує правило для випадків, коли дільник більше діленого: неповна частка дорівнює 0, залишок дорівнює делимому.

Як розділити число 5 на число 6, виділивши залишок? Скільки 6-літрових банок влізе в п'ятилітрову? , Тому що 6 більше 5.

За завданням необхідно заповнити 5 літрів - не заповнено жодного. Значить, залишилися всі 5. Відповідь: неповна частка \u003d 0, залишок \u003d 5.

Розподіл починають вивчати в третьому класі школи. До цього часу учні вже повинні, що дозволяє їм здійснювати розподіл двозначних чисел на однозначні.

Вирішіть задачу: 18 цукерок потрібно роздати п'ятьом дітям. Скільки цукерок залишиться?

приклади:

Знаходимо неповну частку: 3 * 1 \u003d 3, 3 * 2 \u003d 6, 3 * 3 \u003d 9, 3 * 4 \u003d 12, 3 * 5 \u003d 15. 5 - перебір. Повертаємося до 4.

Залишок: 3 * 4 \u003d 12, 14-12 \u003d 2.

Відповідь: неповна частка 4, залишилося 2.

Ви можете запитати, чому при розподілі на 2, залишок або дорівнює 1, або 0. По таблиці множення, між цифрами, кратними двом існує різниця в одиницю.

Ще одне завдання: 3 пиріжка треба розділити на двох.

4 пиріжка розділити на двох.

5 пиріжків розділити на двох.

Робота з багатозначними числами

Програма за 4 клас пропонує більш складний процес проведення поділу зі збільшенням розрахункових чисел. Якщо в третьому класі розрахунки проводилися на основі базової таблиці множення в межах від 1 до 10, то четверокласники обчислення проводять з багатозначними числами більше 100.

Дана дія найзручніше виконувати в стовпчик, так як неповна частка також буде двозначним числом (в більшості випадків), а алгоритм стовпчика полегшує обчислення і робить їх більш наочними.

розділимо багатозначні числа на двозначні: 386:25

Даний приклад відрізняється від попередніх кількістю рівнів розрахунку, хоча обчислення проводять за тим же принципом, що і раніше. Розглянемо докладніше:

386 - ділене, 25 - дільник. Необхідно знайти неповну частку і виділити залишок.

Перший рівень

Дільник - двозначне число. Ділене - тризначне. Виділяємо у діленого перші дві ліві цифри - це 38. Порівнюємо їх з подільником. 38 більше 25? Так, значить, 38 можна розділити на 25. Скільки цілих 25 входить в 38?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50. 50 більше 38, повертаємося на один крок назад.

Відповідь - 1. Записуємо одиницю в зону неповного приватного.

38-25 \u003d 13. Записуємо число 13 під рискою.

другий рівень

13 більше 25? Ні - значить можна «опустити» цифру 6 вниз, дописавши її поруч з 13, праворуч. Вийшло 136. 136 більше 25? Так - значить можна його відняти. Скільки разів 25 поміститися в 136?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50, 25 * 3 \u003d 75, 25 * 4 \u003d 100, 25 * 5 \u003d 125, 256 * \u003d 150. 150 більше 136 - повертаємося назад на один крок. Записуємо цифру 5 в зону неповного приватного, праворуч від одиниці.

Обчислюємо залишок:

136-125 \u003d 11. Записуємо під рискою. 11 більше 25? Ні - розподіл провести не можна. У діленого залишилися цифри? Ні - ділити більше нічого. Обчислення закінчено.

відповідь: неповна частка дорівнює 15, в залишку 11.

А якщо буде запропоновано такий розподіл, коли двозначний дільник більше перших двох цифр багатозначного діленого? В такому випадку, третя (четверта, п'ята і наступна) цифра діленого бере участь в обчисленнях відразу.

Наведемо приклади на розподіл з трьох-і чотиризначних числами:

75 - двозначне число. 386 - тризначне. Порівнюємо перші дві цифри зліва з подільником. 38 більше 75? Ні - розподіл провести не можна. Беремо все 3 цифри. 386 більше 75? Так - розподіл провести можна. Проводимо обчислення.

75 * 1 \u003d 75, 75 * 2 \u003d 150, 75 * 3 \u003d 225, 75 * 4 \u003d 300, 75 * 5 \u003d 375, 75 * 6 \u003d 450. 450 більше 386 - повертаємося на крок назад. Записуємо 5 в зону неповного приватного.

Знаходимо залишок: 386-375 \u003d 11. 11 більше 75? Ні. Ще залишилися цифри у діленого? Ні. Обчислення закінчено.

відповідь: неповна частка \u003d 5, в залишку - 11.

Виконуємо перевірку: 11 більше 35? Ні - розподіл провести не можна. Підставляємо третє число - 119 більше 35? Так - дія провести можемо.

35 * 1 \u003d 35, 35 * 2 \u003d 70, 35 * 3 \u003d 105, 35 * 4 \u003d 140. 140 більше 119 - повертаємося на один крок назад. Записуємо 3 в зону неповного залишку.

Знаходимо залишок: 119-105 \u003d 14. 14 більше 35? Ні. Залишилися цифри у діленого? Ні. Обчислення закінчено.

відповідь: неповна частка \u003d 3, залишилося - 14.

Перевіряємо: 11 більше 99? Ні - підставляємо ще одну цифру. 119 більше 99? Так - починаємо обчислення.

11<99, 119>99.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198 - перебір. Записуємо 1 в неповну частку.

Знаходимо залишок: 119-99 \u003d 20. 20<99. Опускаем 5. 205>99. Обчислюємо.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198, 99 * 3 \u003d 297. Перебір. Записуємо 2 в неповну частку.

Знаходимо залишок: 205-198 \u003d 7.

відповідь: неповна частка \u003d 12, залишок - 7.

Розподіл із залишком - приклади

Вчимося ділити в стовпчик із залишком

висновок

Таким чином проводяться обчислення. Якщо бути уважним і виконувати правила, то нічого складного тут не буде. Кожен школяр може навчитися множити в стовпчик, тому що це швидко і зручно.