Потенційна енергія тіл, що взаємодіють за допомогою гравітаційних сил. Referat

Якщо на систему діють лише консервативні сили, то можна для неї ввести поняття потенційної енергії. Яке-небудь довільне становище системи, що характеризується завданням координат її матеріальних точок, умовно приймемо за нульове. Робота, що здійснюється консервативними силами при переході системи з положення в нульове, називається потенційною енергією системиу першому положенні

Робота консервативних сил залежить від шляху переходу, тому потенційна енергія системи при фіксованому нульовому становищі залежить лише від координат матеріальних точок системи в положенні. Іншими словами, Потенційна енергія системи U є функцією лише її координат.

Потенційна енергія системи визначена не однозначно, а з точністю до постійної постійної.Це свавілля неспроможна позначиться на фізичних висновках, оскільки хід фізичних явищ може залежати немає від абсолютних значень самої потенційної енергії, лише від її різниці у різних станах. Ці ж різницю від вибору довільної постійної не залежать.

Нехай система перейшла з положення 1 в положення 2 по якомусь шляху 12 (рис. 3.3). Роботу А 12 , здійснену консервативними силами при такому переході, можна виразити через потенційні енергії U 1 та U 2 у станах 1 і 2 . З цією метою уявимо, що перехід здійснено через положення, тобто по шляху 1О2. Оскільки сили консервативні, то А 12 = А 1О2 = А 1О + АО2 = А 1О – А 2О. За визначенням потенційної енергії U 1 = A 1 O , U 2 = A 2 O . Таким чином,

A 12 = U 1 – U 2 , (3.10)

т. е. робота консервативних сил дорівнює втраті потенційної енергії системи.

Та ж робота А 12 , як було показано раніше (3.7), може бути виражена через збільшення кінетичної енергії за формулою

А 12 = До 2 – До 1 .

Прирівнюючи їх праві частини, отримаємо До 2 – До 1 = U 1 – U 2 , звідки

До 1 + U 1 = До 2 + U 2 .

Сума кінетичної та потенційної енергії системи називається її повною енергією Е. Таким чином, Е 1 = Е 2 , або

Eº K+U= const. (3.11)

У системі з одним лише консервативними силами повна енергія залишається незмінною. Можуть відбуватися лише перетворення потенційної енергії на кінетичну і назад, але повний запас енергії системи змінитися не може. Це положення називається законом збереження енергії у механіці.

Обчислимо потенційну енергію у деяких найпростіших випадках.

а) Потенційна енергія тіла у однорідному полі тяжкості.Якщо матеріальна точка, що знаходиться на висоті h, впаде на нульовий рівень (тобто рівень, для якого h= 0), то сила тяжіння зробить роботу A = mgh. Тому на висоті hматеріальна точка має потенційну енергію U = mgh + C, де З- Адитивна постійна. За нульовим можна прийняти довільний рівень, наприклад, рівень підлоги (якщо досвід проводиться в лабораторії), рівень моря тощо. Здорівнює потенційній енергії на нульовому рівні. Вважаючи її рівною нулю, отримаємо

U = mgh. (3.12)

б) Потенційна енергія розтягнутої пружини.Пружні сили, що виникають при розтягуванні чи стисненні пружини, є центральними силами. Тому вони консервативні, і має сенс говорити про потенційну енергію деформованої пружини. Її називають пружною енергією. Позначимо через х розтягнення пружини,Т. е. різниця x = l – l 0 довжин пружини в деформованому та недеформованому станах. Пружна сила Fзалежить лише від розтягування. Якщо розтягування xне дуже велике, то вона пропорційна йому: F = - kx(Закон Гука). При поверненні пружини з деформованого до недеформованого стану сила Fздійснює роботу

Якщо пружну енергію пружини в недеформованому стані умовитися вважати рівною нулю, то

в) Потенційна енергія гравітаційного тяжіння двох матеріальних точок.За законом всесвітнього тяжіння Ньютона гравітаційна сила тяжіння двох точкових тіл пропорційна добутку їх мас Mmі обернено пропорційна квадрату відстані між ними:

де G – гравітаційна постійна.

Сила гравітаційного тяжіння, як центральна сила, є консервативною. Для неї має сенс говорити про потенційну енергію. При обчисленні цієї енергії одну з мас, наприклад М, можна вважати нерухомою, а іншу – що переміщається у її гравітаційному полі. При переміщенні маси mз нескінченності гравітаційні сили здійснюють роботу

де r- Відстань між масами Мі mу кінцевому стані.

Ця робота дорівнює спаду потенційної енергії:

Зазвичай потенційну енергію у нескінченності U¥ приймають рівною нулю. За такої угоди

Розмір (3.15) негативна. Це має просте пояснення. Максимальну енергію маси, що притягуються, мають при нескінченній відстані між ними. У цьому становищі потенційна енергія вважається рівною нулю. У будь-якому іншому положенні вона менша, тобто негативна.

Допустимо тепер, що у системі поруч із консервативними силами діють також диссипативні сили. Робота всіх сил А 12 при переході системи з положення 1 в положення 2 по - колишньому дорівнює приросту її кінетичної енергії До 2 – До 1 . Але в даному випадку цю роботу можна представити у вигляді суми роботи консервативних сил і роботи диссипативних сил. Перша робота може бути виражена через спад потенційної енергії системи: Тому

Прирівнюючи цей вислів до збільшення кінетичної енергії, отримаємо

де E = K + U- Повна енергія системи. Таким чином, у даному випадку механічна енергія Есистеми не залишається постійною, а зменшується, оскільки робота дисипативних сил є негативною.

> Гравітаційна потенційна енергія

Що таке гравітаційна енергія:потенційна енергія гравітаційної взаємодії, формула для гравітаційної енергії та закон всесвітнього тяжіння Ньютона.

Гравітаційна енергія- Потенційна енергія, пов'язана з гравітаційною силою.

Завдання навчання

• Обчислити гравітаційну потенційну енергію двох мас.

Основні пункти

Терміни

• Потенційна енергія – енергія об'єкта у його позиції чи хімічному стані.
• Затон тяжіння Ньютона – кожна точкова вселенська маса притягує іншу за допомогою сили, що виступає прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату їх дистанції.
• Сила тяжіння – результуюча сила наземної поверхні, що притягує об'єкти до центру. Створюється обертанням.

Приклад

Якою буде гравітаційна потенційна енергія 1-кілограмової книги на висоті 1 м? Оскільки положення встановлено близько до земної поверхні, гравітаційне прискорення буде постійним (g = 9.8 м/с 2 ), а енергія гравітаційного потенціалу (mgh) досягає 1 кг 1 м 9.8 м/с 2 . Це можна простежити і у формулі:

Якщо додати масу та земний радіус.

Гравітаційна енергія відображає собою потенційну, пов'язану із силою гравітації, тому що необхідно подолати земне тяжіння, щоб виконати роботу над підняттям предметів. Якщо об'єкт падає від однієї точки до іншої всередині гравітаційного поля, то сила тяжкості виконає позитивну роботу, а потенційна гравітаційна енергія зменшиться на ту ж величину.

Допустимо, у нас є книга, залишена на столі. Коли ми переносимо її із підлоги на вершину столу, певне зовнішнє втручання працює проти гравітаційної сили. Якщо ж вона впаде, це робота гравітації. Тому процес падіння відображає потенційну енергію, що прискорює масу книги і трансформується в кінетичну. Як тільки книга торкнеться статі, кінетична енергія стане теплом та звуком.

На гравітаційну потенційну енергію впливають висота щодо конкретної точки, маса та сила гравітаційного поля. Так що книга на столі поступається за гравітаційною потенційною енергією більш важкої книги, розташованої нижче. Запам'ятайте, що висота не може застосовуватися для обчислення гравітаційної потенційної енергії, якщо гравітація не є постійною.

Локальне наближення

На силу гравітаційного поля впливає розташування. Якщо зміна дистанції незначна, то їх можна знехтувати, а силу тяжкості зробити постійною (g = 9.8 м/с 2). Тоді обчислення використовуємо просту формулу: W = Fd. Висхідна сила прирівнюється до ваги, тому робота співвідноситься з mgh, що виливаються у формулі: U = mgh (U – потенційна енергія, m – маса об'єкта, g – прискорення сили тяжіння, h – висота об'єкта). Значення виявляється у джоулях. Зміна потенційної енергії передається як

Загальна формула

Однак, якщо ми стикаємося з серйозними змінами на дистанції, то g не може залишатися постійною і доводиться застосовувати обчислення та математичне визначення роботи. Щоб розрахувати потенційну енергію можна інтегрувати гравітаційну силу щодо дистанції між тілами. Тоді отримаємо формулу гравітаційної енергії:

U = -G + K, де К - стала інтегрування і прирівнюється до нуля. Тут потенційна енергія перетворюється на нуль, коли r – нескінченна.

Енергієюназивається скалярна фізична величина, що є єдиною мірою різних форм руху матерії та мірою переходу руху матерії з одних форм до інших.

Для характеристики різних форм руху матерії вводяться відповідні види енергії, наприклад: механічна, внутрішня, електростатична енергія, внутрішньоядерних взаємодій та ін.

Енергія підпорядковується закону збереження, що є одним із найважливіших законів природи.

Механічна енергія Е характеризує рух та взаємодію тіл і є функцією швидкостей та взаємного розташування тіл. Вона дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії.

Кінетична енергія

Розглянемо випадок, коли на тіло масою mдіє постійна сила \(~\vec F\) (вона може бути рівнодією декількох сил) і вектори сили \(~\vec F\) і переміщення \(~\vec s\) спрямовані вздовж однієї прямої в одну сторону. У цьому випадку роботу сили можна визначити як A = F∙s. Модуль сили за другим законом Ньютона дорівнює F = m∙a, а модуль переміщення sпри рівноприскореному прямолінійному русі пов'язаний з початковими модулями υ 1 та кінцевої υ 2 швидкості та прискорення авиразом \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

Звідси для роботи отримуємо

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)

Фізична величина, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості, називається кінетичною енергією тіла.

Кінетична енергія позначається буквою E k.

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

Тоді рівність (1) можна записати у такому вигляді:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\). (3)

Теорема про кінетичну енергію

робота рівнодіючої сил, прикладених до тіла, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.

Оскільки зміна кінетичної енергії дорівнює роботі сили (3), кінетична енергія тіла виявляється у тих самих одиницях, як і робота, т. е. в джоулях.

Якщо початкова швидкість руху тіла масою mдорівнює нулю і тіло збільшує свою швидкість до значення υ , то робота сили дорівнює кінцевому значенню кінетичної енергії тіла:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

Фізичний сенс кінетичної енергії

кінетична енергія тіла, що рухається зі швидкістю υ, показує, яку роботу повинна здійснити сила, що діє на тіло, що спочиває, щоб повідомити йому цю швидкість.

Потенціальна енергія

Потенціальна енергія- Це енергія взаємодії тіл.

Потенційна енергія піднятого над Землею тіла – це енергія взаємодії тіла та Землі гравітаційними силами. Потенційна енергія пружно деформованого тіла – це енергія взаємодії окремих частин тіла між собою силами пружності.

Потенційниминазиваються сили, робота яких залежить тільки від початкового і кінцевого становища матеріальної точки, що рухається, або тіла і не залежить від форми траєкторії.

При замкнутій траєкторії робота потенційної сили завжди дорівнює нулю. До потенційних сил відносяться сили тяжіння, сили пружності, електростатичні сили та деякі інші.

Сили, робота яких залежить від форми траєкторії, називаються непотенційними. При переміщенні матеріальної точки або тіла по замкнутій траєкторії робота непотенційної сили не дорівнює нулю.

Потенційна енергія взаємодії тіла із Землею

Знайдемо роботу, яку виконує сила тяжіння Fт при переміщенні тіла масою mвертикально вниз з висоти h 1 над поверхнею Землі до висоти h 2 (рис. 1). Якщо різниця h 1 – h 2 незначно мала в порівнянні з відстанню до центру Землі, то силу тяжіння Fт під час руху тіла можна вважати постійною та рівною mg.

Оскільки переміщення збігається у напрямку з вектором сили тяжіння, робота сили тяжіння дорівнює

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)

Розглянемо тепер рух тіла по похилій площині. При переміщенні тіла вниз по похилій площині сила тяжіння (рис. 2) Fт = m∙gздійснює роботу

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

де h- Висота похилої площини, s– модуль переміщення, що дорівнює довжині похилої площини.

Рух тіла з точки Вв точку Зпо будь-якій траєкторії (рис. 3) можна подумки уявити, що складається з переміщень по ділянках похилих площин з різними висотами h’, h'' і т. д. Робота Асили тяжіння на всьому шляху з Вв Здорівнює сумі робіт на окремих ділянках колії:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) , (7)

де h 1 та h 2 – висоти від поверхні Землі, на яких розташовані відповідно точки Ві З.

Рівність (7) показує, що робота сили тяжіння не залежить від траєкторії руху тіла і завжди дорівнює добутку модуля сили тяжіння на різницю висот у початковому та кінцевому положеннях.

При русі вниз робота сили тяжіння позитивна, під час руху вгору – негативна. Робота сили тяжіння на замкнутій траєкторії дорівнює нулю.

Рівність (7) можна представити у такому вигляді:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

Фізичну величину, рівну добутку маси тіла на модуль прискорення вільного падіння та на висоту, на яку піднято тіло над поверхнею Землі, називають потенційною енергієювзаємодії тіла та Землі.

Робота сили тяжіння при переміщенні тіла масою mз точки, розташованої на висоті h 2 в точку, розташовану на висоті h 1 від поверхні Землі, по будь-якій траєкторії дорівнює зміні потенційної енергії взаємодії тіла та Землі, взятому з протилежним знаком.

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)

Потенційна енергія позначається буквою Е p.

Значення потенційної енергії тіла, піднятого над Землею, залежить від вибору нульового рівня, тобто висоти, де потенційна енергія приймається рівної нулю. Зазвичай приймають, що потенційна енергія тіла лежить на поверхні Землі дорівнює нулю.

За такого вибору нульового рівня потенційна енергія Е p тіла, що знаходиться на висоті hнад поверхнею Землі, що дорівнює добутку маси m тіла на модуль прискорення вільного падіння gта відстань hйого від поверхні Землі:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

Фізичний сенс потенційної енергії взаємодії тіла із Землею

потенційна енергія тіла, на яке діє сила тяжіння, дорівнює роботі, що здійснюється силою тяжіння при переміщенні тіла на нульовий рівень.

На відміну від кінетичної енергії поступального руху, яка може мати лише позитивні значення, потенційна енергія тіла може бути як позитивною, і негативною. Тіло масою m, що знаходиться на висоті h, де h < h 0 (h 0 – нульова висота), має негативну потенційну енергію:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

Потенційна енергія гравітаційної взаємодії

Потенційна енергія гравітаційної взаємодії системи двох матеріальних точок із масами mі М, що знаходяться на відстані rодна від одної, рівна

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (11)

де G– гравітаційна постійна, а нуль відліку потенційної енергії ( Е p = 0) прийнятий за r = ∞.

Потенційна енергія гравітаційної взаємодії тіла масою mіз Землею, де h- Висота тіла над поверхнею Землі, M e – маса Землі, R e – радіус Землі, а нуль відліку потенційної енергії обраний при h = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

За тієї ж умови вибору нуля відліку потенційна енергія гравітаційної взаємодії тіла масою mіз Землею для малих висот h (h « R e) дорівнює

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

де \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) - модуль прискорення вільного падіння поблизу поверхні Землі.

Потенційна енергія пружно деформованого тіла

Обчислимо роботу, що чиниться силою пружності при зміні деформації (подовження) пружини від деякого початкового значення x 1 до кінцевого значення x 2 (рис. 4, б, в).

Сила пружності змінюється у процесі деформації пружини. Для знаходження роботи сили пружності можна взяти середнє значення модуля сили (бо сила пружності лінійно залежить від x) і помножити на модуль переміщення:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

де \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\). Звідси

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) або \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) . (14)

Фізична величина, що дорівнює половині твору жорсткості тіла на квадрат його деформації, називається потенційною енергієюпружно деформованого тіла:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

З формул (14) і (15) слід, що робота сили пружності дорівнює зміні потенційної енергії пружно деформованого тіла, взятому з протилежним знаком:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

Якщо x 2 = 0 та x 1 = х, то, як видно з формул (14) та (15),

\(~E_p = A\) .

Фізичний сенс потенційної енергії деформованого тіла

потенційна енергія пружно деформованого тіла дорівнює роботі, яку здійснює сила пружності при переході тіла у стан, у якому деформація дорівнює нулю.

Потенційна енергія характеризує взаємодіючі тіла, а кінетична енергія – ті, що рухаються. І потенційна, і кінетична енергія змінюються тільки в результаті такої взаємодії тіл, при якому сили, що діють на тіла, здійснюють роботу, відмінну від нуля. Розглянемо питання про зміни енергії при взаємодії тіл, що утворюють замкнуту систему.

Замкнута система- це система, на яку не діють зовнішні сили або дія цих сил компенсована. Якщо кілька тіл взаємодіють між собою лише силами тяжіння і силами пружності і жодні зовнішні сили на них не діють, то при будь-яких взаємодіях тіл робота сил пружності або сил тяжіння дорівнює зміні потенційної енергії тіл, взятій із протилежним знаком:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

За теоремою кінетичної енергії, робота тих же сил дорівнює зміні кінетичної енергії:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\). (18)

З порівняння рівностей (17) і (18) видно, що зміна кінетичної енергії тіл у замкнутій системі дорівнює абсолютному значенню зміни потенційної енергії системи тіл і протилежно йому за знаком:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) або \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \). (19)

Закон збереження енергії у механічних процесах:

сума кінетичної та потенційної енергії тіл, що становлять замкнуту систему і взаємодіють між собою силами тяжіння і силами пружності, залишається постійною.

Сума кінетичної та потенційної енергії тіл називається повною механічною енергією.

Наведемо найпростіший досвід. Підкинемо вгору сталеву кульку. Повідомивши початкову швидкість поч, ми надамо йому кінетичну енергію, через що він почне підніматися вгору. Дія сили тяжіння призводить до зменшення швидкості кульки, а отже, і її кінетичної енергії. Але кулька піднімається вище і вище і набуває дедалі більше потенційної енергії ( Е p = m∙g∙h). Таким чином, кінетична енергія не зникає безслідно, а відбувається її перетворення на потенційну енергію.

У момент досягнення верхньої точки траєкторії ( υ = 0) кулька повністю позбавляється кінетичної енергії ( Е k = 0), але його потенційна енергія стає максимальною. Далі кулька змінює напрямок руху і з швидкістю, що збільшується, рухається вниз. Тепер відбувається зворотне перетворення потенційної енергії на кінетичну.

Закон збереження енергії розкриває фізичний сенспоняття роботи:

робота сил тяжіння і сил пружності, з одного боку, дорівнює збільшенню кінетичної енергії, з другого боку, – зменшенню потенційної енергії тел. Отже, робота дорівнює енергії, що перетворилася з одного виду на інший.

Закон про зміну механічної енергії

Якщо система тіл, що взаємодіють, не замкнута, то її механічна енергія не зберігається. Зміна механічної енергії такої системи дорівнює роботі зовнішніх сил:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

де Еі Е 0 – повні механічні енергії системи у кінцевому та початковому станах відповідно.

Прикладом такої системи може бути система, у якій поруч із потенційними силами діють непотенційні сили. До непотенційних сил належать сили тертя. У більшості випадків, коли кут між силою тертя F rтіла складає π радіан, робота сили тертя негативна і рівна

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

де s 12 – шлях тіла між точками 1 та 2.

Сили тертя під час руху системи зменшують її кінетичну енергію. Внаслідок цього механічна енергія замкнутої неконсервативної системи завжди зменшується, переходячи в енергію немеханічних форм руху.

Наприклад, автомобіль, що рухався горизонтальною ділянкою дороги, після вимкнення двигуна проходить певний шлях і під дією сил тертя зупиняється. Кінетична енергія поступального руху автомобіля стала рівною нулю, а потенційна енергія не збільшилася. Під час гальмування автомобіля сталося нагрівання гальмівних колодок, шин автомобіля та асфальту. Отже, внаслідок дії сил тертя кінетична енергія автомобіля не зникла, а перетворилася на внутрішню енергію теплового руху молекул.

Закон збереження та перетворення енергії

за будь-яких фізичних взаємодіях енергія перетворюється з однієї форми на іншу.

Іноді кут між силою тертя F tr та елементарним переміщенням Δ rдорівнює нулю і робота сили тертя позитивна:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Приклад 1. Нехай зовнішня сила Fдіє на брусок В, який може ковзати по візку D(Рис. 5). Якщо візок переміщається вправо, то робота сили тертя ковзання F tr2 , що діє на візок з боку бруска, позитивна:

Приклад 2. При коченні колеса його сила тертя кочення спрямована вздовж руху, оскільки точка зіткнення колеса з горизонтальною поверхнею рухається в напрямку, протилежному напрямку руху колеса, і робота сили тертя позитивна (рис. 6):

Література

1. Кабардін О.Ф. Фізика: Справ. матеріали: Навч. посібник для учнів. - М.: Просвітництво, 1991. - 367 с.
2. Кікоін І.К., Кікоін А.К. Фізика: Навч. для 9 кл. середовищ. шк. - М.: Про-освіта, 1992. - 191 с.
3. Елементарний підручник фізики: Навч. посібник. У 3 т./Під ред. Г.С. Ландсберг: т. 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика - М.: Фізматліт, 2004. - 608 с.
4. Яворський Б.М., Селезньов Ю.А. Довідковий посібник з фізики для вступників до вузів та самоосвіти. - М.: Наука, 1983. - 383 с.

У зв'язку з низкою особливостей, а також з огляду на особливу важливість питання про потенційну енергію сил всесвітнього тяжіння необхідно розглянути окремо і більш детально.

З першою особливістю ми стикаємося під час вибору початку відліку потенційних енергій. Насправді доводиться розраховувати руху даного (пробного) тіла під впливом сил всесвітнього тяжіння, створюваних іншими тілами різних і розмірів.

Припустимо, що ми домовилися вважати рівною нулю потенційну енергію за такого стану, у якому тіла стикаються. Нехай пробне тіло А при взаємодії окремо з кулями однакової маси, але різних радіусів спочатку видалено від центрів куль на одну і ту ж відстань (рис. 5.28). Неважко бачити, що при русі тіла А до дотику до поверхонь тіл сили тяжіння здійснять різну роботу. Це означає, що ми повинні за однакових відносних початкових розташуваннях тіл вважати потенційні енергії систем різними.

Зіставляти ці енергії між собою буде особливо важко у випадках, коли розглядаються взаємодії та рухи трьох або більшої кількості тіл. Тому для сил всесвітнього тяжіння шукається такий початковий рівень відліку потенційних енергій, який міг би бути однаковим, загальним, для всіх тіл у Всесвіті. Таким загальним нульовим рівнем потенційної енергії сил всесвітнього тяжіння умовилися вважати рівень, що відповідає розташування тіл на нескінченно великих відстанях один від одного. Як видно із закону всесвітнього тяжіння, на нескінченності перетворюються на нуль і самі сили всесвітнього тяжіння.

За такого вибору початку відліку енергій створюється незвичне становище з визначенням значень потенційних енергій та проведенням усіх розрахунків.

У випадках сил тяжіння (рис. 5.29, а) та пружності (рис. 5.29 б) внутрішні сили системи прагнуть привести тіла на нульовий рівень. При наближенні тіл до нульового рівня потенційна енергія системи зменшується. Нульового рівня дійсно відповідає найменша потенційна енергія системи.

Це означає, що за всіх інших положеннях тіл потенційна енергія системи позитивна.

У разі сил всесвітнього тяжіння та при виборі нуля енергії на нескінченності все відбувається навпаки. Внутрішні сили системи прагнуть відвести тіла від нульового рівня (рис. 5.30). Вони роблять позитивну роботу при віддаленні тіл від нульового рівня, тобто при зближенні тіл. При будь-яких кінцевих відстанях між тілами потенційна енергія системи менша, ніж при Іншими словами, нульовому рівню (при відповідає найбільша потенційна енергія. Це означає, що при всіх інших положеннях тіл потенційна енергія системи негативна.

У § 96 було знайдено, що робота сил всесвітнього тяжіння при перенесенні тіла з нескінченності на відстань дорівнює

Тому потенційну енергію сил всесвітнього тяжіння слід вважати рівною

Ця формула виражає ще одну особливість потенційної енергії сил всесвітнього тяжіння – порівняно складний характер залежності цієї енергії від відстані між тілами.

На рис. 5.31 представлений графік залежності від випадку тяжіння тіл Землею. Цей графік має вигляд рівнобічної гіперболи. Поблизу поверхні Землі енергія змінюється порівняно сильно, але вже на відстані кількох десятків земних радіусів енергія наближається до нуля і починає змінюватися дуже повільно.

Будь-яке тіло поблизу поверхні Землі знаходиться у своєрідній «потенційній ямі». Щоразу, коли необхідно звільнити тіло від дії сил земного тяжіння, потрібно докладати спеціальних зусиль у тому, щоб «витягнути» тіло з цієї потенційної ями.

Так само і всі інші небесні тіла створюють навколо себе такі потенційні ями - пастки, які захоплюють і утримують всі тіла, що не дуже швидко рухаються.

Знання характеру залежить від дозволяє значно спростити вирішення низки важливих практичних завдань. Наприклад, необхідно послати космічний корабель на Марс, Венеру або будь-яку іншу планету Сонячної системи. Потрібно визначити, яка швидкість має бути повідомлена кораблю під час його запуску з Землі.

Для того, щоб корабель послати до інших планет, його потрібно вивести зі сфери дії сил земного тяжіння. Іншими словами, необхідно підняти його потенційну енергію до нуля. Це стає можливим, якщо кораблю повідомити таку кінетичну енергію, щоб він зміг зробити роботу проти сил земного тяжіння, рівну де маса корабля,

маса та радіус земної кулі.

З другого закону Ньютона випливає, що (§ 92)

Але оскільки швидкість корабля до запуску дорівнює нулю, можна записати просто:

де швидкість, що повідомляється кораблю при запуску. Підставляючи значення для А, отримаємо

Скористаємося для виключення, як це вже робили в § 96, двома виразами для сили земного тяжіння на поверхні Землі:

Звідси - Підставляючи це значення рівняння другого закону Ньютона, отримаємо

Швидкість, необхідна виведення тіла зі сфери дії сил земного тяжіння, називається другий космічною швидкістю.

Так само можна поставити і вирішити завдання про посилку корабля до далеких зірок. Для вирішення такого завдання вже потрібно визначити умови, за яких корабель буде виведений зі сфери дії сил тяжіння Сонця. Повторюючи всі міркування, які були проведені в попередній задачі, можна отримати такий самий вираз для швидкості, що повідомляється кораблю при запуску:

Тут а - нормальне прискорення, яке повідомляє Сонце Землі і яке може бути розраховане характером руху Землі по орбіті навколо Сонця; радіус земної орбіти. Звісно, ​​у разі означає швидкість руху корабля щодо Сонця. Швидкість, необхідна виведення корабля межі Сонячної системи, називається третьої космічною швидкістю.

Розглянутий нами спосіб вибору початку відліку потенційної енергії використовується при розрахунках електричних взаємодій тіл. Уявлення про потенційні ями також широко використовується в сучасній електроніці, теорії твердого тіла, теорії атома та у фізиці атомного ядра.

« Фізика – 10 клас»

У чому виражається гравітаційна взаємодія тіл?
Як довести наявність взаємодії Землі та, наприклад, підручника фізики?

Як відомо, сила тяжіння – консервативна сила. Тепер знайдемо вираз для роботи сили тяжіння і доведемо, що робота цієї сили не залежить від форми траєкторії, тобто сила тяжіння також консервативна сила.

Нагадаємо, що робота консервативної сили по замкнутому контуру дорівнює нулю.

Нехай тіло масою m знаходиться у полі тяжіння Землі. Вочевидь, що це тіла малі проти розмірами Землі, тому його вважатимуться матеріальної точкою. На тіло діє сила тяжіння

де G - гравітаційна постійна,
М - маса Землі,
r - відстань, де знаходиться тіло від центру Землі.

Нехай тіло переміщається з положення А в положення по різних траєкторіях: 1) по прямій АВ; 2) по кривій АА"В"В; 3) за кривою АСВ (рис. 5.15)

1. Розглянемо перший випадок. Сила тяжіння, що діє на тіло, безперервно зменшується, тому розглянемо роботу цієї сили на малому переміщенні Δr i = r i + 1 - r i . Середнє значення сили тяжіння дорівнює:

де r 2 сpi = ri r i + 1 .

Чим менше Δri, тим більш справедливим є написаний вираз r 2 сpi = r i r i + 1 .

Тоді роботу сили F сpi на малому переміщенні Δr i можна записати у вигляді

Сумарна робота сили тяжіння при переміщенні тіла з точки А до точки В дорівнює:

2. При русі тіла по траєкторії АА"В" (див. рис. 5.15) очевидно, що робота сили тяжіння на ділянках АА" і В"В дорівнює нулю, так як сила тяжіння спрямована до точки О і перпендикулярна будь-якому малому переміщенню по дузі кола. Отже, робота також визначатиметься виразом (5.31).

3. Визначимо роботу сили тяжіння під час руху тіла від точки А до точки В по траєкторії АСВ (див. рис. 5.15). Робота сили тяжіння на малому переміщенні Δs i дорівнює ΔА i = F срі Δs i cosα i ,.

З малюнка видно, що Δs i cosα i = - Δr i і сумарна робота знову ж таки буде визначатися за формулою (5.31).

Отже, можна дійти невтішного висновку, що А 1 = А 2 = А 3 , т. е. що робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії. Очевидно, що робота сили тяжіння при переміщенні тіла по замкнутій траєкторії АА "В" ВА дорівнює нулю.

Сила тяжіння – консервативна сила.

Зміна потенційної енергії дорівнює роботі сили тяжіння, взятої зі зворотним знаком:

Якщо вибрати нульовий рівень потенційної енергії на нескінченності, тобто Е пВ = 0 при r В → ∞, то отже

Потенційна енергія тіла масою m, що знаходиться на відстані r від центру Землі, дорівнює:

Закон збереження енергії для тіла масою m, що рухається в полі тяжіння, має вигляд

де υ 1 – швидкість тіла на відстані r 1 від центру Землі, υ 2 – швидкість тіла на відстані r 2 від центру Землі.

Визначимо яку мінімальну швидкість треба повідомити тілу поблизу поверхні Землі, щоб воно без опору повітря могло відійти від неї за межі сил земного тяжіння.

Мінімальну швидкість, при якій тіло без опору повітря може піти за межі сил земного тяжіння, називають другою космічною швидкістю для Землі.

На тіло з боку Землі діє сила тяжіння, яка залежить від відстані центру мас цього тіла до центру Землі. Оскільки неконсервативних сил немає, то повна механічна енергія тіла зберігається. Внутрішня потенційна енергія тіла залишається постійною, оскільки вона деформується. Відповідно до закону збереження механічної енергії

На поверхні Землі тіло має і кінетичну, і потенційну енергію:

де υ II - друга космічна швидкість, М 3 і Я 3 - відповідно маса та радіус Землі.

У нескінченно віддаленій точці, тобто при r → ∞, потенційна енергія тіла дорівнює нулю (W п = 0), а так як нас цікавить мінімальна швидкість, то і кінетична енергія також має дорівнювати нулю: W к = 0.

Із закону збереження енергії випливає:

Цю швидкість можна висловити через прискорення вільного падіння поблизу Землі (при розрахунках, зазвичай, цим виразом користуватися зручніше). Оскільки то GM3 = gR23.

Отже, шукана швидкість

Таку саму швидкість придбало б тіло, що впало на Землю з нескінченно великої висоти, якби не було опору повітря. Зауважимо, що друга космічна швидкість у рази більша, ніж перша.